數學考科 5 臺南女中 高孟鍬老師等 發行人 陳炳亨 總召集 周耀琨 總編輯 蔣海燕 主 編 廖婉秀 校 對 王維芬 許裕峰 陳證亦 美 編 王姿靜 出刊 民國九十六年四月發行所 臺南市新樂路 76 號電話 (06)696#33 翰林我的網 http://www.worldone.com.tw 翰林文教網 http://www.hle.com.tw E-mail periodical@hanlin.com.tw
數學考科 6 單元一 : 列數極限 重點整理 : 若 a n =a r n-, 當 -<r, 則 <a n > 9 n= 為收斂數列 若 a n = f(n) g(n), 其中 f(n)=a k n k +a k- n k- + +a 0, g(n)=b l n l +b l- n l- + +b 0, 且 a k b l 0 則 若 k=l 時, lim n 9 a n = a k b l 若 k<l 時, lim n 9 a n =0 3 若 k>l 時, lim n 9 a n 不存在 國立高雄師範大學數學系張宏志教授臺南一中張立群老師臺南女中高孟鍬老師 例題一 93 指考甲 ( 敏督利 ), 選填題. n 是正整數, 坐標平面上一點 (QnW+W54QnW-W) 到直線 y-x=0 的距離是 d n, 此點和 (040) 及 (QnW-W4QnW+W5) 所構成的三角形面積為 a n, 則 lim n 9 d n =4, lim n 9 a n =4 解析 d n = QnW-W-QnW+W5 A(S-) S+() = QnW-W-QnW+W5 QnW-W+QnW+W5 Q QnW-W+QnW+W5 = n--n-5 Q QnW+W+QnW+W5 6 = Q QnW+W+QnW+W5 lim n 9 d n =0 令 O(040),A(QnW+W54QnW-W),B(QnW-W4QnW+W5) 則 a n = lim n 9 a n =3 QnW+W5 QnW-W QnW-W QnW+W5 =3
數學考科 6 單元二 : 一元 n 次方程式 重點整理 : 方程式根的重要定理 : 代數基本定理 : 每一個 n 次方程式 (n3), 至少有一個複數根 n 次方程式恰有 n 個根 根與係數的關係 設 a 與 b 為二次方程式 ax +bx+c=0 的二根 (an0)! b a+b=- a 則 # % ab= c a 設 a b u 為三次方程式 ax 3 +bx +cx+d=0(an0) 之三根 a+b+u=- b! a 則 # ab+bu+au= c a %abu=- d a 3 勘根定理 : 設 f(x)=0 為一實係數多項式, 若 a,bjr 且 f(a) (b)<0, 則方程式 f(x)=0 至少有一實根介於 a 與 b 之間 W: 函數 y=f(x) 之圖形與 x 軸交點之 x 坐標, 即 f(x)=0 之實根 當 f(a) f(b)<0 時, f(x)=0 有奇數個根介於 a 與 b 之間 3 當 f(a) f(b)>0 時, 4 虛根成雙定理 : 例題一 f(x)=0 在 a b 之間可能無實根, 也可能有偶數個實根 設 f(x) 為 n 次多項式, 則 : #f(z)=f(z),z 為複數 若 z 為複數且 z 為 f(x)=0 之一根, 則 z 亦 f(x)=0 的另一根 W: 一元奇次方程式至少有一個實根 93 年指考乙 ( 敏督利 ) 多選題 4. 給定三次方程式 (x-4)(x-6)(x-8)+(x-5)(x-7)(x-9)=0, 試問下列哪 兩個正整數之間有這方程式的實根? 4 與 5 之間 5 與 6 之間 3 6 與 7 之間 4 7 與 8 之間 5 8 與 9 之間 解析利用勘根定理,
96 5 年指考大搜祕 令 f(x)=(x-4)(x-5)(x-8)+(x-5)(x-7)(x-9) J f(4) f(5)<0, f(5) f(6)>0, f(6) f(7)<0, f(7) f(8)>0, f(8) f(9)<0 f(x)=0 在 (445),(647),(849) 有實根 選 35 6 單元三 : 極值問題 重點整理 : 二次函數求極值利用配方法 例題一 95 指考甲, 選填題 E. 以 O 表坐標平面的原點 給定一點 A(443), 而點 B(x40) 在正 x 軸上變動 x 若 l(x) 表 #AB 長, 則 OAB 中兩邊長比值的最大值為 4 l(x) ( 化成最簡分數 ) 解析 l(x) =#AB=A(x-S4) +9 =Ax -8Sx+5(xn0) k= x l(x) = = = 8 Z-X x x Ax -8Sx+5 X+ 5 x = 5 3 Z( 5 x X- 4 5 X) + 9 5 Z 9 5 當 x= 5 4 時有最大值 5 3 6 單元四 : 指 對數 重點整理 : 圖形 y=a x 與 y=log a x 的圖形對稱於直線 x=y y=a x 與 y=( a )x 的圖形對稱 y 軸 3 y=log a x 與 y=log a x 的圖形對稱 x 軸
數學考科 圖 a> 首 尾數與位數的關係 圖 0<a< 設 a>0 且 a=b*0 n, 其中 b<0,njz, 則 loga=n+logb,0logb<, 其 中 n 為 loga 的首數,logb 為 loga 的尾數 若正數 a 的整數部分是 n 位數, 則首數為 n- 若正數 a 的純小數且小數點後第 n 位始不為零, 則首數為 (-n) 例題一 94 指考甲, 單選題. 地震規模的大小通常用 芮氏等級來表示 已知 芮氏等級每增加 級, 地震震幅強度約 增加為原來的 0 倍, 能量釋放強度則約增加為原來的 3 倍 現假設有兩次地震, 所 釋放的能量約相差 00,000 倍, 依上述性質則地震震幅強度約相差幾倍? 請選出最接 近的答案 0 倍 00 倍 3 000 倍 4 0000 倍 解析設地震級數相差 k 級 J 0 5 =3 k = 5k J 0= k k= log 震幅強度 =0 k log =0 y0 3.3 y000 選 3 例題二 93 指考乙, 多選題 5. 經濟學上有所謂 7 規則 : 意指當經濟年成長率維持在 r% 時, 經濟規模實際達到 兩倍所需的最少時間約為 7 r 年 試利用下表的數據, 從選項中選出符合此規則的年 成長率 x.03.04.06.08.09 logx 0.08 0.070 0.053 0.0334 0.0374 0.300 9% 8% 3 6% 4 4% 5 3% 解析 (+r%) 7 r > 7 r log(+r%)>log
96 5 年指考大搜祕 r log(+r%)> log 7 r=9, 9 r=8, 8 3 r=6, 6 4 r=4, 4 5 r=3, 3 選 345 6 單元五 : 三角函數 重點整理 : 三角函數的圖形與週期 正弦函數 :y=sinx y0.0048 0.0374 log(+9%)= =0.0045 9 0.0334 log(+8%)= =0.0475 8 0.053 log(+6%)= =0.004 6 log(+4%)= 0.07 4 =0.0045 0.08 log(+3%)= y0.0046 3 週期 :p 餘弦函數 :y=cosx 週期 :p 3 正切函數 :y=tanx 週期 :p
數學考科 W: sinx, cosx, secx, cscx : 週期減半 ; tanx, cotx : 週期不變 sin x,cos x,sec x,csc x: 週期減半 tan x,cot x: 週期不變 a,b,c,d 為非零之實數, 若 y=a sin(b(x+c))+d, 則此新函數的振幅變成 正弦函數的 a 倍 ; 週期變為倍 ; 圖形的平移狀況如下 : b 若 c>0, 向左平移 c 單位 若 c<0, 向右平移 c 單位 若 d>0, 向上平移 d 單位 若 d<0, 向下平移 d 單位 3 正 餘弦定理 : ABC 中,#AB=c,#BC=a,#AC=b, 則 : 正弦定理 : a sina = 餘弦定理 :! a =b +c -bc cosa # b =a +c -ac cosb % c =a +b -ab cosc b sinb = c sinc =R(R: 外接圓半徑 ) 3 面積公式 : = ab sinc= bc sina= ac sinb =Qs(s-a)(sW-b)(s-c) ( 海龍公式, 其中 s= a+b+c W: R= abc 4 ( 外接圓半徑 ) ) r= s ( 內切圓半徑 ) 例題一 93 指考甲, 多選題 4. 設 a>0, 令 A(a) 表 x 軸,y 軸, 直線 x=a 與函數 y=+sinx 的圖形所圍成的面積, 下列選項有哪些是正確的? A(a+p)=A(a) 恆成立 A(p)=A(p) 3 A(4p)=A(p) 4 A(3p)-A(p)>A(p)-A(p) 解析
96 5 年指考大搜祕 A(a+p)>A(a) 由圖 :A(p)<A(p) 3 由圖 :A(4p)=A(p) 4 由圖 :A(3p)-A(p)>A(p)-A(p) 選 3 4 例題二 95 指考乙, 多選題 4. 嘌呤是構成人體基因的重要物質, 它的化學結構式主要是由一個正五邊形與一個正六邊形構成 ( 令它們的邊長均為 ) 的平面圖形, 如下圖所示 : 試問以下哪些選項是正確的? qbac=54 O 是 ABC 的外接圓圓心 3 #AB=Q3 4 #BC= sin66 解析 #OA=#OB=#OC= O 為 ABC 之外接圓圓心 qboc 為圓心角,qBAC 為圓周角 qaoc=08,qaob=0 qboc=3 qbac= qboc=66 3 qboa=0 由餘弦定理 J #AB = + -***cos0=3 #AB=Q3 4 BOC 為等腰 且 qboc=3 qobc=qocb=4
數學考科 #OC 由正弦定理 J sin4 = #BC 且 #OC= sin3 J cos66 = #BC= sin66 選 34 例題三 95 指考乙, 選填題 B. #BC sin66cos66 某機場基於飛航安全考量, 限制機場附近建築物從機場中心地面到建築物頂樓的仰角 不得超過 8 某建築公司打算在離機場中心 3 公里且地表高度和機場中心一樣高的地 方蓋一棟平均每樓層高 5 公尺的大樓 在符合機場的限制規定下, 該大樓在地面以上 最多可以蓋 4 層樓 參考數據 :sin8ª0.39 cos8ª0.9903 tan8ª0.405 解析設大樓高度 h 公尺 tanqtan8 且 tanq= h 3000 h 3000 tan8y0.405 h4.5 4.5u5y84( 層 ) 6 單元六 : 的 n 次方根 重點整理 : 的 n 次方根 : 設 z n =, 則 z k =cos kp n kp +i sin n,k=0,,,,(n-) 稱 z k 為 的 n 次方根, 此 n 個 n 次方根恰為複數平面上以原點為圓心, 以 為半 徑之圓的內接正 n 邊形之 n 個頂點 設 w=cos p n +i sin p n 為 的虛 n 次方根, 則 w n = 的 n 次方根為,w,w,w 3,,w n- 3 z n - =(z-)(z-w)(z-w ) (z-w n- ) =(z-)(z n- +z n- + +z+) 4 +w+w + +w n- =0 例題一 93 指考甲, 單選題. 設方程式 x 5 = 的五個根為,w,w,w 3,w 4, 則 (3-w )(3-w )(3-w 3 ) (3-w 4 )=? 8 6 3 4 4
0 96 5 年指考大搜祕 解析 x 5 - =(x-)(x-w )(x-w )(x-w 3 )(x-w 4 ) =(x-)(x 4 +x 3 +x +x+) 令 x=3 J 3 4 +3 3 +3 +3+=(3-w )(3-w )(3-w 3 )(3-w 4 ) (3-w )(3-w )(3-w 3 )(3-w 4 )= 6 單元七 : 平面與空間向量 重點整理 : 向量表示法 : 平面 :A(x 4y ),B(x 4y ) 向量 AB=@AB=(x -x 4y -y ) 空間 :A(x 4y 4z ),B(x 4y 4z ) 性質 : 向量 AB=@AB=(x -x 4y -y 4z -z ) 若 @AB =(a 4b 4c ),@AC =(a 4b 4c ),q 為二向量夾角, 則 : @AB @AC = @AB @AC cosq=a a +b b +c c 當 @AB,@AC 為非零向量, 則 @AB 0 @AC l @AB @AC =0 3 ABC 面積 = @AB *@AC 例題一 = b c + c a + a b b c c a a b = A S@ASBS @AC S -(@AB @ACS )S 註 : 空間中, 三角形面積亦可使用海龍公式 94 指考乙, 選填題 A. 如圖所示, 設一正立方體的中心為 O, 而 A,B 為此正立方體同一面 上的兩個對頂點, 則 cosqaob=4 ( 以最簡分數表示 ) 解析將立體圖形坐標化 : 令 P(04040), 正立方體邊長,%PR %PQ,%PA 分別為 x,y,z 軸 則 O(44),A(0404),B(44) 設 qaob=q 由 @OA @OB= @OA @OB cosq J(-4-4),(44)=Q3 Q3 cosq J -=3 cosq J cosq=- 3 cosqaob=- 3
數學考科 6 單元八 : 空間中之直線與平面 重點整理 : 表示法 : 平面上的直線 l:ax+by=c, 法向量!n=(a,b) 空間中的平面 E:ax+by+cz=d, 法向量!n=(a4b4c) 3 空間中的直線 L: 對稱比例式 : 例題一 x-x 0 a = y-y 0 b = z-z 0 c L 過 (x 0 4y 0 4z 0 ), 方向向量!d=(a4b4c) 參數式 :! x=at+x 0 # y=bt+y 0,tjR % z=ct+z 0 L 過 (x 0 4y 0 4z 0 ), 方向向量!d=(a4b4c) 3 二面式 :!E :a x+b y+c z=d # % E :a x+b y+c z=d, L 為 E,E 交線, 方向向量!d=(b c -b c 4c a -a c 4a b -a b ) 93 指考乙, 選填題 D. 李探長為了找尋槍手的可能發射位置, 他設定一空間坐標, 先從 (0404) 朝向 (54843) 發射一固定雷射光束, 接著又從點 (0474a) 沿平行於 x 軸方向發射另 一雷射光束, 試問當 a 為何值時, 兩雷射光束會相交? 答 :a=4 解析 設固定雷射光束之直線方程式 L,L 過 (0404) 且方向向量!d =(5-048-043-)=(5484) J L : x 5 = y 8 = z- 另一雷射光束 L 過 (0474a), 又因 L 平行 x 軸, 故方向向量!d =(4040)! x= t+0=t J L :# y=0 t+7=7 % z=0 t+a=a 3 為求 L L 交點, 將 L 上點 (t474a) 代入 L J t 5 = 7 8 =a- J a= 3 8 答 : 3 8
96 5 年指考大搜祕 6 單元九 : 行列式 重點整理 : 三元一次方程式與行列式 ( 克拉瑪公式 )! E :a x+b y+c z=d 在 # E :a x+b y+c z=d 中, % E 3:a 3 x+b 3 y+c 3 z=d 3 a b c 令 = a b c, a 3 b 3 c 3 d b c x= d b c, d 3 b 3 c 3 a d c y= a d c, a 3 d 3 c 3 a b d z= a b d, a 3 b 3 d 3 則 : 若 m0 J(x4y4z)=( x 4 y 4 z )J 恰有一解 若 =0, 而 x + y + z m0 J 無解 3 若 =0, 而 x = y = z =0 J 無限多解或無解 結論 : 三元一次方程式 無解 J =0 無限多解 J = x = y = z =0 例題一 93 指考 ( 敏督利 ) 乙, 選填題 B. 設 k 為一實數, 若坐標空間中四個平面 E :x+y+3z= E :x+3y-z=3 E 3 :5x+7y+z=7 E 4 :x+y-kz= 恰交於一直線, 則 k=4 解析 E,E,E 4 交於一線 E,E,E 4 之解集合為無限多解 J =0 3 J 3 - =0 -k J -3k-+-9-(-)-(-k)=0 J -k+4=0 J k=4 答 :4
數學考科 3 6 單元十 : 圓與球面重點整理 : 表示法 : 圓 (x-a) +(y-b) =r, 圓心 (a4b), 半徑 r 球 (x-a) +(y-b) +(z-c) =r, 球心 (a4b4c), 半徑 r 球心 (a4b4c) 在 xy 平面上投影點 (a4b40) xz 平面上投影點 (a404c) 3 yz 平面上投影點 (04b4c) 例題一 95 指考甲, 選填題 B. 在坐標空間中, 球面 S 交 xy 平面於一半徑為 QW3 圓心為(4340) 的圓, 且 S 通過點 (64646), 則 S 的半徑為 4 解析如右圖 球面 S 交 xy 平面於一圓 圓心 H(4340) 為球面 S 之球心 O 在 xy 平面之投影點設 O(434z) 且 #OH= z,a(64646), 球面 S 之半徑 r 為 #OA=#OB=r J #OA=A(-6) +(S3-6) +(z-6) =#OB=A z S+#HB ( 其中 #HB 為交圓半徑 =QW3) 兩邊平方 :5+(z-6) =z +3 J z=4 J r=a4 S+S3=QW9 答 :QW9 6 單元十一 : 圓錐曲線重點整理 : 二元二次方程式 Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0 之圖形稱為 二次曲線, 其中 圓 拋物線 橢圓 雙曲線 稱為 非退化二次曲線 圓錐曲線定義 : 拋物線 : 設 F 為定點,L 為直線,FjL,G={P #PF=d(P,L)} 稱為拋物線,L 稱為準線,F 稱為焦點 橢圓 :F,F8 為相異二點,a 為正數,G={P #PF+#PF8=a}, 則 a>#ff8 時為一橢圓,F,F8 稱為其二焦點 3 雙曲線 : 設 F F8 為二相異點,a 為正數,G={P #PF-#PF8 =a}, 則 a<#ff8 時為一雙曲線,F,F8 稱為其二焦點
4 96 5 年指考大搜祕 3 圓錐曲線之標準式 : 拋物線之標準式 開口左右之拋物線 : (y-k) =4c(x-h)!c>0 開口向右 # % c<0 開口向左其中頂點 (h,k) 焦點 (h+c,k) 準線 x-h=-c ( 對稱 ) 軸 y-k=0 開口上下之拋物線 : (x-h) =4c(y-k)!c>0, 開口向上 # % c<0, 開口向下其中頂點 (h4k) 焦點 (h4k+c) 準線 y-k=-c 橢圓之標準式 : ( 對稱 ) 軸 :x-h=0 (x-h) 方程式 + (y-k) =,a>b>0, 則 : a b (i) c =a -b (ii) 長軸 #AA8 的長為 a, 短軸 #BB8 的長為 b (iii) 中心為 (h,k) (iv) 焦點為 (hrc,k) (v) 對稱軸為 x-h=0,y-k=0 (vi) 正焦弦長為 b a (x-h) 方程式 + (y-k) =,a>b>0, 則 : b a (i) c =a -b (ii) 長軸 #BB8 的長為 a, 短軸 #AA8 的長為 b (iii) 中心為 (h4k) (iv) 焦點為 (h4krc) (v) 對稱軸為 x-h=0,y-k=0 (vi) 正焦弦長為 b a
數學考科 5 3 雙曲線之標準式 : x a - y b =(a>04b>0) c =a +b, 中心 (0,0), 焦點 (rc40), 貫軸 y=0(x 軸 ), 共軛軸 x=0(y 軸 ), 漸近線 bxray=0, 正焦弦長 b a y a - x b =(a>04b>0), c =a +b, 中心 (040), 焦點 (04rc), 貫軸 x=0(y 軸 ), 共軛軸 y=0(x 軸 ), 漸近線 :byrax=0, 正焦弦長 b a 4 以轉軸方式簡化方程式 ax +bxy+cy =d 為 a8x8 +c8y8 =d 轉軸角 q 滿足 cotq= a-c b 特別是當 a=c 時,q=45!a8+c8=a+c 由 # % a8-c8=rab +(Sa-c),( 正 負號依 b 之正 負號而取 ) J 可得 a8,c8 例題一 93 指考甲, 計算題二. 設 k 為一常數 已知一拋物線通過點 (40), 且焦點為 (4), 準線為 kx+y+=0, 求此拋物線頂點的坐標 解析 令 A(40), 焦點為 F(4), 準線為 L:kx+y+=0 因 A 在拋物線上, 由拋物線定義 :#AF=d(A4L) J A(-) S+(0-) = k+ Ak S+S J k= J L:x+y+=0 再令此拋物線之對稱軸為 M, 則 : M 過頂點 V(a4b) 及 F(4) M 0 L J M:x-y+3=0
6 96 5 年指考大搜祕 3 設 M L 交點 P, 則 P(-4) 所求 V(a4b) 為 P4F 中點 (04 3 ) 答 :(04 3 ) 例題二 94 指考甲, 計算題二. 平面上有一橢圓, 已知其焦點為 (040) 和 (444), 且 y=x+q 為此橢圓的切 線 求此橢圓的半長軸長 設此橢圓方程式為 Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey=, 求 A B C D E 之值 解析! F (040) 如圖, 設焦點 # 切線 L % F (444) 因長軸 ( 二焦點 F,F 所在直線 ) 斜率為 例題三 且切線斜率亦為 J 切線 // 長軸 則中心 (4) 與切線 L 之距 = +Q- A S+S ==b= 半短軸長 又 #F F =4Q=c J a=ab S+Sc =3 依橢圓定義 : 令 P 為橢圓上一點 (x4y), 則 #PF +#PF =a=6 J A(x-0) S+(y-0) +A(x-4) S+(y-4) =6 J 5x -8xy+5y -4x-4y= A=5,b=-8,C=5,D=-4,E=-4 93 指考甲 ( 敏智利 ), 單選題. 答 : 半長軸長 3 A=5,B=-8,C=5,D=-4,E=-4 坐標平面上 x +xy+y = 的圖形和 4xy= 的圖形的關係是 : A 相離 B 交於一點 C 交於兩點 D 交於四點 解析一 : 代數解法 4xy= J y= 4x, 代入 x +xy+y = J x +x 4x +( 4x ) = J 6x 4 -x +=0 J x = rq8w0 ( 二根均正 ) 3 J x 有 4 實數解 J 二圖形有四交點 答 :C
數學考科 7 解析二 : 幾何解法 由 轉軸方式 消去 x +xy+y = 4xy= 之 xy 項 cotq= - =0 q=45!a8+c8=+= 且 # % a8-c8=+a +(S-) = J 3 x8 + y8 = J 軸轉 45 後 G : x8 y8 (Z + (Q) = 3 )!a8= 3 J# % c8= cotq= 0-0 4 =0 q=45!a8+c8=0+0=0 且 # % a8-c8=+a4 S+S0 =4! J# a8= % c8=- J x8 -y8 = J 軸轉 45 後 G := x8 (Z - ) 由 G G 之圖知有 4 交點 6 單元十二 : 排列組合 重點整理 : y8 (Z ) = P n m : 表自 m 個不同物選出 n 個排順序之方法數 P n m =m(m-)(m-) (m-n+) = m! (m-n)! n 個 C n m : 表自 m 個不同事物, 每次取 n 個為 組 ( 每一組稱為一種組合數 ) 之組合總 數 C m n = P m n n = m! (m-n)!
8 96 5 年指考大搜祕 3 環狀排列 : 例題一 m 個不同物全取之環狀排列數 : P m m m = m! m =(m-)! m 個不同物取 n 個之環狀排列數 : P m n n 9 指考乙, 選填題 D. 因乾旱水源不足自來水公司計畫在下週一至週日的 7 天中選擇 天停止供水 若要求 停水的兩天不相連, 則自來水公司共有多少種選擇方式? 答 :4 種 解析週一至週日連 天停水情形有 6 種 例題二 所求 =( 全部情形 )-( 連二天停水之情形 ) =C 7-6 =5 答 :5 95 指考乙, 選填題 C. 如右圖所示, 某摩天輪等分為 6 個全等區域 為了夜間的燈光造 景,6 個區域分別採用不同顏色的燈光裝飾 若有 7 種不同顏色 的燈光可供使用, 則此摩天輪正面的夜間燈光造景共有 4 種不同的顏色排列方式 解析從 7 種顏色挑 6 種出來 做環狀排列之情形數 情形 星期 一二三四五六曰 ˇ ˇ ˇ ˇ 3 ˇ ˇ 4 ˇ ˇ 5 ˇ ˇ 6 ˇ ˇ = P 7 6 6 = 7*6*5*4*3* =840 答 :840 6 6 單元十三 : 機率與統計 重點整理 : 古典機率 : 設 S 為有 n 個樣本的樣本空間, 設其中各事件出現機會均等, 若 AgS 為一事件, 則事件 A 發生的機率為 A 之元素個數與 n 之比 記為 P(A)= n(a) n(s) = n(a) n (n(a): 表 A 之元素個數 ) 資料的中位數 : 將此筆資料由小而大排序後居中之該數稱之 3 樣本標準差 : 意義 : 用於觀察各數對於資料平均值 x 的分散程度, 對於同單位之資料而言, 標準差數值愈大表示愈分散 公式 :S= S(x i-x) n- = S(x i )-n x n- ( 設共 n 筆資料 )
數學考科 9 4 設資料 x i 之算術平均數為 x, 樣本標準差為 S x 設資料 y i 之算術平均數為 y, 樣本標準差為 S y 當二筆資料有 y i =ax i +b 之線性關係時, 則 : y=a x+b S y = a S x 5 最小平方法及最佳 ( 迴歸 ) 直線 : 把二筆資料 (x i 4y i ) 一一標示於坐標平面上 ( 如圖 ), 可找出最佳直線 L: y=ax+b 使圖中 n 段鉛直線段之長度平方和最小 利用此法找出 L 之方法稱為最小平方法 例題一 93 指考乙, 選填題 C. 阿貴和 阿美及其他 8 名同學共 0 名學生輪到本週擔任值日生 本週,5 個上課日每天 從尚未當過的同學中抽籤選出 位輪值 則 阿貴和 阿美同一天擔任值日生的機率為 4 ( 以最簡分數表示 ) 解析 阿貴 阿美同一組之機率 = C 0 = 45 二人有星期一或星期二或星期三或星期四或星期五, 5 種同一天擔任值日生之機會 3 所求 = 45 *5= 9 答 : 9
0 96 5 年指考大搜祕 例題二 9 指考甲, 多選題 8. 空氣品質會受到汙染物排放量及大氣擴散等因素的影響 某一機構為瞭解一特定地區的空氣品質, 連續二十八天蒐集了該地區早上的平均風速及空氣中某特定氧化物的最大濃度 再繪製這二十八筆資料的散布圖 ( 見右圖 ), 現根據該圖, 可知 : A 此筆資料中, 該氧化物最大濃度的標準差大於 5 B 此筆資料中, 該氧化物最大濃度的中位數為 5 C 此筆資料中, 平均風速的中位數介於 45 與 50 間 D 若以最小平方法決定數據集中直線趨勢的直線, 則該直線的斜率小於 0 解析 觀察資料知每日氧化物最大濃度平均值為 5 左右 而 S= 8 S i= 由於 5x i 5 (x i -x) 8- J -0x i -50 J 0(x i -5) 00 y 8 S i= (x i -5) 7 Sy 8 S i= (x i -5) 7 00+00+ +00 7 = 800 7 y0 由小而大細數氧化物最大濃度之第 5 筆資料 ( 中位數 ) 為 5 3 由小而大細數平均風速之第 5 筆資料確實介於 45 50 間 4 視資料的集中程度略呈左上右下之直線, 故斜率 m 應小於 0 6 單元十四 : 線性規劃 重點整理 : 線性規畫 : 若一個應用問題涉及兩變量 x,y, 且 x 與 y 受到幾個二元一次不等式的限制, 又 k
數學考科 是一個 x 與 y 的一次函數, 則求 k 的最大值或最小值的問題就稱為線性規畫 上述二元一次不等式組所成的圖形稱為 可行解區域 上述二元一次函數 k 稱為 目標函數 3 產生 k 的最大值或最小值會發生在可行解區域的頂點, 所以只要檢查各頂點的 k 值, 即可得 k 的最大值與最小值 ( 若 x y 為整數解, 則須同時檢查頂點附 近之格子點 ) 線性規畫應用題的解法 : 設兩變數 x,y, 依題意列出不等式組與目標函數 畫出不等式組區域之圖形 3 求出不等式組圖形的頂點 4 將各頂點之坐標分別代入目標函數, 所得諸值中最大者為最大值, 最小者為最 小值 例題一 9 指考乙, 計算證明題二. 某歌唱訓練班根據以往的經驗得知 : 每花 0 萬元在報章雜誌上替歌手打廣告可以提 升歌手的形象指數 5 點, 知名度指數 0 點 ; 反之, 若是在電臺上, 同樣花 0 萬元替 歌手打廣告, 則可以提升歌手的形象指數 6 點, 知名度指數 4 點 根據市場調查發現成為名歌星的形象指數至少 60 點, 知名度指數亦至少 60 點, 而 且綜合指數 ( 形象指數與知名度指數的和 ) 至少 360 點 試問 : 歌唱訓練班要讓一位 新歌手 ( 假設其形象指數與知名度指數皆為 0) 成為名歌星至少應該花多少廣告費? 這些廣告費報章報誌與電臺應各分配多少, 效果最好 ( 請在坐標平面上畫圖求解 ) 解析假設需報章雜誌 0x 萬元, 電臺 0y 萬元! 5x+6y360 J# 0x+4y360 5x+0y3360 % x,y30 目標函數 :0x+0y 最小值 (0,40) 400 (4,30) 340 (4,5) 90 最小值 (3,0) 30 報章雜誌 40 萬元, 電臺 50 萬元效果最佳
96 5 年指考大搜祕 6 單元十五 : 矩陣 ( 題組 ) 例題一 93 指考甲題組 (6~8 為題組 ) 使用圓球和球袋作機率實驗 球只有黑白兩色, 袋中裝有兩顆球, 因此只有三種可能情況 : 把雙白球稱為狀態, 一白球一黑球稱為狀態, 雙黑球稱為狀態 3 對這袋球做如下操作 : 自袋中隨機移走一球後, 再隨機移入一顆白球或黑球 ( 移入白球或黑球的機率相等 ) 每次操作可能會改變袋中球的狀態 6 ( 單選題 ) 如果現在袋子內的球是一白一黑 ( 即狀態 ), 請問經過一次操作後, 袋中會變成兩顆黑球 ( 狀態 3) 的機率是多少? 3 4 4 3 3 解析 P= * = 4 把從狀態 j 經過一次操作後會變成狀態 i 的機率記為 p ij ( 例如上題的機率就是 p 3 ), 由此構成一 3*3 矩陣 P 7 ( 多選題 ) 針對矩陣 P, 下列選項有哪些是正確的? 矩陣 P 滿足 p ij =p ji P 是轉移矩陣 ( 即每行之和皆為 ) 3 P 的行列式值為正 4 p =p 33 解析 P =* =, P =* =, P 3=0 P = * = 4, P = * + * =, P 3= * = 4 P 3 =0, P 3 =* =, P 33=* = P= 0 4 4 p ij np ji ( P np ) 0 P 的每行之和皆為, 8-6 - 6 =0 P 為轉移矩陣 detd=0 選 4 把矩陣 P 連續自乘 k 次後的矩陣記為 P k 已知矩陣 P k 中 (i4j) 位置的值, 等
數學考科 3 於從狀態 j 經過 k 次操作後, 變成狀態 i 的機率 8 ( 多選題 ) 針對多次操作, 下列選項有哪些是正確的? 從一白一黑 ( 狀態 ) 開始, 經過 k 次操作後, 變成雙白 ( 狀態 ) 的機率與變成雙黑 ( 狀態 3) 的機率相等 從雙白 ( 狀態 ) 開始, 經過 k 次操作後, 回到雙白 ( 狀態 ) 的機率, 比變成雙黑 ( 狀態 3) 的機率大 3 從雙白 ( 狀態 ) 開始, 經過 k 次操作後, 回到雙白 ( 狀態 ) 的機率, 會隨著次數 k 的增加而遞減 4 不論從哪種狀態開始, 經過 k 次操作後, 變成任何一種狀態的機率, 會隨著 k 趨近於無窮大而趨近於 3 解析 4 0 4 0 3 8 4 8 P = = 0 4 0 4 8 4 3 8 5 3 6-4 6 P 3 =P P= 3 5 6 4 6 9 7 3 4 3 P 4 =P 3 P= 7-9 3 4 3 k- + k+ 4 k- - k+ P k = "kjn k- - k+ 4 k- + k+
4 96 5 年指考大搜祕 P k 3=a 3 = 4 =Pk =a,"kjn P= k k- + >P3= k k- - k+ k+ 3 P k =a = k- + k+ J ( 第 k 次操作 )-( 第 k+ 次操作 ) = k- + - k + k+ k+ = k +- k - = k+ k+ >0 ( 第 k 次操作 )>( 第 k+ 次操作 4 a =a =a 3 =,a =a 3 = 4 a =a 33 = k- + k+ J lim k 9 a = 4 n 3 選擇 3 6 單元十六 : 微分 重點整理 : 導數之幾何意義 : 設 P(a4f(a)) 為 y=f(x) 上一點, 以 P 為切點之切線斜率為 f 8(a) 函數 f(x) 之極值出現於 f 8(a)=0 之點 a f(x) 不可微分之點 3 f(x) 之定義域的端點 3 函數 f(x) 之極值判斷 : 若 f 8(a)=0 且 f 8(a - )>0,f 8(a + )<0, 則 x=a 處有極大值 f(a) 若 f 8(a)=0 且 f 8(a - )<0,f 8(a + )>0, 則 x=a 處有極小值 f(a) 例題一 9 指考甲, 計算證明題二. m 為實數, 已知四次方程式 3x 4-4mx 3 +=0 無實根, 求 m 的範圍
數學考科 5 解析令 f(x)=3x 4-4mx 3 + 則 f 8(x)=x 3 -mx =x (x-m) 當 x>m f 8(x)>0 即 f 8(m + )>0 當 x<m f 8(x)<0 即 f 8(m - )<0 J 當 x=m 時 (f 8(m)=0) f(x) 有最小值 -m 4 + ( x=0 不在 f(x) 上, 故無其它點使 f(x) 有極值 極小值 = 最小值 ) 又因 f(x)=0 無實根 J y=f(x) 與 x 軸無交點 且 f(x) 有 e 最小值 -m 4 + f(x) 必恆大於 0 J -m 4 +>0 J m 4 < J -<m< 例題二 95 指考甲, 計算證明題二. 答 :-<m< 傳說中 3 孫悟空的 如意金箍棒 是由 定海神針 變形得來的 這定海神針在變形時 永遠保持為圓柱體, 其底圓半徑原為 公分且以每秒 公分的等速率縮短, 而長度 以每秒 0 公分的等速率增長 已知神針之底圓半徑只能從 公分縮到 4 公分為止, 且知在這段變形過程中, 當底圓半徑為 0 公分時其體積最大 試問神針在變形開始幾秒時其體積最大? 試求定海神針原來的長度 3 假設 3 孫悟空將神針體積最小時定形成金箍棒, 試求金箍棒的長度 解析 設 t 秒後體積 v 最大 (0t8) -t=0 J t= 設原長度 x 公分 體積 v =f(t) =p(-t) (x+0t) =p(t -4t+44)(0t+x) =p 0t 3 +(x-480)t +(800-4x)t+44x 則 f 8(t)=p 60t +(x-480)t+(800-4x) 又因 t= 時,v=f() 為最大 J f 8()=0 J p 60 +(x-480) +(800-4x) =0 J x=60 3 x=60 代入 f 8(t) J f 8(t)=60p(t-)(t-) 使 f 8(t)=0 之點為 t=,, 但 t= 未在 0t8 範圍內, 不合 故 v=f(t) 之極值僅出現於 t= 及端點 t=0,8 之處
6 96 5 年指考大搜祕 t 0 8 f 8(t) + + 0 - - f(t) 8640p 0000p 350p 則當 t=8 時,f(t) 有最小值 350p 此時金箍棒長度為 60+0*8=0cm 答 : 秒時 ; 原長度 60cm;3 0cm 例題三 93 指考甲, 多選題 5. 已知整係數多項式 f(x) 滿足 f()=f(4)=f(6)=0, 而且除了 x=,4,6 之外,f(x) 的函數值恆正, 下列選項有哪些必定是正確的? f(x) 的次數至少為 6 f(x) 的次數為奇數 3 f() 為奇數 4 f 8(4)=0 解析 f(x)jz(x) 且 f(x)30, 且 f()=f(4)=f(6)=0 故 y=f(x) 之圖形與 x 軸相切, 切點為 (40)(440)(640) 即 f(x)=0 在 x=,4,6 時有重根 令 f(x)=(x-) (x-4) (x-6) Q(x) degf(x)36 令 f(x)=(x-) (x-4) (x-6) 為偶數次 3 f()=*3*5q() 為 5 的倍數, 不見得為奇數 4 f(x)=(x-) (x-4) (x-6) Q(x) 且 f(4)=0 f 8(4)= lim x 4 = lim x 4 f(x)-f(4) x-4 (x-) (x-4) (x-6) Q(x) =0 x-4 F