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祀洽滕
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3 初中数学重难点全解 : 五点一测 ( 七年级 ) 主编程淑民

图书在版编目 (CIP) 数据初中数学重难点全解 : 五点一测. 七年级 / 程淑民主编. 上海 : 华东理工大学出版社,2015.4 ISBN978 7 5628 4186 9 Ⅰ.1 初 Ⅱ.1 程 Ⅲ.1 中学数学课初中教学参考资料 Ⅳ. 1G634.

4 图书在版编目 (CIP) 数据初中数学重难点全解 : 五点一测. 七年级 / 程淑民主编. 上海 : 华东理工大学出版社, ISBN Ⅰ.1 初 Ⅱ.1 程 Ⅲ.1 中学数学课初中教学参考资料 Ⅳ. 1G 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2015) 第号初中数学重难点全解 : 五点一测 ( 七年级 ) 主编 / 程淑民策划编辑 / 陈月姣责任编辑 / 李晔责任校对 / 张波封面设计 / 戚亮轩出版发行 / 华东理工大学出版社有限公司地址 : 上海市梅陇路 130 号, 电话 :(021) ( 营销部 ) (021) ( 编辑室 ) 传真 :(021) 网址 :press.ecust.edu.cn 印刷 / 常熟市华顺印刷有限公司开本 /787mm 1092mm 1/16 印张 /9 字数 /225 千字版次 /2015 年 4 月第 1 版印次 /2015 年 4 月第 1 次书号 /ISBN 定价 /25.80 元联系我们 : 电子邮箱 press@ecust.edu.cn 官方微博 e.weibo.com/ecustpress 淘宝官网 htp://shop taobao.com

5 数学是研究数量关系和空间形式的科学, 学好数学有助于我们用科学的方法思考问题, 通过有效的途径解答问题. 同学们, 在小学阶段, 我们已经接触了数字的加减乘除及乘方运算, 进入初中, 我们把数的范围运算进一步拓展, 运用适当的形式描述数字图形等的变化规律. 当你翻开这套丛书时, 你会发现, 学习原来可以如此轻松快乐! 其实数学就在我们身边, 在每一次活动, 每一次游戏中, 都蕴含着不少的数学知识. 善于发现活动游戏中的某些数学规律, 常常可以带给我们许许多多的快乐! 本套丛书根据国家课程标准的要求, 结合 7~9 年级教材的具体内容编写, 适应初中生的认知规律和思维特征, 并以章为单位, 从重点难点考试易错点能力提高点思想方法拓展点五个方面阐述这一章的知识点各个概念与性质之间的联系规律, 精选典型例题, 通过例题的剖析解答及知识拓展, 让学生进行适当的数学思考, 体会数形结合转化分类讨论及方程与函数等数学思想方法, 发展合情推理和演绎推理能力, 并能清晰地表达自己的想法, 掌握分析问题和解决问题的一些基本方法, 通过一题多解一题多变的分析点拨, 体验解决问题的方法的多样性, 发展创新意识. 每一分册不限制教材版本, 以专项的形式概括内容. 每一个年级按照主要知识点都分为 8 章, 在精心设计的每一个例题后面都附加一道相关的练习题, 便于学生运用例题的思想方法, 解答相关的问题, 参考例题后面的知识拓展, 感悟解题通法及一般规律. 从知识点之间的联系, 延伸到知识面, 从思维的广度到深度两个不同的层面, 获得解决数学问题的成功体验. 在讲解与跟踪练习后面, 附加一章知识内容的测试题, 按照由浅入深由易到难的层次进行编排, 便于学生在学习过程中及时发现知识层面的缺失, 通过查漏补缺, 完善自己的知识系统. 总之, 本套丛书既有方法的讲解, 又有习题的演练, 是一本融知识技能思想方法等为一体的学习参考书, 希望同学们在本套丛书的陪伴下, 像一条自由自在的鱼儿, 在知识的海洋里尽情地遨游! 当然, 由于作者水平有限, 编写时间紧张, 书中部分问题的解法或非最佳, 同学们在使用的过程中对某一个问题的解法或许有更为独到的感悟, 一枝独放不是春, 百花齐放春满园! 这正是我们所期待的. 同时敬请读者对书中出现的疏漏批评指正, 使我们的书能不断改进不断完善, 让更多的读者受益.

7 第一章有理数知识导航五点量化分析 1. 重点 2. 难点 3. 考试易错点 4. 能力提高点 5. 思想方法拓展点本章自测 (1) (1) (1) (1) (2) (4) (6) (8) (9) 第二章整式的加减知识导航五点量化分析 1. 重点 2. 难点 3. 考试易错点 4. 能力提高点 5. 思想方法拓展点本章自测 (13) (13) (13) (13) (15) (17) (18) (20) (22) 第三章一元一次方程 (26) 知识导航 (26) 五点量化分析 (26) 1. 重点 (26) 2. 难点 (28) 3. 考试易错点 (31) 4. 能力提高点 (33) 5. 思想方法拓展点 (36) 本章自测 (38) 1

8 初中数学重难点全解 : 五点一测 ( 七年级 ) 第四章一元一次不等式知识导航五点量化分析 1. 重点 2. 难点 3. 考试易错点 4. 能力提高点 5. 思想方法拓展点本章自测 (42) (42) (42) (42) (44) (46) (49) (50) (52) 第五章二元三元一次方程组 (57) 知识导航五点量化分析 1. 重点 2. 难点 3. 考试易错点 4. 能力提高点 5. 思想方法拓展点本章自测 (57) (57) (57) (59) (62) (65) (68) (71) 第六章实数知识导航五点量化分析 1. 重点 2. 难点 3. 考试易错点 4. 能力提高点 5. 思想方法拓展点本章自测 (75) (75) (75) (75) (76) (78) (79) (81) (83) 第七章几何图形初步 ( 线段角相交线平行线 ) (86) 知识导航五点量化分析 1. 重点 2. 难点 3. 考试易错点 4. 能力提高点 5. 思想方法拓展点本章自测 (86) (86) (86) (88) (89) (91) (93) (95) 2

9 目录第八章平面直角坐标系 (100) 知识导航 (100) 五点量化分析 (100) 1. 重点 2. 难点 3. 考试易错点 4. 能力提高点 5. 思想方法拓展点 (100) (102) (104) (106) (108) 本章自测 (110) 参考答案与提示 (114) 3

11 第一章有理数本章的主要知识点可以概括为有理数的有关概念和有理数的运算两部分. 有理数的有关概念包括有理数分类的原则和方法相反数数轴绝对值的概念和特点. 可以利用数轴来认识和理解有理数的有关概念. 有理数的运算和运算律是本章的重点. 运算包括有理数的加减乘除乘方及简单的混合运算 ; 运算律包括加法交换律加法结合律乘法交换律乘法结合律乘法分配律等. 科学计数法与乘方有关, 近似数和有效数字在实际生活中有广泛意义. 1. 有理数是初中数学的基础内容, 也是中考的重要考点之一, 主要和其他知识联合考查. 中考试题中分值约为 3~6 分, 多以选择题填空题计算题的形式出现, 属于简单题. 近几年主要考查以下几个方面 :(1) 相反数, 绝对值, 倒数等相关概念 ;(2) 负数的乘方, 加减及混合运算. 本章的重点是有理数概念的理解及有理数的运算和运算律. 基本概念的考查频率很高, 几乎每个地区的中考卷都会涉及. 有理数运算和运算律一般融入其他运算一并考查, 近似数和有效数字考试中涉及略少. 例 1 下面说法正确的是 ( ). A.0 不是整数 B. 有理数包括正整数负整数正分数负分数 C. 一个整数不是正整数, 就是负整数 D. 整数和分数统称为有理数解析此题必须明确有理数的意义和分类. 整数包括正整数 0 负整数, 因此选项 A 选项 C 不正确.0 是有理数, 因此选项 B 不正确. 整数和分数统称为有理数, 故选项 D 正确. 说明有理数的分类方式有两种, 可分为整数分数 ; 也可分为正数 0 和负数. 因此, 有理数分类要按统一标准分类, 做到既不重复, 也不遗漏. 另外, 整数可以看作分母是 1 的分数. 因此, 有理数都可以化成分数, 而能够化成分数的数就是有理数.π= 是无限不循环小数, 它不能化成分数, 所以 π 不是有理数. 练习 1 下列说法中正确的有 ( ). 1 最小的自然数是 1;2 最小的正数是 1;3 最小的非负数是 0;40 既不是奇数, 也不是偶 1

12 初中数学重难点全解 : 五点一测 ( 七年级 ) 数 ;50 表示没有海拔高度. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个例 2 在中央电视台开心辞典栏目中, 主持人问嘉宾这样一道题目 : 若数轴上的点 A 和点 B 表示互为相反数的两个数, 并且它们到原点的距离之和是 9.6, 那么点 A 和点 B 表示两个什么样的数? (A>B) 你能帮嘉宾解决问题吗? 解析互为相反数的两个数, 它们的绝对值相等, 所以它们到原点的距离相等. 两个数到原点的距离和是 9.6, 那么它们到原点的距离均为 4.8, 因此大数 A 是 4.8, 小数 B 是说明绝对值相反数数轴的概念难度不大, 但极易混淆. 有时也和定义新运算这类题目联系起来考查. 数轴上任意两点间的距离是有关高中知识空间距离学习的基础. 例如, 表示数 a 的点 A 与表示数 b 的点 B 之间的距离 AB= a-b 或 AB= b-a, 与表示数 m 的点的距离为 a(a>0) 的点有两个, 分别是 m+a 和 m-a. 练习 2 数轴上表示整数的点称为整点. 某数轴的单位长度是 1 厘米, 若在这个数轴上任意画一条长为 2015 厘米的线段, 则该线段盖住的整点的个数是 ( ). A.2012 或 2013 B.2013 或 2014 C.2014 或 2015 D.2015 或 2016 例 3 计算 (-1) (-0.2) 3. 解析原式 = (-1)-125 (-0.008) =-17+(-17)-(-1) = =-33. 说明有理数运算是初中数学运算的基础, 熟练地进行有理数运算是初一数学的重点. 有理数混合运算区别于小学混合运算的根本点是符号的处理. 在运算中要强调符号优先的原则, 任何一种运算都要遵循先定符号后算数的原则, 同时还要注意不同种运算之间的相互转化. 减法先变为加法, 除法先变为乘法后再运算. 加法法则可先确定和的符号, 再做绝对值的运算. 异号两数相加较易出错, 应加以注意. 有理数乘法的重点仍然是确定符号, 先确定好符号, 然后把绝对值相乘 ; 带分数相乘时, 要先把带分数化为假分数 ; 分数与小数相乘时, 要统一化成小数或分数. { }. é æ 练习 3 计算 -1- (-3) ö ù ç ë ê è 2 ø û ú (-2) 2. 本章的难点是负数概念的建立有理数有关概念的深入理解以及有理数运算法则的理解和运用. 正数和负数是表示相反意义的量, 正和负具有相对性. 有理数的运算是一切运算的基础, 也 2

13 第一章有理数是必考内容. 考试中的难题往往把有理数有关概念与计算相结合. 突破方法 :(1) 牢固掌握有理数有关的概念, 如相反数, 倒数, 绝对值等, 真正掌握数形结合的思想.(2) 熟练掌握有理数的各种运算法则, 特别是有负数的运算. 在混合运算中须特别注意符号和运算顺序. 例 1 从前有座庙, 庙里有个小和尚, 每天早晨都清扫庙门前的台阶. 庙的门前一共有 9 级台阶, 当他一步只能上 1 级台阶或 2 级台阶时, 走完 1 级台阶只有 1 种方法 ; 走完 2 级台阶共有 2 种方法 ; 走完 3,4,5,6,7 级台阶, 共分别有 3,5,8,13,21 种方法. 那么, 当他走完这 9 级台阶, 一共有多少种方法呢? 解析这是一道找规律题, 当台阶分别是 1,2,3,4,5,6, 7 时所对应的方法有 1,2,3,5,8,13,21 种经观察发现, 每一种方法数目都是前面两种方法数目的和, 所以, 走完 8 级台阶有 13+21= 34( 种 ) 方法, 走完 9 级台阶有 21+34=55( 种 ) 方法. 说明规律题也是本章的一大难点. 近年来, 经常出现一类由特殊到一般, 由具体到抽象的规律探究中考题, 它涉及有理数的运算特点. 例如增加相同的加数或相同的倍数, 后面的数是前面几个数的和或正负数交替出现, 相应的数是序号数的平方等. 这类问题思路别致, 具有启发思维引导创新的意义. 练习 4 观察下列数据的变化规律, 写出第 n(n 1) 个数 -2,4,-6,8,-10 则第 n 个数为. 例 2 如图 1 1, 数轴上的三点 A,B,C 分别表示有理数 a,b,c, 化简 a+b + a-c - c-b. A B O C 图 1 1 解析由题意得 a<b<0<c, b < c < a, 所以 a+b<0,a-c<0,c-b>0. 所以原式 =-(a+b)+[-(a-c)]-(c-b) =-a-b-a+c-c+b =-2a. 说明首先要全面理解绝对值的定义. 绝对值有两层含义.1 代数定义 : 正数的绝对值是它的本身,0 的绝对值是 0, 负数的绝对值是它的相反数 ;2 几何定义 : 数 a 的绝对值的几何意义是实数 a 在数轴上所对应的点到原点的距离. 其次, 绝对值的化简要注意三个问题 :1 符号是非负数的标志 ;2 数 a 的绝对值只有一个 ;3 处理任何类型的题目, 只要其中有出现, 其关键一步是去掉符号. 练习 5 如图 1 2, 蚂蚁妈妈在数轴上的点 A 处, 已知数轴上点 A 表示的数为 6,B 是数轴上另一点, 且 AB=9. 蚂蚁妈妈从点 A 出发, 以每秒 5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动, 设运动时间为 t(t>0) 秒. 3

14 初中数学重难点全解 : 五点一测 ( 七年级 ) B O A 0 6 图 1 2 (1) 写出数轴上点 B 表示的数, 蚂蚁妈妈在运动过程中的某一点表示的数是 ( 用含 t 的代数式表示 ); (2) 一只小蚂蚁从点 B 出发, 以每秒 4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动, 若两只蚂蚁同时出发, 问蚂蚁妈妈运动到多少秒时追上小蚂蚁? 例 3 下列等式成立的是 ( ). A (-3)=100 3 (-3) B (-3)= B æ (-3)= ç è3 3 ö ø D (-3)= 解析选项 B 丢了负号 ; 选项 C 搞乱了运算顺序, 乘除法是同级运算, 应该从左往右按顺序运算, 不应该先算后面的. 选项 D 弄错除法法则和漏掉负号, 除以一个分数等于乘以这个分数的倒数. 故选 A. 说明此题考查运算顺序, 做有理数混合运算, 必须注意运算顺序 : 先乘方, 再乘除, 最后加减 ; 同级运算从左向右进行 ; 如果有括号, 先做括号内的运算, 按小括号中括号大括号的顺序依次进行. 在进行混合运算时, 若能用运算律则用运算律, 使运算简捷. 练习 6 计算 (-12.5%). 3. 本章的易错点比较细小, 也比较多. 例如, 符号问题混合运算的顺序乘方运算的意义科学计数法理解不透有效数字和近似数弄错等. 最大的易错点就是符号, 学生往往忽视了符号在运算中所起的作用. 任何一种运算都要先考虑符号, 尤其是乘方运算, 更要在注意符号的前提下, 避免底数的运算错误. 例 1 计算 é æ ö ù ç ê -2 ú (-1) ë è 3 ø û 解析原式 = æ ç è ö (-1) ø = (-4-2) (-1) = (-6) (-1) 4

15 第一章有理数 = = 说明有理数的乘方运算是利用有理数乘法运算进行的, 根据有理数的乘法法则得出 : 1 负数的奇次幂是负数, 负数的偶次幂是正数 ;2 正数的任何次幂都是正数 ;30 的任何次幂都是 0. 乘方运算经常在符号上出错, 例如,-2 4 =-16,(-2) 4 =16, 前者 - 不发生 4 次方运算, 因此结果仍然是负数, 后者 - 发生了 4 次方运算, 因此结果是正数, 注意两者的区别. 再者, 解题一定要注意运算顺序的正确性, 不可任意颠倒. 练习 7 计算 (-2) 2 +(-6) æ ö ç. è 3 ø 例 2 一位知名企业家去看望幸福养老院的老人, 带去了价值约 1.35 万元的日用品和价值约元的营养品.(1) 请判断这两个近似数各精确到了哪一位? (2) 它们各有几位有效数字? 解析 (1) 题不要只看 1.35, 而忽略了单位万, 把 1.35 万还原为 13500, 再看数字 5 在哪个数位, 因此答案是精确到百位. 有 3 位有效数字. (2) 题不要只看 3.02, 而忽略了把还原为 , 再看数字 2 在哪个数位, 因此答案是精确到千位, 有 3 位有效数字. 说明一般地, 一个近似数四舍五入到哪一位, 就说这个近似数精确到哪一位. 近似数最末尾的数字在什么数位上, 就表明精确到什么数位. 有效数字的位数是从左边第一个不是 0 的数字起到最后一个数字为止. 但是一个用科学计数法表示的数, 即 a 10 n, 有效数字只算 a 中的位数 ; 精确度是 a 中最末一位数字, 数位必须是这个数字在还原后的数中的数位. 练习 8 嫦娥三号已成功发射, 在行进中的某一时刻, 测得距离它最近的三个星球的距离分别是下面的数值. 请你用四舍五入法对下列各数按要求取近似值, 并用科学计数法表示结果. (1) 千米 ( 精确到千位 );(2) 千米 ( 精确到千万位 ); (3) 千米 ( 精确到万位 ). æ 例 3 计算 (1) ö æ ç -1 1 ö ç è 36 ø è 6 ø æ (2) - 1 ö æ ç 1 è 30 ø ö ç è 6 ø. ; 解析 (1) 先把除法转化为乘法, 再利用乘法分配律计算. æ 原式 = ö æ ç - 6 ö ç è 36 ø è 7 ø = 7 3 æ -6 ö ç - 7 è 7 ø 2 æ -6 ö ç + 49 è 7 ø 36 æ -6 ö ç è 7 ø = =-1 6 ; (2) 先计算括号里面的, 然后再把除法转化为乘法计算. 5

16 初中数学重难点全解 : 五点一测 ( 七年级 ) æ 原式 = - 1 ö ç 10 è 30 ø 6 = æ -1 ö ç 6 è 30 ø 10 = 说明灵活适当地运用运算律可以简化运算, 从而提高解题速度. 但减法和除法没有运算律, 要先把减法转化为加法, 除法转化为乘法之后, 才可以使用运算律. 例如上面第 (2) 题的除法就不能使用分配律. 因此, 计算不能急于求成, 不能在违反运算顺序的情况下强行简便运算. 计算题算出结果后, 还要认真检查, 防止出错. 练习 9 阅读计算过程 : é æ ö ù ç -( ) ë ê è2 ø û ú 5. 解 : 原式 =3 1 æ ö ç 5 1 è 4 ø = (-2) 5 2 = = 回答下列问题 : (1) 步骤 1 错在 ; (2) 步骤 1 到步骤 2 错在 ; (3) 步骤 2 到步骤 3 错在 ; (4) 此题的正确结果是. 4. 在充分理解有理数有关概念, 正确掌握有理数运算法则和运算顺序运算律后, 就具备了解决一些综合性题目的能力. 我们可以根据某些题目的特点, 将算式灵活变形, 对不同的算式可以采取运算顺序重新组合因数分解拆项裂项等不同的方法, 达到优化解题简化计算的目的. 例 1 若一台机器人站在数轴的原点处, 按照指令分别向左右两个方向移动, 右边是正方向, 左边是负方向. 先向右移动 1 米, 再向左移动 2 米 ; 然后再向右移动 3 米, 向左移动 4 米. 依次移动下去, 每次方向相反, 距离增加 1 米. 当移动完 2014 次时, 它位于原点的哪一侧? 距离原点多远? 解析向右记为正数, 向左记为负数. 那么有 1+(-2)+3+(-4) (-2012)+2013+(-2014), 将此式中的数两两相加, 原式 =(-1)+(-1)+ +(-1) = 即移动完 2014 次时, 它位于原点左侧, 距离原点 1007 米远. 说明运用加法的交换律结合律, 把某些具有相同属性的数分别结合在一起相加, 例如, 正数和负数分别相加 ; 同分母分数相加 ; 带分数把整数和分数部分拆开分别相加 ; 相反数相加等. 6

17 第一章有理数这样可以很大程度地简化运算. 练习 10 计算例 2 现定义两种运算 *, 对于任意两个整数 a,b, 有 a*b=ab-2,a b=a+b+1, 求式子 5 [(2*3)*(3 4)] 的值. 解析原式 =5 [(2 3-2)*(3+4+1)] =5 (4*8) =5 (4 8-2) =5 30 = =36. 说明定义新运算中的符号代表的是一种特定的运算, 它是一种融合了几种基本运算在内的综合运算程序. 在不同的题目中分别有不同的代表性, 具体到每一道题, 它首先会标明符号所代表的运算程序, 我们只要在正确运算的基础上按照其程序运算即可. 练习 11 已知 a,b 为有理数, 如果规定一种新的运算, 即 a b=ab+a-b+1. 例如,2 3 = =6. 请你根据的定义计算下列各题 : (1)(-2) 5; (2)(4 2) (-1). 例 3 已知 a1,a2,a3,,a2014 都是正整数, 且 P=(a1+a2+a3+ +a2013) (a2+a3+ +a2013+a2014),q=(a1+a2+ +a2013+a2014) (a2+a3+ +a2013). 那么 P Q 的大小关系是 ( ). A.P>Q B.P<Q C.P=Q D. 无法确定解析 P =(a1+a2+a3+ +a2013) (a2+a3+ +a2013+a2014) =(a1+a2+a3+ +a2013) (a2+a3+ +a2013)+(a1+a2+a3+ +a2013) a2014, Q =(a1+a2+ +a2013+a2014) (a2+a3+ +a2013) =(a1+a2+a3+ +a2013) (a2+a3+ +a2013)+a2014 (a2+a3+ +a2013), 因为 (a1+a2+a3+ +a2013) a2014>a2014 (a2+a3+ +a2013), 所以 P>Q, 故选 A. 说明这种题目就要把着眼点放在问题的整体结构上, 通过对题目的整体分析, 把其中的 (a1+a2+a3+ +a2013) (a2+a3+ +a2013) 当作一个整体, 只把 a2014 分离出来, 这样就在两个不同的式子之间找到了共同点, 也就找到了突破点, 然后只比较不同的部分即可. 练习 12 已知 a,b,c 为整数, 且 a+b=26,c-a=15. 若 a<b, 则 a+b+c 的最大值是多少? 7

18 初中数学重难点全解 : 五点一测 ( 七年级 ) 5. 在本章的学习中, 基本的学习要求是熟练地掌握相反数绝对值数轴等定义, 更重要的是了解其中蕴含的数学思想方法. 本章中最常用的数学思想方法有方程思想整体思想数形结合思想化归思想分类讨论思想等. 学习数学要不断去探索猜想不断总结规律方法, 才会有所发现有所创新. 这就是人们常说的举一反三. 例 1 在数轴上表示 p,0,1,q 四个数的点如图 1 3 所示, 已知 O 为 PQ 的中点. 求 p+q + p q + p+1 的值. p 0 1 q P O 图 1 3 Q 解析此题充分利用数轴的直观形象, 理解一对相反数到原点的距离相等, 因此一对相反数的和是 0, 而一对相反数的商是 -1, 此问题便迎刃而解. 因为 O 为 PQ 的中点, 则 p+q=0,p=-q, 所以 p+q =0, p q =1, 由数轴可知 p<-1, 则 p+1 =-p-1, 所以原式 =0+1-p-1=-p. 说明本题所体现的是数形结合的思想. 数轴是数形结合的重要工具. 本章中, 我们一直用数轴来定义或描述有理数的概念运算等, 数轴成为理解有理数及其运算的重要工具. 在解决没有给出具体数值的有理数问题时, 常常把数的问题通过数轴转化为形来表示, 从而直观简捷地解决问题. 练习 13 如果 a,b,c,d 为互不相等的有理数, 且 a-c = b-c = d-b =1, 则 a-d =. 例 2 为了增加陌生人之间的友爱和关怀, 社会上很多年轻人成立了抱抱团. 如果抱抱团的一名成员分别去热情拥抱两名陌生人, 而每名被拥抱的人再去拥抱另外两名陌生人, 照这样依次拥抱下去, 那么, 当拥抱完 2013 次之后, 这条线上所有参加过拥抱的一共有多少人? 解析发起人 1 名, 一次拥抱结束后增加 2 人, 两次拥抱结束后增加 2 人, 以此类推, 2013 次拥抱结束后增加人. 所以总人数为 ( 人 ). 此题运算的数多, 且幂指数大, 无法直接计算, 必须先将其变形, 应用错位相减法, 消掉一些项再进行计算. 设 S= , 故 2S =2 ( ) = 所以 S =2S-S =( )-( ) =

19 第一章有理数即当拥抱完 2013 次之后, 这条线上所有参加过拥抱的一共有人. 说明本题体现的是化归思想方法, 就是将所要解决的复杂问题转化为简单问题来解决. 具体地说, 就是把旧知识转化为新知识, 把未知转化为已知, 把复杂问题转化为简单问题. 对于算式规律性问题, 我们要注意观察各部分算式的变化规律以及各算式之间的关系. 根据其规律将算式变形, 转化为简单的关系来解决. 练习 14 1 已知 ab-2 + a-2 = 0, 求 ab + 1 (a+1)(b+1) + 1 (a+2)(b+2) 的值 (a+2012)(b+2012). 例 3 比较 p + q 与 p+q 的大小. 解析我们根据绝对值的法则, 要化简绝对值符号, 必须先判断绝对值符号里面的式子的正负性. 即根据先定正负后去号的原则. 式子中字母的取值, 要分三种情况讨论.1 当 p,q 符号相同时, 无论同正还是同负, 都有 p + q = p+q ;2 当 p,q 符号相反时, 无论 p,q 哪一个为负, 都有 p + q > p+q ;3 当 p,q 至少一个为 0 时, 则有 p + q = p+q. 说明本题所用的是分类讨论思想. 当研究的问题包含多种可能时, 不能一概而论, 必须按可能出现的所有情况来分别讨论, 得出相应的结论. 本章在研究相反数绝对值有理数乘方运算的符号法则时, 都是把有理数分为正数负数零三类分别进行研究的. 例如绝对值化简的 0 段分类法倒数中的分段讨论大小都是分类讨论思想. 分类讨论必须遵循两条原则 :1 每一次分类的标准相同 ;2 不重复, 不遗漏. 练习 15 设 y= k-1 + k+1 则下面四个结论中正确的是 ( ). A ẏ 没有最小值 B. 只有一个 k 使 y 取最小值 C. 有限个 k( 不止一个 ) 使 y 取最小值 D. 有无穷多个 k 使 y 取最小值一填空题 ( 每小题 2 分, 共 28 分 ) 1. 在 -1.5, 19 7, 0, π 3, ,- 2 中, 有理数的个数是王老师家的冰箱冷冻室的温度是 -4, 调高 2 后的温度是. 3. 多多同学写错了一个算式 -5+12=17, 请你在不改变数字的情况下, 直接在算式中添加括号绝对值符号或负号 ( 不限定个数 ) 使等式成立 :. 4. 实验表明, 一个成年人血液的质量占人体质量的 6%~7.5%, 某人体重 65 千克, 那么他的血液质量范围在千克.( 结果保留两个有效数字 ) 9

20 初中数学重难点全解 : 五点一测 ( 七年级 ) 5. 若 a =2, 则 a +3= ; 若 a 的相反数是最小的质数,b 是最大的负整数, 则 a+ -b =. 6. 有理数 a 等于它的倒数, 有理数 b 等于它的相反数, 则 a b 2013 =. 7. 一个数与 -3 的乘积是的倒数, 则这个数是. 8. 已知 x y z 是不为 0 的有理数, 化简 x x + y y + z z 的值可能是年北京奥运会火炬传递路线全长约为公里, 用科学计数法表示为 ; 精确到千位是. a 10. 已知 a =5, b =3, 且 b <0, 则 a+b=,ab=. 11. 某种活性细胞在培养过程中, 每半小时就分裂一次, 由一个分裂成两个, 经过 3 小时, 这种细胞可由一个分裂成个. 12. 下列有四个结论 1 若 a=b, 则 a 2 =b 2,2 如果 a>b, 那么 a 2 >b 2,3 若 a 2 =b 2, 则 a=b,4 如果 a 2 >b 2, 那么 a>b. 其中正确的有个. 13. 绝对值不大于的所有整数的和是, 积是. 14. 计算 (-1) [2-(-3) 2 ]=. 二选择题 ( 每小题 3 分, 共 18 分 ) 15. 下列说法中正确的是 ( ). A. 同号两数相乘, 符号不变 B. 两个数相加, 和大于任何一个加数 C. 任何数与 0 相乘仍得这个数 D. 一个数与 -1 相乘, 积为该数的相反数 16. 下面说法中错误的是 ( ). A. 近似数 2 千万和万精确度相同 B. 近似数 2 千万和万的有效数字相同 C. 近似数和有效数字位数相同 D. 近似数和精确度不同 17. 下列说法中正确的是 ( ). A. 若 a=-b, 则 a =- b B. 若 a = b, 则 a=b C. 如果 a > b, 那么 a 2 >b 2 D. 如果 a>b, 那么 a > b 18. 小花猫捡到了一块蛋糕, 被狐狸看到了, 狡猾的狐狸就一口吃掉了蛋糕的一半, 再一口吃掉了剩下的一半, 就这样连续吃了五口, 那么, 小花猫还剩下蛋糕的 ( ). A. 1 8 B C D 若 a=-2 3 2,b=(-2 3) 2,c=-(2 3) 2, 则下列大小关系正确的是 ( ). A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>a>b 20. 已知 A= , B= , C= , 那么,A,B,C 的大小关系是 ( ). A.A>B>C B.A<B<C C.B>A>C D.B>C>A 10

21 第一章有理数三解答题 ( 共 54 分 ) 21.(6 分 ) 用简便方法计算下面各题 æ (1) ö ç (-60); (2)(-4) 2 è 12 ø 5 (-0.25) (6 分 ) 很久以前, 有位英俊的王子中了老巫婆的魔咒, 变成了一只青蛙, 被扔到一口水井里. 水面比井口低 3 米, 青蛙从水面沿着井壁向上往井口爬, 第一次往上爬了 0.5 米后, 往下滑了 0.1 米 ; 第二次往上爬了 0.42 米, 却又下滑了 0.15 米 ; 第三次往上爬了 0.7 米, 却下滑了 0.15 米 ; 第四次往上爬了 0.75 米, 却下滑了 0.1 米 ; 第五次往上爬了 0.55 米, 没有下滑 ; 第六次青蛙又往上爬了 0.59 米, 问青蛙能够爬出井口吗? 23.(6 分 ) 有下列三行数, 第一行 :1,-4,9,-16,25,-36 ; 第二行 :-1,2,-3,4,-5,6 ; 第三行 :0,3,8,15,24,35. 这三行数的规律各是什么? 请取每行的第 100 个数, 并计算它们的和. 24.(6 分 ) 已知三个有理数 a,b,c 的和是正数, 它们的积是负数, 当 m= a a + b b + c c 时, 求代数式 m 3 +m 2 +m+1 的值. 11

22 初中数学重难点全解 : 五点一测 ( 七年级 ) 25.(6 分 ) 计算 (8 分 ) 若 a,b,c 为整数, 且 a-b c-a 100 =1, 试求代数式 c-a + a-b + b-c 的值. 27.(8 分 ) 小华有三个有理数 1,a+b,a, 小毛也有三个有理数 0,b, b a, 丽丽说 : 你们俩的数是一样的, 我有一个和你们不一样的数 x, 它的绝对值是 2 请你计算 (a+b) (ab) (a+b-ab) x (8 分 ) 已知 a1-1 + a a a =0, 求 2 a 1-2 a 2-2 a a a 2014 的值. 12

23 第二章整式的加减本章的主要知识点可以概括为列式表示数量关系整式的有关概念及整式的加减运算. 列式表示数量关系是建立在用字母表示数的基础之上的. 整式的概念主要介绍单项式多项式整式及其相关概念. 单项式概念是多项式概念的基础, 而整式又是单项式和多项式的总称. 整式的加减运算是在学习了合并同类项和去括号的基础上, 研究整式加减的运算法则. 本章进一步学习如何用字母表示数及数量关系, 深刻体会用字母表示数用含字母的式子表示数量关系的意义. 合并同类项和去括号是进行整式加减的基础, 是本章的重点. 1. 本章的重点是整式加减的运算, 主要是利用合并同类项法则去括号法则对整式进行化简. 熟练地合并同类项首先必须掌握同类项概念, 其次要会准确辨别同类项, 即要掌握两条判断同类项的标准 : 字母和字母指数. 中考命题中, 本章主要考查用含字母的式子表示实际问题中的数量关系 ; 同类项的概念等. 多以填空题选择题的形式出现, 分值一般为 3~6 分. 而合并同类项去 ( 添 ) 括号也是考试重点, 但考查时往往与其他知识相结合. 另外, 用式子表示规律题是近几年中考的热点. 例 1 已知 m=3,n=2, 则下列式子是同类项的是 ( ). A.mx 3 y 2 与 na 3 b 2 B.3x m y 3 与 nx 2 y 3 C.nx 2m-1 y 4 与 mx 5 y n+2 D.5a 2m b 5n 与 3b 2m a 5n 解析当 m=3,n=2 时, 选项 A 中两项为 3x 3 y 2 与 2a 3 b 2, 字母不同, 不是同类项. 选项 B 中两项为 3x 3 y 3 与 2x 2 y 3, 字母 x 的指数不同, 不是同类项. 选项 C 中两项为 2x 5 y 4 与 3x 5 y 4, 符合同类项定义, 是同类项. 选项 D 中两项为 5a 6 b 10 与 3b 6 a 10, 相同字母的指数不同, 不是同类项, 故选 C. 说明判断两个单项式是否为同类项, 要抓住三个方面 :1 同类项与项中所含字母及其指数有关, 与系数无关 ;2 同类项与项中字母排列的先后顺序无关 ;3 所有常数项都是同类项. 另外, 同类项中的相同字母可以是一个多项式的整体, 例如,2(x+y) 3 与 3(x+y) 3 也是同类项. 练习 1 下列各组中的两项是同类项的有 ( ) 个 xy 与 3xyz; 与 a 2 ; 3 2x 与 x ; 4 1 与 3; 5 2πa 与 -3a; 3 13

24 初中数学重难点全解 : 五点一测 ( 七年级 ) 6 3(x-y) 2 与 2(x-y) 2. A.1 B.2 C.3 D.4 例 2 一个多项式减去 -8xy 2-2x 2 y-2y 4 得 5x 2 y+11xy 2 +3y 4, 求这个多项式. 解析设这个多项式为 A, 首先是利用被减式 = 差 + 减式正确列出计算式, 即 A =(5x 2 y+11xy 2 +3y 4 )+(-8xy 2-2x 2 y-2y 4 ) =5x 2 y+11xy 2 +3y 4-8xy2-2x 2 y-2y 4 =(5x 2 y-2x 2 y)+(11xy 2-8xy 2 )+(3y 4-2y 4 ) =3x 2 y+3xy 2 +y 4. 说明此题先要把每一个多项式看作一个整体, 计算前把每个多项式用括号括起来, 再按照去括号法则去掉括号, 寻找同类项进行合并. 合并同类项时, 首先, 可在同类项下用等符号标记不同种类的项, 注意要包括该项的符号 ; 其次, 只将同类项的系数相加, 字母以及字母的指数不变. 练习 2 若两个单项式的和是 2x 2 +xy+3y 2, 一个加式是 x 2 -xy, 求另一个加式. 例 3 已知 A=a 2 +b 2 -c 2,B=-4a 2 +2b 2 +3c 2, 且 A+B+C=0. 求 :(1) 多项式 C; (2) 若 a=1,b=-1,c=3, 求 A+B 的值. 解析 (1) 因为 A+B+C=0, 所以 C =0-A-B =0-(a 2 +b 2 -c 2 )-(-4a 2 +2b 2 +3c 2 ) =0-a 2 -b 2 +c 2 +4a 2-2b 2-3c 2 =(-a 2 +4a 2 )+(-b 2-2b 2 )+(c 2-3c 2 ) =3a 2-3b 2-2c 2 ; (2)A+B =(a 2 +b 2 -c 2 )+(-4a 2 +2b 2 +3c 2 ) =a 2 +b 2 -c 2-4a 2 +2b 2 +3c 2 =-3a 2 +3b 2 +2c 2. 把 a=1,b=-1,c=3 代入上式得原式 = (-1) =18. 说明去括号与合并同类项都是整式加减的基础, 均为本章的重点, 对后面的解方程因式分解分式运算等内容起着重要作用. 去括号注意两种情况 :1 括号前是 +, 把括号和它前面的 + 去掉, 括号里各项都不变号.2 括号前是 -, 把括号和它前面的 - 去掉, 括号里各项都变号. 练习 3 先化简, 再求值 :3x 2 -[x 2-2 (3x-x 2 )], 其中 x=-7. 14

25 第二章整式的加减 2. 本章的难点有两方面, 一是用字母表示数及数量关系 ; 二是去括号时符号的处理. 用字母简明地表示实际问题中的数量关系比用具体数字表示的算式更有一般性 ; 整式中用字母表示数, 会使得整式的运算与数的运算具有一致性 ; 用字母表示规律性的式子更有难度, 不仅要分析出规律, 还要用字母准确表达. 去括号最大的难点是符号的处理, 确切地说就是 - 问题, 牢记当把括号和它前面的 - 去掉后, 括号里各项都要变号. 例 1 小美家的固定电话月租金为 15 元, 每次市内通话费平均为 0.3 元, 每次长途通话费平均为 1.6 元, 若她家半年内打市内电话 m 次, 打长途电话 n 次, 则她家应付电话费 ( ) 元. A.0.3m +1.6n B.15mn C m +1.6n D m +1.6n 解析因为半年内打市内电话 m 次, 每次平均为 0.3 元, 所以半年的市内电话费为 0.3m 元. 因为半年内打长途电话 n 次, 每次平均为 1.6 元, 所以半年的长途电话费为 1.6n 元. 而固定电话月租金为 15 元, 半年内的租金为 15 6( 元 ), 故选 D. 说明字母可以表示任意的数特定意义的公式符合条件的某一个数, 甚至可以表示具有某些规律的数, 总之字母可以简明地将数量关系表示出来. 用字母表示数有助于揭示概念的本质特征, 使数量之间的关系更加简明, 更具有普遍意义. 用字母表示数时, 字母与字母相乘, 乘号可以省略或用 ( 点 ) 表示 ; 字母和数字相乘, 省略乘号, 并把数字放到字母前. 例如,3 b= 3 b=3b. 练习 4 1 上海市某文具厂今年 9 月产值为 m 万元,10 月比 9 月减少了 10, 11 月比 10 月增加了 15%, 则 11 月产值是 ( ). æ A.m- 1 ö æ ç (m+15%) 万元 B.1-1 ö ç (1+15%)m 万元 è 10 ø è 10 ø æ C.m- 1 ç è % ö æ 万元 D.1-1 ç ø è % ö m 万元 ø 例 2 如图 2 1 所示,1,2,3,4, 是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行广字, 按照这种规律, 第 5 个广字中的棋子枚数是, 第 n 个广字中的棋子枚数是. 图 2 1 解析通过分析图 2 1 的前 4 幅图发现 :1 的棋子有 7 枚,2 的棋子有 9 枚,3 的棋子有 11 枚,4 的棋子有 13 枚, 规律是依次增加 2 枚. 那么第 5 个广字的棋子即为 15 枚.1 的棋子枚数是在 5 枚的基础上增加 2 枚,2 的棋子枚数是在 5 枚的基础上增加 4 枚, 即在 5 枚的基础上增加 2 2( 枚 ),3 的棋子枚数是在 5 枚的基础上增加 3 2( 枚 ), 以此类推, 那么第 n 个广字中的 15

26 初中数学重难点全解 : 五点一测 ( 七年级 ) 棋子枚数是 (2n+5) 枚. 说明找规律题成为近几年中考的热点考题. 从具体的数字计算到利用抽象的字母概括运算规律, 这是一次质的飞跃. 用字母表示规律时, 要认真观察分析思考, 找出其中的规律, 再用字母正确表达出来. 我们还能用字母和代数式表示以前学过的运算律性质法则和计算公式等. 例如, 用字母表示分数性质, b a =bm am ( m 0), b a =b m a m ( m 0). 练习 5 如图 2 2 所示, 用火柴棒按以下方式摆小鱼, 摆 1 条小鱼用 8 根火柴棒, 摆 2 条小鱼用 14 根,, 则摆 n 条小鱼需要根火柴棒.( 用含 n 的代数式表示 ) 图 2 2 例 3 下列各式去括号后错误的是 ( ). A.-3x 2 -(x+2y-5z)=-3x 2 -x-2y+5z B.8a 2 +(-3a-b)-(2c+3d)=8a 2-3a-b-2c-3d C.5x 2-3(x-y)=5x 2-3x+3y D.-[(x-6y)-(-x 2 +2y 2 )]=-x+6y+x 2-2y 2 解析选项 D, 原式 =-(x-6y+x 2-2y 2 )=-x+6y-x 2 +2y 2, 故选 D. 说明去括号时, 连同括号前的符号同时去掉. 要特别注意括号前是 - 时, 去括号后括号里各项的符号都改变. 去括号实质是按照乘法分配律推导得到的, 例如,a+(b+c)=a+b+c, 括号前的 + 可以看成 +1, 利用 a+(+1) (b+c) 得 a+b+c; 而 a-(b+c)=a-b-c, 括号前的 - 可以看成 -1,a-(b+c)=a+(-1) (b+c)=a-b-c, 这样理解记忆去括号法则有助于减少应用去括号法则的错误. 本题还指出了多项式化简的运算顺序, 多重括号的去括号, 一般按去小括号去中括号去大括号的顺序, 逐次去掉括号. 练习 6 化简 : 1 a+(2b-3c-4d)= ; 2a-(-2b-3c+4d)= ; 3 -{+[-(2x-y)]}= ; 4 -[(x-y)-(xy-1)]=. 16

27 第二章整式的加减 3. 本章的易错点是概念的理解不够透彻合并同类项法则和去括号法则运用不够灵活. 概念的理解错误大多表现在单项式和多项式辨别混乱单项式系数和次数以及多项式的项和次数弄错. 合并同类项是把多项式中的同类项合并成一项, 首先要辨清同类项, 其次合并的是系数, 字母及字母指数不变. 易错点主要是辨别同类项不清, 合并同类项系数计算出错. 去括号更要严格按照法则进行, 符号的处理最容易出错. 例 1 下列各句正确的是 ( ). A.3x 是单项式, 次数是 0 B.x 没有系数, 次数是 1 C.-6π 是一次单项式 D.-6π 是单项式, 没有次数解析此题主要考查学生对单项式的系数次数的理解. 选项 A 中的 3x 是单项式, 但次数为 1, 可以省略. 选项 B 中的 x 是单项式, 系数为 1, 次数为 1, 均可省略. 选项 C 中的 -6π 是单项式, 没有次数, 因为单项式的次数是单项式中所有字母的指数和, 而 π 是数. 故选 D. 说明数和字母的积是单项式, 单独的一个数或一个字母也是单项式. 因此, 用乘号把数和字母连接在一起的式子就是单项式, 而用加减号把数和字母连接在一起的式子不是单项式. 当式中出现分母时, 分母里有字母的就不是单项式. 单项式的系数是单项式前面的数字因数, 包括它前面的符号. 单项式的次数是单项式中所有字母的指数和. 单项式的系数和次数为 1 时, 都可以省略. 练习 7 下列说法正确的是 ( ). A.-xy 2 是单项式, 系数是 -1, 次数是 2 B.ab 没有系数, 次数是 2 C π 是单项式, 系数是 - 1 8, 次数是 1 D.3 是单项式, 没有次数例 2 如果 M N 均为 5 次多项式, 则 M +N 一定是 ( ). A.6 次多项式 B. 次数不高于 5 次整式 C.10 次多项式 D. 次数不低于 3 次的多项式解析两个多项式的次数均为 5, 说明相加后多项式的次数不会大于 5, 只能小于或等于 5, 但结果可能是单项式或多项式, 因此结果为整式. 故选 B. 说明在多项式中, 每个单项式叫作多项式的项, 其中不含字母的项叫作常数项. 在确定多项式的项时, 要特别注意项的符号. 如多项式 x 2-3x+2 共有三项, 分别是 x 2,-3x,2. 其中第二项是 -3x, 而不能说成 3x,2 是常数项. 多项式里, 次数最高项的次数, 就是这个多项式的次数. 例如,x 2-3x+2 是二次三项式, 其中次数最高的项是 x 2. 而 m 3-3n 3-2m +2n 是三次四项式, 次数最高的项是 m 3 和 -3n 3. 它们两个无论哪一个都可以代表多项式的次数. 因此, 两个多项式相加或相减有可能会降低多项式的次数, 但不可能增加多项式的次数. 练习 8 若 A 是一个四次多项式, 且 B 也是一个四次多项式, 则 A-B 一定是 ( ). A. 八次多项式 B. 四次多项式 C. 三次多项式 D. 不高于四次的多项式或单项式 17

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos( 第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于