第 7 章 積分技巧 目錄 7. 基本積分公式............................... 7 7.2 分部積分................................. 72 7.3 遞迴公式................................. 73 7.4 三角函數的冪次.............................. 74 7.5 有理函數的積分.............................. 75 7.6 三角函數之有理式............................. 77 7.7 三角代換................................. 77 7.8 其他型式................................. 78 7.9 數值積分................................. 79 7. 瑕積分.................................. 8 7. 綜合例題................................. 82 () 介紹在求不定積分時常用的技巧 (2) 介紹如何估計定積分之值 (3) 介紹瑕積分的概念 7. 基本積分公式 7... () du = u + C (2) u n = u n+ n+ (3) du u = ln u + C + C, n (4) sin udu = cos u + C (5) cos udu = sin u + C (6) sec 2 udu = tn u + C (7) csc 2 udu = cot u + C 7
7. 基本積分公式 (8) sec u tn udu = sec u + C (9) csc u cot udu = csc u + C () tn udu = ln cos u + C = ln sec u + C () cot udu = ln sin u + C = ln csc u + C (2) sec udu = ln tn u + sec u + C (3) csc udu = ln cot u + csc u + C (4) exp udu = exp u + C (5) u du = u ln + C (6) du 2 u 2 (7) du 2 +u 2 (8) du u u 2 2 (9) du 2 +u 2 (2) du u 2 2 = sin ( u ) + C = tn ( u )+C = sec u + C = sinh ( u ) + C = cosh ( u ) + C (2) { du = tnh ( u) + C u2 < 2 2 u 2 coth ( u) + C u2 > 2 (22) du u 2 u 2 = sech ( u ) + C, < u < (23) du u = 2 +u 2 csch ( u ) + C, u, > 例 7..2. 求下列積分 : () 2x 9 x 2 9x+ (2) 2x 9 x 2 9x+ (3) 3x 2 7x 3x+2 (4) x 2x+5 (5) x 2 +4x+5 例 7..3. 求下列積分 : () 3x+2 x 2 (2) 8x x 2 (3) 2 3+4x 2 微積分講義, 7
7.2 分部積分 例 7..4. 求下列積分 : () x 2x 4 (2) x 2 2x 4 (3) x x+ x 2 + (4) 2x 2 +3 x 4 例 7..5. 求下列積分 : () (sec x + tn x) 2 (2) π 4 + cos 4x (3) csc x (4) sin x+cos x (5) cos x cos 2x cos 3x 例 7..6. 求下列積分 : () x ln x (2) coth5x (3) sinh2 x (4) ln 2 4e x sinhx (5) e x x 例 7..7. 若 < < b, 求 lim t { [bx + ( x)]t 7.2 分部積分 (Integrtion by Prts) 定理 7.2.. ( 分部積分公式 ) f(x)g (x) = f(x)g(x) f (x)g(x), 或 udv = uv vdu 例 7.2.2. 求下列積分 : () x sin x (2) x cos x 例 7.2.3. 求下列積分 : () t 2 e t dt (2) x 4 e x 微積分講義, 72 } t
7.3 遞迴公式 例 7.2.4. 求下列積分 : () e x sin x (2) e x cos bx 例 7.2.5. 求下列積分 : () ln x (2) rctn x (3) sin x (4) x sin x (5) (cos x) 2 例 7.2.6. 求下列積分 : () x (x + 5) 8 (2) x (x 2 + 5) 8 (3) xe x (x+) 2 (4) x 3 +x 2 定理 7.2.7. ( 定積分之分部積分公式 ) f(x)g (x) = f(x)g(x) b f (x)g(x) 例 7.2.8. 求曲線 y = xe x 與 x- 軸在 x = 到 x = 4 之間所圍的面積 例 7.2.9. 將曲線 y = rctn x, y = 及 x = 所圍區域繞 y- 軸旋轉 求旋轉體體積 例 7.2.. 若 f() = g() =, 且 f 及 g 為連續, 證明 f ()g() + f (x)g(x) 例 7.2.. 假設 f(x) 為正值, 且 f (x) 為連續, 求 lim f(x) sin nx n 7.3 遞迴公式 (Reduction Formule) 例 7.3.. 求下列積分 : () x n e x (2) x 4 e x 例 7.3.2. 求下列積分 : () x n ln x (2) (ln x) n 例 7.3.3. 求下列積分 : 微積分講義, 73 f(x)g (x) = f()g ()
7.4 三角函數的冪次 () x 3 sin x (2) x n sin x 例 7.3.4. 求下列積分 : () sin n x (2) ( x)p x q, p, q 為正整數 7.4 三角函數的冪次 sin m x cos n x 型 例 7.4.. 求下列積分 : () cos 5 x (2) sin 5 x cos 2 x (3) π sin2 x (4) sin 4 x (5) sin 4 x cos 2 x 例 7.4.2. (Wllis 公式 ) () π 2 sinn x (2) π 2 cosn x 例 7.4.3. (Wllis 乘積 ) 令 I n = π 2 sinn x () 證明 I 2n+2 I 2n = 2n+ 2n+2 I 2n+ I 2n (b) 證明 lim n I 2n+ I 2n = 2 (c) 證明 lim 2 4 4 6 6 2n n 3 3 5 5 7 tn m x sec n x 型 2n 2n = π 2n+ 2 例 7.4.4. 求下列積分 : () tn n x (2) sec n x (3) tn 3 x (4) sec 3 x 例 7.4.5. 求下列積分 : 微積分講義, 74
7.5 有理函數的積分 () tn 3 x sec 3 x (2) tn 3 x sec 4 x (3) tn 4 x sec 4 x (4) tn 4 x sec 3 x (5) tn 5 x sec 7 x (6) tn 6 x sec 4 x 例 7.4.6. 求 f(x) = π cos t cos(x t)dt, x 2π, 的極小值 其它 例 7.4.7. sin 4x cos 5x 例 7.4.8. 令 m, n 為正整數, 求下列積分 : () π sin mx cos nx π (b) π sin mx sin nx π (c) π cos mx cos nx π 例 7.4.9. 令 J n = 例 7.4.. π 2, 則 J (x 2 + 2 ) n n+ = 2n 2 sin n x sin n x+cos n x 7.5 有理函數的積分 x + 2n J (x 2 + 2 ) n 2n 2 n 性質 7.5... 任一實係數多項式必可分解成不可約的一次及二次因式的乘積 2. 任一有理式可寫成多項式及真分式之和 p(x) 3. 令為一真分式, q(x) = (x + q(x) ) n (x + k ) n k (x 2 + b x + c ) m (x 2 + b l x + c l ) m l, 其中 i 均相異, x 2 + b i x + c i 亦為各自相異之不可約因式 則 p(x) = q(x) p(x) q(x) 可表成 f (x) (x+ ) n + + f k(x) (x+ k ) n k + g (x) (x 2 +b x+c ) m + + g l (x) (x 2 +b l x+c l ) m l, 其中 deg f i (x) < n i, deg g j (x) < 2m j 4. f(x) (x+) n, deg f(x) < n, 必可表成 f(x) (x+) n = α x+ + α 2 (x+) 2 + + α n, α (x+) n i R 5. g(x) (x 2 +bx+c) m, deg g(x) < 2m, 必可表成 g(x) (x 2 +bx+c) m = β x+γ x 2 +bx+c + + β mx+γ m (x 2 +bx+c) m, β j, γ j R 註 7.5.2. () 以上 3. 4. 5. 項之表法稱為部分分式 (prtil frctions) (2) 求部分分式之表法一般可用未定係數法, 代入法, Heviside 法及綜合除法 (3) 由以上性質, 可知任一有理函數之積分必可分解成多項式之積分及以下六種類型之積分 : () x+ 微積分講義, 75
7.5 有理函數的積分 (b) (x+) n, n (c) x 2 +x+b (d) cx+d, c x 2 +x+b (e), n (x 2 +x+b) n (f) cx+d, c, n, 其中 x 2 + x + b 為不可約 (x 2 +x+b) n 例 7.5.3. 以不同的方法求以下的積分 : () x 3 +x x (2) 5x 3 (x+)(x 3) ( 對照係數法 ) (3) x 2 +4x+ (x )(x+)(x+3) ( 代入數值法 ) (4) x (x+) 3 ( 微分法 ) (5) 6x+7 (x+2) 2 ( 綜合除法 ) 例 7.5.4. 求以下的積分 : () 2x 3 4x 2 x 3 x 2 2x 3 (2) x 2 +2x 2x 3 +3x 2 2x (3) x 2 2, (4) x 4 2x 2 +4x+ x 3 x 2 x+ (5) x 2 + (x )(x 2)(x 3) (6) x 2 +4 x 3 +3x 2 x (7) (x+)(x+2) (x+m) 例 7.5.5. 求以下的積分 : () 4x 2 3x+2 4x 2 4x+3 (2) x 2 + x(x 2 +3) (3) 2x 2 x+4 x 3 +4x (4) 2x+4 (x 2 +)(x ) 2 例 7.5.6. 求以下的積分 : () x(x 2 +) 2 (2) x+2x 2 x 3 x(x 2 +) 2 微積分講義, 76
7.6 三角函數之有理式 (3) 2x 2 +3x+4 (x 2 +x+) 2 (4) x 3 +x 2 + x(x )(x 2 +x+)(x 2 +) 3 定理 7.5.7. (M. B. Ostrogrdski) 令 P2 (x), Q 2 其中 (x) P (x) 為一真分式 則其積分可寫為 P (x) = P (x) + Q(x) Q(x) Q (x) P (x), P 2(x) Q (x) Q 2 均為真分式, 且 Q(x) = Q (x) (x)q 2 (x), Q (x) = (x ) k (x 2 + px + q) m, Q 2 (x) = (x ) (x 2 + px + q) 例 7.5.8. 求以下的積分 : () 4x 4 +4x 3 +6x 2 +2x+8 (x+) 2 (x 2 +) 2 (2) 2x 6 +5x 5 x 4 6x 3 96x 2 2x 24 (x ) 3 (x+)(x 2 +2x+5) 2 例 7.5.9. 若 f 為二次函數, f() =, 且 7.6 三角函數之有理式 f(x) x 2 (x+) 3 為有理函數, 求 f () 7.6.. 被積分式是三角函數之有理式, 可作 u = tn x 2 之變數變換 例 7.6.2. 求以下的積分 : () +cos x (2) 2+sin x (3) sec θdθ (4) +sin x+cos x 7.7 三角代換 7.7.. 形如 R(x, x2 ), R(x, + x 2 ), R(x, x 2 ) 之積分, 可分別作 x = sin θ, x = tn θ, x = sec θ 之變數變換 例 7.7.2. 求以下的積分 : () x 2 5 4x 2 (2) 9 x 2 x 2 (3) x 2 x 2 +4 (4) 4+x 2 (5) x x 2 +4 (6) 3 3 2 x 3 (4x 2 +9) 3 2 微積分講義, 77
7.8 其他型式 (7) x 3 2x x 2 (8) x 2 2, > (9) 25x 2 4, x > 2 5 例 7.7.3. 求以下的積分 : () x x 2 + 2x + 4 (2) x 2 9 x 2 例 7.7.4. 求 lim n n k= n 2 +k(k ) 例 7.7.5. 將曲線 y = 4 x 2 +4, x 軸及 x =, x = 2 所圍區域繞 x- 軸旋轉, 求旋轉體體積 x 例 7.7.6. 求橢圓 2 + y2 2 b 2 = 之內部面積 例 7.7.7. 一大圓半徑為 R, 一小圓半徑為 r, 兩圓相交, 交點在小圓的直徑上 求在大圓外部, 且在小圓內部之部份 ( 新月形 lune) 的面積 7.8 其他型式 R(e x ) 型 例 7.8.. 求以下的積分 : () e 2x +e x (2) +sinh x +cosh x R(x, n x+b ) 型 cx+d 例 7.8.2. 求以下的積分 : () x+4 x (2) x ( + x) (3) x++2 (x+) 2 x+ (4) x +x R( n x + b, n 2 x + b,..., n k x + b) 型 例 7.8.3. 求以下的積分 : () (+x) 3/2 +(+x) /2 微積分講義, 78
7.9 數值積分 (2) x + 3 x Chebyshev 定理 定理 7.8.4. (P. L. Chebyshev) 令 m, n, p 為有理數 則形如 x m ( + bx n ) p 之積分可表為基本函數之充要條件為 p, m+ m+ 及 + p 中有一為整數 n n 例 7.8.5. 求以下的積分 : () 3 + 4 x x (2) 4 +x 4 (3) x 3 +x 5 定理 7.8.6. 令 y = f(x) 是遞增可微函數 則 例 7.8.7. 求以下的積分 : () sin x (2) e ln x f (x) = bf (b) f () 例 7.8.8. 令 g(x) 為 f(x) = x + sin x 的反涵數, 求 7.9 數值積分 (Numericl Integrtion) f (b) f () + π 2 g(x) f(x) 註 7.9.. () 以下之積分為非基本函數之例 : sin(x 2 ), sin x, x 4 sin2 x, + x4, x 3 +, e x2, e ex, e x,, ln(ln x), cos(e x ) x ln x (2) 本節內容所採用之符號如下 : 要估計 f(x) 將 [, b] n 等分, 得分點 x =, x = + x, x 2 = + 2 x,..., x n = + (n ) x, x n = b, x = b, y n i = f(x i ) 中點法 定理 7.9.2. ( 中點法, The Midpoint Rule) f (x) M n = x [f ( x ) + + f ( x n )], 其中 x = b n, x i = 2 (x i + x i ) 定理 7.9.3. ( 中點法誤差 ) 若 f 在 [, b] 上連續, 且 M 2 為 f 在 [, b] 之上界, 則上述估計之誤差 E M 滿足 E M M 2(b ) 3 24n 2 例 7.9.4. () 以中點法 ( 取 n = 5) 估計 (2) 若要誤差小於., 則該取 n 為多少? 例 7.9.5. 利用中點法, 取 n = 估計 ex2 其誤差的上界是多少? 2 x 微積分講義, 79
7. 瑕積分 梯形法 定理 7.9.6. ( 梯形法,The Trpezoidl Rule) b f(x) T = (y 2n + 2y + 2y 2 + + 2y n + y n ) 定理 7.9.7. ( 梯形法誤差 ) 若 f 在 [, b] 上連續, 且 M 2 為 f 在 [, b] 之上界, 則上述估計之誤差 E T 滿足 E T M 2(b ) 3 例 7.9.8. 以 n = 4 估計 2n 2 2 x2 例 7.9.9. 以 n = 的梯形法, 估計 例 7.9.. 以梯形法來估計 ln 2 = 2 拋物線法 π x sin x, 誤差之上界為何?, 希望誤差 < 6, 則須取 n 為多少? x 定理 7.9.. ( 拋物線法, Simpson Rule) 取 n 為偶數 b f(x) S = (y 3n + 4y + 2y 2 + 4y 3 + + 2y n 2 + 4y n + y n ) 定理 7.9.2. ( 拋物線法誤差 ) 若 f (4) 在 [, b] 上連續, 且 M 4 為 f (4) 在 [, b] 上的上界, 則上述估計之誤差 E S 滿足 E S M 4(b ) 5 8n 4 例 7.9.3. () 利用 Simpson 法, 取 n = 估計 (2) 若要誤差小於 6, 則該取 n 為何? 例 7.9.4. 一湖如圖, 估計湖面面積 2 x 7. 瑕積分 (Improper Integrls) 第一型瑕積分 定義 7... ( 第一型瑕積分 ) () 若 f(x) 在 [, ) 連續, 則 f(x) = lim (2) 若 f(x) 在 (, b] 連續, 則 f(x) = b (3) 若 f(x) 在 (, ) 連續, 則任取一實數 c, 定義 f(x) lim f(x) f(x) = c f(x)+ c f(x) 在以上任一情況下, 若右式的極限存在, 則稱瑕積分收斂 (convergence), 且其值稱為瑕積分之值, 否則稱為發散 (divergence) 例 7..2. 求 e x 2 例 7..3. +x 2 註 7..4. f(x) = lim f(x) 不見得成立 例如 : x +x 2 例 7..5. 求曲線 y = ln x x 2 之下從 x = 到 x = 的面積 微積分講義, 8
7. 瑕積分 例 7..6. 求第一型 p- 積分 例 7..7. 求 xex 例 7..8. 求 2 x+3 (x )(x 2 +) x p 之值 例 7..9. 一立體其垂直於 x- 軸之截面為直徑 y = e x 的圓, < x ln 2, 求其體積 第二型瑕積分 定義 7... ( 第二型瑕積分 ) () 若 f(x) 在 (, b] 連續, 則 f(x) = lim f(x) c + c c (2) 若 f(x) 在 [, b) 連續, 則 f(x) = lim f(x) c b (3) 令 c (, b) 若 f(x) 在 [, c) (c, b] 連續, 且在 x = c 不連續, 則 f(x) = c f(x) + f(x) c 在以上任一情況下, 若右式的極限存在, 則稱瑕積分收斂 (convergence), 且其值稱為瑕積分之值, 否則稱為發散 (divergence) 例 7... 求第二型 p- 積分 例 7..2. 求 例 7..3. 求 例 7..4. 求 例 7..5. 求 例 7..6. 求 例 7..7. 求 例 7..8. 求 瑕積分審斂法 3 3 2 2 3 π 2 x x 2 x 2 (x ) 2 3 sec x ln x x 2 4 x p 之值 定理 7..9. ( 直接比較法, Direct Comprison Test) 令 f 及 g 在 [, ) 上連續, 且 f(x) g(x), x, 則 () 若 (2) 若 g(x) 收斂, 則 f(x) 發散, 則 例 7..2. 判斷以下瑕積分之歛散 : () e x2 ; (2) sin 2 x; x 2 f(x) 收斂 g(x) 發散 微積分講義, 8
7. 綜合例題 (3) (4) x 2. +e x x 定理 7..2. ( 極限比較法, Limit Comprison Test) 若 f(x) 及 g(x) 在 [, ) 上連續且為 f(x) 正值, 且 lim 存在, 則 f(x) 及 g(x) 同歛散 x g(x) 例 7..22. 判斷以下瑕積分之歛散 : () (2) ; +x 2 3 e x +5 例 7..23. 判斷以下瑕積分之歛散 : () (2) 2+sin x x, +x 4 例 7..24. () 證明 : 在 >, 且 b > + 時, 積分 (b) 證明 : 在 <, 且 b < + 時, 積分 ( 例 7..25. 求 C 之值, 使瑕積分 例 7..26. 求下列極限 : () lim n n n! n, ( ) (2) lim (2n)! n n n!n n 例 7..27. 若 n 為正整數, () 證明 (ln x)n = ( ) n n!, (2) 證明 ( x2 ) n = 22n (n!) 2 (2n+)! 7. 綜合例題 求下列積分 : () 2 2 x2 4x (2) 5 (3) 4 3w w+2 dw x x 2 4x 5 (4) x x 2 4x+5 (5) x x 2 2x+5 x C x 2 +4 x+2 微積分講義, 82 x +x b 收斂 ; 收斂 +x b ) 收斂, 並求此時之積分值
7. 綜合例題 (6) 2 2t dt (t 3) 2 (7) 3x 2 2 x 3 2x 8 (8) 3 2 u 3 + du u 3 u 2 (9) (x 2)(x 2 +4) () x 4 +4 () x x 4 4 (2) x x 4 +x 2 + (3) x(x 4 +) (4) (5) x 6 x 2 3 x 4 +2x 2 +9 (6) x 3 (x+) (7) x 4 (8) x +6 ( x 4 +x 6 ) 2 (9) x n x, (n 為正整數 ) (2) x n (x ), ( 且 n 為正整數 ) (2) x n (+x 2 ) + n 2, (n 為正整數 ) (22) x 3 x + c (23) ( + x) 8 (24) x +x 3 (25) t + 3 t dt (26) x++ x (27) x 4x+ (28) x 2 4x+ (29) x+4+4 x+ (3) +x x 微積分講義, 83
7. 綜合例題 (3) 2 x x (32) x+x 2 (33) 3 2x x 2 (34) (2x ) x 2 x (35) 2t 2 + t 2 t dt t 2 (36) ( x 2 ) 3/2 (37) /2 (38) 2/2 x x 2 x 2 x 2 (39) x x 2 + x 2 (4) 4y 2 4y 3 dy (4) x x 2 (42) x 3 x 4 (43) dθ + 3 θ (44) ( 3 x 7 7 x 3 ) (45) 3(x )2 ( x + (t )4 dt) (46) sin 3 θ cos 5 θdθ (47) sin x cos(cos x) (48) tn 3 θ dθ (49) tn 5 x sec 4 (5) tn 5 x sec 7 x (5) π/4 cos 2 θ tn 2 θdθ (52) (sin x + cos x) 2 (53) sin 4x cos 3x (54) sin x sin 2x sin 3x (55) sin tdt (56) cos 5 x sin x 微積分講義, 84
7. 綜合例題 (57) cos 6 x sin 4 x (58) tn θ sec 2 θ dθ (59) tn 3 x cos 3 x (6) cos x (6) 3 sin x 4 cos x (62) +sin x cos x (63) cos x+sin x sin 2x (64) sin x cos x sin 4 x+cos 4 x (65) cos θ cos 2 θ+2 dθ (66) sec x cos 2x sin x+sec x (67) tn x tn x+sec x (68) tn 2 x (69) 3+sec 2 x+sin x tn x (7) π/2 π/4 +4 cot x 4 cot x (7) tn x (72) sin 2θ +tn θ dθ (73) tn x+sin x (74) π 3 π 4 tn θ sin 2θ dθ (75) tn 5 x 3 cos x (76) x sin 2 x (77) (x + sin x) 2 (78) x sin 2 x cos x (79) θ tn 2 θdθ (8) x8 sin x (8) x sin x (82) x 2 tn x (83) 3 rctn t t dt 微積分講義, 85
7. 綜合例題 (84) x 2 rcsin x (85) sin x x( x) (86) e x+ex (87) e 3x e x (88) e 2x +e x (89) +2e x e x (9) e 2t +e 4t dt (9) e x + e x (92) + e x (93) 2e 2x e x 3e 2x 6e x (94) e 3 x (95) xe x (96) x 5 e x3 (97) t 3 e 2t dt (98) (2x 2 + )e x2 (99) (27) 3θ+ dθ () x 2 sinh mx () e rctn y dy +y 2 (2) e t sin(t 3)dt (3) xe x +e x (4) xe x sin x (5) x 2 ln( + x) (6) ln x (7) ln( x + + x) (8) +ln x x ln x (9) x ln x () ln x +x 2 微積分講義, 86
7. 綜合例題 () ln(x+) x 2 (2) x ln x x 2 (3) dt t(+ln t) (ln t)(2+ln t) (4) sin ln x (5) cot x ln(sin x) (6) π/3 π/4 ln(tn x) sin x cos x (7) cot x ln sin x (8) ( + ln x) + (x ln x) 2 微積分講義, 87