對數函數 陳清海 老師
p ok 對數函數 一 對數函數. 定義:設 0,, 0,稱 為以 為底數的對數函數.. 圖形與基本性質 對數函數 yf log y log 在 與 0 時的圖形如下: 函數圖形通過點 且 y 軸為其漸近線.,0,整個圖形在 y 軸右方,
p 範例 y log 在下列的方格紙中作出 y log 與 的圖形. 演練 已知 y log 的圖形與 y log 方格紙中作出 y log 與 y log 的圖形對稱於 軸,試在下列的 的圖形. 由圖可知:.
範例 右圖為函數 y log y 形,且 y log c 與 y log 選項: (), (), () 0, () b c, (5) c. Ans:()(5) p, log b, y log c 由圖可知: bc, 又 y log c 與 y log 故正確的選項為 ()(5). y log 與 的圖的圖形對稱於 軸,選出正確的 的圖形對稱於 軸,所以 c. 演練 設 0,,則下列圖形中,哪些可能是對數函數 y log 的部分圖形: () () () () Ans:()().
p 範例 在下列的方格紙中作出 y log 函數 y log 與 y log 的圖形為函數 y log ylog log log log, 因為 所以函數 y log 的圖形為函數 y log 的圖形. 的圖形向左平移一個單位. 的圖形向下平移一個單位. 演練 若 ylog b的圖形如右圖所示,則, (),, (),, (), () 5,, (5) 9,. Ans:() 因為真數 0 所以, b 可能為,即,又漸近線為,,即. 又當 時, 0 b log, b. 得 y,因此 故 b,,,正確的選項為 (). log b 0,
p5 二 圖解對數方程式 範例 求下列方程式的實根個數: () log, () Ans:(),() () 方程式 log y 與 y log log. 的實根個數等於 如圖,兩圖形有一交點, log 故方程式 () 方程式 兩圖形的交點個數. 有 實根. log 的實根個數等於 y log 與 y 兩圖形的交點個數. 如圖,兩圖形有三交點,故方程式 log 有 實根. 演練 求下列方程式的實根個數: () log Ans:(),() () 方程式, () log log 5 0. 的實根個數等於
p6 y log 與 y 兩圖形的交點個數. 如圖,兩圖形有 個交點, 故方程式 () 方程式 log 有 實根. log 5 0的實根個數 等於 y log 與 y 5兩圖形的交點個數. 如圖,兩圖形有二交點, 故方程式 log 5 0有 實根.
p7 三 對數方程式 因為對數函數所以當 log y log log 時,可得 的圖形與任意水平線都恰有一個交點,.
p8 範例 5-. 解下列方程式: log log Ans:= 利用對數的性質得知 log log, log( ) log( ) = log log log(-)-log( --)=log log(-) -log( --)=log log ( ) =log -+=( --) 9 0. 時,會使得對數 log 當 因此,. 的真數小於 0,故 不合. 範例 5- log log 解下列方程式: Ans: 或. log log log log. 利用對數的性質得知 t log 令.則方程式可改寫為 解得 t 或.因此, 故 或,即 t,即 t t 0, t log 或. 或.
演練 5 解下列方程式: () log log. () log 00 log 5 0 或 00 Ans:() 或 6,() () 利用對數的性質得知 p9. log log log log 因此 6.令 t 則方程式可改寫為 解得 9. t 6t,即 t 6t 0. t 或 7.因此, 9或 7,解得 () 利用對數的性質得知 或 6. 0 0 0, log 00 log 5 log 0 log 5 log 5. log t log 令 0 即 故.則方程式可改寫為 t 5 t,,解得 t 或.因此, log 或. 0 t 5t 0 0 或 0,即 0 或 00. 範例 6 0 解方程式: log 6 Ans:000 或 將 log 6 00. log 6 0 兩邊取對數,得 log log 0 整理得 log log 6 0,因式分解得, log log 0, 即 log 或 log,因此, 0 000 或 0. 00
p0 演練 6. 00 解方程式: log0 00 Ans: 0 將 或 log0 00兩邊取對數, log0 得 log 即 log00, log log 整理得, log log 0, 因式分解得 log log 0, 即 log 或 log, 因此, 0或 0. 00
p 四 對數不等式 觀察對數函數圖形,可得 () 當 時,圖形由左向右爬升,即 若,. log log 則 () 當 0 時,圖形由左向右下降,即 若 log log. 則,
p 範例 7 log 0, b log, c log 0, d 四數的大小關係. 0 比較 Ans:<d<b<c 8 利用對數的性質,將, b, c, d 四數改寫為 log 0 log 0, b log 0 log 0, c log 0, d log 因為 0 0 0 且底數 所以 cbd., 演練 7 log, b log, c log 5, d 四數的大小關係. 比較 Ans: d b c 5 將, b, c 三數改寫為 log 5, b log 5, c log 5 因為 0log 5, log 5,所以 b0 c,即 d b c. 5 範例 8 解下列不等式: () 6. () log log log Ans:() 或,(). () 將不等式 log 6 改為 log log 6. 6 6
p 因為底數 6,所以 6,即 0,解得. 又因為真數 0,所以 或.因此,將兩不等式聯立得 或. () 將不等式 log log. 改寫為 log log 因為底數,所以, 即 5 0,解得 5.又因為真數 0且 0,所以.將兩不等式聯立,可得. 演練 8 解下列不等式: () log log 8. 0log log (). Ans:() 8,() () 不等式 log log 8 改寫為 log log 8 因為底數.,所以 8, 即 0,解得 或.又因為真數 0, 8 0,所以 8.將兩不等式聯立,可得 8. 0log log log log log log ()
log ( 因為底數 log log log ) ( 因為底數 ) p
p5 五 凹向性 觀察對數函數圖形,可得 () 當 時,其圖形凹口向下,即 log. log log log log () 當 0 時,其圖形凹口向上,即 log.
p6 範例 9 設 b 000, b p log 7 log 7b, q log 7 log 7b, r log 7 試比較 p, q, r 三數的大小關係. Ans:r>q>p 因為 b 000,所以 log 7log 7b 0. 由算幾不等式可知: log 7 log 7b log 7 log 7b. 又因為底數 7,所以 y log 7 log b 7 log 7 log 7b. 故 rq p. 的圖形凹口向下,可得. 演練 9 設 b 000, p b b log log, r log 0.7 log 0.7 log 0.7, q 0.7 0.7 b 試比較 p, q, r 三數的大小關係. Ans: pq r 因為 b 000,所以 0log 0.7 b log 0.7, b 且 r log 0.7 0. 因此 p 0, q, r 0.因為底數 0.7,所以 y log 0.7 log b 0.7 log 0.7 log 0.7 b. 因此 pq r. 的圖形凹口向上,可得.
p7 oke 一 基礎題. 若 b, 是對數函數 y log 圖形上一點,則下列哪些選項中的點 也在該對數函數的圖形上? (),0,() 0 b,,(), Ans:()()(5) b,(), b,(5), b. 98 指乙 (,b) 是對數函數 y=log 圖形上一點, 故 log=b () y=log 必通過 (,0) () y=log(0)=log0+log=+b () y=log=log+log=log+b b () y=log =log=b -b (5) y=log =log=b y. 右圖為函數 log 正確的選項: (), b, () 0, b, (), 0b, () 0, 0b, (5), b. Ans:() b 的部分圖形,其中, b 均為常數,選出 f = log b log =. b =.8-5 B A 5 - -
. 下列五組數中,哪幾組的兩個函數之圖形對稱於直線 y? () y 與 y, () y 與 y log, () y 與 y log, () y 與 y, p8 (5) y 與 y log. Ans:()()(5) () q = 6 h = () f = h = r = g = log log -5 5-5 5 - - - () = - () f h = g = f = -5 5 - g = -log log -5 5 - h = - - - (5) f = h = -5 5 - - g = log log
. 解下列方程式: () log log. 5 5 p9 () log log. () log log 9. Ans:() 5,() 5,() 7 () log log 5 5 log5(-)= (-)=5 --5=0 (-5)(+)=0 =5 或 = 但 >,>0 故 =5 () log log log( + )= + = +=(-) =5 () log log 9 + log( ) log( 9) = log log log+log(-)=log(-9) log+log(-)=log(-9) (-)=(-9) -+85=0 (-5)(-7)=0 =7 或 =5( 不合 )
5. 解下列不等式: () log log 5. 9 () log log log. p0 Ans:(),() () log log 5 9 log( ) log > log(+5) log 9 log( ) > log(+5) log log log(-)<log(+5) (-) <+5 --<0 (-)(+)<0 <<, 但 >, << () log log log log(+) log( ) log(+) + log log log log(+)+log(-)<log(+) (+)(-)<(+) -9-<0 (-)(+)<0 <<, 但 > << y log 的圖形沿 軸向右平移 個單位,再沿 y 軸向下平移 6. 將 個單位得圖形 G,若 G 為函數 y g,則 g 0 Ans: 的值為何?
p y=g()=log(-)-, g(0)=log(0-)-=log8-=-= 7. 選出正確的選項: () 若 b () 若 b,則 log b.,則 log b. () 若 b 0,則 log b 0. () 若 b 0,則 log b. (5) 若 b 0,則 0log b Ans:()(5) () 若 b () 若 b.,則 log b<log=.,則 log b >logbb=. () 若 b 0,則 log b <0. () 若 b 0,則 log b. (5) 若 b 0,則 0log b. () =.0 b =.0 Show logb g = log log () =.0 b =.0 Hide logb h = log logb B A 5 B A 5 Hide log Show log - - () =.0 Hide logb h = log logb () = 0.6 Show logb b = 0.6 b = 0. - B A 5 Show log - BA g = log log 5 Hide log (5) Show logb = 0. b = 0.7 - A B g = log log 5 Hide log
p 二 進階題 8. 已知函數 ylog 的圖形通過 b,0,, 如右圖所示,求 b c的值. Ans:, 9,c 三點, y=f()=log(-), (b,0) 代入 log(b-)=0 b-= 0 = b= (,) 代入 log(-)= = = (9,c) 代入 log(9-)=c c =8 ( )c =8 c= 故 +b+c= +-= 9. 已知 b,試比較 log b, log b, log b, log b b 四數的大小關係. b Ans: log blog b log b log b b 0=log<log<logb<log logb log (logb) (log) logb-logb= = log logb log logb 故 logb>logb logb-logb b 故 logb>logb logb 故 logb >0, = log logb log = log logb logb logb logb >0, b b -log b =-logb-(-logb)=logb-logb>0, b >log b b 由上討論得 log b log b log b log b
p 0. 若 log log log Ans: log log log 0< log (log )) 0<log< << 恆有意義,則 的範圍為何? 恆有意義 9. 已知 b,求 log Ans:0 log b log b b log logb logb log = + log logb = log b b b 的最大值. (log)(logb) (logb) +(log)(logb) (log) (log)(logb) (log) +(logb), (log)(logb) =- 又 (log) +(logb) (log) (logb) =(log)(logb), 故 log b log b b -=0 0. 設 和 是方程式 log log 8b 0的兩個根,求實數, b 的值. 8 Ans:, b
log log 8b 0, p 代入 log+.log8+b=0 ++b=0, 代入 log 8 8 + 8 解得 =,b= log 8+b=0 -+b=0,. 試問:方程式 Ans: log 有幾個實根. f = log log -5 5 0 g = 由上圖得兩圖形有三個交點, 故方程式 - log 有 個實根