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i 概率统计讲义原著 : 何书元课件制作 : 李东风 2015 年秋季学期

目录第一章古典概型和概率空间 3 1.1 试验与事件............................ 3 1.2 古典概型与几何概型....................... 7 1.2.1 古典概型......................... 7 1.2.2 几何概型......................... 14 1.3 概率的公理化和加法公式.................... 15 1.3.1 概率的公理化....................... 15 1.3.2 概率的加法公式...................... 17 1.3.3 概率的连续性....................... 18 1.4 条件概率和乘法公式....................... 18 1.5 事件的独立性........................... 21 1.6 全概率公式与 Bayes 公式.................... 24 1.6.1 全概率公式........................ 24 1.6.2 Bayes 公式........................ 28 1.7 概率与频率............................ 30 第二章随机变量和概率分布 33 2.1 随机变量............................. 33 2.2 离散型随机变量.......................... 35 2.3 连续型随机变量.......................... 43 2.4 概率分布函数........................... 51 2.4.1 概率分布函数....................... 51 2.4.2 常见分布的分布函数................... 54 2.5 随机变量函数的分布....................... 56 第三章随机向量及其分布 61 3.1 随机向量及其联合分布...................... 61 3.2 离散型随机向量及其分布.................... 63 iii

iv 目录 3.3 连续型随机向量及其分布.................... 65 3.4 随机向量函数的分布....................... 72 3.5 极大极小值的分布........................ 78 3.6 条件分布和条件密度....................... 81 第四章数学期望和方差 87 4.1 数学期望............................. 87 4.1.1 数学期望概念....................... 87 4.1.2 常见分布数学期望.................... 91 4.2 数学期望的性质.......................... 94 4.2.1 随机向量函数的数学期望................ 94 4.2.2 数学期望的性质...................... 97 4.3 随机变量的方差.......................... 102 4.4 协方差和相关系数........................ 110 第五章多元正态分布和极限定理 115 5.1 多元正态分布........................... 115 5.2 大数律............................... 118 5.3 中心极限定理........................... 120 第六章描述性统计 125 6.1 总体和参数............................ 125 6.2 抽样调查方法........................... 127 6.3 用样本估计总体分布....................... 135 6.4 众数和中位数........................... 142 6.5 随机对照试验........................... 146 第七章参数估计 153 7.1 点估计和矩估计.......................... 153 7.2 最大似然估计........................... 160 7.2.1 离散型随机变量的情况.................. 160 7.2.2 连续型随机变量的情况.................. 162 7.3 抽样分布及其上 α 分位数.................... 168 7.3.1 抽样分布......................... 168 7.3.2 抽样分布的上 α 分位数................. 174 7.4 正态总体的区间估计....................... 177 7.4.1 已知 σ 时, µ 的置信区间................. 177 7.4.2 未知 σ 时 µ 的置信区间................. 180

目录 v 7.4.3 方差 σ 2 的置信区间................... 182 7.4.4 均值差 µ 1 µ 2 的置信区间............... 184 7.4.5 方差比 σ1/σ 2 2 2 的置信区间................ 185 7.4.6 单侧置信区间....................... 186 7.5 非正态总体和比例 p 的置信区间................ 186 7.5.1 正态逼近法........................ 186 7.5.2 比例 p 的置信区间.................... 188 第八章假设检验 191 8.1 假设检验的概念.......................... 191 8.2 正态均值的假设检验....................... 195 8.2.1 已知 σ 时, µ 的正态检验法............... 195 8.2.2 p 值检验法........................ 197 8.2.3 未知 σ 时, 均值 µ 的 t 检验法.............. 198 8.2.4 未知 σ 时, µ 的单边检验法............... 199 8.2.5 正态近似法........................ 202 8.3 样本量的选择........................... 203 8.4 均值比较的检验.......................... 204 8.4.1 已知 σ1 2, σ2 2 时, µ 1, µ 2 的检验.............. 205 8.4.2 未知 σ1, 2 σ2, 2 但已知 σ1 2 = σ2 2 时, µ 1 µ 2 的检验.... 207 8.4.3 成对数据的假设检验................... 208 8.4.4 未知 σ1, 2 σ2 2 时, µ 1, µ 2 的检验.............. 210 8.5 方差的假设检验.......................... 211 8.6 比例的假设检验.......................... 213 8.6.1 小样本情况下的假设检验................ 213 8.6.2 大样本情况下单个比例的假设检验........... 215 8.6.3 大样本情况下两个总体比例的比较........... 218 8.7 总体分布的假设检验....................... 221 第九章线性回归分析 227 9.1 数据的相关性........................... 227 9.1.1 样本相关系数....................... 228 9.1.2 相关性检验........................ 230 9.2 回归直线............................. 232 9.3 一元线性回归........................... 236 9.3.1 最大似然估计和最小二乘估计.............. 237 9.3.2 平方和分解公式...................... 241

vi 目录 9.3.3 斜率 b 的检验....................... 242 9.3.4 预测的置信区间...................... 243 9.4 多元线性回归........................... 244

目录 1 课程介绍介绍掌握概率论和数理统计的基本数学知识训练用概率论和数理统计方法对实际问题进行数学建模的能力学会解决常见的统计分析问题是应用型很强的学科参考书教材 : 何书元 : 概率论与数理统计, 高等教育出版社,2006. 陈家鼎刘婉如汪仁官 : 概率统计讲义 ( 第三版 ), 高等教育出版社,2004. 何书元概率论, 北京大学出版社,2005. 李贤平, 概率论基础第三版, 高等教育出版社, 2010; 李贤平, 陈子毅, 概率论基础学习指导书, 高等教育出版社,2011 Sheldon M. Ross, 概率论基础教程 (A First Course in Probability), 人民邮电出版社,2006, 郑忠国詹从赞翻译陈家鼎, 郑忠国, 概率与统计, 北京大学出版社,2007 程士宏, 测度论与概率论基础, 北京大学出版社,2004 Sheldon M. Ross, 应用随机过程概率模型导论 (Introduction to Probability Models), 人民邮电出版社,2011, 龚光鲁翻译陈家鼎孙山泽李东风刘力平, 数理统计学讲义, 高等教育出版社,2006 年 Robert V. Hogg and Allen T. Craig, Introduction to Mathematical Statistics(5th ed.), Prentice Hall, 1995.

2 目录概率论的内容随机事件与概率 ; 随机变量及其概率分布 ; 多维随机变量及其概率分布 ; 随机变量的数字特征 ; 大数定律及中心极限定理数理统计的内容描述统计 ; 参数估计 ; 假设检验 ; 回归分析. 课程安排时间地点 : 周二 ( 双周 )1-2, 周四 3-4, 二教 102 答疑 : 周二上午 10:00 11:30, 理科 1 号楼 1425E 教材 : 何书元 : 概率论与数理统计, 高等教育出版社,2006. 成绩评定 ( 暂定 ): 期末 60 + 作业 20 + 期中 20. 作业 : 每周四交作业, 发上周作业教学要求认真预习 ; 完成作业 ; 自己学习一种统计数据分析软件, 建议学习 R, 见李东风主页

第一章古典概型和概率空间 1.1 试验与事件第一章介绍在考虑一个 ( 未来 ) 事件是否会发生的时候, 人们常关心该事件发生的可能性的大小. 就像用尺子测量物体的长度我们用概率测量一个未来事件发生的可能性大小. 将概率作用于被测事件就得到该事件发生的可能性大小的测量值. 为了介绍概率, 需要先介绍试验和事件. 试验我们把按照一定的想法去作的事情称为随机试验. 随机试验的简称是试验 (experiment). 下面都是试验的例子. 掷一个硬币, 观察是否正面朝上, 掷两枚骰子, 观察掷出的点数之和, 在一副扑克牌中随机抽取两张, 观察是否得到数字相同的一对, 有 7 个运动员参加 100 米短跑比赛, 观测比赛结果的名次排列, 乘电梯从一楼上到 9 楼, 观测电梯一共停了几次 ; 观测放学回家的路上所用的时间 ; 观测航天器发射的成功与否 ; 3

4 第一章古典概型和概率空间观察明天的最高气温 ; 考察某商场在一天内来到的顾客数量 ; 观测下次概率统计课有多少同学迟到. 观察 2003 年爆发的非典型肺炎案例首次下降到零的日期. 在概率论的语言中, 试验还是指对试验的一次观测或试验结果的测量过程. 样本空间投掷一枚硬币, 用 ω + 表示硬币正面朝上, 用 ω 表示硬币反面朝上, 则试验有两个可能的结果 :ω + 和 ω. 我们称 ω + 和 ω 是样本点, 称样本点的集合 Ω = {ω +, ω } 为试验的样本空间. 投掷一枚骰子, 用 1 表示掷出点数 1, 用 2 表示掷出点数 2,, 用 6 表示掷出点数 6. 试验的可能结果是 1, 2, 3, 4, 5, 6. 我们称这 6 个数是试验的样本点. 称样本点的集合 Ω = {ω ω = 1, 2,, 6} 是试验的样本空间. 为了叙述的方便和明确, 下面把一个特定的试验称为试验 S. 样本点 (sample point): 称试验 S 的可能结果为样本点, 用 ω 表示. 样本空间 (sample space): 称试验 S 的样本点构成的集合为样本空间, 用 Ω 表示. 于是 Ω = {ω ω 是试验 S 的样本点 }. 事件投掷一枚骰子的样本空间是 Ω = {ω ω = 1, 2,, 6}. 用集合 A = {3} 表示掷出 3 点, 则 A 是 Ω 的子集. 我们称 A 是事件. 掷出 3 点, 就称事件 A 发生, 否则称事件 A 不发生.

1.1 试验与事件 5 用集合 B = {2, 4, 6} 表示掷出偶数点, B 是 Ω 的子集, 我们也称 B 是事件. 当掷出偶数点, 称事件 B 发生, 否则称事件 B 不发生. 事件 B 发生和掷出偶数点是等价的. 事件 (event): 设 Ω 是试验 S 的样本空间. 当 Ω 中只有有限个样本点时, 称 Ω 的子集为事件. 当试验的样本点 ( 试验结果 ) ω 落在 A 中, 称事件 A 发生, 否则称 A 不发生. 按照上述约定, 子集符号 A Ω 表示 A 是事件. 通常用大写字母 A, B, C, D 或 A 1, A 2,, B 1, B 2, 等表示事件. 用 A = Ω A 表示集合 A 的余集. 则事件 A 发生和样本点 ω A 是等价的, 事件 A 不发生和样本点 ω A 是等价的. 空集 ϕ 是 Ω 的子集. 由于 ϕ 中没有样本点, 永远不会发生, 所以称 ϕ 是不可能事件. Ω 也是样本空间 Ω 的子集, 包含了所有的样本点, 因而总会发生. 我们称 Ω 是必然事件. 例 1.1: 投掷两枚硬币投掷两枚硬币, 写出试验的样本点和样本空间. 解用 H(head) 表示硬币正面朝上, 用 T(tail) 表示硬币反面朝上, 试验一共有 4 个样本点, 他们是 HH HT TH TT 样本空间是 Ω = {HH, HT, TH, TT}. 注意, HT 和 TH 是不同的样本点. 例 1.2: 播音员选择例 1.2 某电视台要招聘播音员, 现在有三位符合条件的女士和两位符合条件的男士前来应聘. (1) 写出招聘男女播音员各一名的样本空间和样本点,

6 第一章古典概型和概率空间 (2) 写出招聘两名播音员的样本空间 Ω 和事件 A= 招聘到两名女士. 解本试验是招聘播音员. 用 W 1, W 2, W 3 分别表示第 1,2,3 位女士, 用 M 1,M 2 分别表示第 1,2 位男士. 用 W 1 M 1 表示招聘到第 1 位女士和第 1 位男士, 用 W 1 M 2 表示招聘到第 1 位女士和第 2 位男士,. (1) 招聘男女播音员各一名时, 样本空间是 Ω = { W 1 M 1, W 1 M 2, W 2 M 1, W 2 M 2, W 3 M 1, W 3 M 2 }. Ω 中的元素是样本点. (2) 招聘两名播音员时, 样本空间是 Ω = { W 1 W 2, W 1 W 3, W 2 W 3, W 1 M 1, W 1 M 2, W 2 M 1, W 2 M 2, W 3 M 1, W 3 M 2, M 1 M 2 }. 招聘到两名女士的事件 A = { W 1 W 2, W 1 W 3, W 2 W 3 }. 事件与集合当 A, B 都是事件, 则 A B, A B, A B = A B 都是事件. 也就是说事件经过集合运算得到的结果还是事件.( 图示 ) 我们也用 AB 表示 A B. 当 AB = ϕ 时, 也用 A + B 表示 A B. 当事件 AB = ϕ, 称事件 A, B 不相容. 特别称 A 为 A 的对立事件或逆事件. 如果多个事件 A 1, A 2,... 两两不相容 : A i A j = ϕ, i j, 就称他们互不相容. 注意, 互不相容与后面要讲到的独立是完全不同的概念从以上的叙述看出, 从集合角度看, 样本空间 Ω 是由试验 S 的可能结果构成的全集, 样本点 ω 就是 Ω 的元素, 事件 A 就是 Ω 的子集. 事件的运算符号和集合的运算符号也是相同的, 例如 :

1.2 古典概型与几何概型 7 (1) A = B 表示事件 A, B 相等, (2) A B 发生等价于至少 A, B 之一发生, (3) A B ( 或 AB) 发生等价于 A 和 B 都发生, (4) n j=1a j 发生表示至少有一个 A j (1 j n) 发生, j=1a j 发生表示至少有一个 A j (j = 1, 2, ) 发生, (5) n j=1a j 发生表示所有的 A j (1 j n) 都发生. j=1a j 发生表示所有的 A j (j = 1, 2, ) 都发生. 事件的运算事件的运算公式就是集合的运算公式, 例如 1 : 1. A B = B A, A B = B A, 2. A (B C) = A B C, A (B C) = A B C, 3. A(B C) = (AB) (AC), A (B C) = (A B) (A C), 4. A B = A + AB, A = AB + AB, 5. 对偶公式 : A B = Ā B, A B = Ā B, 进而有 j=1 A = j j=1 A j. 其中的公式 4 和 5 是值得牢记的. j=1 A j = j=1 A j, 1.2.1 古典概型古典概率模型 1.2 古典概型与几何概型设 Ω 是试验 S 的样本空间. 对于 Ω 的事件 A, 我们用 P (A) 表示 A 发生的可能性的大小, 称 P (A) 是事件 A 发生的概率, 简称为 A 的概率. 概率是介于 0 和 1 之间的数, 描述事件发生的可能性的大小. 按照以上原则, 如果事件 A, B 发生的可能性相同, 则有 P (A) = P (B). 如果事件 A 发生的可能性比 B 发生的可能性大 2 倍, 则有 P (A) = 2P (B). 1 图示讲解

8 第一章古典概型和概率空间用 # A, # Ω 分别表示事件 A 和样本空间 Ω 中样本点的个数. 定义 2.1 设试验 S 的样本空间 Ω 是有限集合, A Ω. 如果 Ω 的每个样本点发生的可能性相同, 则称 P (A) = # A # Ω (2.1) 为试验 S 下 A 发生的概率, 简称为事件 A 的概率. 能够用定义 2.1 描述的模型称为古典概率模型, 简称为古典概型. 概率的性质因为 # A 0, 当 AB = ϕ 时, # (A + B) = # A + # B, 所以从定义 (2.1) 可以得到概率 P 的以下性质 : (1) P (A) 0, (2) P (Ω) = 1, (3) 如果 A, B 不相容, 则 P (A + B) = P (A) + P (B). 从以上的性质再得到 (4) 如果 A 1, A 2,, A n 互不相容, 则 P (A 1 + A 2 + + A n ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + + P (A n ), (5) P (ϕ) = 0, P (A) + P (A) = 1, P (A) = P (AB) + P (AB). 实际上, 我们由 (3) 得到 P (ϕ) + P (Ω) = P (Ω), 于是 P (ϕ) = 0, 由 A + A = Ω 和 (3) 得到 P (A) + P (A) = 1, 由 AB + AB = A 和 (3) 得到 P (A) = P (AB) + P (AB). 利用古典概型计算概率列出样本空间所有样本点, 一定注意这些样本点应该是可能性完全相同的 ; 计算样本空间样本点个数 ; 计算事件 A 样本点个数 ; 用公式 (2.1) 计算 P (A)

1.2 古典概型与几何概型 9 例 2.1 以下的例子中任取随机抽取都是指等可能的抽取假设硬币骰子等是均匀的掷一个均匀的硬币, 用 A 表示正面朝上. # Ω =2 # A =1 P (A) =1/2 例 2.2 掷一个均匀的骰子, 用 A 表示掷出奇数, B 表示掷出 5. # Ω = 6, # A = 3, # B = 1 P (A) = 3 6, P (B) = 1 6. 古典概型中的常用计数加法原理如果一个问题的做法分为两类, 第一类有 n 种方法, 第二类有 m 种方法, 这两类没有重叠而且仅有此两类, 则问题的做法共有 n + m 种多类的情况类似例选班长时, 可以从 15 个男生中选一个, 也可以从 10 个女生中选一个, 那么一共有 15 + 10 = 25 种选法古典概型中的常用计数乘法原理如果一个问题要两步完成, 第一步有 n 种做法, 第二步有 m 种做法, 则问题有 nm 种做法多步的情况类似例要选一个男生班长和一个女生班长组成领导核心, 男生 15 人, 女生 10 人, 则问题的做法有 15 10 = 150 种做法

10 第一章古典概型和概率空间古典概型中常用计数有重复的排列数从 n 个不同元素中有放回地每次随机抽取一个, 共抽取 m 次, 有序地记录结果, 共有 n m 种等可能的不同结果例掷骰子 3 次, 记录每次结果, 结果一共有 6 6 6 = 6 3 种例从 52 张扑克牌中随机有放回地抽取并记录 3 次, 结果共有 52 3 种古典概型中常用计数排列数从 n 个不同元素中无放回地每次随机抽取一个, 共抽取 m 次 (m n), 有序地记录结果, 共有种等可能的不同结果 A m n = n(n 1)... (n m + 1) = n! (n m)! A m n 在有的教材中记为 P m n 例从 52 张扑克牌中随机无放回地抽取 3 张, 记录每次结果, 结果有 52 51 50 = A 3 52 种古典概型中常用计数组合数从 n 个不同元素中无放回地每次抽取一个, 共抽取 m 次 (m n), 不计次序地记录结果 ( 只要元素相同, 不管次序是否相同都算是相同结果 ), 共有 C m n = n(n 1)... (n m + 1) m! = n! m!(n m)! 种等可能的不同结果例从一副扑克牌的 4 张 A 中随机无放回抽取 2 张组成一手牌, 不计次序有 C 2 4 = 4 3/2 = 6 种结果分别为

1.2 古典概型与几何概型 11 古典概型中常用计数分组方式数将 n 个不同元素分成有序号的 k 组, 要求第 i 组恰好有 n i 个元素 (i = 1, 2,..., k), 分组结果中同组的元素不考虑次序则这样分组的所有不同分法个数为 ( ) n = n 1, n 2,..., n k 当随机分组时, 这些分法是等可能的 n! n 1!n 2!... n k!. 随机分组的方法是 n 个元素随机排列 (n! 种排法 ), 然后前 n 1 个不计次序地归入 i = 1 组, 后续 n 2 个不计次序地归入 i = 2 组, 以此类推例 10 个学生分成 A, B, C 三个组, 分别有 3 3 4 人, 组内不计次序分组方式个数为 10! 3!3!4! ( ) 10 = 3, 3, 4 古典概型中常用计数可重复分组数从 n 个不同的球中有放回地每次抽取一个, 共抽取 m 次, 结果不计次序共有 C m n+m 1 种不同的组合参考 : 何书元概率论 1.2 用 0 和 1 组成的序列表示一个结果用 n 1 个 1 分隔出 n 个组,1 表示组边界这 n 个组是结果排序后球号 1, 2,..., n 的组每组内有若干个 0 表示该组个数, 如果出现 11 则该组没有球, 把 m 个 0 分配到各个组中这样, 用长度为 n + m 1 的 0-1 向量表示一个结果, 结果个数为 C n 1 n+m 1( 从 n + m 1 个二进制位中选择 1 的位置, 即边界的位置 ) 可重复分组数在随机分组时一般不是等可能的例如, 从红白两个球中有放回地抽取 2 次, 计数这 2 次红球白球个数

12 第一章古典概型和概率空间共有 ( 红 0, 白 2), ( 红 1, 白 1), ( 红 2, 白 0) 三种结果, 即 C 2 2+2 1 = 3 中结果随机抽取时 ( 红 1, 白 1) 概率为 1 2, ( 红 0, 白 2) 和 ( 红 2, 白 0) 的概率都是 1 4 例 2.3 例 2.3 掷两个骰子, 用 A 表示点数之和为 7. 计算 P (A). 解用 (i, j) 表示第一个骰子的点数是 i, 第二个骰子的点数是 j. 则 Ω = {(i, j) i, j = 1, 2,, 6}, A = {(i, j) i + j = 7, i, j = 1, 2,, 6}. Ω 中的样本点具有等可能性. 由 # Ω = 6 2, # A = 6 知道 P (A) = 6/36 = 1/6. 注意 : 这个概率空间是有次序的, 如果取无次序的概率空间 ( 比如 (1,2) 和 (2,1) 看成同一样本点 ) 则概率空间中的样本点不是等可能的例 2.4 例 2.4 在 4 个白球, 6 个红球中任取 4 个, 求取到 2 个白球和 2 个红球的概率. 解任取指无放回等可能随机抽取用 A 表示取到 2 个白球和 2 个红球. 由 # Ω = C10, 4 # A = C4C 2 6 2 得到 P (A) = C2 4C 2 6 C 4 10 = 0.4286. 例 2.5 例 2.5 将 52 张扑克 ( 去掉两张王牌 ) 随机地分给 4 家, 求每家都是同花色的概率. 解认为 52 张牌被等可能地分为 4 组, 求每组 13 张牌同花色的概率. 这时 # Ω = 52!/(13!) 4, # A = 4!, 故 P (A) = # A # Ω = 4!(13!)4 52! = 4.4739 10 28. 这样的小概率事件你和你周围的人是不会遇到的.

1.2 古典概型与几何概型 13 例 2.6 例 2.6 N 件产品中有 N i 件 i(1 i k) 等品, 从中任取 n 件. 求 n 件中恰有 n i 件 i (1 i k) 等品的概率. 解从题意知 N 1 + N 2 + + N k = N, n 1 + n 2 + + n k = n. 用 Ω 则表示试验的样本空间, 用 A 表示取出的 n 件中恰有 n i 件 i 等品, # Ω = C n N, # A = C n 1 N 1 C n 2 N 2 C n k N k 于是 P (A) = Cn1 N 1 C n2 N 2 C n k N k. C n N 例 2.7( 生日问题 ) 例 2.7 ( 生日问题 ) 求 n 个人中至少有两个人同生日的概率. 解认为每个人的生日等可能地出现在 365 天中的任一天, 则样本空间 Ω 的元素数为 # Ω = 365 n. 用 A 表示 n 个人的生日各不相同, 则做为 Ω 的子集 # A = A n 365. 要求的概率 p n = P (A) = 1 P (A) = 1 A n 365/365 n. 这里和以后规定对 k > n, A k n = Cn k = 0. 可以计算出以下结果 : n 20 30 40 50 60 70 80 p n 0.411 0.706 0.891 0.970 0.994 0.999 0.9999 图 1.2.1 是 p n 和 n 的关系图. 横坐标是 n, 纵坐标是 p n. 可以看出, 当 n 增加时, p n 增加得很快. 例 2.8 例 2.8 设样本空间 Ω 有 n 个样本点, 在古典概率模型下证明 (1) 如果 A 1, A 2,, 是事件, 则 j=1 A j 是事件, 证明 : j=1 A j Ω, 所以 (1) 成立.

14 第一章古典概型和概率空间 (2) 对于互不相容的事件 A 1, A 2,, 证明 (2) P ( j=1 A j) = P (A j ). j=1 因为 # Ω = n, 所以只有有限个 A j 非空. 设前 m 个 A j 可能非空, 其余是空集. 则 j=1 A j = m j=1 A j. 对 j > m, P (A j ) = 0. 于是用性质 (4) 得到 1.2.2 几何概型欧式空间中的体积 P ( A ) ( m j = P A ) m j = P (A j ) = j=1 j=1 用 R r 表示 r 维欧式空间 j=1 P (A j ). j=1 R r = {(x 1, x 2,..., x r ) x i (, ), i = 1, 2,..., r}. 对于 R r 的子集 A, 用 m(a) = A dx 1 dx 2... dx r 表示 A 的体积 ( 更一般地,m(A) 表示可测集 A 的测度, 参见实变函数 ) 几何概率用 Ω 表示试验 S 的样本空间, 当 Ω R r 时, 称 Ω 的子集是事件定义设样本空间 Ω 的体积 m(ω) 是正数, 样本点等可能地落在 Ω 中 ( 指 Ω 的体积相同的长方体事件发生的可能性相同 ), 对于 A Ω, 称 P (A) = m(a) m(ω) 为事件 A 发生的概率, 简称为 A 的概率这样的定义也满足 1.2 中的非负性全空间概率等于 1 可加性三个性质, 从而性质 (4) 和 (5) 也成立

1.3 概率的公理化和加法公式 15 例 ( 同心圆 ) 两个同心圆, 大圆圆面为 Ω: 半径 1m; 内部小圆圆面为 A: 半径 0.5m 落入 A 概率落入 A 外的大圆的概率 P (A) = m(a) m(ω) = π(0.5)2 π1 2 = 0.25 P (Ā) = 1 P (A) = 0.75 例 ( 会面概率 ) 两人 1:00 2:00 间独立地随机到达某地会面, 先到者仅等待 20 分钟求会面概率用 x, y 表示两人分别的到达时间, 则 Ω = {(x, y) : 0 x, y 60}, 样本点 (x, y) 等可能地落在空间 Ω 内 A 表示两人相遇, 则 A = {(x, y) x y 20, (x, y) Ω} m(ω) = 60 2. m(a) 用图示,A 的两条斜边为 y = x ± 20, 面积等于 60 2 减去两个三角形面积即 2 1 2 402, 所以 m(a) = 60 2 40 2 概率 1.3.1 概率的公理化概率空间 P (A) = 602 40 2 60 2 = 5 9. 1.3 概率的公理化和加法公式

16 第一章古典概型和概率空间古典概型只对样本空间 Ω 含有限个样本点, 且每个样本点发生的可能性相同的情况定义了概率. 下面将概率的定义进行推广. 设 Ω 是试验 S 的样本空间, 在实际问题中往往并不需要关心 Ω 的所有子集, 只要把关心的子集称为事件就够了. 但是事件必须是 Ω 的子集, 并且满足以下三个条件 : (a) Ω 是事件, (b) A, B 是事件, 则 A B, A B, A B, A 都是事件, (c) 当 A j 是事件, 则 j=1 A j 是事件. 以后总假设上面的条件 (a), (b), (c) 成立. 由 (b) 知道有限个事件经过有限次运算后得到的结果仍然是事件. 满足条件 (a), (b), (c) 的事件的集合 F 叫做 σ 域或 σ 代数对于试验 S 的事件 A, 我们用 0,1 之间的数 P (A) 表示事件 A 发生的可能性的大小. 对于每个事件 A F, P (A) 是一个实数. P (A) 是事件 A 的函数. 概率及公理化定义 3.1 如果事件的函数 P 满足条件 (a) 非负性 : 对于任何事件 A, P (A) 0, (b) 完全性 : P (Ω) = 1, (c) 可列可加性 : 对于互不相容的事件 A 1, A 2,..., 有 ( ) P A j = P (A j ). j=1 j=1 就称 P 是试验 S 的概率, 简称为概率, 称 P (A) 是 A 的概率 (probability). 我们称定义 3.1 中的 (a), (b), (c) 为概率的公理化条件. 不满足公理化条件的 P 不是概率. 条件 (c) 中的可列, 指集合的个数或运算的次数可以依次排列起来. 从例 2.8 知道, 古典概率模型中的 P 是概率.

1.3 概率的公理化和加法公式 17 概率的性质概率的公理化条件并不直接告诉我们在实际问题中如何计算 P (A). P (A) 的计算要根据问题的条件和背景得到. 设 P 是试验 S 的概率, 则有以下的结果. (1) 不可能事件的概率是 0: P (ϕ) = 0, (2) 有限可加性 : 如果 A 1, A 2,, A n 是互不相容, 则 P ( n n A j) = P (A j ), j=1 (3) 单调性 : B A, 则 P (A) P (B) = P (A B) 0. ( 证明手写 ) j=1 1.3.2 概率的加法公式概率的加法公式概率的有限可加性和可列可加性是概率 P 的最基本性质, 由此推出概率的加法公式. (4) P (A B) = P (A) + P (B) P (AB), (5) 如果 B A, 则 P (A B) = P (A) P (B), P (A) P (B), (6) Jordan 公式 : 设 A 1, A 2,, A n 是事件, 记 p k = P (A j1 A j2 A jk ) 1 j 1<j 2< <j k n 时, 有 P ( n A i) = i=1 例 3.1 n ( 1) k 1 p k. (3.2) 例 3.1 全班有 26 个人会打网球, 有 28 个人会打羽毛球, 他们中有 20 个人同时会打网球和羽毛球. 从全班的 40 名同学中任选一名, 计算他会打网球或会打羽毛球的概率. k=1

18 第一章古典概型和概率空间解对任选出的同学, 用 A 表示他会打网球, 用 B 表示他会打羽毛球, 则 A B 表示他会打网球或会打羽毛球. 利用 P (A) = 26/40, P (B) = 28/40, P (AB) = 20/40 得到 P (A B) = P (A) + P (B) P (AB) = 1.3.3 概率的连续性概率的连续性 26 + 28 20 40 = 0.85. 如果 A 1 A 2, 就称事件序列 {A j } {A j j = 1, 2, } 是单调增的. 如果 A 1 A 2, 就称事件序列 {A j } 是单调减的. 我们把单调增序列和单调减序列统称为单调序列. 定理 3.1 设 {A j } 和 {B j } 是事件列. (1) 如果 {A j } 是单调增序列, 则 P ( (2) 如果 {B j } 是单调减序列, 则 P ( j=1 A j) = lim n P (A n). j=1 B j) = lim n P (B n). 通常称 j=1 A j 为单调增序列 {A j } 的极限, 称 j=1 B j 为单调减序列 {B j } 的极限. 定理 3.1 说明, A j 的概率收敛到它的极限 j=1 A j 的概率, B j 的概率收敛到它的极限 j=1 B j 的概率. 所以称概率具有连续性. 1.4 条件概率和乘法公式例 4.1: 掷骰子的条件概率例 4.1 掷一个骰子, 已知掷出了偶数点, 求掷出的是 2 的概率. 用 A 表示掷出偶数点, B 表示掷出 2.

1.4 条件概率和乘法公式 19 已知 A 发生后试验的条件已经改变. 在新的试验条件下 A 成为样本空间, A 的样本点具有等可能性, B 是 A 的子集, # A = 3, # B = 1. 所以, 用 P (B A) 表示要求的概率时, P (B A) = # B # A = 1 3. 我们称 P (B A) 是已知 A 发生的条件下, B 发生的概率. 例 4.2: 扑克牌的条件概率例 4.2 在 52 张扑克中任取一张, 已知抽到草花的条件下, 求抽到的是草花 5 的概率. 解设 A= 抽到草花, B= 抽到草花 5. 按例 4.1 的方法有 P (B A) = # B/ # A = 1/13. 条件概率设 A, B 是事件, 以后总用 P (B A) 表示已知 A 发生的条件下, B 发生的条件概率, 简称为条件概率 (conditional probability). 下面是条件概率的计算公式. 条件概率公式 : 如果 P (A) > 0, 则 P (B A) = P (AB) P (A). (4.1) 可以对古典概型给出 (4.1) 的证明 : 设试验 S 的样本空间是 Ω, A, B 是事件, P (A) > 0. 已知 A 发生后试验的条件已经改变. 在新的试验条件下 A 成为样本空间, A 的样本点具有等可能性. 已知 A 发生后, AB 是 A 的子集. 利用古典概型的定义知道 P (B A) = P (AB A) = # (AB) # A = # (AB)/ # Ω # A/ # Ω = P (AB) P (A). 例 4.3: 扑克牌问题在计算条件概率时, 公式 (4.1) 有时会带来许多的方便. 但有时根据问题的特点可以直接得到结果. 例 4.3 将一副扑克牌的 52 张随机均分给四家, 设 A= 东家得到 6 张草花, B= 西家得到 3 张草花, 求 P (B A).

20 第一章古典概型和概率空间解四家各有 13 张牌, 可以认为东家先取 13 张后西家再取 13 张在 A 发生的条件下, 西家的总可能取法为 C 13 39,B 发生要求西家取法为 C 3 7C 10 32, 用古典概型. P (B A) = C3 7C 10 32 C 13 39 例 4.4: 条件概率是公理化概率例 4.4 设 P (A) > 0, 对于任何事件 B, 定义 P A (B) = P (B A). 则 (1) P A 是概率, (2) 对于事件 B, C, 当 P (AB) > 0 时, P A (C B) = P (C AB). (4.2) ( 证明略 ) 乘法公式乘法公式 : 设 A, B, A 1, A 2,..., A n 是事件, 则 (1) P (AB) = P (A)P (B A), (2) 当 P (A 1 A 2... A n 1 ) 0, 有 P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )... P (A n A 1 A 2... A n 1 ). (4.3) 证明将条件概率公式 (4.1) 用于等式右边的条件概率就得到证明. ( 手写 ) 例 4.5: 官员受贿问题例 4.5 ( 官员受贿问题 ) 某官员第 1 次受贿没被查处的概率是 q 1 = 98/100 = 0.98. 第 1 次没被查处后, 第 2 次受贿没被查处的概率是 q 2 = 96/98 = 0.9796,. 前 j 1 次没被查处后, 第 j 次受贿不被查处的概率是 q j = (100 2j)/(100 2(j 1)),. 求他受贿 n 次还不被查处的概率 p n. 解用 A j 表示该官员第 j 次受贿没被查处, 则 A 1 A 2 A n 表示受贿 n 次还不被查处.

1.5 事件的独立性 21 容易计算 p n =P (A 1 A 2... A n ) =P (A 1 )P (A 2 A 1 )... P (A n A 1 A 2... A n 1 ) =q 1 q 2 q n = 98 96 100 2(n 1) 100 2n 100 98 100 2(n 2) 100 2(n 1) 100 2n = 100 =1 n 50. p 10 = 0.8, p 20 = 0.6, p 30 = 0.4 p 40 = 0.2, p 50 = 0. ( 如果假设 q 1 = q 2 = = 0.98, 有 p n = 0.98 n, 于是得到 p 10 = 0.817, p 20 = 0.668, p 30 = 0.545, p 40 = 0.446, p 50 = 0.364, p 60 = 0.298.) 1.5 事件的独立性两个事件独立设 A 是试验 S 1 下的事件, B 是试验 S 2 下的事件, 且 A 的发生与否不影响 B 的发生. 用公式表述出来就是 P (B A) = P (B). ( 设 P (A) > 0) 再用乘法公式得到 P (AB) = P (A)P (B A) = P (A)P (B). 此式表示事件 A, B 相互独立, 不要求 P (A) > 0. 定义 5.1 如果事件 A, B 满足 P (AB) = P (A)P (B), 就称 A, B 相互独立, 简称为 A, B 独立 (independent). 不可能事件, 必然事件与任何事件独立. 这是因为 P (ϕa) = P (ϕ)p (A) = 0, P (ΩA) = P (Ω)P (A) = P (A) 总成立. 当 P (A) > 0 时, A, B 独立当且仅当 P (B A) = P (B). 例 5.1: 独立的试验例 5.1 用 Ω 1 表示试验 S 1 的样本空间, 用 Ω 2 表示 S 2 的样本空间. 如果试验 S 1 和 S 2 是独立进行的, 可以证明试验 S 1 的事件和试验 S 2 的事件是相互独立的.

22 第一章古典概型和概率空间例 5.2: 长方形等分例 5.2 两线段将长方形 Ω 四等分, 得到 E 1, E 2, E 3, E 4. E 1 E 2 E 3 E 4 设 A = E 1 E 2, B = E 1 E 3, C = E 1 E 4. 在 Ω 中任取一点, 则 P (AB) = P (A)P (B) = 1/4, P (AC) = P (A)P (C) = 1/4, P (BC) = P (B)P (C) = 1/4. 于是 A, B, C 两两独立. 定理 5.1 定理 5.1 A, B 独立当且仅当 A, B 独立. 证明只需由 A, B 独立证明 A, B 独立. 当 A, B 独立, 有 P (AB) = P (B) P (AB) = P (B) P (A)P (B) = P (A)P (B). 于是 A, B 独立. 多个事件的相互独立定义 5.2 (1) 称事件 A 1, A 2,, A n 相互独立, 如果对任何 1 j 1 < j 2 < < j k n, P (A j1 A j2 A jk ) = P (A j1 )P (A j2 )... P (A jk ) (2) 称事件 A 1, A 2, 相互独立, 如果对任何 n 2, 事件 A 1, A 2,, A n 相互独立. (3) 称 {A n } 是独立事件列, 如果 A 1, A 2, 相互独立. 例 5.3: 三个事件相互独立例 5.3 事件 A,B, C 相互独立当且仅当他们两两独立, 并且 P (ABC) = P (A)P (B)P (C).

1.5 事件的独立性 23 例 5.4: 性质例 5.4 设 A 1, A 2,, A n 相互独立, 则有如下的结果. (1) 对 1 j 1 < j 2 < < j k n, A j1, A j2,, A jk 相互独立, (2) 用 B i 表示 A i 或 A i, 则 B 1, B 2,, B n 相互独立, (3) (A 1 A 2 ), A 3,, A n 相互独立 ; (4) (A 1 A 2 ), A 3,, A n 相互独立. 事实上, 把 A 1, A 2,..., A n 分为 k 个组, 每个组内的事件作并交差运算后得到的事件 B 1, B 2,..., B k 仍是相互独立的例 5.5 例 5.5 例 5.2 中的 A,B,C 两两独立但非相互独立因为 P (ABC) = 1/4, P (A)P (B)P (C) = 1/8. 例 5.6: 高炮例 5.6 每门高炮击中飞机的概率是 0.3, 要以 99% 的把握击中飞机, 需要几门高炮. 解用 A i 表示第 i 门高炮击中目标. 设需要 n 门高炮, 则要求 n 满足 P ( n A j) = 1 P ( n A j) = 1 (0.7) n 0.99. j=1 j=1 由 n ln 0.7 ln(1 0.99) 解出 n 12.9114. 于是取 n = 13. 例 5.7: 明青花例 5.7 明青花 ( 瓷 ) 享有盛誉. 设一只青花盘在一年中被失手打破的概率是 0.03. (1) 计算一只弘治 (1488-1505) 时期的青花麒麟 ( 图案 ) 盘保留到现在 ( 约 500 年 ) 的概率, (2) 如果弘治年间生产了 1 万件青花麒麟盘, 计算这 1 万件至今都已经被失手打破的概率.

24 第一章古典概型和概率空间解 (1) 用 A i 表示该盘在第 i 年没被打破, 则至今没被打破的概率是 p =P (A 1 A 2 A 500 ) =P (A 1 )P (A 2 A 1 ) P (A 500 A 1 A 2 A 499 ) =(1 0.03) 500 =2.43 10 7, 被失手打破的概率是 q = 1 p = 0.999999756. (2) 用 B j 表示第 j 件至今已被打破, m = 10000, 则 B 1, B 2,, B m 相互独立. 这 1 万件至今都已经被失手打破的概率是 q 1 =P ( m m B j) = P (B j ) = q m = 0.99757. j=1 j=1 有这类青花麒麟盘流传至今的概率是 p 1 = 1 q 1 = 0.00243. 如果当时生产了五十万件, 则有这类青花麒麟盘流传至今的概率是 p 50 = 0.1149. 如果当时生产了五百万件, 则有这类青花麒麟盘流传至今的概率是 p 500 = 0.7048. 当然, 这个模型里每年失手打破的概率都是 0.03 的假设过于粗糙, 实际上随着现存总数的减少保护必然加强, 打破概率变得很小 1.6.1 全概率公式全概率公式 1.6 全概率公式与 Bayes 公式定理 6.1( 全概率公式 ) 如果事件 A 1, A 2,, A n 互不相容, B n j=1 A j, 则 n P (B) = P (A j )P (B A j ). (6.1) j=1

1.6 全概率公式与 BAYES 公式 25 证明 : 因为 B = B( n j=1 A j) = n j=1 (BA j), 用概率的有限可加性和乘法公式得到 P (B) =P (B( n j=1 A j)) =P ( n (BA j)) j=1 n = P (BA j ) = j=1 n P (A j )P (B A j ). j=1 全概率公式完备事件组全概率公式容易推广到可列个事件的情况 ( 见习题 1.14)). 如果事件 A 1, A 2,, A n 互不相容, n j=1 A j = Ω, 则称 A 1, A 2,, A n 是完备事件组, 这时 (6.1) 对任何事件 B 成立. A 和 A 总构成完备事件组, 所以总有 P (B) = P (A)P (B A) + P (A)P (B A). (6.2) 例 6.1( 抽签问题 ) 例 6.1 ( 抽签问题 ) n 个签中有 m 个标有中, 证明无放回依次随机抽签时, 第 j 次抽中的概率是 m/n. 解用归纳法. 用 A j 表示第 j 次抽中, 则对一切 m, n, 当 m n 时, 有 P (A 1 ) = m/n. 设对一切 m, n, 当 m n 时, 有 P (A j 1 ) = m/n, 则有于是有 P (A j A 1 ) = m 1 n 1, P (A j A 1 ) = m n 1. P (A j ) =P (A 1 )P (A j A 1 ) + P (A 1 )P (A j A 1 ) = m n m 1 n 1 + n m n = m n, 1 j n. m n 1

26 第一章古典概型和概率空间例 6.2( 敏感问题调查 ) 例 6.2 ( 敏感问题调查 ) 在调查家庭暴力 ( 或婚外恋服用兴奋剂吸毒等敏感问题 ) 所占家庭的比例 p 时, 被调查者往往不愿回答真相, 这使得调查数据失真. 为得到实际的 p 同时又不侵犯个人隐私, 调查人员将袋中放入比例是 p 0 的红球和比例是 q 0 = 1 p 0 的白球. 被调查者在袋中任取一球窥视后放回, 并承诺取得红球就讲真话, 取到白球就讲假话. 被调查者只需在匿名调查表中选是 ( 有家庭暴力 ) 或否, 然后将表放入投票箱. 没人能知道被调查者是否讲真话和回答的是什么. 如果声称有家庭暴力的家庭比例是 p 1, 求真正有家庭暴力的比例 p. 解对任选的一个家庭, 用 B 表示回答是, 用 A 表示实际是. 利用全概率公式得到 p 1 =P (B) ( 回答是 ) =P (B A)P (A) + P (B A)P (A) =p 0 P (A) + q 0 (1 P (A)) ( P (B A) 即讲真话概率, P (B A) 等于讲假话概率 ) =pp 0 + q 0 (1 p) = q 0 + (p 0 q 0 )p. 于是只要 p 0 q 0, 则 p = P (A) = p 1 q 0 p 0 q 0. 实际问题中, p 1 是未知的, 需要经过调查得到. 假定调查了 n 个家庭, 其中有 k 个家庭回答是, 则可以用 ˆp 1 = k/n 估计 p 1, 于是可以用估计 p. ˆp = ˆp 1 q 0 p 0 q 0

1.6 全概率公式与 BAYES 公式 27 如果袋中装有 30 个红球,50 个白球, 调查了 320 个家庭, 其中有 195 个家庭回答是, 则 p 0 = 3/8, q 0 = 5/8, ˆp 1 = 195/320, ˆp = 195/320 5/8 3/8 5/8 = 6.25%. 可以证明 p 0 q 0 越大, 得到的结论越可靠. 但是 p 0 q 0 太大时, 调查方案不易让被调查者接受. 例 6.3( 赌徒破产模型 ) 例 6.3 ( 赌徒破产模型 ) 甲有本金 a 元, 决心再赢 b 元停止赌博. 设甲每局赢的概率是 p = 1/2, 每局输赢都是一元钱, 甲输光后停止赌博, 求甲输光的概率 q(a). 解用 A 表示甲第一局赢, 用 B k 表示甲有本金 k 元时最后输光. 由题意, q(0) = 1, q(a + b) = 0, 并且 q(k) =P (B k ) =P (A)P (B k A) + P (A)P (B k A) = 1 2 P (B k+1) + 1 2 P (B k 1) = 1 2 q(k + 1) + 1 q(k 1). 2 于是有 2q(k) = q(k + 1) + q(k 1). 从而得到 q(k + 1) q(k) = q(k) q(k 1) = = q(1) q(0) = q(1) 1. 上式两边对 k = n 1, n 2,, 0 求和后得到, q(n) 1 = n(q(1) 1). (6.3) 取 n = a + b, 得到 0 1 = (a + b)(q(1) 1), q(1) 1 = 1/(a + b).

28 第一章古典概型和概率空间最后由 (6.3) 得到 : q(a) = 1 + a(q(1) 1) = 1 a a + b = b b + a. (6.4) (6.4) 说明, 当甲的本金 a 有限, 则贪心 b 越大, 输光的概率越大, 如果一直赌下去 (b ), 必定输光. 1.6.2 Bayes 公式 Bayes 公式定理 6.2(Bayes 公式 ) 如果事件 A 1, A 2,, A n 互不相容, B n j=1 A j, 则 P (B) > 0 时, 有 P (A j B) = P (A j )P (B A j ) n i=1 P (A, 1 j n. (6.5) i)p (B A i ) 证明由条件概率公式和全概率公式得到 P (A j B) = P (A jb) P (B) = P (A j )P (B A j ) n i=1 P (A i)p (B A i ), 1 j n. 值得指出的是, 分子总是分母中的一项. 当 A 1, A 2,, A n 是完备事件组, P (B) > 0 时, (6.5) 成立. Bayes 公式也可以推广到可列个事件的情况 ( 见习题 1.21). 最常用到的 Bayes 公式是当 P (B) > 0, 例 6.4( 疾病普查问题 ) P (A B) = 例 6.4 ( 疾病普查问题 ) P (A)P (B A) P (A)P (B A) + P (A)P (B A). (6.6) 一种新方法对某种特定疾病的诊断准确率是 90%( 有病被正确诊断和没病被正确诊断的概率都是 90%). 如果群体中这种病的发病率是 0.1%, 甲在身体普查中被诊断患病, 问甲的确患病的概率是多少? 解设 A= 甲患病, B = 甲被诊断有病. 根据题意, P (A) = 0.001, P (B A) = 0.9, P (B A) = 0.1,

1.6 全概率公式与 BAYES 公式 29 于是, 用公式 (6.6) 得到 P (A)P (B A) P (A B) = P (A)P (B A) + P (A)P (B A) 0.001 0.9 = 0.001 0.9 + 0.999 0.1 = 9 = 0.0089 < 1%. 9 + 999 没有病的概率 P (A B) = 0.9911 > 99%. 造成这个结果的原因是发病率较低和诊断的准确性不够高. 如果甲复查时又被诊断有病, 则他的确有病的概率将增加到 7.5%. 如果人群的发病率不变, 诊断的准确率提高到 99%, 可以计算出 P (A B) = 9.02%. 例 6.5( 吸烟与肺癌问题 ) 例 6.5 ( 吸烟与肺癌问题 ) 1950 年某地区曾对 50-60 岁的男性公民进行调查. 肺癌病人中吸烟的比例是 99.7%, 无肺癌人中吸烟的比例是 95.8%. 如果整个人群的发病率是 p = 10 4, 求吸烟人群中的肺癌发病率和不吸烟人群中的肺癌发病率. 解引入 A = 有肺癌, B = 吸烟, 则 P (A) =10 4, P (B A) =99.7%, P (B A) =95.8%. 利用公式 (6.6) 得到 : P (A)P (B A) P (A B) = P (A)P (B A) + P (A)P (B A) 10 4 99.7% = 10 4 99.7% + (1 10 4 ) 95.8% =1.0407 10 4. P (A)P (B A) P (A B) = P (A)P (B A) + P (A)P (B A) 10 4 (1 99.7%) = 10 4 (1 99.7%) + (1 10 4 ) (1 95.8%) =7.1438 10 6.

30 第一章古典概型和概率空间于是, 吸烟人群的发病率 = P (A B) 不吸烟人群的发病率 P (A B) = 14.57. 结论 : 吸烟人群的肺癌发病率是不吸烟人群的肺癌发病率的 14.57 倍. 例 6.6( 肇事车判定 ) 例 6.6 某城市夏利牌出租车占 85%, 富康牌出租车占 15%. 这两种出租车都是红色, 富康出租车略大一些, 每辆车肇事的概率相同. 在一次出租车的交通肇事逃逸案件中, 有证人指证富康车肇事. 为了确定是否富康车肇事, 在肇事地点和相似的能见度下警方对证人辨别出租车的能力进行了测验, 发现证人正确识别富康车的概率是 90%, 正确识别夏利车的概率是 80%. 如果证人没有撒谎, 求富康车肇事的概率. 解 : 用 A 表示证人看见富康车肇事, 用 B 表示富康车肇事, 则 B 表示夏利车肇事, 并且 P (B) = 0.15, P (A B) = 0.9, P (A B) = 1 0.8. 要求的概率是 P (B A). 用 Bayes 公式得到 P (A B)P (B) P (B A) = P (A B)P (B) + P (A B)P (B) 0.9 0.15 = 0.9 0.15 + (1 0.8) 0.85 =44.26%. 这个概率看起来很小, 但是在没有证人的情况下, 富康车肇事的概率更小, 是 15%. 1.7 概率与频率概率与频率古典概型只对等可能的情况定义了概率, 为了能够描述更复杂的试验, 很多学者使用概率的频率定义.

1.7 概率与频率 31 设 A 是试验 S 的事件. 在相同的条件下将试验 S 独立地重复 N 次, 我们称 f N = N 次试验中 A 发生的次数 N 是 N 次独立重复试验中, 事件 A 发生的频率 (frequency). 理论和试验都证明, 当 N, f N 会收敛到一个数 P (A). 我们称 P (A) 为事件 A 在试验 S 下发生的概率, 简称为 A 的概率. (Flash 演示 )

32 第一章古典概型和概率空间

第二章随机变量和概率分布 2.1 随机变量随机变量引入事件是用来描述随机试验的某些现象是否出现的, 要说明比较复杂的试验结果, 就需要定义许多事件. 为了更深入地研究随机现象, 就要建立数学模型, 随机变量是随机现象的最基本的数学模型, 我们用随机变量的值表示随机试验的结果如果用 X 表示明天的最高气温, {X 30} 就表示明天的最高气温不超过 30 o C, 由于 X 的取值在今天无法确定, 所以称 X 是随机变量 (random variable). 例 1.1: 骰子点数例 1.1 掷一个骰子, 样本空间是 Ω = { ω ω = 1, 2,, 6 }. 用 X 表示掷出的点数, 称 X 是随机变量. {X 3} 表示掷出的点数不超过 3, 并且 {X 3} = { ω ω = 1, 2, 3} 是事件将 X 视为 Ω 上的函数, X(ω) = ω, ω Ω, 则 {X j} = {ω ω = 1, 2,, j}. 是事件 33

34 第二章随机变量和概率分布例 1.2: 扑克牌点数例 1.2 张扑克. 在一副扑克的 52 张中任取一张, 样本空间的每个点表示一用 X 表示所取扑克的大小, 则 X = 3 表示所取到的扑克是 3. 将 X 视为样本空间上的函数, 则 {X = 3} { ω X(ω) = 3 } = { 草花 3, 黑桃 3, 红桃 3, 方块 3 }. 是事件我们称 X 是随机变量. 随机变量定义定义 ( 随机变量 ) X 是定义在样本空间 Ω 上的实值函数 : 对每一个样本点 ω, X(ω) 是一个实数. ( 更严格的数学定义还要求关于 X 落入区间是事件 ) 通常将随机变量 X(ω) 简记为 X. 在概率论和数理统计学中, 人们习惯用大写的 X, Y, Z, ξ, η 等表示随机变量. 不够时还可以用 X 1, X 2, 等表示. 随机变量的事件我们用 {X x}, 或更简单地用 X x 表示事件 { ω X(ω) x}. 对于实数的集合 A, 我们用 {X A}, 或更简单地用 X A 表示事件 {ω X(ω) A}. 于是 {X A} ={ω X(ω) A}, {a < X b} ={ω a < X(ω) b}. 注 : 这里和以后所述的数集都是高等数学中的实数的 ( 可测 ) 集合, 并且对数集 A, 承认 {X A} 是事件.

2.2 离散型随机变量 35 例 1.3,1.4: 随机变量的函数例 1.3 掷一个骰子, 用 X 表示掷出的点数, 则 X, X 2, X + X 都是样本空间上的函数, 因而都是随机变量. 例 1.4 掷 n 个骰子, 用 Y 表示掷出的点数之和, 则 Y 是随机变量. 对函数 g(x), X = g(y ) 也是随机变量, 因为 X(ω) = g(y (ω)) 也是样本空间 Ω 上的函数. 例 1.5: 随机变量与概率例 1.5 率. 在 52 张扑克中任取 13 张, 求这 13 张牌中恰有 5 张草花的概解易得到注 : 用 X 表示这 13 张牌中草花的张数, 则 X = 5 是关心的事件, 容 P (X = 5) = C5 13 C 8 39 C 13 52 = 0.1247. 在许多实际问题中, 一个随机变量 X 的含义是十分清楚的, 所以一般不再关心随机变量 X 在样本空间 Ω 上是如何定义的. 可以认为 X 的所有取值就是我们的样本空间只是在必要的时候才将自变元 ω 写出来. 2.2 离散型随机变量离散型随机变量有些变量只能取有限个或可列个值, 比如, 被访问者的性别年龄职业, 一批产品中次品个数, 一个医学试样中白细胞个数, 掷两个骰子第一次得到 12 点的时间, 等等另外的变量可以取到区间内任何值, 比如温度气压长度时间等测量值定义 2.1 如果随机变量 X 只取有限个值 x 1, x 2,, x n, 或可列个值 x 1, x 2,, 就称 X 是离散型随机变量, 简称为离散随机变量 (discrete random variable). 以下就 X 取可列个值的情况加以表述, 对于 X 取有限个值的情况可类似的表述.

36 第二章随机变量和概率分布定义 2.2 设 X 是离散随机变量, 称 P (X = x k ) = p k, k 1, (2.1) 为 X 的概率分布 (probability distribution). 称 {p k } 是概率分布列, 简称为分布列. (distribution sequence). 分布列当分布列 {p k } 的规律性不够明显时, 也常常用如下的方式表达概率分布, X x 1 x 2 x 3 P p 1 p 2 p 3 (2.2) 分布列 {p k } 有如下的性质 : (a) p k 0, (b) j=1 p j = 1. 由于 p k 是概率, 所以是非负的. 下面证明 (b). 对 k j, {X = x j } 发生, {X = x k } 就不能发生, 所以两点分布 {X = x j }, j = 1, 2,, 互不相容. 利用 Ω = {X = x j }. 和概率的可列可加性得到 1 = P (Ω) = j=1 P (X = x j ) = j=1 p j. 两点分布 (Bernoulli 分布 ) B(1, p): 如果 X 只取值 0 或 1, 概率分布是 j=1 P (X = 1) = p, P (X = 0) = q, p + q = 1, (2.3) 就称 X 服从两点分布, 记做 X B(1, p) 或 X b(1, p) 任何试验, 当只考虑成功与否时, 就可以用两点分布的随机变量描述 : 1, 试验成功, X = 0, 试验不成功.

2.2 离散型随机变量 37 二项分布二项分布 (Binomial 分布 )B(n, p): 如果随机变量有如下的概率分布 : P (X = k) =Cnp k k q n k, k = 0, 1,, n, (2.4) ( 其中 pq > 0, p + q = 1) 就称 X 服从二项分布, 记做 X B(n, p). 称为二项分布的原因是 Cnp k k q n k 为二项展开式 : (p + q) n = 的第 k + 1 项. B 表示 Binomial. n Cnp k k q n k k=0 二项分布的折线图二项分布的背景二项分布的背景设试验 S 成功的概率为 p, 将试验 S 重复 n 次, 用 X 表示成功的次数, 则 X B(n, p). 解释 : 用 A j 表示第 j 次试验成功, 则 A 1, A 2,, A n 相互独立, 且 P (A j ) = p.

38 第二章随机变量和概率分布从 n 次试验中选定 k 次试验的方法共有 C k n 种. 对第 j 种选法为 {j 1, j 2,, j k } 成功, 其余失败, 用 B j = A j1 A j2 A jk A jk+1 A jk+2 A jn 表示, 则 {B j } 互不相容, 并且 {X = k} = C k n j=1 B j, P (B j ) = p k q n k. 用概率的有限可加性得到 C k n P (X = k) = P (B j ) = Cnp k k q n k. j=1 泊松分布 (Poisson 分布 ) Poisson(λ): 概率分布 : 如果随机变量 X 有如下的 P (X = k) = λk k! e λ, k = 0, 1,, (2.5) 就称 X 服从参数是 λ 的 Poisson 分布, 简记为 X Poisson (λ). 这里 λ 是正常数. Poisson 分布的例子 : 单位时间放射性粒子个数 ; 某段高速公路上一年的事故数 ; 某商场一天中顾客到来个数 ; 一段时间内接到的电话个数 ; 等等泊松分布的折线图

2.2 离散型随机变量 39 例 2.1 放射性粒子数例 2.1 1910 年, 著名科学家 Rutherford( 罗瑟福 ) 和 Geiger( 盖克 ) 观察了放射性物质钋 ( 读 po1)(polonium) 放射 α 粒子的情况. 他们进行了 N = 2608 次观测, 每次观测 7.5 秒, 一共观测到 10094 个 α 粒子放出, 下面的表 2.2.1 是观测记录. 其中的 Y 是服从 Poisson(3.87) 分布的随机变量, 3.87 = 10094/2608 是 7.5 秒中放射出 α 粒子的平均数. 用 Y 表示这块放射性钋在 7.5 秒内放射出的 α 粒子数, 表的最后两列表明事件 {Y = k} 在 N = 2608 次重复观测中发生的频率和 P (Y = k) 基本相同.

40 第二章随机变量和概率分布观测到的观测到 k 个粒子发生的 P (Y = k) α 粒子数 k 的次数 m k 频率 m k /N Y Poisson(3.87) 0 57 0.022 0.021 1 203 0.078 0.081 2 383 0.147 0.156 3 525 0.201 0.201 4 532 0.204 0.195 5 408 0.156 0.151 6 273 0.105 0.097 7 139 0.053 0.054 8 45 0.017 0.026 9 27 0.010 0.011 10+ 16 0.006 0.007 总计 2608 0.999 1.00 放射粒子数的观测频率与泊松概率对比图例 2.2 战争数例 2.2 自 1500 至 1931 年的 N = 432 年间, 比较重要的战争在全世界共发生了 299 次. 以每年为一个时间段的记录见下面

2.2 离散型随机变量 41 爆发的战争数 k 爆发 k 次战争的年数 m k 频率 m k /N P (Y = k) 0 223 0.516 0.502 1 142 0.329 0.346 2 48 0.111 0.119 3 15 0.035 0.028 4+ 4 0.009 0.005 总计 432 1.000 1.000 平均每年发生战争次数 λ = 299/432 0.69 上面, Y Poisson(0.69). 一年中发生战争次数的频率与泊松概率对比图例 2.3 出租车遇红灯数例 2.3 设一辆出租车一天内穿过的路口数 Y 服从泊松分布 Poisson(λ), 设各个路口的红绿灯是独立工作的, 在每个路口遇到红灯的概率是 p(> 0). (1) 已知一辆出租车一天内路过了 k 个路口, 求遇到的红灯数的分布 ; (2) 求一辆出租车一天内遇到的红灯数的分布. 解设这辆出租车路过的路口数是 Y, 遇到的红灯数是 X. 每到一个路口相当于作一次试验, 遇到红灯是试验成功.

42 第二章随机变量和概率分布 (1) P (X = m Y = k) = C m k p m q k m, m = 0, 1,..., k, q = 1 p, (2) {Y = j}; j = 0, 1, 2,..., 构成完备事件组. 利用全概率公式得到 P (X = m) = = = P (Y = k)p (X = m Y = k) k=m k=m k=m = (λp)m e λ m! λ k k! e λ C m k p m q k m (λq) k m m!(k m)! e λ (λp) m j=0 = (λp)m e λ e λq m! 说明 X 服从泊松分布 Poisson(pλ). (λq) j j! = (λp)m e λp, m = 0, 1,. m! 超几何分布 H(n, M, N) 如果 X 的概率分布是 P (X = m) = Cm M Cn m N M, m = 0, 1,..., M, (2.8) C n N 就称 X 服从超几何分布, 记作 H(n, M, N). 注意对 k < 0 或 k > n, 约定 C k n = 0. 名称超几何分布来自超几何函数, 类似于二项分布来自二项展开式. 例 2.4 N 件产品中恰有 M 件次品, 从中任取 n 件, 用 X 表示这 n 件中的次品数, 则 X 服从超几何分布 (2.8). 如果这批产品充分多, 无放回的抽取和有放回的抽取就没有本质的差异 : P (X = m) = Cm M Cn m N M C n N C m n p m (1 p) n m, (p = M N )

2.3 连续型随机变量 43 几何分布如果随机变量 X 有如下的分布 P (X = k) = q k 1 p, k = 1, 2,, pq > 0, p + q = 1, (2.10) 就称 X 服从参数是 p 的几何分布. 设某试验成功概率为 p, 独立地重复此试验直到第一次成功, 则第一次成功需要的试验次数分布为参数 p 的几何分布例 2.5 甲向一个目标射击, 直到击中为止. 用 X 表示首次击中目标时的射击次数. 如果甲每次击中目标的概率是 p, 则 X 服从几何分布 (2.10). 解用 A j 表示甲第 j 次没击中目标, 由 {A j } 的独立性得到 P (X = k) =P (A 1 A 2 A k 1 A k ) =q k 1 p, k = 1, 2,. (2.11) 2.3 连续型随机变量连续型随机变量定义在线段上随机投点的位置, 温度气压电压电流等物理量等等, 理论上可以在取到某个区间任何实数值这样取值的随机变量称为连续型随机变量定义 3.1 设 X 是随机变量, 如果存在非负函数 f(x) 使得对任何满足 a < b 的 a, b, 有 P (a < X b) = b a f(x) dx, (3.1) 就称 X 是连续型随机变量, 称 f(x) 是 X 的概率密度函数, 简称为概率密度 (probability density) 或密度. 分布密度性质设 f(x) 是 X 的概率密度, 则 f(x) 有如下的基本性质. (a) f(x) dx = 1,

44 第二章随机变量和概率分布 (b) P (X = a) = 0. 于是 P (a < X b) = P (a X b), (c) 对数集 A( 严格意义下要求可测性 ), P (X A) = f(x) dx. (3.2) 证明 : (a) 由可得 (b) f(x)dx = P ( < X ) = 1, Pr(X = a) Pr(X (a ε, a]) = (c) 不证 A a a ε f(x) dx 0, ε 0. 概率密度的意义概率密度与离散型随机变量的分布列有很大差别, 分布列 p k = Pr(X = x k ) 本身就是 X 取 x k 的概率 ; 连续型随机变量取任何一个特定值的概率都等于零 ; f(x) 是一个相对均匀分布的概念, 如果 f(x 2 ) = 2f(x 1 ), 可以认为 X 在 x 2 附近取值的概率比 X 在 x 1 附近取值的概率大一倍, 严格讲, 假设 f(x) 在 x 1 和 x 2 处连续, Pr(x 2 ε < X x 2 + ε) Pr(x 1 ε < X x 1 + ε) = x2+ε x 2 ε x1 +ε f(x) dx f(x) dx f(x 2) f(x 1 ) = 2 x 1 ε 均匀分布 (Uniform 分布 ) U(a, b): 对 a < b, 如果 X 的密度是 1 f(x) =, x (a, b), b a (3.3) 0, x (a, b). 就称 X 服从区间 (a, b) 上的均匀分布, 记做 X U(a, b). 这里 U 是 Uniform 的缩写. 明显, 表达式 (3.3) 中的区间 (a, b) 也可以写成 (a, b], [a, b) 或 [a, b].

2.3 连续型随机变量 45 采用 (a, b) 的示性函数 (indicator function) 1, x (a, b), I (a,b) = 0, x / (a, b), 还可以将 (3.3) 中的密度 f(x) 写成 f(x) = 1 b a I (a,b). 例 3.1 等车例 3.1 每天的整点 ( 如 9 点, 10 点, 11 点等 ) 甲站都有列车发往乙站. 一位要去乙站的乘客在 9 点至 10 点之间随机到达甲站. 用 Y 表示他的等车时间, 计算他候车时间小于 30 分钟的概率. 解题目中随机到达的含义指在等长的时间段中到达的可能性相同. 用 X 表示他的到达时刻, X 在 0 至 60 分钟内均匀分布, 有密度函数 f(x) = 1 60 I (0,60). {Y < 30 分钟 } 表示该乘客在 9 : 30 至 10 : 00 之间到达, 这是和 {30 < X 60} 等价的, 于是 P (Y < 30 分钟 ) = P (30 < X 60) = 60 30 f(x)dx = 1 2. 指数分布 (Exponential 分布 ) E(λ): 对正常数 λ, 如果 X 的密度是 λe λx, x 0, f(x) = (3.4) 0, x < 0, 就称 X 服从参数 λ 的指数分布, 记做 X E(λ). 这里 E 是 Exponential 的缩写. 通常还把 (3.4) 简记为 f(x) = λe λx, x 0, 或 f(x) = λe λx I [0, ).

46 第二章随机变量和概率分布指数分布的密度图示例指数分布的无后效性指数分布经常用来表示电子元件寿命事件到来间隔时间等这样的量经常具有无后效性, 即已经存活 ( 等待 ) 了多长时间对还会再存活 ( 等待 ) 多长时间没有影响非负随机变量 : 若随机变量 X 满足 Pr(X < 0) = 0 则称 X 为非负随机变量定理 3.1 设 X 是连续型非负随机变量, 则 X 服从指数分布的充分必要条件是对任何 s, t 0, 有 P (X > s + t X > s) = P (X > t). (3.5) 性质 (3.5) 称为无后效性. 无后效性是指数分布的特征. 如果 X 表示某仪器的工作寿命, 无后效性 (3.5) 的解释是 : 当仪器工作了 s 小时后再能继续工作 t 小时的概率等于该仪器刚开始就能工作 t 小时的概率. 说明该仪器的使用寿命不随使用时间的增加发生变化, 或说仪器是永葆青春的. 一般来说, 电子元件和计算机软件等具备这种性质, 它们本身的老化是可以忽略不计的, 造成损坏的原因是意外的高电压, 计算机病毒等等. 青花盘的使用寿命也可被认为有无后效性.

2.3 连续型随机变量 47 例 3.2 粒子到来间隔时间设时间 (0, t] 内有 N(t) 个粒子放射出来 N(t) Poisson(µt) 设 X 为第一个粒子发射出来的时刻, 则 {X > t} = {N(t) = 0} µt (µt)0 Pr(X > t) = Pr(N(t) = 0) = e 0! = e µt 对任何 0 a < b 有 P (a < X 1 b) = P (X 1 > a) P (X 1 > b) =e µa e µb = b a µe µx dx. 即 X 的概率密度为 f(x) = µe µx I [0, ) (x). 正态分布正态分布 (Normal 分布 ) N(µ, σ 2 ): 设 µ 是常数, σ 是正常数. 如果 X 的密度是 f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2, x R, (3.8) 2πσ 2 2σ 2 就称 X 服从参数为 (µ, σ 2 ) 的正态分布, 记做 X N(µ, σ 2 ). 这里 N 是 Normal 的缩写. 特别, 当 X N(0, 1) 时, 称 X 服从标准正态分布 (standard normal distribution). 标准正态分布的密度函数有特殊的地位, 所以用一个特定的符号 φ 表示 : φ(x) = 1 ) exp ( x2, x R. (3.9) 2π 2 正态分布的密度图示例

48 第二章随机变量和概率分布正态分布密度特点参数 µ 是密度的中心和最大值点, 密度在 µ 两侧对称 ; 参数 σ 代表了密度的宽度,σ 越大密度越宽 ( 见演示 ) 正态分布的随机变量 X 具有大部分值靠近 µ 的特点 ( 经验规则 ): Pr( X µ σ) =68.27% Pr( X µ 2σ) =95.45% Pr( X µ 3σ) =99.73% Pr( X µ > 6σ) =1.96 10 9 出现在 µ ± kσ(k=2,3,6 等 ) 外的点认为是比较值得注意的点记 Φ(x) = x φ(t) dt, Φ(x) 有表格另外 Φ( x) = 1 Φ(x) 对 X N(µ, σ 2 ), 正态分布的历史 Pr(X (a, b]) = Φ( b µ σ ) Φ(a µ σ ) 正态分布最早由 Gauss 在研究测量误差时得到, 所以正态分布又被称为 Gauss 分布.

2.3 连续型随机变量 49 在布朗运动的研究中, 人们也得到了正态分布. 正态分布在概率论和数理统计中有特殊的重要地位. 事实表明, 产品的许多质量指标, 生物和动物的许多生理指标等都服从或近似服从正态分布. 大量相互独立且有相同分布的随机变量的累积也近似服从正态分布 ( 参考二项分布当 n 较大时的概率分布图形 ). 例 3.3 零件长度例 3.3 一台机床加工的部件长度服从正态分布 N(10, 36 10 6 ). 当部件的长度在 10 ± 0.01 内为合格品, 求一部件是合格品的概率. 解件用 X 表示生产的一个部件的长度, 则 X N(10, 36 10 6 ). 事 { 0.01 X 10 0.01} 表示这个部件是合格品. P ( 0.01 X 10 0.01) =P ( 0.01 X 10 0.01 6 10 3 6 10 3 6 10 ) 3 =Φ(1.67) Φ( 1.67) = 2Φ(1.67) 1 =2 0.9525 1 = 0.905. 这个概率令人太不满意了, 说明这台机床的质量有问题. 以后会知道质量问题可以由参数 σ 2 体现出来 ( 参考习题 2.17). Gamma 分布 Gamma 分布 Γ(α, λ): 设 α, λ 是正常数, Γ(α) 由积分 Γ(α) = 0 x α 1 e x dx (3.14) 定义. 如果 X 的密度是 λ α Γ(α) f(x) = xα 1 e λx, x 0, (3.15) 0, x < 0. 就称 X 服从参数 (α, λ) 的 Gamma 分布, 记做 X Γ(α, λ). 这里 Γ 是 Gamma 的简写.

50 第二章随机变量和概率分布注意 α = 1 时 Γ(1, λ) 即 E(λ) 伽马分布的密度图示例 Gamma 分布的历史英国著名统计学家 Pearson 在研究物理, 生物及经济中的随机变量时, 发现很多连续型随机变量的分布都不是正态分布. 这些随机变量的特点是只取非负值, 于是他致力于这类随机变量的研究. 从 1895 年至 1916 年间, Pearson 连续发表了一系列的连续分布密度曲线, 认为这些曲线可以包括常见的单峰分布, 其中就有 Gamma 分布. 在气象学中, 干旱地区的年季或月降水量被认为服从 Γ 分布, 指定时间段内的最大风速等也被认为服从 Γ 分布. 例 3.4: 指数分布随机变量的和例 3.4 在 Poisson 分布的例子中, 用 S k 表示从开始到观测到第 k 个 α 粒子的时间, 可以证明 S k 服从 Γ(k, λ) 分布.

2.4 概率分布函数 51 2.4 概率分布函数 2.4.1 概率分布函数概率分布函数为了计算事件 {X (a, b]} 的概率, 如果 X 是离散型随机变量, 则 Pr(X (a, b]) = 如果 X 是连续型随机变量, 则 Pr(X (a, b]) = x k (a,b] b a p k f(x) dx 事实上, 如果我们定义 F (x) = Pr(X x), 则 Pr(X (a, b]) = F (b) F (a) 这样的 F (x) 可以帮助我们计算 {X (a, b]} 的概率概率分布函数定义定义 4.1 对随机变量 X, 称 x 的函数 F (x) = P (X x), x, (4.1) 为 X 的概率分布函数, 简称为分布函数 (distribution function), 也称为累积 (cumulative) 分布函数例 4.1 Φ(x) = x φ(t) dt 是标准正态分布的分布函数. 离散型随机变量的分布函数从定义看出, 如果 X 是离散型随机变量, 有概率分布 p k = P (X = x k ), k = 1, 2,, (4.2) 则 X 的分布函数 F (x) = P (X x) = P ( {X = x j }) = p j (4.3) j: x j x j: x j x 是单调不减的阶梯函数.

52 第二章随机变量和概率分布它在每个 x j 有跳跃 p j. 这时, 我们也称 F (x) 是分布列 {p j } 的分布函数. 见二项分布 B(10, 0.6) 的分布函数图, 横坐标是 x, 纵坐标是 F (x). 从图形可以看出, F (x) 是单调不减右连续函数. B(10,0.6) 的分布函数图连续型随机变量的分布函数如果 X 是连续型随机变量, 有概率密度 f(x), 则 F (x) = x f(t) dt (4.4) 是连续函数, 并且在 f(x) 的连续点 x 有 f(x) = F (x). 我们也称 F (x) 是 f(x) 分布函数. 见图形 N(0,1), E(1.2), E(0.6), E(0.3) 分布函数图

2.4 概率分布函数 53 分布函数性质分布函数 F (x) 的常用性质 : (1) F 单调不减右连续, (2) F ( ) = 1, F ( ) = 0. 证明 (1) 对 x < y, 单调不减性由 {x < X y} = {X y} {X x} 和 P (x < X y) = P (X y) P (X x) = F (y) F (x) 0 得到. 由于 n 越大, 集合 {X 1/n} 越小, 所以用 F 的单调性和概率 P 的连续性得到 lim F (x + δ) = lim F (x + 1/n) δ 0 n = lim P (X x + 1/n) n =P ( n=1{x x + 1/n}) =P (X x) = F (x). (2) 由 F ( ) = P (X ) = P (Ω) = 1 和 F ( ) = P (X ) = P ( ) = 0 得到 (2).

54 第二章随机变量和概率分布密度与分布函数对于连续型的随机变量, 密度函数通过 (4.4) 唯一决定分布函数. 定理 4.1 设 X 的分布函数 F 连续, 数集 A 中任何两点之间的距离大于正数 δ. 如果在 A 外导数 F (x) 存在且连续, 则 F (x), 当 x A, f(x) = (4.5) 0, 当 x A 是 X 的密度函数. 连续型分布的分布函数一定是连续的, 分布函数如果不连续就不是连续型分布除了连续型分布和离散型分布以外还存在其它类型的分布如 : 零过多数据的分布 2.4.2 常见分布的分布函数均匀分布的分布函数若 X U(0, 1), 则其分布密度为 f(x) = 1, x (0, 1) 其分布函数为 0 x 0 F (x) = x 1 dt = x, x (0, 1) 0 1 x 1 若 X U(a, b), 则其分布密度为 f(x) = 1, x (a, b) b a 其分布函数为 0 x a F (x) = x 1 x a dt =, x (a, b) a b a b a 1 x b

2.4 概率分布函数 55 正态分布的分布函数设 X N(0, 1), 则 X 的分布函数为 Φ(x) = x φ(t) dt 其中 φ(x) = 1 e x2 2 2π 设 X N(µ, σ 2 ), 下一节将证明其分布函数为 F (x) = Φ( x µ σ ) 指数分布的分布函数若 X E(λ), 则其分布密度为 f(x) = λe λx, x 0 其分布函数为 F (x) = x 0 λe λt dt = 1 e λx, x 0 Gamma 分布的分布函数若 X Γ(α, λ), 则其分布密度为 f(x) = λα Γ(α) xα 1 e λx, x 0 当 λ = 1 时其分布函数为 I α (x) = 1 Γ(α) x 0 t α 1 e t dt, t 0 称为不完全 Gamma 函数, 是没有解析表达式的对一般 Γ(α, λ) 其分布函数为 F (x) = I α (λx), x 0

56 第二章随机变量和概率分布 2.5 随机变量函数的分布随机变量函数分布例 5.1 例 5.1 设 X 有如下的概率分布 X 2 1 0 1 3 P 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 求 Y = X 2 的分布. 解 Y 的取值是 0, 1, 4, 9, 而且 P (Y = 0) = P (X = 0) = 0.3; P (Y = 1) = P ( X = 1) = 0.2 + 0.2 = 0.4; P (Y = 4) = P ( X = 2) = P (X = 2) = 0.1; P (Y = 9) = P (X = 3) = 0.2. 于是 Y 有分布 Y 0 1 4 9 P 0.3 0.4 0.1 0.2 例 5.2 均匀分布的反函数例 5.2 设 X U(0, 1), Φ 1 (p)(p (0, 1)) 是 Φ(x) 的反函数, 求 Y = Φ 1 (X) 的分布. 解 F Y (y) = P (Φ 1 (X) y) = P (X Φ(y)) = Φ(y), x R, 所以 Y N(0, 1). 例 5.3: 正态分布例 5.3 解设 X N(µ, σ 2 ), 则 Y = (X µ)/σ 服从标准正态分布 N(0, 1), 且 X 的分布函数为 Φ( x µ σ ). 先求 Y 的分布函数 F Y (y). 设 F X (x) 是 X 的分布函数, 则 F X 连续可导, 并且有 F X(x) = 1 ( exp (x ) µ)2. 2πσ 2 2σ 2

2.5 随机变量函数的分布 57 于是, 关于 y 连续可导, 对 y 求导数得到概率密度 F Y (y) =P (Y y) = P ((X µ)/σ y) =P (X yσ + µ) = F X (yσ + µ) f Y (y) =F Y (y) = F X(yσ + µ)σ = σ ( ) (yσ + µ µ) 2 exp 2πσ 2 2σ 2 = 1 2π e y2 /2 = φ(y). 定理说明 Y N(0, 1). 因为 F Y (y) = F X (µ + σy) 所以 F X (x) = F Y ( x µ σ x µ ) = Φ( ). σ 定理 5.1 设 X 有密度函数 f(x), D R, Y = g(x), P (Y D) = 1. 如果存在函数 h i (y) 使得 (1) 对 y D, {Y = y} = n i=1 {X = h i(y)}, (2) 每个 h i (y) 是 D 到其值域 D i 的可逆映射, 有连续的导数, (3) 值域 D 1, D 2,, D n 互不相交, 则 Y 有密度函数 n i=1 f Y (y) = f(h i(y)) h i(y), y D, 0, y D. (5.1) 证明见附录 A3. 注 : 定理 5.1 中的 n 也可以是. 计算随机变量的函数的概率密度的更直接方法请参考附录 D. 为了方便记忆, 可以把 (5.1) 写成 f Y (y) = n df X(h i (y)), y D. (5.2) dy i=1

58 第二章随机变量和概率分布推论推论 : 设随机变量 X 取值于 C R, Y = g(x), g(x) 是 C 到 D R 的一一变换,x = h(y) = g 1 (y) 是 g(x) 的反函数, 设 h(y) 有连续的导数则 f Y (y) = f(h(y)) h (y), y D. 例 5.4: 正态分布的线性变换例 5.4 设常数 a 0, X N(µ, σ 2 ), 则 Y = ax + b 服从正态分布 N(aµ + b, a 2 σ 2 ). 特别地, Y = X µ σ N(0, 1) 解 X 有密度函数 f X (x) = 1 ( exp (x ) µ)2. 2πσ 2 2σ 2 设 D = (, ), 则 P (Y D) = 1, {Y = y} = {ax + b = y} = {X = (y b)/a}. h(y) = (y b)/a 满足定理 5.1( 或推论 ) 的条件, 有导数 h (y) = 1/a. 利用定理 5.1 得到 Y 的概率密度 f Y (y) =f X (h(y)) h (y) = 1 ( exp 2πσ 1 ( = exp 2πσ a [(y b)/a µ]2 2σ 2 ) 1 a (y b ) aµ)2 2a 2 σ 2 再由正态分布的定义知道 Y N(aµ + b, a 2 σ 2 ). 例 5.5: 正态分布的平方设 X N(0, 1), 求 Y = X 2 的分布. 解设 D = (0, ), 则 P (Y D) = P ( X > 0) = 1. {Y = y} = {X = y} + {X = y}, y D. h 1 (y) = y, h 2 (y) = y 满足定理 5.1 的条件.

2.5 随机变量函数的分布 59 由定理 5.1 得到 Y 的密度 f Y (y) =f X (h 1 (y)) h 1(y) + f X (h 2 (y)) h 2(y) = 1 ( exp 1 ) 1 2π 2 h2 1(y) + 1 ( exp 1 2π 2 h2 2(y) = 1 2πy e y/2, y (0, ). 2 y ) 1 2 y 例 5.6 设 r 是正数, X U(0, 2π), 求 Y = r cos X 的密度. 解设 D = ( r, r), 则 P (Y D) = 1. 对于 y D, 有 {Y = y} = {cos X = y/r} ={cos X = y/r, X (0, π)} {cos X = y/r, X (π, 2π)} ={cos X = y/r, X (0, π)} {cos(2π X) = y/r, X (π, 2π)} ={X = arccos(y/r)} {X = 2π arccos(y/r)}, h 1 (y) = arccos(y/r), h 2 (y) = 2π arccos(y/r) 满足定理 5.1 的条件, 在 D 中有导数 h 1 1(y) = r2 y, 1 2 h 2(y) = r2 y. 2 因为 X 有分布函数于是 Y 有密度函数 F X (x) = x, x (0, 2π), 2π f Y (y) =f X (h 1 (y)) h 1(y) + f X (h 2 (y)) h 2(y) 1 = π r 2 y, 2 y ( r, r).