2 二有关代数学习理念的差异两国数学课程标准中对数学内容模块的不同划分体现了对代数的不同认识在美国的课程标准中算术和代数是两个不同的模块, 在学校数学的原则与标准 [4] 和数学州际共同核心标准 [5] 中, 内容部分的标准是 : 数与运算代数几何测量数据分析和概率而在我国, 无

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隼白
7 years ago
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1 1 我国小学课程中代数概念的渗透引入和发展 : 中美数学教材比较蔡金法, 江春莲, 聂必凯 * 摘要 : 代数是学生进入高年级数学学习的基础在美国, 很多学生学习代数有困难, 也因此而无法进行后续更高级数学内容的学习, 所以美国提出了大众代数的口号为实现这一目标, 他们开始讨论研究如何在小学低年级就渗透一些代数概念和思想, 以帮助学生顺利完成从算术到代数的过渡本文深入探讨了我国课程中代数处理的三大特点 :(1) 小学算术中互逆的运算同时呈现, 有助于学生理解运算之间的关系, 并为解方程作好铺垫 ;(2) 列方程解应用题中算术方法和代数方法的并行使用, 有助于学生理解问题中蕴含的数量关系 ;(3) 教材中出现的等式, 有助于学生形成对等号意义的多角度理解关键词 : 中国数学教育 ; 早期代数学习 ; 方程 ; 等号 ; 问题解决中图分类号 :G623.5 文献标志码 :A 文章编号 : 一背景方程函数或模式等作为典型的代数概念, 以正式或非正式形式都包含在了中美两国的小学数学中, 其间的差异体现在代数概念引入的早迟代数概念的在课程中究竟以多大程度的正式或非正式的形式引入和发展以及课程本身怎样为学生理解这些代数概念提供帮助等, 这些一直是数学教育界思考研究的问题比如, 在小学数学中, 方程可以非正式地 ( 即不用字母未知数而用方框或括号 ) 表示为 :3+ 口 =7 在美国国家教育进展评估 (NAEP) 的第六次数学评估测试中, 共有三道题使用方框表示方程或不等式中的未知数来测试小学四年级学生的代数理解, 他们测试的结果表明, 正确解答这类方程或不等式问题的各州小学生的百分比从 20% 到 57% 不等再如, 对函数概念的非正式介绍, 可以通过一些模式或规则识别的问题来进行, 在同次的 NAEP 测试中, 让学生发现一组数对的规则, 并应用该规则解决问题 : 从 A 列中的数到 B 列中的数的规则是什么? 并用该规则回答当 A 列中的数是 120 时,B 列中的数是什么? 该研究发现只有 42% 小学四年级的学生发现了该规则, 即将 A 列中的数除以 4, 而且只有 23% 运用该规则正确得到了 B 列中的数 30 类似这样看似简单的问题, 美国小学生并没有获得理想的成绩, 从而引发美国数学教育界对代数教与学的广泛思考与讨论特别是一些国际性比较研究的结果, 我国学生的代数成绩领先美国, 更让美国教育研究者将目光投向我国的数学教育, 而且特别地关注于我国的小学课程中代数概念的渗透引入和发展是如何进行的 [1-3] 收稿日期 : ; 作者简介 : 蔡金法, 现为美国特拉华大学数学系和教育学院数学和教育学教授, 注重探索学生如何学习数学和解决问题以及教师应怎样设置课堂情境以促进学生的数学学习和问题解决, 研究领域还包括数学课程评估和课堂交流 ; 江春莲, 现为澳门大学教育学院助理教授, 从事中国和新加坡学生问题解决的比较研究数学教育技术在数学教学中的整合研究 ; 聂必凯, 现在美国特拉华大学数学系从事数学教育研究, 主要研究数学课程数学问题解决和数学教师教育

2 2 二有关代数学习理念的差异两国数学课程标准中对数学内容模块的不同划分体现了对代数的不同认识在美国的课程标准中算术和代数是两个不同的模块, 在学校数学的原则与标准 [4] 和数学州际共同核心标准 [5] 中, 内容部分的标准是 : 数与运算代数几何测量数据分析和概率而在我国, 无论是 2003 版的数学课程标准 [6] 还是 2011 年的义务教育数学课程标准 (2011 年版 ) [7] 中, 数学内容都是分为数与代数图形与几何统计与概率综合与实践四大部分, 数与代数被置于同一个内容模块在美国, 代数的正式引入较晚, 一个被普遍接受但并不恰当的观点是, 算术没有学好就不能学代数 [8], 所以在各州, 对小学高年级和初中低年级的学生在代数方面没有具体要求多年前, 大部分的州只有九年级的学生要求正式修代数课最近几年, 有些州的学区要求八年级的学生必须正式修代数课代数的重要性已在全美形成广泛共识代数是学生进入高年级数学学习的基础, 在美国, 很多学生因为没法学好代数而无法进行后续更高级数学内容的学习, 所以美国提出了大众代数 (Algebra for all) 的口号 [2] 代数是表征和分析数量关系解决问题陈述和证明一般规律的基础工具为实现大众代数的目标, 普遍认为, 学生在小学及初中就应该有这方面的一些体验机会, 为高中代数的正式学习作些准备研究表明, 学生在代数方面的成功与大学的好成绩和工资收入显著相关 [9], 因而成功学好代数成为继续成功求学和就业的门槛近 10 年来, 一些美国学者开始讨论研究如何从小学低年级开始就渗透一些代数概念和思想, 他们主要的观点有两个 :(1) 算术和代数是紧密关联的, 让学生在学习算术的过程中体会代数的思想 ;(2) 一些小型的实验研究表明, 小学低年级的孩子能够掌握一些代数的思想和方法有趣的是, 一些课程分析表明我国课程中处理算术和代数的方法与这些研究的结论不谋而合, 因而美国一些教师开始探讨如何在课堂中借鉴我国的经验具体地说, 有以下三个方面 :(1) 我国在讲数的运算时, 互逆的运算经常同时呈现, 这种处理有助于学生理解运算之间的关系, 并为运用互逆的运算解方程作铺垫 ;(2) 列方程解应用题中算术方法和代数方法的并行使用, 有助于学生理解问题中蕴含的数量关系 ;(3) 教材中经常呈现的右边非单个数或式的等式, 帮助学生认识等号的意义, 所以学生对等号的认识, 不是一个从左到右的运算符号, 而是表示左右两边式子的相等关系下面将分别讨论在这三个方面的处理特色, 根据我们自己以及他人的研究结果, 我们认为我国的小学数学在以上的几个方面的处理, 有值得美国数学教育界借鉴的地方三我国小学数学中代数学习的一些典型做法 1 将互逆的运算同时呈现促进对解方程及互逆关系的理解在小学一年级, 通过合在一起的变化模型引入加法, 通过取走模型引入减法, 同时也用数的分解的组合模型来表示加减 ( 见图 1), 由同一关系得到的

3 3 四个等式的同时呈现 ( 见图 2), 这些都有助于学生认识到加法和减法运算的互逆关系贯穿整个一年级, 学生始终学习解决类似的问题图 1 来自 [10] 一年级上册 (p.19) 图 2 来自 [10] 一年级上册 (p.45) 同样地, 在二年级, 学生学习整数的乘除法运算, 乘法是通过重复的加法引入的, 而除法是通过等分除 ( 求每份的数量 ) 介绍的, 很快后面就有乘除法放在一起的算式比较 ( 见图 3) 及用乘法口诀来求商这些算式中的方框就是未知数, 所以我国小学教材中很早就渗透了方程和解方程的思想 ; 互逆的运算同时呈现, 也有利于学生看到运算之间的关系有了这样的渗透和准备, 简易方程的解法就可以对小学五年级的学生进行了 ( 见图 4-5) 图 3 来自 [10] 二年级下册 (p.24) 尽管我国的数学课程也从变量和函数表示数量关系的角度发展学生的代数思维, 但重点还是方程和解方程 [1] Kieran 和 Chalouh 从代数的历史发展角度指出对初学者来说, 用字母表示方程中的未知数比代数表达式中的变量更容易理解 ([11], p.180) 尽管在介绍方程时, 我国的教材也讲到天平模型, 但在解方程时, 教材上使用的是逆运算 ( 见图 4-5) 解方程 x 8 16 解 : 根据被减数等于减数加差 x 16 8 x 24 图 4 来自 [12] 第九册 (p.107) 图 5 来自 [12] 第九册 (p.109)

4 4 在上述方程中, 字母 x 替代了来表示未知数, 但在解方程过程中所使用的逆运算与学生之前学过的逆运算 ( 如 : 加法与减法乘法与除法 ) 是一致的在我国小学数学教材中, 这样的安排不仅加深了学生对未知数 ( 变量 ) 的理解, 使学生认识到算术与代数的不可分割性, 更为重要地, 学生从小学开始即认识到数学所包含的互逆关系, 为将来学习和理解更多的互逆关系 ( 如 : 乘方与开方矩阵与逆矩阵微分与积分等 ) 打好基础 2 同时用算术代数方法表征和理解关系不仅仅是解决问题无论是代数还是算术, 一个重要的方面就是利用数或式对关系进行表征而对同一关系的表征, 算术的表征和代数的表征方法显然是不同的在我国的小学数学的应用题教学中, 由于应用题常常涉及一些量之间的关系, 算术方法和代数方法会同时用于解决这类问题, 从而让学生从不同视角理解和表征关系本身如下面一道题 ( 称为篮球问题 ): 黎明小学用来买体育用品的钱恰可以买 12 个篮球, 篮球每个 24 元在买篮球前, 学校花了 144 元买足球, 问剩下的钱还可以买多少个篮球? 在这一问题中, 涉及的关系有两个, 第一个是总钱数等于买篮球的钱数加上买足球的钱数, 第二个是原来可以买的篮球数等于用剩下的钱可以买的篮球数加上花掉的 144 元可以买的篮球数这两个关系都既可以用加法算式表达, 也可以用减法算式表达前者除以篮球单价得到后者, 后者乘以篮球单价得到前者在我国, 老师往往会引导学生探讨下面的五种解答 ( 见图 6), 其中前两种为算术解答, 后三种为代数解答解答用到了第一个关系, 解答 2 和 5 用到了第二个关系在代数解答中, 未知量 ( 解答 5 中的 x) 及用未知量得到的表达式 ( 解答 3 和 4 中的 24x) 参与了这两个关系的表达解答 1: 最终用来买篮球的钱数为 : 所以可以买篮球的个数是 : ( ) 解答 2: 计算花掉的 144 元可以买的篮球数 : 所以可买的篮球数为 : 解答 3: 设学校还可以买篮球 x 个, 则可列方程 : x. 解得 x 6. 所以可以买 6 个篮球解答 4: 设学校还可以买篮球 x 个, 则可列方程 : x 144. 解得 x 6. 所以可以买 6 个篮球解答 5: 设学校还可以买篮球 x 个, 则可列方程 : x. 解得 x 6. 所以可以买 6 个篮球图 6 篮球问题的五种解答 Cai 和 Moyer 指出, 算术方法和代数方法的同时呈现和比较有三个好处 :(1) 帮助学生获得对问题中包含的数量关系更深入的理解 :(2) 引导学生发现算术方法

5 5 和代数方法之间的相似和不同之处, 以便更好地完成从算术到代数的过渡 ;(3) 发展学生的思考能力, 特别是灵活地选择恰当的解题方法的能力 [2] 在算术向代数过渡的过程中, 学生解决很多这类的问题, 尽管这些问题可以用算术的方法来解, 但老师要求学生用代数方法来解随着问题难度的提升, 学生能逐渐体会到代数方法的优越性算术方法是把未知量置于特殊地位, 设法通过已知量求出未知量, 而代数方法是把所求的未知量与已知量放在平等的地位, 找出各量之间的等量关系, 建立方程进而求出未知量算术是逆向思维, 代数是正向思维, 代数方法的优越性和更广泛的应用性就通过比较顺利地建立起来 3 对等号意义的多角度认识有助于对关系的理解因为美国小学数学的主要内容是数与运算, 所以很多时候, 学生要求计算一些算式的值, 久而久之, 学生对等号的认识就是要进行等号左边的运算, 并将结果写在右边, 如算式 2+3=? 这种对等号的理解成为学生后来学习代数的障碍在 [13] Falkner 等的研究中, 学生要求回答 8 4 [ ] 5中的括号内应该填什么? 结果在一个六年级班上, 全部 24 名学生都说应该填 12; 而在其他班级共有 145 名学生认为应该填 12 或 17 Li 和 Ding 发现, 我国孩子在解决这类问题上没有什么困难,98.6% 的六年级学生能正确地解答 6 9 [ ] 4, 远远高于美国的 28.6% [14] 他们从教材上教师指导用书上的说明和学生课本中等号的引入及在问题中的呈现说明, 我国教材上对等号意义的多样化探讨, 有助于我国孩子形成对等号意义的全面认识 ( 见图 7) 我国的数学教材中, 从小学一年级开始, 就设计一些问题来帮助学生形成对等号意义的理解在图 7 中, 等号左边的两个加数已知, 但并不要求学生在等号的右边给出加法运算的结果, 而是让学生找出更多的数对, 使它们的和都等于左边那两个加数的和在图 7 左边的问题中, 学生实际上可以不作任何运算, 而是使用加法的交换律, 在余下的方框里填入如下的数对 :8+5 和 7+6 总之, 在小学数学教材中这样的问题, 有助于让学生意识到等号可以用来表示等号两边的数或式之间相等这一种关系, 而不仅仅是将等号意义理解为等号左边是运算右边是运算的结果正如等式 8+5 = 7+6, 等号在这里也表示了等号两边的一种平衡关系, 而平衡关系是方程的核心思想图 7 来自 [10] 一年级上册 (p.113)

6 6 四讨论相比其他的代数概念, 方程这一代数概念在我国小学数学中的渗透引入和发展是具代表性的本文虽然没有对我国小学数学中方程的内容进行全面系统的分析, 但着重分析了我国小学数学具有的而在美国小学数学课程中也许不具备的一些重要方面 : 1) 无论在美国还是我国, 数的四则运算是小学数学的一个重点但是我国的小学数学在四则运算教学过程中, 强调互逆运算之间的关系, 利用互逆运算之间的关系, 要求学生能理清构成同一种运算的各要素之间的关系, 如减法运算由三个要素构成 : 被减数减数和差, 如果这三个要素中的两个已知, 第三个未知, 如何求第三个要素? 对这些关系的探讨和训练, 为解方程做了很好的铺垫 2) 对等号意义的多角度理解也是中国小学数学的一个特色等号的意义从连接运算和运算的结果到表示一种平衡关系一种等价关系的转化, 实际上对应着数学思想的变化, 及从一种操作性程序性的数的计算, 到关系的表征和理解, 而关系的表征正是代数思想的重要成分之一 3) 有趣的是, 在英文中, 等式和方程是同一个单词 (equation), 而中文特别定义了含有未知数的等式, 即方程在我国的小学数学中很早就使用方框或括号来表示未知数, 这样一种非正式的未知数的表征方式, 使得方程在小学数学中的引入变得自然且容易被低年级的小学生所接受 4) 即使在方程引入以后, 我国的小学数学教学在解决应用题或文字题时并没有立即废除算术方法, 而是同时用算术方法和代数方法对问题进行表征并解决, 并通过对两种方法的对比让学生更加理解方程表征的重要特点之一, 即将未知数与已知的数不加区分地对待, 借用未知数的引入来表示平衡关系应该指出的是, 我们在本文中探讨了我国小学课程对重要代数概念处理的一些特色, 我们认为这些特色是值得肯定的, 也是值得美国小学数学教育界借鉴的另一方面, 美国数学课程和课堂教学中对代数概念的设计和处理, 也有一些好的方面是我国数学教育中所不突出的甚至是不包括的, 在我们的后续研究中将探讨这些问题参考文献 : [1] Cai, J. Why do U.S. and Chinese students think differently in mathematical problem solving? Impact of early algebra learning and teachers' beliefs[j]. Journal of Mathematical Behavior, 2004, 23(2), [2] Cai, J., & Moyer, J. Developing algebraic thinking in earlier grades: Some insights from international comparative studies[c]. In C.E. Greenes, & R. Rubenstein, (Eds). Algebra and algebraic thinking in school mathematics: Seventieth yearbook (pp ). Reston, VA: NCTM [3] Tillema, E. S. Chinese algebra: Using historical problems to think about current curricula[j]. Mathematics teacher, 2005, 99(4), [4] National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). Principles and standards

7 7 for school mathematics[s]. Reston, VA: NCTM [5] National Governors Association Center for Best Practices, Council of Chief State School Officers. Common core state standards for mathematics[s]. National Governors Association Center for Best Practices, Council of Chief State School Officers, Washington D.C [6] 中华人民共和国教育部. 全日制义务教育数学课程标准 ( 实验稿 ) [S]. 北京 : 北京师范大学出版社 [7] 中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准 (2011 年版 ) [S]. 北京 : 北京师范大学出版社 [8] Stiff, L.V., Johnson, J. L. & Johnson, M. R. Cognitive issues in mathematics education[c]. In P.S. Wilson (Ed.). Research ideas for the classroom: High school mathematics (pp.3-20). New York: Macmillan Publishing Company [9] National Mathematics Advisory Panel. Foundations for success: The final report of the National Mathematics Advisory Panel[R]. US: Department of Education [10] 课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心. 义务教育课程标准实验教科书数学 ( 一至六年级上下册 )[Z]. 北京 : 人民教育出版社 [11] Kieran, C., & Chalouh, L. Prealgebra: The transition from arithmetic to algebra[c]. In D. T. Owens (Ed.), Research ideas for the classroom: Middle grade mathematics (pp ). NY: Macmillan [12] 人民教育出版社小学数学室. 九年义务教育六年制小学教科书数学 ( 一至六年级上下册 )[Z]. 北京 : 人民教育出版社 [13] Falkner, K. P., Levi, L., & Carpenter, T. P. Children's understanding of equality: A foundation for Algebra[J]. Teaching Children Mathematics, 1999, 6(4), [14] Li, X., & Ding, M. Sources of differences in children s understanding of mathematical equality: Comparative analysis of teacher guides and student texts in China and the United States[J]. Cognition and Instruction, 2008, 26, Characterizing Early Algebra Learning in Chinese Elementary Schools: Is There a Lesson for US Educators? CAI Jinfa; JIANG Chunlian; NIE Bikai Abstract: Algebra readiness has been characterized as the most important "gatekeeper in mathematics. It is widely accepted that to achieve the goal of "algebra for all, students in elementary school should have experiences that prepare them for more formal study of algebra in the later grades. In this paper, three features of early algebra learning in Chinese elementary schools are presented: (a) early introduction and discussion of inverse operations; (b) the use of arithmetic and algebraic approaches to solve problems; and (c) understanding of the equal sign from multiple perspectives. Keywords: Mathematics Education in China; Early Algebra Learning; Equations; Equal Sign; Problem Solving

1362 A Research on the Performance of Probability Concepts on Sixth-Grade Students Hsin-Chien Tsai Chi-Tsuen Yeh National University of Tainan Abstrac

1361 * * 75% 60% 25% 1362 A Research on the Performance of Probability Concepts on Sixth-Grade Students Hsin-Chien Tsai Chi-Tsuen Yeh National University of Tainan Abstract This research paper focuses