動態幾何(GSP)軟體在圓錐曲線上的應用

動態幾何 (GSP) 軟體在圓錐曲線上的應用 ** 白偉民 * 吳泳明 * 沈倫正 * 謝忠翰 ** 天主教徐匯中學數學科專任教師兼教學組長 * 天主教徐匯中學高中部三年級學生 摘 要 本研究報告主要在探討以圓錐曲線專題式學習為課程理論基礎, 並應用動態幾何 (G.S.P.) 電腦整合課程的融入式教學, 利用電腦軟體模擬拋物線 橢圓及雙曲線等圓錐曲線的定義, 佐以物理光學性質及生活化實例, 以提升教師教學效能, 並且建構學生自我探索研究的環境 文中完成各項圓錐曲線定義的模擬之後, 我們又在幾何圖形的關係圖中, 探討許多運動的軌跡問題, 研究範圍包括了拋物線 橢圓 雙曲線等等, 都獲得不錯的佐證 圓錐曲線的光學性質, 也經由 G.S.P. 動態幾何實作使得我們對圓錐曲線相關的性質更加認識 最後的研究成果, 我們以網整合所有的資訊, 希望提供給大家在學習圓錐曲線時, 有更佳的學習效果 參考網址 : http://www.sish.tpc.edu.tw 中的行政單位 / 數學科 關鍵字 : 圓錐曲線 動態幾何 1

動態幾何 (GSP) 軟體在圓錐曲線上的應用目錄 摘要...01 目錄...02 圖片目錄...03 壹 緒論...04 貳 研究方法與步驟...05 一節 研究動態幾何軟體與實施時間...05 二節 研究環境...06 三節 研究實施步驟...07 參 研究與討論...10 一節 拋物線 ( 研究製作者 : 吳泳明同學 )...11 二節 橢圓 ( 研究製作者 : 謝忠翰同學 )...18 三節 雙曲線 ( 研究製作者 : 沈倫正同學 )...23 肆 結論與建議...32 一節 結 論...32 二節 建 議...33 三節 製作心得...34 伍 參考文獻...35 2

圖片目錄 圖 1-1 開口方向向左的拋物線...11 圖 1-2 開口方向向上的拋物線...12 圖 1-3 與一圓 外切, 且與一直線相切的動圓圓心的軌跡...13 圖 1-4 與一圓 內切, 且與一直線相切的動圓圓心的軌跡...14 圖 1-5 拋物線的光學性質...15 圖 1-6A 拋物面鏡反射模擬 光源不在焦點處...16 圖 1-6B 拋物面鏡反射模擬 光源在焦點處...17 圖 2-1 若線段 PF 1 +PF 2 = 常數, 則 P 點的軌跡模擬...18 圖 2-2 一動圓過一定點 F 1, 並與一定圓 C 1 相切, 動圓圓心軌跡...19 圖 2-3 一動圓同時與二定圓 C 1 與 C 2 內切, 動圓的圓心軌跡...20 圖 2-4 橢圓的光學性質...21 圖 2-5 梯子 AB 沿牆壁滑落, 梯子上任一點 P 的軌跡...22 圖 3-1 雙曲線...23 圖 3-2 雙曲線漸近線的性質模擬...24 圖 3-3 雙曲線光學性質模擬...26 圖 3-4 兩圓外離, 一動圓 C( 粉紅色的圓 ) 分別和此二圓一外切 一內切, 則圓 C 的圓心 P 點的軌跡...28 圖 3-5 兩圓外離, 一動圓 C( 橘子色的圓 ) 分別和此二圓同時外切或內切時, 則圓 C 的圓心 P 點的軌跡...30 圖 3-6 兩定直線 L,M, 另一直線 N 過某一定點 O, 且與 L,M 分別相交於 P,Q 二點, 則線段 PQ 的中點軌跡...31 3

壹 緒 論 一 研究動機與目的 : 動態幾何 軟體是一套研究幾何學的利器, 學生們在電腦上, 透過動態幾何的實際模擬與驗證, 可以確實瞭解許多幾何圖形與幾何性質間的關係, 有助於學生在學習過程中對於幾何定義 定理及性質的瞭解 我們在課堂上學習時, 常有感於若能將高中數學內容利用 動態幾何 軟體加以分析 應用, 相信對於我們學習數學有事半功倍之效 雖然在網際網路上, 有許多熱心的老師都已將國中的數學以動態幾何來教學, 但是高中部數學的部分卻寮寮無幾, 我們想先從 圓錐曲線 著手, 驗證以知圓錐曲線 ( 拋物線 橢圓 雙曲線 圓 相交兩直線 ) 的所有性質, 並針對圓錐曲線的運動軌跡等問題作深入的探究 這只是一個開始, 最後的研究成果並將之以網呈現, 以供更多教師作為教材, 及學生可以自我學習使用 4

貳 研究方法與步驟 本研究架構分成三部份, 包含研究動態幾何軟體與實施時間 研究環 境 研究實施步驟 一節 研究動態幾何軟體與實施時間 開始時, 老師先召集了四個學生 吳泳明 沈倫正 謝忠翰 楊崇翰, 我們是天主教徐匯中學高中部三年級的同學, 都對這套動態幾何 G.S.P. 軟體有高度的興趣, 研究過程中楊崇翰同學因為參加 高中物理學科能力競賽 的準備, 於是我們就少了一名研究高手! 首先, 在老師的帶領下, 我們開始研究這個動態幾何軟體的基本操作方法, 以及它的功能 高三的生活, 又是模擬考 段考, 大大小小的考試, 心理上的壓力頗大 由於大家又都是新手, 未曾接觸過這套動態幾何軟體, 因此, 在準備的功夫上, 花了不少的時間 尤其, 這套軟體為英文介面, 剛開始時, 對這些數學的英文專有名詞還頗不能適應呢! 與老師一同學習完動態幾何的課程之後, 慢慢地熟悉它的操作環境與技巧, 並決定作一系列有關圓錐曲線的介紹與研究! 而在經過小組的討論過程中, 我們決定將利用我們高三的課餘時間來做一切的研究與報告, 並於最後整合出一個研究報告 5

二節 研究環境 我們是徐匯中學高中部的三位學生 使用學校所提供的個人電腦硬體設備, 以及我們經由老師的介紹而感到好奇的 G.S.P ( The Geometer s Sketchpad 簡稱 G.S.P, 是操作介面架構在 Windows 視窗下, 物件導向動態連結的幾何繪畫軟體 ) 軟體著手進行討論研究 G.S.P. 動態幾何繪圖系統有豐富活潑的動畫視覺效果, 不僅可讓研究者作 定性 上的分析, 強大的計算功能, 又能使研究者作 定量 上的研究, 這也是我們極力推薦的原因 我們發現可以利用 G.S.P 這套軟體的系統繪圖能力, 著手畫出圓錐曲線及其相關性質, 有利於幫助我們學習抽象的圓錐曲線, 達到事半功倍之效 6

三節 研究實施步驟 ( 一 ) 研究準備期為了方便研究與探討, 因此 我們組成了一個研究小組, 並分工合作, 收集並研讀相關的專題研究資料, 定時向老師報告研究的進度, 詳細任務分配如下 : 拋物線 負責同學: 吳泳明 橢圓 負責同學 : 謝忠翰 雙曲線 負責同學: 沈倫正最後的報告撰寫, 亦由每位同學各司其職, 分工撰寫, 再繳交給老師指導整合, 然後定稿 7

( 二 ) 動態幾何課程實施, 及研究進度表 老師與我們共同擬定了一套工作進度表, 作為行事的依據, 希望陸續推 動工作的進行 : 預計起迄日期 92.06.01 92.06.30 研究步驟研究方法備註加強學生對動態幾何軟體的操老師上課, 並實機演作及瞭解 ( 基礎班 ) 練操作 92.07.01 92.07.15 製作基本圓錐曲線相關定義幾 何圖形, 並製作網 上機實做 92.07.16 92.07.30 動態幾何進階班, 較深入的動畫老師上課, 並實機演技巧練操作 分組執行研究計畫 分組進行研究 92.08.01 92.09.30 橢圓 拋物線 雙曲線 幾何軌 跡問題 物理問題的應用 92.10.01 92.11.30 92.12.01 92.12.25 整理資料 開始撰寫報告 成果發表 報告呈報中部辦公室 8

( 三 ) 反省修正期每當我們大略有個初步的報告可以呈現出來時, 我們都會請老師為我們指導我們在過程中遇到不懂或是不會的地方, 並請教老師是否有不妥當的地方應該改進, 以確定我們可以呈現出最完整的論文! 關於報告的撰寫, 也是我們學習的地方, 由於大家都沒有寫過科展報告的經驗, 不知道報告的格式, 因此, 老師也提供了一些範本讓我們學習觀摩, 這對我們也是一大收穫 9

參 研究與討論研究的時間雖只有四 五個月, 但是我們的收穫卻是相當豐碩的 尤其, 剛開始時大家都是新手, 對動態幾何軟體一無所悉, 對於圓錐曲線等先備知識的複習, 更是迫在眉睫, 唯有如此, 方能將數學與電腦的應用結合在一起 以下是我們的一些成果, 共分為三節, 依序探討圓錐曲線中的拋物線 橢圓與拋物線的幾何性質 及其光學性質 報告的方式是採用專題式的型式, 透過問題的提問, 及動態幾何系統的分析, 以獲得對問題的探索, 進而驗證其幾何性質的正確性 當然, 歡迎各位讀者光臨我們的網站, 親身體驗動態模擬的成果, 網址為 http://www.sish.tpc.edu.tw 中的行政單位 / 數學科, 下載文中的個案討論成果, 透過動態的模擬您將更可瞭解每個案例中動畫的情況, 以作為教師教學或學生自學的範例 ; 共同分享我們的成果 10

一節 拋物線 ( 研究製作者 : 吳泳明同學 ) 問題 1-1: 點 P 到準線 L 的距離等於點 P 到焦點的距離所形成的軌跡為何? 解答 1-1: 上述問題即為拋物線的定義, 故此軌跡 ( 圖中紅色曲線 ) 為一拋物線 圖中模擬的是拋物線開口方向朝向左或右, (1) 當焦距 C>0 時, 開口向右 ; 當焦距 C<0 時, 開口向左 (2) 動態幾何系統並可將拋物線的諸元 ( 例如 : 焦點 頂點 準線方程式 正焦弦長及拋物線方程式 ) 即時計算出來 (3) 透過畫面中的按鈕, 您可以模擬整個拋物線形成的過程 圖 1-1 開口方向向左的拋物線 11

問題 1-2: 點 P 到準線 L 的距離等於點 P 到焦點的距離所形成的軌跡為何? 解答 1-2: 上述問題即為拋物線的定義, 故此軌跡 ( 圖中紅色曲線 ) 為一拋物線 圖中模擬的是拋物線開口方向朝向上或下, (1) 當焦距 C>0 時, 開口向上 ; 當焦距 C<0 時, 開口向下 (2) 即時計算拋物線的諸元 ( 例如 : 焦點 頂點 準線方程式 正焦弦長及拋物線方程式 ) 圖 1-2 開口方向向上的拋物線 12

問題 1-3: 一動圓 C( 紫色的圓 ) 與圓 C 1 :X 2 +Y 2 4X+12=0( 綠色的圓 ) 外切, 且與直線 L:X+2=0( 藍色粗線 ) 相切, 則圓 C 的圓心軌跡所形成的曲線種類為何? 解答 1-3: 軌跡 ( 圖中紅色曲線 ) 為一拋物線 且定圓 C 1 圓心為此拋物線的焦點, 距直線 L 為拋物線的準線 討論 : 根據拋物線的定義 : 一動點 P 到準線 ( 動圓 C 的圓心 P 到準線 L) 的距離等於 P 到焦點 ( 動圓 C 的圓心到定圓 C 1 圓心 ) 的距離 故此題的軌跡為拋物線, 圖中, 我們亦分析了此拋物線軌跡的諸元, 例如 : 拋物線方程式 頂點 焦點等, 亦詳列於圖面上 圖 1-3 與一圓 外切, 且與一直線相切的動圓圓心的軌跡 13

問題 1-4: 一動圓 C( 紫色的圓 ) 與圓 C 1 :x 2 + y 2 4x+12=0( 綠色的圓 ) 內切, 且與直線 L:x +2=0( 藍色粗線 ) 相切, 則圓 C 的圓心軌跡所形成的曲線種類為何? 解答 1-4: 軌跡 ( 圖中紅色曲線 ) 為一拋物線 且定圓 C 1 圓心為此拋物線的焦點, 距直線 L 為拋物線的準線 討論 : 根據拋物線的定義 : 一動點 P 到準線 ( 動圓 C 的圓心 P 到準線 L) 的距離等於 P 到焦點 ( 動圓 C 的圓心到定圓 C 1 圓心 ) 的距離 故此題的軌跡為拋物線, 圖中, 我們亦分析了此拋物線軌跡的諸元, 例如 : 拋物線方程式 頂點 焦點等, 亦詳列於圖面上 圖 1-4 與一圓 內切, 且與一直線相切的動圓圓心的軌跡 14

問題 1-5: 模擬拋物線的光學性質解答 1-5:(1) 首先, 繪製拋物線 y 2 = 4x, 即開口向右, 焦點座標 (1,0) 的拋物線, 如圖 1-5 所示 在拋物線上任取一點 P, 連接 PF 線段, 並作 PG 直線 //x 軸 ( 對稱軸 ), 過 P 點再作切線 L 及法線 OP (2) 驗證 : OPG= OPF? 亦即入射角 = 反射角, 平行主軸的光線, 經過拋物線反射後, 會經過焦點 F 在下一個模擬中, 我們會以汽車頭燈, 再作一次模擬說明其應用 (3) 驗證 :d(o,pg 直線 ) = d(o,pf 直線 )? 此即為角平分線性質 在 G.S.P. 動態模擬中, 您將可發現 P 點在拋物線任一處, 上述二式恆成立 圖 1-5 拋物線的光學性質 15

問題 1-6: 拋物面鏡反射模擬 ( 參考資料 : 動態幾何範例 ) 討論 1-6: 此部分討論是參考動態幾何所附贈的樣本範例, 此模擬說明汽車頭燈是如何筆直的將一束光線射向同一個方向 這答案和拋物線反射的特性有關, 由頭燈所發出的光是發散的, 然後由拋物線的表面反射出去 以下略圖是在 G.S.P. 系統中, 由上述兩種特性來模擬的 首先, 你可以將 光源 移動至任何你所喜歡的地方, 然後按下 發射光線 鈕 我們發現光線經過拋物面鏡的散射後, 光線朝四面八方運動, 無法聚光, 如圖 1-6A 所示 圖 1-6A 拋物面鏡反射模擬 光源不在焦點處 16

再試過幾次之後, 如圖 1-6B 所示, 先按下 移動光源至焦點 鈕後再按 發射光線 鈕 我們發現, 當光線從焦點發射時, 經過拋物面鏡的反射, 反射光會平行於對稱軸 ( 主軸 ), 產生聚光的作用, 使得汽車在夜間行駛時, 能有最好的照明作用 反之, 由光的可逆性, 我們可以推論, 若入射光線平行於對稱軸 ( 主軸 ) 向拋物面鏡運動時, 則經過拋物面鏡的反射光線會聚焦於焦點, 從這一個模擬, 也可以讓我們瞭解拋物面鏡的光學原理與應用 圖 1-6B 拋物面鏡反射模擬 光源在焦點處 17

二節橢圓 ( 研究製作者 : 謝忠翰同學 ) 問題 2-1:F 1 和 F 2 為二定點,P 為一動點, 若線段 PF 1 +PF 2 = 常數, 則 P 點的軌跡為何? 解答 2-1: 根據橢圓的定義, 當一動點 P 到二定點 F 1 和 F 2 的距離為一定值時, 此動點跑出來的軌跡, 就是一個橢圓. 由下圖的模擬可以得到驗證 此範例是演示直立的橢圓, 我們也計算出此橢圓的諸元, 例如 : 焦點 中心等 圖 2-1 F 1 和 F 2 為二定點,P 為一動點, 若線段 PF 1 +PF 2 = 常數, 則 P 點的軌跡模擬 18

問題 2-2: 一動圓 ( 橘色的圓 ) 過一定點 F 1 (-2,0), 並與一定圓 C 1 :(x+4) 2 +y 2 =16 相切, 試求滿足此條件的動圓圓心軌跡為何? 解答 2-2: 此一動圓圓心軌跡為一橢圓. 討 論 : 設動圓 ( 橘色的圓 ) 的圓心為 P(X,Y), 因為 P 過一定點 F 1, 則 PF 1 線段 長即為動圓的半徑長, 而動圓圓心 P 與定圓圓心 F 2 的連心線長即為定圓半徑減去動圓的半徑, 而當此二式相加即會消去動圓的半徑長, 而求出來的值為定圓半徑. 所以此動圓圓心軌跡即是以定圓的圓心和一定點為焦點, 而繪出來的橢圓 驗證模擬如下圖 : 圖 2-2 一動圓過一定點 F 1, 並與一定圓 C 1 相切, 動圓圓心軌跡 19

問題 2-3: 一動圓同時與定圓 C 1 :(X-1) 2 +Y 2 =16 內切, 且與另一定圓 C 2 :(X+1) 2 +Y 2 =1 內切, 求此動圓的圓心軌跡為何? 解答 2-3: 此一動圓圓心軌跡為一橢圓. 討論 : 設動圓的圓心為 P(X,Y), 因為與 C1 內切, 所以二圓的連心線長為定圓的半徑減去動圓的半徑此為一式 且動圓也與 C2 內切, 所以二圓的連心線長為動圓半徑減去定圓 C2 的半徑此為二式 當二式相加就會求出二線段相加等於一個定值 所以此動圓的圓心軌跡即為以二定圓的圓心為焦點, 而模擬出的橢圓 圖 2-3 一動圓同時與二定圓 C 1 與 C 2 內切, 動圓的圓心軌跡 20

問題 2-4: 橢圓的光學性質討論 2-4: (1) 首先, 繪製橢圓, 長 短軸可由畫面上的紅線控制, 如圖 2-4 所示 在橢圓上任取一點 P, 連接 PF PF 線段, 過 P 點再作切線 L 及法線 PQ (2) 驗證 : QPF= OPF? 亦即入射角 = 反射角, 由一焦點 F 所發射的光, 經過橢圓反射後, 會經過另一焦點 F ; 反之, 若由焦點 F 所發射的光, 經過橢圓反射後, 也會經過另一焦點 F (3) 驗證 :d(q,pf 直線 ) = d(q,pf 直線 )? 此即為角平分線性質, 您可以移動 Q 點, 此式恆成立 在 G.S.P. 動態模擬中, 您將可發現將 P 點移至橢圓任一處, 上述二式均成立 圖 2-4 橢圓的光學性質 21

問題 2-5: 生活應用問題 一把梯子靠在牆壁上, 梯子上掛著一個籃子, 當梯子沿著牆壁向下滑動時, 請問籃子的運動軌跡為何? 解答 2-5: 橢圓的一部份討論 2-5: 本範例是參考系統中的例子加以研究, 在動態幾何模擬, 您可移動籃子的位置, 而得到不同的橢圓圖形喔 我們也將橢圓的方程式計算出來, 以作定量的分析, 以確認我們的橢圓圖形沒有錯誤, 軌跡方程式如圖所示 籃子的位置將梯子分成二部分 :AP 及 BP 線段, 由圖形的模擬得知, (1) 當 AP<BP, 則 AP 為短軸半長,BP 為長軸半長, 圖形為一直立橢圓 (2) 當 AP>BP, 則 AP 為長軸半長,BP 為短軸半長, 圖形為一水平橢圓 (3) 當 AP=BP, 則圖形為 圓 的一部份 圖 2-5 梯子 AB 沿牆壁滑落, 梯子上任一點 P 的軌跡 22

三節雙曲線 ( 研究製作者 : 沈倫正同學 ) 我們這次的目的主要是探討有關抽象的圓錐曲線中, 雙曲線的相關介紹以及一些簡易的繪圖證明! 問題 3-1: 雙曲線長得樣子為何? 圖 3-1 雙曲線解答 3-1: 上圖即為一雙曲線, 我們模擬了雙曲線的所有諸元, 並作確認, 以利後續的研究探索 一開始先從各個相關名詞做一個概略的介紹!a 是表貫軸半長,b 是共軛軸半長,c 是焦距 ; 同時也是焦點到中心 O 的距離, 另外 F1 F2 為焦點,P 是表雙區線上的一點, 23

而以通過中心點為交點的兩條直線稱為漸進線 此兩條線會越來越趨近於兩雙曲線, 最後看見兩條互相對稱的彎曲線就是雙曲線! 此處最重要的是, 我們由多次的繪圖中確定了, 當要畫出雙曲線就必須滿足 : 雙曲線上一點 P 到兩焦點距離差的絕對值為一定數, 而此定數恰為貫軸長! 24

問題 3-2: 何謂漸近線? 解答 3-2: 此部分主要是在說明漸近線, 它是兩條逼近雙曲線的直線, 愈遠處愈是靠近, 因此取名漸近線 而此處我們以繪圖的方式簡單的證明出雙曲線有一特殊性質 : 雙曲線上任一點 P, 到兩漸進線的距離乘積恆為一定數! 即圖形中 d(p,l 1 )* d(p,l 2 ) = 常數 圖 3-2 雙曲線漸近線的性質模擬 25

問題 3-3: 當雙曲線上有一點 P, 過 P 點作雙曲線的切線 L, 則 P 點至兩焦點的連線與切線間的夾角是否相等? 討論 3-3: 首先, 我們在雙曲線上作了一條通過 P 點的切線, 此切線看似與其它切線沒有什麼太大的不同, 但事實上透過模擬,P 點至兩焦點的連線與切線間的夾角的確是相等的! 即 F 1 PE = F 2 PE 此性質即為雙曲線的光學性質, 讀者可以按下動態鈕, 觀察角度 F 1 PE 與 F 2 PE 的變化情形 透過模擬, 我們發現這二個角度的確是相等的 當切線在雙曲線的左翼時, 此性質亦成立, 讀者可以自行模擬操作 圖 3-3 雙曲線光學性質模擬 26

問題 3-4: 已知兩圓 C 1 C 2 外離, 一動圓 C( 粉紅色的圓 ) 分別和 C 1 C 2 二圓一外切 一內切, 則圓 C 的圓心 P 點的軌跡為何? 解答 3-4: 此圓 C 的圓心軌跡為一雙曲線 而我們成功的以繪圖的方式將其軌跡畫出, 並得出此軌跡為一雙曲線! 並且試算出此雙曲線的方程式及其諸元 討論 : 考慮圖 3-4 中, 當動圓 C( 粉紅色的圓 ) 分別和圓 C 1 內切 圓 C 2 外切時, 設 r 1 = 圓 C 1 的半徑,r 2 = 圓 C 2 的半徑,R = 動圓 C 的半徑則 PC 1 = R r 1...(1) ( 二圓內切 ) PC 2 = R + r 2...(2) ( 二圓外切 ) 由 (2) (1) 得, PC 2 PC 1 = r 1 + r 2 = 常數...(3) 此即為圖 3-4 中雙曲線圖形的左側一支 同理, 若考慮圖 3-4 中, 當動圓 C( 粉紅色的圓 ) 與分別和圓 C 1 外切 圓 C 2 內切時, 則 PC 1 PC 2 = r 1 + r 2 = 常數...(4) 此即為圖 3-4 中雙曲線圖形的右側一支 由 (3) (4) 得, PC 1 PC 2 = 常數 故動圓 C 中圓心 P 的軌跡方程式為一雙曲線 27

圖 3-4 兩圓外離, 一動圓 C( 粉紅色的圓 ) 分別和此二圓一外切 一內 切, 則圓 C 的圓心 P 點的軌跡 28

問題 3-5: 已知兩圓 C 1,C 2 外離, 若一動圓 P 分別和圓 C 1,C 2 相切 ( 同時外切或同時內切 ), 則圓 P 的圓心軌跡為何? 解答 3-5: 雙曲線! 討論 3-5: 考慮圖 3-5 中, 當動圓 C( 橘子色的圓 ) 與皆和圓 C 1 外切 圓 C 2 外切時, 設 r 1 = 圓 C 1 的半徑,r 2 = 圓 C 2 的半徑,R = 動圓 C 的半徑則 PC 1 = R + r 1...(1) ( 二圓外切 ) PC 2 = R + r 2...(2) ( 二圓外切 ) 由 (2) (1) 得, PC 2 PC 1 = r 1 r 2 = 常數...(3) 此即為圖 3-5 中雙曲線圖形的右側一支 同理, 若考慮圖 3-5 中, 當動圓 C( 橘子色的圓 ) 皆與圓 C 1 內切 圓 C 2 內切時, 則 PC 1 PC 2 = r 1 r 2 = 常數...(4) 此即為圖 3-5 中雙曲線圖形的左側一支 由 (3) (4) 得, PC 1 PC 2 = 常數 故動圓 C 中圓心 P 的軌跡方程式為一雙曲線 29

圖 3-5 兩圓外離, 一動圓 C( 橘子色的圓 ) 分別和此二圓同時外切或內 切時, 則圓 C 的圓心 P 點的軌跡 30

問題 3-6: 已知兩定直線 L,M, 另一直線 N 過某一定點 O, 且與 L,M 分別相交於 P,Q 二點, 則線段 PQ 的中點軌跡為何? 解答 3-6: 雙曲線! 討論 3-6: 圖 3-6 兩定直線 L,M, 另一直線 N 過某一定點 O, 且與 L,M 分別相交於 P,Q 二點, 則線段 PQ 的中點軌跡 31

肆 結論與建議一節結論本研究旨在透過三位研究者進行 G.S.P. 在圓錐曲線上的專題研究, 來探討 G.S.P 和圓錐曲線的應用效益, 結果顯示這些專題研究有助於學習應用的積極潛力 整體而言, 每個人都能針對自行擬定的專題, 以圓錐曲線各項主題清晰表徵其討探的構想, 亦能以動態幾何具體呈現專題設計 透過 G.S.P 工具融入專題學習表現的示例, 從 定性 與 定量 上的研究, 經過適切的系統規劃, 能開發其使用 G.S.P 工具協助數學概念學習, 尤其在整合數學概念, 設計出兼具數學概念與創意的動態幾何作品 且能以實際研究的方式來探討高中數學的奧妙, 況且現今的數學對某些人來說是多麼頭痛的科目, 如果能藉 G.S.P 來表達的話, 一定能發覺數學是多麼有趣的科目 整個研究架構, 我們從圓錐曲線的各項基本定義出發, 佐以各種幾何軌跡問題分析, 及光學性質模擬, 並舉證一些生活上的例子, 讓可讀性 易讀性增加, 均獲得相當不錯的成績, 希望高中學子能在其中獲得很高的助益 32

二節建議 1. 在學生合作自主學習活動中教師乃宜適時介入以提昇學習效能 2. 教師與學生間能簽訂常規與學習契約 3. G.S.P 作業系統能中文化, 有助於操作方便 4. 在進行研究時間的安排上, 研究者建議先學會基本操作, 在更深入的探討所研究的主題 5. 實施電子化歷程檔案會受限於同學的電腦操作能力 6. 如果能發展研究與資訊能力相結合的套裝軟體, 透過 Web 界面的系統規劃與設計, 可以減少操作使用的負擔 7. 在硬體與軟體除錯技術部分的不足所造成的影響, 都不只是教師學會教學軟體即可應付的 8. 後續的 G.S.P. 數學專題研究, 仍有很大的發展空間 例如 : 三角函數與反三角函數探討 圓錐曲線的平移 旋轉, 對數與指數等等, 都極待大家的投入與研究 33

三節 製作心得 這次的研究報告對我們在數學和資訊方面有很大的幫助, 它增加我們對圓錐曲線的認知, 雖然在研究的過程中時間是非常的緊迫, 因為, 一方面要應付模擬考 ; 一方面又要應付段考, 再加上我們都還只是新手, 因此有時真的會讓我們喘不過氣來 ( 新手上路在所難免會緊張 ) 但我們都不會有任何怨言, 因為這都是我們主動參與的研究, 在研究之前就已經把這個問題列入進去了 但有時時間真的非常的不足, 有時我們還會遭遇到我們無法理解的事, 如果又是在老師沒有空時, 我們真的會忙的一個頭兩個大, 所以我們常常利用晚自習的時間來加緊趕工, 我們也知道 欲速則不達 的道理, 因此, 我們把握任何空餘的時間來電腦教室討論並研究 這不但培養了我們同學之間的默契 ; 也增進我們對數學這方面的領域更為廣泛的瞭解, 尤其, 是我們對於抽象的數學函數圖形, 有了更進一步的認識, 這也幫助我們克服了對抽象東西的障礙 最後我們有這樣的成就也要感謝我們的指導老師, 要是沒有他的細心指導的話, 我們沒辦法如期完工, 更沒辦法製作出一份令人嘆為觀止的作品 34

伍 參考文獻 1. 高中數學四冊, 南一書局 2. 高中數學四冊, 龍騰書局 3. 高中基礎數學, 詹敏昌著, 建興出版社 4. G.S.P. 動態幾何範例, 及中文操作手冊, 九章出版社 研究群左起 -- 白偉民老師, 學生 : 沈倫正 吳泳明 謝忠翰 35