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1 線性代數 200 問題集 周志成 這份問題集彙整自 2009 年 3 月至 202 年 2 月刊登於 線代啟示錄 的 200 個每週問題 本題集收錄的問題來源甚廣, 有我過去教學使用的演習題, 美國麻省理工學院的考題, 台灣各大學的研究所入學試題, 以及多本參考書籍的練習題 這些問題大都具有解釋基本觀念或彰顯實用技巧的作用, 部分問題可能超越一般基礎線性代數水平, 但我相信演練略為艱深的問題不僅可以刺激思考活動, 鍛鍊推理解析力, 也有鞏固核心觀念的效果 為方便查閱, 本題集按 線性方程式與矩陣代數, 向量空間, 線性變換, 內積空間, 行列式, 特徵分析 與 二次型 編排, 但一些綜合問題不易切割, 此時便依解題過程所最需要聯繫的概念和方法歸類 由於時間倉促, 未及逐題校閱, 內容或有錯誤, 期待讀者提出批評與改進意見, 來日再版時將一併訂正 作者任教於國立交通大學電機工程系 見參考文獻

2 線性方程式與矩陣代數 Problem In each part solve the matrix equation for X. (a) 0 X 0 = (b) AXB = C given that 4 A = 2 3, B = , C = (a) 因為未知矩陣 X 出現於係數矩陣的左邊, 我們可以將整個矩陣方程式轉置以便得出 如 Ax = b 的線性方程基本形式 : XT = 此矩陣方程式等價於二個係數矩陣相同的線性方程式, 將方程式等號右端的兩個常數 向量併入 3 3 階係數矩陣, 再以消去法將 3 5 階增廣矩陣化簡至最簡列梯形陣 式 (reduced row echelon form), 如此一來只需要進行一回計算程序便可解出二方 程式 消去法的化簡過程如下 :

3 最簡列梯形矩陣的右末二行即為 X T 的解, 取轉置可得 3 X = 6 0 (b) 首先判斷出 X 是 2 2 階矩陣, 直覺的做法是設 X 的 4 個未知元為 x,y,z,w, 進 行二次矩陣乘法運算將 AXB = C 乘開, 改寫成標準形式的線性方程式後再以消去 法求解 不過, 這樣做會產生 9 個一次方程式, 計算時很容易出錯 另一個方法是將求解程序分解成二個步驟, 令 Y = XB, 由方程式 AY = C 先解出 Y, 然後由方程式 XB = Y 解出 X 以下說明第二個做法 為求解 Y, 類似題 (a) 的做法, 我們可以一次解出三個方程式, 利用消去法化簡增廣矩陣 [ A C ], 得到 將最簡列梯形矩陣用分塊矩陣表示為 I 2 D, 並設 E 為消去法所執行過所有的 0 0 基本矩陣乘積, 由分塊矩陣乘法可得 [ ] [ ] E A C = EA EC = I 2 D 0 0 上式指出 EA = I 2, 因此 EC = EAY = I 2 Y = Y, 但上面的分塊 乘積顯示 EC = D 0, 這說明了分塊 D 即為 Y, 因此 Y =

4 Problem 2 接下來的工作是求解方程式 XB = Y 將方程式轉置可得 B T X T = Y T, 同樣以消 去法化簡增廣矩陣 [ B T Y T ], 過程如下 : 與前一個步驟的道理相同, 由得出的分塊可知 X T = X = , 所以 Let A = Determine the LU decomposition P A = LU, where P is the associated permutation matrix. 我們設計一個演算流程來紀錄高斯消去法的執行過程與結果, 包括下三角形矩陣 L = [l ij ] 所儲存的乘數 l ij, i > j, 排列矩陣 P 的列排序, 以及上三角形矩陣 U = [u ij ], i j 方法是在最右側加入一行代表列排序, 初始值設為 (,2,3,4), 並於消去法產生的梯形矩陣零元位置填入取代運算所使用的乘數, 在該元底下加註一直線以利辨識 注意, 消去法的取代 4

5 和縮放運算不會計算代表列排序的最右行與儲存的乘數 ( 即加註底線的元 ), 詳細過程如下 : /3 5 4 所以得到 L = /3, U = , P = Problem 3 An n n matrix A is called idempotent if A 2 = A. (a) Show that if A is idempotent and invertible, then A = I. (b) Describe all 2 2 real idempotent matrices. (c) If A is idempotent, find the inverse of I ca (if possible) for some scalar c. 5

6 (a) 令 A A 2 = 0 左乘 A 便有 A (A A 2 ) = A A A AA = I A = 0, 得出 A = I (b) 2 2 階矩陣的秩可能為 2,, 0, 以下分別考慮這三種狀況 若 ranka = 2, A 是可逆的, 由題 (a) 可知 A = I 若 ranka =, A 總是可寫成 A = uv T, 而且 A 2 = uv T uv T, 比較兩式得知 u, v 要滿足 v T u =, 例如, u = 2, v = 2, A = 若 ranka = 0, 顯然 A = 0 (c) 由於 A 2 = A, 矩陣 A 的二次多項式總能變換為一次多項式, 可以嘗試計算 (I ca)(i da) = I ca da + cda 2 = I + (cd c d)a 若 cd c d = 0, 即 d = c c, 解出逆矩陣 (I ca) = I c c A, 此式成立的條件為 c Problem 4 Answer the following questions. (a) Show that if A and A + B are invertible, then I + BA is also invertible. (b) If A, B, and A+B are invertible, express (A +B ) in terms of A, B, and A + B. (c) Suppose that a square matrix A satisfies A 2 3A+I = 0. Find the inverse of A. (d) Suppose that I + A is invertible and B = (I + A) (I A). Show that I + B is also invertible. 6

7 (a) 我們可以試探性地令矩陣 I +BA 與某些矩陣相乘, 以得出單位矩陣 依序右乘 A 及 (A + B), 那麼 (I + BA )A(A + B) = (A + B)(A + B) = I, 得到 (I + BA ) = A(A + B) (b) 可設法將矩陣加法 A +B 表示成數個可逆矩陣的乘積, 再運用逆矩陣性質 (XY Z) = Z Y X 來完成計算 經過初步嘗試後發現 A (A + B)B = (I + A B)B = B + A 應用上述逆矩陣乘積性質得 (A + B ) = B(A + B) A (c) 將單位矩陣 I 從給出的方程式 A 2 3A + I = 0 移至等號的一端, 另一端可提出公 因子 A, 即得 所以 A = 3I A I = A 2 + 3A = A( A + 3I), (d) 首先要知道關鍵在於去除等式 B = (I + A) (I A) 裡面的 (I + A), 可直接 Problem 5 於上式左端通乘 I + A, 就得到 (I + A)B = I A, 整理為 AB + A + B = I, 接 著進行因式分解以分離出 I + B, 於是有 (I + A)(I + B) = 2I, 由此解出 (I + B) = (I + A) 2 Let x be a vector in R 3 satisfying x T x =. (a) Find a vector x such that (I 3 2xx T ) =

8 (b) If possible, find a vector x such that (I 3 2xx T ) 3 = Otherwise, give a reason why there is no such x. 我們使用符號運算來考慮一般的情況, 先將問題重述如下 : 已知 b,c R 3, 求單位向量 x ( x 2 = x T x = ) 使滿足 (I 2xx T )b = c 乘開得到 (I 2xx T )b = b 2(x T b)x = c 方程式中出現了二個未知向量 x, 表面上似乎增加求解的困難度 由於 b, c 是已知的, 移項改寫為 2(x T b)x = b c, 可知 x 與 b c 共線, 因此設 x = k(b c), 再代回上面的方程式得到 2k 2 (b c) T b(b c) = b c 又因 x 不為零向量, 亦即 b c, 上式等價於 2k 2 (b c) T b =, 且若 (b c) T b > 0, 便有 k = ± 2(b c) T b, 於是解出 x = ± (b c) 2(b c) T b 另外, 此題要求 x T x =, 因此 b, c 必須滿足 2(b c) T b = (b c) T (b c), 乘開整理得到條件 b = c (a) 首先查驗 b = c =, 再將數值代入計算得到 k = ± 3 2, 因此 x = ± 3 (b) 因為 b = 4, 而 c =, 這不符合解存在的必要條件, 故此題無解 8

9 Problem 6 Let B be a skew-symmetric matrix, B T = B. If A = (I + B)(I B), prove that A is an orthogonal matrix. 利用已知 B T = B, 計算 A T = ( (I + B)(I B) ) T = (I B T ) (I + B T ) = (I + B) (I B) 因為 (I B)(I + B) = (I + B)(I B), A T A = (I + B) (I B)(I + B)(I B) = (I + B) (I + B)(I B)(I B) = I 證得 A T = A Problem 7 Suppose that A is an n n matrix such that for some k > 0, A k = 0. Such matrices are called nilpotent. (a) Show that A is not invertible. (b) Show that I A is invertible. (c) If the matrices A and B commute, show that I + AB is invertible. Note that B may not be nilpotent. 9

10 (a) 可以用反證法證明 假設 A 是可逆的, 則有 AA = I, 那麼 A k (A ) k = (A A) (A A ) }{{}}{{} k k = } A {{ A} (AA )A} {{ A } k k = A k (A ) k 重複上述步驟可歸納得 A k (A ) k = AA = I 但已知 A k = 0, 因此 (A ) k 不可能存在, 出現了矛盾的結果, 顯然最初的假設是錯的 另一個做法是運用行列式性質直接證明 計算 A k 的行列式值 det(a k ) = det(a) det(a) = det(a) k }{{} k 由於 det(a k ) = det(0) = 0, 可知 det(a) = 0, 證得 A 不是可逆的 (b) 直接求出 I A 的逆矩陣便可以證明此命題成立 問題的重心在於存在 k > 0, 使 A k = 0, 我們於是產生了聯繫 A k 與 I A 的想法 注意以下的因式分解公式 : x k = ( x)( + x + x x k ), 對應的矩陣多項式則為 I A k = (I A)(I + A + A A k ) 從已知條件 A k = 0 推得 (I A)(I + A + A A k ) = I, 這表明 I A 是可逆的, 而且 (I A) = I + A + A A k (c) 可以運用題 (b) 的方法 當 k 是奇數時, 考慮下面的因式分解公式 : + x k = ( + x)( x + x 2 + x k ) 0

11 應用於矩陣的情況, 也就有 I + (AB) k = (I + AB)(I AB + (AB) 2 + (AB) k ) 剩下的工作是計算 (AB) k 因為問題給出 BA = AB, 就有 (AB) k = AB(AB) k = A(BA)B(AB) k 2 = A(AB)B(AB) k 2 = A 2 B 2 (AB) k 2 繼續重複上述步驟可歸納出 (AB) k = A k B k, 但 A k = 0, 所以 (AB) k = 0, 故推知 I + AB 是可逆的 如果滿足 A k = 0 的 k 是偶數, 可令 m = k +, 則 (AB) m = (AB) k (AB) = 0, 將上述論證的 k 改為 m, 再分解 I + (AB) m 為因式, 仍然可以證明原命題成立 Problem 8 Let A be an n n matrix. If A 2 = 0, show that I A is nonsingular. 最直接的方法是求出 I A 的逆矩陣, 利用已知條件可得 (I A)(I + A) = I A 2 = I 因此, (I A) = I + A 第二個做法是從子空間著手, 如果能證得 I A 的零空間僅包含零向量, 即證出所求 設 (I A)x = 0, 亦即 x = Ax, 等號兩邊同乘 A, 就有 Ax = A 2 x = 0, 推知 x = 0 此外, 還可以利用特徵值來證明 : 若 I A 不包含零特徵值, 則 I A 是可逆的 設 Ax = λx, 則 A 2 x = λ 2 x = 0, 因為 x 0, 得知 λ = 0, A 的所有特徵值為 0, 稱為冪零矩陣 計算 (I A)x = x λx = x, 可知 I A 有重複 n 次的特徵值, 因此為可逆矩陣 Problem 9 Let A be an n by n real symmetric matrix, and s(a) be the sum of all entries of A. Prove that s(a 2 ) (s(a))2 s(i n ).

12 展開 A 2 並將所有元加總, s(a 2 ) = n n n a ik a kj i= j= k= 已知 A 是對稱矩陣, 對於任意 i, k, a ik = a ki, 交換加總順序就得到 n n n s(a 2 ) = a ki a kj = = = k= ( n n k= i= j= i= a ki ) ( n n ) 2 a ki k= i= n ρ 2 k k= n j= 上式中我們令 ρ k = n i= a ki 利用 Cauchy-Schwarz 不等式, ( n n ) 2 ρ 2 k ρ k = (s(a))2 n s(i n ) k= k= 另外也可以使用精簡的符號推導, 令 = (,,...,), 則 利用 Cauchy-Schwarz 不等式, a kj s(a 2 ) = T A 2 = T A T A = (A) T (A) = A 2 (s(a)) 2 = ( T A) 2 2 A 2 = n A 2 合併上面兩式即證得所求 Problem 0 Let A and B be n n matrices. Prove that if AB = 0, then for every positive integer k, trace(a + B) k = tracea k + traceb k. 2

13 考慮展開式 (A + B) k = A k + ka k B + + kab k + B k 注意, (A+B) k 包含四種不同類型的項, 即 A k, B k, A m B k m, 以及 B m A k m, m 因為 AB = 0, 可知 A m B k m = A m (AB)B k m = 0 利用跡數性質 trace(xy ) = trace(y X), 其中 XY 和 Y X 為方陣, 就有 trace(b m A k m ) = trace(a k m B m ) = trace0 = 0 對上面展開式等號兩邊取跡數可得 trace(a + B) k = trace(a k + B k ) = tracea k + traceb k 最後一個步驟使用了矩陣加法的跡數性質, trace(x + Y ) = tracex + tracey, X 和 Y 為方陣 Problem For n n matrices A and B, the commutator of A and B is defined by [A,B] AB BA. Show that (a) [A,B] T = [B T,A T ] (b) [A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0 (c) trace[a,b] = 0 (d) [A,B] is never similar to the identity matrix. (e) If the diagonal entries of A are all equal to zero, then there exists matrices U and V such that A = [U,V ]. (a) 代入計算並展開 [A,B] T = (AB BA) T = B T A T A T B T = [B T,A T ] 3

14 (b) 直接計算 [A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = A(BC CB) (BC CB)A + B(CA AC) (CA AC)B + C(AB BA) (AB BA)C = 0 (c) 利用跡數性質計算 trace[a,b] = trace(ab BA) = trace(ab) trace(ba) = trace(ba) trace(ba) = 0 (d) 利用題 (c) 結果, trace[a,b] = 0, 但 tracei = n 0, 推知 [A,B] 和 I 的特徵值不相同, 故 [A,B] 不相似於 I (e) 如不加入限制直接解方程式 A = [U,V ] = UV V U, 可以想像其過程十分繁雜 先選擇一種特殊形式的 U 矩陣, 例如下面的主對角矩陣 2 U =... n 以元為計算單位展開 A = [U,V ] = UV V U, 比較等號兩邊得到 a ij = iv ij v ij j = (i j)v ij 因此若 i j, 可設 v ij = a ij /(i j), 若 i = j, 則 v ij = 0 Problem 2 Consider the following linear equations x + (λ )y + (λ 2)z = 2 λx + (2λ 2)y + (λ 2)z = λ + (λ 2 2λ)x + λz = 2λ. 4

15 Find the real values of λ such that this system of equations satisfies the following conditions. (a) The system has no solution. (b) The system has a unique solution. (c) The set of solutions is a line in R 3. (d) The set of solutions is a plane in R 3. 寫出增廣矩陣並進行消去法, 可得 λ λ 2 2 λ 2λ 2 λ 2 λ + λ 2 2λ 0 λ 2λ λ λ λ 2 + 3λ 2 λ 2 + 3λ 2 λ + λ 2 2λ 0 λ 2λ λ λ (λ )(λ 2) (λ )(λ 2) λ + 0 λ(λ )(λ 2) λ(λ )(λ 3) 2λ(λ ) 注意 3 3 階係數矩陣行列式為 λ λ 2 λ λ 2 0 (λ )(λ 2) (λ )(λ 2) = λ(λ ) 2 (λ 2) 0 0 λ(λ )(λ 2) λ(λ )(λ 3) 0 λ 2 λ 3 = λ(λ ) 2 (λ 2) 5

16 當 λ 不等於 0,, 或 2 時, 係數矩陣可逆, 方程組有唯一解 以下分開討論係數矩陣不可逆 的情況 若 λ = 0, 增廣矩陣為 , 故解為一直線 若 λ =, 增廣矩陣為 , 故解為一平面 若 λ = 2, 增廣矩陣為 , 方程組無解 解答如下 : (a) λ = 2 (b) λ 不等於 0,,2 (c) λ = 0 (d) λ = Problem 3 Suppose A is m m, U is m n, V is n m, and D is n n. The following questions relate to the inverse of the block matrix A U. V D (a) Suppose A is invertible. Find W, X, Y, and Z satisfying W 0 A U = I m Y. X I n V D 0 Z 6

17 (b) Suppose Z is invertible. Find the inverse of I m Y. 0 Z (c) Use the results of (a) and (b) to compute the inverse of A U. To have V D this result, what assumptions of the matrix invertibility should be made? (d) An alternative way to derive the inverse of a block matrix is to start with I m X A U = Z 0. 0 W V D Y I n Follow the steps described in (a), (b), (c) and then derive a new formula for the inverse of the block matrix A U. By equating the (,) entry V D of the obtained inverse and that obtained in (c), show that (A UD V ) = A + A U(D V A U) V A. (e) By the formula in (d), derive a formula for (A + uv T ). (f) By the formula in (d), show that (A + UBV ) = A A U(I + BV A U) BV A. (a) 給出的矩陣方程式其用意在於將分塊矩陣轉換為上三角形矩陣, 因此不難解出其中的未知分塊 以分塊矩陣乘法展開, 得到以下四式 : WA = I m XA + I n V = 0 WU = Y XU + I n D = Z 7

18 已知 A 是可逆矩陣, 可依序解出 W = A X = V A Y = A U Z = D V A U (b) 類似一般矩陣性質, 分塊上三角矩陣的逆矩陣仍為分塊上三角矩陣, 故考慮 I m Y I m P = I m 0 0 Z 0 Q 0 I n 展開後, 由分塊矩陣的第二行取出等式 : I m P + Y Q = 0 ZQ = I n 因 Z 是可逆的, 便有 Q = Z, P = Y Q = Y Z, 所求的逆矩陣為 I m Y = I m Y Z 0 Z 0 Z (c) 由題 (a) 可知以下關係式 : A 0 V A I n A U = I m A U V D 0 D V A U 利用題 (b) 求得之上三角形分塊矩陣的逆矩陣公式, 將上式同時左乘等號右端矩陣之 逆矩陣, 便得到 A U! = I m A U A 0 V D 0 D V A U V A I n = I m A U(D V A U) A 0 0 (D V A U) V A I n = A + A U(D V A U) V A A U(D V A U), (D V A U) V A (D V A U) 此式成立的條件是 A 和 D V A U 都是可逆的 8

19 (d) 設 D 是可逆的, 重複前題的步驟可得另一分塊逆矩陣, 如下 : A U V D = (A UD V ) (A UD V ) UD D V (A UD V ) D V (A UD V ) UD + D 此式與題 (c) 的逆矩陣相等, 比較 (,) 元即可得所求公式 (e) 設 D =, U = u, V = v T, 代入題 (d) 給出的公式, 可知 (A + uv T ) = A + A u( v T A u) v T A = A A uv T A + v T A u 上式成立的要件是純量 + v T A u 不得為零 (f) 設 B = D, 亦即 D = B, 再代入題 (d) 的公式, 便有 (A + UBV ) = A A U(B + V A U) V A 由等式 B(B + V A U) = I + BV A U, 可得 (B + V A U) = (I + BV A U) B, 故 (A + UBV ) = A A U(I + BV A U) BV A 注意, 此公式假設 A 和 I + BV A U 是可逆矩陣 Problem 4 Suppose A and B are n n matrices, and B is not nilpotent. If AB + BA = 0, then AX + XA = B has no solution. Note that an n n matrix A is called nilpotent if A k = 0 for some positive integer k. 令 k 為任意正整數, 重複使用 2k 次 AB = BA, 可得 AB 2k = (AB)B 2k 2 = BAB 2k 2 = B 2 AB 2k 3 = = B 2k A 9

20 接者使用反證法, 如果 B = AX + XA, 利用上式就有 B 2k = (AX + XA)B 2k = AXB 2k + XAB 2k = AXB 2k XB 2k A 計算 traceb 2k = trace(axb 2k XB 2k A) = trace(axb 2k ) trace(xb 2k A) = trace(axb 2k ) trace(axb 2k ) = 0 令 B 的特徵值為 λ i, i =,2,...,n, 根據跡數 (trace) 與特徵值關係, 就有 traceb 2k = n i= λ 2k i = 0 因為 k 是任意正整數, 這說明 λ i = 0, i =,2,...,n, 換句話說, B 為冪零矩陣, 這與原 命題矛盾 Problem 5 If b = (,3,0,2) T and the general solution to Ax = b is 2 x = + α 2 + β 2, 0 where α and β are free parameters, determine the matrix A. 因為 b 是 4 維向量, x 是 3 維向量, 即知 A 是 4 3 階矩陣 由給出的通解可得 0 0 A = 3 2, A 2 0 = 0, A 2 0 =

21 將上面三式合併成一矩陣方程 : 2 A = , 由此解出 A = = = Problem 6 Let A and B be n n matrices, and X = A + B and Y = A B. If X and Y are nonsingular, show that A B B A = X + Y 2 X Y X Y. X + Y 考慮 乘開後可得 A B P Q = I 0, B A R S 0 I AP + BR = I, AQ + BS = 0, BP + AR = 0, BQ + AS = I 2

22 令第一式加上第三式, 可得 (A + B)(P + R) = I, 故 P + R = (A + B) = X 令第一式減去第三式, 可得 (A B)(P R) = I, 故 P R = (A B) = Y 由以上導出兩式可解出 P = 2 (X + Y ), R = 2 (X Y ) 運用相同方法, 由第二式與第四式亦可解出 Q = 2 (X Y ), S = 2 (X + Y ), 故證得所求 Problem 7 Let A be an m n matrix. Suppose Ax = b has solutions x,...,x n, for some b 0. (a) Show that c x + +c n x n is a solution to Ax = b if and only if c + + c n =. (b) Show that if d x + + d n x n = 0 then d + + d n = 0. (a) 設 c x + + c n x n 是 Ax = b 的一個解, 則 A(c x + + c n x n ) = A(c x ) + + A(c n x n ) = b 因為 A(c i x i ) = c i (Ax i ) = c i b, i =,...,n, 可得 (c + + c n )b = b 已知 b 0, 推論 c + + c n = 反過來說, 若 c + + c n =, 就有 A(c x + + c n x n ) = c Ax + + c n Ax n = (c + + c n )b = b, 證得 c x + + c n x n 也是 Ax = b 的一個解 (b) 設 d x + + d n x n = 0, 代入 Ax = b, 可知 A(d x + + d n x n ) = d Ax + + d n Ax n = (d + + d n )b, 但 A(d x + + d n x n ) = A0 = 0, 證得 d + + d n = 0 22

23 Problem 8 Let A be the n n matrix 0 0 A = Find the inverse of A. 將 A 改寫為 A = = PB, 其中 P = P, 故 A = B P = B P 再將 B 寫成 B = E I, 其中 E 的所有元都等於 因為 E 2 = ne, 就有 BE = (E I)E = E 2 E = (n )E, ( ) ( ) 即 B n E = E 上式等號兩邊同減 B, 就有 B n E I = E B = I, 解出 B = n E I, 於是得到 A = ( ) n E I P = n E P, 或明確地表示如下 : Problem 9 (A ) ij = 2 n n 若 i + j = n +, n 其他情況 Let A and B be n n matrices. If AB BA = A, show that A is singular. 23

24 使用反證法 假設 A 可逆, 等式 AB BA = A 兩邊右乘 A 可得 ABA B = I n 上式等號兩邊取跡數 (trace), 左邊為 trace(aba ) traceb = trace(ba A) traceb = 0, 右邊是 tracei n = n, 但 n > 0, 這造成矛盾, 證得 A 不可逆 Problem 20 Let A and B be n n matrices. Prove the following statements. (a) If AB = A + B, then AB = BA. (b) If AB = A B, then AB = BA. (a) 若 AB = A + B, 則 (A I)(B I) = AB A B + I = I, 也就有 (A I)(B I) = (B I)(A I), 展開等號兩邊即證得 AB = BA (b) 若 AB = A B, 則 (A + I)(I B) = AB + A B + I = I, 也就有 (A + I)(I B) = (I B)(A + I), 展開等號兩邊即證得 AB = BA Problem 2 Let A and B be n n idempotent matrices, i.e., A 2 = A and B 2 = B. Show that AB = BA = 0 if and only if A + B is idempotent. 因為 A 2 = A 且 B 2 = B, 可知 (A + B) 2 = A 2 + AB + BA + B 2 = A + AB + BA + B 利用此結果進行下列推導 ( ) 若 AB = BA = 0, 立得 (A + B) 2 = A + B, 故 A + B 是冪等 (idempotent) 矩陣 ( ) 若 (A + B) 2 = A + B, 則 AB + BA = 0, 即 AB = BA 再考慮 AB = A 2 B = A(AB) = A( BA) = (AB)A = (BA)A = BA 2 = BA, 24

25 因此推得 AB = BA = 0 Problem 22 Let A be an n n matrix. If A 3 = 2I, show that B = A 2 2A+2I is nonsingular. 由 A 3 = 2I 可知 A 可逆, 運用上式將 B 分解如下 : B = A 2 2A + 2I = A 2 2A + A 3 = A(A 2 + A 2I) = A(A + 2I)(A I) 另外, I = A 3 I = (A I)(A 2 + A + I), 由此可知 A I 可逆 再使用 0I = A 3 + 8I = (A + 2I)(A 2 2A + 4I), 故知 A + 2I 可逆 綜合以上結果即證得 B = A(A + 2I)(A I) 可逆 Problem 23 Let A, B and C be n n matrices such that ABC = 2I. Show that B 3 (CA) 3 = 8I. 寫出 ABC = (AB)C = 2I, 即知 CAB = C(AB) = 2I, 由此可推得 BCA = B(CA) = 2I 重覆利用上式可化簡得 B 3 (CA) 3 = BBBCACACA = BB(BCA)CACA = BB(2I)CACA = 2BBCACA = 2B(BCA)CA = 2B(2I)CA = 4(BCA) = 4(2I) = 8I 25

26 Problem 24 Let A and B be 2 2 real matrices. If A 2 + B 2 = AB and BA = 0, prove that AB = 0. 利用已知 BA = 0, 條件式 A 2 = AB B 2 右乘 A 可得 A 3 = ABA B 2 A = 0; 同理, 條件式左乘 B 即得 B 3 = 0 所以 A 和 B 是冪零 (nilpotent) 矩陣, 所有特徵值皆為零, 故二階方陣 A 和 B 的特徵多項式同為 p(t) = t 2 利用 Cayley-Hamilton 定理, 可知 p(a) = A 2 = 0, p(b) = B 2 = 0, 因此證明 AB = A 2 + B 2 = 0 Problem 25 Let A and B be n n nonsingular matrices such that ABA = B and BAB = A. Prove that A 2 = B 2 and A 4 = B 4 = I. 由已知 ABA = B 和 BAB = A 可知 AB = BA 且 AB = B A, 故 BA = B A, 等號兩邊左乘 B, 右乘 A, 即得 B 2 = A 2 再將 B = ABA 代入 A = BAB, 可得 A = BAB = (ABA)AB = (AB)A 2 B = (B A)A 2 B = B A 3 B, 因此 BA = A 3 B 使用 BA = A B, 就有 A B = A 3 B, 故 A = A 3, 即 A 4 = I 由 B 4 = A 4, 可得 B 4 = I 26

27 向量空間 Problem 26 Let A and B be n n involutory matrices, i.e., A 2 = B 2 = I. Show that C(AB BA) = C(A B) C(A + B), where C(X) denotes the column space of X. 由給出等式觀察出 A B 和 A + B 為主要物件, 利用已知條件 A 2 = B 2 = I, 可得 (A B)(A + B) = A 2 BA + AB B 2 = AB BA (A + B)(A B) = A 2 + BA AB B 2 = BA AB 上面兩式指出 C(AB BA) C(A B) 且 C(AB BA) C(A + B), 也就有 C(AB BA) C(A B) C(A+B) 另一方面, 令 v C(A B) C(A+B), 亦即存在表達式 v = (A B)x 和 v = (A+B)y, 第一式左乘 A+B, 第二式左乘 A B, 可得 (A + B)v = (BA AB)x (A B)v = (AB BA)y 將兩式相加, 2Av = (AB BA)(y x), 再利用 A 2 = I, 小心進行代數操作, 可得 v = A 2 v = A(AB BA)(y x) 2 = 2 (ABA A2 B)(x y) = 2 (ABA BA2 )(x y) = (AB BA)A(x y) 2 這指出 v C(AB BA), 得知 C(A B) C(A + B) C(AB BA), 故證得原命 題 27

28 Problem 27 Let S = 0 2, Find an extension vector set T from R 4 so that S T form a basis for R 4. 使用嘗試錯誤法並不難求出一組基底, 但問題在於如何以系統化方式計算擴展向量集 T 想法是藉助列梯形矩陣分辨線性獨立向量的能力, 將標準基底向量 e,...,e 4 併入給定的向 量集 S 構成一增廣矩陣 A, 再將 A 化簡至列梯形矩陣, 如下 : 此結果顯示 A 的第, 2, 4, 5 行是線性獨立的, 故擴展向量集可為 T =, Problem 28 Suppose A is a 3 4 matrix. The block matrix [ A I 3 ] is reduced by row operations to

29 (a) Find a basis for the row space of A. (b) Find a basis for the nullspace of A. (c) Find a basis for the left nullspace of A. (d) Find a basis for the column space of A. 為方便推理, 我們考慮一般的情況 設 A 為 m n 階矩陣, 又設 m m 階矩陣 E 代表 消去法所執行的基本矩陣乘積, 因此有 [ ] [ ] [ E A I m = EA EI m = R E 其中 m n 階矩陣 R = EA 為 A 的最簡列梯形矩陣 當 A 的秩等於 r 時, 記為 ranka = r, 在不失一般性原則下, 以分塊形式將 R 表示如下 : R = I r F, 0 0 r (n r) 階分塊 F 由對應非軸行的係數所構成 令 E = E 2 為 (m r) m 階, 化簡後的分塊矩陣可以進一步分解為 [ ] R E = I r F E 0 0 E 2 ], E E 2 以此題給出的數值為例, ranka = 2, F = 2, E = 2 0 [, E 2 = 注意, 分塊 F 和 E 2 為描述矩陣 A 的四個基本子空間提供的充分的資訊, E 為 r m 階, (a) 列運算不改變矩陣的列空間, 因此 C(A T ) = C(R T ), 由於 R 的非零列是線性獨立 的, 因此可以作為 A 的列空間基底向量, 亦即分塊 [ I r [,2,,0] T, [0,0,0,] T 29 ] F ] 的列 故此題答案為

30 (b) 列運算不改變矩陣的零空間, 齊次方程式 Ax = 0 和 Rx = 0 有相同的解集合, 故 其零空間相同 N(A) = N(R) 由已知的 R 矩陣, 可確定零空間矩陣 (nullspace matrix) 為 N = F I n r 滿足 RN = 0 由於 N 的行向量是線性獨立的, A 的零空間基底可為 N 的行向量, 由給出的 R 可知 2 0 N = 所以 A 的零空間基底包含向量 [ 2,,0,0] T, [,0,,0] T (c) 矩陣 A 其左零空間中的向量 y 滿足 A T y = 0 或 y T A = 0 T 因為 EA = E A = I r F = R, E 便有 E 2 A = 0, 這說明了 E 2 的各列都屬於 A T 的零空間, 又由於基本矩陣乘積 E 是可逆的, 故包含線性獨立的列, E 2 的列便可組成 A T 的零空間基底 此題答案為 [, 2,] T (d) 列運算改變了矩陣的行空間, C(A) C(R), 由最簡列梯形矩陣 R 不可能推論出 A 的行空間, 但從題 (c) 得到的左零空間 N(A T ) 仍提供足夠的資訊以描述 C(A) 設矩 陣 B 其各列為 A T 的零空間基底向量, 由題 (c) 得知 B = E 2, 也就有 C(B T ) = N(A T ), 利用子空間的正交互補關係, C(A) = N(A T ) 和 C(B T ) = N(B), 可推知 C(A) = N(B), 表明了 A 的行空間其實就是 B 的零空間 由前題結果, B = [ 2 ], B 已經為最簡列梯形陣式, 其零空間由 [2,,0] T 和 [,0,] T 所擴張而成, 此即為 A 的行空間基底向量 30

31 另一個做法是直接求矩陣 A, 不過這個方法的計算量稍大 由式 EA = R, 同時左乘 E 得到 A = E R, 如下 : A = = 最簡列梯形矩陣 R 的第, 4 行為軸行, 可知 A 的第, 4 行可為行空間基底 : [,,] T 和 [,2,3] T Problem 29 Consider the following matrices: 5 A = , B = Determine if A and B have the same column space, row space, nullspace, or left nullspace. 若 A 列等價於 B, 則 A 和 B 有相同的最簡列梯形矩陣 (reduced row echelon form), 因此有相同的列空間與零空間 同樣道理, 若 A T 列等價於 B T, 則 A T 和 B T 有相同的最 簡列梯形矩陣, 也有相同的行空間與左零空間 分別以基本列運算化簡 A, B 得到 A B

32 A 和 B 的最簡列梯形矩陣不同, 推知 C(A T ) C(B T ), N(A) N(B) 再計算化簡 A T, B T : A T B T A T 和 B T 的最簡列梯形矩陣相同, 推知 C(A) = C(B), N(A T ) = N(B T ) Problem 30 If possible construct a 3 3 real matrix A with the following properties: (a) A is a symmetric matrix. Its row space is spanned by the vector [,,2] T and its column space is spanned by the vector [,2,3] T. (b) All three of these equations have no solution but A 0: Ax = e, Ax = e 2, Ax = e 3, where e = [,0,0] T, e 2 = [0,,0] T, e 3 = [0,0,] T. (c) The vector [,,] T is in the row space of A but the vector [,,0] T is not in the nullspace of A. (a) 矩陣 A 的列空間以及行空間僅由一個向量擴張而成, 表示 ranka = 任意秩為 的矩陣可表為 A = uv T, 由給出的向量可知 2 A = k 2 [ 2 ] = k 2 2 4, 其中 k 0, 所以不存在滿足此條件的對稱矩陣 32

33 (b) 只要設法使 e, e 2, e 3 都不在 A 的行空間內即可, 例如, A = (c) 矩陣的零空間和列空間正交, 但因為 [,,] T 正交於 [,,0] T, 列空間不能僅由 [,,] T 擴張而成, 否則 [,,0] T 便於零空間內, 這與題意不符 克服此障礙的方式是讓列空間再增加一個不與 [,,0] T 正交的基底向量, 例如, A = 0, 此矩陣的零空間由向量 [0,,] T 所擴張, 不包含 [,,0] T Problem 3 Suppose that U and W are two subspaces in R 4. The subspace U is spanned by u = [,,0,0] T and u 2 = [,0,,0] T, and the subspace W is spanned by w = [0,,0,] T and w 2 = [0,0,,] T. (a) Find a basis for the sum U + W. (b) Find a basis for the intersection U W. (c) Explain why the following relation is correct: dimu + dimw = dim(u + W) + dim(u W). (a) 令矩陣 A 的行向量依序為 u,u 2,w,w 2, 則子空間之和 U +W = span(u W) 即為 A 的行空間 以下使用標準程序找尋 A 的行空間基底, 以消去法化簡得到梯形 33

34 陣式 : A = , 得知 U + W 的基底向量為 A 的軸行, 即, 2, 3 行 : 0 0, 0 0, 0 0 (b) 最簡單計算子空間交集 U W 的做法是求題 (a) 的 A 之零空間 N(A) 任何 x N(A) 滿足 Ax = 0, 或寫成向量方程式 x u + x 2 u 2 + x 3 w + x 4 w 2 = 0 進一步將 u i 和 w i 分離 : x u + x 2 u 2 = x 3 w x 4 w 2 等號左邊的向量屬於 U, 而等號右邊的向量屬於 W, 所以此向量屬於 U W 由題 (a) 結果, 可繼續化簡 A 至最簡列梯形矩陣, 如下 :

35 由最簡列梯形矩陣得知 A 的零空間由 [,,,] T 擴張, 子空間交集 U W 的基底向量也就是 0 0 u + ( ) u 2 = = (c) 題 (a) 與題 (b) 結果提供了 U + W 和 U W 的維度, ranka = dim(u + W), dimn(a) = dim(u W) A 的行向量總數為 dimu + dimw, 從秩 零度定理推知 dimn(a) + rank(a) = dimu + dimw, 因此證得 dimu + dimw = dim(u + W) + dim(u W) Problem 32 Let W and W 2 be two subspaces in vector space V. Show that the following two statements are equivalent. (a) W W 2 = {0}. (b) dim(w + W 2 ) = dimw + dimw 2. (a) (b) 若 (a) 成立, 設 {x,...,x m } 為 W 的一組基底, {y,...,y n } 為 W 2 的一組基底, 因為 W W 2 = {0}, 向量集 {x,...,x m,y,...,y n } 構成 W + W 2 的一組基底, 所以 dim(w + W 2 ) = m + n = dimw + dimw 2 (b) (a) 利用反證法, 若 (b) 成立且假設 W W 2 {0} 設 {z,...,z k } 為 W W 2 的一組基底, 將向量集 {z,...,z k } 擴增成 W 和 W 2 的基底, 分別為 {z,...,z k,x,...,x m } 和 35

36 {z,...,z k,y,...,y n }, 因此 dimw = k+m, dimw 2 = k+n, 而 dim(w +W 2 ) = k + n + m 當 k > 0, 就有 dim(w + W 2 ) < dimw + dimw 2 這與 (b) 矛盾, 因此必定有 k = 0, 這指出 W W 2 = {0} Problem 33 Prove that the intersection of three 6-dimensional subspaces in R 8 is not the single point {0}. 想法是先限制二個子空間交集的維度, 然後延伸推論出三個子空間交集維度的範圍 令 U, V, W 為 R 8 內的子空間, 且 dimu = dimv = dimw = 6 因為 U + V 仍屬於 R 8, 便有 dim(u + V ) 8, 再由關係式 dim(u + V ) = dimu + dimv dim(u V ), 得知 6+6 dim(u V ) 8, 所以 dim(u V ) 4, 同理可以得到 dim(v W) 4 再次引用前述性質 dim((u V ) + (U W)) = dim(u V ) + dim(u W) dim(u V W), 但是 (U V ) + (U W) U, 故 dim((u V ) + (U W)) 6, 因此 dim(u V ) + dim(u W) dim(u V W) 6 引用 dim(u V ) 4, dim(v W) 4, 上面不等式就為 dim(u V W) dim(u V ) + dim(u W) = 2, 從而得知 U, V, W 的交集不可能為零向量 36

37 Problem 34 Let A = 2 2 0, B = (a) Find the intersection of the nullspace of A and the nullspace of B. (b) Find the intersection of the column space of A and the column space of B. (a) 設 x N(A) N(B), 因此有 Ax = 0 與 Bx = 0, 合併二式成為 A x = B 0, 零空間交集 N(A) N(B) 即為分塊矩陣 0 A 的零空間 以消去法化簡 B 分塊矩陣至最簡列梯形矩陣, 如下 : 分塊矩陣的秩與其行數相等, 這說明 A 的零空間與 B 的零空間交集為 {0} (b) 行空間的交集較為困難求得, 原因是行空間可以由許多不同的基底擴張而成, 因此最直覺的解法是將行空間改以零空間形式表示 先將矩陣 A, B 的行空間轉換為矩陣 D, E 的零空間, 再按題 (a) 方式求其交集 以 N(A T ) 的基底向量設為 D 的列, 便有 C(D T ) = N(A T ), 利用子空間的正交互補關係 C(A) = N(A T ), 故 C(A) = C(D T ) = N(D) 同理, 以 N(B T ) 的基底向量設為 E 的列, 則有 C(B) = 37

38 N(E) 以下分別將 A T 與 B T 的零空間找出 : A T = B T = 取整數可設 D = [ 2 2 ], E = [ 5 2 ] 下一步是計算分塊矩陣 D E 的零空間, 以消去法進行化簡, 可得 D 與 E 的零空間交集由向量 [0, 2,] T 所擴張, 這便是 A 和 B 行空間其交集的 基底向量 Problem 35 Suppose A is m by n, and ranka = r. Let E = E be a nonsingular matrix such that EA = B, 0 E 2 where B is r by n, and B is in row echelon form. Prove that C(A) = N(E 2 ), where C(A) is the column space of A, and N(E 2 ) is the nullspace of E 2. 欲證明 C(A) = N(E 2 ), 我們可以分別證明 C(A) N(E 2 ) 和 N(E 2 ) C(A) 由 E A = B, 得知 E 2 A = 0, A 的行向量屬於 E 2 的零空間, 故 C(A) N(E 2 ) 0 E 2 38

39 設 b N(E 2 ), 就有 Eb = E b = E b = c, E 2 E 2 b 0 [ ] 其中 c = E b 是 r- 維向量 考慮增廣矩陣 A b, 則 [ ] [ ] E A b = EA Eb = B c 0 0 [ ] 上式給出 rank A b = ranka = r, 故方程式 Ax = b 是一致的, 因此 b C(A), 這 證明了 N(E 2 ) C(A) Problem 36 Let A be an n by n nilpotent matrix of index k, i.e., k is the smallest positive integer such that A k = 0. If x is a vector such that A k x 0, show that the set {x,ax,a 2 x,...,a k x} is linearly independent. 考慮向量集的線性組合 c x + c 2 Ax + + c k A k x = 0 將上式左乘 A k, 利用性質 A j = 0, j k, 就有 c A k x + c 2 A k x + + c k A 2k 2 x = c A k x = 0 由已知 A k x 0 斷定 c = 0, 因此 c 2 Ax + c 3 A 2 x + + c k A k x = 0 再將上式左乘 A k 2, 同樣可以推論 c 2 = 0, 就得到 c 3 A 2 x + + c k A k x = 0 重複進行上述步驟可以證得 c i = 0, i =,...,k 39

40 Problem 37 Let {v,...,v n } be a basis for a vector space V and n 2. Is the set {v + v 2,v 2 + v 3,...,v n + v n,v n + v } also a basis for V? 設 c (v + v 2 ) + c 2 (v 2 + v 3 ) + + c n (v n + v ) = 0, 展開整理成 (c + c n )v + (c + c 2 )v (c n + c n )v n = 0 於是有以下齊次線性方程組 : c + c n = 0, c + c 2 = 0,..., c n + c n = 0, c i 存在非平 凡解的充要條件為 = + ( ) n+ = 若 n 為偶數, c i 有不全為零解, 給出的向量集不可作為 V 的基底 ; 若 n 為奇數, c i = 0, i =,...,n, 向量集可為 V 的基底 Problem 38 Vandermonde matrices are descirbed by x x 2 x n x V = 2 x 2 2 x n ,. x m x 2 m xm n 40

41 in which x i x j, for all i j. Show that if n m, the columns of V are linearly independent. 考慮齊次方程 x x 2 x n x 2 x 2 2 x2 n c. 2 x m x 2 m xm n. c 0 c c n 0 0 = 0. 0 對於 i =,2,...,m, 也就有 c 0 + c x i + c 2 x 2 i + + c n x n i = 0 這指出多項式 p(x) = c 0 + c x + c 2 x c n x n 有 m 個相異根, x i, i =,2,...,m 根據代數學基本定理, (n ) 階多項式 p(x) 至多存在 (n ) 個相異根, 但已知 n m, 上述齊次方程成立的條件必須是 c 0 = c = = c n = 0, 因此證得 V 的行向量是線性獨立的 Problem 39 If A is an m n matrix and B is an n p matrix, prove that ranka + rankb n rankab. This is called Sylvester s inequality. 我們從秩 零度定理下手, 即 dim N(A) = n ranka 如果能夠證明 rankb rankab dim N(A), 4

42 等於證得給出的命題為真 關鍵想法是要聯繫 rankb 和 rankab, 考慮這個情境 : 設線 性轉換 T : C(B) C m, 也就是說 T 的定義域為 C(B), 對於 x C(B), 其像為 T(x) = Ax, 也可以說 T(y) = ABy, 但 y C p 秩 零度定理的線性轉換語言陳述為 dim ima(t) + dim ker(t) = dim C(B), 但是 dim ima(t) = dim C(AB) = rankab, 且 dim C(B) = rankb, 可推知 dim ker(t) = rankb rankab 然而 C(B) C n, 轉換 T 的核僅為 A 其零空間 N(A) 的部分集合 ( 子空間 ), 故 dim ker(t) dimn(a), 因此得證 Problem 40 Suppose A is an m n matrix. (a) Prove that there exist an m m invertible matrix P and an n n invertible matrix Q such that PAQ = I r 0 0 0, where r is the rank of A. (b) Suppose that A with rank r can be factorized as A = U I r 0 V, 0 0 where U is an m m invertible matrix and V is an n n invertible matrix. Decribe the column space of A and the row space of A in terms of U and V. (a) 對矩陣 A 執行消去法化簡至最簡列梯形矩陣, 設 m m 階可逆矩陣 P 為所執行過 所有基本矩陣的乘積, 再於化簡所得矩陣右乘一排列矩陣使其軸行全部移動至最左邊, 42

43 因為 ranka = r, 故得到 PAS = I r F 0 0 = R, 其中 S 是 n n 階排列矩陣, 注意 P 和 S 都是可逆的 接著再對 n m 階矩 陣 R T 進行列運算化簡, 設 n n 階可逆矩陣 T T 表示執行過的基本矩陣乘積, 因 rankr T = r, 就有 T T R T = T T I r 0 F T 0 = I r = J T 上式結果 J T 為 n m 階矩陣, 由 J = RT, 再將 R = PAS 代入得到 PAST = J, 令 Q = ST, 故 PAQ = J, 此即為所求 (b) 將 U 和 V 矩陣切割為適當分塊便可以清楚地描述 A 的行空間和列空間, 如下 : [ ] U = U U 2, V = V V 2 分塊 U 包含 U 的前 r 個行向量, V 包含 V 的前 r 個列向量, 因此 A 即為 [ ] A = U U 2 I r 0 V 0 0 考慮矩陣 A 的第一種形式 : [ ] A = U U 2 I r 0 [ V = U V 2 ] V, 因 V 是可逆的, C(V ) = C n, 所以 A 的行空間基底由 U 的行向量構成 從第二種 形式 : Problem 4 A = U I r V = U V, 0 因 U 是可逆矩陣, C(U) = C m, 故 A 的列空間基底由 V 的列形成 Let A be an n n matrix. Prove that there is an invertible matrix B such that BA is a projection. V 2 43

44 設 A 的行空間 C(A) 維度為 r, 則零空間 N(A) 維度為 n r 令 {x,...,x r } 為 A 的行空間基底, 將此基底擴充為 C n 的基底 : {x,...,x r,x r+,...,x n } 因為任一 i =,...,r, x i C(A), 我們可以找到 y i 使得 Ay i = x i 再設 {y r+,...,y n } 為零空間 N(A) 基底, 下面我們證明 {y,...,y n } 為線性獨立集, 故可為 C n 基底 考慮 c y + + c n y n = 0, 因為 y i N(A), i = r +,...,n, 就有 ( n ) r r A c i y i = c i Ay i = c i x i = 0 i= i= i= 但 x,...,x r 為 C(A) 的基底向量, 因此是線性獨立集, 推知 c = = c r = 0, 也就有 c r+ y r+ + + c n y n = 0, 又因為 y r+,...,y n 為 N(A) 的基底, 可斷定 c r+ = = c n = 0 現在我們有兩組 C n 基底 : {x,...,x n } 和 {y,...,y n } 令可逆矩陣 B 滿足 Bx i = y i, i =,...,n 對於 i =,...,r, BAy i = Bx i = y i, 對於 i = r +,...,n, BAy i = B0 = 0, 證得 BA 為一投影矩陣 Problem 42 Let A and B be n by n matrices. If AB = 0, show that the dimension of the nullspace of BA is at least n/2. ] 令 B = [b b n, b j C n, 已知條件可寫為 ] ] AB = A [b b n = [Ab Ab n = 0, 得知 b j N(A), j =,...,n, 亦即 C(B) N(A), 就有 rankb dim N(A) 由秩 零度定理, ranka+dim N(A) = n, 可推出 rankb n ranka, 又因為 rank(ba) min{ranka,rankb}, 就有 rank(ba) min{ranka, n ranka} 上式指出 rank(ba) n/2, 再使用秩 零度定理, 可得 dimn(ba) = n rank(ba) n/2 44

45 Problem 43 Let A be an n by n matrix of the form A = P D 0 P, 0 0 where P and D are n n and r r, r n, nonsingular matrices, respectively. Prove the following statements. (a) There exists a nonsingular matrix B such that A 2 = BA. (b) ranka = ranka 2 (c) The column space of A and the nullspace of A are disjoint, i.e., C(A) N(A) = {0}. (a) 設計以下的分塊乘法 A 2 = P D2 0 P = P D 0 P P D 0 P = BA, D 0 0 上式中 B = P D 0 P 是可逆的 0 D (b) 證明 (a) (b) 因為可逆矩陣不改變矩陣秩, ranka 2 = rank(ba) = ranka (c) 證明 (b) (c) 設 ranka = ranka 2, 由秩 - 零度定理可知 dimn(a) = dimn(a 2 ) 又因為 N(A) N(A 2 ), 故 N(A) = N(A 2 ) 設 x C(A) N(A), 就有 Ax = 0 且存在 y 使得 x = Ay, 則 Ax = A(Ay) = A 2 y = 0 推論 y N(A 2 ) = N(A), Ay = 0, 所以 x = 0 45

46 Problem 44 Let A and B be nonsingular n n matrices. Prove that rank(a B) = rank(a B ). 關鍵在於聯繫 A B 和 A B, 觀察後不難得到下式 : B A = B (A B)A 已知 A 和 B 是可逆的, 就有 rank(b A ) = rank(a B), 矩陣與非零常數相乘不改變矩陣秩, 故 rank(a B ) = rank(b A ), 證得原命題 補充解釋為何與可逆矩陣相乘不改變原矩陣的秩 設 A 為 m m 階可逆矩陣, B 為 m n, 有這個事實 : AB 和 B 的零空間相同, N(AB) = N(B) 證明如下 : 若 Bx = 0, 顯然 ABx = 0 反之, 若 ABx = 0, 同時左乘 A, 就有 A ABx = Bx = 0 再來利用秩 零度定理可得 rank(ab) = n dimn(ab), rankb = n dimn(b), 故 rank(ab) = rankb 另一方面, 若 BA 是合法運算, 且 A 是可逆的, 則利用上述結果以及 ranka T = ranka, 就有 rank(ba) = rank(ba) T = rank(a T B T ) = rankb T = rankb Problem 45 Suppose A and B are n n matrices and A is nonsingular. Let B = A UQV, where U is n p, Q is p m, and V is m n. Show that if B is nonsingular then I V A UQ is nonsingular, and vice versa. 若 B 是可逆的, 利用反證法, 假設 y 0 且 (I V A UQ)y = 0 令 x = A UQy, 則 V x = y, 這指出 x 0 將上式左乘 A, 就有 Ax = UQy, 因此 Bx = Ax UQV x = Ax UQy = 0 這與原假設 B 是可逆矩陣矛盾, 可知 I V A UQ 的零空間不含非零向量, 故 I V A UQ 是可逆的 46

47 若 I V A UQ 是可逆的, 仍使用反證法, 假設有 x 0 使得 Bx = 0, 就有 Ax = UQV x 左乘 A, 可得 x = A UQV x = A UQy 將上面結果代入以下算 式 (I V A UQ)y = y V x = 0 因為 I V A UQ 是可逆的, 必定有 y = 0, 也就有 V x = 0, 這又使 Ax = Bx + UQV x = 0, 與 A 是可逆矩陣矛盾, 推知 B 的零空間不含非零向量, B 是可逆的 Problem 46 Let A and B be n n matrices. Prove that ranka = rankab if and only if rank A 0 = rank A 0. B I n I n B 重排序矩陣的行列不改變矩陣秩, 因此 rank A 0 = rank 0 B I n I n A = rank I n B = n + ranka B 0 A 上面最後一個步驟由計算軸列數而得 矩陣乘以一可逆矩陣也不改變矩陣秩, 可得 rank A 0 = rank I n B = rank n 0 I n B I n B A 0 A I n A 0 = rank I n B = n + rankab 0 AB 比較上面兩式即證得所求 Problem 47 Suppose A is an m n real matrix. (a) If A T Ax = 0, show that Ax = 0. (b) Show that A and A T A have the same nullspace. (c) Show that A and A T A have the same row space, and thus ranka = ranka T A. 47

48 (a) 左乘 x T 於 A T Ax = 0, 即得 x T A T Ax = (Ax) T Ax = Ax 2 = 0, 推知 Ax = 0 另一個做法是利用子空間的交集關係, 由 A T (Ax) = 0 可知 Ax N(A T ), 但是 Ax 屬於行空間 C(A), 再利用子空間互補關係 N(A T ) C(A) = {0} 可確定 Ax = 0 (b) 若 x N(A), 即 Ax = 0, 也就有 A T Ax = A T 0 = 0, 這指出 x N(A T A), 因此 N(A) N(A T A) 題 (a) 已說明 N(A T A) N(A), 故推論得 N(A) = N(A T A) (c) 矩陣的列空間為其零空間的正交互補, 即 C(A T ) = N(A), C(A T A) = N(A T A) 利用題 (b) 結論 N(A) = N(A T A), 可得 C(A T ) = C(A T A), 也因此 ranka = dimc(a T ) = dimc(a T A) = ranka T A Problem 48 (a) Suppose A is an n by n matrix of rank r. Show that A may be written as a sum of rank-one matrices: A = x y T + + x r y T r, where x i and y i, i =,...,r, are n-dimensional vectors. (b) Suppose B is an n by n matrix of the form B = x y T + + x ry T r. If n-dimensional vectors x,...,x r are independent, what conditions of y i s must be satisfied so that the rank of B is r? (c) Suppose X is a 3 2 matrix, and Y is a 2 5 matrix. How many possible dimensions of the nullspace of XY are there? 48

49 (a) 矩陣 A 的行空間基底向量數是 r, 令 A 的行空間基底為線性獨立向量集合 {x,...,x r }, 則 A 的每一行 a j 都可用唯一方式表示為此基底向量的線性組合 對於 j =,...,n, 便有唯一確定的 y ij s 使 a j = y j x + + y rj x r 以行作為計算單位來實現矩陣乘法, 表現形式如下 : y [ ] [ ] y n A = a a n =. x x r.... y r y rn 將上式右邊的權重矩陣以其列向量表示, 再以行 - 列相乘展開, 可得 [ ] A = x x r y T. y T r = x y T + + x r y T r (b) 將基底向量 {x,...,x r } 擴充為 n- 維向量空間的基底 : {x,...,x r,x r+,...,x n }, B 於是可寫為. [ ] B = x x r x r+... x n 0 Ṭ. y T y T r 0 T = XY n n 階矩陣 X 由 n 個基底向量構成, 因此是可逆的 任意矩陣 Y 與可逆矩陣 X 相乘並不改變其秩, 故 rankb = ranky 為滿足條件 rankb = r, 矩陣 Y 的前 r 個列 ( 亦即非零列 ) 必須是線性獨立的, 即 y,...,y r 為一組線性獨立向量 (c) 將矩陣 XY 的各行視為 X 的行向量之線性組合, 3 2 階矩陣 X 僅有 2 行, 因此不論任何 Y, 總有 0 rankxy 2 矩陣 XY 為 3 5 階, 利用秩 - 零度定理推得 dimn(xy ) = 5 rankxy, 故 dimn(xy ) 可能為 3, 4, 5 49

50 Problem 49 Suppose A is an m n real matrix with full row rank, i.e., ranka = m. Which of the following equations always have a solution (possibly infinitely many) for any legal b? (a) Ax = b (b) A T x = b (c) A T Ax = b (d) AA T x = b (e) A T Ax = A T b (f) AA T x = Ab (a) Ax = b 總是有解, 因為 dimc(a) = ranka = m, 所以 C(A) = R m (b) A T x = b 可能沒有解, 因為 dimc(a T ) = ranka = m, 但 b 可以是 R n 中的任意向量 當 n > m 時, A T 的行空間 ( 維度為 m) 未能充滿整個 R n 空間 (c) A T Ax = b 可能無解, 推論如下 : 因為 N(A) = N(A T A), 其互補空間亦相等, 即 N(A) = N(A T A), 也就是 C(A T ) = C(A T A) 由題 (b), dimc(a T A) = dimc(a T ) = m, 因此得知 n n 階矩陣 A T A 的行空間是 R n 空間內維度為 m 的子空間 (d) AA T x = b 恆有唯一解, AA T 是 m m 階矩陣, 由題 (c) 可知 C(AA T ) = C(A), 即 dimc(aa T ) = dimc(a) = m, AA T 是滿秩, 故為可逆矩陣 (e) A T Ax = A T b 總是有解的, 利用題 (a) 結果, 任何 Ax = b 的解也必為 A T Ax = A T b 的解 (f) AA T x = Ab 有唯一解, 直接利用題 (d), 矩陣 AA T 是可逆的 50

51 Problem 50 Suppose v,v 2,v 3 are linearly dependent and v 2,v 3,v 4 are linearly independent. (a) Show that v is a linear combination of v 2 and v 3. (b) Show that v 4 is not a linear combination of v, v 2, and v 3. (a) 因為 v, v 2, v 3 線性相依, 即知存在不全為零的 c, c 2, c 3 使得 c v + c 2 v 2 + c 3 v 3 = 0 若 c = 0, 則 c 2 或 c 3 不為零, 也就是說 v 2 和 v 3 線性相依 但這與 v 2, v 3, v 4 是線性獨立集矛盾, 故推論 c 0 向量 v 可表示為 v 2 和 v 3 的線性組合, 如下 : v = (c 2 v 2 + c 3 v 3 ) c (b) 假設 v 4 可表示為 v, v 2 和 v 3 的線性組合, 令 v 4 = d v + d 2 v 2 + d 3 v 3 代入 (a) 的 v 表達式, 則 v 4 可表示為 v 2 和 v 3 的線性組合 但這與 v 2, v 3, v 4 是線性獨立集矛盾, 因此得證 Problem 5 Let A be an n n matrix. If ranka = ranka 2, show that N(A) = N(A 2 ), i.e., Ax = 0 and A 2 x = 0 have the same solution space. 若 x N(A), 即 Ax = 0, 則 A 2 x = A(Ax) = 0, 這說明 N(A) N(A 2 ) 利用已知條件 ranka = ranka 2, 以及秩 - 零度定理 ranka + dimn(a) = n 和 ranka 2 + dim N(A 2 ) = n, 可得 dimn(a) = dim N(A 2 ), 也就證明 N(A) = N(A 2 ) Problem 52 Let A be an n n matrix and v,...,v n C n be linearly independent. Show that A is nonsingular if and only if Av,...,Av n are linearly independent. 5

52 若 A 是可逆矩陣, 考慮 c Av + + c n Av n = 0 左乘 A 即得 c v + + c n v n = 0 因為 v,...,v n 為一線性獨立集, 可知 c = = c n = 0, 因此證明 Av,...,Av n 線性獨立 另一方面, 若 A 不可逆, 則存在 x = d v + + d n v n 0 使得 Ax = 0 換句話說, d,...,d n 不全為零, 且 A(d v + + d n v n ) = d Av + + d n Av n = 0, 這指出 Av,...,Av n 線性相依 Problem 53 Let V be the solution space of x + x x n = 0 and W be the solution space of x = x 2 = = x n, where x i R, i =,...,n. Show that V W = R n. 欲證明 V W = R n, 只需要證明 dim V + dim W = n 且 V W = {0} 即可 第一式 x + x x n = 0 包含 n 個未知變數, 故 dim V = n 第二組線性方程的解為 x = x 2 = = x n = α, 故 dim W = 再將 x = x 2 = = x n = α 代入第一式, 就有 α + α α = 0, 得到 α = 0, 即證明 V W = {0} Problem 54 Let A be an n n matrix. Show that N(A) C(I A) and N(I A) C(A). 52

53 令 x 為一 n 維向量, 利用下列關係式進行推論 : x = Ax + (I A)x 若 x N(A), 即 Ax = 0, 則 x = (I A)x, 這說明 x C(I A) 若 x N(I A), 即 (I A)x = 0, 則 x = Ax, 推論 x C(A) Problem 55 Let T be an n n upper triangular matrix. Show that λ appears one the diagonal of T precisely dim N((T λi) n ) times, where N(A) denotes the nullspace of A. 設 n n 階上三角形矩陣 T 有 m 個主對角元 λ, 則 T λi 有 m 個主對角元 0, 也就 是說 T λi 有 n m 個非零主對角元, 所以 rank(t λi) = n m 根據秩 - 零度定 理, rank((t λi) n ) = n dim N((T λi) n ), 接下來只要證明 rank((t λi) n ) = rank(t λi) 即可證得 m = dimn((t λi) n ) 將上三角形矩陣 T λi 分解為 T λi = D + U, 其中 D 是主對角矩陣, U 是上三角形矩陣且主對角元全部是零, 則 rank(t λi) = rankd 利用二項式定理, (T λi) n = (D + U) n = D n + n k= ( ) n D n k U k k 對於 k, D n k U k 的主對角元皆為零, 因此 (T λi) n 的主對角元恰為 D n 的主對角元, 就有 rank((t λi) n ) = rankd n 明顯地, rankd n = rankd, 故 rank((t λi) n ) = rankd = rank(t λi) Problem 56 Let A be an n n matrix. Show that S = {X AX = XA}, the set of all the matrices commuting with A, is a vector space. 53

54 只需要證明 S 滿足矩陣加法和純量乘法封閉性即可 令 X,Y S, 則 AX = XA 且 AY = Y A 計算 A(X + Y ) = AX + AY = XA + Y A = (X + Y )A, 故 X + Y S 對於任意純量 c, A(cX) = c(ax) = c(xa) = (cx)a, 故 cx S 因此證得 S 是一向量空間 Problem 57 Let A,A 2,...,A m be n n matrices. If A A 2 A m = 0, prove that ranka + ranka ranka m (m )n. 設 A 和 B 為 n n 階矩陣, 以下不等式成立 : rank(ab) ranka + rankb n 重複利用上述性質, 可得 rank(a A 2 A k ) ranka + rank(a 2 A m ) n ranka + ranka 2 + rank(a 3 A m ) 2n ranka + ranka ranka m (m )n, 但已知 rank(a A 2 A m ) = rank0 = 0, 因此得證 54

55 Problem 58 Let A be an n n complex matrix. If {y,...,y k } is a basis for the column space of A and if {x,...,x k } is such a set of vectors of C n that Ax i = y i, i =,...,k, show that span{x,...,x k } N(A) = C n, where N(A) denotes the nullspace of A. 令 {z,...,z l } 是 N(A) 的一基底 欲證明 span{x,...,x k } N(A) = C n, 只要證明 span{x,...,x k,z,...,z l } = C n 且 {x,...,x k,z,...,z l } 是一線性獨立集即可 對於任一 v C n, Av 屬於 A 的行空間 C(A) 將 Av 表示為 Av = c y + + c k y k = c Ax + + c k Ax k, 就有 A(v c x c k x k ) = 0 這說明 v c x c k x k N(A), 故令 v c x c k x k = d z + + d l z l, 則 v = c x + + c k x k + d z + + d l z l, 證得 C n = span{x,...,x k,z,...,z l } 再考慮 v = 0, 上式左乘 A, 即得 0 = c Ax + + c k Ax k + d Az + + d l Az l = c Ax + + c k Ax k = c y + + c k y k 55

56 因為 {y,...,y k } 是行空間 C(A) 的基底, 推論 c = = c k = 0, 於是有 0 = d z + + d l z l, 同樣道理, 因為 {z,...,z l } 是零空間 N(A) 的基底, 可知 d = = d l = 0, 證得 {x,...,x k,z,...,z l } 是一線性獨立集 Problem 59 Let A and B be m n and p n matrices, respectively. If ranka + rankb < n, show that there exists a nonzero n-dimensional vector x such that Ax = 0 and Bx = 0. 證明 N(A) N(B) {0} 即證得原命題 考慮零空間 N(A) 和 N(B) 的容斥關係, dim(n(a) + N(B)) = dimn(a) + dimn(b) dim(n(a) N(B)) 利用秩 零度定理, ranka + dimn(a) = n, rankb + dimn(b) = n, 即有 dim(n(a) N(B)) = n ranka + n rankb dim(n(a) + N(B)) 使用已知條件 ranka + rankb < n, 而且 N(A) + N(B) 為 C n 的子空間, 可以推論 dim(n(a) N(B)) > n dim(n(a) + N(B)) 0. Problem 60 Let A and B be 5 7 and 7 6 matrices, respectively. If ranka = 3 and rankb = 5, find all possible values of rank(ab). 我們從矩陣乘積 AB 的行空間分析著手 因為 C(AB) C(A), 可知 dimc(ab) dimc(a), 亦即 rank(ab) ranka 轉置不改變矩陣秩, 就有 rank(ab) = rank(ab) T = rank(b T A T ) rankb T = rankb, 56

57 故得到 rank(ab) 上界 : rank(ab) min{ranka, rankb} 矩陣乘積可視為變換 A 具有定義域 C(B), 值域 C(AB), 零空間 C(B) N(A) 由秩 零 度定理, 可得 dimc(b) = dimc(ab) + dim(c(b) N(A)), 改寫為 rank(ab) = rankb dim(c(b) N(A)) 但是 C(B) N(A) N(A), 也就有 dim(c(b) N(A)) dimn(a) = n ranka, 故得到 rank(ab) 下界 : rank(ab) rankb + ranka n 最後代入數值 n = 7, ranka = 3, rankb = 5, 即得 rank(ab) 3 Problem 6 If A and B are m n and n m matrices, respectively, such that rank(ab) = n and (AB) 2 = k(ab), where k 0, show that BA = ki n. 利用矩陣乘法的矩陣秩性質, rank(xy ) min{rankx,ranky }, 即知 rank(ba) rank(a(ba)b) = rank(ab) 2 = rank(ab) = n 由此判斷 n n 矩陣 BA 可逆 另一方面, (BA) 3 = B(AB) 2 A = B(kAB)A = k(ba) 2 因為 BA 可逆, 故得 BA = ki n 57

58 Problem 62 The following statements are false. For matrices of appropriate sizes, construct a counterexample. (a) If ranka = rankb, then rank(a 2 ) = rank(b 2 ). (b) If A 2 = B 2, then A = B or A = B. (c) If rank(ab) = 0, then rank(ba) = 0. (d) If rank(ab) = 0, then ranka = 0 or rankb = 0. (a) 從一般性質 rank(a 2 ) ranka 下手 設 A, B 為 2 2 階矩陣, 若 ranka = rankb = 2, 顯然 rank(a 2 ) = rank(b 2 ) = 2 考慮 ranka = rankb = 的情況, 不難找出 A 滿足 rank(a 2 ) = ranka, 如 A = 0, 再設法找出 0 0 B 滿足 rank(b 2 ) < rankb 當 C(B) N(B), B 的行空間在零空間中, 則 B 2 = BB = 0, 就有 rank(b 2 ) = 0, 如 B = (b) 設 A 有特徵值 λ, 則 A 2 有特徵值 λ 2, 利用此性質很容易找到反例, 如 A = 0, B = (c) 若 rank(ab) = 0, 則 AB = 0, 所以只要找出 A, B 使得 AB = 0 且 BA 0 即可, 如 A =, B = 0 0 (d) 同題 (c) 的例子 Problem 63 Let A be an n n matrix. Prove that if A is idempotent, i.e., A 2 = A, then ranka + rank(a I) = n. 58

59 寫出 I = A + (I A), 等號兩邊取矩陣秩, ranki = n = rank(a + (I A)), 利用 rank(a + B) ranka + rankb, 即得 n ranka + rank(i A) 再將 A 2 = A 改寫成 A(A I) = 0, 此式可解讀為 I A 的行空間 ( 值域 ) 屬於 A 的零空間 ( 核 ), 亦即 C(I A) N(A), 由秩 零度定理即得 rank(i A) dimn(a) = n ranka, 也就證明了 ranka + rank(a I) = n Problem 64 Let A and B be n n matrices, and ranka = rankb. Show that A 2 B = A if and only if B 2 A = B. 由於 A 和 B 可互換, 我們只需要證明 A 2 B = A 蘊含 B 2 A = B 若 A 2 B = A, 利用兩矩陣乘積的秩必不大於相乘矩陣的秩, 即知 ranka = rank(a 2 B) min{rank(a 2 ),rankb}, 而且 rank(a 2 ) ranka, 故知 rank(a 2 ) = ranka = rankb, 這說明 A 2, A 和 B 有相同的零空間維度 若 Bx = 0, 則 Ax = A 2 Bx = 0, A 2 x = A(Ax) = 0, 因此 N(B) N(A), N(B) N(A 2 ), 但 dimn(b) = dimn(a) = dimn(a 2 ), 也就推得 N(B) = N(A) = N(A 2 ) 對於任意 y C n, (A 2 B)(Ay) = A(Ay) = A 2 y, 改寫為 A 2 (BAy y) = 0, 這指出 (BAy y) N(A 2 ), 也就有 B(BAy y) = 0, 亦即 B 2 Ay = By 上式對任意 n 維向量 y 皆成立, 故可推論 B 2 A = B Problem 65 Let A be an m n matrix and B be an n p matrix. Denote C = I n B. A 0 Show that rankc = n + rank(ab). 59

60 設計下列分塊矩陣乘法 I n 0 I n B I n B = I n 0, A I m A 0 0 I p 0 AB 其中 I n 0 和 I n B 為可逆矩陣, 故不改變矩陣秩 等號右邊矩陣可表示為分 A I m 0 I p 塊直和, I n 0 = I n ( AB), 0 AB 即得 rankc = ranki n + rank( AB) = n + rank(ab) Problem 66 Let T be a linear transformation on a finite-dimensional vector space V, and let W be subspace of V. Denote T(W) = {T(w) w W }. Prove that T(W) is a subspace of V, and dim W = dimt(w) + dim(ker(t) W). 設 v,w W, 顯然, cv W, c 為一純量, v + w W, 就有 ct(v) = T(cv) T(W) T(v) + T(w) = T(v + w) T(W), 故 T(W) 為 V 的一子空間 設 {u,...,u k } 為 Ker(T) W 的基底, 將此基底擴充成 W 基底 {u,...,u k,w,...,w r } 考慮 w = c u + +c k u k +d w + +d r w r, 60

61 則 T(w) = T(c u + + c k u k + d w + + d r w r ) = c T(u ) + + c k T(u k ) + d T(w ) + + d r T(w r ) = d T(w ) + + d r T(w r ), 故 T(W) = span{t(w ),...,T(w r )} 接著我們證明 T(w ),...,T(w r ) 是線性獨立集, 考慮 0 = d T(w ) + + d r T(w r ) = T(d w + + d r w r ) 推知 d w + + d r w r = 0, 因 w,...,w r 為獨立集, 必有 d = = d r = 0, 證得 dimt(w) = r = (k + r) k = dimw dim(ker(t) W) 6

62 線性變換 Problem 67 Let V be the vector space of polynomials of degree at most 3 with real coefficients. Let T be the map defined by for all f(x) V. T(f(x)) = d2 f dx df dx, (a) Show that T is a linear transformation. (b) Find the matrix [T] B and [T] C representing T with respect to the bases B = {,x,x 2,x 3 } and C = {,+x,+x+x 2,+x+x 2 +x 3 }, respectively. (c) Find the matrix M representing the change of bases from B to C. (a) 設 f(x),g(x) V, 則 ( T(f(x) + g(x)) = d2 (f + g) d(f + g) d 2 f dx = dx dx df ) ( d 2 ) g + dx dx 2 + 2dg dx = T(f(x)) + T(g(x)) ( T(cf(x)) = d2 cf d 2 dx 2 + 2dcf dx = c f dx df ) = ct(f(x)), dx 這證明了 T 為線性轉換 (b) B 的基底向量經轉換後為 T() = 0 T(x) = 2 T(x 2 ) = 2 + 4x T(x 3 ) = 6x + 6x 2, 62

63 因此 T(a + bx + cx 2 + dx 3 ) 可表示為矩陣乘法, 如下 : a b [T(x)] B = [T] B [x] B = c d C 的基底向量經轉換後為 T() = 0 T( + x) = 2 T( + x + x 2 ) = 4 + 4x = 4( + x) T( + x + x 2 + x 3 ) = 4 + 0x + 6x 2 = 6 + 4( + x) + 6( + x + x 2 ), 因此 T(s + t( + x) + u( + x + x 2 ) + v( + x + x 2 + x 3 )) 可表示為 s t [T(x)] C = [T] C [x] C = u v (c) 令 M 表示基底 B 至基底 C 的轉換矩陣, 而 M 即為基底 C 至基底 B 的轉換矩陣 因為 B 為標準基底, 所以 M 0 =, 解得其逆矩陣為 M =

64 利用 M[x] B = [x] C 和 M[T(x)] B = [T(x)] C, 可聯繫題 (b) 的兩個轉換 : M[T] B [x] B = [T] C M[x] B, 即 M[T] B = [T] C M, 或 [T] C = M[T] B M 驗證如下 : = Problem 68 Let A be an m n matrix. Prove or disprove the following statements. (a) If the vectors v, v 2,...,v k in C n are linearly independent, so are Av, Av 2,...,Av k. (b) If the vectors Av, Av 2,...,Av k in C m are linearly independent, so are v, v 2,...,v k. (a) 考慮極端情況 A = 0, 可知此題陳述不為真 延伸討論, 矩陣 A 要滿足什麼條件方能維持 Av, Av 2,...,Av k 的獨立性? 由線性獨立定義, 方程式 c Av + c 2 Av c k Av k = A(c v + c 2 v c k v k ) = 0 僅有解 c = c 2 = = c k = 0, 矩陣 A 的零空間和向量 v,,v k 的擴張僅交集於零向量, 或者說 v,,v k 不屬於 A 的零空間 (b) 利用反證法, 先假設 v, v 2,...,v k 是線性相依, 則必定存在不全為零的權重 c, c 2,...,c k 使得 c v + c 2 v c k v k = 0 等號兩邊左乘 A, c Av + c 2 Av c k Av k = 0, 這指出 Av, Av 2,...,Av k 為線性相依, 與已知條件矛盾, 故得證 64

65 Problem 69 Suppose [T] E = is the transformation matrix for a linear transformation T with respect to the standard basis, and [T] B = is the transformation matrix with respect to B basis. Find a set of basis vectors of 4 B. 設基底 B 包含 2- 維基底向量集 {b,b 2 }, 令 B = [ b b 2 ], B 的兩行向量是線性獨立, 故 B 是可逆的 因轉換矩陣 [T] E 滿足 T(x) = [T] E x, 而參考基底 B 的座標向量 [x] B 又 滿足 [T(x)] B = [T] B [x] B 因為 [x] B = B x 且 [T(x)] B = B T(x) = B [T] E x, 則 [T] B B = B [T] E, 或 B[T] B = [T] E B 設線性轉換 L(B) = B[T] B [T] E B, 問題即為求轉換 L 的核 (kernel), 即 L(B) = 0 令 B = a b, 代入 L(B) 並展開, c d 可得 0a + 4b c 25a + 0b d L(B) = 0c + 4d 25c + 0d 再將此轉換改為矩陣乘法形式, 如下 : a a b b L = c c d d 以消去法化簡至最簡列梯形矩陣 :

66 零空間即為 [ 2 5,,0,0]T 和 [ 25,0, 2 5,] 的擴張, 寫回 2 2 階矩陣, 滿足 L(B) = 0 的 矩陣可表示為 其中的兩行向量就是 B 的基底向量 : 又因為 B 是可逆矩陣, det(b) = 還要再加上條件 β 0 Problem α 25 β α 2 5 β β 2 5 α 25 β 2 5 β, 2 5 α 25 β α 2 5 β β, α β = 25 β2 0, Let A be a nonzero 2 2 matrix. Consider the following linear transformation T(X) = AX XA, where X is a 2 2 matrix. If A is diagonalizable, prove that T is also diagonalizable. 設 Ax i = λ i x i, i =,2, 因為 A 可對角化, {x,x 2 } 為線性獨立向量集 令 2 2 階矩 陣 B ij 的第 j 行等於 x i, 其餘各行為零, 則 B = {B,B 2,B 2,B 22 } 為所有 2 2 階 矩陣形成的向量空間的有序基底 計算各基底向量 B ij 的像 T(B ij ) = AB ij B ij A, 如 下 : T(B ) = AB B A [ ] [ ] = A x 0 x 0 a a 2 = [ ] λ x 0 a 2 a 2 ] [a x a 2 x = λ B a B a 2 B 2 66

67 以同樣方式可以得到 T(B 2 ) = AB 2 B 2 A = λ B 2 a 2 B a 22 B 2 T(B 2 ) = AB 2 B 2 A = λ 2 B 2 a B 2 a 2 B 22 T(B 22 ) = AB 22 B 22 A = λ 2 B 22 a 2 B 2 a 22 B 22 所以 T 參考有序基底 B 的表示矩陣為 [T] B = [[T(B )] B [T(B 2 )] B [T(B 2 )] B ] [T(B 22 )] B λ a a a = 2 λ a = λ I A T λ 2 a a 2 0 λ 2 I A T 0 0 a 2 λ 2 a 22 設 A 可對角化為 A = SΛS, 則 ci A T = (S T ) (ci Λ)S T 也為可對角化矩陣, 因此證得所求 Problem 7 If {u,...,u n } and {v,...,v n } are bases of R n, and if Au j = Bv j = n c ij u i i= n c ij v i, i= what is the relation between the matrices A and B? 令 C, U, V 為 n n 階矩陣, C = [c ij ], U 的行向量為 u j, V 的行向量為 v j, j =,2,...,n 給出的第一個方程式可寫為矩陣乘積 : c [ ] [ ] c n A u u n =. u u n...., c n c nn 67

68 亦即 AU = UC, 同理由第二個方程式可得 BV = V C 因為 U, V 的行向量都是完整基底, U 和 V 同是可逆矩陣, 故 A 和 C 可表示為 A = UCU 和 C = V BV, 也就有 A = UV BV U 設 P = UV, 得到 A = PBP, A 相似於 B 另外一個做法是利用線性變換觀念, 關鍵想法是聯繫這二組基底向量, 設矩陣 P 表示線性變換滿足 Pv j = u j, j =,...,n, 則 Au j = APv j 且 ( n n n ) Au j = c ij u i = c ij Pv i = P c ij v i = PBv j i= i= i= 因此對於任意 j, APv j = PBv j, 或 (AP PB)v j, j =,2,...,n, 推知 AP PB 的零空間維度等於 n, 即 rank(ap PB) = 0, 所以 AP = PB 矩陣 A, B 其實是參考不同基底的線性變換表示矩陣, 而 P 則是這兩組基底的變換矩陣 Problem 72 Let B = {v,v 2,v 3,v 4 } be a basis for a vector space V of dimension 4. Suppose T is a linear transformation on V, and the matrix representation of T with respect to B is A = (a) Find the range and kernel of T. (b) Find a new basis B for V so that the matrix representation of T with [ ] respect to B has the form B 0, where B and 0 are 4 2 matrices. (a) 將線性變換 T 的表示矩陣 A 化約至簡約列梯陣式 : A = , 68

69 由此可知 A 的行空間為 C(A) = span, 2 5, 且零空間為 N(A) = span 2 0, 0 故線性變換 T 的值域為 R(T) = span{t(v ),T(v 2 )}, 其中 T(v ) = v v 2 + v 3 + v 4 T(v 2 ) = 2v + v 2 + 5v 3 v 4, 而 T 的核 ( 零空間 ) 為 N(T) = span{w,w 2 }, 其中 w = 2v v 2 + v 3 w 2 = v v 2 + v 4 (b) 考慮 V 的一組基底 B = {v,v 2,w,w 2 } 令 [T(v )] B [T(v 2 )] B = (d,d 2,d 3,d 4 ) T, 就有 = (c,c 2,c 3,c 4 ) T 和 T(v ) = c v + c 2 v 2 + c 3 w + c 4 w 2 = c v + c 2 v 2 + c 3 (2v v 2 + v 3 ) + c 4 (v v 2 + v 4 ) = (c + 2c 3 + c 4 )v + (c 2 c 3 c 4 )v 2 + c 3 v 3 + c 4 v 4 = v v 2 + v 3 + v 4, 69

70 解得 c = 2, c 2 =, c 3 =, c 4 = 同時, T(v 2 ) = d v + d 2 v 2 + d 3 w + d 4 w 2 = d v + d 2 v 2 + d 3 (2v v 2 + v 3 ) + d 4 (v v 2 + v 4 ) = (d + 2d 3 + d 4 )v + (d 2 d 3 d 4 )v 2 + d 3 v 3 + d 4 v 4 = 2v + v 2 + 5v 3 v 4, 解得 d = 7, d 2 = 5, d 3 = 5, d 4 = 另外, T(w ) = T(w 2 ) = 0, 所以線性變換 T 參考基底 B 的表示矩陣如下 : [ ] [T] B = [T(v )] B [T(v 2 )] B [T(w )] B [T(w 2 )] B = Problem 73 Let U and W be two subspaces of a finite dimensional vector space V. The sum U + W is called a direct sum, denoted by U W, if every element x U + W can be uniquely written as x = u + w, where u U and w W. Let T be a linear transformation on V. Show that there exists a positive integer n so that V = R(T n ) N(T n ), where R(T n ) and N(T n ) denote the range and kernel of T n, respectively. 若 Tx = 0, 則 T 2 x = T(Tx) = T(0) = 0, 即知 N(T) N(T 2 ), 繼續此程序可推論 N(T) N(T 2 ) N(T k ) N(T k+ ), 70

71 但 V 為一有限維向量空間, 故必定存在一正整數 n 使得對於所有正整數 m 都有 N(T n ) = N(T n+m ) 根據秩 - 零度定理 dim V = dim R(T n ) + dimn(t n ), 因此欲證明 V = R(T n ) N(T n ), 只須證明 R(T n ) N(T n ) = {0} 即可 令 x R(T n ) N(T n ), 則存在 y 使得 x = T n y 且 T n x = 0 合併上面兩式, 0 = T n x = T n (T n y) = T 2n y, 這說明 y N(T 2n ) = N(T n ), 所以 x = T n y = 0, 得證 Problem 74 Let u = (,,,,) T. Evaluate (I 5 + 2uu T )(I 5 + uu T ) u. 將 I 5 + uu T 視為一線性變換 考慮 u 的映射, 因為 u T u = 5, 即得 (I 5 + uu T )u = I 5 u + u(u T u) = 6u, 故知 I 5 + uu T 將向量 u 伸長了 6 倍, 由此推論逆變換為 (I 5 + uu T ) u = 6 u 所以, (I 5 + 2uu T )(I 5 + uu T ) u = (I 5 + 2uu T ) 6 u = 6 ( u + 2u(u T u) ) = 6 u 另外也可以使用矩陣代數計算 (I 5 +uu T ) u 令 x = (I 5 +uu T ) u, 等號兩邊同時左乘 I 5 + uu T 可得 (I 5 + uu T )x = x + ku = u, 其中 k = u T x, 則 x = ( k)u 將上式代回計算 k = u T x = ( k)u T u = 5 5k, 解出 k = 5 6, 故得 (I 5 + uu T ) u = x = ( k)u = 6 u Problem 75 If u R n and u T u = 3, then there exists k R such that (I n + uu T ) 0 = I n + kuu T. Determine the value of k. 7

72 我們可以視 I n + uu T 為一線性變換 考慮 u 的映射, 利用已知條件可得 (I n + uu T )u = I n u + u(u T u) = u + 3u = 4u, 故知變換矩陣 I n + uu T 將向量 u 拉伸了 4 倍長, 繼續此過程推知 (I n + uu T ) 0 u = 4 0 u 另一方面, 等號右邊等於 (I n + kuu T )u = I n u + ku(u T u) = ( + 3k)u, 即得 4 0 = + 3k, 解出 k = 40 3 另一個做法運用對角化 因為 I n + uu T 是實對稱矩陣, 故可正交對角化為 I n + uu T = QΛQ T, 其中 Q T = Q 注意 I n + uu T 有特徵值 4 對應特徵向量 u, 並有 n 個 特徵值 0 對應特徵空間 span{u}, 即得 Λ = diag(4,0,...,0) 另一方面, I n + kuu T 亦可正交對角化為 I n + kuu T = Q diag( + 3k,0,...,0) Q T 所以 k (I n + uu T ) 0 0 = Q... Q T 0 = Q... 0 Q T, 0 由上式可知 4 0 = + 3k, 故 k = 40 3 Problem 76 Let M 2 (R) be the vector space of all 2 2 real matrices. The standard basis for M 2 (R) is given as follows: E = 0, E 2 = 0, E 3 = 0 0, E 4 = Define the linear transformation T(X) = XA AX, where X M 2 (R), and A =