臺灣大學開放式課程 微積分甲 - 朱樺教授 第 10 章 向量 目錄 10.1 向量積.................................. 121 10.2 柱面及二次曲面.............................. 123 10.3 柱面座標與球面座標............................ 125 10.4 拓樸................................... 126 10.1 向量積 (Vector Product) 定義 10.1.1. 若向量 a = a 1, a 2, a 3, b = b 1, b 2, b 3, 則 a 與 b 的外積 ( 或叉積 cross product 向量積 vector product) 為 a b = i j k a 1 a 2 a 3 = a 2 b 3 a 3 b 2, a 3 b 1 a 1 b 3, a 1 b 2 a 2 b 1. b 1 b 2 b 3 註 10.1.2. (1) 若向量 a = a 1, a 2, a 3, b = b 1, b 2, b 3, 則 a 與 b 的內積 (inner product, 或點積 dot product 純量積 scalar product) 為 a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3. (2) i = 1, 0, 0, j = 0, 1, 0, k = 0, 0, 1 分別為在 x y z- 軸上的單位向量, 且具有下列性質 : i j = k, j k = i, k i = j. 例 10.1.3. a = 1, 3, 4, b = 2, 7, 5, 求 a b 性質 10.1.4. (1) a a = 0, a R 3 (2) a b 與 a, b 垂直 (3) 若 θ 是 a 與 b 之間的夾角 (0 θ π), 則 a b = a b sin θ (4) a b 的長度是 a 及 b 所張成之平行四邊形的面積 (5) 若 a, b 0, 則 a 與 b 平行的充要條件為 a b = 0 121 本著作除另有註明外, 採取創用 CC 姓名標示 - 非商業性 - 相同方式分享 台灣 3.0 版授權釋出
10.1 向量積 (6) 令 a, b 為空間中的非零向量, 若 a, b 不平行, 則 a, b 決定一平面 E, 且該平面的單位法向量 n 可令為 n = a b a b = a b a b sin θ, 而 a, b, a b 或 a, b, n 的方向會滿足右手定則 (right-hand rule) 若 a 及 b 平行, 則 a b = 0; 若 a 及 b 中有一為零, 則 a b = 0 例 10.1.5. (a) 令 E 為經過 P (1, 4, 6) Q( 2, 5, 1) R(1, 1, 1) 的平面, 求一向量垂直於 E (b) 求以 P, Q, R 為頂點之三角形面積 性質 10.1.6. 令 a, b, c R 3, c R. (1) a b = b a (2) (c a) b = c(a b) = a (c b) (3) a (b + c) = a b + a c (4) (a + b) c = a c + b c (5) a (b c) = (a b) c (6) a (b c) = (c a)b (b a)c 註 10.1.7. (1) 外積沒有交換律 (2) 外積沒有結合律, 即 (a b) c 及 a (b c) 不見得相等 定義 10.1.8. (1) 向量 a, b, c 之純量三重積 (sclar triple product) 定義為 a (b c) = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3. c 1 c 2 c 3 (2) a (b c) 稱為 a, b, c 的向量三重積 (vector triple product) 性質 10.1.9. 純量三重積的絕對值 a (b c) 是 a, b, c 所張之平行六面體的體積 例 10.1.10. 求 a = 1, 2, 1, b = 2, 0, 3 及 c = 0, 7, 4 所張之平行六面體的體積 例 10.1.11. 證明 a = 1, 4, 7, b = 2, 1, 4, c = 0, 9, 18 為共平面 (coplanar) 定義 10.1.12. 以力 F 作用於一物體上, 且由支點到施力點的向量為 r, 則物體對該支點所受的力矩 ( 轉矩, torque) 定義為 τ = r F, 其大小為 r F = r F sin θ 例 10.1.13. 如圖, 以 0.25m 長的扳手旋轉螺絲, 作用力為 40N, 夾角為 θ = 75, 求螺絲受到的力矩大小 微積分講義, 122
10.2 柱面及二次曲面 10.2 柱面及二次曲面 (Cylinders and Quadratic surfaces) 例 10.2.1. 討論下列空間方程式之圖形 : (1) z = 0, (2) x = y, (3) x + y + z = 1, (4) x = y + z = 0, (5) x 2 + y 2 = 0, (6) z = x 2, (7) x 2 + y 2 + z 2 = 25, (8) y 2 + (z 1) 2 = 4, (9) y 2 + (z 1) 2 = 0, (10) x 2 + y 2 + z 2 = 0, (11) x 2 + y 2 + z 2 = 1, (12) z > 0, (13) x 2 + y 2 4, (14) x 2 + y 2 + z 2 25, (15) (16) { x + y + z = 1 y 2x = 0, { x 2 + y 2 + z 2 = 1 x + y = 1 柱面 定義 10.2.2. (1) 給一空間中的曲面 S 任一與座標面平行的平面與 S 的交集, 稱為該曲面的截面 (trace or cross-section) (2) 在空間中有一平面曲線 C, 稱為母線 (generating curve) 另外有一不在該平面上的直線 L, 稱為 ruling 將此直線沿著 C 平行移動所得到的曲面稱為柱面 (cylinder) 例 10.2.3. 在 xz- 平面上有一曲線 C : g(x, z) = c, 取平行於 y- 軸之直線沿著 C 移動所得之柱體, 方程式為 g(x, z) = c 例 10.2.4. 將平行於 z- 軸之直線, 沿著拋物線 y = x 2, z = 0 移動, 所得之柱體之方程式為何? 例 10.2.5. 以下均為柱面 : (1) z = x 2 (2) x 2 + y 2 = 1 (3) y 2 + z 2 = 1 微積分講義, 123
10.2 柱面及二次曲面 旋轉面 例 10.2.6. 在 xy- 平面上有一曲線 f(x, y) = 0, 將其繞 x- 軸旋轉後, 所得旋轉面的方程式為 f(x, y 2 + z 2 ) = 0 例 10.2.7. 將 y = x 2 (x 0) 繞 x- 軸旋轉所得之旋轉面方程式為何? 二次曲面 定義 10.2.8. 二次方程式為 Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Eyz + F xz + Gx + Hy + Iz + J = 0 之圖形稱為二次曲面 (quadric surface) 註 10.2.9. (1) 經過適當的旋轉與平移, 二次曲面必可轉換成以下兩種標準型 : (a) Ax 2 + By 2 + Cz 2 + d = 0, d = 0 或 1, (b) Ax 2 + By 2 + z = 0 (2) 其標準型有以下各類 : (a) x2 + y2 + z2 = 1 為橢球面 (Ellipsoid) a 2 b 2 c 2 (i) 若 a = b, 這是橢圓的旋轉面 (ii) 若 a = b = c, 這是球面 (b) x2 + y2 z2 = 1 為單葉雙曲面 (Hyperboloid of one sheet) a 2 b 2 c 2 (c) x2 y2 + z2 = 1 為雙葉雙曲面 (Hyperboloid of two sheets) a 2 b 2 c 2 (d) x2 + y2 a 2 b 2 = z2 c 2 為錐面 (Cone) 若 a = b, 則為正圓錐 (e) x2 a 2 + y2 b 2 = z c 為橢圓拋物面 (Elliptic paraboloid) (f) x2 y2 = z 為雙曲拋物面 (Hyperbolic paraboloid), 又稱鞍面 (saddle), 原點稱為鞍點 a 2 b 2 c (saddle point) 例 10.2.10. 試判斷以下為何種曲面? (1) x 2 + y2 9 + z2 4 = 1 (2) z = y 2 x 2 (3) x2 4 + y2 z2 4 = 1 (4) 4x 2 y 2 + 2z 2 + 4 = 0 (5) x 2 + 2z 2 6x y + 10 = 0 微積分講義, 124
10.3 柱面座標與球面座標 10.3 柱面座標與球面座標 (Cylindrical and Spherical Coordinates) 柱面座標 定義 10.3.1. 空間中任一點 P 的柱面座標 (cylindrical coordinate system) 為 [r, θ, z], 其中 : (1) [r, θ] 為 P 在 xy- 平面之投影 (x, y) 的極座標, 且令 r 0, 0 θ < 2π (2) z 即為直角座標之 z 註 10.3.2. (1) P 的直角座標 (x, y, z) 與其柱面座標 [r, θ, z] 的關係為 x = r cos θ y = r sin θ z = z 以及 r 2 = x 2 + y 2, tan θ = y x. (2) 在柱面座標中, r = c 為以 z- 軸為軸, 半徑為 c 之圓柱面 ; θ = c 為包含 z 軸之半平面 ; z = c 為垂直於 z 軸之平面 [ 例 10.3.3. (1) 繪出柱面座標 2, 2π, 1], [4, π, 5] 表示之點, 並求其直角座標 3 3 (2) 將直角座標 (3, 3, 7), (0, 2, 3) 轉換為柱面座標 例 10.3.4. 描述柱面座標方程式 z = r, z = r cos θ, r = 2 cos θ 所定義之曲面圖形 例 10.3.5. 描述柱面座標方程式 球面座標 { r = z z = 1 + r cos θ, { θ = π 2 r 2 + z 2 = 4 所定義之曲線圖形 定義 10.3.6. 空間中任一點 P 之球面座標 (spherical coordinate) 為 [ρ, φ, θ], 其中 : (1) ρ 為 P 到原點的距離, (2) φ 為 OP 與正 z- 軸的夾角 (0 φ < π), (3) θ 為柱面座標的 θ (0 θ < 2π) 註 10.3.7. (1) 柱面座標中的 r = ρ sin θ, 而 P 的直角座標 (x, y, z) 與其球面座標 [ρ, φ, θ] 的關係為 x = r cos θ = ρ sin φ cos θ y = r sin θ = ρ sin φ sin θ z = ρ cos φ 以及 ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2 = r 2 + z 2. r = x 2 + y 2 = ρ sin φ tan φ = r = x 2 +y 2 z z tan θ = y x 微積分講義, 125
10.4 拓樸 (2) 在球面座標中, ρ = c 為一半徑 c 的球面 ; φ = c 為一半錐面 ; θ = c 為一半平面 [ 例 10.3.8. (1) 畫出球面座標為 2, π, ] π 之點, 並求其直角座標 4 3 ( ) (2) 一點之直角座標為 0, 2 3, 2, (1, 1, 2), 求其球面座標 例 10.3.9. 求球 x 2 + y 2 + (z 1) 2 = 1 之球面座標方程式 例 10.3.10. 求錐面 z = x 2 + y 2 之球面座標方程式 10.4 拓樸 (Topology) 定義 10.4.1. (1) 一點 P R n 的鄰域 (neighbourhood) 是集合 B r (P ) = {Q R n : d(p, Q) < r} 當 n = 1, B r (P ) 為開區間 (open interval); 當 n = 2, B r (P ) 為開盤 (open disk); 當 n = 3, B r (P ) 為開球 (open ball) (2) 若一集合 S 其上每一點均有一鄰域包含在 S 中, 則稱 S 為開集 (open set) (3) S 的餘集 (complement) S c 是所有不屬於 S 之點所成之集合 (4) 若餘集 S c 為開集, 則稱 S 為閉集 (closed set) (5) 點 P 稱為的邊界點 (boundary point), 若 P 的每一個鄰域中均有 S 及 S c 之點 (6) 點 P 稱為的內點 (interior point), 若 P S, 但不是 S 的邊界點 (7) 點 P 稱為的外點 (exterior point), 若 P S c, 但不是 S 的邊界點 (8) S 的邊界 bdry(s) 是 S 的邊界點所成的集合 ; S 的內部 int(s) 是 S 的內點所成的集合 ; S 的外部 ext(s) 是 S 的外點所成的集合 微積分講義, 126