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1 統 計 課 程 起 統 計 學 上 課 講 義 : 上 課 內 容 老 師 自 訂 講 義 參 考 書 籍 : 統 計 學 3 版 劉 明 德 著 全 華 出 版 實 用 統 計 學 ( 第 二 版 ) 東 華 書 局 林 真 真 著 上 課 內 容 : 基 本 統 計 理 論 概 念, 由 老 師 授 課 學 生 需 配 合 練 習 成 績 計 算 : 平 時 ( 含 出 席 尚 可 表 現 ):30% 隨 堂 作 業 :0% 期 中 考 :0% 期 末 考 :30% 教 師 : 郭 淑 靜 聯 絡 方 式 :su010@gmail.com shu-ching@mail.tsu.edu.tw 資 管 系 辦 信 箱 研 究 室 :C704 或 資 管 系 辦 教 師 期 許 : 統 計 課 為 本 系 重 要 課 程, 更 是 日 後 研 究 所 考 試 的 選 考 科 目 之 一, 盼 同 學 們 能 夠 用 心 學 習, 以 備 日 後 之 用 學 習 期 間 若 有 任 何 問 題 歡 迎 同 學 們 隨 時 告 知, 我 將 隨 時 調 整 最 後, 希 望 我 們 的 授 課 過 程 是 快 樂 且 輕 鬆 的 授 課 內 容 : Ch01 統 計 概 論 統 計 學 的 內 容 : 敘 述 統 計 學 機 率 理 論 推 論 統 計 母 體 與 樣 本 ; 統 計 方 法 實 施 的 步 驟 資 料 屬 性 的 類 型 : 定 性 定 量 資 料 資 料 的 衡 量 尺 度 : 名 目 尺 度 順 序 尺 度 區 間 尺 度 比 例 尺 度 統 計 講 義 I 6/17/015

2 Ch0 資 料 統 計 圖 ( 表 ) 單 變 數 統 計 圖 : 柏 拉 圖 莖 葉 圖 箱 型 圖 雙 變 數 統 計 圖 : 散 佈 圖 Q-Q 圖 執 行 excel 功 能 Ch03 資 料 統 計 摘 要 值 中 央 趨 勢 的 統 計 數 值 ( 平 均 數 中 位 數 眾 數 ) 偏 態 峰 度 相 對 位 置 的 統 計 數 值 ( 四 分 位 數 十 分 位 數 百 分 位 數 ) 分 散 度 的 統 計 數 值 ( 全 距 四 分 位 距 平 均 絕 對 離 差 變 異 數 標 準 差 ) 箱 型 圖 * 柴 比 式 定 理 經 驗 法 則 * 雙 變 數 資 料 的 整 理 與 表 現 交 叉 表 格 ( 或 稱 列 聯 表 ) 散 佈 圖 共 變 異 數 相 關 係 數 Ch04 機 率 論 專 有 名 詞 : 隨 機 實 驗 的 意 義 樣 本 空 間 樣 本 點 事 件 機 率 簡 單 事 件 複 合 事 件 機 率 測 度 的 方 法 : 古 典 方 法 相 對 次 數 法 主 觀 法 機 率 的 性 質 及 基 本 運 算 : 機 率 的 性 質 機 率 的 基 本 關 係 條 件 機 率 (conditional probability) 事 件 的 關 係 : 互 斥 事 件 獨 立 事 件 相 依 事 件 Ch05 隨 機 變 數 隨 機 變 數 的 意 義 與 種 類 離 散 隨 機 變 數 的 機 率 函 數 :p.d.f c.d.f 期 望 值 變 異 數 標 準 差 線 性 函 數 的 期 望 值 線 性 函 數 的 變 異 數 連 續 隨 機 變 數 之 函 數 :p.d.f c.d.f 期 望 值 變 異 數 統 計 講 義 II 6/17/015

3 Ch1 統 計 概 論 統 計 學 的 內 容 敘 述 統 計 學 (descriptive statistics): 學 習 如 何 蒐 集 資 料 如 何 將 所 獲 得 的 資 料, 加 以 記 錄 整 理, 最 後 以 一 些 統 計 圖 表 表 示 出 資 料 的 特 質 機 率 理 論 : 推 論 統 計 的 基 礎 推 論 統 計 (inferential statistics): 以 現 有 的 資 訊 ( 樣 本 ) 對 未 來 或 未 知 的 狀 況 ( 母 體 ) 加 以 推 斷 或 研 斷 的 理 論 與 方 法 隨 堂 練 習 下 列 何 者 屬 於 敘 述 統 計, 何 者 屬 於 推 論 統 計? 1. 今 年 八 月 份 的 新 屋 銷 售 率 較 去 年 同 期 上 升 了 1.1%. 由 於 颱 風 過 境 造 成 重 大 損 害, 我 們 預 期 未 來 一 個 月 內 菜 價 將 居 高 不 下 3. 台 灣 省 今 年 上 半 年 的 犯 罪 率 較 去 年 同 期 減 少 6% 4. 電 信 費 率 調 整 之 後, 預 估 每 戶 每 年 可 少 繳 600 元 的 電 話 費 5. 波 斯 灣 戰 事 將 導 致 原 油 價 格 上 漲 30% 6. 台 北 市 去 年 人 口 增 加 率 為 0.% 下 列 何 者 為 敘 述 統 計? 何 者 為 推 論 統 計? 由 台 灣 地 區 過 去 100 年 的 地 震 紀 錄, 我 們 預 期 台 灣 大 約 每 30 年 會 發 生 一 次 七 級 以 上 的 強 烈 大 地 震 農 委 會 估 計, 加 入 WTO 以 後 將 有 十 萬 農 民 失 業 90 學 年 度 大 學 聯 招, 有,315 人 英 文 科 得 零 分 由 於 景 氣 不 佳, 英 國 經 濟 學 人 雜 誌 預 測 001 年 全 球 經 濟 成 長 率 將 由 000 年 的 4.9% 劇 降 至.7% 統 計 講 義 1 6/17/015

4 母 體 與 樣 本 母 體 (population): 欲 研 究 問 題 ( 人 員 ) 的 所 有 資 料 樣 本 (sample): 由 母 體 中 抽 取 部 份 資 料 ( 元 素 ) 而 組 成 的 集 合, 為 母 體 的 一 部 份 例 如 : 欲 調 查 台 北 市 選 民 對 馬 英 九 的 支 持 度? 母 體 為 : 台 北 市 所 有 具 投 票 權 之 選 民 一 般 民 調 即 為 樣 本 母 體 與 樣 本 間 的 關 係 母 體 樣 本 抽 樣 母 體 參 數 推 論 樣 本 統 計 量 隨 堂 練 習 : 試 判 別 下 列 何 者 為 母 體, 何 者 為 樣 本? 1. 建 國 高 中 所 有 高 三 各 班 中 的 5 個 班 級 的 大 學 聯 考 錄 取 率.. 裕 隆 汽 車 公 司 所 生 產 的 汽 車 中 用 來 做 汽 車 耗 油 量 測 試 的 汽 車 裕 隆 汽 車 公 司 全 體 員 工 所 擁 有 的 汽 車 數 4. 台 大 醫 院 去 年 動 過 癌 症 手 術 的 所 有 病 患 5. 老 日 光 燈 泡 公 司 用 來 做 燈 泡 使 用 期 限 實 驗 的 燈 泡 6. 台 北 榮 工 處 在 過 去 五 年 間 所 建 造 的 所 有 國 宅 數 星 星 唱 片 公 司 想 知 道 該 公 司 的 歌 星 在 某 綜 藝 節 目 打 歌 的 效 果, 所 以 在 該 綜 藝 節 目 播 出 後 第 二 天 用 電 話 訪 問 來 獲 知 一 般 大 眾 對 該 歌 星 及 其 所 主 打 的 歌 曲 的 印 象 1. 此 項 電 話 調 查 的 母 體 為 何?. 此 項 電 話 調 查 的 樣 本 為 何? 3. 普 查 或 樣 本 調 查 的 方 法, 哪 一 種 較 適 當? 請 解 釋 之 4. 試 述 該 調 查 必 須 使 用 樣 本 調 查 的 方 法 而 不 能 用 普 查 的 原 因 統 計 講 義 6/17/015

5 統 計 講 義 3 6/17/015

6 資 料 屬 性 的 類 型 定 性 資 料 (qualitative ): 用 於 描 述 特 性, 為 數 值 或 非 數 值 的 方 式 出 現, 不 適 合 做 統 計 計 算 如 : 性 別 ( 男 女 ); 等 級 ( 甲 乙 丙 ) 數 值 : 以 數 字 化 代 碼 代 替 某 一 特 性 定 量 資 料 (quantitative ): 用 於 描 述 數 量 數 字 為 數 值 的 方 式 出 現, 適 合 做 統 計 計 算 如 : 成 績 身 高 隨 堂 練 習 : 試 評 述 下 列 變 數 為 定 性 或 定 量 的 變 數 表. 心 臟 病 患 者 的 抽 樣 資 料 年 齡 性 別 身 高 體 重 體 溫 收 縮 壓 教 育 程 度 是 否 抽 煙 李 文 正 35 男 170cm mmHG 專 科 是 鍾 新 興 6 男 大 學 否 劉 會 妹 45 女 高 中 否 周 國 強 55 男 小 學 是 林 滿 虹 5 女 國 中 是 陳 自 立 31 男 研 究 所 否 張 瓊 珠 3 女 大 學 否 賴 文 珍 35 女 專 科 是 侯 茜 茜 58 女 國 中 否 黃 錦 章 47 男 高 中 是 洪 耀 興 37 男 大 學 否 例 題 : 試 評 述 下 列 變 數 為 定 性 或 定 量 的 變 數 a. 年 齡 b. 性 別 c. 班 級 排 名 d. 飲 料 容 量 ( 大 中 小 ) e. 付 款 方 式 ( 現 金 支 票 信 用 卡 ) 試 評 述 下 列 變 數 為 定 性 或 定 量 的 變 數 1. 人 口 數. 通 話 時 間 3. 出 生 月 份 4. 職 業 種 類 統 計 講 義 4 6/17/015

7 資 料 的 衡 量 尺 度 /measurment scale 名 目 尺 度 又 稱 為 類 別 尺 度 / 名 義 量 尺 : 作 為 識 別 分 類 用 途 的 資 料, 可 計 算 各 類 發 生 的 次 數 或 百 分 比, 不 可 做 其 他 運 算 如 : 以 0,1 代 表 性 別 ; 學 號 帳 號 身 份 字 號 等 都 是 名 目 尺 度 身 份 證 的 平 均 數 值 是 沒 有 意 義 的 順 序 尺 度 衡 量 有 重 要 大 小 強 弱 好 壞 程 度 等 級 順 序 之 資 料 * 當 以 數 值 代 表 時, 用 於 區 分 等 級 及 類 別 如 : 教 育 程 度 以 1,,3,4,5,6 代 表 小 學 國 中 高 中 專 科 大 學 研 究 所,6 表 示 最 高 級,1 表 示 最 低 級 ; 此 數 值 具 有 順 序 的 意 義, 但 數 值 間 的 距 離 無 意 義, 無 法 進 行 四 則 運 算 區 間 尺 度 當 順 序 尺 度 資 料 除 了 順 序 之 外, 其 間 的 差 距 有 意 義 ; 無 真 正 的 原 點 0, 指 當 其 數 值 為 0 時, 並 不 代 表 沒 有 可 以 進 行 加 減 運 算 例 如 : 攝 氏 0 度 並 不 代 表 沒 有 溫 度, 而 是 代 表 結 冰 的 溫 度, 東 京 市 13 度, 倫 敦 市 9 度, 數 值 大 小 有 意 義, 表 東 京 市 高 倫 敦 市 4 度 比 例 尺 度 當 數 值 除 了 順 序 之 外, 其 間 的 差 距 比 例 值 亦 有 意 義, 因 此 可 以 進 行 四 則 運 算, 有 真 正 的 原 點 0, 指 當 其 數 值 為 0 時, 代 表 沒 有 的 意 思 如 : 身 高 165cm 是 身 高 150cm 的 1.1 倍 四 種 資 料 的 比 較 比 例 資 料 區 間 資 料 順 序 資 料 類 別 資 料 四 種 資 料 的 整 理 種 類 四 則 運 算 統 計 量 數 固 定 零 點 名 目 尺 度 x 眾 數 x 順 序 尺 度 x 眾 數 中 位 數 X 區 間 尺 度 加 減 眾 數 中 位 數 平 均 數 X 比 例 尺 度 加 減 乘 除 眾 數 中 位 數 平 均 數 標 準 差 ˇ 統 計 講 義 5 6/17/015

8 例 題 : 說 明 以 下 變 數 的 衡 量 尺 度? 練 習 一 : 請 問 以 下 資 料 分 別 屬 於 何 種 衡 量 尺 度? (1) 冰 溫 熱 () 全 球 各 大 都 市 的 雨 量 資 料 (3) 全 球 各 大 都 市 的 溫 度 資 料 (4) 優 良 良 好 尚 可 劣 (5) 未 婚 已 婚 離 婚 (6) 動 物 的 智 商 (7) 果 菜 到 貨 量 (8) 有 車 階 級 無 車 階 級 練 習 二 : 請 問 以 下 資 料 分 別 屬 於 何 種 衡 量 尺 度? (1) 家 庭 人 口 數 () 考 績 ( 甲 乙 ) (3) 汽 車 銷 售 量 (4) 職 棒 排 名 若 教 育 程 度 以 高 中 職 以 下 (A) 大 專 (B) 研 究 所 (C) 三 種 選 項 來 測 量, 則 A,B,C 這 三 個 答 案 : (1) 是 一 種 可 以 用 來 加 減 乘 除 運 算 的 運 值 () 是 一 種 只 可 以 用 來 加 減 運 算 的 運 值 (3) 是 一 種 只 可 以 比 較 大 小 的 符 號 (4) 是 一 種 可 以 分 類 但 不 能 比 較 大 小 的 符 號 (5) 以 上 皆 否 統 計 講 義 6 6/17/015

9 CH01 統 計 概 論 ( 練 習 題 ) 1. 將 所 獲 得 的 資 料, 加 以 紀 錄, 整 理, 最 後 以 一 些 統 計 圖 表 表 示 出 資 料 的 特 質, 稱 之 為. 利 用 局 部 的 資 料 ( 統 計 語 法 稱 為 樣 本 資 料 ) 來 推 測 整 體 資 料 ( 統 計 語 法 稱 為 母 體 資 料 ) 的 特 性 ( 統 計 語 法 稱 為 參 數 ), 稱 之 為 3. 下 列 那 些 是 敘 述 統 計? 那 些 是 推 論 統 計? (a) 由 於 全 球 經 濟 不 景 氣, 我 們 可 以 預 期 明 年 的 失 業 率 將 上 升 1% (b) 去 年 臺 灣 地 區 的 刑 事 案 件 中, 有 60% 是 竊 盜 案 4. 以 下 哪 一 種 尺 度 是 具 有 固 定 零 點 的 測 量 尺 度? (A) 名 目 尺 度 (B) 順 序 尺 度 (C) 區 間 尺 度 (D) 比 例 尺 度 5. 將 統 計 課 的 學 生 以 性 別 來 分 類, 是 屬 於 哪 一 種 測 量 尺 度 的 例 子? (A) 名 目 尺 度 (B) 順 序 尺 度 (C) 區 間 尺 度 (D) 比 例 尺 度 6. 以 下 哪 種 尺 度 是 根 據 資 料 的 相 對 大 小 排 序? (A) 名 目 尺 度 (B) 順 序 尺 度 (C) 區 間 尺 度 (D) 比 例 尺 度 7. 以 下 哪 一 種 尺 度 是 最 強 的 測 量 尺 度? (A) 名 目 尺 度 (B) 順 序 尺 度 (C) 區 間 尺 度 (D) 比 例 尺 度 8. 有 一 項 調 查 是 由 顧 客 品 嚐 五 種 不 同 品 牌 的 冰 淇 淋, 並 以 1 到 5 排 列 其 喜 好 程 度, 這 是 哪 種 測 量 尺 度 的 例 子? (A) 名 目 尺 度 (B) 順 序 尺 度 (C) 區 間 尺 度 (D) 比 例 尺 度 9. 完 成 作 業 的 時 間, 趙 一 為 30 分, 錢 一 為 38 分, 酸 三 為 4 分, 則 此 資 料 為 哪 種 測 量 尺 度?(A) 名 目 尺 度 (B) 順 序 尺 度 (C) 區 間 尺 度 (D) 比 例 尺 度 10. 在 下 列 題 目 中, 判 斷 這 個 群 體 是 屬 於 樣 本 還 是 母 體 a. 一 種 新 型 膽 固 醇 藥 物 的 試 用 者 b. 上 個 月 在 堪 薩 斯 城 中 所 有 收 到 超 速 罰 單 的 駕 駛 人 c. 伊 利 諾 州 芝 加 哥 的 庫 克 郡 中, 接 受 社 會 救 濟 的 人 d. 道 瓊 工 業 指 數 中 所 涵 蓋 的 30 檔 上 市 股 票 統 計 講 義 7 6/17/015

10 統 計 講 義 8 6/17/015

11 Ch0 資 料 的 統 計 圖 表 性 質 資 料 ( 定 性 資 料 /qualitive date) 的 統 計 圖 表 : 依 類 別 分 類 統 計 表 一 般 為 次 數 分 配 表 相 對 次 數 分 配 表 百 分 比 次 數 分 配 表 統 計 圖 為 條 形 圖 ( 或 稱 煙 囪 圖 ) 及 圓 餅 圖 柏 拉 圖 數 量 資 料 ( 定 量 資 料 /quantitative) 的 統 計 圖 表 : 依 組 別 分 類 統 計 表 一 般 為 次 數 分 配 表 相 對 次 數 分 配 表 百 分 比 次 數 分 配 表 累 積 次 數 分 配 表 累 積 相 對 次 數 分 配 表 累 積 百 分 比 次 數 分 配 表 統 計 圖 為 直 方 圖 次 數 多 邊 圖 莖 葉 圖 及 箱 型 圖 定 性 資 料 的 統 計 表 次 數 分 配 表 (frequency distribution): 依 照 類 別 分 別 排 列, 並 計 算 各 個 類 別 的 元 素 出 現 的 次 數 的 統 計 表 稱 為 類 別 資 料 的 次 數 分 配 表 步 驟 :(1) 資 料 總 類 () 劃 記 (tally): 常 用 正 or 表 示 (3) 計 算 次 數 相 對 次 數 分 配 表 (relative frequency distribution) 某 類 別 的 相 對 次 數 某 類 別 的 次 數 所 有 類 別 的 次 數 總 合 ( 總 次 數 ) 註 : 相 對 次 數 總 和 為 1 百 分 比 次 數 分 配 表 (percent frequency distribution) 某 類 別 的 百 分 比 次 數 某 類 別 的 次 數 100% 所 有 類 別 的 次 數 總 合 ( 總 次 數 ) 註 : 百 分 比 次 數 總 和 為 1 統 計 講 義 9 6/17/015

12 例 題 :46 個 網 友 的 手 機 品 牌 網 友 手 機 的 次 數 分 配 表 Nokia Ericsson Nokia Siemens Philips Acer Siemens Acer Nokia Nokia Siemens Motorola Ericsson Nokia Sony Motorola Siemens Sony Nokia Nokia Motorola Nokia Philips Nokia Philips Acer Acer Alcatel Philips Motorola Nokia Motorola Siemens Ericsson Ericsson Nokia Ericsson Motorola Ericsson Nokia Motorola Motorola Nokia Siemens Ericsson Philips 變 數 手 機 品 牌 網 友 數 Nokia 13 Motorola 8 Ericsson 7 Siemens 6 Philips 5 Acer 4 其 他 3 合 計 46 次 數 欄 網 友 手 機 品 牌 的 相 對 次 數 分 配 手 機 品 牌 相 對 次 數 百 分 比 % Nokia Motorola Ericsson Siemens Philips Acer 其 他 合 計 統 計 講 義 10 6/17/015

13 累 積 次 數 分 配 表 下 列 次 數 分 配 是 Brumley 統 計 顧 問 公 司 員 工 搭 乘 飛 機 的 飛 行 里 程 數 的 統 計 數 字, 請 參 考 習 題 11 a. 有 多 少 員 工 坐 飛 機 的 里 程 數 小 於 3,000 英 里? b. 將 次 數 分 配 轉 換 成 以 下 累 加 次 數 分 配 c. 將 累 加 次 數 分 配 表 描 繪 成 累 加 次 數 多 邊 形 圖 d. 根 據 累 加 次 數 多 邊 形 圖, 約 有 75% 的 員 工 飛 行 里 程 數 小 於 等 於 多 少? 下 列 的 次 數 分 配 是 Ecommerce.com 訂 貨 的 前 置 時 間, a. 少 於 10 天 的 訂 貨 數 量 是 多 少? 少 於 15 天 的 訂 貨 數 量 是 多 少? b. 將 次 數 分 配 轉 換 成 累 加 次 數 分 配 c. 建 構 累 加 次 數 多 邊 形 圖 d. 大 約 60% 的 訂 單, 其 前 置 時 間 小 於 等 於 多 少 天? 統 計 講 義 11 6/17/015

14 長 條 圖 (Bar graph)/ 或 稱 煙 囪 圖 單 變 數 定 性 資 料 的 統 計 圖 以 長 條 的 長 短 高 度 或 數 值 的 大 小 來 表 示 各 個 類 別 的 次 數 的 統 計 圖 柏 拉 圖 將 長 條 圖 中 標 示 在 橫 軸 的 類 別 依 其 次 數 大 小 按 降 幕 由 左 至 右 予 以 重 排 14 1 次 數 Nokia Motorola Ericsson Siemens Philips Acer 其 他 手 機 品 牌 範 例 : 下 表 是 台 灣 和 美 國 兩 地 小 孩 在 家 使 用 電 腦 的 情 形, 請 編 製 台 灣 地 區 小 孩 在 家 使 用 電 腦 的 柏 拉 圖 地 區 玩 電 腦 遊 戲 使 用 教 學 軟 體 做 功 課 在 網 路 在 網 路 用 網 路 不 上 閒 逛 上 聊 天 找 資 料 道 知 其 他 台 灣 美 國 練 習 : 上 表 是 台 灣 和 美 國 兩 地 小 孩 在 家 使 用 電 腦 的 情 形, 請 編 製 美 國 地 區 小 孩 在 家 使 用 電 腦 的 柏 拉 圖 統 計 講 義 1 6/17/015

15 圓 餅 圖 (circle)/ 或 稱 扇 形 圖 (pie chart) 以 整 塊 餅 的 圓 形 表 示 全 部 的 資 料 各 部 分 表 示 各 個 類 別 的 相 對 次 數 或 百 分 比 的 統 計 圖 稱 為 餅 狀 圖 或 圓 餅 圖 Philips 11% Acer 9% 其 他 7% Nokia 8% Siemens 13% Ericsson 15% Motorola 17% 繪 製 時 必 須 先 求 出 每 個 類 別 占 全 體 的 百 分 比 之 後, 在 轉 成 所 對 應 的 圓 心 角, 即 某 類 別 次 數 圓 心 角 360 總 次 數 0 範 例 : 下 表 是 台 灣 和 美 國 兩 地 小 孩 在 家 使 用 電 腦 的 情 形, 請 編 製 台 灣 地 區 小 孩 在 家 使 用 電 腦 的 圓 餅 圖 地 區 玩 電 腦 遊 戲 使 用 教 學 軟 體 做 功 課 在 網 路 在 網 路 用 網 路 不 上 閒 逛 上 聊 天 找 資 料 道 知 其 他 台 灣 美 國 練 習 : 上 表 是 台 灣 和 美 國 兩 地 小 孩 在 家 使 用 電 腦 的 情 形, 請 編 製 美 國 地 區 小 孩 在 家 使 用 電 腦 的 圓 餅 圖 統 計 講 義 13 6/17/015

16 單 變 數 定 量 資 料 的 統 計 圖 莖 葉 圖 (stem-and-leaf display) 或 稱 枝 葉 圖 是 一 種 能 列 出 所 有 實 際 資 料 值 且 兼 具 排 序 與 洞 察 分 配 形 狀 的 方 法, 可 視 為 直 方 圖 的 改 版, 適 用 於 定 量 資 料 作 法 :(1) 將 資 料 分 成 莖 及 葉, 莖 通 常 是 最 左 邊 之 數 字, 葉 通 常 是 最 右 邊 之 數 字 () 畫 一 直 線, 以 區 分 左 右 兩 邊 之 資 料 值 (3) 決 定 左 右 兩 邊 之 資 料 型 態 (4) 依 序 由 小 至 大 將 資 料 填 入 說 明 :(1) 垂 直 線 左 邊 的 資 料 型 態 可 自 訂, 似 直 方 圖 分 組 資 料 () 其 優 點 可 直 接 讀 取 原 始 資 料, 而 直 方 圖 則 只 能 看 出 次 數 ex: 畫 莖 葉 圖 解 : ex: 請 畫 出 莖 葉 圖, 莖 的 部 分 用 前 二 位 數, 葉 的 部 分 用 第 三 位 數 1644, 176, 191, 1855, 1954, 167, 004, 1813, 185 解 : 下 列 是 星 辰 公 司 30 件 郵 件 的 郵 費, 請 畫 出 枝 葉 圖 p.s: 箱 型 圖 等 到 資 料 的 統 計 摘 要 值 教 完 後 在 說 明 統 計 講 義 14 6/17/015

17 雙 變 數 統 計 圖 : 散 佈 圖 Q-Q 圖 散 佈 圖 (scatter gram): 是 一 種 表 示 兩 數 量 變 數 間 關 係 的 圖 形, 根 據 交 叉 表 格 將 兩 變 數 分 別 置 於 水 平 軸 與 與 垂 直 軸 廣 告 支 出 與 銷 售 額 廣 告 支 出 與 銷 售 額 的 散 佈 圖 ( 正 相 關 ) 各 種 可 能 值 時 的 散 佈 圖 正 相 關 不 相 關 負 相 關 可 繪 一 直 線 通 過 散 佈 圖, 一 般 常 用 最 小 平 方 法 (method of least squares) 尋 找 此 直 線 yˆ x ( 詳 情 以 後 在 介 紹 ), 先 用 excel 找 出 i 最 小 平 方 法 : 是 找 一 直 線 yˆ xi 使 ( y i yˆ) 為 最 小 的 方 法 y yˆ ) ( i i n i 1 : 表 示 觀 察 值 y i 與 直 線 方 程 式 計 算 出 i ŷ 值 之 間 的 差 異 統 計 講 義 15 6/17/015

18 例 題 : 下 表 為 < 創 投 例 > 的 10 位 員 工 之 各 項 資 料 性 別 職 別 年 齡 年 齡 層 工 作 月 數 薪 資 男 廠 房 職 員 40 中 年 37 $57750 女 製 程 工 程 師 33 壯 年 31 $41550 男 廠 房 職 員 40 中 年 6 $58590 男 廠 房 職 員 31 壯 年 14 $36480 男 產 品 工 作 程 師 7 青 年 13 $34050 女 廠 房 職 員 4 青 年 4 $34950 女 製 程 工 程 師 8 青 年 3 $48750 男 系 統 工 程 師 3 壯 年 9 $71538 女 系 統 工 程 師 8 青 年 14 $99900 女 研 發 工 程 師 6 青 年 33 $14476 (1) 以 資 料 中, 工 作 月 數 變 數 作 為 橫 軸, 薪 資 變 數 作 為 縱 軸, 製 作 工 作 月 數 與 薪 資 的 散 佈 圖 () 以 資 料 中, 年 齡 變 數 作 為 橫 軸, 薪 資 變 數 作 為 縱 軸, 製 作 年 齡 與 薪 資 的 散 佈 圖 統 計 講 義 16 6/17/015

19 請 用 以 下 的 樣 本 資 料 繪 製 散 布 圖, 並 敘 述 兩 變 數 間 的 關 係 16. Sliver Springs 貨 運 倉 儲 公 司 在 研 究 所 搬 運 的 房 間 數 與 花 費 時 間 數 的 關 係, 繪 製 成 以 下 的 樣 本 散 布 圖 a. 此 樣 本 中 有 幾 次 搬 運 的 資 料? b. 此 散 布 圖 是 否 顯 示 出 : 搬 運 的 房 間 數 愈 多 則 所 花 的 時 間 數 也 愈 多, 或 是 所 花 的 時 間 數 會 減 少? 統 計 講 義 17 6/17/015

20 Q-Q 圖 Q-Q 圖 : 主 要 目 的 是 用 來 比 較 兩 變 數 間 的 差 異 程 度, 若 分 佈 點 靠 近 45 度 直 線, 表 示 兩 變 數 差 異 小, 遠 離 則 變 數 差 異 大, 因 此 Q-Q 圖 可 做 適 合 度 之 初 步 檢 定 繪 製 方 法 : (1) 先 將 兩 種 類 別 的 資 料 分 別 按 照 大 小 排 序 () 在 將 其 對 應 座 標 分 別 標 示 在 職 角 座 標 平 面 上 例 : 假 設 資 料 X 的 7 個 觀 察 值 如 下 : 假 設 資 料 Y 的 7 個 觀 察 值 如 下 : 試 做 Q-Q 圖 練 習 : 下 列 數 據 為 洪 外 科 於 兩 天 內 病 人 等 待 看 病 時 間 之 資 料 ( 以 分 鐘 為 單 位 ): 第 一 天 第 二 天 試 做 兩 天 內 病 人 等 待 看 病 時 間 的 Q-Q 圖 統 計 講 義 18 6/17/015

21 Ch0 資 料 的 統 計 圖 表 ( 練 習 題 ) 1. 請 說 明 直 方 圖 與 長 條 圖 使 用 上 的 差 異?. 下 表 為 民 國 88 年 道 路 交 通 事 故 案 件 按 發 生 時 間 分 組 的 件 數 統 計 表, 時 段 0~4 4~8 8~1 1~16 16~0 0~4 次 數 f 請 (1) 畫 出 直 方 圖 () 畫 出 柏 拉 圖 (3) 製 作 圓 餅 圖 3. 一 所 中 學 的 訓 導 處 調 查 了 15 名 學 生, 每 週 花 在 網 際 網 路 上 的 時 數 如 下 所 示 : (1) 製 作 這 些 上 網 時 數 的 莖 葉 圖 ( 葉 的 單 位 :0.1 小 時 ) 統 計 講 義 19 6/17/015

22 4. 0 名 考 生 在 學 測 考 試 的 作 答 時 間 ( 以 分 鐘 計 算 ) 如 下 : 製 作 這 些 上 網 時 數 的 莖 葉 圖 ( 葉 的 單 位 :1 小 時 ) 5. 假 設 資 料 X 的 7 個 觀 察 值 如 下 : 假 設 資 料 Y 的 7 個 觀 察 值 如 下 : 試 做 Q-Q 圖 統 計 講 義 0 6/17/015

23 Ch03 資 料 的 統 計 摘 要 值 中 央 趨 勢 的 統 計 數 值 ( 平 均 數 中 位 數 眾 數 ) 平 均 數 /mean 算 術 平 均 數 /arithmetic mean 的 意 義 : 所 有 觀 察 值 的 總 和 除 以 觀 察 值 的 個 數 即 為 算 術 平 均 數 算 術 平 均 數 在 數 線 上 代 表 資 料 的 平 衡 點 N xi i 母 體 平 均 數 : 1 N X: 代 表 變 數, 如 身 高 成 績 性 別 等 若 為 母 體 資 料, 其 觀 察 值 有 N 個, 分 別 為 x 1, x, x3 等 例 題 : 計 算 下 列 母 體 值 的 平 均 數 : n xi i 樣 本 平 均 數 : X 1 n X: 代 表 變 數, 如 身 高 成 績 性 別 等 若 為 樣 本 資 料, 其 觀 察 值 有 n 個, 分 別 為 x 1, x, x3 等 算 術 平 均 數 的 特 質 : 資 料 的 平 衡 點 各 觀 察 值 與 平 均 數 間 的 差 的 總 和 等 於 零 各 觀 察 值 與 平 均 數 之 差 的 平 方 和 最 小 優 點 為 考 慮 到 每 一 個 觀 察 值, 缺 點 為 易 受 極 端 值 的 影 響 可 進 行 代 數 演 算 可 對 觀 察 值 予 以 加 權 例 : 某 項 針 對 銀 行 分 行 雇 員 的 調 查, 發 現 每 位 雇 員 的 小 孩 數 目 如 下 : 1, 0,,, 0, 1, 0, 1, 4, 3, 6, 4,, 0, 1,3 這 些 雇 員 小 孩 數 目 的 平 均 數 為 何? 例 : 某 三 間 房 間 的 平 均 溫 度 為 華 氏 69.3 度 若 第 四 個 房 間 的 溫 度 為 71 度, 則 這 四 間 房 間 的 平 均 溫 度 為 何? 統 計 講 義 1 6/17/015

24 中 位 數 : m e 代 表 中 位 數 的 意 義 : 中 位 數 是 位 於 依 數 值 大 小 順 序 排 列 的 觀 察 值 中 央 的 那 一 個 數 值 當 n 為 奇 數 時, m 為 中 間 之 數 值 e 當 n 為 偶 數 時, m 為 中 間 二 位 數 值 之 平 均 中 位 數 的 特 質 : 各 觀 察 值 與 平 均 數 之 絕 對 差 為 最 小 不 易 受 極 端 值 的 影 響 不 易 進 行 代 數 演 算 例 : 求 3,46,4,45,64,48 之 中 位 數? e 例 : 以 下 為 某 統 計 學 教 授 針 對 統 計 課 學 生 第 一 次 考 試 的 給 分 : 5, 90, 88, 61, 75, 8, 75, 83, 88,86 這 些 分 數 的 中 位 數 為 何? 眾 數 /mode: 以 m o 代 表 眾 數 的 意 義 : 眾 數 是 指 觀 察 值 中 其 出 現 次 數 最 多 的 那 一 個 數 值 或 類 別, 類 別 資 料 常 用 此 統 計 數 值 來 表 示 眾 數 的 特 質 : 可 能 有 多 個 或 沒 有 不 易 受 極 端 值 的 影 響 例 : 求 3,46,4,45,,46,45,64,48,45 之 眾 數? 統 計 講 義 6/17/015

25 中 央 趨 勢 統 計 數 值 之 比 較 統 計 測 量 數 優 點 缺 點 1. 資 料 的 重 心 資 料 無 極 端 值 或 1. 若 有 極 端 值 存 在 時 則 不 具 代 表 性 偏 態 時, 具 代 表 性. 資 料 如 為 偏 態, 則 代 表 性 較 差. 適 合 代 數 演 算 算 術 平 均 數 3. 考 慮 所 有 觀 察 值, 敏 感 度 高 4. 觀 察 值 與 平 均 數 差 平 方 和 最 小 5. 適 合 統 計 推 論 的 工 作 中 位 數 1. 適 用 於 有 極 端 值 的 資 料 1. 不 適 合 代 數 演 算. 適 用 於 偏 態 資 料. 對 觀 察 值 敏 感 性 低 3. 觀 察 值 與 中 位 數 絕 對 差 和 最 小 3. 不 易 進 行 母 數 統 計 推 論 4. 可 做 無 母 數 統 計 推 論 眾 數 1. 適 用 於 有 極 端 值 的 資 料. 適 用 於 偏 態 資 料 3. 適 用 於 質 的 資 料 1. 可 能 不 止 一 個 或 不 存 在. 敏 感 性 低 3. 不 能 做 統 計 推 論 例 題 : 板 橋 營 業 處 及 北 投 營 業 處 為 兩 家 汽 車 公 司, 其 業 務 員 的 業 績 如 下 : 板 橋 營 業 處 北 投 營 業 處 請 就 平 均 數 中 位 數 眾 數 說 明 何 家 營 業 處 的 業 績 較 好? 練 習 : 設 有 8 家 連 鎖 超 市 上 個 月 的 營 業 額 ( 單 位 : 萬 元 ) 為 : 30, 65, 70, 83, 86, 88, 95, 95 (a) 計 算 平 均 數 中 位 數 及 眾 數 (b) 請 就 平 均 數, 中 位 數 及 眾 數 三 者, 說 明 何 者 較 具 集 中 趨 勢 的 代 表 性 統 計 講 義 3 6/17/015

26 阿 拉 斯 加 州 在 003 年 每 個 月 的 失 業 率 如 下 表 所 示 : a. 阿 拉 斯 加 州 失 業 率 的 算 術 平 均 數 是 多 少? b. 失 業 率 的 中 位 數 以 及 眾 數 分 別 是 多 少? c. 冬 天 月 份 (1 1 3 月 ) 失 業 率 的 平 均 數 以 及 中 位 數 分 別 是 多 少? 與 整 年 度 有 很 大 的 差 異 嗎? 統 計 講 義 4 6/17/015

27 偏 態 : 偏 態 係 數 (coefficient of skewness) 是 用 來 衡 量 資 料 分 佈 形 狀 的 測 量 數, 指 資 料 次 數 分 配 圖 之 分 布 的 形 狀 是 偏 向 中 心 位 置 的 右 邊, 或 是 偏 向 中 心 位 置 的 左 邊, 或 是 以 中 心 位 置 呈 對 稱 形 狀 由 於 不 帶 單 位, 故 稱 為 偏 態 係 數 以 符 號 表 示 之 偏 態 係 數 的 型 態 1. =0, 表 示 對 稱 分 配. >0, 表 示 右 偏 或 正 偏 分 配, 即 當 高 峰 偏 向 於 變 量 較 小 之 一 方 3. <0, 表 示 左 偏 或 負 偏 分 配, 即 當 高 峰 偏 向 於 變 量 較 大 之 一 方 峰 度 : 峰 度 (kurtosis) 的 意 義 將 許 多 不 同 的 資 料, 描 繪 於 圖 上, 我 們 可 以 發 現 這 些 次 數 分 配 圖, 有 的 高 峰 較 高 狹, 有 的 則 較 低 闊, 此 種 次 數 分 配 高 峰 的 峻 峭 或 低 闊 平 坦 之 情 形 即 稱 之 為 峰 度 而 峰 度 係 數 (Coefficient of kurtosis) 就 是 用 來 衡 量 資 料 分 佈 的 峰 度 高 低 情 形, 用 來 測 度 峰 度 之 量 數 亦 不 帶 單 位, 稱 作 峰 度 係 數 以 符 號 K 表 示 之 峰 度 係 數 的 型 態 1.K > 3, 則 次 數 分 配 之 峰 度 為 高 狹 峰 (Lepto kuntgoisis).k = 0, 則 次 數 分 配 之 峰 度 為 常 態 峰 (Mesokuntosis) 3.K < 3, 則 次 數 分 配 之 峰 度 為 低 闊 峰 (Playkurtosis) 統 計 講 義 5 6/17/015

28 相 對 位 置 的 統 計 數 值 ( 四 分 位 數 十 分 位 數 百 分 位 數 ) 四 分 位 數 /quartiles: 四 分 位 數 是 將 順 序 資 料 分 成 四 等 分 數 值 的 分 位 數, 第 i 個 四 分 位 數, 以 符 號 Q 表 示 四 分 位 數 的 圖 解 i 5% 5% 5% 5% Q 1 Q Q 3 Q i 的 計 算 方 式 :(1) 將 所 n 個 有 資 料 由 小 至 大 排 列 n () 計 算 四 分 位 數 Q i, 所 在 位 置 指 標 m i 4 第 m個 數 值 + 第 m 1 個 數 值 (3) 若 m 整 數, Q i m 整 數, Q i 大 於 m 的 最 小 整 數 所 對 應 的 數 值 例 題 : 十 一 位 學 生 成 績 分 別 為 求 Q 3, Q 1 解 : 練 習 : 全 班 1 位 學 生 的 體 重 分 別 為 38,46,43,51,54,50,40,48,39,4,54, 35 公 斤, 求 Q1 Q Q3 根 據 下 列 資 料 計 算 中 位 數 與 第 一 個 四 分 位 數 和 第 三 個 四 分 位 數 統 計 講 義 6 6/17/015

29 百 分 位 數 (percentile) 通 常 以 第 k 個 百 分 數 稱 之, 並 寫 成 Pk, 代 表 資 料 中 在 此 分 數 下 有 多 少 百 分 比 之 樣 本 是 在 此 分 數 之 下 範 例 : 全 班 1 位 學 生 的 體 重 分 別 為 38,46,43,51,54,50,40,48,39,4,54, 35 公 斤, 求 P0, P40, P60, P 80. 例 題 : 下 列 為 市 售 19 種 冰 品 所 含 熱 量 ( 單 位 : 卡 ): (1) 求 Q 1 P 36 () 試 問 最 高 與 最 低 熱 量 冰 品 之 間 的 熱 量 差 距 為 多 少? 統 計 講 義 7 6/17/015

30 分 散 度 的 統 計 數 值 ( 全 距 四 分 位 距 平 均 絕 對 離 差 變 異 數 標 準 差 ) 全 距 : 資 料 的 分 散 情 形 R 最 大 值 最 小 值 全 距 衡 量 時 的 缺 點 : (1) 單 位 不 同 不 同 比 較 () 單 位 相 同, 且 全 距 相 同 時, 我 們 不 能 下 結 論 說 兩 個 資 料 分 散 程 度 相 同 如 下 圖 : f(x) 全 距 x (3) 全 距 只 考 慮 到 最 大 與 最 小 兩 個 觀 察 值 例 題 : 陽 明 山 仰 德 大 道 經 常 發 生 車 禍, 茲 抽 取 10 個 月 來 每 月 發 生 之 次 數 如 下 : 試 利 用 上 述 資 料 求 全 距 四 分 位 距 (IQR)= 第 3 四 分 位 數 - 第 1 四 分 位 數 =Q 3 - Q 1 例 題 : 陽 明 山 仰 德 大 道 經 常 發 生 車 禍, 茲 抽 取 10 個 月 來 每 月 發 生 之 次 數 如 下 : 試 利 用 上 述 資 料 求 第 1 四 分 位 數 第 3 四 分 位 數 四 分 位 距 統 計 講 義 8 6/17/015

31 變 異 數 /variance 1 1 i N N 式 中 : : 母 體 平 均 數, N : 母 體 個 數 母 體 變 異 數 : ( x ) ( x N ) 樣 本 變 異 數 : 1 1 S ( x ) ( i X x nx ) n 1 n 1 式 中 : X : 樣 本 平 均 數, n : 樣 本 數 標 準 差 母 體 標 準 差 : 樣 本 標 準 差 : S S 例 題 : 陽 明 山 仰 德 大 道 經 常 發 生 車 禍, 茲 抽 取 10 個 月 來 每 月 發 生 之 次 數 如 下 : 試 利 用 上 述 資 料 求 變 異 數 例 題 : 以 下 到 市 區 所 費 之 時 間, 根 據 平 均 數 全 距 變 異 數 標 準 差, 走 哪 一 條 路 好 呢? 縱 貫 路 中 山 路 變 異 數 的 性 質 : (1) 變 異 數 的 值 大 於 或 等 於 0, 若 變 異 數 的 值 等 於 0 時, 其 意 義 是 所 有 觀 察 值 均 相 同 () 具 複 名 數, 不 易 解 釋 ; 但 單 位 相 同 可 做 比 較 (3) 考 慮 每 一 個 觀 察 值 統 計 講 義 9 6/17/015

32 從 多 倫 多 飛 往 香 港 的 加 拿 大 旅 客 年 齡 樣 本 資 料 為 : a. 計 算 全 距 b. 計 算 平 均 差 c. 計 算 標 準 差 習 題 43 至 48, 請 完 成 下 列 的 計 算 :a. 計 算 樣 本 變 異 數 b. 計 算 樣 本 標 準 差 43. 樣 本 數 值 分 別 為 :7 6 和 個 樣 本 數 值 分 別 為 : 承 習 題 33, 安 裝 車 庫 自 動 門 的 Dave 公 司 基 於 安 裝 10 個 門 的 樣 本 資 料, 完 成 安 裝 所 需 的 時 間 分 別 如 下 所 示 ( 以 分 鐘 為 單 位 ): 與 承 習 題 34, 航 太 產 業 中 8 家 公 司 去 年 投 資 報 酬 率 的 樣 本 資 料 結 果 分 別 是 : 與 德 州 休 斯 頓 的 旅 館 協 會 抽 樣 調 查 該 城 市 旅 館 平 常 日 的 住 宿 費 用 以 下 是 10 家 旅 館 的 商 務 客 房 的 樣 本 費 用 : 48. 消 費 者 稽 核 組 織 針 對 10 名 信 用 卡 債 務 超 過 $,000 的 年 輕 人 進 行 調 查, 發 現 他 們 每 個 月 平 均 還 款 超 過 $100 以 下 是 這 些 年 輕 人 上 個 月 的 還 款 金 額 : 統 計 講 義 30 6/17/015

33 箱 型 圖 /Box plot 或 稱 ( 盒 形 圖 盒 鬚 圖 ) 以 最 小 值 最 大 值 第 一 四 分 位 數 第 二 四 分 位 數 ( 中 位 數 ) 第 三 四 分 位 數 五 個 數 值 繪 製 箱 形 圖, 在 圖 上 圈 出 五 個 數 值 箱 形 圖 表 示 如 下 : 在 Q 1 及 Q 3 之 間 的 資 料 以 (box) 表 示, 代 表 有 50% 資 料 在 Q 1 及 Q 3 之 間, 在 箱 外 小 於 Q 1 之 5% 資 料 及 大 於 Q 3 之 5% 資 料 以 虛 線 表 示, 稱 為 鬚 (whisker), 因 此 箱 形 圖 又 稱 鬚 圖 例 : 做 出 以 下 資 料 的 盒 形 圖 5, 15, 18, 10, 8, 1, 16, 10, 6 練 習 : 某 校 接 受 8 位 委 員 的 評 鑑, 所 獲 得 的 成 績 分 別 為 :60,75,79,80,8,8, 83,9, 請 製 作 其 箱 型 圖 統 計 講 義 31 6/17/015

34 7. 請 參 閱 下 列 的 箱 形 圖 : a. 估 計 中 位 數 b. 估 計 第 一 個 與 第 三 個 四 分 位 數 c. 計 算 內 四 分 位 全 距 d. 超 過 哪 一 個 點 之 後 的 數 值 就 是 離 群 值? e. 找 出 是 否 有 離 群 值 以 及 估 計 它 們 的 值 是 多 少 f. 這 個 分 配 是 對 稱 正 偏 或 負 偏 分 配? 根 據 004 年 關 於 汽 車 的 研 究 中 指 出, 平 均 每 加 侖 汽 油 可 以 行 駛 7.5 英 里, 中 位 數 是 6.8 英 里 在 研 究 中 的 最 小 值 是 1.70 英 里, 而 最 大 值 是 50.0 英 里 第 一 個 四 分 位 數 是 英 里, 第 三 個 四 分 位 數 是 英 里 請 建 構 箱 形 圖 與 解 釋 這 個 分 配 它 是 對 稱 分 配 嗎? 統 計 講 義 3 6/17/015

35 柴 比 氏 定 理 與 經 驗 法 則 Z- 分 數 ( 通 常 稱 為 標 準 化 值 /standardized valu): xi x Z i, Z i 代 表 x i 與 x 有 幾 個 標 準 差 的 差 距 s 例 : x 44 s 8 (1) 當 x 1=48, () 當 求 x 40 Z i? 柴 比 氏 定 理 /Chebyshev s Theorm) 不 論 資 料 為 何 種 分 配, 至 少 有 百 分 之 (1 1/ k ) 的 資 料 落 在 距 離 平 均 數 k 個 標 準 差 的 範 圍 內 k 為 大 於 1 的 任 意 數, 即 k 1 f (x ) (1-1/9)%=89% (1-1/4)%=75% x 3S x S x x S x 3S x 例 : 假 設 100 個 學 生 的 統 計 學 成 績 平 均 為 75 分, 標 準 差 為 5 分, 則 根 據 柴 比 氏 定 理, 請 問 成 績 在 x 3s ( 即 60~90 分 ) 的 同 學 有 多 少 位?65~85 分 的 同 學 有 多 少 位? 統 計 講 義 33 6/17/015

36 經 驗 法 則 若 資 料 為 鐘 形 分 配, 則 有 68% 的 觀 察 值 落 在 X S 內, 有 95% 的 觀 察 值 落 在 X S 內, 有 99% 的 觀 察 值 落 在 X 3S 內 ( S 為 標 準 差 ) f (x ) 99.70% 95% 68% x 3S x S x S x x S x S x 3S x 例 : 假 設 80 個 學 生 的 統 計 學 成 績 呈 現 常 態 分 配, 其 平 均 為 75 分, 標 準 差 為 5 分, 請 問 成 績 在 x 3s ( 即 60~90 分 ) 的 同 學 有 多 少 位?65~85 分 的 同 學 有 多 少 位? 70~80 分 的 同 學 有 多 少 位? 例 : 假 設 50 個 學 生 的 統 計 學 成 績 呈 現 常 態 分 配, 其 平 均 為 63 分, 標 準 差 為 10 分, 請 問 成 績 為 83, 則 其 於 班 上 的 表 現 為 何? 統 計 講 義 34 6/17/015

37 50. 樣 本 觀 測 資 料 的 平 均 收 入 是 $500; 標 準 差 為 $40 根 據 柴 比 雪 夫 定 理, 至 少 有 多 少 百 分 比 的 所 得 將 會 落 在 $400 至 $600 範 圍 間? 51. 選 取 1,400 個 貨 櫃 為 樣 本, 其 重 量 呈 常 態 分 配, 請 計 算 有 多 少 百 分 比 的 重 量 落 在 : a. 介 於 X s 與 X s 範 圍 間? b. 介 於 X 與 X s 間? 在 X s 下? 5. 下 頁 圖 描 繪 了 過 去 的 141 天, 溫 蒂 漢 堡 所 賣 出 超 大 杯 飲 料 杯 數 的 分 配 情 形 平 均 數 是 91.9, 標 準 差 是 4.67 依 據 經 驗 法 則, 約 有 68% 效 率 比 例 介 於 哪 兩 個 數 值 間? 約 有 95% 效 率 比 例 介 於 哪 兩 個 數 值 間? 離 群 值 /outliers 有 時 一 個 資 料 集 會 有 一 個 或 更 多 項 目 具 有 非 常 大 或 非 常 小 的 值 此 類 的 極 端 值 稱 為 離 群 值 根 據 柴 比 氏 定 理 ( 任 何 型 態 ) 及 經 驗 法 則 ( 常 態 分 配 ),Z- 分 數 的 方 式 (Z>3,Z<-3) 統 計 講 義 35 6/17/015

38 偏 離 值 (outlier): 診 斷 偏 離 值 (outlier) 的 步 驟 1. 計 算 四 分 位 距 (IQR), 即 IQR = Q 3 -Q 1. 以 Q 1 為 起 點, 計 算 所 謂 的 下 圍 籬 值 (lower fence), 即 Q1 1.5 IQR ; 再 以 Q 3 為 起 點, 計 算 上 圍 籬 值 (upper fence), 即 Q3 1.5 IQR 3. 若 有 觀 測 值 落 在 上 下 圍 籬 值 之 外, 即 稱 為 偏 離 值, 也 就 是 說, 若 觀 測 值 小 於 下 圍 籬 值 或 大 於 上 圍 籬 值 時 稱 之 範 例 : 根 據 調 查 16 位 大 學 生 每 週 看 電 視 的 小 時 數, 結 果 如 下 : 14, 9, 1, 4, 0, 6, 17, 15, 18, 15, 10, 6, 16, 15, 8, 5 (a) 試 計 算 Q 1 Q 3 與 中 位 數 (b) 計 算 IQR (c) 計 算 內 圍 值 與 外 圍 值, 並 據 以 判 斷 此 組 資 料 是 否 存 在 穩 定 界 外 值 與 極 端 界 外 值 練 習 : 假 設 某 一 年 有 1 檔 基 金 的 報 酬 率 (%) 如 下 : 請 繪 製 盒 鬚 圖,, 並 判 斷 是 否 有 偏 離 值? 統 計 講 義 36 6/17/015

39 Excel 說 明 :( 一 般 敘 述 統 計 說 明 ) 假 定 某 一 班 級 50 位 學 生 之 統 計 學 成 績 如 下 : 全 球 近 年 來 地 震 頻 傳, 且 在 005 年 發 生 海 底 大 地 震 引 起 海 嘯 造 成 大 傷 亡, 因 此 許 多 救 護 探 勘 器 即 變 成 了 搶 手 貨 某 生 產 尋 人 探 勘 器 之 廠 商 為 了 在 出 貨 前, 測 試 其 所 生 產 的 機 器 之 使 用 時 間 ( 充 電 一 次 所 能 使 用 之 小 時 數 ), 隨 機 選 取 0 個 樣 本, 其 結 果 如 下 : 說 明 下 列 各 數 值 : (a) 算 術 平 均 數 眾 數 中 位 數 (b) 全 距 及 四 分 位 全 距 (c) 變 異 數 及 變 異 量 數 (d) 說 明 其 偏 態 情 形 與 峰 態 情 形 統 計 講 義 37 6/17/015

40 Ch03 資 料 的 統 計 摘 要 值 ( 習 題 ) 1. 某 服 裝 店 經 理 有 上 個 月 各 種 長 褲 尺 寸 的 銷 售 數 字 如 果 這 位 經 理 想 要 知 道 哪 種 尺 寸 的 褲 子 賣 得 最 好, 他 應 該 用 哪 一 種 集 中 傾 向 測 度?( ). 標 準 差 是 的 平 方 根 3. 請 問 第 一 個 四 分 位 數 是 否 等 於 第 五 十 個 百 分 位 數 4. 過 去 七 個 月 內 每 月 平 均 最 高 溫 為 : 68, 7, 44, 50, 45,60 其 眾 數 為 何? 5. 有 三 塊 寶 石, 其 平 均 重 量 為 0 克, 其 中 兩 塊 寶 石 的 重 量 各 為 15 克 及 17 克 第 三 塊 寶 石 的 重 量 為 何? 6. 有 幾 個 人 一 起 到 賭 場 賭 博 以 下 為 這 些 人 贏 錢 的 數 字 : 10,-30,670,-100, 50,-430,-60( 美 元 ) 這 群 人 贏 錢 的 平 均 數 標 準 差 上 四 分 位 數 和 下 四 分 位 數 四 分 為 差 為 何? 7. 以 下 數 據 為 某 大 學 教 授 的 收 入 ( 以 千 美 元 計 ): 5, 8, 30, 3, 38, 45, 53, 54, 54, 56, 61, 63, 64, 67, 71, 74, 8, 85, 97,99 找 出 這 些 數 據 的 平 均 和 眾 數 中 位 數 變 異 數 標 準 差 為 何? 統 計 講 義 38 6/17/015

41 甲 乙 班 的 10 1 名 學 生 做 會 計 作 業 的 時 間 ( 單 位 : 小 時 / 每 週 ) 如 下 甲 班 : 乙 班 : 分 別 製 作 甲 乙 班 的 水 平 箱 型 圖 利 用 以 下 資 訊 回 答 問 題 : 有 一 項 針 對 某 種 品 牌 電 池 使 用 時 數 的 調 查 請 根 據 以 下 數 據 作 答 : 00, 04, 197, 191, 03, 198, 16, 10, 0, 04, 198, 03, 181, 05, 194, 194 (1). 找 出 該 種 電 池 的 平 均 使 用 時 數 及 中 位 數 及 眾 數 (). 找 出 該 種 電 池 使 用 時 數 的 標 準 差 (3). 若 將 最 大 值 及 最 小 值 移 除, 以 去 掉 極 端 值, 則 平 均 電 池 使 用 時 數 為 何? (4) 繪 製 這 份 資 料 之 箱 型 圖 統 計 講 義 39 6/17/015

42 習 題 31 至 36 題 中, 請 計 算 : (a) 全 距 (b) 算 術 平 均 數 (c) 平 均 差, 以 及 (d) 解 釋 全 距 與 平 均 差 31. 在 一 家 電 子 商 品 專 賣 店 中 的 5 位 店 員, 上 個 週 末 他 們 分 別 在 店 中 賣 出 HDTV 數 量 是 : 台 3. Western State 大 學 統 計 學 系 提 供 了 8 個 基 礎 統 計 學 的 選 修 課 程 這 些 課 程 的 報 名 人 數 分 別 是 : Dave 是 一 家 專 門 安 裝 車 庫 自 動 門 的 公 司 下 列 資 料 為 10 個 安 裝 自 動 門 所 花 費 時 間 的 樣 本 ( 以 分 鐘 為 單 位 ): 抽 樣 調 查 航 空 產 業 中 8 家 公 司 去 年 的 投 資 報 酬 率, 分 別 如 下 所 示 ( 以 百 分 比 表 示 ): 位 專 家 對 新 口 味 的 披 薩 進 行 評 比, 分 數 從 1 分 到 50 分 得 分 如 下 所 示 : 和 抽 取 Acme 地 毯 清 潔 公 司 8 個 員 工 的 個 人 檔 案 為 樣 本, 在 6 個 月 期 間, 請 病 假 的 天 數 分 別 是 : 和 37. 一 母 體 有 5 個 數 值 : a. 計 算 母 體 平 均 數 b. 計 算 母 體 變 異 數 38. 一 母 體 有 6 個 數 值 : a. 計 算 母 體 平 均 數 b. 計 算 母 體 變 異 數 Plywood 公 司 過 去 5 年 內 的 股 東 投 資 報 酬 率 分 別 是 ( 以 百 分 比 計 ): 與 11.6 假 設 上 述 資 料 為 母 體 資 料 a. 計 算 全 距 算 術 平 均 數 變 異 數 與 標 準 差 b. 比 較 Plywood 公 司 股 東 投 資 報 酬 率 與 習 題 40 的 Dennis 公 司 股 東 投 資 報 酬 率 請 參 閱 下 列 的 箱 形 圖 : 統 計 講 義 40 6/17/015

43 a. 估 計 中 位 數 b. 估 計 第 一 個 與 第 三 個 四 分 位 數 c. 計 算 內 四 分 位 全 距 d. 超 過 哪 一 個 點 之 後 的 數 值 就 是 離 群 值? e. 找 出 是 否 有 離 群 值 以 及 估 計 它 們 的 值 是 多 少 f. 這 個 分 配 是 對 稱 正 偏 或 負 偏 分 配? 1. Linda Lahey 是 一 家 房 屋 貸 款 公 司 的 經 理, 下 表 是 上 星 期 她 貸 款 給 0 位 客 戶 的 金 額 以 下 資 料 從 小 排 到 大, 以 千 美 元 為 單 位 : a. 請 找 出 中 位 數 第 一 個 與 第 三 個 四 分 位 數 b. 請 找 出 第 6 個 與 第 83 個 百 分 位 數 c. 請 繪 製 上 述 資 料 的 箱 形 圖 統 計 講 義 41 6/17/015

44 統 計 講 義 4 6/17/015

45 Ch04 機 率 論 一 專 有 名 詞 隨 機 實 驗 的 意 義 隨 機 實 驗 是 一 種 過 程 (process), 是 一 種 不 能 確 定 預 知 會 發 生 何 種 結 果 的 實 驗 方 式 在 實 驗 前 已 知 所 有 可 能 出 現 的 結 果, 而 實 驗 後 的 結 果 為 所 有 可 能 的 結 果 之 一, 但 實 驗 前 並 未 能 正 確 的 肯 定 的 預 知 它 是 何 種 結 果 隨 機 實 驗 可 重 複 進 行, 而 經 過 長 期 重 複 實 驗, 出 現 的 結 果 會 遵 循 某 一 些 統 計 規 則 樣 本 空 間 (S) 一 個 隨 機 實 驗 中, 所 有 可 能 出 現 的 集 合 稱 為 樣 本 空 間 通 常 以 英 文 大 寫 字 母 S 表 示 之 這 些 集 合 ( 結 果 ) 必 需 具 備 及, 即 表 示 隨 機 實 驗 的 所 有 結 果 完 全 被 列 出 來 且 不 能 有 兩 個 相 同 的 結 果 樣 本 點 (sample point): E i 樣 本 空 間 中 每 一 個 單 元 元 素 稱 為 樣 本 點, 以 符 號 E 表 示 之 例 : 隨 機 實 驗 出 象 與 樣 本 空 間 隨 機 實 驗 出 象 樣 本 空 間 產 品 品 質 檢 驗 有 限 無 限 一 場 足 球 賽 丟 一 個 骰 子 1 次 新 生 小 孩 的 性 別 參 加 研 究 所 考 試 股 票 一 週 的 變 化 接 一 通 電 話 的 時 間 事 件 (event) 預 探 討 事 件 中 樣 本 點 的 集 合, 即 樣 本 空 間 的 部 份 集 合 稱 為 事 件, 以 符 號 E 表 示 之 ex: 擲 骰 子 出 現 奇 數 的 事 件, 可 表 示 為 事 件 機 率 (even probability):p(e): 各 樣 本 點 出 現 機 率 的 總 合 機 率 (probability): 長 時 間 在 相 同 情 況 下, 事 件 發 生 之 比 例 簡 單 事 件 事 件 只 包 含 一 個 基 本 出 象 者 稱 為 簡 單 事 件 複 合 事 件 事 件 包 含 二 個 或 二 個 以 上 基 本 出 象 者 稱 為 複 合 事 件 i 統 計 講 義 43 6/17/015

46 二 機 率 測 度 的 方 法 古 典 方 法 (classical approach) : 每 一 個 樣 本 點 出 現 的 機 率 皆 相 等 1 P ( e) n : 隨 機 實 驗 有 n 個 結 果 n ex: 擲 骰 子 每 一 點 出 現 機 率 為 ex: 投 一 硬 幣, 則 出 現 正 面 或 反 面 的 機 率 為 相 對 次 數 法 (relative frequency approach) : 重 覆 實 驗 樣 本 所 佔 的 比 率 n( E) 事 件 實 際 發 生 之 次 數 p( E) n(s) 隨 機 實 驗 的 總 次 數 ex: 有 1000 位 顧 客 進 入 一 商 店, 其 中 有 600 名 購 物, 則 任 一 位 顧 客 購 物 得 機 率 為 ps: 當 n 越 大, 則 估 計 的 機 率 越 準 主 觀 法 (subjective approach): 根 據 個 人 經 驗 主 觀 認 定 P ( E) [ 對 事 件 E發 生 的 信 心 ] 例 題 : 一 般 皆 認 為 六 月 是 最 適 宜 結 婚 的 月 份 依 據 統 計 資 料,T 市 每 年 約 有 3,500 對 新 人 結 婚, 其 中 大 約 有,00 對 在 六 月 完 婚 試 分 別 依 下 列 各 機 率 理 論 計 算 出 一 對 新 人 在 六 月 結 婚 的 機 率 相 對 次 數 機 率 理 論 主 觀 機 率 理 論 古 典 方 法 理 論 三 機 率 的 性 質 及 基 本 運 算 機 率 的 性 質 0 P Ei 1. 1 n. P Ei i 1 3. s 1 1 P E P 非 E 1 P s: 表 示 樣 本 空 間 ex: 有 一 決 策 者 主 觀 地 指 派 機 率 值 給 某 一 實 驗 的 四 種 可 能 結 果 : P E ) 0.1 P( E ) 0.15 P( E ) 0.4 P( E ) 0. 5 這 是 否 符 合 一 個 機 率 ( 性 質? 統 計 講 義 44 6/17/015

47 機 率 的 基 本 關 係 1. 餘 集 (complement): C A P(A)+P(A C )=1. 交 集 (intersection): A B A 和 B 共 同 出 現 的 集 合 兩 事 件 的 交 集 P( A B) 3. 聯 集 (union): A B A 或 B 兩 者 所 成 的 集 合 兩 事 件 的 聯 集 P( A B) P( A) P( B) P( A B) 加 法 法 則 4. 互 斥 事 件 (mutually exclusive events): 表 二 事 件 沒 有 共 同 的 樣 本 點 P ( A B) 0 P( A B) P( A) P( B) E, E,, E 推 廣 : P( E1 E En) P( E1) P( E) P( En), 1 n 互 斥, 表 示 若 有 n 個 互 斥 事 件 E 1, E,, En, 則 E 1 發 生 或 E 發 生 或 E n 發 生 的 機 率 為 其 個 別 機 率 的 和 例 題 : 假 設 一 樣 本 空 間 S E, E, E, E, E, E E , 7, 其 中 P ( E1 ) 0.05 P( E) 0. P( E3) 0. P( E4) 0.5 P( E5) 0.15 P E ) 0.1 P( E ) 0.05 ( 6 7 E 1, E 4, E 6 令 A B E, E E C E, E, E E 4, 求 P(A),P(B),P(C)? 求 A B及 P( A B )? 求 A B及 P( A B )? C C 求 B 及 P( B )? 問 事 件 A 與 C 是 否 為 互 斥 事 件? 7 3 5, 7 例 題 : 假 設 一 樣 本 空 間 S E, E, E E 1 3, 4, 其 中 P ( E1 ) 0.15 P( E) 0. P( E3) 0. P( E4) 0.35 令 A E 1, E 4 B E, E 3, E 4 求 P(A),P(B)? 求 A C B 及 P( A C B )? C C 求 A B 及 P( A B )? C C 求 B 及 P( B )? 問 事 件 A 與 B 是 否 為 互 斥 事 件? 統 計 講 義 45 6/17/015

48 四 條 件 機 率 (conditional probability) 若 A B 為 樣 本 空 間 中 的 兩 個 事 件, 在 已 知 事 件 B 發 生 的 情 況 下,A 事 件 再 發 生 的 機 率, 稱 為 A 在 B 情 況 下 的 條 件 機 率, 記 為 P(A B), 公 式 為 P( A B) P ( A B) P( A, 已 知 B的 前 提 下 ) 其 中 P( B) 0 P( B) P( A B) 同 理 :P(B A)=,P(A) 0 P( A) 當 A B 為 獨 立 事 件, P(A B) = P(A) 條 件 機 率 亦 滿 足 機 率 性 質 : example 1. P A B 0 1 c. A B +P A B = 1 P(B A) = P(B) 例 題 :144 位 員 工 的 性 別 與 年 齡 層 的 交 叉 列 聯 表 中, 可 以 問 的 條 件 機 率 (1) 女 性 員 工 中, 青 年 的 比 例 佔 多 少? () 青 年 員 工 中, 女 性 的 比 例 佔 多 少? (3) 中 年 員 工 中, 男 性 的 比 例 佔 多 少? 性 別 年 齡 層 青 年 壯 年 中 年 總 數 男 女 總 數 例 題 : 設 台 大 男 生 參 加 各 種 運 動 的 比 例 如 下 : 羽 球 桌 球 網 球 羽 球 及 桌 球 羽 球 及 網 球 桌 球 及 網 球 三 者 皆 有 30% 0% 0% 5% 10% 5% % 今 隨 意 抽 取 一 名 男 生, 請 計 算 以 下 機 率 : 至 少 參 加 一 種 運 動 僅 為 羽 球 員 該 名 男 生 已 知 其 為 桌 球 員, 而 他 三 項 都 參 加 的 機 率 為 何? 統 計 講 義 46 6/17/015

49 五 事 件 的 關 係 互 斥 事 件 (mutually exclusive events): 表 二 事 件 沒 有 共 同 的 樣 本 點, 兩 個 事 件 A, B, 如 果 A B=, 稱 A 與 B 為 互 斥 事 件 P ( A B) 0 P( A B) P( A) P( B) E, E,, E 推 廣 : P( E1 E En) P( E1) P( E) P( En), 1 n 互 斥, 表 示 若 有 n 個 互 斥 事 件 E 1, E,, En, 則 E 1 發 生 或 E 發 生 或 E n 發 生 的 機 率 為 其 個 別 機 率 的 和 例 題 :A B 為 互 斥 兩 事 件, 已 知 P( A) 0. 3, P( B) 0. 6, 請 計 算 : P( A B) P( A B) P( A B) ( A B 是 A B 的 補 集 合 ) A B 是 否 分 割 樣 本 空 間? 獨 立 事 件 ---- 指 一 事 件 發 生 不 影 響 其 他 事 件 發 生 的 機 率 兩 個 事 件 A, B, 如 果 P(A B ) =P(A)P(B), 即 兩 個 事 件 的 發 生. 互 不 相 關, 互 不 影 響, 稱 為 獨 立 事 件 當 兩 個 事 件 不 是 獨 立 事 件, 就 稱 為 相 依 事 件 性 質 : 二 事 件 獨 立 合 乎 於 下 列 任 一 條 件 : (1) P(A B)=P(A) () P(B C)=P(B) (3) P(A B)= P(A) P(B) 三 事 件 :A,B,C 互 為 獨 立 (1) P(A B)= P(A) P(B) () P(B C)= P(B) P(C) (3) P(C A)= P(C) P(A) A B (4) P(A B C)= P(A) P(B) P(C) 相 依 事 件 : 指 一 件 事 件 發 生 會 影 響 其 他 事 件 發 生 的 機 率 統 計 講 義 47 6/17/015

50 互 斥 事 件 與 獨 立 事 件 的 比 較 互 斥 或 獨 立 對 象 意 義 機 率 公 式 A B 為 互 斥 事 件 事 件 A,B 的 內 容 事 件 A,B 沒 有 共 同 內 容 P(A B ) = 0 A,B 為 獨 立 事 事 件 A,B 的 機 事 件 A,B 的 發 P(A B) = 件 率 生 互 不 影 響, 兩 P(A) *P(B) 事 件 可 以 有 共 同 的 內 容 例 題 : 手 機 公 司 在 推 出 甲 乙 兩 款 新 型 手 機 時, 先 對 顧 客 作 預 先 的 促 銷, 以 決 定 是 否 大 量 生 產 購 買 性 別 手 機 款 式 甲 乙 男 女 A 表 示 購 買 乙 款 手 機 之 事 件, B 表 示 購 買 者 為 男 性 之 事 件,C 表 示 購 買 者 為 女 性 之 事 件, 則 (1)A 與 B 是 否 為 獨 立 事 件? ()A 與 C 是 否 為 互 斥 事 件? 例 題 : 若 A B 是 獨 立 事 件, P ( A) 0. 6, P ( B) 0. 3, 試 求 : P ( A B) 與 P ( A B) P( A B) 與 P( A B) P( A B) 與 P( A B) 統 計 講 義 48 6/17/015

51 Ch04 練 習 在 某 次 調 查 中 顯 示, 已 婚 男 性 看 電 視 的 機 率 為 0.4, 已 婚 女 性 看 電 視 的 機 率 為 0.5, 且 當 已 知 已 婚 女 性 看 電 視 後, 其 先 生 亦 看 電 視 的 機 率 為 0.6 試 求 : (a) 已 婚 夫 婦 皆 看 電 視 的 機 率 (b) 已 知 已 婚 男 性 先 看 電 視 後, 其 太 太 亦 陪 看 電 視 的 機 率 (c) 夫 婦 兩 人 看 電 視 的 行 為 彼 此 獨 立 嗎? 某 大 學 經 濟 系 大 一 新 生 有 100 人, 期 中 考 微 積 分, 經 濟 學 兩 科, 微 積 分 及 格 50 人, 經 濟 學 及 格 70 人, 兩 科 均 及 格 3 人, 求 兩 科 均 不 及 格 的 人 數 袋 內 各 裝 兩 種 籤 :7 隻 紅 籤,8 隻 藍 籤, 今 連 續 抽 三 次 ( 抽 後 放 回 ), 問 (1) 三 個 籤 為 紅 色 的 機 率 為 何? () 這 三 次 的 事 件 是 屬 於 互 斥 事 件? 或 獨 立 事 件? 統 計 講 義 49 6/17/015

52 統 計 講 義 50 6/17/015

53 Ch05 隨 機 變 數 隨 機 變 數 的 意 義 與 種 類 1 隨 機 變 數 的 意 義 : 將 樣 本 空 間 的 可 能 結 果 轉 成 數 值 表 示 函 數 x ex: 投 銅 板 二 次, 令 x: 表 出 現 正 面 的 次 數, 則 隨 機 變 數 0,1, 樣 本 空 間 S 隨 機 變 數 X 機 率 f (x ) 正 正 正 反 反 正 反 反 1 0 1/4 /4 1/4 ex: 實 驗 室 技 術 人 員 進 行 一 項 血 液 分 析, 該 分 析 必 須 分 兩 部 分 執 行, 第 一 部 分 需 要 1 或 或 3 個 步 驟, 第 二 部 分 需 要 1 或 或 3 或 4 個 步 驟 則 : a. 列 出 此 一 分 析 的 各 種 實 驗 結 果 b. 令 一 隨 機 變 數 代 表 完 成 血 液 分 析 的 總 步 驟, 則 每 一 實 驗 結 果 的 隨 機 變 數 可 能 值 為 何? Ans: 統 計 講 義 51 6/17/015

54 一 元 隨 機 變 數 的 種 類 : 離 散 隨 機 變 數 二 元 多 元 連 續 隨 機 變 數 一 元 二 元 多 元 離 散 隨 機 變 數 : 隨 機 變 數 的 變 量 其 個 數 是 有 限 的, 或 個 數 是 無 限 但 可 數 的 稱 為 間 斷 或 不 連 續 隨 機 變 數 隨 機 實 驗 隨 機 變 數 隨 機 變 數 X 可 能 的 值 一 枚 銅 板 擲 兩 次 出 現 正 面 的 次 數 抽 取 10 個 產 品 檢 查 品 質 不 良 品 的 個 數 買 車 的 顧 客 的 性 別 性 別 餐 廳 一 天 的 顧 客 顧 客 人 數 連 續 隨 機 變 數 : 隨 機 變 數 的 變 量 其 個 數 為 無 限 且 不 可 數 的 稱 為 連 續 隨 機 變 數 隨 機 實 驗 隨 機 變 數 隨 機 變 數 X 可 能 的 值 觀 察 銀 行 客 戶 到 達 時 間 間 隔 時 間 抽 取 500CC 瓶 裝 牛 奶 牛 奶 容 量 CC 統 計 講 義 5 6/17/015

55 離 散 隨 機 變 數 的 機 率 函 數 單 一 間 斷 隨 機 變 數 的 機 率 分 配 是 表 示, 一 元 間 斷 隨 機 變 數 的 各 個 變 量 的 發 生 機 率 ( 或 相 對 次 數 ) 的 分 布 情 形, 包 括 機 率 函 數 期 望 值 變 異 數 與 標 準 差 等 離 散 隨 機 變 數 的 機 率 分 配 (p.d.f) 將 離 散 隨 機 變 數 X 的 所 有 可 能 值 x 1. x... xn 以 及 這 些 值 對 照 的 唯 一 機 率 值 P X x ) 以 函 數 或 表 格 形 式 表 示, 稱 為 離 散 機 率 分 配 ( i x 1 xi. x n 和 x P( X x) P X x ) P X x ) P X x ) 1 ( 1 ( i ( n P X x ) = f x ) 表 示 隨 機 變 數 X 的 值 為 x 時 的 機 率, 同 時 所 有 的 機 率 總 和 必 ( i 須 等 於 1 ( i 例 題 : 電 腦 零 件 商 店 出 售 的 一 罐 5 片 裝 某 品 牌 的 磁 片, 每 一 包 的 故 障 數 是 一 種 離 散 (1) a =? 隨 機 變 數, 其 機 率 分 配 如 下 表 () 故 障 數 至 少 大 於 1 的 機 率 為 何? x P(X = x) a 0.1 (3) 商 家 稱 只 要 故 障 數 大 於 1 的 機 率 超 過 40%, 就 要 停 售 該 品 牌 的 磁 片, 請 問 分 析 後 的 結 論 如 何? p.d.f 之 定 義 : 設 離 散 隨 機 變 數 X, 其 變 量 為 x 1. x... xn, 該 機 率 值 表 為 f X x ) 或 f x ) 並 滿 足 ( i ( i (1) 0 f x ) 1 () Σ n i 1 ( i f ( x i ) =1 則 f( x ) 為 X 之 機 率 分 配 或 稱 機 率 密 集 函 數 (probability mass function) 註 : f ( x) P( x) Ex. 判 斷 此 函 數 是 否 為 p. d. f 統 計 講 義 53 6/17/015

56 x 1 (1) f ( x) 6 x 1,,3 () 解 : x 1 f ( x) x 1,0,1 5 例 題 : 生 產 設 備 的 轉 換 需 費 時 1,,3 或 4 小 時, 視 轉 換 生 產 的 產 品 而 定 令 隨 機 變 數 x 表 轉 換 時 間, 下 列 的 機 率 函 數 可 用 來 計 算 機 率 值 : x f ( x) x 1,,3,4 10 a. 證 明 此 機 率 函 數 滿 足 式 機 率 性 質 b. 轉 換 時 間 為 小 時 的 機 率 為 何? c. 轉 換 時 間 超 過 小 時 的 機 率 為 何? d. 繪 製 機 率 分 配 圖 解 : 例 題 : 若 此 函 數 為 p. d. f, c x f( x) 0, x,3, 4,5 x elsewhere 求 c=? 例 題 : 若 此 函 數 為 p. d. f, c x, x 1,,3 c f ( x) x, x 4,5,6 0, x elsewhere 求 (1) c? () f(3) 統 計 講 義 54 6/17/015

57 擲 3 個 銅 板, 每 面 出 現 機 率 均 等,X 表 出 現 正 面 的 次 數, (1) 求 X 的 機 率 密 度 函 數 () 出 現 個 正 面 的 機 率? 離 散 機 率 值 的 幾 種 常 見 類 型 P( X x) 隨 機 變 數 X 等 於 x 的 機 率 值 P( X x) 隨 機 變 數 X 小 於 等 於 x 的 機 率 值 P( X x) P( X 0)... P( X x) P( X x) 隨 機 變 數 X 小 於 x 的 機 率 值 P ( X x) P( X 0)... P( X x 1) P( X x) 隨 機 變 數 X 大 於 ( 不 包 含 )x 之 機 率 值 P( X x) 1 P( X x) 1 P( X 0)... P( X x) P( a X b) 隨 機 變 數 X 介 於 [a, b] 間 之 機 率 值 P( a X b) P( X P( X b) P( X a) a)... P( X b) c.d.f 之 定 義 : 假 設 X 為 一 離 散 隨 機 變 數, 則 X 的 累 積 機 率 函 數 可 寫 成 F X x ) F( x ) P( X x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) ( i i i 1 i 表 示 由 隨 機 變 數 x 的 最 小 值 開 始 一 直 累 加 到 x i 的 機 率 值 c.d.f 之 特 性 : (1) 對 任 何 x, 0 F ( x) 1 () 當 x1 x, 則 F( x1 ) F( x) (3) f x ) F( x ) F( x ) ( i i i 1 x Ex. f ( x) x 1,3,5, 7 為 p.d.f 求 (1)c.d.f =? () 並 繪 圖 (3) f ( 3)? 16 解 : 統 計 講 義 55 6/17/015

58 ( x 3)( x ) F( x) x 3,4,5,6 求 f(3)? f(5)? 36 x Ex. f ( x) x 1,,3,4 為 p.d.f 求 (1)c.d.f =? () 並 繪 圖 (3) f ( 3)? 30 解 : 間 斷 隨 機 變 數 X 之 累 積 機 率 分 配 為 F(x) = x 0 0 x 1 1 x x (1) 描 繪 F (x) () 由 F (x) 計 算 出 該 隨 機 變 數 的 機 率 函 數 (3) 計 算 P ( 1 X ) (4) 計 算 P ( 1 X ) 統 計 講 義 56 6/17/015

59 期 望 值 變 異 數 標 準 差 離 散 隨 機 變 數 的 平 均 數 / 期 望 值 (Expected Value) 若 離 散 隨 機 變 數 具 有 機 率 分 配 如 下 : x x 1. x i. x n P( X x) P X x ). P X x ) P X x ) ( 1 則 X 的 平 均 數 表 示 為 E (X ), 其 計 算 公 式 為 ( i E (X ) = ( x 1 P( X x1 ) ) + + ( x i P( X xi ) ) + + ( n ( n x P X x ) ) ( n 長 時 間 重 複 實 驗 多 次 之 平 均 值, 即 是 母 體 平 均 數 μ,μ 又 稱 為 期 望 值 間 斷 隨 機 變 數 x 之 期 望 值 E( X ) x n i 1 f ( i x i 式 中 :X 為 間 斷 隨 機 變 數, f x ) 為 機 率 函 數 ( i ) 離 散 隨 機 變 數 的 變 異 數 若 離 散 隨 機 變 數 具 有 機 率 分 配 如 下 : x x 1. x i. x n P( X x) P X x ). P X x ) P X x ) ( 1 則 X 的 變 異 數 表 示 為 V (X ), 其 計 算 公 式 為 V( X ) ( x E( X )) * P( X x )... ( x ( i E( X )) * P( X 1 1 n n 變 異 數 (Variance): 表 示 資 料 的 分 散 程 度, 間 斷 隨 機 變 數 x 之 變 異 數 n x E( X ) V ( X ) f ( ) 或 V ( X ) ( x ) f ( x ) 3 標 準 差 : i 1 i x i 間 斷 隨 機 變 數 x 之 標 準 差 n i 1 i i ( n x ) n ( xi i 1 ). f ( x ) i 其 運 算 : 線 性 函 數 的 期 望 值 設 Y a bx, 則 Y 的 期 望 值 ( 平 均 數 ) 為 : E ( Y) = E( a + bx) = a + be( X) 推 廣 : E ( g( x)) g( x) f ( x) 線 性 函 數 的 變 異 數 設 Y a bx, 則 Y 的 變 異 數 為 : V ( Y) = V( a + bx) = V( bx) = b V( X ) ex: 信 用 卡 發 卡 銀 行, 根 據 經 驗 發 現, 持 卡 人 收 到 帳 單 後 到 付 款 時 間 及 發 生 機 率 如 下 : 統 計 講 義 57 6/17/015

60 時 間 機 率 問 :(1)F()=?( 兩 週 內 繳 款 之 機 率 ) ()P(3 X 5)=? (3)E(x)=? (4)Var(x)=? σ=? ( 標 準 差 ) 某 十 字 路 口 發 生 交 通 事 故 的 機 率 分 配 表 如 下 表 ( 離 散 隨 機 變 數 X 表 示 每 天 發 生 的 交 通 事 故 次 數 ) x P(X=x) (1) 每 天 發 生 的 交 通 事 故 的 平 均 次 數? 標 準 差? () 交 通 事 故 次 數 高 於 平 均 數 的 機 率? (3) 交 通 事 故 次 數 低 於 的 機 率? 例 題 : 有 一 機 率 函 數 為 : 令 Y X X 1, 求 : x f (x) 1 Y 之 機 率 函 數 E( Y) V ( Y) 統 計 講 義 58 6/17/015

61 連 續 隨 機 變 數 之 函 數 p.d.f 之 定 義 : 設 連 續 隨 機 變 數 x, 其 變 量 為 a X b, 該 機 率 值 表 為 f X x ) 或 f x ) 並 滿 足 ( i ( i (1) 0 f ( x i ) 1 b () f (x)dx 1, a x b a (3) P (x A) f (x)dx A 則 f (x) 為 X 的 機 率 密 度 函 數 (probability density function), 簡 稱 p.d.f; 它 是 一 條 平 滑 的 曲 線 四 種 常 見 的 機 率 密 度 函 數 曲 線 共 同 處 : 每 一 平 滑 曲 線 下,x 軸 之 上 所 涵 蓋 的 面 積 必 定 等 於 1 * 連 續 機 率 分 配 函 數 f(x) 為 某 一 數 值 而 非 機 率 值, 其 機 率 值 為 P (x A) 連 續 r.v 之 c.d.f A f (x)dx F ( X x) P( X x) f ( x) dx a 特 性 : P( a x b) F( b) F( a) x 連 續 r.v 之 期 望 值 變 異 數 標 準 差 b E( X ) xf ( x) dx ( a X b) a b X b a b x f x) dx x f ( x) dx a a V ( X ) x f ( x) dx ( E( x ) E( x ) V( X) 統 計 講 義 59 6/17/015

62 例 題 : 已 知 X 為 連 續 隨 機 變 數, 其 機 率 密 度 函 數 為 : cx 0 x 1 f ( x) 0 elsewhere 試 求 : C 值 F( X ) E( X ) V ( X ) 例 題 : 設 一 隨 機 變 數 X 代 表 林 教 授 等 待 火 車 到 站 的 時 間, 其 機 率 密 度 函 數 為 1 f ( x) 0 x 問 :(1) 是 否 滿 足 機 率 密 度 函 數 的 條 件 () 林 教 授 等 待 5 分 鐘 的 機 率 為 何? (3) 林 教 授 等 待 超 過 3 分 鐘 的 機 率 為 何? (4) 林 教 授 等 待 火 車 的 平 均 時 間 是 多 少 分 鐘? (5) 林 教 授 等 待 時 間 的 便 異 數 與 標 準 差 為 何? 統 計 講 義 60 6/17/015

63 Ch05 練 習 題 下 列 各 函 數 是 否 符 合 機 率 公 理 : x 1 f ( x) x 1,,3,4 x 1 f ( x) x 1,0, f x ( x 1) ( ) 16 x, 1, 0, 1, f x x ( ) x 1, 0, 1 一 個 家 庭 的 小 孩 個 數 X 為 一 離 散 隨 機 變 數, 下 表 為 某 城 市 的 家 庭 小 孩 個 數 之 機 率 分 配 表 x P(X x) k (1) 沒 有 小 孩 的 家 庭 比 例? () 至 少 有 一 個 ( 含 ) 小 孩 的 家 庭 比 例? (3) 該 城 市 的 每 一 家 庭 平 均 小 孩 數? (4) 標 準 差? 救 國 團 的 自 強 活 動 舉 行 射 擊 比 賽, 其 得 點 ( 離 散 隨 機 變 數 X ) 的 機 率 分 配 如 下 : (1) b? x P(X= x) b () 得 點 的 平 均 數? 標 準 差? (3) 得 點 低 於 平 均 數 的 比 例? (4) 得 點 在 間 的 機 率? 統 計 講 義 61 6/17/015

64 設 隨 機 變 數 X, 有 下 列 之 機 率 分 配 : x f (x) P 4P 1P P P 試 求 : P 值 E( X ), E( X ), E( X) E( X ) V ( X ) 某 心 理 學 家 估 計 要 取 得 新 病 人 信 任 需 要 1, 或 3 小 時 令 隨 機 變 數 χ 表 示 獲 得 病 人 信 任 所 需 時 間, 其 機 率 分 配 函 數 為 : f ( x ) = x /6, x = 1,,3 1. 此 機 率 函 數 是 否 有 效? 請 解 釋. 需 小 時 以 取 得 病 人 信 任 的 機 率 為 何? 3. 需 至 少 小 時 以 取 得 病 人 信 任 的 機 率 為 何? 統 計 講 義 6 6/17/015

65 下 列 各 函 數 是 否 為 機 率 密 度 函 數, 請 說 明 理 由 x 0. 5 f ( x) 0 x f ( x) 0 1 x 1 其 他 其 他 0 x 1 連 續 隨 機 變 數 X 的 機 率 密 度 函 數 f(x) 為 f( x) x kx 1, 0 x 0, 其 他 (1)k=? () P(0 x 1)? 若 連 續 隨 機 變 數 X 的 機 率 密 度 函 數 如 下 : 1 f ( x), 5 < x <0 15 (1) 畫 出 此 機 率 密 度 函 數 圖 形 () 驗 算 此 機 率 密 度 函 數 圖 形 下 的 總 面 積 1 (3) 計 算 P( 8 < X < 1) (4) 計 算 P( X = 15) (5) 計 算 期 望 值 (6) 計 算 變 異 數 統 計 講 義 63 6/17/015

66 統 計 講 義 64 6/17/015

67 Ch06 離 散 隨 機 變 數 之 機 率 分 配 機 率 分 配 名 稱 機 率 函 數 平 均 數 變 異 數 伯 努 力 分 配 x ~ Ber( p ) 二 項 分 配 x ~ Bin( n, p ) 超 幾 何 分 配 x ~ Hy( N, n; r, x ) f ( x) f ( x) C x 1 x p q 0,1 n x p x q x 0,1,,,n C f ( x) n x K N K x Cn x N Cn x 0,1,,,n x k n x N k x p pq np K n N x 波 瓦 松 分 配 e f ( x) x 0,1,,, x ~ Poi( ) x! n K N npq N K N n N N 1 統 計 講 義 65 6/17/015

68 伯 努 力 試 驗 當 一 次 隨 機 試 驗 的 結 果 是 只 有 二 種 可 能 的 結 果, 例 如, 男 生 或 女 生 及 格 或 不 及 格 良 品 或 不 良 品 就 業 或 失 業.. 等, 我 們 稱 這 種 試 驗 為 伯 努 力 試 驗 (Bernoulli trial) 其 結 果, 通 常 以 成 功 (success) 及 失 敗 (failure) 表 示 之, 並 以 X=0( 表 示 失 敗 ) X=1( 表 示 成 功 ) 作 為 伯 努 力 試 驗 的 隨 機 變 數 值 ( 或 簡 稱 為 伯 努 力 隨 機 變 數 ) 你 所 關 心 的 結 果 其 他 結 果 成 功 1 失 敗 0 樣 本 空 間 伯 努 力 試 驗 的 二 分 結 果 伯 努 力 隨 機 變 數 例 題 : 擲 一 個 骰 子, 如 果 你 關 心 的 點 數 為 {5,6}, 則 這 個 隨 機 試 驗 的 樣 本 空 間 與 隨 機 變 數 的 關 係 為 何? 伯 努 力 分 配 (Bernoulli distribution):x~ Bernoulli(P) x 1 x 其 機 率 函 數 為 f ( x) p q x 0,1 或 以 表 呈 現 為 X 0 1 f(x) 1-p p 期 望 值 與 異 變 數 為 E( x) V( x) p p q 例 題 : 從 某 生 產 線 上 抽 取 一 樣 產 品, 若 已 知 該 生 產 線 的 不 良 機 率 為 1%, 則 抽 取 一 件 產 品, 其 不 良 品 件 數 的 機 率 分 配 為 何? 期 望 值 與 異 變 數 為 何? 例 題 : 根 據 過 去 的 經 驗, 店 經 理 估 計 有 0.3 的 機 率 顧 客 會 購 買 服 飾 那 麼 請 問 有 1 個 顧 客 走 進 馬 丁 服 飾 店, 其 會 購 買 的 機 率 為 何? 統 計 講 義 66 6/17/015

69 二 項 機 率 分 配 (Binomial probability distribution) 特 性 : 在 試 驗 中 滿 足 以 下 特 性 者, 稱 二 項 實 驗 (Binomial experiment) (i) 為 n 個 相 同 的 試 驗 (ii) 每 次 試 驗 的 結 果 只 有 二 種 : 成 功 和 失 敗 (iii) 每 次 試 驗 成 功 和 失 敗 機 率 維 持 不 變 (iv) 每 次 試 驗 皆 為 獨 立 意 義 : 二 項 分 配 X ~ Bin ( n, p) n x n x 設 X 為 一 間 斷 隨 機 變 數, 若 f (x) 為 : f ( x) C p q x 0,1,, n 則 f (x) 為 一 二 項 機 率 分 配 x, 式 中 : C n x n! x!( n x)!,n: 試 行 次 數,x: 成 功 的 次 數,p: 成 功 的 機 率, q: 失 敗 的 機 率 1 p 說 明 二 項 機 率 分 配 的 來 源 假 設 有 3 個 顧 客 走 進 馬 丁 服 飾 店, 根 據 過 去 的 經 驗, 店 經 理 估 計 有 0.3 的 機 率 顧 客 會 購 買 服 飾 那 麼 請 問 此 3 人 中 有 0 人 會 購 買 的 機 率 為 何? 那 麼 請 問 此 3 人 中 有 1 人 會 購 買 的 機 率 為 何? 那 麼 請 問 此 3 人 中 有 人 會 購 買 的 機 率 為 何? 那 麼 請 問 此 3 人 中 有 3 人 會 購 買 的 機 率 為 何? 繪 畫 機 率 分 配 之 圖 形 統 計 講 義 67 6/17/015

70 ex: 有 6 人 參 加 舞 會, 其 中 人 是 著 名 電 視 演 員, 若 抽 取 人 ( 採 取 後 放 回 方 式 ), 假 設 隨 機 變 數 X 表 示 抽 中 著 名 電 視 演 員 的 人 數, 求 X 的 機 率 分 配 查 表 : X ~ Bin ( n, p), 須 知 二 項 實 驗 中 n, p, x 之 值 印 表 格 例 題 : X ~ Bin(5,0.35) f (3) f (4) F () F (4) P ( x 4) 例 題 : X ~ Bin(7,0.75) f (3) f (4) F () F (4) P ( x 4) 二 項 分 配 的 期 望 值 變 異 數 標 準 差 假 設 X 是 二 項 隨 機 變 數, 則 X 之 期 望 值 E( X ) np 變 異 數 V( X ) npq 標 準 差 npq 例 題 : 某 大 學 發 現, 有 0% 的 學 生 統 計 學 不 及 格 假 設 本 學 期 有 0 位 學 生 修 統 計 學 a. 最 多 位 不 及 格 的 機 率 為 何? b. 恰 有 4 位 不 及 格 的 機 率 為 何? c. 超 過 3 位 不 及 格 的 機 率 為 何? d. 不 及 格 人 數 的 期 望 值 標 準 差 為 何? 統 計 講 義 68 6/17/015

71 二 項 分 配 與 伯 努 力 分 配 習 題 假 設 業 務 員 拜 客 戶 時 有 0% 的 客 戶 會 購 買 業 務 員 每 週 可 拜 訪 5 位 客 戶, 則 其 購 買 人 數 的 機 率 分 配 為 何? 期 望 值 為 何? 購 買 人 數 的 變 異 數 為 何? 標 準 差 為 何? 罐 中 有 5 個 球, 其 中 0 個 紅 球,5 個 白 球 從 罐 中 隨 機 取 出 1 球, 若 以 X 表 示 取 出 球 中 白 球 的 數 目, 則 X 的 機 率 分 配? 汽 車 駕 駛 員 繫 安 全 帶 的 比 例 為 80%, 臨 檢 了 10 輛 車, 則 : (1) 繫 安 全 帶 的 平 均 駕 駛 人 數 為 何? () 未 繫 安 全 帶 的 平 均 駕 駛 人 數? (3) 繫 安 全 帶 駕 駛 人 數 的 標 準 差 為 何? (4) 繫 安 全 帶 人 數 在 之 比 例 為 何? (5) 未 繫 安 全 帶 人 數 超 過 8 人 之 機 率 為 何? 統 計 講 義 69 6/17/015

72 根 據 美 國 統 計 年 報 顯 示, 卡 車 司 機 中 有 5% 是 女 性 假 設 隨 機 選 出 10 位 卡 車 司 機 以 了 解 其 工 作 條 件 品 質 a 請 問 隨 機 選 出 10 位 司 機 是 否 為 二 項 實 驗? 請 解 釋 b 選 出 位 女 性 司 機 的 機 率 為 何? c 選 出 0 位 女 性 司 機 的 機 率 為 何? d 選 出 至 少 1 位 女 性 司 機 的 機 率 為 何? 某 校 有 學 生 4,000 人, 其 中 400 人 視 力 正 常, 今 隨 機 抽 取 0 人, 問 其 中 10 人 視 力 正 常 之 機 率 為 何? 統 計 講 義 70 6/17/015

73 Ch07 連 續 隨 機 變 數 之 機 率 分 配 連 續 機 率 分 配 的 函 數 形 式 平 均 數 與 變 異 數 機 率 分 配 名 稱 機 率 函 數 平 均 數 變 異 數 ( x ) 常 態 分 配 1 f ( x) e 標 準 常 態 分 配 f ( z) x 1 e z z 0 1 指 數 分 配 f ( x) e x x 0, 0 1 均 等 分 配 f ( x ) 1 b a a x b b a 1 ( b a) 1 統 計 講 義 71 6/17/015

74 均 勻 分 配 (Uniform Distribution) X ~ U( a, b) 特 性 : 在 一 連 續 隨 機 變 數 的 區 間 內, 發 生 事 件 的 隨 機 皆 相 等 機 率 密 度 函 數 X ~ U( a, b) 若 連 續 隨 機 變 數 X 具 有 機 率 密 度 函 數 f x 1 ( ) a x b b a, 則 稱 隨 機 變 數 X 具 有 均 等 分 配 X ~ U( a, b) 之 c.d.f x a F(x) P X x b a X ~ U( a, b) 之 期 望 值 變 異 數 a b (b a) E(x),Var(x) 1 例 題 : 假 設 某 班 公 車 在 每 天 下 午 4:00 到 4:0 分 之 間 會 到 某 中 學 接 送 學 生 下 課, 且 在 此 時 段 中 到 校 的 可 能 性 相 同, 令 隨 機 變 數 X 表 示 從 下 午 4:00 之 後, 公 車 到 達 時 間 請 問 : a. 學 生 在 下 午 4:10 到 站 牌, 而 公 車 已 開 走 的 機 率 b. 學 生 在 下 午 4:1 到 站 牌, 可 搭 上 公 車 的 機 率 c. 公 車 到 達 時 間 的 期 望 值 與 標 準 差 統 計 講 義 7 6/17/015

75 例 題 : 若 隨 機 變 數 X 表 示 乘 客 等 候 公 車 時 間, 其 機 率 密 度 函 數 曲 線 如 下 圖 : (1) 平 均 候 車 時 間 為 何? () 候 車 時 間 小 於 平 均 候 車 時 間 之 機 率 為 何? (3) 候 車 時 間 之 變 異 數 σ 為 何? (4) 候 車 時 間 之 標 準 差 σ 為 何? (5) 候 車 時 間 在 μ ±σ 間 之 機 率 為 何? 例 題 : 根 據 調 查 頂 尖 的 高 爾 夫 球 選 手 在 PGA 賽 中 可 以 打 出 70 至 80 碼 的 距 離, 假 設 現 有 一 選 手 持 續 不 斷 的 打 出 在 此 區 間 的 球, 而 且 距 離 呈 均 勻 分 配 a. 請 以 數 學 公 式 表 示 其 機 率 密 度 函 數 b. 擊 球 距 離 少 於 74 碼 的 機 率 是 多 少? c. 擊 球 距 離 介 於 7 到 77 碼 的 機 率 是 多 少? 統 計 講 義 73 6/17/015

76 常 態 分 配 (Normail distribution) 常 態 分 配 是 統 計 學 上 最 重 要 的 分 配 之 一, 多 數 的 人 相 信 只 要 蒐 集 足 夠 的 資 料, 大 部 分 自 然 界 的 現 象 皆 可 被 證 明 為 一 常 態 分 配 常 態 機 率 分 配 的 定 義 若 連 續 隨 機 變 數 X 具 有 機 率 密 度 函 數 1 ( x ) f ( x) exp, x 其 中 式 中 : , e. 7183,, > 0 同 時 兩 個 參 數 分 別 是 μ, ; f (x) 為 參 數 (μ,σ ) 的 常 態 分 配, 記 為 X ~ N (μ,σ ) 或 X ~ N (μ,σ) 或 稱 高 斯 分 配 (Gaussian distribution) 不 同 的, 值 會 有 不 同 的 機 率 密 度 函 數 曲 線 圖 X ~ N (μ,σ) 之 特 性 (1)E(x)=μ ()Var(x)=σ (3) 圖 形 為 對 稱 於 μ 的 鐘 形 (4) 平 均 數 眾 數 中 位 數 合 於 同 一 點 μ (5) 常 態 分 配 曲 線 下 面 的 面 積 總 和 等 於 1 (6) 常 態 分 配 曲 線 的 兩 尾 無 限 延 伸 (7) 常 態 分 配 的 機 率 範 圍 可 分 為 三 種 情 況 統 計 講 義 74 6/17/015

77 標 準 常 態 分 配 的 定 義 X ~ N (μ,σ ) 令 Z ( X )/ 標 準 常 態 變 數 z 1 f ( z) e, z 其 平 均 數 為 0, 變 異 數 為 1 一 般 以 Z ~ N(0,1 ) 來 表 示 標 準 常 態 Z ~ N (0,1) 機 率 值 的 性 質 (1) E(z)=0 ()Var(z)=1 (3) 圖 形 為 對 稱 於 0 的 鐘 形 ( 對 稱 於 z = 0 故 以 z = 0 分 界 的 左 右 方 機 率 值, 各 為 0.5); 因 為 對 稱 的 關 係, 所 以 右 邊 Z>a 的 機 率 值 等 於 左 邊 Z < a 的 機 率 值, 當 a 0 P( Z a) P( Z a) (4) 平 均 數 眾 數 中 位 數 合 於 同 一 點 μ=0 (5)X ~N(μ,σ) 經 驗 法 則 依 據 的 是 常 態 機 率 分 配 P(-1<z<1)=68% P(-<z<)=95% P(-3<z<3)=99% (6) f (Z) 圖 形 下,(a, b) 間 之 面 積, 代 表 的 是 連 續 隨 機 變 數 Z 在 (a, b) 間 之 機 率 P( a Z b) 統 計 講 義 75 6/17/015

78 標 準 常 態 分 配 表 求 得 機 率, 有 兩 種 形 式 的 問 題 第 一 種 為 先 給 特 定 的 Z 值 在 去 求 其 相 對 的 面 積 或 機 率 ; 第 二 種 為 先 給 一 個 面 積 或 機 率 值 再 找 出 其 對 應 的 Z 值, 一 般 而 言, 畫 出 標 準 常 態 分 配 圖 並 標 出 其 面 積 將 有 助 於 正 確 的 計 算 計 算 一 般 的 常 態 機 率 值 的 步 驟 步 驟 1: 將 一 般 常 態 隨 機 變 數, 轉 換 為 標 準 常 態 隨 機 變 數 令 X 表 示 常 態 隨 機 變 數, 具 有 平 均 數 μ, 標 準 差, 將 X 轉 換 為 標 準 常 態 隨 機 變 數 Z 之 公 式 為 Z X 此 時 標 準 常 態 隨 機 變 數 Z 之 平 均 數 為 0, 標 準 差 為 1 步 驟 : 要 計 算 的 常 態 隨 機 變 數 機 率 值 的 所 在 範 圍, 轉 換 為 標 準 常 態 隨 機 變 數 機 率 值 的 所 在 範 圍 P( a X a X b b) P( ) a b P( Z ) 步 驟 3: 利 用 標 準 常 態 機 率 表, 查 出 所 要 的 標 準 常 態 隨 機 變 數 之 機 率 值 使 用 標 準 常 態 機 率 表 格 的 原 則 (a, b 均 > 0) 要 求 之 機 率 曲 線 下 的 面 積 P( Z a) a 例 題 Z P z 0.44 P( Z a) a Z P z 1.0 P( a Z b) a Z b P( 1.64 Z 0.3) 例 題 :a. P 0 z 0.83 b. P z 0.3 c. P z 0.71 統 計 講 義 76 6/17/015

79 常 見 的 反 向 標 準 常 態 問 題 Z 為 標 準 常 態 隨 機 變 數, 若 已 知 P(Z > a)= 0.8, 求 a 已 知 機 率 值 曲 線 下 的 面 積 求 a 值 右 尾 機 率 值 = P( Z a),a > 0 P(Z > a)=0.3 左 尾 機 率 值 ( Z a) P,a > 0 P ( Z a) 0. 7 右 中 間 機 率 值 P( 0 Z b),b>0 P ( 0 Z b) 0. 3 左 中 間 機 率 值 P ( c Z 0), c >0 P ( c Z 0) 0.5 中 間 對 稱 機 率 值 P( a Z a) P ( a Z a) 0. 8 例 題 : 已 知 z 為 標 準 常 態 隨 機 變 數, 求 各 面 積 下 的 z 值 a. 落 於 0 與 z 值 之 間 的 面 積 為 b. 落 於 0 與 z 值 之 間 的 面 積 為 0.91 c.z 值 的 右 邊 面 積 為 d.z 值 的 左 邊 面 積 為 統 計 講 義 77 6/17/015

80 計 算 常 態 機 率 值 範 例 某 大 學, 新 生 的 入 學 成 績 呈 常 態 分 配, 平 均 分 數 為 350 分, 標 準 差 為 15 分 (1) 如 果 吳 同 學 的 入 學 成 績 為 375 分, 請 問 他 在 新 生 中 的 排 名 為 何? () 入 學 成 績 在 330 分 至 370 分 者 有 多 少 比 例? 根 據 調 查 美 國 人 結 婚 ( 第 一 次 ) 的 平 均 年 齡 為 6 歲, 假 設 第 一 次 結 婚 年 齡 呈 常 態 分 配, 標 準 差 為 4 歲, 問 a. 一 個 美 國 人 第 一 次 結 婚 的 年 齡 會 小 於 3 歲 的 機 率 是 多 少? b. 一 個 美 國 人 第 一 次 結 婚 的 年 齡 會 介 於 0 到 9 歲 的 機 率 是 多 少? c. 90% 的 美 國 人 第 一 次 婚 姻 是 在 幾 歲 之 前? 一 項 員 工 酒 精 治 療 計 畫 包 含 住 院 的 平 均 費 用 為 $10,000(USA Today,September 1,1991) 假 設 該 治 療 計 畫 的 花 費 呈 常 態 分 配, 且 標 準 差 為 $,00, 問 A 計 畫 花 費 會 超 過 $1,000 的 機 率 是 多 少? B 計 畫 花 費 會 超 過 $6,000 的 機 率 是 多 少? C 該 計 畫 在 花 費 超 過 多 少 時 其 機 率 為 10%? 統 計 講 義 78 6/17/015

81 Mensa 是 一 個 國 際 性 的 高 智 商 協 會, 要 成 為 其 會 員, 其 IQ 必 須 要 超 過 13(USA Today, February 13,199), 如 果 IQ 成 績 呈 常 態 分 配 且 平 均 數 為 100 分, 標 準 差 為 15 分, 求 Mensa 授 予 會 員 資 格 的 百 分 比 是 多 少? 經 濟 系 學 生 100 人, 經 濟 學 考 試 成 績 之 分 佈 為 常 態 分 佈 ; 參 數 是 = 65, =1 (1) 經 濟 系 系 上 想 要 頒 發 書 卷 獎 給 成 績 前 1% 的 學 生, 獲 獎 同 學 的 最 低 分? () 經 濟 系 的 老 師 很 熱 心 的 要 幫 忙 成 績 不 理 想 的 同 學, 預 計 輔 導 後 段 的 10% 同 學 請 問 經 濟 系 成 績 低 於 幾 分, 就 要 接 受 輔 導? 統 計 講 義 79 6/17/015

82 中 央 極 限 定 裡 (the central limit theorem) 母 群 體 隨 機 變 數 X 的 期 望 值 為, 變 異 數 為, 換 言 之, X~(, ), x 1,., x n 為 抽 樣 自 此 母 群 體 的 n 個 隨 機 樣 本, 當 抽 樣 數 目 n 足 夠 大 (n>30) 時, 樣 本 平 均 數 之 抽 樣 分 配, 是 近 似 於 常 態 分 配, 平 均 數 以 表 示, 變 異 數 以 表 示 ; (1) X 為 近 似 常 態 分 配, 且 其 平 均 數 為, 變 異 數 為 換 言 之, X ~ N(, ) n n X () 為 近 似 標 準 常 態 分 配 N(0,1) n ; X n x X x 例 題 : 某 母 群 體 隨 機 變 數 X 的 期 望 值 為 150, 變 異 數 為 5, X 1,., X 64 為 抽 樣 自 此 母 群 體 的 64 個 隨 機 樣 本, X 表 示 這 64 個 樣 本 得 樣 本 平 均 數, 則 X 的 抽 樣 分 配 為 何? 例 題 : 建 設 公 司 的 採 購 部 門, 計 畫 購 買 水 泥 400 包 水 泥 商 宣 稱 其 水 泥 每 包 的 平 均 重 量 為 10 公 斤, 標 準 差 為 0.5 公 斤 (1) 計 算 400 包 水 泥 平 均 重 量 的 平 均 數 與 標 準 差 與 抽 樣 分 配 () 400 包 水 泥 平 均 重 量 超 過 9.5 公 斤 的 比 例 有 多 少? 例 題 : 一 個 平 均 數 為 00 和 標 準 差 為 50 的 母 體 以 簡 單 隨 機 抽 樣 抽 出 樣 本 數 為 100 的 樣 本, 而 X 用 來 估 計, 試 求 : a. 樣 本 平 均 數 會 落 在 母 體 平 均 數 5 的 範 圍 內 之 機 率 是 多 少? b. 樣 本 平 均 數 會 落 在 母 體 平 均 數 10 的 範 圍 內 之 機 率 是 多 少? 統 計 講 義 80 6/17/015

83 二 項 分 配 與 常 態 分 配 的 關 係 * 在 二 項 分 配 中, 當 n 很 大 時, 常 態 分 配 是 二 項 分 配 的 近 似 分 配 * 實 際 應 用 時, 要 計 算 二 項 分 配 的 機 率 值, 若 採 用 常 態 分 配 來 取 代 二 項 分 配, 其 嚴 謹 的 條 件 是 : n p 5 且 n q 5 則 二 項 分 配 參 數 為 n, p 之 隨 機 變 數 X, 可 以 常 態 分 配 平 均 值 為 n p, 變 異 數 為 n p ( 1 p) 來 近 似 * 以 連 續 型 的 分 配 來 取 代 離 散 型 的 分 配, 必 須 作 連 續 性 的 修 正 連 續 性 修 正 二 項 機 率 值 X ~ B( n, p) 範 圍 連 續 性 修 正 範 圍 常 態 近 似 機 率 值 X N( np, npq) P( X a) X a a 0.5 X a 0. 5 P ( a 0.5 X a 0.5) P( X b) X b X b 0. 5 P ( X b 0.5) P( X a) X a X a 0. 5 P ( X a 0.5) P( a X b) a X b a 0.5 X b 0. 5 P ( a 0.5 X b 0.5) 以 常 態 分 配 近 似 二 項 分 配 範 例 某 大 學 80% 的 退 學 生 是 因 為 請 假 過 多 造 成 操 行 不 及 格 而 退 學 現 隨 機 抽 選 50 位 退 學 生 為 樣 本 則 (1) 恰 有 35 人 是 因 為 操 行 不 及 格 而 退 學 之 機 率 為 何? () 少 於 30 人 是 因 為 操 行 不 及 格 而 退 學 之 機 率 為 何? (3) 40 ( 不 含 )~45 ( 含 ) 人 是 因 為 操 行 不 及 格 而 退 學 之 機 率 為 何? 一 項 消 費 報 告 顯 示 Saturn,Infiniti 和 Lexus 氣 車 是 服 務 最 佳 的 前 三 名 Consumer Reports,April 1994 Saturn 排 行 第 一, 只 有 4% 的 消 費 者 有 抱 怨 產 生, 現 有 50 位 Saturn 的 車 主, 問 : a. 少 於 1 位 的 車 主 會 有 抱 怨 的 機 率 是 多 少? b. 多 於 5 位 的 車 主 會 有 抱 怨 的 機 率 是 多 少? c. 恰 好 有 8 位 會 有 抱 怨 的 機 率 是 多 少? 統 計 講 義 81 6/17/015

84 CH07 練 習 題 某 大 學 新 生 中, 經 由 申 請 入 學 錄 取 的 人 數 有 180 人 依 過 去 的 經 驗 : 在 被 通 知 錄 取 的 學 生 中, 有 60% 會 到 校 註 冊 入 學 去 年 該 校 錄 取 了 50 位 同 學 的 入 學 申 請, 請 問 申 請 入 學 被 錄 取 者, 會 到 校 註 冊 的 學 生 超 過 180 人 的 機 率 為 多 少? 已 知 火 車 到 站 的 時 間 是 10 點 30 分 ; 一 乘 客 於 上 午 10 點 與 10 點 30 分 間 到 達 火 車 站 令 隨 機 變 數 X 表 示 乘 客 在 10 點 與 10 點 30 分 間 到 達 火 車 站 的 分 鐘 數 (1) X 的 機 率 密 度 函 數 為 何? () 候 車 的 時 間 超 過 10 分 鐘 的 機 率 為 多 少? 最 近 的 國 中 基 本 學 力 測 驗 模 擬 考 試,10,000 名 國 中 生 的 平 均 成 績 00 分, 標 準 差 0.3 分 如 果 取 樣 300 名 國 中 生, 請 描 述 他 們 模 擬 考 平 均 成 績 的 抽 樣 分 配 Gaunt Health Fauns 根 據 過 去 5 年 來 的 顧 客 記 錄 作 調 查, 宣 稱 平 均 體 重 減 少 1 磅 及 標 準 差.4 磅 (a) 假 如 從 這 些 記 錄 中 隨 機 抽 取 一 組 樣 本 大 小 為 36 的 隨 機 樣 本, 試 求 樣 本 平 均 數 ( X ) 小 於 11 磅 的 機 率 為 何? 統 計 講 義 8 6/17/015