商高定理陳國裕商高定理 : 一個無言的證明. E 如此, 不過, 歷史上即使沒有商高與畢達哥拉斯, 這定理還是會被發現, 只不過是他們比其他人更早發現罷了從古到今有很多人對這定理有興趣, 到目前累積有數百種的證明方法, 在這些方法之中, 大多是利用拼圖或是一般平面幾何的方法, 簡捷易懂 2.

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桐胡
4 years ago
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1 商高定理陳國裕商高定理 : 一個無言的證明如此, 不過, 歷史上即使沒有商高與畢達哥拉斯, 這定理還是會被發現, 只不過是他們比其他人更早發現罷了從古到今有很多人對這定理有興趣, 到目前累積有數百種的證明方法, 在這些方法之中, 大多是利用拼圖或是一般平面幾何的方法, 簡捷易懂 2 思考過程與證明 = 則 = 2 1 引言商高定理在東方較早被發現, 後來西方人才發現了這個定理以當時的交通狀況推想應該不是由東方傳到西方, 而是各自獨立發展出來的或許在其他的地區曾發現過, 只是後人未加以注意就好像十進位, 由於生活上的需求, 很多原始部落都是自行發展而不是由外面傳入, 以此推之, 商高定理應該也是對於一個正方形, 如果 = 1, 則此正方形的周長為 4 單位, 面積為 1 平方單位, 這是大家都很容易看到的, 如果再多注意看一下並且多想一想, 有的人會把對角線連起來, 因而聯想到這條對角線到底有多長? 對一個長方形而言, 也是會有相同的問題既然想到問題, 下一個步驟很自然是要解決問題因為每個人想到的東西不見得一樣, 所以才會有各式各樣的證明方法在數學問題中, 一題多解是大家常常思考的方向, 由於這個想法, 才使我想證明商高定理正方形面積的兩種計算 : (1) 邊長平方 (2) 兩對角線乘積除以 2 符號使用說明 : 以表示四邊形的面積, 表示三角形的面積等 73

2 74 數學傳播 22 卷 4 期民 87 年 12 月在中, = 90 度, 短股 = a, 長股 = b, 斜邊 = c F 圖一正方形中, ( 圖一 ), 兩對角線互相垂直且 =, 如果 = 1, 則 1 = = /2 = 2 /2, 2 = 2, 又 > 0, = 2 用這個方法, 可以解決等腰直角三角形斜邊長的問題性質甲 : 任意凸四邊形中, 如果兩對角線互相垂直, 則此四邊形面積等於兩對角線乘積除以 2 以下證明的方法要利用這個性質, 因為它很淺顯, 所以不再對它作太多的說明圖三如果不是等腰直角三角形時, 把往右移至, ( 圖二 ) 往下移至且 = 全等於 (SS), 正方形的兩條對角線經過這樣的移動之後, 發現這兩條線的垂直特性並沒有改變, 也就是說, 再利用性質甲而得到證法一證法一 ( 圖三 ): 正方形 F 中, 全等於 1 = 2, = = 90, = 90, F = F + + F 2 =F F/2+ /2 + /2, b 2 =b (b a)/2+c c/2+(b a) a/2, 2b 2 = b 2 ab + c 2 + ab a 2, b 2 = c 2 a 2, a 2 + b 2 = c 2 將證法一加以簡化 ( 圖三 ), 我們發現 F 跟與並沒有重圖二疊, 因此把它去掉就得到證法二

3 商高定理 75 圖四下圖四, 可能會先看到 = b 2 /2, 剩下就是要看是否等於 a 2 /2, 結果 = /2 = a a/2 = a 2 /2, 再看一下圖四, 發現可能也是多餘的, 先把它去掉試試看, 如果把去掉, 那就不容易做, 因為中, 以為底, 不容易看出它的高是 b, 所以把去掉不是一個很好的方法, 但是又希望它消失, 圖形看起來才會更簡潔在前面提到中, 以為底, 不容易看出它的高是 b, 那就不妨把的高 H( 圖五 ) 畫出, 到這裡可以看出全等於 H, 有了 H 就不必依賴與, 因此可以把這兩條線段擦掉, 使得圖形看起來更簡潔而得到下面的證法三圖五證法二 ( 圖四 ): 梯形 = + H ( + ) /2 = /2 + /2 (a + b) b/2=c c/2 + (b a) a/2 ab + b 2 = c 2 + ab a 2 b 2 = c 2 a 2 a 2 + b 2 = c 2 在證法二中 ( 圖四 ), 因為 = c 2 /2 而我們想證 c 2 = a 2 + b 2, 即 c 2 /2 = a 2 /2 + b 2 /2, 因此如果能把分成 a 2 /2, b 2 /2 的和, 則定理證出, 再看一圖六證法三 ( 圖六 ): 全等於 H = + /2= H/2+ H/2 c 2 /2 = b 2 /2 + a 2 /2 c 2 = b 2 + a 2 因為在定理中要有斜邊的平方, 而平方的產生是要互相垂直才能用到面積, 聯想到 H

4 76 數學傳播 22 卷 4 期民 87 年 12 月如果把三角形旋轉 90 度也一樣會有斜邊互相垂直的情形出現, 而旋轉中心要定在那裡, 考慮這個問題之後, 又有好幾種的證明方法旋轉中心可能在直角三角形的頂點或是斜邊的中點, 計算面積時, 用到全部圖形的面積或是只利用部分面積, 都是可以思考的方向 P Q O 圖七 F 以斜邊中點為旋轉中心證法四 ( 圖七 ): 中, = 90, 以斜邊中點 O 為中心, 把按逆時針旋轉 90 至 F, 則為正方形作正方形 PQRS, 我們看出 P, S, R, Q 均全等 (S) P =S = R = Q, 又 R = FS, P = FS F = = a, PS = = F = b, S R P = FS = (b a)/2 = S S = a + (b a)/2 = (b + a)/2, S = S S/2 = ((b + a)/2) ((b a)/2)/2 = (b 2 a 2 )/8, P + S + R + Q + = P QRS, 4 S + = PQRS, = = c, 4(b 2 a 2 )/8 + /2 = PS 2, (b 2 a 2 )/2 + c 2 /2 = b 2, b 2 a 2 + c 2 = 2b 2, c 2 = a 2 + b 2 證法五 ( 圖七 ): F 的面積 = + + F= F+ F+ F, = F ( 同底等高 ) + F = F + F /2 + F S/2 = F P/2 + F/2, c 2 /2+F S/2=F S/2+b 2 /2, c 2 = b 2 + F (S S), c 2 = b 2 + F, c 2 = b 2 + a 2 F 1 圖八以直角點為旋轉中心 2

5 商高定理 77 證法六 ( 圖八 ): 以為頂點, 把旋轉 90 至 2 + = 1 + = 90 F = 90 = + +, F/2= F/2+ /2 + /2, (F F)= +, = +, c c = a a + b b, c 2 = a 2 + b 2 證法七 ( 圖八 ): + = + /2 + /2 = F/2 + F/2 + = (F + F) = a a + b b = c c a 2 + b 2 = c 2 證法八 ( 圖九 ): 以為頂點, 把按順時針旋轉 90 至 + = = H + H /2 + /2 = H H/2 + ( + H) H/2 c c + b a = (b a) (b + a) +(a + b + a) a c 2 + ab = b 2 a 2 + 2a 2 + ab c 2 = b 2 + a 2 證法九 ( 圖九 ): = + +, /2 = /2 + /2 + H/2, = + H + H, = + (H + H), = +, c c = a a + b b c 2 = a 2 + b 2 F H 圖九以直角三角形中, 較大銳角頂點為旋轉中心圖十

6 78 數學傳播 22 卷 4 期民 87 年 12 月以直角三角形中, 較小銳角頂點為旋轉中心證法十 ( 圖十 ): 以為頂點, 把按逆時針旋轉 90 至 F F = F + F +, ( + F) /2 = F/2 + F/2 + /2 (b + b + a) b/2 = (b a) (b + a)/2 +c c/2 + b a/2, 2b 2 + ab = b 2 a 2 + c 2 + ab, b 2 + a 2 = c 2 證法十一 ( 圖十 ): F F, F : F = :, a : (a + b) = : (b a), = a(b a)/(a + b) = =b (ab a 2 )/(a + b) = (ab + b 2 ab + a 2 )/(a + b) = (a 2 + b 2 )/(a + b), F = F +, F/2= F/2+ /2 = (F + )/2= F/2, c c = (a 2 + b 2 )/(a + b) (a + b), c 2 = a 2 + b 2 F 圖十一在圖八中, 把向左平移, 使與點重合證法十二 ( 圖十一 ): + F = F = F +, /2 + F F/2 =(F + ) /2+ /2, c c + (b a) (b + a) = (b a + b) b + b a, c 2 + b 2 a 2 = 2b 2 ab + ab, c 2 = a 2 + b 2 3 結語在數學上的證明題大概沒有任何一個定理的證明方法比商高定理來得多能採用不同的方法去思考證明或解決問題, 是學習數學的一種樂趣, 也是促使我們進一步學習的動機在數學的學習過程中, 如果只是一昧地記定義定理及解題的方法, 而不肯用自己的

7 商高定理 79 方法去思考如何解決問題, 即使在數學考試成績表現優異, 還是不會對數學產生真正的興趣遇到一個數學問題, 經過自己思考而解決, 那種喜悅是難以用言語形容, 有了這樣的經驗之後會讓你願意花更多的時間去思考其他的問題, 那麼數學能力也就會有進步也許有人會認為基礎的數學問題, 不管你用甚麼方法, 以前的人可能用過, 不過只要是自己想出的方法, 而不是看別人的解才知道, 都是值得高興的事情在嘗試證明商高定理中, 雖在過程中也遭遇挫折, 但能解出以上數種證法, 從中獲得樂趣, 故藉此文除了就教於讀者並期能拋磚引玉, 作更多的證明與研究本文作者任教於和平高中國中部

推理證明本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 四邊形四邊中點連線性質 : 例 ABCD E F G H AC 6 BD 8 EFGH AC BD 14 E A H B F C G D

推理證明本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 四邊形四邊中點連線性質 : 例 ABCD E F G H AC 6 BD 8 EFGH AC BD 14 E A H B F C G D 40 3-1 推理證明本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 1 2 4 四邊形四邊中點連線性質 : 例 H 68 H 14 H 41 41 基礎題 1 ab a366b12 2 a 36 證明 10 分 10 分 P131 2 a366b12 2 1 a6b12 2 36 6b1266b126 6b186b6 36b3b1 b3b1