參考文獻 摘要 美國高中數學測驗 AMC 已有 6 年歷史 (950-0), 這些題目是經過專家們嚴謹的設計, 以選擇題的方式出題, 具有高度的鑑別度, 可測驗出學生在代數 幾何 數論 三角函數 離散數學及統計等科目中的觀念是否能靈活應用 在這 6 年的考試中共出現了 68 題各種型式的機率題目,

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1 美國高中數學測驗 AMC 之機率問題 洪偉誠 李俊賢 蔡誠祐 何家興 張福春國立中山大學應用數學系 高雄中學 目錄 前言 機率. 樣本空間與事件 機率公設 第摩根定理 獨立事件 排容原理 機率與對數函數之應用 條件機率. 分割 全機率定理 貝氏定理 幾何機率 7. 幾何測量 - 長度 幾何測量 - 面積 幾何測量 - 體積 路徑問題 習題 5 機率 條件機率 幾何機率 路徑問題 附錄 洪偉誠 李俊賢 蔡誠祐 何家興 張福春 (00), 美國高中數學測驗 AMC 之機率問題 ( 上 ) 數學傳播, 第 5 卷, 第 期,6-8 洪偉誠 李俊賢 蔡誠祐 何家興 張福春 (00), 美國高中數學測驗 AMC 之機率問題 ( 下 ) 數學 傳播, 第 6 卷, 第 期,6-8

2 參考文獻 摘要 美國高中數學測驗 AMC 已有 6 年歷史 (950-0), 這些題目是經過專家們嚴謹的設計, 以選擇題的方式出題, 具有高度的鑑別度, 可測驗出學生在代數 幾何 數論 三角函數 離散數學及統計等科目中的觀念是否能靈活應用 在這 6 年的考試中共出現了 68 題各種型式的機率題目, 本文的目的是針對這些題目加以分類並作詳細的探討 關鍵詞..互斥事件 分割 二項式定理 全機率定理 貝氏定理 排容原理 條件機率 第摩根定理 幾何機率 機率公設 獨立事件 美國數學會 000 年分類索引..主要 60A, 60D. 前言 美國高中數學測驗 AMC 由 950 年舉辦至今 (0) 已有 6 年歷史, 為近幾年備受重視的世界性大型數學測驗 考試的對象是以高二和高三學生為主, 其內容涵蓋廣泛, 包含各種演算概念理解的數學題型, 透過這些具有挑戰性的問題, 刺激學生對於數學問題的興趣, 並引導學生平日自主學習的能力, 靈活應用已習得之數學知能 透過這些具有高鑑別度的題目, 讓學生能發覺其本身所具有的數學才能, 並讓相關的人員, 如老師 學校能重視這些學生知能的多面向, 以便適度的提供協助, 更能增進學生的發展 目前美國以此比賽為篩選美國國際奧林匹亞代表隊選手的第一階段測驗, 而台灣在 00 年時開始舉辦 AMC (A 試卷 ) 的考試 表 顯示 00 年到 0 年台灣報考學生人數逐年提高, 所佔全球考生百分比亦逐年提高 ( 除 007 年外 ) 此測驗可以讓學生更能了解自己的數學能力 有關於 AMC 的詳細發展變革可參考 Maurer, Reiter and Schneider (00), 及 AMC 的相關報考資訊可至財團法人九九文教基金會網站查詢 表 : 00 年到 0 年台灣佔全球報考人數的百分比 年 全球 0, 7 8, 78 76, 9 9, 79 78, 560 8, 80 67, 55 7, 665 7, 8 66, 55 台灣, 6 5, 8 5, 5, 99 6, 075 6, 5 5, 7 6, 90 6, 66 6, 956 百分比.0% 6.% 7.% 6.% 7.7% 7.9% 8.5% 9.% 9.% 0.% 從 00 年起 AMC 數學測驗在美國分為 A 與 B 兩份不同的試卷, 在兩個不同日期舉行, 學生可由兩次的考試中任選一次參加 每一次皆有 5 題選擇題, 而題目的類型含括了代數 幾何 數論 三角函數 離散數學及統計等科目, 更詳盡的題目及說明可參考 Art of Problem Solving (AoPS) 的網頁, 其中收錄了 AMC 的考試題目, 並提供全世界對於此競賽有興趣的人一起討論, 有些題目已被提出解答, 而有些還在待解中 更多完整的題目與解答可參考美國數學學會所出版一系列 AMC 數學測驗歷屆試題暨詳解參考書 ( ):Salkind (96) Salkind (966) Salkind and Earl (97) Artino, Gaglione and Shell (98) Berzsenyi and Maurer (997) Schneider (997) Reiter (006) 及 Wells and Faires (008) 下表 是以十年為一單位所計算機率佔總題數的百分比, 其中機率所佔百分比呈現逐漸增加的趨勢 表 : 歷屆機率試題所佔百分比 合計 總題數 機率題數 百分比 0% 0.%.%.%.% 8.6% 8%.8%

3 本文主要介紹歷屆 AMC 的試題中的機率問題, 由簡單的例子循序漸進, 了解基本概念後, 再綜合應用到更為繁雜的例子 在第二節先介紹了機率的基本定義 公設及各種原理方法 ( 第摩根定理 互斥事件 獨立事件 排容原理 ), 再提供相關的例題來熟悉其內容 第三節介紹條件機率的想法, 並將條件機率的形式做推廣得全機率定理 貝氏定理等 第四節介紹在基本定義 ( 個數為有限可數 ) 外, 當個數為無限不可數時, 如何利用幾何測量 ( 長度 面積 體積 ) 與定義求機率 而第五節將一特殊的路徑問題獨立做介紹, 利用這些例題的探討, 更能體會機率與日常生活密不可分的關係 在最後提供了一些 AMC 的試題當作習題, 這些習題涵蓋第二節到第五節的各種觀念及計算技巧 下表 為機率題型的分佈, 其中以機率所佔之百分比最高, 佔 57.%, 其次為幾何機率佔.8%, 條件機率佔.9%, 百分比最低的為路徑問題, 佔 7.% 表 : 機率題型分佈 分類 機率 條件機率 幾何機率 路徑問題 題數 百分比 57.%.9%.8% 7.% 機率. 樣本空間與事件 將一個實驗中所有可能出現的結果 (outcome) 所形成的集合, 稱為一樣本空間, 記作 S 由於每一種可能的結果皆屬於樣本空間, 故亦可稱為元素或樣本點 事件 (event) 為一些結果所形成的集合且事件為 S 的子集, 以大寫字母 (A, B, C,...) 表示, 可分為以下兩種類型 : () 事件中只有包含一個元素, 稱作簡單事件 (simple event), 亦稱為樣本點, 例如投擲一顆骰子得點數 () 事件中包含兩個以上的元素, 稱作複合事件 (compound event), 例如投擲兩顆骰子得點數和為 或 5 或 7 若 A, B 兩事件滿足 A B = 時, 則稱此 A 事件與 B 事件為互斥事件 (disjoint events). 機率公設 假設 S 是某隨機實驗上的樣本空間, 而 B 為 S 中某些樣本點所形成的子集合, 且定義集合函數 P : B R, 若 P 滿足下列的三項機率公設, 則稱函數 P 為機率函數 : 機率公設 (axioms of probability) 一 對於任意的 A 事件皆滿足 :P (A) 0 二 樣本空間 S 的機率等於, 寫作 P (S) = 三 如果 A, A, A,..., 為一組有限或者可數的無限的事件且彼此為互斥事件, 則這些事件所聯集的機率等於個別事件的機率和 : P (A A A ) = P (A ) + P (A ) + P (A ) + 上述公設是現代機率論發展的基礎, 是俄國數學家柯莫格洛夫 (Kolmogorov, ) 於 9 年所發表的, 因此機率公設也稱作柯莫格洛夫公設 (Kolmogorov axioms)

4 以下為利用機率公設來計算的問題 例 (985 AMC #6) 在男女合班的班級中, 隨機挑選一名學生作為班級代表, 其中 每個學生都可能會被選上, 並且選到男生的機率是選到女生的機率的, 試問男生人數與全 班人數比值為多少? (A) (B) (C) (D) (E) 5 5 解 :(B) 設 p 為抽到女生的機率, 則抽到男生的機率為 p, 而題意可視為求抽到男生的機 率 故由機率公設 p + p = 求得 p = 5 因此抽到男生的機率為 5 = 5 例 (978 AMC #9) 假設 n 為不超過 00 的正整數, 且以下列方式選取 : 若 n 50, 則選取到 n 的機率為 p; 若 n > 50, 則選取到 n 的機率為 p, 試問選取到完全平方數的機率是多少? (A) 0.05 (B) (C) 0.08 (D) 0.09 (E) 0. 解 :(C) 在 至 50 中的 50 個數, 每一個數的機率皆為 p; 而 5 至 00 中的 50 個數, 每一個數的機率皆為 p, 由機率公設知 50 p + 50 (p) = 則 p = 而在 至 50 之間共有 7 個完全平方數, 在 5 至 00 之間共有 個完全平方數, 則選到完全平方數的機率為 7 p + p = 6p = 0.08 等機率樣本點的樣本空間若樣本空間 S 為一有限的集合, 且在 S 中每一個樣本點發生的可能性皆相同時 ( 所謂 equally likely), 則任意事件 A 發生的機率, 只需要計算該事件中樣本點個數與 S 中樣本點個數的比值, 即 P (A) = A S 其中 A 和 S 分別代表 A 和 S 樣本點的個數 以下為幾個等機率樣本點的問題 例 (976 AMC #8) 在 xy 平面上一點, 其 x, y 座標皆是絕對值小於或等於 的整數, 且滿足此條件的點被選取之機率皆相同, 試問從這個點到原點的距離不大於 單位的機率是多少? (A) (B) 5 (C) (D) π (E) 有理數的平方 解 :(A) 此點的 x, y 座標的可能情況共有 9 9 = 8 種, 而與原點距離不大於 的點列舉如下 () 當 x = 0 時 :y 可為 0, ±, ±, 即表示點 (0, 0), (0, ±), (0, ±), 共 5 種可能 () 當 x = ± 時 :y 可為 0, ±, 即表示點 (±, 0), (±, ±), 共 6 種可能 () 當 x = ± 時 :y 只能為 0, 即表示點 (±, 0), 共 種可能 綜合上述情況, 與原點距離不大於 的點共有 = 種可能, 故機率為 8

5 例 (977 AMC #7) 獨立地投擲三顆骰子 ( 每一點數出現的機率皆相同 ), 試問三個朝上的點數能排列成公差為 之等差數列的機率為多少? (A) (B) (C) (D) (E) 解 :(B) 骰子點數為 至 6, 其中三個朝上點數會產生公差為 之等差數列的情況如下 : (,, ), (,, ), (,, 5), (, 5, 6) 因此朝上面呈等差數列的機率為! = 9 例 5 (00 AMC A #8) 隨機取出 60 的一個正因數, 試問取出此正因數會小於 7 的機率為何? (A) 0 解 :(E) (B) (C) (D) (E) 6 因為 60 = 5, 共有 ( + ) ( + ) ( + ) = 個正因數, 其中有,,,, 5, 6 共 6 個正因數會小於 7, 故所求機率為 6 =. 第摩根定理 當 A 事件的機率計算非常瑣碎, 而 A 的餘事件的機率計算相對較為容易時, 我們可藉由 A 的餘事件 (A c ) 來求出 A 事件的機率, 再搭配機率公設可推得下列定理 此定理為第摩根 (De Morgan, ) 在古典命題邏輯中所推論出來的結果, 被廣泛的應用在數學各個領域中, 如邏輯 計數及機率 以下為其機率形式 : 定理. ( 第摩根定理 ) 設 A c 為事件 A 的餘事件, 則 P (A) = P (A c ) 證明 因為 A 和 A c 為互斥事件且 A A c = S, 所以根據機率公設二和公設三可推得 : = P (S) = P (A A c ) = P (A) + P (A c ) 由上式可推得 P (A) = P (A c ) 以下為利用第摩根定理來計算的問題 例 6 (99 AMC #) 有一個盒子裡裝了 個新的硬幣與 個舊的硬幣, 將硬幣一個接一個隨機的取出且不放回, 若第三枚新的硬幣在第四次之後 ( 不含第四次 ) 才被取出的機 a 率為, a 其中為最簡分數, 則 a + b 為多少? b b (A) (B) 0 (C) 5 (D) 58 (E) 66 解 :(E) P ( 前四次將新的硬幣取完 ) = ( )( ) ( 7 ) = 5, 再由第摩根定理 P ( 新硬幣於第四次之後取完 ) = 5 = 5 所以 a + b = + 5 = 66 5

6 例 7 (008 AMC B #) 停車場內有 6 個停車位排成一列, 今有十二輛車抵達, 並隨機挑選一個位置停車 之後又有一台需要兩個停車位的休旅車進入停車場, 試問此休旅車能夠完全停入的機率為多少? (A) (B) (C) 8 (D) (E) 解 :(E) 首先討論此休旅車無法找到適當停車位的情況, 即當前 輛車停完後, 所留下來的空位並無兩個相鄰 因為 輛車停完後會有 個空位, 則此 個空位彼此不相鄰 ( 此四個空位會介於 輛車的 個空隙中 ) 的機率為 ( ) ( 6 ) = 8 故由第摩根定理, 休旅車可找到適當的停車位的機率為 8 = 7 8. 獨立事件 設 A, B 為兩事件, 若滿足 P (AB) = P (A) P (B) 則稱 A, B 為獨立事件 (independent events), 以下為獨立事件在機率中的一般形式 定義. ( 獨立事件 ) 設 A, A,..., A n 為 n 個有限事件, 若任意 k( k n) 個事件 A i, A i,..., A ik ( i < i < < i k n) 皆滿足 則稱此 n 個事件為獨立事件 P (A i A i A ik ) = P (A i ) P (A i ) P (A ik ) 以下為利用互斥事件及獨立事件來計算機率問題 例 8 (986 AMC #) 從 {,,..., 0} 中隨機取出 6 個不同的整數, 試問在所取的數中, 第二小的數是 的機率為多少? (A) 60 解 :(C) (B) (C) (D) (E) 以上皆非 6 假設 x,, y, z, u, v 為所取到的數字, 滿足 x < < y < z < u < v 所以 ( x 可為 {, } 兩種數字, 而 y, z, u, v 可為, 5,..., 0 中的任意四個數字, 故有 ) ( 7 ) ( = 70 種滿足條件的數字組合 又從 {,,..., 0} 中取出 6 個整數共有 0 ) 6 = 0 種組合, 因此所求機率為 70 0 = 例 9 (97 AMC #) 有 A, B 兩隊正在進行一系列賽事, 若兩隊都有相同機會在任何一局中得勝, 且 A 隊要嬴兩局或 B 隊要嬴三局才能算獲勝, 試問有利於 A 隊獲勝的勝算比為多少? (A) 比 5 (B) 5 比 (C) 8 比 (D) 比 (E) 比 5 解 :(A) A 隊獲勝的可能情況為 6

7 故 A 隊獲勝的機率為 比賽情況機率連勝兩局 AA BAA 8 = BBAA 6 已勝一局 ABA 8 ABBA 6 BABA = 6 例 0 (997 AMC #0) 有兩顆公正骰子, 今將其中一個的 點換成 點, 而將另一個的 點換成 點, 若同時投擲兩顆骰子一次, 則點數和為奇數的機率為多少? (A) (B) (C) (D) 5 (E) 解 :(D) 點數和為奇數, 則此兩顆骰子所得點數必為一奇一偶 因為此兩顆骰子點數的奇偶機率不相同, 故以下分兩骰子來做討論 () 第一顆骰子點數為,,,, 5, 6, 所以出現奇數的機率為 =, 出現偶數的機率為 6 () 第二顆骰子點數為,,,, 5, 6, 所以出現偶數的機率為 =, 出現奇數的機率為 6 因此兩顆骰子點數和為奇數的機率為 + = 5 9 例 (979 AMC #7) 隨機選取一對有序整數 (b, c), 其中 b, c 的絕對值皆小於或等於 5, 而每一對有序整數對被選取到的可能性皆相等, 試問方程式 x + bx + c = 0 沒有相異正實根的機率是多少? (A) 06 (B) 08 (C) 0 (D) (E) 以上皆非 解 :(E) 由根與係數關係可知, 若方程式 x + bx + c = 0 有兩相異的正實根 α, β, 則 α + β = b > 0 α β = c > 0 D = b c > 0 所以 b < 0, c > 0, b > c 因為 b 5, c 5, 則共有 = 個整數對 (b, c) 以下討論滿足有兩相異正實根條件的數對 (b, c): () 當 b = 5 時 :c 可能的值為 5,,,,, 即表示數對 ( 5, ), ( 5, ), ( 5, ), ( 5, ), ( 5, 5), 共 5 個數對 () 當 b = 時 :c 可能的值為,,, 即表示數對 (, ), (, ), (, ), 共 個數對 () 當 b = 時 :c 可能的值為,, 即表示數對 (, ), (, ), 共 個數對 7

8 綜合上述情況, 共有 = 0 種數對會使得方程式有兩相異正實根, 故使方程式沒有相異正實根的機率為 0 = 例 (980 AMC #0) 在盒子裡有 枚一分 枚五分和 6 枚一角的錢幣, 從中取出 6 枚硬幣, 每次取出不再放回, 且每枚硬幣被取到的機率皆相等, 試問取出硬幣的總值至少是五十分的機率是多少? (A) 7 (B) 9 (C) 7 (D) (E) 以上皆非 ( 9 解 :(C) 由 枚硬幣中任取六枚, 共有 ) 6 = 9 種取法 以下以所取到一角硬幣的個數來做討論 : () 若取到 6 枚一角硬幣 ( 60 分 ): 共有 ( 6 ) 6 = 種取法 () 若取到 ) 5 枚一角硬幣 ( 50 分 ): 剩餘 6 ( 枚一分 枚五分 ) 個硬幣任取即可, 共有 = 6 種取法 ( 6 )( 6 5 () 若取到 枚一角硬幣 (0 分 ): 則需取 枚五分的硬幣才可滿足題目要求, 共有 90 種取法 ( 6 )( ) = 綜合上述情況, 取出硬幣總和至少為五十分的情況共有 = 7 種, 故機率為 7 9 例 (988 AMC #) 將整數 到 9 分別寫在 9 張紙片上, 再放在帽子裹, 傑克隨機取了一張又放了回去, 接著吉爾也隨機取了一張, 試問哪個數字最可能是傑克 吉爾兩個人所取數字和的個位數? (A) 0 (B) (C) 8 (D) 9 (E) 每一個數字機率相等解 :(A) 此兩人由帽子中抽取出來的數字共有 9 9 = 8 種組合, 以下針對可能的數字和的個位數字做討論 : () 數字和之個位數字為 0 ( 兩數字和為 0): 對於 到 9 中每個數而言, 都會有其相對應的數能使得總和為 0, 使得其個位數字為 0, 如 故共有 9 種可能, 其機率為 = 0, + 8 = 0, + 7 = 0,..., 9 + = 0 () 數字和之個位數字為 ( 兩數字和為 ): 除了數字 以外的每一個數, 都會有其相對應的數使得總和的個位數字為 ( 和為 ) + 0 =, + 0 = ( 不存在, 因在 到 9 中沒有數字 0 與 0) + 9 =, + 8 =,..., 9 + = 故共有 8 種可能, 其機率為 8 8 () 數字和之個位數字為 9: 如 () 之討論, 共有 8 種可能, 其中每一種可能的個位數字的機率皆為 8 8 故所取數字和之個位數字為 0 的發生機率最大, 即最可能的個位數字為 0 8

9 例 (00 AMC B #0) 在一立方體的每一面塗上紅色或是藍色, 其中各面所塗的 顏色彼此為獨立, 且塗紅色或藍色的機率各為 試求將此塗上顏色的立方體水平放置時, 其另外垂直的四個面顏色相同的機率為何? (A) (B) 5 (C) (D) 7 (E) 解 :(B) 因並未限制垂直面為哪幾個面, 則討論立方體的六個面塗色情況 : () 六個面同色 : 共有 ( ) = 種可能 () 五個面同色 : 共有 ( ) ( 6 ) 5 = 6 = 種可能 () 四個面同色 : 因需垂直面有 個面同色, 所以同色的面必為垂直面, 則上 下兩面為另外一種顏色, 共有 ( ) }{{} = = 6 組上 下面 種可能 而每一個面皆有 種顏色可塗, 則六個面共有 6 = 6 種塗色法, 故所求機率為 = 0 6 = 5 6 例 5 (97 AMC #) 獨立地投擲一顆公正骰子六次, 至少有五次得到五點以上的機率是多少? (A) (B) (C) (D) (E) 以上皆非 解 :(A) 可將題意視為 : 若得到五點以上即稱為成功, 令成功機率 p =, 反之為失敗, 則題 意即為求 P (X 5) 所以 P (X 5) = P (X = 5) + P (X = 6) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) ( ) = + = 排容原理 以下介紹排容原理, 它是一個能夠解決關於多個具有某些性質的非互斥事件其交集與聯集機率問題的有效方法 9

10 定理. ( 排容原理 ) 設 S 為樣本空間且 A, A,..., A n 為一組定義在 S 上的事件, 則 (a) 所有 A i (i =,,..., n) 的餘事件的交集的機率為 : P (A c A c A c n) = P (S) n P (A i ) + P (A i A j ) + ( ) n P (A A A n ) i= i<j n 當 A i (i =,,..., n) 事件兩兩互斥時 : P (A c A c A c n) = P (S) n P (A i ) i= (b) 所有 A i (i =,,..., n) 事件的聯集的機率為 : P (A A A n ) = n P (A i ) P (A i A j ) + + ( ) n+ P (A A A n ) i= i<j n 當 A i (i =,,..., n) 事件兩兩互斥時, 得公設三 : P (A A A n ) = n P (A i ) i= 當 n = 時, 對於任意的兩個事件 A 和 B, 皆滿足下列的性質 : P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 如果 A 和 B 為兩個互斥的事件, 則 P (A B) = 0 且 P (A B) = P (A) + P (B) 當 n = 時, 對於任意的三個事件 A 和 B 和 C, 皆滿足下列的性質 : P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C) 以下為利用排容原理來計算機率問題 例 6 (00 AMC B #6) Juan 擲一顆點數為 8 的公正八面骰子,Amal 擲一顆點數為 6 的公正六面骰子, 試問他們兩人所擲的點數乘積為 的倍數的機率為多少? (A) (B) (C) (D) 7 (E) 解 :(C) 兩人的點數乘積為 的倍數, 即表示至少有 人擲出的點數為 的倍數 假設 J 表示 Juan 擲出的點數為 的倍數的事件,A 表示 Amal 擲出的點數為 的倍數的事件, 則題意即為求 P (J A) 解法一 因為 J, A 為獨立事件, 所以由排容原理 P (J A) = P (J) + P (A) P (JA) = = 解法二 因為 J, A 因為 J, A 為獨立事件, 所以 J c, A c 亦為獨立事件, 故由第摩根定理 0

11 P (J A) = P (J c A c ) = P (J c ) P (A c ) = = 例 7 (98 AMC #6) 設事件 A 發生的機率為, 事件 B 發生的機率為, 且 p 為 A [ 和 B 都發生的機率, 試問必定包含 p 的最小區間為何? (A), ] [ 5 (B), ] [ (C), ] [ 5 (D), ] [ (E), ] 解 :(D) 假設 P (E) 為事件 E 發生的機率, 則由題意知 再由排容原理 P (A) =, P (B) =, P (A B) = p P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 又因為 = max{p (A), P (B)} P (A B), 所以 即為 + p + 5 p.6 機率與對數函數之應用 下列為以對數函數相關的機率的問題 例 8 (975 AMC #8) 隨機選取一個十進位表示的三位正整數 N, 且每個三位數被選到的機會相等, 試問 log N 為一個整數的機率為多少? (A) 0 (B) (C) (D) (E) 解 :(D) 欲使得 log N 為正整數, 則 N 需為 的正整數次方數 三位正整數共有 900 個, 其中 的次方數有 7 = 8, 8 = 56, 9 = 5 三個為三位正整數, 所以 log N 是正整數機 率為 900 = 00 例 9 (985 AMC #) 隨機選取一個非零的數字, 其選取方式使得取到數隨機選取一個非零的數字, 其選取方式使得取到數字 d 的機率是 log 0 (d + ) log 0 d, 而取到數字 的機率恰好是所取數字包含在下列某個集合中的機率的, 試問該集合為何? (A) {, } (B) {, } (C) {, 5, 6, 7, 8} (D) {5, 6, 7, 8, 9} (E) {, 5, 6, 7, 8, 9} d+ 解 :(E) 假設 P (d) 為取到數字 d 的機率, 所以 P (d) = log 而 0 P (d, d + ) 表示取到 d 數字 d 或 d + 的機率, 所以 P (d, d + ) = log 0 d + d d + + log 0 d + = log d + 0 d

12 由題意知所取數字包含在某個集合中的機率為取到數字 的機率的 倍, 故 P () = log 0 = log 9 0 ) ( 5 = log = log 0 + log log log log = P (, 5, 6, 7, 8, 9) 則所求集合為 {, 5, 6, 7, 8, 9} 例 0 (005 AMC A #) 從集合 {,,,..., 5 } 中隨機選取兩個不同的數 a 及 b, 試問 log a b 為整數的機率為多少? (A) (B) (C) (D) 7 (E) 解 :(B) 假設 a = x, b = y, x, y {,,..., 5}, 因為 log a b = y 為整數, 所以 x 需為 x y 的因數, 以下對 y 進行討論 () y = 5 時 :x 可能值有, 5, 共有 個 () y = 時 :x 可能值有,,,, 6, 8,, 共有 7 個 () y = 時 :x 可能值有, 共有 個 以此類推 y = 有 個 y = 有 個 y = 0 有 5 個... 等等, 則機率為 = = 00 條件機率 在日常生活中, 常會有已知某一事件已發生的前提下, 去尋求另一相關事件的機率, 例如一日早晨下過雨, 想知道中午出門撐傘的機率為何? 此種類型的機率問題我們稱之為 條件機率 (conditional probability) 假設有一個樣本空間為 S 的實驗, 而 A 和 B (A S,B S) 是兩個在實驗過程中可能會發生的事件 如果我們觀察到 B 已發生, 則在 S 的元素中, 只要考慮 B 事件已發生的元素, 故可以把事件 B 當成新的樣本空間, 再進一步討論有關 A 事件的各種結果 在給定 B 事件發生之下,A 事件的條件機率記為 P (A B), 其定義如下 : 定義. ( 條件機率 ) 在樣本空間 S 的實驗中,B 事件已發生之下且 P (B) > 0, 則 A 事件會發生的條件機率為 : P (A B) = P (A B) P (B) 註 () 上述的定義中, 已知條件的 B 事件的機率必為正值 ( 即 P (B) > 0), 因為在計算條件機率時, 已知 B 事件的機率置放於分母, 故其值不可為 0

13 () 若 A B, 則 P (A B) = P (A) /P (B), P (B A) = () 若 A B =, 則 P (A B) = 0 () A, B 兩事件交集的機率可經由條件機率計算求得 : P (A B) = P (B A) P (A) () 下列為條件機率的一些應用問題 例 (996 AMC #6) 今投擲一公正骰子三次, 在前二次點數和等於第三次之點數的條件下, 試問至少出現一個 的機率為多少? (A) (B) 9 (C) (D) 8 (E) 解 :(D) 假設 (x, y, z) 分別表示投擲三次所出現的點數對, 共會有 = 6 種可能的數對搭配, 則以下列出前二次點數和等於第三次之點數的所有可能情況 : 其中有 8 組數對至少出現一個, 由條件機率 (,, ) (,, ) (,, ) (,, 5) (, 5, 6) (,, ) (,, ) (,, 5) (,, 6) (,, ) (,, 5) (,, 6) (,, 5) (,, 6) (5,, 6) P ( 至少出現一個 前二次點數和等於第三次之點數 ) = P ( 前二次點數和等於第三次之點數且至少出現一個 ) P ( 前二次點數和等於第三次之點數 ) = = 8 5 例 (98 AMC #5) 將三個球分別標記上號碼,, 放置在甕中, 然後從甕中抽取出一顆球記下其號碼後再放回去, 以這樣的方式進行三次, 在每一次抽取球的過程中, 任一個球被抽到的機會都是相等的 若所記下的號碼之和為 6, 試問這三次抽到球的號碼皆為 的機率是多少? (A) 7 解 :(C) (B) (C) (D) (E) 三次抽取到球的標記和為 6 的可能情況如下 號碼組合 排列數 (,, )! = 6 種 (,, ) 種 假設 A 表示三次抽球和為 6 之事件,B 為三次抽球的號碼皆為 的事件, 則題意即為求 P (B A) 由條件機率得 P (B A) = P (A B) P (A) = 6+ = 7. 分割 定義. ( 分割 ) 設 A, A, A,..., 為一組有限或者可數的無限的事件且彼此互斥, 而且 A A A = S, 則稱 A, A, A,..., 為樣本空間 S 的一分割 (partition) 以下為機率中的分割定理 :

14 定理. ( 分割 ) 設 A, A, A,..., 為樣本空間 S 的一分割, 則對於任意的 B 事件皆滿足下列的關係式 : P (B) = P (B A ) + P (B A ) + P (B A ) + 註 因為 A 事件和 A 的餘事件為樣本空間的一分割, 所以由上述定理可知, 任意的 B 事件的機率為 :P (B) = P (B A) + P (B A c ) 接下來利用一例子來認識何謂分割, 及其特性 例 (00 AMC C #5) 在一個箱子中放有 00 個紅色彈珠及 00 個黑色彈珠, 令 P s 表示自箱子中任意取出兩個彈珠是相同顏色的機率,P d 表示取出兩個彈珠是不同顏色的機率, 試求 P s P d 的值 (A) 0 (B) (C) (D) (E) 解 :(C) 由箱子中取出兩不同顏色彈珠的機率 ( 00 ) ( 00 ) P d = ) = 又因為 P s + P d =, 所以 ( 00 P s = P d = 註 P s 亦可以下列方式計算求得 P s = P ( 取到紅色 ) + P ( 取到黑色 ) = ( 00 ( 00 ) ) + ( 00 ( 00 ) ) = 所以 P s P d = = 00. 全機率定理 若 A i (i =,,..., n) 事件分割了樣本空間, 則亦可以分割任何樣本空間中的事件 E, 如下圖所示 由上圖可知, 彼此互斥事件 A i (i =,,..., n) 的交集與聯集可以組成事件 E, 如下列式子 E = (A E) (A E) (A n E)

15 再與 () 式可推得下列的全機率定理 (theorem of total probability): 定理. ( 全機率定理 ) 設 A, A,..., A n 為 S 的一分割且 P (A i ) 0, i =,,..., n, 對於任意事件 E 的機率可表示成 : P (E) = P (A E) + P (A E) + + P (A n E) = P (E A ) P (A ) + P (E A ) P (A ) + + P (E A n ) P (A n ) 以下為一全機率定理的應用問題 例 (005 AMC A #) 隨機將一顆公正骰子上的一點抹掉, 且每個點被抹掉的機率會相同, 然後投擲這顆骰子, 試問骰子朝上那個面出現奇數點的機率是多少? (A) 5 (B) 0 (C) (D) (E) 6 解 :(D) 骰子中共有 = 個點, 因為每個點被抹掉的機率相同, 則點數為 上的點被移除的機率為, 點數為 上的點被移除的機率為, 以此類推, 點數為 6 上的點 6 被移除的機率為, 故 P ( 出現奇數點 ) = P ( 出現奇數點 移除點的面為奇數 ) P ( 移除點的面為奇數 ) + P ( 出現奇數點 移除點的面為偶數 ) P ( 移除點的面為偶數 ) = =. 貝氏定理 貝氏定理在機率論中是一個比較早發現的結果之一, 此定理是由貝氏 (Bayes, 70-76) 牧師的朋友在西元 76 年替他發表, 發表迄今已超過兩百年, 此定理就以貝氏來命名 貝氏定理的統計推論的基礎是由已知的機率 ( 稱作事前機率 ), 來推得未知的機率 ( 稱作事後機率 ) 例如, 我們要計算給定 B 事件發生之下, A i (i =,,..., n) 事件的條件機率, 當碰到計算 B 事件的機率且 B 與 A i 交集事件的機率很困難時, 我們會以事前機率 :P (A i ), P (B A i ), 去求得事後機率 :P (A i B), 這種方式即為貝氏定理 (Bayes Theorem), 其定理內容描述如下 : 定理. ( 貝氏定理 ) 設 A, A,..., A n 為 S 的一分割且 P (A i ) 0, i =,,..., n, 給定任意的 B 事件發生且 P (B) 0 之下,A i 事件發生的條件機率可表示成 : P (A i B) = P (A i B) P (B) = P (B A i ) P (A i ) n i= P (B A i) P (A i ) 在利用貝氏定理計算機率問題時時, 通常為一個複雜的過程, 此時可透過樹狀圖來幫助我們了解所有可能發生情形, 以下為一貝氏定理與樹狀圖結合應用的例子 例 5 (99 AMC #7) 有一袋爆米花, 其中白米佔, 黃米佔 只有 的白米 及的黃米會爆開, 若隨機從袋中挑選出一粒米, 並將它放入鍋中加熱且後來爆開了, 試問 挑選出來的米為白米的機率為多少? (A) (B) 5 9 (C) 7 (D) 5 (E) 解 :(D) 利用樹狀圖說明如下 5

16 由貝氏定理可得 P ( 白米 爆開 ) = + = 5 例 6 (00 AMC B #6) 正整數 a, b 和 c 獨立從集合 {,,,..., 00} 裡以取後放回方式隨機抽取出, 試問 abc + ab + a 能被 整除的機率為何? (A) (B) 9 (C) (D) (E) 解 :(E) 令 N = abc + ab + a = a(bc + b + ), 若 a 能被 整除, 則 N 能被 整除, 注 意到 00 能被 整除, 因此 a 能被 整除的機率是 若 a 不能被 整除, 則 N 能被 整除是在 bc + b + 是 的倍數之情況 首先, 定義 b 0 和 b 使得 b = b 0 + b 為整數且 b 等於 0, 或, 可知 b 每個可能出現值的機率都相等, 同樣地定義 c 0 和 c, 則 bc + b + = (b 0 + b )(c 0 + c ) + b 0 + b + = (b 0 c 0 + c 0 b + c b 0 + b 0 ) + b c + b + 因此 bc + b + 能被 整除若且唯若 b = 和 c =, 或者是 b = 及 c = 0, 這些情況出 現的機率為 + =, 故所求機率為 + = 例 7 (0 AMC A #) 令 S 是一個以 (0., 0.7) 和 ( 0., 0.7) 為對角線終點之正方形 一點 v = (x, y) 是在所有實數對 x 和 y 中均勻且隨機被選取的, 使得 0 x 0 且 0 y 0 令 T (v) 為由從 S 轉換的正方形區域並以 v 點為中心 請問 T (v) 所決定的正方型區域中, 在內部恰好包含兩個整係數的點之機率為多少? (A) 0.5 (B) 0. (C) 0.6 (D) 0.5 (E) 0. 解 :(C) 首先, 已轉換過的正方形, 在內部包含兩個整數座標的點 ( 格子點 ), 這兩個點必須是相連的, 這個可以由 S 的對角線來證明 此對角線的長度是 =, 也就是單位面積對角線的長度 因為 S 正方形並不平行於座標軸, 正方形 T (v) 的兩個點無法不相連 因為我們已經證明了, 包含在 T (v) 內的兩個點必須相連, 讓我們考慮以 (0, 0), (, 0), (, ) 和 (0, ) 為頂點的單位面積 ; 我們先只討論兩個頂點 (0, 0) 和 (, 0) 我們想要找到在 U 面積區域內的點 v = (x, y), 使得點 v = (x, y) 將可以產生覆蓋 (0, 0) 和 (, 0) 兩點的 T (v)( 也就是 S 的轉換的正方形 ) 由對稱性, 將會有三個對等的區域覆蓋其它對的相連頂點 由於 T (v) 要包含點 (0, 0), 而 v 點必須在正方形 S 之內 同樣地,T (v) 要包含點 (, 0), 而 v 必須在以 (, 0) 為中心的已轉換正方形 S 內, 我們稱其為 S 因此, 我們在尋找的面積為 (U S S ) 為了計算此面積, 由對稱性我們知道面積 (U S S ) = 面積 (S S ) 讓 S = (0., 0.7), S = (0.7, 0.), S = (., 0.7), S = (0., 0.) 令 M = (0.7, 0.) 為 S S 之中點, 並且令 N = (0.7, 0.7) 沿著線 S S 令 I 為在 U 中 S 和 S 之交集 ; 且令 J 為在 U 的外部 S 和 S 的交集 因此, 我們所求的面積為 面積 (S S ) = [IS JS ] 6

17 因為 S, M, N 都有 x 座標 0.7, 它們是在同一直線上的 我們說 S 和 S 的邊長是 ( 如同上面所證明的 ), 我們也發現 S M = MS = 0.5, 所以 S NM = S IM 這產生了 IS = NS =. 0.7 = 0. 和 IS = MS MI = MS MN = = 0. 的結 果 因此, 面積為 面積 (S S ) = [IS JS ] = = 0.0 因為在單位面積 U 內, 還有其他三個區域我們必須去計算, 在 U 內之 v 的總面積使得 T (v) 包含了兩個相鄰的格子點的機率為 0.0 = 0.6 按照周期性, 這個機率是相同於當 v = (x, y),0 x 0 且 0 y 0 時 因此, 答案為 0.6 註記 : 在此題中, 只要範圍的最大值與最小值為整數, 則 x 與 y 的範圍就是固定的 幾何機率 前述兩節的問題皆建立在樣本點個數為可數時的情況, 接下來將介紹一不可數的無窮樣本空間 S 且利用此空間的一些幾何測量 m(s), 例如長度 面積 或者體積, 來求 A 事件的機率 而 A 事件的機率可用 A 事件之幾何測量與樣本空間 S 之幾何測量的比例來計算, 其形式有下列三種 : P (A) = A 的長度 S 的長度 或 P (A) = A 的面積 S 的面積 或 P (A) = A 的體積 S 的體積 註 我們必須假設一不可數無窮樣本空間 S 滿足均勻性質, 這樣才能做以上的幾何機率. 幾何測量 - 長度 所謂長度的幾何測量, 表示其無窮樣本空間可用一線段 數線或是時間軸 等表示, 則考慮某事件的機率時, 只需探討此事件所佔的線段 ( 或數線 ) 與樣本空間相對的長度比值即可, 下列為利用長度測量來求的機率問題 例 8 (97 AMC #7) 隨機將一條線切為兩段, 試問較長的一段至少是較短的一段的 x 倍 ( 其中 x ) 的機率為多少? (A) (B) (C) (D) (E) x x + x x + 解 :(E) 假設線段 AB 被切為兩段, 若較長一段 ( 標記為 l, 長度為 sx) 為較短一段 ( 標記為 l, 長度為 s) 的 x 倍, 則線段 AB 總長度為 (x + )s, 因此切點會落於 l 中的機率為 x+ 但因線段的切法可能為 (l, l ) 或是 (l, l ) 兩種情況, 如下圖 l l 或 l l 故所求機率為 x+ 例 9 (007 AMC B #) 有一交通號誌以下列的循環重複的運作 : 綠燈 0 秒, 然後黃燈 秒, 之後再轉紅燈 0 秒 利亞隨機挑選三秒鐘的區間去注視號誌燈, 試問號誌燈在轉換顏色時, 利亞正在注視的機率為多少? (A) (B) (C) (D) (E) 解 :(D) 由題意知, 交通號誌運作一循環需時 6 秒, 而若利亞所注視的時間在當綠燈轉變為黃燈 黃燈轉變為紅燈或紅燈轉變為綠燈的前三秒鐘內, 則利亞會看到號誌顏色正在轉變, 如下圖所示 7

18 故所求機率為 = 9 6 = 7 例 0 (009 AMC B #8) 瑞吉兒與羅伯特在一圓形的跑道上跑步, 其中瑞吉兒以逆時鐘方向跑且跑完一圈需時 90 秒, 而羅伯特以順時鐘方向跑且跑完一圈需時 80 秒 此兩 人同時在同一起跑線起跑, 有一站在跑道內的攝影師, 以起跑線為中心線, 對的跑道做拍 照, 試問在兩人起跑後的 0 分鐘到 分鐘間, 照片會同時拍到此兩人的機率為何? (A) (B) (C) (D) (E) 解 :(C) 因瑞吉兒跑一圈需要 90 秒, 所以當在第十分鐘的時候, 她已經跑了 6 圈, 為下 圖標示之位置, 則其進入到離開攝影師的拍照範圍時間為第十分鐘的 8.75 秒到第十分鐘的.5 秒 ( 以... 表示瑞吉兒 ); 而羅伯特跑一圈需要 80 秒, 所以當在第十分鐘的時候, 他已經跑了 7 圈, 為下圖標示之位置, 則其進入到離開攝影師的拍照範圍時間為第十分鐘的 0 秒 到第十分鐘的 50 秒 ( 以 表示羅伯特 ) 所以在第十分鐘第 0 秒到第.5 秒此兩人皆在此拍攝區域內, 故所求機率為 =.5 60 = 6. 幾何測量 - 面積 面積的幾何測量, 表示其無窮樣本空間可用平面區域來表示, 其樣本點皆落於區域中, 則考慮某事件的機率時, 只需探討此事件所佔的區域與樣本空間的區域相對面積比值即可, 下列為利用面積測量來求的機率問題 8

19 例 (00 AMC #7) 已知五邊形 ABCDE 的頂點為 A(0, ), B(, 0), C(π +, 0), D(π +, ) 及 E(0, ), 現從這五邊形內部中任取一點 P, 試問 AP B 是鈍角的機率為多少? (A) 5 (B) (C) 5 6 (D) 8 (E) 解 :(C) 斜線部分 以 A, B 為直徑畫一半圓, 若點 P 落於此半圓內, 會使得 AP B 為鈍角, 如下圖 因為 AB = 5, 所以圓半徑為 5, 故所求機率為 半圓面積 ( 斜線部分 ) ABCDE 面積 = π( 5) 5 (π + ) = π 8π = 5 6 例 (00 AMC B #8) 由 (0, 0), (, 0), (, ), (0, ) 四點所圍的四邊形中任選一點 P, 試問 P 到原點的距離小於 P 到 (, ) 的距離的機率為多少? (A) (B) (C) (D) (E) 5 解 :(C) 設 O(0, 0), A(, 0), B(, ), C(0, ), Q(, ), 連接線段 OQ, 並做 OQ 之中垂線 l, 如下圖所示 因為在 l 上任一點到 O 與 Q 點距離相等, 故點 P 在 l 左方時, 會使得 OP < P Q, 即點落於區域 OCDE 時皆可滿足, 故所求機率為 OCDE 面積 OABC 面積 = ( + ) 5 = 9

20 例 (009 AMC B #) 在複數平面上有一區域 S 定義如下 : S = {x + iy : x, y } 有一複數 z = x + iy 由區域 S 中均勻且隨機的選取, 試問率為何? ( + i) z 亦落於區域 S 中的機 (A) (B) (C) 解 :(D) 解法一 由題意知 (D) 7 9 (E) 7 8 欲落於集合 S 中, 表示 ( + ) ( i z = + ) i (x + iy) = (x y) + (x + y) i (x y) 且 (x + y) 即為 x y 且 x + y 將所求得之線性不等式與 x, y 之條件繪製如下 : 其中斜線部分表示能滿足題意要求的 x, y 所形成的區域, 且四塊相等之黑色小等腰直角三角形面積為 = 9 故所求機率為 解法二 將 z 及複數 9 ( + i) = 轉換為極式如下 : = 7 9

21 所以 z = x + y (cos θ + i sin θ) = l (cos θ + i sin θ), 其中 l = x + y, θ [0, π] + i = (cos 5 + i sin 5 ) ( + ) i z = (cos 5 + i sin 5 ) [l (cos θ + i sin θ)] = l [cos(θ + 5 ) + i sin(θ + 5 )] 因此可將 ( + i) z 視為複數 z 在複數平面上被旋轉 5, 且長度增為 倍, 如下圖所示 : 其中實線正方形部分表複數 ( z 可能的值, 虛線正方形部分表示經過旋轉放大後可能的值, 則圖中斜線部分即表示 + i) z 的值亦屬於集合 S, 故所求機率為 ( ) = 7 9 = 7 9. 幾何測量 - 體積 體積的幾何測量, 表示其無窮樣本空間可用立體區域來表示, 其樣本點皆落於此區域中, 則考慮某事件的機率時, 只需探討此事件所佔的區域與樣本空間的區域相對體積比值即可, 下列為利用體積測量來求的機率問題 例 (999 AMC #9) 已知一正四面體有一個外接球與一個內切球, 今知在四面體中之四個面, 均有一個最大的球 ( 在正四面體外 ) 與其相切且與外接球也相切, 若在外接球內任選一點 p, 則 p 落在內切球內或正四面體外圍的四個球內之機率最接近下列哪一個選項? (A) 0 (B) 0. (C) 0. (D) 0. (E) 0. 解 :(C) 假設 ABCD 為邊長為 a 之正四面體, 其外接球與內切球的球心皆為 O, 半徑分別為 r, r, 而內切球切正四面體一面於 E 點, 並有以球心為 O 半徑為 r 的球同時與外接球與正四面體皆相切, 且切外接球於 F 點, 因此 C O E O F 為共線, 如下圖

22 則 r = OC = OF = 6 a, r = OE = 6 a 所以 r = O E = 6 a, 則 r : r : r = : : 不失一般性假設外接球體積為 7V, 正四面體內切球的球體積為 V, 與外接球及正四面體相切的球體積為 V 又因為同時與外接球及正四面體相切的球有 個, 故所求機率為 V + V 7V = 5 7 註 令外接球與內切球的球心皆為 O, 半徑分別為 OA = OC = r, OH = r, 且正四面體 ABCD 之邊長為 a, 點 E 為內切球切正四面體的一切點, 如下圖 則點 H 必為 BCD 之重心, 所以 ) CE = AH = ( a ( ) a = 6 a CH = OH = a = 6 a r a

23 由畢氏定理 OC = OH + CH ( ) 6 r = a r + 可求得外接球半徑 r = 6 a, 內切球半徑 r = 6 a ( ) a 5 路徑問題 路徑問題 為加法原理與乘法原理的特殊應用, 常以走捷徑問題或是空間中各式立體圖形的行走方式出現, 以下為幾個路徑問題的探討 例 5 (98 AMC #5) 下圖為某城市的一部份地圖, 小的長方形表示街塊 ( 註 : 一個街塊表示東西向二個相鄰街道之間及南北向二個相鄰街道之間的區域 ), 而其餘部分表示街道 有一學生每天早上都從街口 A 走到街口 B, 其行走方向為向東或是向南, 在每一個街口選擇向東或是向南的機率皆相同, 且不會影響其他街口的選擇 試問在某一天早上, 該名學生通過街口 C 的機率為多少? (A) 解 :(D) (B) (C) (D) 7 將街口 A 至 B 的機率表示如下 (E) (A) 8 (a) 8 5 (b) (C) 6 6 (B) 由圖可知由街口 A 走到街口 B 中途會通過 C 的機率為

24 註 其中由 A 走至 a 的機率為 + }{{ } = }{{ } 由左方到達 a 由上方到達 a 以此類推, 但在圖中的最下方及最右側兩側的機率計算需特別注意, 因需到達街口 B, 故不能向東 ( 向南 ), 只能向南 ( 向東 ), 因此選擇走向的機率為, 例如走至 (b) 之機率為 = 5 6 即表示由 A 到達 B 的每一條路機率並不相等 ( 最右側及最下方 ), 故不能只計算由 A 到達 B 的路徑 錯誤解法 : (A) (C) 5 5 5(B) 由街口 A 走到街口 B 中途會通過 C 的機率為 0 5 = 7 例 6 (006 AMC A #0) 一隻蟲從一個正立方體的某一個頂點開始沿著稜線依下列的規則移動, 每次移動均由一頂點開始沿交會於此頂點的三條稜線中之一條稜線移至下一個頂點, 每一條稜線被選到的機率相同, 且每次選取都是獨立的 試問七次移動後, 這隻蟲經過每一個頂點恰好一次的機率是多少? (A) (B) (C) (D) (E) 解 :(C) 假設蟲的起始點為正立方體中的 A 點, 如下圖中所示位置 B A F E C D G H 則在 A 點有 種方向可以選擇行走, 假設選擇走至 B, 因需 7 次走完全部的頂點, 所以不可重複行走走過的路徑, 故只有 種行走方向 (C 或 F ) 可以選擇, 以下為走至 C 點後的可能行走方式 :

25 () 若下一個行走方向為往下至另一面 (G 點 ) 時, 則其走完全部頂點的走法只有 種, 為 A B C G F E H D 如下圖所示 會有 = 6 種走法 B A F E D H C G () 若下一個行走方向為往下至另一面 (D 點 ) 時, 則其走完全部頂點的走法只有 種, 為 如下圖所示 A B C D H G F E 或 A B C D H E F G B A F E D C G H B A F E D H C G 會有 = 種走法 綜合上述情況, 所求機率為 = 8 7 = 習題 機率 7 (96 AMC #6) 假設某人最初有 6 元, 和另一人打賭六次, 結果輸贏各三次, 且輸贏的機會相等, 若不考慮輸贏的先後順序 若賭金為每一次賭博時剩餘錢之半, 試問此人最後的輸贏情況為何? (C) (A) 輸 7 元 (B) 贏 7 元 (C) 輸 7 元 (D) 不贏也不輸 (E) 輸 贏依據輸贏所發生之次序而定 5

26 8 (970 AMC #) 如果由所有的五位數字的集合中隨機的挑選出一個數, 使得各位數字和為, 試問這個數可以被 整除的機率為多少? (B) (A) 5 (B) 5 (C) 6 (D) (E) 5 9 (98 AMC #6) 艾麗絲 鮑勃和卡羅爾輪流投擲一顆骰子, 由艾麗絲先開始, 按著是鮑勃, 然後是卡羅爾, 然後又是艾麗絲, 以此循環輪流投擲骰子, 試求卡羅爾為第一 個擲出 6 點的機率為多少?( 任何一次投擲出 6 點的機率都是, 與任何其他次投擲的結果 6 無關 ) (A) (B) 9 (C) 5 8 (D) 5 9 (E) (98 AMC #9) 在一盒子內裝有 顆球, 球上分別標有號碼,,...,, 若隨機地從盒中抽出 6 顆球, 試問抽出的球的號碼之和是奇數的機率是多少? (D) (A) 00 (B) 5 (C) (D) 8 (E) 6 (988 AMC #8) 投擲一枚 不公正 的硬幣, 已知其正面朝上的機率為 p 設 w 為在 5 次互相獨立的投擲中, 正面朝上的次數正好是 次的機率, 若 w =, 則 p 值為 65 (D) (A) P 必為 (B) P 必為 (C) P 必大於 (D) P 無定值 (E) 沒有 P 值使得 w = 65 (990 AMC #8) 從集合 S = {,,..., 99, 00} 中先隨機挑選出一數字 a, 再從集合 S 中隨機挑選出一數字 b, 試求 a + 7 b 的個位數字為 8 的機率? (C) (D) (A) 6 (B) 8 (C) 6 (D) 5 (E) (99 AMC #) 三匹馬 x, y 與 z 之間進行一場比賽, 且必會分出名次, 若不利於 x 勝的架勢是 對, 不利於 y 勝的架勢是 對, 試問不利於 z 勝的架勢是幾對 q 幾?( 不利於 H 勝的架勢是 p 對 q, 這句話的意思是 H 勝的機率是, 且 p, q 互質 ) p+q (D) (A) 對 0 (B) 5 對 6 (C) 8 對 5 (D) 7 對 (E) 0 對 (99 AMC #9) 一個不公正的硬幣, 擲出正面的機率為, 若擲 50 次, 試求 硬幣出現偶數次正面的機率 (D) ( ) 50 (A) 5 (B) ( ) (C) (D) ( + ) (E) (99 AMC #0) 當投擲 n 個六面公正骰子得到點數總和為 99 之機率與得到點數總和為 S 的機率相等, 試問 S 的最小值為何? (C) (A) (B) 5 (C) 7 (D) 9 (E) 6 (995 AMC #0) 若 a, b, c 為從集合 {,,,, 5} 中隨機選取出的三個數字 ( 可重複選取 ), 試問 ab + c 為偶數的機率為何? (B) (A) (B) 59 (C) (D) 6 (E) (996 AMC #) 將一圓周平均分成 996 段, 所以有 996 個平分點, 今從此 996 個點中選出 個不同的點 A, B, C, D ( 每個點被取到的機率相同 ), 則試求 AB 弦與 CD 弦相交的機率為多少? (B) (A) (B) (C) (D) (E) 6

27 8 (996 AMC #6) 一箱子內有 種不同顏色的彈珠, 分別為紅 藍 白 綠四色, 今知每一次取出一個彈珠, 取後不放回, 連續取出 個, 且下列四個事件發生的機率皆相同 : (a) 取出四個紅色 (b) 取出一白三紅 (c) 取出一白 一藍 二紅 (d) 取出四個均不同色 則箱子中最少需要多少個彈珠, 才能滿足上述條件? (A) 9 (B) (C) 6 (D) 69 (E) 超過 69 (B) 9 (999 AMC #) 已知在一圓上有 6 個點, 任兩點可形成一弦, 從其中任取四弦, 請問此四條弦可形成頂點在圓上之凸四邊形的機率為多少? (B) (A) (B) (C) (D) (E) (000 AMC #) Gamble 教授買了一張樂透彩券, 需從 到 6 個數字中選出六個數字填入, 已知他所選之六個數字分別以 0 為底取 log 後, 再加起來為一整數, 若中獎之彩券也是依照此相同條件, 則 Gamble 教授中獎的機率為多少? (B) (A) 5 (B) (C) (D) (E) 5 (00 AMC #) 一盒子中放有 5 個圓形籌碼, 其中 個是紅色, 個是白色, 每一次自盒子中任意取出 個籌碼, 取出後不再放回盒子中, 直到所有紅色或所有白色籌碼被取出時為止, 試求白色籌碼先被取完的機率為多少? (D) (A) 0 (B) 5 (C) (D) 5 (E) (00 AMC A #6) Tina 從集合 {,,,, 5} 隨機選 個不同的數,Sergio 從集合 {,,..., 0} 隨機選 個數, 則 Sergio 選的數大於 Tina 選的 個數之和的機率為多少? (A) (A) 5 (B) 9 0 (C) (D) 0 (E) 5 5 (00 AMC B #) 有一整數 x, 其中 0 x 99, 隨機抽取出一個數字, 且每一個數字被選擇的機率相等, 試求整數 x 的位數中至少有一個數字 7 的機率為何? (B) (A) (B) (C) 9 (D) (E) (005 AMC B #) 在一信封內有 張 $ 張 $5 張 $0 及 張 $0, 共 8 張鈔票 由信封中以取後不放回的方式隨機抽取出 張鈔票, 試問總金額大於或等於 $0 的機率為多少? (D) (A) (B) 7 (C) 7 (D) (E) 55 (006 AMC A #) 一個半徑為 r 的圓, 在其內部有一個邊長為 的正六邊形, 且圓心與正六邊形的中心重合 若站在圓上任一點可看見正六邊形三個完整邊的機率為, 試問 r 之值為何? (D) (A) + (B) + (C) 6 + (D) + 6 (E) 6 7

28 56 (006 AMC B #7) 有一對特殊的骰子, 其各面點數,,,, 5 及 6 出現的機率比值為 : : : : 5 : 6, 試問兩顆骰子所投擲出來的點數和為 7 的機率為多少? (C) (A) 6 (B) 8 (C) 8 6 (D) 6 (E) 7 57 (007 AMC A #) 從 0 到 007 中任意的選出整數 a, b, c, d, 它們不必都相異, 試問 ad bc 為偶數的機率是多少? (E) (A) 8 (B) 7 6 (C) (D) 9 6 (E) (00 AMC A #5) 一非公正硬幣投擲到正面的機率小於 若投擲硬幣四次 時, 正面次數與反面次數相等之機率為, 試求硬幣投擲到正面之機率? (D) 6 5 (A) (B) (C) (D) 6 6 (E) 59 (00 AMC A #6) Bernardo 從集合 {,,,, 5, 6, 7, 8, 9} 隨機挑選相異三數, 並以遞減排列形成一個三位數,Silvia 仿照 Bernardo, 從集合 {,,,, 5, 6, 7, 8} 中挑選相異三數, 並以遞減排列形成一個三位數, 試問 Bernardo 所得之三位數比 Silvia 大之機率為何? (B) (A) 7 7 (B) 7 56 (C) (D) 9 7 (E) (00 AMC A #9) 有 00 個箱子排成一列, 每個箱子均含有 個紅色子彈, 且第 k 個箱子含有 k 個白色子彈 若 Isabella 按照順序從第一個箱子開始取子彈, 每個箱子均取出一枚子彈, 直到她取到第一枚紅色子彈即停止, 令 P (n) 為 Isabella 在剛好取得 n 個子彈停止的機率, 試問滿足 P (n) < 的 n 之最小值為何? (A) 00 (A) 5 (B) 6 (C) 6 (D) 0 (E) (00 AMC B #) 在 000 和 0000 裡隨機選擇一個迴文數, 試問此數能被 7 整除的機率為何? (E) (A) 0 (B) 9 (C) 7 (D) 6 (E) 5 6 (0 AMC B #9) 兩個實數從一個區間 [ 0, 0] 獨立且隨機挑選出來 這兩個數字相乘的積大於零的機率是多少? (D) (A) 9 (B) (C) 9 (D) 5 9 (E) 6 (0 AMC A #) Alex, Mel 和 Chelsea 玩一場遊戲總共有六個回合 每一回 合都只有一個勝利者, 且每一回合的結果都是獨立的 每一回 Alex 贏的機率都是, 然 而 Mel 的贏的機率是 Chelsea 贏的機率的兩倍 問六回合中 Alex 贏三回合,Mel 贏兩回合,Chelsea 贏一回合的機率是多少? (B) (A) 5 7 (B) 5 6 (C) 6 (D) (E) 6 (0 AMC A #) 一個迴文字串為非負整數, 不管向前或向後皆相同數字, 當基數為 0 且頭一個數非零 一個六位數的迴文 n 是均於隨機選取, 請問 n 也是迴文的機 率為多少? (E) (A) 8 5 (B) 00 (C) 7 0 (D) 9 5 (E) 0 8

29 條件機率 65 (97 AMC #) 有兩張卡片, 一張兩面都是紅的, 另一張一面是紅的一面是藍 的, 兩張卡片被選擇的機率相等, 皆為 現在選擇一張放在桌子上, 試問該卡片上面一面 是紅的, 則下面一面也是紅的機率是多少? (D) (A) (B) (C) (D) (E) 66 (989 AMC #0) 設 x 為 00 到 00 之間任選的實數, 若 x =, 則 00x = 0 的機率為多少? 其中 v 是指不超過 v 的最大整數 (B) (A) 5 (B) 500 (C) 0 (D) (E) 67 (00 AMC B #9) 設 S 為數列,,,, 5 的所有排列中, 第一個數字不可 a 為 的排列所形成的集合 令最簡分數表示從集合 S 中隨機挑選出一種排列, 其第二個 b 數字為 的機率, 試求 a + b 之值為何? (E) (A) 5 (B) 6 (C) (D) 6 (E) 9 幾何機率 68 (987 AMC #6) 將.5 隨機地分解成兩個非負實數的和, 例如.5 = 或.5 = + (.5 ) 再把每一數改為與它最接近的整數, 如前面第一個例子的., 0.57 分別改為, 0, 而第二個例子的, (.5 ) 分別改為,, 試問在這樣的規則下最後得到的兩整數和為 的機率是多少? (B) (A) (B) 5 (C) (D) 5 (E) 69 (00 AMC A #6) 在正三角形 ABC 內部中任取一點 P, 則 ABP 的面積同時大於 ACP 與 BCP 面積的機率為何? (C) (A) 6 (B) (C) (D) (E) 70 (00 AMC B #) 有一物體由 A 點直線前進 8 公分至 B 點, 再轉 α 弧度至另一方向, 其中 α (0, π), 之後再直線前進 5 公分至 C 點, 試求 AC > 7 的機率為何? (D) (A) 6 (B) 5 (C) (D) (E) 7 (00 AMC B #5) 由一圓的圓周上任取三點, 試求在此三點中, 任意兩點間的距離皆會小於圓半徑的機率為何? (D) (A) 6 (B) (C) 8 (D) (E) 9 7 (00 AMC A #0) 從 0 與 之間隨機獨立的取出兩實數 a 與 b, 並將 a, b 之和記作 c, 分別以 A, B, C 表示最接近 a, b, c 的整數, 試問 A + B = C 的機率為多少? (E) (A) (B) (C) (D) (E) 9

30 7 (006 AMC B #0) 令 x 為由區間 (0, ) 中隨機挑選的數, 試求滿足下列方程式 log 0 x log 0 x = 0 之機率為多少? 其中 x 表示小於或等於 x 的最大整數 (C) (A) 8 (B) 0 (C) 6 (D) 5 (E) 7 (008 AMC B #) 平面上有兩個半徑為 的圓 A, B, 其中圓 A 的圓心為 (0, 0) 到 (, 0) 所形成的線段中隨機挑選, 而圓 B 的圓心為 (0, ) 到 (, ) 所形成的線段中隨機挑選, 試問圓 A 與圓 B 相交的機率為多少? (E) (A) + (B) + 8 (C) (D) + (E) 75 (0 AMC A #0) 擲一對標準的 6 面骰, 並由數字總和決定圓的直徑, 請問該圓面積小於圓周長的機率為? (B) (A) 6 (B) (C) 6 (D) (E) (0 AMC A #) 假設 a 和 b 為獨立的個位數正整數, 請問 (a, b) 在拋物線 y = ax bx 上的機率為? (E) (A) 8 (B) 8 (C) 5 7 (D) 7 8 (E) (0 AMC B #) 一個飛鏢盤是正八邊形, 區域分割如圖所示 假設一個飛鏢投擲可能出現在盤上的的任何地方, 求設在圓心上的機率為? (A) (A) (B) (C) (D) (E) 78 (0 AMC A #5) 一個 的正方形被分割成 9 個 的小正方形 每一個小正方形都獨立且隨機地被塗上近似的白色或黑色 將正方形繞著它的中心順時針旋轉 90, 若旋轉後的白色小正方形所對應之旋轉前的小正方形為黑色, 則將該白色小正方形塗成黑色, 其餘的小正方形顏色皆保持不變 問所有格子均變成黑色的機率為多少? (A) (A) 9 5 (B) 7 6 (C) 0 (D) 8 5 (E) 9 79 (0 AMC B #) 兩條拋物線有等式為 y = x + ax + b 和 y = x + cx + d, 其中 a, b, c 和 d 皆為整數, 每一個選擇皆為獨立, 利用擲一個公平的六面骰子 請問兩拋物線至少交一點的機率為多少? (D) (A) (B) 5 6 (C) 5 6 (D) 6 (E) 80 (0 AMC A #) 三個可區別線段被隨機選取, 每線段的端點皆若在正十二邊形的頂點上 請問此三線段所圍成的三角形面積為正的機率多少? (E) (A) (B) 57 (C) (D) 8 0 (E) 86 0

31 路徑問題 8 (00 AMC A #) 兩物體 A 與 B 經由一系列步驟同時等速在座標平面上移動, 每次移動一個單位 物體 A 從 (0, 0) 開始移動, 且每一步驟是向右或向上, 兩者機率一樣 物體 B 從 (5, 7) 開始移動且每一步驟是向左或向下, 兩者機率一樣, 則兩物體 A 與 B 相遇的機率約為多少呢?( 四捨五入到小數點第二位 ) (C) (A) 0.0 (B) 0.5 (C) 0.0 (D) 0.5 (E) (005 AMC B #5) 有六隻螞蟻同時站在正八面體的相異六個頂點上, 然後這六隻螞蟻同時且獨立的移動至與其原本所站之頂點相鄰的四個頂點之一, 移動至每一個頂點的機率皆相同, 試求沒有任何兩隻螞蟻會在同一個頂點相遇的機率為多少? (A) (A) 5 (B) (C) (D) (E) (009 AMC B #7) 在立方體的每一個面上, 選擇某一邊的中點畫一條線至另一邊的中點, 而在每一面上隨機且獨立的選擇一雙對邊, 試問會有一連續的線環繞立方體的機率為何? (B) (A) 8 (B) 6 (C) (D) 8 (E) 8 (00 AMC B #8) 一隻青蛙跳躍 次, 每次都恰好跳 公尺, 但每次跳躍的方向是隨機選取且彼此獨立, 試問青蛙最後的位置距離一開始的位置不超過 公尺的機率為何? (C) (A) 6 (B) 5 (C) (D) (E) 附錄 本附錄按年份列出所收集的全部 AMC 之機率題目, 題號欄第一個數字為該年 AMC 之題號, 括號內第一個數字為此題在本文之題號, 第二個數字為所在頁數 如 : 96 6 (5, ) 表示此題為 96 年 AMC 第 6 題考題, 在本文所在位置為第 5 題 第 頁 ;007 B (7, 6) 表示此題為 007 年 AMC 之 B 卷第 題考題, 在本文所在位置為第 7 題 第 6 頁 年份 題號 96 6 (7, 5) 970 (8, 6) 97 (9, 6) 97 7 (8, 7) 97 (65, 9) 97 (5, 9) (8, ) (, ) (, 5) (, ) (, 7) (, 8) 98 6 (9, 6) 98 5 (5, ) 98 5 (, ), 6 (7, ) 98 9 (0, 6)

32 985 6 (, ), (9, ) 986 (8, 6) (68, 9) 988 (, 8), 8 (, 6) (66, 9) (, 6) 99 (, 6) 99 9 (, 6) 99 (6, 5) 99 7 (5, 5), 0 (5, 6) (6, 6) (, ), (7, 6), 6 (8, 7) (0, 7) 999 (9, 7), 9 (, ) 000 (50, 7) 00 (5, 7), 7 (, 9) 00 6A (5, 7), 6B (6, 0), 8B (, 9), 5C (, ) 00 8A (5, 5), 6A (69, 9), A (8, ), 9B (67, 9), B (70, 9), 5B (7, 9) 00 0A (7, 9), B (5, 7), 0B (, 9) 005 A (, 5), A (0, ), B (5, 7), 5B (8, ) 006 0A (6, ), A (55, 7), 7B (56, 8), 0B (7, 0) 007 A (57, 8), B (9, 7) 008 B (7, 0), B (7, 6) 009 7B (8, ), 8B (0, 8), B (, 0) 00 5A (58, 8), 6A (59, 8), 9A (60, 8), B (6, 8), 6B (6, 6), 8B (8, ) 0 0A (75, 0), A (76, 0), 9B (6, 8), B (77, 0) 0 A (6, 8), 5A (78, 0), A (7, 6), B (79, 0) 0 A (6, 8), A (80, 0) 參考文獻 Artino, R.A., Gaglione, A.M. and Shell, N. (98). Contest Problem Book IV: Annual High School Examinations Washington, DC: The Mathematical Association of America. Berzsenyi, G. and Maurer, S.B. (997). Contest Problem Book V: American High School Mathematics Examinations and American Invitational Mathematics Examinations Washington, DC: The Mathematical Association of America. Maurer, S.B. Reiter, H.B. and Schneider, L.J. (00). The American High School Mathematics Examination: A 50 year Retrospective. Mathematics Competitions, hbreiter/ahsme/steve&leo.html Reiter, H.B. (006). The Contest Problem Book VII: American Mathematics Competitions, Contests. Washington, DC: The Mathematical Association of America. Rusczyk, R. et al. (0). Art of Problem Solving Forum. From AoPS Incorporated.

33 Salkind, C.T. (96). Contest Problem Book: Problems from the Annual High School Contests of the Mathematical Association of America. New York: Random House. Salkind, C.T. (966). Contest Problem Book II: Annual High School Contests Washington, DC: The Mathematical Association of America. Salkind, C.T. and Earl, J.M. (97). Contest Problem Book III: Annual High School Contests Washington, DC: The Mathematical Association of America. Schneider, L.J. (997). Contest Problem Book VI: American High School Mathematics Examinations and American Invitational Mathematics Examinations Washington, DC: The Mathematical Association of America. Wells, D. and Faires, J.D. (008). The Contest Problem Book IX: American Mathematics Competitions (AMC) Washington, DC: The Mathematical Association of America. 財團法人九九文教基金會

34 索引 addition principle 加法原理 98 #5, arithmetic-geometric mean inequality 算幾不等式 988 #8, 6 axioms of probability 機率公設, 978 #9, 985 #6, 99 #, 6 006B #7, 8 Bayes Theorem 貝氏定理, 5 Bayes theorem 貝氏定理 99 #7, 5 00B #6, 6 0A #, 6 Bayes, 貝氏, 5 binomial distribution 二項分佈 97 #, #8, 6 99 #9, 6 00A #5, 8 binomial theorem 二項式定理 99 #9, 6 combinations 組合 999 #, 7 compound event 複合事件, conditional probability 條件機率, 97 #, 9 98 #5, 989 #0, 9 99 #7, #6, 00B #9, 9 00B #, 8 00B #6, 6 De Morgan, 第摩根, 5 DeMorgan s laws 第摩根定理 99 #, 5 008B #, 6 0B #, 0 determination of roots 勘根定理 988 #8, 6 disjoint events 互斥事件, 96 #6, #, 6 97 #, #8, 977 #7, #9, 979 #7, #0, 8 98 #6, 6 98 #9, #, #0, 7 00B #0, 9 005A #, 005B #, 7 005B #5, 006A #, 7 007A #, 8 00A #9, 8 0A #, 8 equivalent event 等價事件 00 #, 7 event 事件, factorization 質因數分解 000 #, 7 geometric probability 幾何機率 97 #, #0, 9 00 #7, 9 00 #8, 9 00A #6, 9 00B #5, 9 00A #0, 9 006B #0, 0 007B #, 7 008B #, 0 009B #8, 8 009B #, 0 0A #0, 0 0A #, 0 0B #, 0 0A #5, 0 0B #, 0 0A #, 0 graph 圖形

35 996 #, #, #9, inclusion-exclusion principle 排容原理 98 #6, 00B #6, 0 00B #, 7 independent events 獨立事件 986 #, #0, 7 0A #, 8 Kolmogorov axioms 柯莫格洛夫公設, Kolmogorov, 柯莫格洛夫, law of cosines 餘弦定理 00B #, 9 method of exhaustion 窮舉法 975 #8, 985 #, 00A #6, 7 00A #8, 5 00A #6, 8 0A #5, 0 0A #, 0 outcome 結果, partition 分割 00C #5, permutations 排列 996 #, 6 property of congruence 同餘性質 996 #6, 7 restricted permutation 限制排列 008B #, 6 00A #6, 8 0B #9, 8 simple event 簡單事件, solid graph 立體圖形 006A #0, 009B #7, 00B #8, theorem of total probability 全機率定理 005A #, 5 互斥事件 disjoint events, 96 #6, #, 6 97 #, #8, 977 #7, #9, 979 #7, #0, 8 98 #6, 6 98 #9, #, #0, 7 00B #0, 9 005A #, 005B #, 7 005B #5, 006A #, 7 007A #, 8 00A #9, 8 0A #, 8 分割 partition 00C #5, 二項分佈 binomial distribution 97 #, #8, 6 99 #9, 6 00A #5, 8 二項式定理 binomial theorem 99 #9, 6 立體圖形 solid graph 006A #0, 009B #7, 00B #8, 全機率定理 theorem of total probability 005A #, 5 加法原理 addition principle 98 #5, 同餘性質 property of congruence 996 #6, 7 貝氏 Bayes, 70-76, 5 貝氏定理 Bayes Theorem, 5 貝氏定理 Bayes theorem 99 #7, 5 00B #6, 6 0A #, 6 事件 event, 柯莫格洛夫 Kolmogorov, , 柯莫格洛夫公設 Kolmogorov axioms, 限制排列 restricted permutation 5

36 008B #, 6 00A #6, 8 0B #9, 8 勘根定理 determination of roots 988 #8, 6 排列 permutations 996 #, 6 排容原理 inclusion-exclusion principle 98 #6, 00B #6, 0 00B #, 7 條件機率 conditional probability, 97 #, 9 98 #5, 989 #0, 9 99 #7, #6, 00B #9, 9 00B #, 8 00B #6, 6 第摩根 De Morgan, , 5 第摩根定理 DeMorgan s laws 99 #, 5 008B #, 6 0B #, 0 組合 combinations 999 #, 7 幾何機率 geometric probability 97 #, #0, 9 00 #7, 9 00 #8, 9 00A #6, 9 00B #5, 9 00A #0, 9 006B #0, 0 007B #, 7 008B #, 0 009B #8, 8 009B #, 0 0A #0, 0 0A #, 0 0B #, 0 0A #5, 0 0B #, 0 0A #, 0 等價事件 equivalent event 00 #, 7 結果 outcome, 圖形 graph 996 #, #, #9, 算幾不等式 arithmetic-geometric mean inequality 988 #8, 6 複合事件 compound event, 質因數分解 factorization 000 #, 7 窮舉法 method of exhaustion 975 #8, 985 #, 00A #6, 7 00A #8, 5 00A #6, 8 0A #5, 0 0A #, 0 餘弦定理 law of cosines 00B #, 9 機率公設 axioms of probability, 978 #9, 985 #6, 99 #, 6 006B #7, 8 獨立事件 independent events 986 #, #0, 7 0A #, 8 簡單事件 simple event, 6