3.2 導 函 數 其 切 線 (tangent line) 為 通 過 P, 且 其 斜 率 為 m 的 直 線, 即 y = f(a) + m(x a) (3) 其 法 線 (normal line) 為 通 過 P 且 與 切 線 垂 直 的 直 線, 即 y = f(a) 1 (x a) m

第 3 章 微 分 (Differentiation) 目 錄 3.1 切 線................................... 25 3.2 導 函 數.................................. 26 3.3 微 分 公 式................................. 28 3.4 連 鎖 律.................................. 28 3.5 高 階 導 函 數............................... 29 3.6 隱 函 數 微 分................................ 30 3.7 三 角 函 數 的 導 函 數............................. 30 3.8 反 函 數, 指 數, 對 數, 反 三 角 函 數 之 微 分.................. 31 3.9 雙 曲 函 數................................. 34 3.10 變 化 率.................................. 35 3.11 指 數 成 長 與 衰 變.............................. 37 3.12 相 對 速 率................................. 38 3.13 線 性 估 計................................. 38 (1) 由 切 線 的 概 念 導 入 微 分 定 義 導 函 數 及 導 數 (3) 導 出 微 分 的 四 則 運 算 和 合 成 運 算 的 公 式 (4) 三 角 函 數, 反 三 角 函 數 與 指 數, 對 數, 雙 曲 函 數 的 微 分 (5) 隱 函 數 微 分 (6) 微 分 應 用, 包 括 變 化 率 相 對 速 率 及 線 性 估 計 3.1 切 線 (Tangents) 定 義 3.1.1. (1) 曲 線 y = f(x) 在 點 P (a, b) 之 斜 率 (slope) 為 f(a + h) f(a) m = lim, h 0 h ( 假 設 其 極 限 存 在 ) 25

3.2 導 函 數 其 切 線 (tangent line) 為 通 過 P, 且 其 斜 率 為 m 的 直 線, 即 y = f(a) + m(x a) (3) 其 法 線 (normal line) 為 通 過 P 且 與 切 線 垂 直 的 直 線, 即 y = f(a) 1 (x a) m 註 3.1.2. 圓 C 在 P 點 的 切 線 L, 滿 足 以 下 三 特 性 : (a) L 與 過 P 之 半 徑 垂 直, 交 於 一 點, (c) C 位 於 L 的 一 側 但 一 般 曲 線 上 的 切 線 不 見 得 滿 足 以 上 條 件 (b) L 與 C 只 例 3.1.3. 求 y = x 2 在 點 (2, 4) 的 斜 率 (slope), 並 求 其 切 線 方 程 式 例 3.1.4. 求 y = 3 x 在 點 (3, 1) 的 切 線 方 程 式 例 3.1.5. y = mx + b 在 其 上 任 一 點 的 切 線 為 本 身 定 義 3.1.6. (1) 設 兩 曲 線 相 交 於 P 點, 則 此 兩 曲 線 在 P 點 的 交 角 定 義 為 它 們 過 P 點 之 切 線 的 交 角 (angle between two curves) 若 兩 曲 線 在 P 點 的 交 角 為 直 角, 則 稱 它 們 為 正 交 (orthogonal) (3) 若 兩 曲 線 在 P 點 的 切 線 相 同, 則 稱 它 們 為 相 切 3.2 導 函 數 (Derivatives) 導 數 與 導 函 數 f(a+h) f(a) 定 義 3.2.1. (1) 令 f(x) 為 一 函 數, 且 a Dom f 假 設 極 限 lim 存 在, 則 定 義 此 極 h 0 h 限 為 函 數 f(x) 在 x = a 的 導 數 (erivative), 記 為 f (a), 且 稱 函 數 f(x) 在 x = a 可 微 (ifferentiable) 對 任 一 個 可 微 點 a, 其 對 應 一 值 f (a); 此 對 應 可 定 義 一 個 函 數 f (x), 稱 為 f(x) 對 於 x 的 導 函 數 (erivative) 即 ( ) f f(x + h) f(x) f(y) f(x) (x) = lim = lim h 0 h y x y x 導 函 數 的 定 義 域 即 為 所 有 可 微 之 點 註 3.2.2. (1) 求 導 函 數 的 過 程 稱 為 微 分 (ifferentiation) 給 定 y = f(x), 其 導 函 數 可 記 為 以 下 形 式 : (3) 導 數 可 記 為 f (a) = y x f (x) = y = y x = f x = x=a = y x ] x=a (4) 利 用 Leibniz 的 符 號, 導 函 數 的 定 義 可 表 為 x f(x) = Df(x) = D xf(x) = f(x) y = lim y x x 0 x 微 積 分 講 義, 26

3.2 導 函 數 例 3.2.3. 試 描 繪 右 圖 中 之 函 數 的 導 函 數 圖 形 例 3.2.4. 討 論 以 下 各 函 數 的 導 函 數 : (1) x xn, n N, x (3) x ( 1 ) x, n N, n n x, n N 例 3.2.5. 求 x x, 及 y = x 在 x = 4 的 切 線, 法 線 方 程 式 例 3.2.6. (a) 求 過 (1, 1), 且 與 y = x 2 相 切 的 直 線 (b) 求 過 ( 1, 1), 且 與 y = x 2 相 切 的 直 線 例 3.2.7. 求 y = 1 + x 2 及 y = 1 x 2 的 公 切 線 f(a+h) f(a h) 例 3.2.8. 若 f(x) 在 x = a 可 微, 求 lim h 0 2h 定 義 3.2.9. (1) 若 f(x) 在 一 開 區 間 (a, b) 上 每 一 點 均 有 導 數, 則 稱 它 在 (a, b) 上 可 微 f(a+h) f(a) 若 lim h 0 + h f(a+h) f(a) 若 lim h 0 h 存 在, 則 稱 f(x) 在 x = a 有 右 導 數 f +(a); 存 在, 則 稱 f(x) 在 x = a 有 左 導 數 f (a) (3) 若 f(x) 在 (a, b) 上 可 微, 且 在 x = a 有 右 導 數, 在 x = b 有 左 導 數, 則 稱 f(x) 在 [a, b] 上 可 微 例 3.2.10. 討 論 以 下 各 函 數 的 導 函 數 : (1) f(x) = x, f(x) = x, (3) f(x) = x 可 微 性 與 連 續 性 定 理 3.2.11. 若 f(x) 在 x = a 可 微, 則 f(x) 在 x = a 連 續 註 3.2.12. (1) f(x) 在 x = a 不 可 微 的 三 種 可 能 狀 況 : (a) f(x) 在 x = a 不 連 續 (b) f(x) 在 x = a 連 續, 但 f +(a) f (a), 稱 為 拐 點 (corner 或 kink) (c) f(x) 在 x = a 連 續, 但 lim x a f (x) =, 稱 為 臍 點 (cusp), 有 垂 直 切 線 (a) 一 函 數 連 續, 不 見 得 可 微 ( 例 如 f(x) = x 在 x = 0 處 ) (b) 一 函 數 在 a 可 微, 則 必 有 切 線 (c) 一 函 數 在 a 雖 有 切 線, 但 不 必 可 微 ( 可 能 為 垂 直 切 線 ) 定 理 3.2.13. (Darboux, 導 函 數 的 中 間 值 定 理 ) 若 f(x) 在 I 上 可 微, 且 a, b I, 則 f (x) 對 f (a) 及 f (b) 之 間 每 一 數 均 可 取 值 即 : 對 介 於 f (a) 與 f (b) 之 間 的 任 意 數 k, 皆 存 在 c I 使 得 f (c) = k 例 3.2.14. 是 否 存 在 R 上 的 可 微 函 數, 使 其 導 函 數 是 x? 微 積 分 講 義, 27

3.3 微 分 公 式 3.3 微 分 公 式 定 理 3.3.1. 假 設 f(x), g(x) 均 可 微 (1) (c) = 0 x x (c(f(x))) = c x f(x) (3) (f ± g) = f ± g x x x g (4) (fg) = f + g f x x x f g h (5) (fgh) = gh + f h + fg [ 此 公 式 可 推 廣 到 n 個 函 數 相 乘 ] x x x x (6) ( f ) = f x x g g f g x g 2 例 3.3.2. 微 分 以 下 各 函 數 : (1) f(t) = t(a + bt), 3x2 +2 x x. (3) y = (x2 + 1 x )(x3 +3) x+1 例 3.3.3. 若 y = uv, 且 u = 3, u = 4, v = 1, v = 2, 求 y 例 3.3.4. 若 f(x) = xg(x), 且 g(4) = 2, g (4) = 3, 求 f (4) 例 3.3.5. 求 y = x 4 6x 2 + 4 的 水 平 切 線 方 程 式 例 3.3.6. 令 f ij (x) 為 可 微 函 數 求 行 列 式 g(x) = 3.4 連 鎖 律 (Chain Rule) f 11 (x) f 12 (x) f 13 (x) f 21 (x) f 22 (x) f 23 (x) f 31 (x) f 32 (x) f 33 (x) 的 導 函 數 定 理 3.4.1. 若 f(u) 在 u = g(x) 處 可 微, g(x) 在 x 處 可 微, 則 合 成 函 數 f g 在 x 處 可 微, (f g) (x) = f (g(x)) g y (x) 或 = y u x u x 例 3.4.2. 微 分 以 下 各 函 數 : (1) y = (x 3 1) 100, y = (2x + 1) 5 (x 3 2x + 1) 4, (3) f(t) = ( t 2 2t+1 )9, (4) g(x) = 1 3 x 2 +x+1, (5) h(x) = 3 x 2 + x 3 + 1 例 3.4.3. 證 明 y = 1 (1 2x) 3 的 每 一 條 切 線 都 是 正 斜 率 微 積 分 講 義, 28

3.5 高 階 導 函 數 3.5 高 階 導 函 數 (Higer-Orer Derivatves) 3.5.1. 給 定 y = f(x), 假 設 f (x) 也 可 微 定 義 f (x) = (f (x)), 稱 為 f(x) 的 二 階 導 函 數 同 樣, 可 定 義 f (x) = (f (x)),..., f (n) (x) = (f (n 1) (x)) f (n) 稱 為 n 階 導 函 數 符 號 3.5.2. y (n) = n y x n = D n y 定 理 3.5.3 (Leibniz). (fg) (n) = n i=0 ( n i [ 註 ] ( (1) 此 處 的 符 號 n i) 即 為 同 學 們 在 高 中 習 慣 使 用 的 Ci n 請 將 此 定 理 與 二 項 式 定 理 (x + y) n = n i=0 ( n i) x i y n i 比 較 之 例 3.5.4. 求 以 下 各 例 的 f (n). (1) y = x 3 3x 2 + 2, y = x n, (3) y = 1 2x+3, (4) y = 1 x 2 1, 1 (5) y = x 2 4x+3 ( 例 3.5.5. 證 明 n ax+b ) x n cx+ = ( 1) n 1 n!c n 1 (a bc) (cx+) n+1 例 3.5.6. 求 ( x3 x 2 1 )(96) 註 3.5.7. 你 是 否 可 以 猜 測 出 一 般 項 (f g) (n) (x) 的 公 式 事 實 上, ) f (i) g (n i), 其 中 f (0) = f, ( ) n i = n! 為 二 項 係 數 i!(n i)! ( ) (f g) (n) n! (x) = Σ m 1!m 2!m 3! m n! f (m 1+m 2 +m 3 + +m n g ) (g(x))π n (j) (mj) (x) j=1, j! 其 中 求 和 符 號 Σ 是 對 所 有 滿 足 1m 1 +2m 2 +3m 3 + +nm n = n 之 非 負 整 數 (m 1, m 2, m 3, m n ) 求 和 這 公 式 稱 為 faà i Bruno(1825-1888) 公 式 例 3.5.8. 令 Legenre 多 項 式 為 χ n (x) = 1 2 n n! [(x2 1) n ] (n) (a) 證 明 (x 2 1)χ n + 2xχ n n(n + 1)χ n = 0 (b) 求 χ n (1) 及 χ n ( 1) 微 積 分 講 義, 29

3.6 隱 函 數 微 分 3.6 隱 函 數 微 分 (Implicit Differentiation) 例 3.6.1. (a) 若 x 2 + y 2 y = 25, 求 x (b) 過 圓 x 2 + y 2 = 25 上 一 點 (3, 4) 的 切 線 方 程 式 為 何? 例 3.6.2. 若 q p Q, 求 x (x q p ) 例 3.6.3. 求 x (1 x2 ) 1/4 例 3.6.4. 曲 線 x 3 + y 3 2xy = 0 上 有 一 點 斜 率 為 1, 求 該 點 例 3.6.5. 星 形 線 為 x 2 3 + y 2 3 常 數 = a 2 3, a > 0 證 明 過 其 上 任 一 點 的 切 線, 被 座 標 軸 截 出 線 段 長 度 為 一 [ 註 ] 試 比 較 x 2 + y 2 = a 2, x + y = a, 與 x 2 3 + y 2 3 = a 2 3 之 圖 形 例 3.6.6. 若 x 4 + y 4 = 16, 求 y 例 3.6.7. (a) 若 x 3 + y 3 = 9xy, 求 y (b) 過 the folium of Descartes x 3 + y 3 = 6xy 上 一 點 (3, 3) 的 切 線 及 法 線 方 程 式 為 何? (c) 曲 線 上 哪 一 點 的 切 線 為 水 平? () 討 論 過 原 點 的 切 線 方 程 式 3.7 三 角 函 數 的 導 函 數 定 理 3.7.1. (1) cos x = sin x x (3) x tan x = sec2 x (4) x cot x = csc2 x sin x = cos x x (5) sec x = tan x sec x x (6) csc x = cot x csc x x 例 3.7.2. 微 分 以 下 函 數 : (a) y = sin(x 2 ), (b) y = sin 2 x 例 3.7.3. 求 以 下 函 數 的 導 函 數 : (1) g(t) = tan(5 sin 2t), f(x) = sin(cos(tan x)), (3) y = sin(x ) 微 積 分 講 義, 30

3.8 反 函 數, 指 數, 對 數, 反 三 角 函 數 之 微 分 例 3.7.4. 求 y = sin 5 x 在 x = π/3 的 切 線 方 程 式 例 3.7.5. 求 f(x) = sec x 的 水 平 切 線 方 程 式 1+tan x 1 例 3.7.6. (a) 證 明 + cos x + cos 2x + + cos nx = sin(n+ 1 2 x) 2 (b) 導 出 和 sin x + 2 sin 2x + + n sin nx 之 公 式 例 3.7.7. 若 sin(x + y) = y 2 cos x, 求 例 3.7.8. y = sec x, 求 y 例 3.7.9. y = sin x, 求 y (n) y x 2 sin x 2 例 3.7.10. y = x 3 sin 2x, 求 y (95) { x 例 3.7.11. 令 f n (x) = n sin 1, x 0, x 0, x = 0 求 滿 足 下 列 各 條 件 之 n 值 : (a) 使 其 連 續 ; (b) 使 其 可 微 ; (c) 使 其 導 函 數 連 續 ; () 使 其 二 階 可 微 ; (e) 嘗 試 推 廣 之 3.8 反 函 數, 指 數, 對 數, 反 三 角 函 數 之 微 分 反 函 數 之 微 分 定 理 3.8.1. 若 f 定 義 在 區 間 I 上, f (x) 在 I 上 存 在, 且 均 不 為 0, 則 f 1 在 I 上 可 微, 且 (f 1 ) (b) = 1 f (f 1 (b)) [ 註 ] (1) 此 定 理 之 幾 何 意 義 若 一 函 數 y = f(x) 可 將 其 參 數 化 為 x = t, y = f(t) 則 其 反 函 數 可 參 數 化 為 x = f(t), y = t 例 3.8.2. (1) f(x) = x 2, x 0 求 (f 1 ) (x) f(x) = x 3 2, 求 自 然 指 數 函 數 之 微 分 f 1 x x=6 性 質 3.8.3. x (ax a ) = lim x+h a x h 0 h = (lim a h 1 h 0 h 定 義 3.8.4. e 是 一 個 數, 滿 足 lim h 0 e h 1 e = 1 定 理 3.8.5. (1) x eu = e u u x 例 3.8.6. 微 分 : (1) y = e sec 3θ y = sin(x 2 + e x ) x (ex ) = e x 微 積 分 講 義, 31 )ax 且 f a (0) = lim h 1 h 0 h

3.8 反 函 數, 指 數, 對 數, 反 三 角 函 數 之 微 分 例 3.8.7. (1) 求 y = ex 在 P (1, e) 的 切 線 及 法 線 方 程 式 x 2 +1 2 曲 線 y = e x 上 那 一 個 點 的 切 線 平 行 於 y = 2x 例 3.8.8. 若 f(x) = xe x, 求 f (n) 自 然 指 數 函 數 之 微 分 定 理 3.8.9. (1) ln x = 1 x x 若 u = u(x), 則 ln u = 1 x u (3) x ln x = 1 x, x 0 例 3.8.10. 微 分 以 下 各 函 數 : (1) y = ln(x 3 + 1) y = ln(sin x) (3) f(x) = ln x (4) y = ln x+1 x 2 u x 例 3.8.11. 求 y = ln x 之 切 線 使 其 通 過 原 點 例 3.8.12. 當 c 為 何 值 時, 圖 形 y = ln x 及 y = cx 2 恰 交 於 一 點? 一 般 指 數 函 數 之 微 分 定 理 3.8.13. (1) x au = a u ln a y x x ax = ln a a x, 定 理 3.8.14. 對 任 意 實 數 r, x ur r 1 u = ru x 例 3.8.15. 求 : (1) x 3sin x x x 2 (3) x (2 + sin 3x)π 一 般 對 數 函 數 之 微 分 定 理 3.8.16. x (log a u) = 1 定 理 3.8.17. e = lim x 0 (1 + x) 1 x 例 3.8.18. 求 (1) log(3x + 1) x x log 5(2 + sin x) 1 u ln a u x = lim y (1 + 1 y )y 微 積 分 講 義, 32

3.8 反 函 數, 指 數, 對 數, 反 三 角 函 數 之 微 分 對 數 微 分 法 (logarithmic ifferentiation) 例 3.8.19. (1) 求 求 x (x x ), x > 0 (3) 求 x (xxx ), x > 0 y, 其 中 y = x3/4 x 2 +1 x (3x+2) 5 註 3.8.20. 注 意 分 辨 以 下 四 種 類 型 函 數 的 微 分 : (1) x (ab ) = 0, x [f(x)]b = b[f(x)] b 1 f (x), (3) x [ag(x) ] = a g(x) (ln a)g (x), [ (4) x [f(x)]g(x) = [f(x)] g(x) g(x)f (x) + g (x) ln f(x) f(x) 反 三 角 函 數 之 微 分 ] 定 理 3.8.21. (1) x (sin 1 u) = 1 u 1 u 2, u < 1, x x (cos 1 u) = 1 1 u 2 (3) x (tan 1 u) = 1 1+u 2 u x, (4) x (cot 1 u) = 1 u, 1+u 2 x (5) x (sec 1 u) = 1 (6) x (csc 1 u) = 例 3.8.22. 微 分 : (1) y = 1 sin 1 (x 2 ), u u u 2 1 x 1 u u u 2 1 x f(x) = x arctan x, (3) y = sec 1 (5x 4 ) u, u < 1, x, u > 1,, u > 1 例 3.8.23. 求 y = cot 1 x 在 x = 1 的 切 線 方 程 式 例 3.8.24. 證 明 x sin 1 (sin x) = sgn(cos x), 若 x (n + 1 )π, n Z 2 例 3.8.25. 若 y = tan 1 x, 證 明 (1) y (n) = (n 1)! cos n y sin n ( y + π 2 ). y (n) = ( 1) n 1 (n 1)! (1 + x 2 ) n 2 sin ( n tan 1 1 x), x > 0. (3) 求 y (n) (0) 例 3.8.26. 令 y = sin 1 x, 求 y (n+1) 微 積 分 講 義, 33

3.9 雙 曲 函 數 3.9 雙 曲 函 數 (hyperbolic functions) 雙 曲 函 數 及 其 導 函 數 定 義 3.9.1. 雙 曲 函 數 定 義 為 (1) sinh x = ex e x 2, cosh x = ex +e x 2, (3) tanh x = ex e x e x +e x, (4) coth x = ex +e x e x e x, (5) sech x = 2 e x +e x, (6) csch x = 2 e x e x 註 3.9.2. (1) sinh(2x) = 2 sinh x cosh x cosh(2x) = cosh 2 x + sinh 2 x (3) cosh 2 x sinh 2 x = 1( 可 應 用 至 雙 曲 線 的 參 數 式 ) 定 理 3.9.3. 雙 曲 函 數 之 導 函 數 為 (1) sinh x = cosh x, x cosh x = sinh x, x (3) x tanh x = sech 2 x, (4) x coth x = csch 2 x, (5) sech x = sech x tanh x, x (6) csch x = csch x coth x x 例 3.9.4. t (tanh 1 + t 2 ) 反 雙 曲 函 數 及 其 導 函 數 定 義 3.9.5. 反 雙 曲 函 數 為 (1) y = sinh 1 x : R R, y = cosh 1 x : [1, ) [0, ), (3) y = tanh 1 x : R R, (4) y = coth 1 x : (, 1) (1, ) R \ {0}, (5) y = sech 1 x : (0, 1] [0, ), (6) y = csch 1 x : R \ {0} R \ {0} 微 積 分 講 義, 34

3.10 變 化 率 註 3.9.6. 反 雙 曲 函 數 可 具 體 以 對 數 函 數 表 出 如 下 : (1) sinh 1 x = ln(x + x 2 + 1), x R, cosh 1 x = ln(x + x 2 1), x 1, (3) tanh 1 x = 1 2 (4) coth 1 x = 1 2 1+x ln, x < 1, 1 x x+1 ln, x > 1, x 1 (5) sech 1 x = ln( 1+ 1 x 2 x ), x 0, (6) csch 1 x = ln( 1 x + x 2 +1 x ), x > 1 定 理 3.9.7. 反 雙 曲 函 數 之 導 函 數 為 (1) (sinh 1 u) = 1 u, u, x 1+u 2 x (cosh 1 u) x = 1 (3) (tanh 1 u) x = 1 u u 2 1 u 1 u 2 x (4) (coth 1 u) x = 1 u 1 u 2 x x, u > 1,, u < 1,, u > 1, (5) (sech 1 u) x = 1 u 1 u 2 u x, 0 < u < 1, (6) (csch 1 u) x = 1 u 1+u 2 u x, u 0 例 3.9.8. 求 t (tanh 1 (sin x)) 3.10 變 化 率 (Rate of Changes) 定 義 3.10.1. 給 定 函 數 y = f(x), (1) 在 x 1 處, x 的 變 化 為 x = x 2 x 1, 所 對 應 y 的 變 化 為 y = f (x 2 ) f (x 1 ) y x = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 稱 為 y 在 [x 1, x 2 ] 上 對 x 的 平 均 變 化 率 (3) y = lim y 稱 為 y 對 x 的 瞬 時 變 化 率 ( 若 此 極 限 存 在 ) x x 0 x 例 3.10.2. 圓 的 面 積 為 A = π 4 D2, D 為 直 徑 求 在 D = 10 時, 圓 的 面 積 對 直 徑 的 變 化 率 物 理 定 義 3.10.3. 若 一 物 體 直 線 運 動, 在 時 間 t 的 位 置 為 s = f(t), 則 在 時 間 t, (a) 物 體 的 運 動 速 度 (velocity) 為 v(t) = s = lim f(t+ t) f(t) t t 0 t (b) 速 率 (spee) 為 v(t) = s t 微 積 分 講 義, 35

3.10 變 化 率 (c) 加 速 度 (acceleration) 為 a(t) = v t = 2 s t 2 () 急 跳 度 (jerk) 為 j(t) = a t = 3 s t 3 例 3.10.4. 一 物 體 的 位 置 函 數 為 s = f (t) = t 3 6t 2 + 9t (t 單 位 為 秒,s 單 位 為 公 尺 ) (a) 求 時 間 t 的 速 度 (b) 求 t = 2 及 t = 4 的 速 度 (c) 何 時 粒 子 靜 止? () 何 時 粒 子 向 前 ( 即 正 向 )? (e) 作 圖 表 現 粒 子 的 運 動 (f) 求 該 粒 子 在 前 5 秒 鐘 移 動 的 總 距 離 (g) 求 時 間 t 的 加 速 度 (h) 何 時 粒 子 加 速? 何 時 減 速? (i) 作 0 t 5 時, 位 置 速 度 和 加 速 度 的 函 數 圖 形 例 3.10.5. 一 段 電 線 其 質 量 不 均 勻 從 左 端 點 算 起 到 x 公 尺 處, 質 量 為 m = f (x) 則 在 x 處 的 m ( 線 性 ) 密 度 為 ρ = lim = m x 0 x x 例 如 : 若 m = x,1 x 1.2, 則 在 x = 1 的 密 度 為 ρ = m x x=1= 1 2 x x=1= 1. 2 例 3.10.6. 在 t 時, 通 過 一 電 線 的 靜 電 荷 (net charge) 為 Q, 則 在 時 間 t 的 電 流 (current) Q 為 I = lim = Q. t 0 t t 化 學 例 3.10.7. 例 : 由 reactant A 和 B 經 化 學 反 應 生 成 prouct C, 即 A + B C A 之 濃 度 [C] (mole/liter) 記 為 [A] C 的 反 應 速 率 為 lim = [C] > 0, [C] = [A] = [B] t t t t t 若 aa + bb cc + D, 則 1 [A] a t 熱 力 學 t 0 = 1 b [B] t = 1 c [C] t = 1 [D] t 例 3.10.8. 在 恆 溫 下, 物 質 的 體 積 與 壓 力 有 關 V < 0,compressibility 定 義 為 β = 1 V P V 例 如 : 假 設 一 物 體 在 25 C 時, 體 積 與 壓 力 的 關 係 為 V = 5.3, 則 在 P = 50kpa 時 的 compressibility 為 β = 1 V V P P =50= 0.02 (m 3 /kpa) /m 3 P. 生 物 學 n 例 3.10.9. 若 n = f (t) 為 一 種 動 物 或 植 物 在 時 間 t 時 的 個 體 數 其 成 長 率 為 例 如 : 細 菌 數 目 每 小 時 加 倍, 則 f (t) = 2 t n 0, n = n t 02 t n ln 2 若 n 0 = 100, 則 4 小 時 後 為 1600 ln 2 1109 t. P t t=4= 例 3.10.10. 血 管 長 L, 半 徑 為 R, 因 管 壁 的 摩 擦 力, 血 液 的 速 度 與 它 和 血 管 中 心 軸 的 距 離 r 有 關 laminar law ( 法 國 物 理 學 家 Jean-Louis-Movie Poiseuille 1840 年 發 現 ) 為 V = P 4ηL (R2 r 2 ), 其 中 P 是 血 管 兩 端 的 壓 力 差, η 是 血 液 的 黏 度 Velocity graient 是 V r. 例 如 : 設 一 個 小 孩 的 動 脈 是 η = 0.027,R = 0.008,L = 2cm,P = 4000ynes/cm 2, 在 r = 0.002cm 時, V r = 4000(0.0002) 2(0.027)2 74(cm/s)/cm 微 積 分 講 義, 36

3.11 指 數 成 長 與 衰 變 經 濟 例 3.10.11. 一 工 廠 生 產 固 定 寬 度 的 布 料, 生 產 x 公 尺 的 成 本 是 C = f(x) (a) f (x) 的 意 義 為 何? 單 位 為 何? (b) f (1000) = 9 的 意 義 為 何? (c) f (500) 及 f (50), 你 認 為 哪 一 個 比 較 大? f (5000) 呢? 定 義 3.10.12. 若 C(x) 為 生 產 量 x 時 的 成 本 函 數 (cost function), 則 生 產 的 邊 際 成 本 (marginal cost) 為 c x (C (n) C (n + 1) C (n). 其 意 義 為 每 多 生 產 一 件 產 品 時 所 增 加 的 成 本 ) 例 3.10.13. 若 C (x) = 10000 + 5x + 0.001x 2, 則 C (500) = 15,C (501) C (500) = 15.01C (500) C (501) C (500) [ 註 ] 通 常 總 成 本 為 C (x) = a + bc + cx 2 + x 3,a 為 固 定 成 本 (overhea cost), 例 如 租 金 維 護 費 其 他 項 是 變 動 成 本, 材 料 的 成 本 與 x 成 正 比, 但 勞 力 成 本 可 能 與 x 較 高 冪 次 有 關, 例 如 加 班 費 工 作 效 率 等 其 他 科 學 3.10.14. 氣 象 學 家 要 知 道 大 氣 壓 力 與 高 度 的 關 係 地 質 學 家 關 心 岩 漿 在 石 頭 中 溫 度 冷 卻 的 速 度 都 市 地 理 學 家 要 知 道 一 城 市 人 口 密 度 與 它 和 都 市 中 心 之 距 離 的 變 化 關 係 心 理 學 家 關 心 學 習 曲 線 社 會 學 家 關 心 流 言 傳 播 的 速 度 3.11 指 數 成 長 與 衰 變 (Exponential Growth an Decay) 3.11.1. 若 一 個 量 y 在 時 間 t 時 增 加 ( 或 減 少 ) 的 速 度 與 在 該 時 的 量 成 正 比, 在 時 間 t = 0 時 的 量 記 為 y 0 則 y 滿 足 初 值 問 題 y (t) = ky(t), y(0) = y 0, y > 0 定 理 3.11.2. 以 上 的 量 滿 足 指 數 變 化 律 (law of exponential change), 即 y = y 0 e kt 當 k > 0 為 成 長, k < 0 為 衰 變 k 稱 為 成 長 常 數 3.11.3. 人 口 成 長 : P t = kp, k 為 人 口 相 對 成 長 率 例 3.11.4. 在 1950 年 世 界 人 口 25.60 億, 1960 年 為 30.40 億, 以 此 作 出 人 口 模 式 人 口 相 對 成 長 率 是 多 少? 估 計 1993 年 及 2020 年 的 人 口 數 3.11.5. 放 射 性 物 質 衰 變 : m t = km, k 為 相 對 衰 變 率 例 3.11.6. 鐳 -226 半 生 期 是 1590 年, 一 個 鐳 的 樣 本 重 100 mg, 求 t 年 後 鐳 之 質 量 的 公 式, 求 1000 年 後 的 質 量, 何 時 剩 下 30 mg? 3.11.7. 牛 頓 冷 卻 定 律 (Newton s Law of Cooling): 令 H(t) 為 物 體 在 時 間 t 的 溫 度, H s 為 周 H 圍 環 境 的 溫 度, 則 其 滿 足 微 方 = k(h H t s ) 由 此 得 H = H s + (H 0 H s )e kt, H 0 是 t = 0 的 溫 度 例 3.11.8. 室 溫 22 C 的 汽 水 放 入 7 C 的 冰 箱 中 半 小 時 後, 汽 水 的 溫 度 是 16 C (a) 再 半 小 時 溫 度 降 到 多 少? (b) 須 多 久, 才 會 使 溫 度 降 到 10 C 3.11.9. 連 續 複 利 (continuously compoune interest): 投 資 A 0 元, 固 定 年 利 率 為 r, 採 連 續 複 利, 則 在 t 年 後 的 本 利 和 是 A(t) = A 0 e rt 例 3.11.10. 若 在 銀 行 存 款 1000 元, 以 連 續 複 利 6% 計 算, 3 年 後 的 本 利 和 是 多 少? 微 積 分 講 義, 37

3.12 相 對 速 率 3.12 相 對 速 率 (Relate Rates) 例 3.12.1. 空 氣 注 入 球 形 氣 球, 其 體 積 以 速 率 100 cm 3 /sec 增 加, 則 在 直 徑 為 50 cm 時, 其 半 徑 增 加 速 率 為 何? 例 3.12.2. 5 m 長 的 梯 子 斜 靠 一 牆, 其 底 部 以 1 m/sec 速 率 滑 開, 則 在 底 部 離 牆 腳 3 m 時, 梯 子 頂 部 下 降 速 率 若 干? 例 3.12.3. 在 一 交 叉 路 上, 警 車 正 以 60 mile/hr 的 速 度 向 南 開, 此 時 位 置 在 交 叉 口 北 方 0.6 mile 處 一 違 規 車 輛 在 交 叉 口 東 方 0.8 mile 處 往 東 開 警 察 以 雷 達 測 得 兩 車 距 離 以 20 mile/hr 的 速 率 增 加, 求 此 時 違 規 車 的 速 率 多 少? 例 3.12.4. 有 一 高 4 公 尺 電 線 桿. 王 先 生 在 9 公 尺 外 放 天 燈, 天 燈 以 1 3 公 尺 / 秒 的 速 率 上 升 則 在 高 度 為 16 公 尺 時, 電 線 桿 影 子 縮 短 的 速 率 若 干? 例 3.12.5. 一 倒 立 的 圓 錐 形 容 器, 高 4 m, 底 半 徑 2 m 現 以 2 m 3 /min 的 速 率 倒 入 水, 則 當 水 面 高 3 m 時, 水 面 升 高 的 速 率 為 若 干? 並 求 加 速 度 例 3.12.6. 一 人 在 路 上 以 1.5 m/s 的 速 度 走, 探 照 燈 在 距 馬 路 6 m 遠 處 持 續 照 這 人, 則 這 人 位 在 距 探 照 燈 與 馬 路 最 近 之 點 8 m 處 時, 探 照 燈 轉 動 的 速 度 若 干? 3.13 線 性 估 計 (Linearizations) 定 理 3.13.1. f(x) 在 包 含 x = a 的 某 個 開 區 間 上 有 定 義, 則 f (a) = m 的 充 要 條 件 為 其 中 r(x) 在 x = a 連 續, 且 r(a) = 0 f(x) = f(a) + m(x a) + r(x)(x a), 定 義 3.13.2. (1) 若 f(x) 在 x = a 可 微, 則 函 數 L(x) = f(a) + f (a)(x a) 稱 為 f 在 a 的 線 性 化 (linearization) 此 估 計 f(x) L(x) 稱 為 f 在 a 的 標 準 線 性 估 計 (stanar linear approximation), a 稱 為 估 計 中 心 (center of approximation) 例 3.13.3. (1) 求 f(x) = 3 + x 在 x = 0 及 x = 1 的 線 性 化 求 3.98, 4.05 的 估 計 值 (3) 估 計 式 x + 3 7 4 + x 4 在 x 為 何 值 時, 精 確 到 0.5 之 內? 定 義 3.13.4. 令 y = f(x) 為 可 微 函 數, x 為 一 獨 立 變 數 微 分 (ifferential) y 定 義 為 y = f (x)x 註 3.13.5. ( 微 分 的 幾 何 意 義 及 誤 差 ) 若 y = f(x) 在 x = a 可 微, 且 x 從 a 變 化 到 a + x, 則 y = f(a + x) f(a) = f (a) x + ɛ x, 此 處 x 0 時, ɛ 0 因 此 當 x 很 小 時, y y 此 即 線 性 逼 近 定 理 (linear approximation theorem) 例 3.13.6. 若 y = f(x) = x 3 + x 2 2x + 1, 比 較 y 和 y, 其 中 : (a) x 從 2 到 2.05; (b) x 從 2 到 2.01; 例 3.13.7. 球 半 徑 測 量 值 為 21 cm, 可 能 產 生 0.05 cm 的 誤 差 則 其 計 算 球 體 積 時 會 產 生 多 少 誤 差? 微 積 分 講 義, 38