微 分 方 程 是 经 典 数 学 的 一 个 重 要 分 支, 常 用 来 描 述 随 时 间 变 化 的 动 态 系 统, 被 广 泛 应 用 于 物 理 学 工 程 数 学 和 经 济 学 等 领 域. 实 际 上, 系 统 在 随 时 间 的 变 化 过 程 中, 经 常 会 受 到 一 些

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1 不 确 定 微 分 方 程 研 究 综 述 李 圣 国, 彭 锦 华 中 师 范 大 学 数 统 学 院, 湖 北 4379 黄 冈 师 范 学 院 不 确 定 系 统 研 究 所, 湖 北 438 摘 要 : 不 确 定 微 分 方 程 是 关 于 不 确 定 过 程 的 一 类 微 分 方 程, 其 解 也 是 不 确 定 过 程. 本 文 主 要 总 结 了 不 确 定 微 分 方 程 的 研 究 现 状. 文 章 介 绍 了 几 类 重 要 的 不 确 定 微 分 方 程, 归 纳 了 一 些 求 解 方 法, 概 括 了 解 的 存 在 唯 一 性 和 稳 定 性 方 面 的 工 作. 最 后 总 结 了 不 确 定 微 分 方 程 在 经 济 金 融 等 方 面 的 应 用. 关 键 字 : 不 确 定 理 论 ; 不 确 定 过 程 ; 不 确 定 分 析 ; 不 确 定 微 分 方 程 1 引 言 现 实 生 活 中, 人 们 经 常 用 大 约 1km 大 概 8kg 年 轻 快 速 等 语 言 来 描 述 不 精 确 的 量, 很 多 学 者 把 这 类 不 精 确 的 量 归 于 主 观 概 率 或 模 糊 概 念 的 范 畴. 然 而, 大 量 调 查 表 明, 它 们 呈 现 出 来 的 既 非 随 机 性 也 非 模 糊 性, 即 它 们 不 能 用 概 率 测 度 容 度 模 糊 测 度 可 能 性 测 度 等 来 度 量. 为 了 描 述 这 类 不 确 定 现 象,Liu [6] 创 立 了 基 于 规 范 性 对 偶 性 次 可 加 性 和 乘 积 公 理 的 一 门 新 的 数 学 分 支, 即 不 确 定 理 论. 作 为 处 理 主 观 判 断 或 专 家 数 据 等 不 精 确 信 息 的 新 工 具, 不 确 定 理 论 取 得 了 一 系 列 相 当 大 的 成 就 ( 见 文 献 Liu [9] Liu [1]). 为 了 描 述 随 时 间 变 化 的 不 确 定 现 象,Liu [7] 于 28 年 开 始 了 对 不 确 定 过 程 的 研 究. 不 确 定 过 程 是 随 时 间 变 化 的 一 族 不 确 定 变 量. 在 研 究 工 作 中, Liu [8] 首 先 给 出 了 一 类 重 要 的 不 确 定 过 程 即 典 范 过 程, 典 范 过 程 是 样 本 轨 道 满 足 李 普 希 兹 连 续 且 具 有 稳 态 独 立 增 量 的 不 确 定 过 程, 其 增 量 服 从 不 确 定 正 态 分 布. 同 时 Liu [8] 定 义 了 关 于 典 范 过 程 的 不 确 定 积 分 称 之 为 Liu 积 分, 并 建 立 了 第 一 类 研 究 不 确 定 变 量 函 数 的 积 分 和 微 分 的 分 析 即 Liu 分 析. 有 时 一 些 突 发 的 事 件, 像 战 争 经 济 危 机 等 可 能 导 致 不 确 定 过 程 出 现 突 然 的 改 变, 产 生 带 跳 的 不 确 定 过 程, 为 了 研 究 这 类 带 跳 的 不 确 定 现 象,Liu [7] 提 出 了 不 确 定 更 新 过 程, 不 确 定 更 新 过 程 的 样 本 轨 道 是 取 值 为 非 负 整 数 单 增 且 右 连 续 的 阶 梯 函 数. 接 下 来,Yao [2] 定 义 了 一 类 基 于 不 确 定 更 新 过 程 的 不 确 定 积 分 称 之 为 Yao 积 分 并 建 立 了 相 应 的 不 确 定 分 析. 此 外,Chen [3] 研 究 了 样 本 轨 道 为 有 界 变 差 函 数 的 不 确 定 有 界 变 差 过 程. 既 然 李 普 希 兹 连 续 函 数 和 阶 梯 函 数 均 是 有 界 变 差 函 数, 所 以 有 界 变 差 过 程 可 视 为 典 范 过 程 和 更 新 过 程 的 一 种 推 广. 随 后,Chen [3] 建 立 了 基 于 有 界 变 差 过 程 的 不 确 定 分 析. 目 前, 不 确 定 分 析 共 有 三 类 :Liu 分 析 Yao 分 析 和 Chen 分 析. 1

2 微 分 方 程 是 经 典 数 学 的 一 个 重 要 分 支, 常 用 来 描 述 随 时 间 变 化 的 动 态 系 统, 被 广 泛 应 用 于 物 理 学 工 程 数 学 和 经 济 学 等 领 域. 实 际 上, 系 统 在 随 时 间 的 变 化 过 程 中, 经 常 会 受 到 一 些 未 知 因 素 的 影 响. 基 于 随 机 分 析 理 论, 随 机 微 分 方 程 被 提 出 并 被 广 泛 研 究. 现 在 随 机 微 分 方 程 在 物 理 学 系 统 科 学 管 理 科 学 和 金 融 学 等 领 域 都 占 有 重 要 的 地 位. 不 确 定 微 分 方 程 的 概 念 最 早 由 Liu [7] 提 出, 是 处 理 不 确 定 环 境 下 动 力 系 统 的 一 个 重 要 工 具. 不 确 定 微 分 方 程 是 由 不 确 定 过 程 驱 动 的 一 类 微 分 方 程, 其 解 也 是 不 确 定 过 程. 28 年,Liu [7] 首 先 给 出 了 一 类 由 典 范 过 程 驱 动 的 不 确 定 微 分 方 程. 为 了 很 好 地 了 解 此 类 不 确 定 微 分 方 程 的 性 质, 很 多 学 者 对 它 进 行 了 研 究. Chen 和 Liu [1] 在 系 数 函 数 满 足 全 局 李 普 希 兹 条 件 下 给 出 了 一 个 解 的 存 在 唯 一 性 定 理,Gao [5] 证 明 了 在 局 部 李 普 希 兹 条 件 下 该 定 理 也 成 立,Liu,Fei 和 Liang [11] 对 一 类 系 数 函 数 非 李 普 希 兹 的 不 确 定 微 分 方 程 给 出 了 一 个 解 的 存 在 唯 一 性 定 理. 为 了 使 不 确 定 微 分 方 程 能 在 现 实 中 更 好 的 应 用,Liu [8] 提 出 了 稳 定 性 的 概 念,Chen [4] 给 出 了 线 性 不 确 定 微 分 方 程 的 几 个 稳 定 性 定 理. 在 求 解 不 确 定 微 分 方 程 方 面,Chen 和 Liu [1] 求 得 了 线 性 不 确 定 微 分 方 程 的 解 析 解,Liu [12] 和 Yao [18] 分 别 求 解 了 一 类 非 线 性 不 确 定 微 分 方 程 的 解 析 解. 很 多 情 况 下, 我 们 并 不 能 求 出 不 确 定 微 分 方 程 的 解 析 解, 为 此,Yao 和 Chen [19] 提 出 了 一 种 求 解 数 值 解 的 方 法. 由 于 不 确 定 环 境 下 动 力 系 统 具 有 多 样 性 的 特 点,Yao [2] 定 义 了 不 确 定 更 新 过 程 驱 动 的 不 确 定 微 分 方 程 用 来 描 述 带 跳 的 动 力 系 统,Chen [3] 在 Chen 分 析 的 基 础 上 给 出 有 界 变 差 过 程 驱 动 的 不 确 定 微 分 方 程 并 讨 论 了 其 诸 多 性 质. 本 文 主 要 对 不 确 定 微 分 方 程 的 研 究 现 状 进 行 总 结, 介 绍 了 几 类 重 要 的 不 确 定 微 分 方 程, 概 括 了 不 确 定 微 分 方 程 在 解 的 求 法 解 的 存 在 性 唯 一 性 和 稳 定 性 方 面 的 工 作, 并 总 结 了 不 确 定 微 分 方 程 在 经 济 金 融 等 方 面 的 应 用. 文 章 结 构 安 排 如 下, 第 2 部 分 介 绍 了 不 确 定 理 论 方 面 的 基 础 知 识 ; 第 3 部 分 引 入 不 确 定 微 分 方 程 的 概 念, 重 点 介 绍 了 不 确 定 微 分 方 程 及 其 研 究 进 展 ; 第 4 部 分 介 绍 了 其 他 几 类 不 确 定 微 分 方 程 及 其 研 究 状 况 ; 第 5 部 分 总 结 了 不 确 定 微 分 方 程 在 经 济 金 融 等 方 面 的 应 用 ; 最 后 一 部 分 对 文 章 进 行 简 短 的 小 结. 2 基 础 知 识 不 确 定 理 论 由 Liu [6] 于 27 年 建 立, 是 基 于 规 范 性 对 偶 性 次 可 加 性 和 乘 积 公 理 这 四 条 公 理 的 一 套 数 学 系 统. 不 确 定 理 论 最 核 心 的 概 念 是 不 确 定 测 度 不 确 定 变 量 不 确 定 分 布 和 期 望 值. 不 确 定 理 论 正 是 在 这 些 核 心 概 念 的 基 础 上 发 展 成 为 了 研 究 不 确 定 性 现 象 的 数 学 分 支. 为 了 描 述 随 时 间 变 化 的 不 确 定 现 象,Liu [7] 于 28 年 开 始 了 对 不 确 定 过 程 的 研 究, 提 出 了 不 确 定 过 程 的 概 念. 定 义 1 (Liu [7]) 如 果 T 表 示 时 间,(Γ, L, M) 是 一 个 不 确 定 空 间, 那 么 一 个 不 确 定 过 程 是 从 T (Γ, L, M) 到 实 数 集 上 的 可 测 函 数, 即, 对 任 意 t T 和 Borel 集 合 B, {X t B} = {γ Γ X t (γ) B} 是 一 个 事 件. 2

3 由 定 义 可 知, 不 确 定 过 程 是 随 时 间 变 化 的 一 族 不 确 定 变 量,Liu [7] 28 年 提 出 了 第 一 个 重 要 的 不 确 定 过 程, 称 之 为 典 范 过 程. 基 于 典 范 过 程,Liu [8] 建 立 了 不 确 定 分 析, 它 是 研 究 不 确 定 变 量 函 数 的 积 分 和 微 分 的 一 个 数 学 分 支. 定 义 2 (Liu [7]) 一 个 不 确 定 过 程 C t 称 为 典 范 过 程, 如 果 它 满 足 以 下 三 条 (i) C =, 几 乎 所 有 样 本 轨 道 是 Lipschitz 连 续 的 ; (ii) C t 具 有 有 稳 态 独 立 的 增 量 ; (iii) 对 于 时 间 t, 增 量 C s+t C t 是 一 个 具 有 期 望 和 方 差 t 2 的 正 态 不 确 定 变 量, 其 不 确 定 分 布 是 Φ(x) = ( ( )) πx exp, x R. 3t 定 义 3 (Liu [8]) 假 设 X t 是 一 个 不 确 定 过 程,C t 是 一 个 典 范 过 程,a = t 1 < t 2 < < t k+1 = b 是 [a, b] 的 任 意 一 个 分 割. 设 作 和 式 若 极 限 = max 1 i k t i+1 t i, X ti (C ti+1 C ti ), lim X ti (C ti+1 C ti ) 几 乎 处 处 存 在 且 有 限, 则 称 该 极 限 是 不 确 定 过 程 X t 关 于 C t 的 Liu 积 分, 记 为 b 此 时 称 不 确 定 过 程 X t 关 于 C t 是 可 积 的. a X t dc t = lim X ti (C ti+1 C ti ), 假 设 h(t, c) 是 一 个 连 续 可 导 的 二 元 函 数, 那 么 X t = h(t, C t ) 是 一 个 不 确 定 过 程. Liu [8] 证 明 了 如 下 基 本 定 理 dx t = h t (t, C t)dt + h c (t, C t)dc t, 从 而 得 到 了 链 式 法 则 换 元 积 分 和 分 部 积 分 公 式. 3 不 确 定 微 分 方 程 不 确 定 微 分 方 程 是 由 不 确 定 过 程 驱 动 的 一 类 微 分 方 程, 其 解 也 是 不 确 定 过 程. 28 年,Liu [7] 首 先 提 出 不 确 定 微 分 方 程 的 概 念 并 给 出 了 一 类 由 典 范 过 程 驱 动 的 不 确 定 微 分 方 程. 定 义 4 (Liu [7]) 设 C t 是 一 个 典 范 过 程, f,g 是 两 个 给 定 的 函 数,X t 是 一 个 未 知 的 不 确 定 过 程, 则 称 dx t = f(t, X t )dt + g(t, X t )dc t (1) 为 不 确 定 微 分 方 程, 它 的 解 是 满 足 (1) 的 不 确 定 过 程. 3

4 例 1 设 a, b 是 两 个 实 数, 则 是 一 个 不 确 定 微 分 方 程, 解 为 dx t = adt + bdc t (2) X t = X + at + bc t. 例 2 设 µ t, ν t 两 个 可 积 的 不 确 定 过 程, 不 确 定 微 分 方 程 dx t = µ t X t dt + ν t X t dc t (3) 称 为 齐 次 方 程, 解 为 ( t X t = X exp µ s ds + t ν s dc s ). 3.1 解 法 给 定 一 个 不 确 定 微 分 方 程, 求 出 它 的 解 是 一 个 重 要 的 问 题, 下 面 我 们 介 绍 可 求 解 析 解 的 几 类 方 程. Chen 和 Liu [1] 首 先 求 解 了 如 下 线 性 方 程 dx t = (µ 1t X t + µ 2t )dt + (ν 1t X t + ν 2t )dc it (4) 其 中 µ 1t, µ 2t, ν 1t, ν 2t 是 可 积 的 不 确 定 过 程. 当 µ 2t =, ν 2t = 时, 方 程 退 化 为 齐 次 方 程 (3). 当 系 数 函 数 不 是 线 性 函 数 时,Liu [12] 解 了 如 下 两 类 方 程 : dx t = f(t, X t )dt + σ t X t dc t, (5) dx t = α t X t dt + g(t, X t )dc t (6) 其 中 f 和 g 是 一 个 二 元 函 数,σ t 和 α t 是 可 积 的 不 确 定 过 程. 在 上 面 两 类 方 程 的 基 础 上,Yao [18] 更 加 具 体 了 方 程 的 系 数, 得 到 了 如 下 方 程 : dx t = f(t, X t )dt + σ t dc t, (7) dx t = µ t dt + g(t, X t )dc t (8) 其 中 f 和 g 是 一 个 二 元 函 数,σ t 和 µ t 是 可 积 的 不 确 定 过 程. 在 很 多 情 况 下, 求 不 确 定 微 分 方 程 的 解 析 解 是 一 件 很 困 难 的 事, 为 此 Yao 和 Chen [19] 设 计 了 一 个 求 不 确 定 微 分 方 程 数 值 解 的 方 法, 称 为 Yao-Chen 方 法. Yao-Chen 方 法 引 入 了 α- 轨 道 的 概 念, 把 求 不 确 定 微 分 方 程 问 题 转 化 为 求 经 典 微 分 方 程 的 问 题. 下 面 我 们 来 介 绍 一 下 Yao-Chen 方 法, 该 方 法 是 在 下 面 概 念 和 定 理 上 建 立 起 来 的. 定 义 5 (Yao 和 Chen [19]) 设 α (, 1) 是 一 个 实 数, 我 们 说 不 确 定 微 分 方 程 dx t = f(t, X t )dt + g(t, X t )dc t (9) 4

5 有 一 个 α 轨 道 X α t, 如 果 X α t 是 一 般 微 分 方 程 dx α t = f(t, X α t )dt+ g(t, X α t ) Φ 1 (α)dt (1) 的 解, 其 中 Φ 1 (α) 是 标 准 正 态 不 确 定 变 量 的 逆 分 布 函 数, 即 3 Φ 1 (α) = π ln α 1 α, < α < 1. 定 理 1 ([19]) (Yao-Chen 定 理 ) 设 X t 和 X α t 分 别 是 不 确 定 微 分 方 程 dx t = f(t, X t )dt + g(t, X t )dc t (11) 的 解 和 α- 轨 道, 对 任 意 的 t, 我 们 有 M{X t X α s } = α, 即 X t 有 如 下 逆 不 确 定 分 布 Ψ 1 t (α) = X α t, < α < 1. 基 于 上 面 α- 轨 道 的 概 念 和 Yao-Chen 定 理, 我 们 给 出 求 解 不 确 定 微 分 方 程 数 值 解 的 步 骤. Yao-Chen 方 法 步 骤 : 步 骤 1: 选 取 α (, 1). 步 骤 2: 解 普 通 微 分 方 程 dx α t = f(t, X α t )dt+ g(t, X α t ) Φ 1 (α)dt 得 到 X α t. 解 析 解 不 易 求 时 可 用 如 下 递 推 法 X α i+1 = X α i + f(t i, X α i ) + g(t i, X α i ) Φ 1 (α) 其 中 是 步 长. 步 骤 3: 得 到 解 X t 的 逆 不 确 定 分 布 Ψ 1 t (α) = X α t, < α < 1. 以 上 介 绍 的 是 关 于 不 确 定 微 分 方 程 及 其 求 解 法, 下 面 我 们 来 看 一 下 有 关 解 的 存 在 性 唯 一 性 方 面 的 研 究. 3.2 存 在 唯 一 性 定 理 这 一 部 分 我 们 介 绍 几 个 重 要 的 解 的 存 在 唯 一 性 定 理. 第 一 个 解 的 存 在 唯 一 性 定 理 由 Chen 和 Liu [1] 给 出, 该 定 理 的 条 件 中 要 求 系 数 满 足 全 局 李 普 希 兹 条 件 和 线 性 增 条 件. 以 后,Liu,Fei 和 Liang 5

6 [11] 给 出 了 系 数 非 李 普 希 兹 条 件 的 存 在 唯 一 性 定 理,Gao [5] 证 明 了 系 数 满 足 局 部 李 普 希 兹 条 件 的 存 在 唯 一 性 定 理. 定 理 2 (Chen 和 Liu [1]) 设 f, g 是 二 元 函 数, 如 果 系 数 f,g 满 足 Lipschitz 条 件 f(t, x) f(t, y) + g(t, x) (t, y) L x y, x, y R, t 和 线 性 增 条 件 f(t, x) + g(t, x) L(1+ x ), x R, t, 其 中 L 是 一 个 实 常 数, 则 不 确 定 微 分 方 程 有 唯 一 的 解, 并 且 解 是 轨 道 连 续 的. 定 理 3 (Liu,Fei 和 Liang [11]) 不 确 定 微 分 方 程 dx t = f(t, X t )dt + g(t, X t )dc t 有 唯 一 的 解, 如 果 系 数 f, g 满 足 dx t = f(x t )dt + g(x t )dc t f(x) f(y) + g(x) (y) L x y r( x y 2 ), x y < 1 其 中 L 是 一 个 实 常 数, 函 数 r : (, 1) [1, + ) 连 续 且 对 a (, 1), 满 足 a ds sr(s) = +. 定 理 4 (Gao [5]) 设 f(t, x), g(t, x) 是 [, + ) R 二 元 函 数, 不 确 定 微 分 方 程 dx t = f(t, X t )dt + g(t, X t )dc t 有 唯 一 的 解, 如 果 系 数 f, g 满 足 : (1) 局 部 Lipschitz 条 件, 即 对 矩 形 区 域 R = {(t, x) t < t < t + a, x X t (γ) }, γ Γ, t [, + ), 存 在 一 个 常 数 L, 使 得 f(t, x) f(t, y) L x y, g(t, x) (t, y) L x y, x, y R, t, (2) 局 部 线 性 增 条 件, 即 对 任 意 T >, 存 在 一 个 常 数 G T, 使 得 并 且 解 是 轨 道 连 续 的. f(t, x) G t (1+ x ), g(t, x) G T (1+ x ), x R, t [, T ], 6

7 3.3 稳 定 性 定 理 回 顾 了 不 确 定 微 分 方 程 解 的 存 在 唯 一 性 方 面 的 工 作 后, 我 们 接 下 来 看 一 下 稳 定 性 方 面 的 一 些 进 展. 不 确 定 微 分 方 程 稳 定 性 的 概 念 首 先 由 Liu [8] 提 出, 之 后 Chen [4] 在 稳 定 性 概 念 的 基 础 上 给 出 了 渐 进 稳 定 和 全 局 渐 进 稳 定 的 概 念 并 给 出 了 一 些 线 性 不 确 定 微 分 方 程 的 稳 定 性 定 理. 定 义 6 (Liu [8]) 对 任 意 ε >,t >, 如 果 任 意 解 X t 和 Y t 满 足 则 称 不 确 定 微 分 方 程 为 稳 定 的. 定 理 5 (Chen [4]) 设 µ t, ν t 是 连 续 函 数 满 足 lim M{ X t Y t > ε} =, X Y sup t t µ s ds < +, + ν t dt < +, 则 不 确 定 微 分 方 程 dx t = µ t X t dt + ν t X t dc t 是 稳 定 的. 定 义 7 (Chen [4]) 设 不 确 定 微 分 方 程 是 稳 定 的, 如 果 不 同 初 值 满 足 X Y < δ 时, lim X t Y t =, a.s. t + 则 称 不 确 定 微 分 方 程 为 渐 进 稳 定 的. 渐 进 稳 定 是 稳 定 的, 所 以 不 确 定 微 分 方 程 渐 进 稳 定 一 定 稳 定. 定 理 6 (Chen [4]) 设 µ t, ν t 是 连 续 函 数 满 足 t lim t + µ s ds =, + ν t dt < +, 则 不 确 定 微 分 方 程 dx t = µ t X t dt + ν t X t dc t 是 渐 进 稳 定 的. 定 理 7 (Chen [4]) 设 µ t, ν t 是 连 续 函 数, 如 果 存 在 p > 1 满 足 lim sup T + t T t t µ s ds ν s ds <, + ν t dt = +, 则 不 确 定 微 分 方 程 dx t = µ t X t dt + ν t X t dc t 是 渐 进 稳 定 的. 7

8 4 其 他 不 确 定 微 分 方 程 不 确 定 微 分 方 程 是 描 述 不 确 定 环 境 下 动 力 系 统 的 工 具, 由 于 不 确 定 环 境 下 动 力 系 统 具 有 复 杂 性 和 多 样 性 的 特 点, 因 此 我 们 需 要 不 同 的 不 确 定 微 分 方 程 来 刻 画. 这 一 节 我 们 介 绍 两 类 不 确 定 微 分 方 程, 一 类 是 Yao [2] 定 义 的 由 更 新 过 程 驱 动 的 不 确 定 微 分 方 程 即 带 跳 不 确 定 微 分 方 程, 此 类 微 分 方 程 可 用 来 描 述 带 跳 不 确 定 环 境 下 的 动 力 系 统, 另 一 类 是 Chen [3] 在 Chen 分 析 的 基 础 上 给 出 的 有 界 变 差 过 程 驱 动 的 不 确 定 微 分 方 程. 4.1 带 跳 不 确 定 微 分 方 程 典 范 过 程 是 样 本 轨 道 李 普 希 兹 连 续 的 不 确 定 过 程. 有 时, 一 些 突 发 的 事 件, 像 战 争 经 济 危 机 等 可 能 导 致 不 确 定 过 程 出 现 突 然 的 改 变. 为 了 研 究 这 类 带 跳 的 不 确 定 现 象,Liu [7] 提 出 了 不 确 定 更 新 过 程. 定 义 8 (Liu [7]) 设 ξ 1, ξ 2, 是 一 列 同 分 布 的 正 不 确 定 变 量. 令 S =, S n = ξ 1 + ξ ξ n. 不 确 定 过 程 称 为 更 新 过 程. N t = max n {n S n t} 从 定 义 可 以 发 现, 不 确 定 更 新 过 程 的 样 本 轨 道 不 是 连 续 的, 而 是 单 增 右 连 续 且 取 值 为 非 负 整 数 的 阶 梯 函 数. 定 义 9 (Yao [2]) 假 设 X t 是 一 个 不 确 定 过 程,N t 是 一 个 不 确 定 更 新 过 程,a = t 1 < t 2 < < t k+1 = b 是 [a, b] 的 任 意 一 个 分 割. 设 作 和 式 若 极 限 = max 1 i k t i+1 t i, X ti (N ti+1 N ti ), lim X ti (N ti+1 N ti ) 几 乎 处 处 存 在 且 有 限, 则 称 该 极 限 是 不 确 定 过 程 X t 关 于 N t 的 Yao 积 分, 记 为 b a X t dn t = lim X ti (N ti+1 N ti ), 此 时 称 不 确 定 过 程 X t 关 于 N t 是 可 积 的. 假 设 h(t, c) 是 一 个 连 续 可 导 的 二 元 函 数, 那 么 X t = h(t, N t ) 是 一 个 不 确 定 过 程. Yao [2] 证 明 了 Yao 分 析 基 本 定 理 dx t = h t (t, N t)dt + h(t, N t ) h(t, N t ). 8

9 定 义 1 (Yao [2]) 设 C t 是 一 个 典 范 过 程,N t 是 一 个 不 确 定 更 新 过 程,f,g,h 是 给 定 的 函 数,X t 是 一 个 未 知 的 不 确 定 过 程, 则 称 dx t = f(t, X t )dt + g(t, X t )dc t + h(t, X t )dn t (12) 为 带 跳 的 不 确 定 微 分 方 程, 它 的 解 是 满 足 (12) 的 不 确 定 过 程. 例 3 设 a, b, c 是 三 个 实 数, 则 dx t = adt + bdc t + cdn t (13) 是 一 个 带 跳 不 确 定 微 分 方 程, 解 为 X t = X + at + bc t + cn t. 4.2 有 界 变 差 不 确 定 微 分 方 程 定 义 11 (Chen [3]) 一 个 不 确 定 过 程 A t 称 为 有 界 变 差 过 程, 如 果 它 可 以 表 示 成 两 个 非 负 增 过 程 U t 和 V t 的 差 A t = U t V t. 定 义 12 (Chen [3]) 假 设 X t 是 一 个 不 确 定 过 程,A t 是 一 个 不 确 定 有 界 变 差 过 程,a = t 1 < t 2 < < t k+1 = b 是 [a, b] 的 任 意 一 个 分 割. 设 = max 1 i k t i+1 t i, 作 和 式 若 极 限 X ti (A ti+1 A ti ), lim X ti (A ti+1 A ti ) 几 乎 处 处 存 在 且 有 限, 则 称 该 极 限 是 不 确 定 过 程 X t 关 于 A t 的 Chen 积 分, 记 为 b a X t da t = lim 此 时 称 不 确 定 过 程 X t 关 于 A t 是 可 积 的. X ti (A ti+1 A ti ), 假 设 h(t, c) 是 一 个 连 续 可 导 的 二 元 函 数, 那 么 X t = h(t, A t ) 是 一 个 不 确 定 过 程. Chen [3] 证 明 了 如 下 基 本 定 理 dx t = h t (t, A t)dt + h c (t, A t )da t h c (t, A t )(A t A t ) + h(t, A t ) h(t, A t ). (14) 由 于 典 范 过 程 和 更 新 过 程 都 是 有 界 变 差 过 程, 所 以 当 A t = C t 和 A t = N t 时 分 别 可 得 到 Liu 积 分 和 Yao 积 分 的 基 本 定 理. 9

10 定 义 13 (Chen [3]) 设 A t 是 一 个 有 界 变 差 过 程,f,g 是 给 定 的 函 数,X t 是 一 个 未 知 的 不 确 定 过 程, 则 称 dx t = f(t, X t )dt + g(t, X t )da t (15) 为 有 界 变 差 的 不 确 定 微 分 方 程, 它 的 解 是 满 足 (15) 的 不 确 定 过 程. 例 4 设 a, b 是 两 个 实 数,A t 是 一 个 有 界 变 差 过 程, 则 dx t = adt + bda t (16) 是 一 个 有 界 变 差 不 确 定 微 分 方 程, 解 为 X t = X + at + ba t. 有 界 变 差 不 确 定 微 分 方 程 是 由 有 界 变 差 过 程 驱 动 的 不 确 定 微 分 方 程, 有 界 变 差 过 程 的 样 本 轨 道 是 有 界 变 差 函 数. 因 为 典 范 过 程 的 样 本 轨 道 是 李 普 希 兹 连 续 函 数 从 而 是 有 界 变 差 函 数, 所 以 有 界 变 差 不 确 定 微 分 方 程 可 看 成 是 不 确 定 微 分 方 程 的 推 广. Chen [3] 讨 论 了 有 界 变 差 不 确 定 微 分 方 程 的 一 些 解 法 并 给 出 几 类 特 殊 的 不 确 定 微 分 方 程 解 的 存 在 唯 一 性 定 理, 同 时 对 方 程 的 稳 定 性 做 了 研 究. 5 应 用 如 上 所 述, 自 从 不 确 定 微 分 方 程 28 年 被 Liu [7] 提 出 以 来, 发 展 至 今, 在 理 论 方 面 已 取 得 了 巨 大 的 成 就. 此 外, 作 为 处 理 不 确 定 环 境 下 动 力 系 统 的 一 个 重 要 工 具, 不 确 定 微 分 方 程 在 应 用 方 面 也 日 益 显 示 出 了 其 巨 大 的 威 力 和 优 越 性. 在 不 确 定 环 境 下,Liu [8] 首 次 应 用 不 确 定 微 分 方 程 来 建 立 证 券 模 型, 分 析 证 券 价 格, 此 后 很 多 学 者 给 出 了 其 他 一 些 重 要 的 证 券 模 型, 不 确 定 金 融 得 到 了 很 好 的 发 展. 下 面 我 们 介 绍 几 个 重 要 的 证 劵 模 型. Liu 模 型 : 令 X t 是 债 券 价 格,Y t 是 股 票 价 格, 在 股 票 价 格 服 从 几 何 典 范 过 程 的 假 设 下,Liu [8] 给 出 了 如 下 不 确 定 证 券 模 型. { dxt = rx t dt dy t = ey t dt + σy t dc t, (17) 其 中 r 是 无 风 险 利 率,e 漂 移 系 数,σ 扩 散 系 数,C t 是 典 范 过 程. 设 交 割 时 间 为 s, 执 行 价 格 为 K, 则 欧 式 买 入 期 权 的 收 益 是 (Y s K) +. 考 虑 到 债 券 导 致 的 时 间 价 值, 期 权 收 益 的 现 值 是 exp( rs)(y s K) +. 因 此, 欧 式 买 入 期 权 价 格 应 当 是 收 益 现 值 的 期 望 值 f c = exp( rs)e[(y s K) + ]. (18) 设 交 割 时 间 为 s, 执 行 价 格 为 K, 则 欧 式 卖 出 期 权 的 收 益 是 (K Y s ) +. 考 虑 到 债 券 导 致 的 时 间 价 值, 期 权 收 益 的 现 值 是 exp( rs)(k Y s ) +. 因 此, 欧 式 卖 出 期 权 价 格 应 当 是 收 益 现 值 的 期 望 值 f p = exp( rs)e[(k Y s ) + ]. (19) 1

11 按 照 如 上 欧 式 期 权 价 格 定 义,Liu [8] 计 算 出 了 交 割 时 间 为 s, 执 行 价 格 为 K 的 欧 式 期 权 定 价 公 式 (2),(21). f c = exp( rs)y + K/Y f p = exp( rs)y K/Y ( ( )) π(ln y es) exp dy. (2) 3σs ( ( )) π(es ln y) exp dy. (21) 3σs 此 外, 基 于 该 模 型,Chen [2] 给 出 了 美 式 期 权 价 格 公 式,Liu [8] 给 出 了 不 确 定 市 场 下 多 只 证 券 的 模 型,Yao [17] 给 出 了 一 类 证 劵 模 型 的 无 套 利 定 理. Peng-Yao 模 型 : 令 X t 是 债 券 价 格,Y t 是 股 票 价 格,Peng 和 Yao [15] 给 出 了 一 类 新 的 不 确 定 证 券 模 型. 其 中 r m e 和 σ 是 给 定 的 正 常 数. { dxt = r t X t dt, dy t = (m ey t )dt + σy t dc t, 该 模 型 描 述 的 是 经 济 中 常 见 的 均 值 回 归 现 象, 即 当 Y t > m/e 时, 股 票 价 格 更 有 可 能 下 跌 ; 当 Y t < m/e 时, 股 票 价 格 更 有 可 能 上 涨. 因 此 从 长 期 来 看, 股 票 价 格 在 m/e 附 近 波 动. 而 且,Peng 和 Yao [15] 给 出 了 交 割 时 间 为 T, 执 行 价 格 为 K 的 欧 式 期 权 定 价 公 式 (23),(24). (22) 其 中 f c = 3σ πe ( ( )) πβ exp( rt )(1 exp( et )) ln 1 + exp, (23) 3 β = (ek m exp( et )(ey m))/(σ σ exp( et )). 其 中 f p = 3σ πe ( ( ( )) ( ( ))) πβ πγ exp( rt )(1 exp( et )) ln 1 + exp ln 1 + exp, (24) 3 3 β = (ek m exp( et )(ey m))/(σ σ exp( et )), γ = ( m exp( et )(ey m))/(σ σ exp( et )). Liu-Chen 模 型 : 设 X t 是 本 国 货 币, 利 率 为 µ,y t 是 国 外 货 币, 利 率 为 ν,z t 是 汇 率,Liu 和 Chen [13] 给 出 了 汇 率 服 从 几 何 典 范 过 程 下 的 货 币 模 型. 其 中 e 漂 移 系 数,σ 扩 散 系 数. dx t = µx t dt dy t = νy t dt + σy t dc t dz t = ez t dt + σz t dc t, (25) 11

12 式 基 于 该 货 币 模 型,Liu 和 Chen [13] 给 出 了 交 割 时 间 为 s, 执 行 价 格 为 T 的 货 币 期 权 定 价 公 f = 1 2 exp( µs)z exp( νs)z + K/Z 1 ( ( )) π(ln y es) exp dy 3σs ( 1 + exp ( )) π(ln(1 y) + es + ln KZ ) 1 dy. 3σs (26) 不 确 定 微 分 方 程 在 证 券 市 场 和 货 币 市 场 的 成 功 应 用 使 得 不 确 定 金 融 被 很 好 的 发 展 起 来 了. 优 化 控 制 方 面,Zhu [22] 应 用 不 确 定 微 分 方 程 应 建 立 了 不 确 定 优 化 控 制 模 型,Yao 和 Qin [21] 提 出 了 一 类 不 确 定 优 化 模 型 并 应 用 于 生 产 库 存 系 统,Xu 和 Zhu [16] 给 出 了 一 类 特 殊 的 优 化 控 制 模 型. 现 在, 不 确 定 微 分 方 程 正 被 人 们 广 泛 地 应 用 于 金 融 经 济 和 控 制 等 领 域. 6 小 结 本 文 总 结 了 不 确 定 微 分 方 程 的 研 究 现 状, 介 绍 了 几 类 不 确 定 过 程 驱 动 的 不 确 定 微 分 方 程. 重 点 描 述 了 典 范 过 程 驱 动 的 不 确 定 微 分 方 程 的 研 究 进 展, 此 外, 我 们 还 总 结 了 不 确 定 微 分 方 程 在 经 济 金 融 等 方 面 的 一 些 应 用. 不 确 定 微 分 方 程 是 建 立 在 不 确 定 分 析 的 基 础 之 上, 我 们 可 以 继 续 研 究 更 多 更 广 义 的 不 确 定 分 析 及 与 之 对 应 的 不 确 定 微 分 方 程. 致 谢 本 文 得 到 国 家 自 然 科 学 基 金 (No ) 湖 北 省 自 然 科 学 基 金 (No.21CDB281) 和 湖 北 省 教 育 厅 科 技 创 新 团 队 项 目 (No.T2111) 支 持. 参 考 文 献 [1] Chen XW, and Liu B, Existence and Uniqueness Theorem for Uncertain Differential Equations, Fuzzy Optimization and Decision Making, Vol.9, No.1, 69-81, 21. [2] Chen XW, American Option Pricing Formula for Uncertain Financial Market, International Journal of Operations Research, Vol.8, No.2, 32 37, 211. [3] Chen XW, Uncertain Calculus with Finite Variation Processes, pdf. [4] Chen XW, Stability Analisis of Linear Uncertain Differential Equation, sc.edu.cn/online/911.pdf.. [5] Gao Y, Existence and Uniqueness Theorem on Uncertain Differential Equations with Local Lipschitz Condition, 12

13 [6] Liu B, Uncertainty Theory, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 27. [7] Liu B, Fuzzy Process, Hybrid Process and Uncertain Process, Journal of Uncertain Systems, Vol.2, No.1, 3 16, 28. [8] Liu B, Some Research Problems in Uncertainty Theory. Journal of Uncertain Systems, Vol.3, No.1, 3 1, 29. [9] Liu B, Theory and Practice of Uncertain Programming. Springer-Verlag, Berlin, 29. [1] Liu B, Uncertainty Theory: A Branch of Mathematics for Modeling Human Uncertainty, Springer-Verlag, Berlin, 21. [11] Liu H, Fei W, and Liang Y, Existence and Uniqueness of Solution for Uncertain Differential Equations with Non-Lipschitz Coefficients, Proceedings of the Third Intelligent Computing Conference, Wuhu, China, May 21-25, 21, pp [12] Liu YH, An Analytic Method for Solving Uncertain Differential Equations, orsc.edu.cn/online/1142.pdf. [13] Liu YH, and Chen XW, Currency Models with Uncertain Exchange Rate, pdf. [14] Peng J, A General Stock Model for Fuzzy Markets, Journal of Uncertain Systems, Vol.2, No.4, , 28. [15] Peng J, and Yao K, A New Option Pricing Model for Stocks in Uncertainty Markets, International Journal of Operations Research, Vol.8, No.2, 18 26, 211. [16] Xu X, and Zhu Y, Uncertain Bang-bang Control for Continuous Time Model, orsc.edu.cn/online/11525.pdf. [17] Yao K, A No-Arbitrage Determinant Theorem for Uncertain Stock Model, orsc.edu.cn/online/193.pdf. [18] Yao K, A Type of Nonlinear Uncertain Differential Equation with Analytic Solution, [19] Yao K, and Chen XW, A Numerical Method for Solving Uncertain Differential Equation, [2] Yao K.: Uncertain Calculus with Renewal Process, Fuzzy Optimization and Decision Making, to be published. [21] Yao K, and Qin ZF, An Uncertain Control Model with Application to Production-Inventory System, Proceeding of the Twelfth Asia Pacific Industrial Engineering and Management Systems Conference, Beijing, China, October 15-17,211, pp

14 [22] Zhu Y, Uncertain Optimal Control with Application to A Portfolio Selection Model, Cybernetics and Systems, Vol.41, No.7, ,