HPM 通 訊 第 十 卷 第 十 一 期 第 二 版 坦 也 說 : 如 果 歐 幾 里 得 無 法 點 燃 你 年 輕 的 熱 情, 那 麼 你 生 來 就 不 是 一 位 科 學 思 想 家 甚 至 美 國 女 詩 人 米 蕾 (Millay) 頌 揚 歐 幾 里 得 也 稱 讚 : 只 有

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1 HPM 通 訊 第 十 卷 第 十 一 期 第 一 版 發 行 人 : 洪 萬 生 ( 台 灣 師 大 數 學 系 教 授 ) 主 編 : 蘇 惠 玉 ( 西 松 高 中 ) 副 主 編 : 林 倉 億 ( 家 齊 女 中 ) 助 理 編 輯 : 李 建 勳 黃 俊 瑋 ( 台 灣 師 大 數 學 所 研 究 生 ) 編 輯 小 組 : 蘇 意 雯 ( 成 功 高 中 ) 蘇 俊 鴻 ( 北 一 女 中 ) 黃 清 揚 ( 福 和 國 中 ) 葉 吉 海 ( 新 竹 高 中 ) 陳 彥 宏 ( 成 功 高 中 ) 陳 啟 文 ( 中 山 女 高 ) 王 文 珮 ( 青 溪 國 中 ) 黃 哲 男 ( 台 南 女 中 ) 英 家 銘 ( 台 師 大 數 學 系 ) 謝 佳 叡 ( 台 師 大 數 學 系 ) 創 刊 日 :998 年 0 月 5 日 每 月 5 日 出 刊 網 址 : 歐 幾 里 得 及 其 輾 轉 相 除 法 當 輾 轉 相 除 法 遇 上 更 相 減 損 術 從 複 數 到 四 元 數 歐 幾 里 得 及 其 輾 轉 相 除 法 台 北 市 興 雅 國 中 林 壽 福 老 師 鄭 勝 鴻 老 師 一 前 言 古 希 臘 的 歐 幾 里 得 之 活 躍 時 期, 大 約 是 在 公 元 前 00 年 前 後 他 的 幾 何 原 本 是 有 史 以 來 流 傳 最 廣 的 一 本 著 作, 影 響 之 大, 只 有 基 督 教 的 聖 經 可 以 比 擬, 尤 其 公 理 化 的 呈 現 方 式, 更 是 深 深 影 響 了 數 學 的 發 展 據 說 歐 幾 里 得 為 人 誠 實, 謙 遜 和 仁 慈, 從 不 掠 人 之 美, 譬 如 說 吧, 他 從 未 聲 稱 幾 何 原 本 哪 些 部 分 是 自 己 的 獨 創 歷 史 上 不 乏 叱 吒 風 雲 赫 赫 有 名 的 人 物, 例 如 拿 破 崙 亞 歷 山 大 大 帝 和 馬 丁 路 德, 他 們 生 前 的 聲 望 都 遠 遠 超 過 歐 幾 里 得, 但 沒 有 誰 能 夠 像 這 位 希 臘 幾 何 學 家 一 樣, 長 期 聲 譽 歷 久 不 衰! 儘 管 我 們 對 他 的 生 平 事 蹟 所 知 不 多, 然 而, 歐 幾 里 得 留 下 不 少 的 遺 聞 軼 事, 對 後 人 頗 具 啟 發 性 普 羅 克 洛 斯 的 概 要 記 述 說, 托 勒 密 王 (Ptolemy) 發 現 幾 何 難 學, 有 一 次 就 問 歐 幾 里 得 說 : 學 習 幾 何 學, 是 否 有 比 研 讀 幾 何 原 本 更 為 便 捷 的 途 徑? 歐 幾 里 得 答 道 : 啊! 國 王! 在 現 實 世 界 中 有 兩 種 路, 一 種 是 普 通 人 走 的, 另 一 種 專 為 國 王 準 備 的 但 是, 在 幾 何 學 中, 不 存 在 王 者 之 路! 這 句 話 被 後 人 引 伸 其 義 為 求 知 無 坦 途, 成 為 傳 誦 千 古 的 箴 言! 斯 托 比 亞 斯 (Stobaeus, 約 公 元 500 年 ) 所 編 的 選 集 記 載, 說 有 一 個 學 生 跟 歐 幾 里 得 學 習 幾 何, 學 了 第 一 個 命 題 後, 便 問 歐 幾 里 得 學 這 個 命 題 有 什 麼 用, 歐 幾 里 得 說 : 給 他 三 個 錢 幣, 因 為 他 想 在 學 習 中 獲 取 實 利 由 此 瞭 解 到 他 主 張 學 習 必 須 按 部 就 班 努 力 鑽 研, 不 贊 成 投 機 取 巧 的 作 風, 也 反 對 狹 隘 的 功 利 主 義 今 天 若 從 另 一 個 觀 點 來 詮 釋 這 個 故 事 的 話, 作 者 擬 延 伸 註 解 如 下 : 一 個 命 題 就 是 知 識 的 進 一 步 延 拓, 而 不 是 一 個 命 題 值 三 個 錢 幣 ; 另 一 方 面 從 教 育 心 裡 學 的 觀 點 來 看, 也 未 嘗 不 可 以 先 予 欲 勾 牽, 再 令 入 幾 何 之 門, 就 是 在 圓 滿 成 就 學 習 的 途 中, 如 果 先 以 善 巧 方 便 來 引 發 學 習 動 機, 等 到 學 生 上 癮 之 後, 再 以 更 高 的 挑 戰 發 現 的 樂 趣 來 滿 足 其 成 就 感, 這 樣 的 歷 程 就 足 以 和 畢 達 哥 拉 斯 的 傳 說 故 事 相 互 輝 映, 而 有 異 曲 同 工 之 妙 了 事 實 上, 歷 史 上 有 很 多 傑 出 人 物, 都 受 到 幾 何 原 本 的 影 響, 比 如 說 吧, 發 明 座 標 幾 何 的 哲 學 家 笛 卡 兒 最 強 調 方 法 論 (methodology), 主 要 是 受 到 歐 幾 里 得 的 啟 發 ; 愛 因 斯

2 HPM 通 訊 第 十 卷 第 十 一 期 第 二 版 坦 也 說 : 如 果 歐 幾 里 得 無 法 點 燃 你 年 輕 的 熱 情, 那 麼 你 生 來 就 不 是 一 位 科 學 思 想 家 甚 至 美 國 女 詩 人 米 蕾 (Millay) 頌 揚 歐 幾 里 得 也 稱 讚 : 只 有 歐 幾 里 得 動 見 過 赤 裸 裸 的 美 (Euclid alone has looked on beauty bare.) 歐 幾 里 得 誠 然 是 最 偉 大 的 教 師 之 一, 是 第 一 流 的 數 學 寫 作 專 家, 他 的 曠 世 名 作 幾 何 原 本, 蒐 集 了 畢 達 哥 拉 斯 年 代 與 柏 拉 圖 年 代 的 偉 大 數 學 成 果, 並 且 寫 成 十 三 冊, 流 傳 於 後 世 已 達 兩 千 多 年 二 輾 轉 相 除 法 一 般 老 師 在 介 紹 輾 轉 相 除 法 ( 常 見 的 直 式 算 則 ) 的 操 作 運 算, 學 生 照 程 序 依 樣 畫 葫 蘆 地 執 行 一 下, 通 常 沒 有 什 麼 問 題, 但 要 讓 國 高 中 生 瞭 解 其 中 的 運 作 原 理, 就 不 是 那 麼 容 易 了 即 使 連 受 過 大 學 教 育 的 成 人, 回 顧 自 己 已 往 所 學 知 識 時, 也 多 數 會 對 隱 藏 其 中 的 道 理 不 甚 了 了 流 傳 兩 千 多 年 的 歐 基 里 得 輾 轉 相 除 法, 其 操 作 原 理 和 證 明 常 因 為 詮 釋 者 所 使 用 表 徵 語 言 的 不 同, 有 時 對 認 知 發 展 還 未 成 熟 的 學 生 而 言, 真 的 是 抽 象 難 懂! 但 實 際 檢 視 幾 何 原 本 的 方 法, 其 應 用 線 段 拼 砌 的 度 量 方 法, 其 實 提 供 了 可 以 具 體 操 作 的 演 譯 過 程, 如 果 去 除 歸 謬 證 法 (reduction to absurdity) 的 論 理 部 分, 另 加 以 現 代 語 言 的 說 明 和 圖 示, 可 能 連 小 四 學 生 都 能 理 解 輾 轉 相 除 法 又 名 歐 幾 里 得 算 則 (Euclidean algorithm), 在 求 兩 個 正 整 數 之 最 大 公 因 數 它 是 目 前 已 知 最 古 老 的 算 則, 年 代 可 追 溯 至 公 元 前 00 年 左 右, 首 次 出 現 於 歐 幾 里 得 的 幾 何 原 本 ( 第 VII 卷, 命 題 和 ) 中, 在 中 國 則 可 以 追 溯 至 西 漢 ( 公 元 前 86 年 ) 的 筭 數 書 不 過, 由 於 現 傳 幾 何 原 本 之 版 本 頂 多 只 能 追 溯 到 公 元 第 十 世 紀, 所 以, 目 前 可 以 確 定 的 最 早 版 本 非 中 國 的 筭 數 書 莫 屬! 一 般 高 中 課 本 所 介 紹 之 輾 轉 相 除 法, 通 常 會 先 以 具 體 數 字 進 行 直 式 運 算, 再 輔 以 橫 式 說 明, 例 如 以 求 8 與 49 之 最 大 公 因 數 為 例 : q q 4 8 r q 6 說 明 :49=8 +6, ( 49,8) = ( 8,6) 8=6 9+59, ( 8,6) = ( 6,59) 6=59 4, ( 6,59) = 59 以 上 算 則 成 立 的 理 由, 關 鍵 在 於 如 果 a = bq + r, 則 a b 的 全 體 公 因 數 和 b r 全 體 a, b = b, r 一 般 課 本 證 明 如 下 : 的 公 因 數 是 一 致 的, 特 別 是 ( ) ( ) 證 明 : 設 t 是 a,b 的 一 個 公 因 數, 則 t a, t b; 而 t bq, 由 已 知 a=bq+r, 得 a-bq=r, t (a-bq), 即 t r, t 也 是 b,r 的 一 個 公 因 數

3 HPM 通 訊 第 十 卷 第 十 一 期 第 三 版 反 之, 設 s 是 b,r 的 一 個 公 因 數, 則 s b,s r, s bq+r, 即 s a, s 也 是 a,b 的 公 因 數 故 a b 的 全 體 公 因 數 和 b r 全 體 的 公 因 數 是 一 致 的, 當 然 它 們 也 會 有 相 同 的 最 大 a, b = b, r ( 二 ) 公 因 數, 即 ( ) ( ) 接 著, 歐 幾 里 得 幾 何 原 本 的 方 法 會 被 表 述 為 底 下 的 現 代 算 術 語 言 : 設 有 不 同 時 為 0 的 任 意 整 數 a 和 b, 且 設 b 0, 則 a = bq + r ( 0 < r < b) b = r q + r ( 0 < r < r ) r = r q + r ( 0 < r < r ) r = rq 4 + r4 ( 0 < r4 < r ) 如 果 餘 數 r, r r, 都 不 為 0, 則 這 些 餘 數 構 成 一 個 遞 減 的 正 整 數 序 列 b, > r > r > r > r4 > > 因 此, 至 多 在 b 步 之 後, 必 然 出 現 餘 數 等 於 0 的 情 況, 即 r r q + r < r r 0 ( ) n = n n n 0 n < n n = rn qn+ + 0 r ( 三 ) 故 ( a, b) = ( b, r ), ( b, r ) = ( r, r ) = ( r, r ) = = ( rn, rn ) = ( rn, 0) = rn 以 上 方 法 比 較 簡 潔, 也 比 較 多 人 使 用, 但 這 樣 的 算 式 表 徵 和 證 明 方 法 要 傳 達 給 初 學 數 論 的 高 中 生 並 不 容 易, 何 況 是 學 齡 較 淺 的 國 中 生, 所 以 作 適 當 的 轉 化 或 許 可 以 獲 得 更 好 的 教 學 成 效 三 幾 何 原 本 的 輾 轉 相 除 法 如 果 回 頭 實 際 檢 視 幾 何 原 本 的 內 容, 歐 基 里 得 是 用 線 段 長 度 表 示 數 的 大 小, 然 後 運 用 輾 轉 度 量 ( 相 減 ) 的 方 式, 求 出 兩 數 的 最 大 公 因 數, 在 第 VII 卷 命 題 i 作 這 樣 的 描 述 : 設 有 不 相 等 的 二 數, 從 大 數 中 連 續 減 去 小 數 直 到 餘 數 小 於 小 數, 再 從 小 數 中 連 續 減 去 餘 數 直 到 小 於 餘 數, 這 樣 一 直 作 下 去, 若 餘 數 總 是 量 不 盡 其 前 個 數, 直 到 最 後 的 餘 數 為 一 個 單 位, 則 該 二 數 互 質 當 某 數 能 量 盡 它 前 面 的 數 時, 歐 基 理 得 在 第 VII 卷 命 題 ii 中 利 用 線 段 拼 量 的 方 法, 證 明 了 這 數 就 是 開 始 兩 個 數 的 最 大 公 因 數 已 知 兩 個 不 互 質 的 數, 求 它 們 的 最 大 公 度 數 ( 公 因 數 ) [ 證 明 ] 設 AB CD 是 不 互 質 的 兩 數, 求 AB CD 的 最 大 公 度 數. 若 CD 量 盡 AB, 而 CD 也 量 盡 CD, 則 CD 就 是 CD AB 的 一 個 公 度 數 且 顯 然 CD 也 是 最 大 公 度 數, 沒 有 比 CD 大 的 數 能 量 盡 CD. 若 CD 量 不 盡 AB, 則 就 用 餘 數 去 量 CD, 如 果 量 不 盡, 再 用 後 面 的

4 HPM 通 訊 第 十 卷 第 十 一 期 第 四 版 餘 數 量 前 面 的 餘 數, 直 到 最 後 的 餘 數 能 量 盡 它 前 面 的 數 這 最 後 的 餘 數 不 會 是 一 個 單 位, 否 則 AB CD 就 是 互 質, 將 與 假 設 矛 盾 (VII.i). 設 CD 量 AB 得 BE, 餘 數 EA 小 於 CD, 設 EA 量 CD 得 DF, 餘 數 FC 小 於 EA, 又 設 CF 量 盡 AE 這 樣, 因 為 CF 量 盡 AE, 以 及 AE 量 盡 DF, 所 以 CF 也 量 盡 DF 4. 但 是 CF 也 量 盡 它 自 己, 所 以 它 量 盡 整 體 CD 然 而 CD 量 盡 BE, 所 以 CF 也 量 盡 BE 但 是 CF 也 量 盡 EA, 所 以 它 也 量 盡 整 體 BA 然 而 它 也 量 盡 CD, 所 以 CF 量 盡 AB CD 所 以 CF 是 AB, CD 的 一 個 公 度 數 其 次 可 以 證 明 它 也 是 最 大 公 度 數 5. 若 CF 不 是 AB CD 的 最 大 公 度 數, 那 麼 必 有 大 於 CF 的 某 數 將 量 盡 AB CD 設 量 盡 它 們 的 數 為 G 6. G 量 盡 CD, 而 CD 量 盡 BE, 那 麼 G 也 量 盡 BE 但 是 G 也 量 盡 整 體 BA, 所 以 它 也 量 盡 餘 數 AE 但 是 AE 量 盡 DF, 所 以 G 量 盡 DF 然 而 G 也 量 盡 整 體 DC, 所 以 它 也 量 盡 餘 數 CF, 即 較 大 的 數 量 盡 較 小 的 數 : 這 是 不 可 能 的 所 以, 沒 有 大 於 CF 的 數 能 量 盡 AB CD 因 而 CF 是 AB CD 最 大 公 度 數 從 以 上 證 明, 可 以 看 出 歐 基 里 得 的 輾 轉 相 除 法 係 透 過 實 物 操 作 的 具 體 對 應, 來 作 論 證, 這 為 我 們 開 啟 了 能 明 晰 轉 化 的 靈 感 如 果 將 圖 示 拼 砌 得 更 清 楚 一 些, 甚 至 可 以 讓 還 沒 有 學 過 質 數 和 質 因 數 分 解 的 小 四 學 生 都 能 懂 首 先 設 兩 個 正 整 數 a, a ( a > a ), 如 下 圖 所 示, 用 線 段 去 量 線 段, 設 餘 下 空 隙 ( 餘 數 ) a > a a a a a a a a ( ) a 顯 然, 從 圖 示 中 看 得 出, 能 同 時 量 盡 及 的 線 段 都 能 量 盡 及 a, 反 之 亦 然 因 a a a 此, a, a 的 公 因 數 完 全 與 a,a 的 公 因 數 相 同 所 以, a, a 的 最 大 公 因 數 等 於 a,a 的 最 大 公 因 數, 即 a, a = a a ) ( ) (, 底 下 舉 例 說 明 如 何 通 過 遞 迴 算 法 具 體 舉 例, 求 出 兩 數 的 最 大 公 因 數 例 一 : 求 48 和 的 最 大 公 因 數 第 一 步 :48 除 以 的 餘 數 是 6, 48, =,6 ( ) ( ) 48 6 = ( ) 第 二 步 : 轉 化 為 求 和 6 的 最 大 公 因 數, 除 以 6 的 餘 數 是, (,6) 6,

5 HPM 通 訊 第 十 卷 第 十 一 期 第 五 版 第 三 步 : 轉 化 為 求 6 和 的 最 大 公 因 數, 能 整 除 6, (,) ( 0,) 6 6 = 總 之, ( 48,) = (,6 ) = ( 6,) = ( 0,) =, 故 48 和 的 最 大 公 因 數 是 一 般 而 言, 拓 展 一 個 遞 迴 算 法,( a, a ) = ( a, a ) = = ( a n, an+ ), 是 只 要 找 到 a n+ 能 量 盡 a n( 即 ( a n, a n+ ) = a n + ), 就 知 道 能 同 時 量 盡 a, a,, a n +, 各 線 段 中 最 長 的 便 是 a n+ 又 因 為 a a, 構 成 一 個 嚴 格 的 遞 減 正 整 數 序 列, 下 限 為, 因 此 輾 轉 拼 量 的 步 驟 必,, a n + 在 有 限 步 內 停 止 四 結 語 雖 然 現 存 的 史 料 稀 少, 我 們 無 法 對 歐 幾 里 得 生 平 事 蹟 有 更 多 認 識 ( 參 見 附 錄 I), 但 從 他 留 下 的 曠 世 巨 作 原 本, 還 是 可 以 感 受 其 偉 大 之 處, 尤 其 原 本 對 歷 代 數 學 家 和 科 學 家 們 的 影 響 相 當 深 遠, 歷 史 上 還 沒 有 任 何 一 本 書 能 超 越 它, 因 此 歷 經 兩 千 多 年 恆 久 芬 芳 在 解 讀 原 始 的 文 本 中 不 僅 有 知 識 的 結 論, 更 記 錄 了 知 識 形 成 的 思 維 過 程, 這 樣 才 能 對 我 們 所 教 的 內 容 有 更 深 刻 的 理 解 乃 至 欣 賞, 從 而 領 悟 問 題 的 本 質 模 仿 數 學 家 的 心 智 活 動 歷 程, 用 心 體 會 和 領 悟 教 材, 雖 然 只 是 分 析 一 個 小 小 的 數 學 概 念, 卻 往 往 可 以 促 進 我 們 的 教 學 成 效 著 名 的 數 學 與 數 學 教 育 家 波 利 亞 (G. Polya) 指 出 : 只 有 理 解 人 類 如 何 獲 得 某 些 事 實 或 概 念 的 知 識, 我 們 才 能 對 人 類 的 孩 子 應 該 如 何 獲 得 這 樣 的 知 識 作 出 更 好 的 判 斷 荷 蘭 著 名 數 學 教 育 家 弗 賴 登 塔 爾 (H. Freudenthal) 也 說 : 年 輕 的 學 習 者 重 蹈 人 類 的 學 習 過 程, 儘 管 方 式 改 變 了 一 些 美 國 學 者 更 堅 信, 指 導 個 體 認 知 發 展 的 最 佳 方 法 是 讓 他 回 溯 人 類 的 認 知 發 展 因 此, 歷 史 的 順 序 是 數 學 教 學 的 指 南 之 一 從 汲 取 歐 幾 里 得 的 智 慧 中, 也 印 證 了 數 學 教 師 的 PCK 素 養 的 重 要 性, 換 句 話 說, 數 學 教 師 要 如 何 將 自 己 所 學 習 的 數 學 知 識, 轉 化 成 教 學 現 場 學 生 可 以 學 習 的 知 識, 才 是 數 學 教 師 們 最 該 關 切 的 重 點 最 後, 就 以 數 學 史 家 洪 萬 生 的 話 作 結 語, 他 說 : 當 教 師 要 告 訴 學 生 一 個 方 法 有 效 時, 不 見 得 要 提 供 一 個 證 明, 老 師 也 可 以 提 供 一 個 說 明, 提 供 一 個 學 生 可 以 理 解 的 說 明, 或 許 更 有 意 義! 參 考 文 獻 Heath, Thomas L. (956). Thirteen Books of Euclid s Elements. New York: Dover Publications, INC. 藍 紀 正 朱 恩 寬 譯 (00 年 ) 歐 幾 里 得 幾 何 原 本, 台 北 市 : 九 章 出 版 社 洪 萬 生 等 (006 年 ) 數 之 起 源, 台 北 市 : 台 灣 商 務 印 書 館 洪 萬 生 (006 年 ) 此 零 非 彼 0, 台 北 市 : 台 灣 商 務 印 書 館 吳 文 俊 主 編 (00 年 ) 世 界 著 名 數 學 家 傳 記 ( 上 集 ), 中 國 北 京 : 科 學 出 版 社

6 HPM 通 訊 第 十 卷 第 十 一 期 第 六 版 梁 宗 巨 (995 年 ) 數 學 歷 史 典 故, 台 北 市 : 九 章 出 版 社 李 繼 閔 (998 年 ) 九 章 算 術 導 讀 與 譯 注, 中 國 西 安 : 陝 西 科 學 技 術 出 版 社 葉 嘉 慧 馮 振 業 (00 年 ) 最 大 公 因 數 和 最 小 公 倍 數 : 以 線 段 表 示 開 創 教 學 空 間, 數 學 教 育 第 十 七 期 香 港 : 香 港 數 學 教 育 學 會 出 版 袁 小 明 主 編 (999 年 ) 數 學 伴 教 名 師 授 課 手 記, 台 北 市 : 九 章 出 版 社 歐 陽 絳 編 著 (00 年 ) 數 學 軼 事, 台 北 市 : 九 章 出 版 社 蔡 聰 明 (000 年 ) 數 學 的 發 現 趣 談, 台 北 市 : 三 民 書 局 余 文 卿 主 編 (00 年 ) 數 學 9 學 年 度 樣 書, 台 北 縣 : 龍 騰 文 化 附 錄 I: 有 關 歐 幾 里 得 的 生 平 歐 幾 里 得 是 托 勒 密 一 世 (Ptolemy Stoer, 約 67-8 B.C.) 時 代 的 人, 早 年 留 學 雅 典, 受 到 柏 拉 圖 學 派 的 影 響, 他 的 幾 何 原 本 中 引 用 了 學 派 中 許 多 前 人 的 成 果, 例 如 歐 多 克 索 斯 (Eudoxus) 泰 特 托 斯 (Theatetus) 等, 一 般 推 斷 他 可 能 也 是 這 個 學 派 的 成 員 又 因 為 阿 基 米 德 (Archimedes) 的 書 引 用 過 原 本 中 的 命 題, 可 見 他 早 於 阿 基 米 德, 也 早 於 埃 拉 托 塞 尼 (Eratosthenes) ( 參 引 書 5,pp ) 有 關 歐 幾 里 得 的 生 卒 年 代, 由 於 留 下 的 文 獻 資 料 有 限, 當 中 細 節 鮮 為 人 知 一 般 是 根 據 下 列 的 記 載 來 確 定 的, 普 羅 克 洛 斯 (Proclus, 約 公 元 年 ) 為 幾 何 原 本 卷 Ⅰ 作 注, 所 寫 的 幾 何 學 發 展 概 要 ( 以 下 簡 稱 概 要 ), 這 是 研 究 希 臘 幾 何 學 史 的 兩 大 重 要 原 始 參 考 資 料 之 一 另 一 種 資 料, 是 帕 波 斯 (Pappus) 的 數 學 匯 編 (Mathematical collection)( 以 下 簡 稱 匯 編 ) 另 外 一 方 面, 透 過 亞 里 士 多 德 的 著 作, 也 可 以 核 對 歐 幾 里 得 的 年 代, 並 且 知 道 原 本 中 建 立 設 準 公 理 的 體 例, 顯 然 是 受 到 亞 里 士 多 德 邏 輯 思 想 的 影 響 比 對 他 們 兩 人 的 著 作 差 異, 可 以 堆 斷 歐 幾 里 得 活 動 的 年 代, 應 該 在 亞 里 士 多 德 之 後 帕 波 斯 匯 編 中 提 到 阿 波 羅 尼 斯 (Apolloninus) 長 期 住 在 亞 歷 山 大, 和 歐 幾 里 得 的 學 生 在 一 起, 這 說 明 歐 幾 里 得 在 亞 歷 山 大 當 過 老 師. 為 節 省 影 印 成 本, 本 通 訊 將 減 少 紙 版 的 的 發 行, 請 讀 者 盡 量 改 訂 PDF 電 子 檔 要 訂 閱 請 將 您 的 大 名, 地 址, 至 suhui_yu@yahoo.com.tw. 本 通 訊 若 需 影 印 僅 限 教 學 用, 若 需 轉 載 請 洽 原 作 者 或 本 通 訊 發 行 人. 歡 迎 對 數 學 教 育 數 學 史 教 育 時 事 評 論 等 主 題 有 興 趣 的 教 師 家 長 及 學 生 踴 躍 投 稿 投 稿 請 至 suhui_yu@yahoo.com.tw 4. 本 通 訊 內 容 可 至 網 站 下 載 網 址 : 5. 以 下 是 本 通 訊 在 各 縣 市 學 校 的 聯 絡 員, 有 事 沒 事 請 就 聯 絡 本 通 訊 長 期 徵 求 各 位 老 師 的 教 學 心 得 懇 請 各 位 老 師 惠 賜 高 見!

7 HPM 通 訊 第 十 卷 第 十 一 期 第 七 版 當 輾 轉 相 除 法 遇 上 更 相 減 損 術 台 北 市 興 雅 國 中 林 壽 福 老 師 一 前 言 對 照 歐 幾 里 得 的 輾 轉 相 除 法, 中 國 早 期 也 有 解 決 求 最 大 公 因 數 問 題 的 算 則, 就 是 更 相 減 損 術 兩 者 方 法 在 本 質 上 完 全 相 同, 數 學 家 兼 數 學 史 家 van der Waerden 甚 至 懷 疑 兩 者 搞 不 好 是 抄 襲 同 一 個 版 本 嚴 格 來 說, 兩 者 都 是 輾 轉 相 減 法, 因 為 它 們 都 是 利 用 連 續 減 法 來 進 行 說 理 論 證, 當 然, 我 們 可 以 說 除 法 是 減 法 的 濃 縮 其 實, 對 於 不 只 求 兩 個 數 的 最 大 公 因 數 時, 更 相 減 損 術 更 顯 得 優 越 性 二 更 相 減 損 術 更 相 減 損 術 記 載 見 於 九 章 算 術 方 田 章 約 分 術, 可 以 求 出 一 個 分 數 的 分 子 分 母 的 最 大 公 因 數, 其 步 驟 如 下 : 約 分 術 曰 : 可 半 者 半 之 ; 不 可 半 者, 副 置 分 母 子 之 數, 以 少 減 多, 更 相 減 損, 求 其 等 也 以 等 數 約 之 更 相 減 損 本 來 是 給 分 數 進 行 約 分 的 一 種 方 法 翻 譯 成 現 代 語 言 為 : 第 一 步 : 任 意 給 出 的 一 個 分 數, 判 斷 分 母 分 子 是 否 都 是 偶 數? 若 是, 用 約 簡 ; 若 不 是, 執 行 第 二 步 第 二 步 : 將 分 母 分 子 分 別 放 置, 以 較 大 的 數 減 去 較 小 的 數, 接 著 把 較 小 的 數 與 所 得 的 差 比 較, 並 以 大 數 減 小 數 繼 續 這 個 操 作, 直 到 所 得 的 數 相 等 為 止, 然 後 用 這 個 相 等 的 數 對 分 數 約 分 其 中, 這 個 數 ( 等 數 ) 或 這 個 數 與 約 簡 的 數 的 乘 積 就 是 所 求 的 最 大 公 因 數 具 體 舉 例 如 下 : 6 例 一 : 對 分 數 進 行 約 分 第 一 步 : 可 半 者 半 之 將 分 子 分 母 約 去, 得 = ; 第 二 步 : 副 置 分 母 子 之 數, 以 少 減 多, 更 相 減 損, 求 其 等 也 ( 6,49) ( 4,49) ( 4,5) ( 4,) ( 4,7) ( 7,7) 6 9 以 等 數 約 之, 再 將 分 子 分 母 用 7 約, 就 可 以 得 到 最 簡 分 數, 而 約 去 的 與 的 乘 積 4, 就 是 分 母 98 與 分 子 6 的 最 大 公 因 數 在 教 學 上 將 更 相 減 損 加 以 改 進, 就 可 以 求 兩 個 數 的 最 大 公 因 數 了, 也 就 是 把 第 一 步 可 半 者 半 之 去 掉, 計 算 如 下 : ( 6,98) ( 8,98) ( 8,70) ( 8,4) ( 8,4) ( 4,4) ( 一 ) 6 用 4 對 進 行 約 分 就 可 以 了,4 也 就 是 分 母 98 與 分 子 6 98 的 最 大 公 因 數 列 成 直 式 後, 再 與 歐 基 里 得 的 輾 轉 相 除 法 比 較, 可 以 看 出 兩 者 方 法 很 類 似, 除 法 可 以 看 成 連 續 的 減 法 6-98=8

8 HPM 通 訊 第 十 卷 第 十 一 期 第 八 版 98-8= =4 4-8=4 8-4=4 4-4=0 ( 二 ) 劉 徽 在 九 章 算 術 注 說 : 其 所 以 相 減 者, 皆 等 數 之 重 疊 相 當 於 揭 露 了 輾 轉 相 除 法 所 運 用 的 原 理 : 設 a 和 b 都 是 正 整 數, 且 a>b, 若 a=bq+r,0<r b, 則 ( a b) ( b, r, = ) 由 於 a 與 b 的 最 大 公 因 數 和 b 與 r(a 與 b 屢 次 相 減 後 所 得 餘 數 ) 的 最 大 公 因 數 相 同 ( 最 大 公 因 數 彼 此 重 疊 ), 所 以 可 以 用 相 減 的 辦 法, 通 過 減 少 重 疊 次 數 而 得 到 最 大 公 因 數 如 果 往 前 追 溯, 中 國 更 早 的 一 套 竹 簡 算 數 書 ( 公 元 前 86 年, 西 漢 呂 后 二 年 ), 也 有 大 同 小 異 的 記 載 通 常 六 七 年 級 就 會 學 質 因 數 分 解 法, 也 因 為 最 大 公 因 數 可 以 從 質 因 數 乘 積 當 中 提 取, 從 這 個 角 度 出 發, 我 們 又 可 以 得 到 一 個 如 下 性 質 : 若 a,b 兩 數 的 gcd( 最 大 公 因 數 ) 為 f, 則 f 能 整 除 (a-b) 說 明 : 設 a > b, a = b = f f a b = ( a a a a ) i ( b b b b j ) f ( a a a a b b b b ) a,b 的 最 大 公 因 數 能 整 除 (a-b) i 這 也 說 明 了, 我 們 可 以 利 用 輾 轉 相 減 法 求 最 大 公 因 數 因 為 a-b=c ( 則 f 能 整 除 a,b,c) b-c=d ( 則 f 能 整 除 a,b,c,d) c-d=e i-j=0 ( 則 f 等 於 j) 藉 助 這 個 性 質, 更 進 一 步, 我 們 再 與 更 相 減 損 術 相 結 合, 舉 例 說 明 如 下 : 例 二 : 求 47 和 的 gcd( 最 大 公 因 數 ) 設 兩 數 的 gcd 為 f, 則 : 47-=5 f 必 能 整 除 5-5=07 f 必 能 整 除 =9 f 必 能 整 除 9 5-9= f 必 能 整 除 9-=69 f 必 能 整 除 =46 f 必 能 整 除 46 j

9 46-= f 必 能 整 除 -=0 47和 的 gcd 為 其 中 步 驟 可 以 簡 化 為 : 47-=5-5= =9 5-9= ( 是 5 和 9 的 gcd, 不 用 再 算 下 去 ) 例 三 : 求 0 和 8 的 gcd 設 兩 數 的 gcd 為 f, 則 : 0-8=8 f 必 能 整 除 8 8-8=54 f 必 能 整 除 =6 f 必 能 整 除 6 6-8=98 f 必 能 整 除 =70 f 必 能 整 除 =4 f 必 能 整 除 4 4-8=4 f 必 能 整 除 4 8-4=4 f 必 能 整 除 4 4-4=0 0和 8 的 gcd 是 4 其 中 步 驟 可 以 簡 化 為 : 0-8= =4 (4 是 8 和 8 的 gcd, 不 用 再 算 下 去 ) HPM 通 訊 第 十 卷 第 十 一 期 第 九 版 上 述 方 法 雖 然 有 一 點 繁 瑣, 尤 其 數 字 變 大 了 之 後, 需 要 的 步 驟 更 多, 但 對 於 初 學 輾 轉 相 除 法 的 國 高 中 學 生 而 言, 會 比 較 容 易 接 受 些 畢 竟 整 體 過 程 是, 由 淺 而 深, 由 具 體 到 抽 象, 多 了 教 學 上 的 引 導, 學 生 可 以 逐 步 拾 級 而 上 中 國 晚 清 一 代 疇 人 李 善 蘭 精 通 中 國 傳 統 數 學, 他 將 歐 幾 里 得 的 方 法 直 接 了 當 地 譯 為 求 等 數 法, 正 確 指 出 了 歐 氏 方 法 和 中 國 更 相 減 損 術 的 一 致 性 三 輾 轉 相 除 法 與 更 相 減 損 術 之 比 較 對 比 輾 轉 相 除 法 與 更 相 減 損, 我 們 可 以 發 現 如 下 之 特 性 : 兩 者 都 可 以 求 得 最 大 公 因 數 計 算 方 面 兩 者 本 質 上 運 用 輾 轉 相 減 法, 具 有 相 當 的 一 致 性 但 歐 氏 的 方 法 通 常 被 詮 釋 為 除 法, 是 因 為 用 小 數 度 量 大 數, 這 種 除 法 其 實 就 是 濃 縮 的 減 法, 所 以 感 覺 上 計 算 次 數 相 對 較 少, 特 別 當 兩 個 數 字 大 小 區 別 較 大 時, 計 算 次 數 的 區 別 比 較 明 顯 從 結 果 形 式 來 看, 輾 轉 相 除 法 的 結 果 是 以 相 除 餘 數 為 0 而 得 到, 更 相 減 損 術 則 以 減 數 與 差 相 等 而 得 到 就 論 證 形 式 觀 之, 輾 轉 相 除 法 具 備 了 命 題 論 證 的 推 演 關 係, 而 劉 徽 對 更 相 減 損 術 所 作 注, 則 是 掌 握 了 論 述 句 間 的 核 證 關 係 值 得 一 提 的 是, 對 於 求 不 只 兩 個 數 的 最 大 公 因 數, 古 代 中 國 的 更 相 減 損 術 就 更 顯 示 出 它 的 優 越 性 說 明 如 下 例 四

10 HPM 通 訊 第 十 卷 第 十 一 期 第 一 版 例 四 : 求 四 個 數 的 最 大 公 因 數 更 相 減 損 術 可 以 不 顧 次 序 挑 選 最 方 便 的, 從 較 大 的 數 中 減 去 較 小 的 數, 求 其 等 數 即 可 : 6,44,80,5 四 結 語 ( ) = ( 6,44 80,80 6,5 44) = ( 6,6,78,89) = ( ,6 6 89,78 89,89) = ( 89,89,89,89) = 89 通 常 教 師 引 進 輾 轉 相 除 法 的 時 機, 是 遇 到 數 字 比 較 大 且 不 容 易 作 質 因 數 分 解 的 例 子, 此 時, 透 過 直 式 算 則 可 以 很 方 便 求 得 兩 數 的 最 大 公 因 數, 相 對 於 更 相 減 損 術 其 所 使 用 的 步 驟 數 也 比 較 少 但 碰 到 求 解 多 個 數 的 gcd 時, 就 必 須 連 續 調 用 該 程 序, 非 常 繁 瑣, 而 此 時 若 利 用 更 相 減 損 術 則 可 以 不 顧 順 序, 一 舉 求 出 任 意 多 個 數 的 最 大 公 因 數, 效 率 高 出 很 多 比 對 中 西 方 不 同 文 本 內 容, 讓 我 們 截 長 補 短 地 汲 取 各 方 的 長 處 和 智 慧, 這 對 於 教 師 教 學 與 學 生 學 習 都 有 莫 大 的 幫 助 針 對 此 篇 短 文, 教 師 參 酌 後, 若 能 配 合 學 生 的 認 知 發 展, 作 適 性 的 引 導, 將 可 以 提 升 教 學 成 效, 並 有 助 於 學 生 情 意 的 陶 冶 ; 學 生 在 充 分 瞭 解 之 後, 則 能 感 受 到 一 題 多 解 的 妙 趣 古 人 的 深 奧 智 慧, 並 拓 展 學 習 的 觸 角, 因 此, 習 得 的 將 不 僅 是 數 學 知 識 而 已, 還 有 解 題 的 策 略 與 方 法, 更 有 文 化 薰 習 的 內 涵 參 考 文 獻 Heath, Thomas L. (956). Thirteen Books of Euclid s Elements. New York: Dover Publications, INC. 藍 紀 正 朱 恩 寬 譯 (00 年 ) 歐 幾 里 得 幾 何 原 本, 台 北 市 : 九 章 出 版 社 洪 萬 生 等 著 (006 年 ) 數 之 起 源, 台 北 市 : 台 灣 商 務 印 書 館 洪 萬 生 (006 年 ) 此 零 非 彼 0, 台 北 市 : 台 灣 商 務 印 書 館 李 繼 閔 (998 年 ) 九 章 算 術 導 讀 與 譯 注, 中 國 西 安 : 陝 西 科 學 技 術 出 版 社 袁 小 明 主 編 (999 年 ) 數 學 伴 教 名 師 授 課 手 記, 台 北 市 : 九 章 出 版 社

11 HPM 通 訊 第 十 卷 第 十 一 期 第 一 一 版 從 複 數 到 四 元 數 台 師 大 數 學 系 碩 士 班 研 究 生 黃 俊 瑋 一 前 言 過 去, 數 學 家 為 了 解 諸 如 x +=0 實 係 數 代 數 方 程 式, 從 而 引 入 了 所 謂 的 複 數 a+ ib, 由 代 數 基 本 定 理, 我 們 可 知 每 個 實 係 數 方 程 式 在 複 數 體 之 中 都 有 解 從 解 方 程 式 的 觀 點 看 來, 拓 展 至 此, 現 有 的 數 系 已 經 足 夠, 我 們 不 需 要 再 拓 展 其 它 的 數, 來 確 保 方 程 式 的 解 存 在 然 而, 在 幾 何 上, 相 關 的 研 究 發 展 則 尚 未 完 成 一 般 而 言, 複 數 可 用 來 表 示 二 維 平 面 上 的 位 移 或 向 量, 而 當 我 們 將 某 一 向 量 乘 上 一 個 單 位 長 複 數, 可 表 示 二 維 空 間 中 向 量 的 旋 轉 同 時, 我 們 也 知 道, 當 數 學 家 把 複 數 化 為 極 式 後, 即 為 複 數 的 乘 除 複 數 的 n 次 方 與 開 n 次 方 根 等 運 算 上, 帶 來 了 極 大 的 便 利 因 此, 數 學 家 轉 而 嘗 當 試 尋 找 出 三 維 空 間 中 的 類 似 結 構 在 應 用 數 學 的 領 域 中, 數 學 與 物 學 家 希 望 能 找 到 方 法, 有 效 地 處 理 三 維 物 理 空 間 中 的 位 移 與 向 量, 因 此, 能 否 定 義 二 維 以 上 空 間 中 的 超 複 數, 藉 以 表 示 該 空 間 中 的 位 移 與 旋 轉, 即 成 為 令 數 學 家 和 物 理 學 家 們 感 興 趣 且 重 要 的 問 題 數 學 家 們 希 望 透 過 發 現 新 的 超 複 數, 用 來 表 示 三 維 中 的 向 量, 並 且, 使 得 當 我 們 乘 上 該 超 複 數 時, 等 價 於 在 三 維 空 間 中 的 旋 轉 如 此 一 來, 對 於 許 多 一 般 空 間 當 中 之 物 理 定 律 的 公 式 化, 將 變 得 非 常 有 用 最 後, 數 學 家 也 希 望 能 再 進 一 步 地 將 複 數 的 結 構, 推 廣 至 任 意 維 度 空 間 之 中 然 而, 上 述 問 題 的 答 案, 遠 比 數 學 家 們 想 像 中 來 得 因 難, 對 於 複 數 在 二 維 平 面 上 的 幾 何 表 徵, 已 在 十 九 世 紀 早 期 有 了 許 多 重 大 的 結 果 與 發 展, 接 著, 許 多 數 學 家 開 始 著 手 進 行 推 廣 一 般 化 至 三 維 與 多 維 空 間 的 工 作 其 中, 最 關 鍵 的 進 展 由 Hamilton ( ) 首 先 取 得 Hamilton 作 為 傑 出 的 數 學 與 物 理 學 家, 在 數 學 與 物 理 上 的 許 多 領 域 皆 有 很 傑 出 的 貢 獻, 他 在 8 年 的 論 文 裡, 首 次 將 複 數 視 作 為 ( ab), 的 形 式, 而 加 法 與 乘 法 分 別 滿 足 如 下 規 則 : ( ab, ) + ( cd, ) = ( a+ cb, + d) ( a, b)( c, d) = ( ac bd, ad + bc) 在 形 式 上, 複 數 第 一 次 被 視 為 與 有 序 實 數 數 對 (order real number pair) 等 價, 同 時, 這 個 數 對 等 價 於 二 維 的 向 量, 而 後,Hamilton 也 據 此 嘗 試 將 其 推 廣 至 三 維 的 形 式 類 比 地, 在 二 維 中 形 如 ( abc,, ) a+ bi 的 複 數, 在 三 維 中 可 改 寫 為 a+ bi+ cj, 其 中 包 含 了 i 與 j 兩 個 非 實 數 的 單 位, 就 如 同 複 數 當 中 i 所 扮 演 的 角 色 與 地 位, 而 如 此 推 廣 所 得 到 的 新 複 數, 可 用 以 表 示 三 維 空 間 中 的 向 量 首 先, 在 加 法 運 算 的 定 義 上, 就 如 同 一 般 我 們 所 熟 知 的 平 行 四 邊 形 法 則 : ( a+ bi+ cj) + ( a' + b' i+ c' j) = ( a+ a') + ( b+ b') i+ ( c+ c') j 然 而, 持 續 了 十 年 的 努 力,Hamilton 卻 始 終 無 法 有 效 地 克 服 困 難, 順 利 地 利 用 類 似 二 維 複 數 的 乘 法 規 則 來 定 義 三 維 的 運 算 直 到 84 年 的 某 一 天,Hamilton 才 終 於 領 略 到 這 個 新 複 數 必 需 用 到 4 個 實 數, 而 非 原 始 直 觀 的 想 法 中 的 個 實 數, 同 時, 也 必 需 捨 棄 了 我 們 習

12 HPM 通 訊 第 十 卷 第 十 一 期 第 一 二 版 以 為 常 的 乘 法 交 換 律 二 四 元 數 的 誕 生. 為 何 4 非? 透 過 對 於 幾 何 的 探 討, 我 們 可 以 清 楚 地 為 解 為 何 需 要 4 個 實 數, 而 非 個 在 二 維 的 情 形 中, 我 們 透 過 () 旋 轉 的 角 度,() 向 量 長 度 改 變 的 比 例, 這 兩 件 事 來 刻 畫 乘 上 一 個 複 數 所 代 表 的 旋 轉 情 形 然 而 在 三 維 中, 當 我 們 乘 上 一 個 超 複 數, 使 得 向 量 A 變 換 為 向 量 B ( 如 圖 ), 我 們 首 先 必 需 知 道 向 量 A 所 對 應 的 旋 轉 軸 OO ' 的 方 向 當 我 們 刻 劃 空 間 中 的 方 向 時, 共 需 要 用 到 兩 個 數 ( 例 如 : 經 度 與 緯 度 角 ) 再 者, 我 們 仍 需 要 一 個 數 來 表 徵 向 量 A 對 於 此 旋 轉 軸 的 旋 轉 角, 還 有 另 一 個 數 表 示 向 量 A 長 度 的 伸 縮 變 化 量 如 此 而 言, 我 們 的 新 數 必 須 具 有 4 個 實 數, 形 如 a+ bj+ ck+ dl, 其 中 abcd,,, 皆 為 實 數, 而 j, kl, 則 為 新 的 單 位 元 素, 類 似 於 複 數 中 i 的 角 色 而 Hamilton 稱 呼 這 類 新 數 為 四 元 數 (quarternions) B O A 圖. 如 何 定 義 j, kl, 之 間 的 運 算 規 則 呢? 四 元 數 誕 生 後, 數 學 家 的 首 要 任 務, 即 設 法 定 義 出 j, kl(, 如 同 複 數 i = 的 角 色 ) 其 相 關 的 運 算 規 則 起 初,Hamilton 假 設 過 去 我 們 常 用 的 一 般 代 數 的 運 算 規 則 都 成 立 而 這 裡, 我 們 必 需 注 意 到, 在 這 個 時 代 之 前, 人 們 並 不 並 曾 意 識 到 有 任 何 其 它 的 代 數 運 算 規 則 存 在 著 不 久,Hamilton 隨 即 發 現, 當 他 應 用 一 般 所 熟 悉 的 加 法 與 乘 法 規 則 於 他 所 發 明 的 四 元 數 時, 竟 導 致 了 某 些 不 合 理 矛 盾 之 處, 因 此, 他 也 意 識 到 某 種 創 新 的 觀 點 之 必 要, 同 時, 看 來 也 必 須 捨 棄 一 般 進 行 數 的 運 算 的 過 程 中, 某 些 我 們 習 以 為 常 的 規 則 當 Hamilton 著 手 定 義 四 元 數 的 除 法 時, 一 切 的 工 作 變 得 比 較 明 朗 為 了 定 義 除 法, 首 先 需 要 的 是, 對 任 意 定 某 個 的 非 0 的 四 元 數 w 而 言, 方 程 式 ww = ( 為 單 位 四 元 數 + 0j + 0k+ 0l) 應 存 在 唯 一 的 四 元 數 解 我 們 先 來 考 慮 一 般 的 複 數 的 情 形, 由 於 a + b = ( a+ ib)( a ib), 所 以, 對 於 每 一 個 非 0 的 複 數 a+ ib而 言, 都 存 在 唯 一 複 數 : a ib a b ) a+ ib a + b a + b a + b ( a+ ib) = = = ( ) i( 仿 照 上 例, 對 於 任 一 個 四 元 數 w = a + bj + ck + dl, 我 們 必 須 將 Nw= ( ) a + b + c + d 分 解 為 兩 個 四 元 數 因 子 我 們 首 先 嘗 試 : a + b + c + d = ( a + bj + ck + dl)( a bj ck dl), 其 中, 可 把

13 HPM 通 訊 第 十 卷 第 十 一 期 第 一 三 版 a bj ck dl視 為 a+ bj+ ck+ dl的 共 軛 四 元 數, 當 我 們 利 用 原 始 數 的 運 算 規 則 將 等 式 的 左 邊 展 開 時, 可 以 得 到 諸 如 b j 的 項, 因 此, 可 顯 示 我 們 仍 需 採 用 j = 的 規 則, 然 而, 這 也 出 現 了 bcjk 的 交 叉 項, 因 此, 該 分 解 方 式 宣 告 失 敗 但 是, 一 旦 我 們 捨 去 乘 法 交 換 律, 使 得 jk kj, 那 麼, 原 本 的 交 叉 項 即 可 寫 成 bc( jk + kj), 如 果 令 jk = kj, 則 使 得 該 項 可 化 為 0 綜 合 以 上, 我 們 可 定 義 : j = k = l =, jk = kj, kl = lk, lj = jl, 使 得 上 述 分 解 式 成 立 同 時, 為 保 持 乘 法 封 閉 性, 確 保 任 兩 個 四 元 數 的 乘 積 仍 然 是 四 元 數, 我 們 必 需 使 得 jk 可 表 示 為 j, kl, 的 線 性 組 合 最 終,Hamilton 假 設 jk = kj =l, kl = lk = j,lj = jl = k 成 立, 如 此 一 來, 我 們 可 得 到 : a b c d ( a+ bj+ ck+ dl) = j k l, 其 中 r = a + b + c + d 而 四 元 數 除 了 乘 法 不 具 r r r r 交 換 性 之 外, 滿 足 了 體 (field) 的 所 有 其 它 公 設 ( 這 樣 的 集 合 我 們 通 常 稱 為 斜 體 skew field 或 division algebra) 值 得 注 意 的 是, 兩 個 四 元 數 乘 積 的 賦 範 (norm) 等 於 這 兩 個 四 元 數 各 自 賦 範 的 乘 積, 即 Nww ( ) = Nw ( ) Nw) ( 三 四 元 數 的 應 用 與 發 展. 如 何 描 述 三 維 空 間 中, 向 量 的 旋 轉? 在 此, 我 們 檢 驗 四 元 數 如 何 描 述 三 維 空 間 中 向 量 的 旋 轉 也 許 許 多 人 會 好 奇, 為 什 麼 四 元 數 的 乘 法 運 算, 所 需 要 的 是 非 交 換 的 規 則? 而 這 個 問 題 的 答 案, 主 要 是 因 為 當 一 個 三 維 空 間 中 的 向 量, 連 續 對 不 同 的 轉 軸 進 行 兩 次 旋 轉, 會 形 成 一 個 不 可 交 換 的 過 程 舉 個 例 子 來 說, 當 我 們 拿 一 隻 鉛 筆, 將 其 一 端 置 於 原 點, 而 筆 尖 朝 向 正 z 軸 首 先, 我 們 將 筆 對 x 軸 旋 轉 90 度, 此 時 筆 朝 向 正 y 軸, 我 們 再 對 z 軸 旋 轉 90 度 角, 此 時 筆 位 於 x 軸 的 正 向 上 相 反 地, 若 我 們 先 對 z 軸 旋 轉 90 度 角, 此 時 筆 落 在 原 處, 再 對 x 軸 旋 轉 90 度 角, 筆 位 於 y 軸 的 正 向 上 如 此 可 以 很 明 白 地 顯 示 出, 四 元 數 乘 法 所 代 表 的 旋 轉 之 間, 並 不 具 交 換 性. 三 維 空 間 中, 任 一 向 量 對 於 某 給 定 的 轉 軸 與 旋 轉 角 θ 的 旋 轉 公 式 我 們 可 利 用 bj + ck + dl 來 表 示 三 維 空 間 中 的 向 量 ( 這 個 四 元 素 又 被 稱 為 純 四 元 數, 其 實 部 為 0), 我 們 希 望 這 個 向 量 繞 著 給 定 的 軸, 旋 轉 一 個 角 度 θ, 而 這 個 軸 的 方 向 由 其 方 向 餘 弦 (direction cosines) α, βγ, 所 決 定 而 新 的 向 量 v' = b' j+ c' k+ d' l 可 透 過 如 下 的 四 元 數 乘 法 獲 得 : v ' cos θ sin θ ( bj ck dl) v cos θ sin θ = ( bj + ck + dl) 其 中, 我 們 必 需 決 定 對 於 旋 轉 軸 的 正 弦, 同 時 從 旋 轉 軸 的 正 向 觀 察, 若 逆 時 針 轉 θ 為 正, 順 時 針 轉 則 θ 為 負, 如 圖 所 示 : θ positive 圖

14 HPM 通 訊 第 十 卷 第 十 一 期 第 一 四 版 在 此, 我 們 並 不 深 入 探 討 此 公 式 的 來 源 但 我 們 仍 可 以 透 過 前 述 例 子 檢 驗 此 公 式 首 π 先, 假 設 某 一 單 位 向 量 位 於 正 z 軸 Oz 上, 則 可 得 v= l, 當 我 們 將 v 對 x 軸 O x 旋 轉 +, 則 α =, β = γ = 0, 於 是, 旋 轉 所 得 向 量 為 π π π π v' = cos + jsin l cos jsin = ( + i)( j ), 再 利 用 四 元 數 的 運 算 法, 則 我 們 可 以 得 到 v' = ( + i)( j) = ( l k k l) = k 再 來, 我 們 再 對 z 軸 O z π π π π π 旋 轉 +, 可 得 : v" = cos + lsin ( k) cos lsin = ( + lk ) ( l ) = ( k j)( l) = ( k j j k) = j, 因 此, 此 向 量 最 後 落 在 x 軸 的 正 向 上 π π π π 另 一 方 面, 倘 若 旋 轉 的 次 序 相 反 時, 先 獲 得 : cos + lsin l cos lsin = l, 然 後 得 到 : π π π π cos + j sin l cos jsin = k, 意 即 此 向 量 落 在 z 軸 的 負 向 上 從 上 述 兩 種 相 反 的 旋 轉 順 序 所 造 不 同 的 終 點 位 置, 除 了 更 明 確 地 了 解 空 間 中 的 旋 轉 的 確 不 可 交 換, 從 而 解 釋 了 四 元 數 乘 法 的 非 交 換 性 質, 同 時 上 述 公 式, 也 可 以 類 似 地 處 理 三 維 空 間 中 的 各 種 旋 轉 的 情 形. 四 元 數 的 發 展 Hamilton 本 身 對 於 四 元 數 的 研 究 充 滿 了 極 大 的 熱 忱, 他 也 為 此 付 出 了 往 後 大 半 輩 子 的 時 光 他 認 為 發 現 四 元 數 的 重 要 性, 可 比 擬 過 去 微 積 分 誕 生, 同 時, 他 也 將 之 視 為 處 理 幾 何 學 與 數 學 物 理 問 題 的 關 鍵 然 而, 僅 有 少 數 的 英 國 科 學 家 與 Hamilton 站 在 同 一 陣 線 更 不 幸 的 是, 四 元 數 的 概 念 被 那 些 持 續 使 用 笛 卡 兒 座 標 的 物 理 學 家 們 所 忽 視 事 實 上, 四 元 數 並 不 是 物 理 學 家 真 正 所 需 的 工 具, 他 們 追 尋 的, 是 能 更 直 接 地 表 示 三 維 向 量 的 三 維 笛 卡 兒 座 標 甚 至 對 現 今 的 數 學 家 而 言, 四 元 數 也 只 不 過 是 眾 多 特 殊 代 數 系 統 當 中 的 一 個 例 子 罷 了 隨 著 四 元 素 的 發 現,9 世 紀 後 葉, 代 數 上 也 產 生 了 一 些 發 展, 我 們 也 許 會 感 到 好 奇, 是 否 能 夠 再 發 明 新 的 超 複 數, 而 再 將 數 的 概 念, 推 廣 至 更 高 維 度?845 年,Cayley 展 示 其 所 發 明 的 八 維 數 (octonion, 由 四 元 數 的 數 對 建 構 而 成 ), 滿 足 了 大 多 數 的 體 公 設, 但 乘 法 的 結 合 律 與 交 換 律 則 不 成 立 同 時, 所 有 非 0 的 八 維 數 都 有 乘 法 反 元 素 (Normed division algebra) 不 過, 在 數 學 上,Cayley 所 發 明 的 這 類 數, 也 只 不 過 被 視 為 數 學 中 的 奇 珍 異 玩 罷 了 更 再 進 一 步 地, 是 否 仍 有 其 它 的 非 交 換 代 數 (division algebra) 呢? 這 個 問 題 直 到 958 年 J. F. Adams 等 數 學 家 證 明, 除 了,, 4, 8 維 之 外, 已 沒 有 其 它 由 實 數 所 建 構 的 非 交 換 代 數, 而 最 終 得 到 了 答 案

15 HPM 通 訊 第 十 卷 第 十 一 期 第 一 五 版 在 9 世 紀, 理 解 超 過 維 空 間 的 幾 何 學 對 於 一 般 數 學 家 而 言, 是 相 當 奇 特 且 嶄 新 的 挑 戰, 就 如 同 人 們 起 初 面 對 非 歐 幾 何 般 地 感 到 懷 疑 與 難 以 置 信 數 學 家 利 用 新 的 公 設 取 代 傳 統 而 直 觀 的 平 行 設 準, 而 新 代 數 的 運 算 結 構 也 不 再 完 全 遵 守 一 般 實 數 與 複 數 的 基 本 性 質 在 四 維 空 間 中, 我 們 可 以 再 次 利 用 四 元 數 來 處 理 旋 轉 的 問 題, 由 四 個 實 數 所 建 構 而 成 的 四 元 數 a+ bj+ ck+ dl, 可 視 為 四 維 空 間 中 的 向 量, 同 時, 若 將 前 述 所 提 到 三 維 空 間 旋 轉 的 相 關 向 量 規 則 進 一 步 推 廣, 亦 可 描 述 了 這 些 向 量 在 四 維 空 間 的 旋 轉 878 年,W. K. Clifford 將 其 推 廣 至 一 般 n 維 向 量 的 旋 轉,Clifford 代 數 也 在 現 代 微 分 拓 樸 中, 扮 演 著 重 要 的 角 色, 而 四 維 空 間 的 旋 轉 對 於 往 後 相 對 論 的 發 展 而 言, 亦 具 有 相 當 的 重 要 性 當 我 們 定 義 n 維 向 量 的 代 數 結 構 時, 首 先 需 要 認 識 該 空 間 中 的 n 個 單 位 向 量 e ( i =,,..., n) 彼 此 乘 積 的 乘 法 表 ( 類 似 四 元 數 當 中 的 jk = kj = l 等 ), 如 果 我 們 加 上 i ( ee ) e = e( e e ), 則 可 得 到 線 性 結 合 代 數 (linear associate algebra) 而 這 些 代 數 的 一 般 理 i j k i j k 論, 由 美 國 數 學 家 Benjamin Peirce 和 他 的 兒 子 Charles 於 860 年 代 發 現, 最 終, 他 們 共 創 造 出 了 6 種 不 同 代 數 的 乘 法 表 而 當 我 們 回 顧 不 久 前 的 9 世 紀 初 期, 數 學 家 眼 中 還 仍 只 有 一 種 代 數 規 則 呢! 隨 著 數 學 家 自 由 地 發 明 創 造 出 屬 於 各 種 代 數 系 統 獨 自 的 運 算 規 則, 在 850 年 代, 數 學 家 們 在 其 各 自 的 集 合 上, 賦 予 了 相 對 於 傳 統 代 數 操 作 較 少 的 運 算 規 則, 而 得 到 許 多 相 當 令 人 感 興 趣 的 數 學 結 構, 其 中, 最 基 本 的 即 為 大 家 所 熟 知 的 群, 在 群 的 結 構 中, 該 集 合 的 任 二 個 元 素 僅 具 有 所 謂 的 二 元 運 算 (binary operation) 另 外, 在 現 代 的 數 數 課 程 中, 當 談 及 乘 法 非 交 換 性, 我 們 總 是 會 直 接 聯 想 到 矩 陣 同 樣 地, 數 學 家 Cayley 於 858 年, 從 幾 何 線 性 變 換 的 脈 絡 之 中, 最 先 對 矩 陣 進 行 有 系 統 的 研 究 工 作 特 別 地, 矩 陣 具 有 別 於 一 般 數 的 新 性 質, 即 使 A 與 B 皆 非 0 短 陣,AB=0 仍 可 能 成 立 由 於 矩 陣 與 四 元 數 皆 與 旋 轉 有 關, 我 們 可 能 會 期 待 這 二 者 之 間 具 有 某 些 連 結 關 係, 事 實 上, 一 般 的 非 零 四 元 數 與 非 奇 異 並 存 在 反 矩 陣 的 二 階 矩 陣 是 同 構 (isomorphic) 的 在 四 元 數 中 的 j, kl, 正 好 與 下 列 二 階 方 陣 與 具 有 相 同 的 地 位 : 0 i σ = i 0, 0, i 0 σ, = σ = 其 中 i = 0 0 i 我 們 也 可 透 過 矩 陣 乘 法 規 則, 輕 易 地 驗 證 σ = σ σ = I 與 σσ = σσ = σ等 關 係, 正 如 同 四 元 數 中 j, kl, 之 間 的 運 算 於 是, 我 們 可 了 解 非 零 四 元 數 a+ bj+ ck+ dl與 複 數 矩 陣 之 間 的 同 構 關 係, 並 可 定 義 如 下 : a id c+ ib a+ bσ+ cσ + dσ = c+ ib a+ id 二 階 複 數 方 陣 與 其 對 應 的 四 元 數, 皆 可 用 來 描 述 二 維 空 間 中 的 複 數 向 量 的 旋 轉, 並 且 被 應 用 於 90 年 代 所 提 出 的 電 子 角 動 量 的 相 關 理 論 上 至 此, 四 元 數 在 物 理 上 的 意 義 大 大 地 獲 得 了 彰 顯 而 四 元 數 所 帶 來 的 這 些 重 要 應 用 成 果, 亦 是 當 初 Hamilton 當 年 所 未 曾 預

16 HPM 通 訊 第 十 卷 第 十 一 期 第 一 六 版 知 的 四 反 思 看 不 見, 它 卻 有 用, 或 許 這 是 過 去 人 們 初 探 複 數 時 的 寫 照, 當 數 學 家 體 認 到 複 數 對 於 平 面 幾 何 與 向 量 所 帶 來 的 便 利 時, 便 展 現 了 一 貫 地 處 理 事 物 的 特 質 : 推 廣, 並 一 般 化 嘗 試 以 平 面 複 數 系 為 基 礎, 建 立 三 維 空 間 或 者 更 抽 象 的 高 維 度 空 間 中, 更 有 力 的 工 具 即 使 Hamilton 在 推 廣 的 工 作 上 遭 遇 了 挫 敗, 但 憑 藉 著 其 熱 忱 與 洞 見, 卻 引 發 了 四 元 數 的 誕 生, 也 就 此 解 放 了 過 去 人 們 習 以 為 常 的 代 數 運 算 性 質 的 局 限, 最 終 各 種 新 代 數 因 而 蓬 勃 發 展 就 如 同 挑 戰 平 行 公 設 而 引 發 非 歐 幾 何 學 的 誕 生, 數 學 家 們 在 代 數 上 的 新 發 明 與 新 思 維, 亦 挑 戰 著 過 去 人 們 關 於 數 學 學 科 的 舊 理 念, 挑 戰 了 數 學 真 理 確 定 性 的 地 位 而 在 這 十 字 口 上, 迫 使 數 學 家 必 需 回 過 頭, 謹 慎 地 重 新 檢 驗 實 數 複 數 代 數 幾 何, 甚 至 是 微 積 分 的 邏 輯 基 礎 於 是, 這 些 新 工 作 在 經 過 長 時 間 的 蘊 釀 加 以 數 學 家 們 的 努 力, 終 於 促 使 了 分 析 算 術 代 數 幾 何 學 的 嚴 格 化, 也 促 進 往 後 更 多 數 學 基 礎 工 作 的 發 展 由 複 數 以 至 四 元 數 的 發 展 脈 絡 當 中, 我 們 除 了 解 數 學 家 們 在 數 學 上 的 思 維 與 創 造 外, 更 可 發 現, 數 學 家 們 如 何 不 滿 足 於 二 維 的 結 構, 乃 至 進 一 步 推 廣 至 更 高 維 抽 象 空 間 的 過 程, 即 使 無 法 完 全 類 比 地 進 行 一 般 化 的 工 作, 數 學 家 也 從 放 棄 代 數 規 則 的 退 路 中, 重 新 找 到 新 的 進 路, 從 而 引 發 更 多 新 問 題, 新 的 思 維, 與 新 的 研 究 方 向 這 些 不 但 帶 給 往 後 數 學 發 展 上 的 推 波 助 瀾, 而 且, 也 豐 富 了 吾 人 的 的 數 學 歷 史 經 驗 後 記 : 本 文 根 據 Sondheimer, Ernst and Alan Rogerson, Numbers and Infinity: A historical account of mathematical concepts (Cambridge: Cambridge University Press, 98) 而 改 寫 HPM 通 訊 駐 校 連 絡 員 日 本 東 京 市 : 陳 昭 蓉 ( 東 京 Boston Consulting Group) 李 佳 嬅 ( 東 京 大 學 ) 台 北 市 : 楊 淑 芬 ( 松 山 高 中 ) 杜 雲 華 陳 彥 宏 游 經 祥 蘇 慧 珍 ( 成 功 高 中 ) 蘇 俊 鴻 ( 北 一 女 中 ) 陳 啟 文 ( 中 山 女 高 ) 蘇 惠 玉 ( 西 松 高 中 ) 蕭 文 俊 ( 中 崙 高 中 ) 郭 慶 章 ( 建 國 中 學 ) 李 秀 卿 ( 景 美 女 中 ) 王 錫 熙 ( 三 民 國 中 ) 謝 佩 珍 葉 和 文 ( 百 齡 高 中 ) 彭 良 禎 ( 麗 山 高 中 ) 邱 靜 如 ( 實 踐 國 中 ) 郭 守 德 ( 大 安 高 工 ) 余 俊 生 ( 西 松 高 中 ) 張 美 玲 ( 景 興 國 中 ) 黃 俊 才 ( 麗 山 國 中 ) 文 宏 元 ( 金 歐 女 中 ) 林 裕 意 ( 開 平 中 學 ) 林 壽 福 ( 興 雅 國 中 ) 傅 聖 國 ( 健 康 國 小 ) 李 素 幸 ( 雙 園 國 中 ) 台 北 縣 : 顏 志 成 ( 新 莊 高 中 ) 陳 鳳 珠 ( 中 正 國 中 ) 黃 清 揚 ( 福 和 國 中 ) 董 芳 成 ( 海 山 高 中 ) 林 旻 志 ( 錦 和 中 學 ) 孫 梅 茵 ( 海 山 高 工 ) 周 宗 奎 ( 清 水 中 學 ) 莊 嘉 玲 ( 林 口 高 中 ) 王 鼎 勳 吳 建 任 ( 樹 林 中 學 ) 陳 玉 芬 ( 明 德 高 中 ) 羅 春 暉 ( 二 重 國 小 ) 宜 蘭 縣 : 陳 敏 皓 ( 蘭 陽 女 中 ) 吳 秉 鴻 ( 國 華 國 中 ) 林 肯 輝 ( 羅 東 國 中 ) 桃 園 縣 : 許 雪 珍 ( 陽 明 高 中 ) 王 文 珮 ( 青 溪 國 中 ) 陳 威 南 ( 平 鎮 中 學 ) 洪 宜 亭 ( 內 壢 高 中 ) 鐘 啟 哲 ( 武 漢 國 中 ) 徐 梅 芳 ( 新 坡 國 中 ) 郭 志 輝 ( 內 壢 高 中 ) 程 和 欽 ( 永 豐 高 中 ) 鍾 秀 瓏 ( 東 安 國 中 ) 陳 春 廷 ( 楊 光 國 民 中 小 學 ) 新 竹 縣 : 洪 誌 陽 李 俊 坤 葉 吉 海 ( 新 竹 高 中 ) 陳 夢 琦 陳 瑩 琪 陳 淑 婷 ( 竹 北 高 中 ) 洪 正 川 ( 新 竹 高 商 ) 苗 栗 縣 : 廖 淑 芳 ( 照 南 國 中 ) 台 中 縣 : 洪 秀 敏 ( 豐 原 高 中 ) 楊 淑 玲 ( 神 岡 國 中 ) 台 中 市 : 阮 錫 琦 ( 西 苑 高 中 ) 歐 士 福 ( 五 權 國 中 ) 嘉 義 市 : 謝 三 寶 ( 嘉 義 高 工 ) 台 南 市 : 林 倉 億 ( 家 齊 女 中 ) 台 南 縣 : 李 建 宗 ( 北 門 高 工 ) 高 雄 市 : 廖 惠 儀 ( 大 仁 國 中 ) 屏 東 縣 : 陳 冠 良 ( 枋 寮 高 中 ) 楊 瓊 茹 ( 屏 東 高 中 ) 澎 湖 縣 : 何 嘉 祥 ( 馬 公 高 中 ) 金 門 : 楊 玉 星 ( 金 城 中 學 ) 張 復 凱 ( 金 門 高 中 ) 馬 祖 : 王 連 發 ( 馬 祖 高 中 )