绵阳师范学院学报 ( 自然科学版 ) 总体而言, 从本校学生的反应来看, 主要呈现三种状态, 第一类 : 属于完全没有进入状态, 基本不懂, 昏昏然, 处于在云里雾里状态这类学生在处理问题时几乎是用初等数学方法, 如用待定系数法求矩阵的逆, 用加减消元法求线性方程组的解等这部分同学占极少数, 其

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歆诏卜
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1 第 37 卷第 2 期 2018 年 2 月绵阳师范学院学报 JournalofMianyangTeachers'Colege Vol.37 No.2 Feb.,2018 DOI: /j.cnki.cn /g 线性代数教学中的主线法与类比法的综合运用徐龙玉, 胡葵, 王丽 ( 西南科技大学理学院, 四川绵阳 ) 摘要 : 针对线性代数学科在工科教学中的重要性以及我校学生在学习该课程中出现的问题, 本文提出了将主线教学和类比教学有效结合的教学方法, 从整体和局部双向把握教学, 从而提高学生的学习效率, 激发学习数学的兴趣, 训练学生的逻辑推理能力以及分析问题和解决问题的能力关键词 : 线性代数 ; 线性方程组 ; 主线教学 ; 类比教学中图分类号 :O151 2;G621 文献标志码 :A 文章编号 : X(2018) 探究线性代数课程的重要性学生培养目标及学情分析 1.1 重要性线性代数是理工科的一门重要的基础课程, 它的应用极其广泛, 几乎覆盖了所有的自然科学领域. 如 : 物理化学经济材料生物计算机等学科譬如网络浏览器的网页排序就涉及方阵的特征值和特征向量的应用生态系统中, 猫头鹰与田鼠的数量应满足什么要求时才能维持系统的稳定性, 则涉及对线性方程组的讨论对于理工科的学生而言, 线性代数不仅为后续课程提供了有效的研究工具, 而且也是工科考研数学中不可或缺的一部分线性代数除了具有广泛的适用性外, 还具有较强的逻辑性和抽象性有效的教学可以提高学生逻辑推理的严密性以及抽象的思维能力, 尤其是针对于工科学生而言, 后继的很多课程重在专业上的应用, 因此该门课程是对学生进行数学思维能力训练与提升的难能可贵的一门课程 1.2 学生培养目标课程的培养目标是教学的指挥棒, 设定科学的培养目标最为重要正如文献 [1] 中指出 : 教学需要不断重新审视学生的培养目标, 既要保证普通的教学质量, 又要培养优秀人才针对我校理工科非数学专业类的学生, 本文尝试性地提出了三个层次的目标第一目标 : 针对所有的学生, 提高教学质量, 对学生进行知识和能力的基本训练, 使学生在后继课程中能够有效地运用好线性代数这个工具 ; 第二目标 : 在本课程的教学过程中, 既要注重学生的严密的逻辑推理以及抽象思维能力的提升, 又要培养学生发现问题分析问题和解决问题的能力 ; 第三目标 : 通过本学科的教学, 体会自身能力的提升和突破, 让学生体会数学的美, 从而激发学习数学的兴趣和热情 1.3 学情分析本校所开设的线性代数课程主要针对理工科大一下学期或者大二上学期的学生对于理工科的学生, 在大一已经开设高等数学课程对微积分的学习标志着学生从初等数学跨入了高等数学的学习, 正如恩格斯所说的 : 此时运动和辨证进入了数学该阶段的学生具有一定高等数学的思想, 由于学生的基础不同, 同时线性代数所具有的特点如较强的逻辑性和抽象性, 会给学生带来不一样的困难收稿日期 : 基金项目 : 西南科技大学校级教改项目 (16xn0048). 第一作者简介 : 徐龙玉 (1979-), 女, 四川泸州人, 副教授, 硕士, 研究方向 : 代数学. 27

2 绵阳师范学院学报 ( 自然科学版 ) 总体而言, 从本校学生的反应来看, 主要呈现三种状态, 第一类 : 属于完全没有进入状态, 基本不懂, 昏昏然, 处于在云里雾里状态这类学生在处理问题时几乎是用初等数学方法, 如用待定系数法求矩阵的逆, 用加减消元法求线性方程组的解等这部分同学占极少数, 其中包含缺勤学生第二类 : 能掌握线性代数的基本知识体系以及基本方法, 但是对于知识点之间缺乏融会贯通, 对于综合应用类的题目处理起来有点吃力第三类 : 能透彻掌握线性代数知识以及知识点之间的联系与区别, 并能够灵活处理综合性强难度大的问题, 同时已建立对该门课程的兴趣, 并有意犹未尽之感, 对于线性代数的延拓以及应用期望进行进一步的思考和探索 2 主线教学法和类比教学法的融合探索针对线性代数的学科特点以及学生学习过程中所呈现出的问题, 很多教学工作者对线性代数的教学进行了探究, 如李尚志老师在文献 [2] 中提出了指导性的意见又如文献 [3-5] 中, 教育工作者们对线性代数的主线教学进行了研讨文献 [6-8] 主要研究了在线性代数教学中的类比教学法的运用本文以线性方程组作为内容的主线, 在之前的研究基础上, 对线性代数 ( 文献 [9]) 的内容进行整合, 从而提出了图 (1) 的框图呈现, 让学生能够轻松而富有兴趣地进入状态的同时, 避免学生出现盲人摸象的现象, 从整体上对线性代数拥有全局的把控同时本文以图 (1) 为线索, 对同济大学第五版线性代数 ( 文献 [9]) 的主体内容系统地进行了类比教学法的探究, 文中提及了内容的类比方法的类比以及与其他学科之间的类比, 从而在引入主体讨论以及学术延展方面给予学生有效的启发, 完成对线性代数知识元的局部深化处理通过以上主线教学和类比教学的有机结合, 让学生从整体和局部两方面深入地掌握线性代数知识, 加以融会贯通从发现问题分析问题和解决问题的过程中培养和提高学生的逻辑推理以及抽象思维能力, 激发学习兴趣, 全面提高教学质量, 顺利实现三个层次的教学目标接下来, 本文将根据主线教学以及类比教学合二为一的思想, 对线性代数的课程教学进行探索以下讨论以同济大学第五版教材为载体并将根据图 (1) 中的图标对主线教学法和类比教学法的综合运用进行详述对于同济大学第五版的线性代数 ( 文献 [9]) 而言, 总共六章第六章是带有号一般情况下如果 32 学时, 教学大纲所涉及的主要内容是前四章如果 48 学时, 则可以覆盖第五章因此本文主要探究前五章的教学内容该课本的前五章内容所讨论的主要对象可以归结为线性方程组求解线性方程组的第一类工具是行列式 ; 克拉默法则是对特殊线性方程组的解的讨论克拉默法则有条件限制, 在条件不满足的时候, 利用矩阵可以彻底解决线性方程组的解的讨论矩阵与向量组可以一一对应, 因此向量组自然也成为线性方程组的讨论工具前四章可以视为利用行列式矩阵向量组三类工具去讨论线性方程组的解的状态以及求解过程, 第五章则可以视为对线性方程组的进一步应用根据该主线, 本文将根据图 1 的知识元进行探讨主线教学与类比教学的综合应用 2.1 行列式主线探索 : 为了简洁表达二元线性方程组的解, 引入了二阶行列式的符号通过类比给出了三阶行列式的定义以及 n 阶行列式的定义, 利用定义揭示行列式的性质, 对行列式性质的综合应用可以简化行列式的计算按行 ( 列 ) 展开也是行列式计算的主要方法之一最后利用行列式这一工具实现对特殊线性方程组的求解, 即克拉默法则图 (1) 知识点 1.1 通过类比二阶行列式的引入, 提出了三阶行列式的定义, 并完成三元线性方程组的解的表达类比三阶行列式结果的特征, 拓展提出了 n 阶行列式的定义, 使得 n 阶行列式的出现变得自然, 而非突然, 同时也开启了学生思维的闸门图 (1) 知识点 1.2 利用 n 阶行列式的定义, 即不同行和不同列的 n 个元素之积, 还要确定乘积项的符号如果根据定义去求具体的行列式的值, 计算量极其庞大如何降低计算量, 则需要根据 n 阶行列式的定义揭示行列式的性质, 利用行列式性质将行列式化为三角形行列式类比此法与定义法的计算量, 自然可以体会两法的优点及弱点 28

3 徐龙玉, 等 : 线性代数教学中的主线法与类比法的综合运用图 (1) 知识点 1.3 此方法的引入可以类比三阶行列式的展开项, 再进行重组提取公因式, 从而成功地将三阶行列式转化为二阶行列式进行计算, 达到了化难为易的效果自然地将此思想推广到讨论 n 阶行列式按行按列展开的定理并证明及应用图 (1) 知识点 1.4 类比使用二三阶行列式求解相应的线性方程组的思想, 尝试揭示特定条件下 n 元线性方程组的解的表达, 即克拉默法则的揭示同时强调克拉默法则的条件限制 : 即系数行列式的值不为零, 从而感悟由特殊到一般的研究问题的方法在不满足克拉默法则的条件之下, 即方程的个数与未知数的个数不相等或者即使相等, 系数行列式的值为零的情形, 应该如何讨论这样的线性方程组? 这就是第二章即将讨论的矩阵内容由以上分析可见, 第一章的内容可以通过主线法与类比法相结合, 让学生很轻松地进入学习线性代数的状态, 为后继内容的学习明确目标, 获取基本的方法和能力 2.2 矩阵主线探索 : 在教科书图 1 知识结构图上, 矩阵的内容覆盖第二 Fig.1 knowledgestructuregraph 三章该部分先讨论矩阵的运算法则及其性质, 再利用初等变换实现矩阵的秩的求解, 揭示线性方程组解的状态以及求解过程根据此主线, 类比的角色也是处处可见通过类比实数的运算, 从而开启学生对于矩阵运算方式的思考图 (1) 知识点 2.2 矩阵乘以矩阵是矩阵运算中的难点, 类比实数乘法满足交换律, 引导并揭示矩阵的乘法却不满足交换律的现象由此所辐射出的一系列的性质, 如 : 矩阵没有平方差立方差公式, 消去律一般也不成立通过类比, 让学生更深刻地感受矩阵运算与实数运算的相同与相异之处 29

4 绵阳师范学院学报 ( 自然科学版 ) 图 (1) 知识点 2.3 关于逆矩阵的引入, 类比实数的倒数的概念, 此处的类比是与已有的知识进行类比, 并进行猜想验证, 从而培养学生发现问题的能力图 (1) 知识点 2.4 矩阵的初等变换对于行和列都有三种方式 : 对换数乘用一行的 k 倍加到另外一行去而这三种方式并不陌生, 与前面将行列式化为三角形行列式的方式完全相似, 不同的地方在于行列式是数值, 而矩阵是数表, 因此前后的连接符号也有所不同, 行列式采用的是等号, 矩阵采用的是等价符号通过比较可以更深刻地认识矩阵和行列式的本质区别图 (1) 知识点 2.6 利用初等变换呈现线性方程组的解的状态以及求解过程通过与克拉默法则的对比, 进一步感受矩阵对线性方程组求解问题的全效性, 激发学习兴趣, 探索求解技巧在矩阵这一部分, 通过主线和类比相结合, 可以让学生更加明确学习目标, 完成用矩阵判定线性方程组的解及求解过程, 同时掌握矩阵运算和初等变换的技巧, 提高学生发现分析和解决问题的能力同时引领学生对知识进一步延伸和探讨, 比如 n 阶矩阵是否可以构成环, 如果是环, 是否是 VN 正则环, 是否是 Noether 环等等, 这些问题主要是针对于学有余力的同学, 可以启发他们, 并辅助完成这些结论的证明, 为进入研究生的学习培养自学和探究知识的能力 2.3 向量组的线性相关性向量, 最初被应用于物理学很多物理量如力速度位移以及电磁感应强度等都是向量从数学的发展史来看, 直到 19 世纪末 20 世纪初, 人们才把空间的性质与向量运算联系起来, 使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系主线分析 : 矩阵已经彻底解决了线性方程组的求解问题在线性方程组有解的时候, 解集可以视为向量组, 向量组的核心部分即最大线性无关组对于齐次线性方程组 AX=0 有非零解时, 解向量组的最大线性无关组即基础解系承担着重要的角色, 因此揭示该解集的基础解系成为主要目的之一同时为了对向量组进行拓展, 讨论了向量空间的基的相关性质图 (1) 知识点 3.1 向量组及线性表示, 此节可以类比二维向量组中任意一个向量与单位坐标向量之间的线性关系, 以此引出本节需要讨论的主要问题让学生自然地发现问题, 从而激发解决问题的动力通过引导, 让学生揭示向量 b 能否由同维数的向量组 (α 1,α 2,,α n ) 线性表达的判定方法, 即该问题等价于线性方程组 b=x 1 α 1 +x 2 α 2 + +x n α n 是否有解的问题通过该类比, 揭示出解决问题的关键, 从而提高学生解决问题的能力图 (1) 知识点 3.2 此节关于向量组的线性相关性线性相关性可类比二维向量组中的共线向量, 三维向量组中的共面向量将此问题拓展到 n 维向量组的线性相关性, 从而降低学生对新知的畏惧感, 进而去发现问题对线性相关性的判定是本节的重点和难点通过类比, 揭示向量组 (α 1,α 2,,α n ) 线性无关当且仅当齐次线性方程组 x 1 α 1 +x 2 α 2 + +x n α n =0 只有零解此节的教学方法雷同本章内的第 1 节, 它可以提高学生分析问题和解决问题的能力图 (1) 知识点 3.3 向量组的秩由最大线性无关组的向量个数确定最大线性无关组的概念可以通过类比空间直角坐标系中的三个单位向量的作用加以感悟该部分组是任意一个包含这三个向量的向量组的最大线性无关组对于四维及以上维数的向量组, 虽然没有直观的几何图象, 但是类比此现象, 便可感受最大线性无关组以及向量空间的基的作用图 (1) 知识点 3.4 线性方程组的解的结构中,Ax=0 的解的结构是重点也是难点 Ax=0 有非零解即有无限多个解, 解集的最大线性无关组即为基础解系如何寻找基础解系成为关键的一环, 此处可以驻足类比分析第三章用初等变换求通解的方法, 分析基础解系的定义, 则求解方法便自然浮出水面此处的类比不仅为问题的解决提供了突破口, 而且前后这两种方法的异同之处也清晰地展现出来, 从而便于学生对知识的掌握以及对内容的加深理解这一部分的知识不仅在大学层面很重要, 而且是研究生学习的重要基础比如 : 模即是向量空间的推广, 模的生成系即是对向量空间基的推广等等而对这些知识的启发无不对学生的后续发展有着重要的作用 30

5 徐龙玉, 等 : 线性代数教学中的主线法与类比法的综合运用 2.4 相似矩阵及二次型在第五章中, 对于线性方程组的应用主要体现在三个方面 : 方阵的特征值和特征向量 ; 矩阵的对角化二次型看似三个不同的方面, 其实相互之间存在着紧密的递进关系, 这种递进关系可以通过以下的类比进行揭示图 (1) 知识点 4.1 设 A 是 n 阶矩阵, 如果数 λ 和 n 维非零列向量 x 使关系式 Ax=λx 成立, 那么, 这样的数 λ 称为方阵 A 的特征值, 非零向量 x 称为 A 的对应特征值 λ 的特征向量, 由定义可见,Ax=λx 等价于 (A -λe)x=0 类比齐次线性方程组的解的知识, 揭示出齐次方程组 (A-λE)x=0 有非零解, 则有 A-λE = 0, 从而找出求解特征值和特征向量的突破口图 (1) 知识点 4.2 第五章的第二个主题是方阵的对角化一个方阵能对角化的充分必要条件是方阵 A n 有 n 个线性无关的特征向量方阵如果能对角化, 对角化的过程中也必须用到特征值与特征向量, 而且求特征值和特征向量是重要的环节通过类比揭示, 可以让学生进一步地感受知识点之间的紧密联系和层层递进图 (1) 知识点 4.3 第五章的第三大问题是对二次型的研究其中将二次型化为标准型是一个重点问题, 二次型对应的矩阵是一个实对称矩阵, 标准化的过程可以采用正交变换进行标准化, 其实质是将实对称矩阵进行对角化, 由类比可知该内容是对方阵对角化的进一步应用再次可见线性代数知识点之间的逐层递进以及严密的逻辑关系 3 方法实施及调查结果现将主线法类比法以及主线法与类比法综合运用的三类方式分别记为方式并在 2016 级造价地质特能专业部分学生的该课程前两章内容教学中进行了实践, 实践之后对三个教学班进行了测试, 发现第 3 种方式教学效果明显之后在该课程后面内容中全面施行了第 3 种教学方式, 在全校期末统考中成绩位于前列, 并与 2015 级相应专业同课程分数相比有明显提高, 所有数据见表 1 表 1 教学情况表 Tab.1 teachingefects 班级人数测试是否想继续学习 ( 人 ) 平均分最高分最低分不想一般很想比 2015 级增长百分比 /% 方式造价方式地质方式特能方式造价方式地质方式特能由图 1 可见, 方式 1 以线性方程组作为讨论的主线, 开门见山地打开线性代数的篇幅, 在激发学生兴趣的同时, 让学生较快进入状态, 不仅明确学习目标, 而且明白了主线, 对整体建立了清晰的认识, 起到拨云见日的功效但仅仅依靠对整体的把握还远远不够, 线性代数的知识点琐碎, 如何能够深刻地掌握这些知识点, 并进行融会贯通, 还需要结合使用类比法即方式 2 文中使用的类比法包括知识点之间的类比方法的类比思想的类比等等对于局部知识点, 通过类比, 可以让学生找出知识点之间的相同与相异, 揭示知识点间的相互关联, 讨论旧知与新知的发展研究等, 从而加深对知识点的掌握程度从认知的角度, 使用恰当的类比法可以减弱学生对新知的陌生感 ; 让抽象的东西变得更加具体化 ; 使复杂的关系更加简单化等等在教学中若只重视方式 1, 那么学生可能在知识点的深度把握上大打折扣, 从而影响对整个课程的认识, 如果只强调方式 2, 即局部类比, 则可能出现盲人摸象, 或者在丛林纵深中迷路, 难以找到方向因此, 在教学中必 31

6 绵阳师范学院学报 ( 自然科学版 ) 须重视将主线分析与局部类比有效地结合起来, 充分使用方式 3, 能达到对该门课程整体和局部的把握从而激发学生发现问题的潜能, 通过分析问题以及解决问题培养或提高学生严密的逻辑推理以及对知识的融会贯通能力在这样的良性循环中, 学生获得解决问题的成功体验, 由此进一步激发对数学的学习兴趣扎进数学欣赏数学, 从而全面提升数学素养参考文献 : [1] 冯克勤. 高校代数教学的一些实践和思考 [J]. 高等数学研究,2006,9(4):3-6. [2] 李尚志. 线性代数教学改革漫谈 [J]. 教育与现代化,2004,1: [3] 陈丽, 白金诺. 线性代数的主线及核心应用 [J]. 廊坊师范学院学报 ( 自然科学版 ),2012,12(5):8-11. [4] 彭司萍, 龙正平. 线性代数主线研究 [J]. 高师理科学刊,2016,36(6): [5] 谢乐平. 以初等变换为主线的线性代数教学体系设计 [J]. 科技创新导报,2016,11: [6] 张启明, 唐先华. 类比法在线性代数教学中的运用 [J]. 当代教育理论与实践,2011,3(10): [7] 李上钊, 廖小莲. 线性代数教学中类比启发法的研究 [J]. 高师理科学刊,2011,12: [8] 张莉, 周羚君. 类比方法在线性代数教学中的应用 [J]. 大学数学,2014,30(6): [9] 同济大学数学教研室编. 工科数学 : 线性代数 [M].5 版. 北京 : 高等教育出版社. TheCombinationofMainLineTeachingandAnalogyTeaching XULongyu,HUKui,WANG Li (ColegeofScience,SouthwestUniversityofScienceandTechnology,Mianyang,Sichuan ) Abstract:ConsideringtheimportanceoftheroleplayedbyLinearAlgebrainEngineeringTeaching,alsocon sideringproblemsofourschoolstudentsinlearningthiscourse,thisarticleputupwithaefectiveteachingmethod: thecombinationofmainlineteachingandanalogyteaching.thisisamethodwhichgraspsteachingfrombothglob alandlocalaspects.andsoimprovetheirlearningeficiencyandinspiretheinterestofstudentsinlearningmathe matics.further,cultivateandimprovetheabilityoflogicalreasoningandtheabilityofanalyzeanddealwithprob lemsofstudents. Keywords:linearalgebra,mainlineteaching,analogyteaching,combination ( 责任编辑 : 陈英 ) 32

1989－2004数学三、四考研试题（线性代数部分3）

1989－2004数学三、四考研试题（线性代数部分3） 989- 数学三四考研试题线性代数部分 ) 三计算证明题. 已知 XXB 其中求矩阵 X. B - 5 989 年数学三四 ). 设 ) ) t) ) 问当 t 何值时向量组线性无关? ) 问当 t 何值时向量组线性相关? ) 当向量组线性相关时将表示为的线性组合. 设 ) 试求矩阵的特征值 - - 989 年数学三 ) ) 利用 ) 小题的结果求矩阵 E 的特征值其中