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钟技观贲
5 years ago
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1 第十七章 : Mei-Yuan Chen Department of Finance National Chung Hsing University February 19, 2013

2 參數檢定 (Parametric Tests) 在隨機變數 X 和 Y 常態分配的假設下, ( D xn = N µ X, σ2 X n Dȳm = N ( µ Y, σ2 Y m ), D (n 1)s 2 x σ 2 X ), D (m 1)s 2 y σ 2 Y = χ 2 (n 1) = χ 2 (m 1).

3 參數檢定 :H 0 : µ X = µ 0 t xn = x n µ 0 = x n µ 0 s xn s 2 x n H D 0 t xn = t(n 1).

4 參數檢定 :H 0 : σ 2 Y = σ2 0 φ s 2 x = (n 1)s2 x σ 2 0 H D φs 2 = 0 χ 2 (n 1). x

5 參數檢定 :H 0 : µ X = µ Y t xn ȳ m s 2 p = = x n ȳ m s xn ȳ m = x n ȳ m sp( n m n i=1 (x i x n ) 2 + m j=1 (y j ȳ m ) 2 n+m 2 D (n+m 2)s 2 p = χ 2 (n+m 2), underσx 2 = σy 2 = σ 2 σ 2 H D 0 t xn ȳm = t(n+m 2). )

6 參數檢定 :H 0 : σ 2 X = σ2 Y F = s2 x s 2 y H D 0 F = F(n 1,m 1).

7 然而, 在實證分析時, 母體為常態分配的假設經常是不切實際的 ; 例如, 財務金融的資料幾乎可確定其不為常態分配此外, 對於母體是否可加以常態分配的假設, 我們可以利用在配適度檢定中所討論檢定樣本資料是否來自常態分配的檢定方法, 加以確定母體的常態性當然, 若檢定結果支持常態分配的假設, 則前述的統計量即有良好的抽樣分配 ; 但若檢定結果不支持常態分配的假設, 則前述的統計量將不適用於相對應的虛無假設檢定

8 n m, 則 D n xn µ X σ X N(0,1), D n(s 2 x σ 2 X ) N(0,2σ 4 X) D m ȳm µ Y σ Y N(0,1), D m(s 2 y σ2 Y ) N(0,2σ 4 Y).

9 H D 0 t xn N(0,1),t xn = x n µ 0 s 2 x n H D ts 2 0 N(0,1),ts 2 x x = s2 x σ0 2 2s 4 x H D 0 t xn ȳm N(0,1),t xn ȳ m = x n ȳ m s 2 x n + s2 y m H D tlog(s 2 x ) log(s 0 N(0,1),tlog(s 2 y ) 2 x ) log(s = log(s2 x) log(s 2 y). 2 y) s log(s 2 x ) log(s 2 y )

10 但若樣本數 n 及 m 不夠大, 可以讓中央極限定理得以成立, 不需要常態分配假設的檢定方法是必要的, 亦即, 我們需要一個有能力檢定虛無假設的統計量, 而該統計量不但具有熟悉的抽樣分配以方便信賴區間的決定, 且此抽樣分配結果不取決於母體的分配由於不須對母體給予特定參數 (parameter) 的分配形式, 故此類檢定方法稱為無母數統計檢定法 (nonparametric tests)

11 樣本是否為隨機樣本? 在統計推論中, 隨機樣本 (random sample) 的取得是先決的條件, 基於隨機樣本, 才有每一個樣本觀察值的抽樣分配與母體分配相同的條件, 進而瞭解樣本統計量 (sample statistic) 的抽樣分配 (sampling distribution); 而隨機樣本的取得乃藉由適當的抽樣方法的應用了如果被給定一組樣本觀察值, 如何判斷這組樣本觀察值是為一隨機樣本?

12 例如, 甲先生投擲一枚硬幣 10 次的結果為 {1,0,0,1,0,1,0,1,0,1}( 或 {H,T,T,H,T,H,T,H,T,H}), 乙先生投擲一枚硬幣 10 次的結果為為 {1,1,1,1,1,0,0,0,0,0}( 或 {H,H,H,H,H,T,T,T,T,T}), 若進行虛無假設 H 0 : P X = 1/2 檢定, 無論用樣本比例 (sample proportion) 或樣本總和 (sample total), 從這兩個投擲結果均得到相同的結果 : 樣本比例為 0.5 樣本總和為 5, 在顯著水準 5 % 下均不棄卻虛無假設但這兩個樣本觀察值的內涵一樣嗎? 若問甲先生或乙先生較有可能為賭場老千呢? 或這兩個樣本的隨機性一樣嗎? 哪一組樣本較有可能是隨機樣本?

13 隨機性檢定 :Runs Test 連檢定 (Runs Test) 即是用來檢定樣本是否為隨機產生的 (rnadomly generated) 連檢定以一組樣本觀察值出現的排序 (order) 或結果 (sequence) 判定樣本是否為隨機樣本, 其作法是以在樣本觀察值中某一個特徵出現的連續性 (runs) 衡量樣本的隨機性甲先生的投擲結果 {H,T,T,H,T,H,T,H,T,H,T,H,T,H} 中 runs= R = 13, H T T H T H T H T H T H T H 乙先生的投擲結果 {H,H,H,H,H,H,H,T,T,T,T,T,T,T} 中 runs= R = 2, 1 2 H H H H H H H T T T T T T T

14 一數列中,run 的個數太多或太少, 都代表著成功與失敗的出現並不隨機, 令 R 表 runs 的個數 ( 檢定統計量 ), 則在型 I 誤差 α 下的拒絕域定義為 R k 1 及 R k 2 為了知道 k 1 及 k 2 的數值, 我們必須找出 R 的樣本機率分配,P(R = r)

15 假設一組數列包含 n 個觀察值, n H 個 H 元素與 n T 個 T 元素 (n H +n T = n),h 與 T 的 run 數分別有 y H 與 y T 個, 其中 y T +y H = R 在給定 y H 時,y T 只會取值在 y H y H 1 或 y H +1 令 m 表最多可能出現的 runs 數, 則 m = 2 n H 若 n H = n T, 而 m = 2 n H +1 若 n H < n T 且 R 的範圍為 2 R m

16 n H 個 H 元素與 n T 個 T 元素, 共有 C n T+n H n T 種不同的組合法, 而假設這些不同的組合具有相同的機率值而將 n H 個 H 元素分成 y H 個 H 的 runs 有 C n H 1 y H 1 種組合法 ; 則 y H 個 H 的 runs 與 y T 個 T 的 runs 的排法共有種 C n H 1 y H 1 Cn T 1 y T 1 因此可求得 :r = y H +y T P(R = r) = P(y H,y T ) = Cn H 1 y H 1 Cn T 1 y T 1 C n T+n H n T,where y H = y T = r/2,whenr 是偶數 y H = y T 1 = (r 1)/2,or y H = y T +1 = (r +1)/2,whenr 是奇數

17 臨界值 :k 1 及 k 2 1. 藉由機率函數 P(R = r) 決定臨界值 k 1 及 k 2 :P(R k 1 ) 及 P(R k 2 ) 0.025; 2. 藉由書本的附錄表 14, 查表決定 ; 3. 藉中央極限定理 : ( ) 2nH n R N T 2n +1, H n T (2n H n T n H n T ) n T +n H (n T +n H ) 2 +(n H +n T 1) 4. 由 gretl 中的工具 (T) (N) 連檢定 (Runs test) 進行檢定

18 符號檢定為有系統介紹無母數統計檢定方法及其邏輯, 我們首先介紹符號檢定方法 (signed test) 在母體比例檢定的討論中, 我們以樣本總和 (sample total sum) 和樣本比例 (sample ratio) 為統計檢定方法, 其中, 樣本總和為 T = { n x i, x i = i=1 1 i = 成功 0 i = 失敗

19 在虛無假設 H 0 : p = p 0 下, 樣本總和的抽樣分配為二項式分配, 即 T B(n,p 0 ) 在顯著水準 α 下, 兩個臨界值 c 0 和 c 1 可依下式決定 : c 0 i=1 n C n i p i 0(1 p 0 ) n i α/2 i=c 1 C n i p i 0(1 p 0 ) n i α/2. 若 T c 0 或 T c 1, 則棄卻虛無假設 H 0 : p = p 0, 反之, 則不棄卻虛無假設

20 若將 x i 的定義更改為以正號 + 表示 x i 為成功, 而以負號 - 表示 x i 為失敗, 則上述所定義的樣本總和 T 即等於樣本中的正號個數 ; 換言之, 藉由樣本中正號個數, 即可依上述準則進行母體比例的假設檢定, 故稱為符號檢定

21 如在母體比例的假設檢定討論中, 當樣本個數 n 與 p 0 所表示的二項式隨機變數的機率分配無法由附表查得時, 則以常態分配 N(np 0,np 0 (1 p 0 )) 逼近 B(n,p 0 ), 即前述的臨界值 c 0 與 c 1 可由下兩式決定 : c 0 = [np 0 +z α/2 np0 (1 p 0 )], c 0 = [np 0 +z 1 α/2 np0 (1 p 0 )], 其中, 函數 [x] 表示數值 x 的整數部份, 如 x = 2.35 則 [x] = 2

22 至於臨界值 c 0 和 c 1 的決定可藉由 Excel 中插入 (I) 中函數 (F) 的 BINOMDIST 函數, 在 BINOMDIST 的對話框中, 輸入 0 於 Numbers 中,80 於 Trials 中, 0.2 於 Probability s 中, 由於要計算累加機率值, 因此在 Cumulative 中輸入 1, 此時在對話框的下方的計算結果 = 即出現機率值, 注意觀察將 Numbers 中數值由 0 改為 1,2,3,..., 則計算結果 = 出現的機率值即隨之改變, 當 Numbers 中數值為 8 時, 計算結果 = , 而當 Numbers 中數值為 9 時, 計算結果 = , 因此在顯著水準 α = 5 % 下的臨界值 c 0 應設定為 8; 此外, 當 Numbers 中數值為 24 時, 計算結果 = , 而當 Numbers 中數值為 23 時, 計算結果 = , 故在顯著水準 α = 5 % 下的臨界值 c 1 應設定為 23; 由於財金系的學生人數為 24, 大於臨界值 c 1 = 23, 故應棄卻虛無假設 p 0 = 1/5

23 若改以常態分配的逼近方法決定顯著水準 α = 5 % 下的臨界值, 由附表 3 或由 Excel 中的插入 (I) 函數 (F) 的 NORMSINV, 可知 Z = 和 Z = , 因此 c 0 = [np 0 +z α/2 np0 (1 p 0 )], = [ ] = [ ] = 8, c 0 = [np 0 +z 1 α/2 np0 (1 p 0 )] = [ ] = [ ] = 23. 因此以常態分配的逼近方法, 所決定的臨界值依然為 c 0 = 8 及 c 1 = 23

24 母體分量的檢定在敘述統計的介紹中, 我們曾介紹過各種母體分量 (population quantile), 如中位數 (median) 四分位數 (quartile) 和百分位數 (percentile) 對於母體分量的假設檢定, 我們可以用前述的符號檢定方法加以檢定 ; 首先, 我們介紹母體中位數的檢定假設我們面對的虛無假設為 H 0 : median(x) = m 0, 且假設一組具有 n 個觀察值來自母體 X 的樣本 {x 1,x 2,...,x n }, 則我們可以給 + 號予比 m 0 大的樣本觀察值, 而給 - 號予比 m 0 小的樣本觀察值 ; 由於在虛無假設 H 0 : median(x) = m 0 下,p 0 = P(X m 0 ) = P(+) = 0.5, 根據前述的符號檢定, 在 n 個觀察值的樣本中, 具有 + 號的觀察值個數 (T) 的抽樣分配為 B(n,0.5),

25 則在顯著水準 α 下, 兩個臨界值 c 0 和 c 1 可依下式決定 : c 0 i=1 n C n i 0.5 i (1 0.5) n i α/2 i=c 1 C n i 0.5 i (1 0.5) n i α/2.

26 或以常態分配 N(n/2,n/4) 逼近 B(n,0.5), 即前述的臨界值 c 0 與 c 1 可由下兩式決定 : c 0 = [0.5 n z 0.5 α/2 n (0.5)2 ], c 0 = [0.5 n+z 0.5 α/2 n (0.5)2 +1], 若 T c 0 或 T c 1, 則棄卻虛無假設 H 0 : median(x) = m 0, 反之, 則不棄卻虛無假設

27 對應於中位數虛無假設的 p 0 為 0.5, 因此, 臨界值 c 0 和 c 1 的決定可藉由 Excel 中插入 (I) 中函數 (F) 的 BINOMDIST 函數, 在 BINOMDIST 的對話框中, 輸入 0 於 Numbers 中,80 於 Trials 中, 0.5 於 Probabilitys 中, 在 Cumulative 中輸入 1, 當 Numbers 中數值為 30 時, 計算結果 = , 而當 Numbers 中數值為 31 時, 計算結果 = , 因此在顯著水準 α = 5 % 下的臨界值 c 0 應設定為 30; 此外, 當 Numbers 中數值為 48 時, 計算結果 = , 而當 Numbers 中數值為 49 時, 計算結果 = , 故在顯著水準 α = 5 % 下的臨界值 c 1 應設定為 49; 此外, 當機率值為 0.5 時, 二項式分配為對稱的, 因此, 臨界值 c 1 應設定為 49; 由於身實際高小於的同學人數為 40, 大於 30 而小於 49, 故在顯著水準 α = 5 % 下應不棄卻虛無假設, 所以, 統計學課堂 80 位同學的身高資料支持台灣大學生的身高為對稱分佈

28 四分位數的假設檢定接著我們討論第一四分位數的假設檢定, 此時虛無假設為 H 0 : Q 1 (X) = q 1, 假設我們仍有樣本 {x 1,x 2,...,x n }, 則我們可以給 + 號予比 q 1 大的樣本觀察值, 而給 - 號予比 q 1 小的樣本觀察值 ; 由於在虛無假設 H 0 : Q 1 (X) = q 1 下, p 0 = Pr(X q 1 ) = Pr(+) = 0.75, 根據前述的符號檢定, 在 n 個觀察值的樣本中, 具有 + 號的觀察值個數 (T) 的抽樣分配為 B(n,0.75), 則在顯著水準 α 下,

29 兩個臨界值 c 0 和 c 1 可依下式決定 : c 0 i=1 n C n i 0.75 i (1 0.75) n i α/2 i=c 1 C n i 0.75 i (1 0.75) n i α/2.

30 或以常態分配 N(n/4,n/16) 逼近 B(n,0.25), 即前述的臨界值 c 0 與 c 1 可由下兩式決定 : c 0 = [0.75 n+z α/2 n (0.75)2 ], c 0 = [0.75 n+z 1 α/2 n (0.75)2 ], 若 T c 0 或 T c 1, 則棄卻虛無假設 H 0 : Q 1 (X) = q 1, 反之, 則不棄卻虛無假設

31 由前面對母體中位數及第一四分位數的假設檢定, 我們可以很容易地應用符號檢定對任何一個母體分量進行檢定, 其中只要將 + 號的機率值 p 0 設定為母體大於該分量的機率值, 在進行符號檢定即可在此仍要強調的是, 我們所討論的符號檢定, 並不需要事先假設母體 X 的分配, 也與母體分配函數的參數無關, 故為 (nonparametric test)

32 Wilcoxon 加符號等級檢定 Wilcoxon 加符號等級檢定 (signed-rank test) 是被用來對成對樣本 (matched sample) 的檢定在前面對成對樣本檢定的討論, 令 µ d 為成對樣本間差異的平均數而 d i 為個別成對觀察值的差異, 則所面對的虛無假設和對立假設為 H 0 : µ d = 0 H a : µ d 0. 而 µ d 的點估計為 d = n 1 d i/n 且 σ d 的點估計為 s d = (di d) 2 /(n 1); 則檢定統計量為 t = d µ d s d / n, 在成對母體為常態分配下, 此統計量的抽樣分配為具自由度 n 1 的 t- 分配, 或當樣本個數 n 足夠大使得中央及限定理得以成立, 則此統計量趨近至標準常態分配

33 Wilcoxon 加符號名次檢定方法的過程如下 : (1) 按 d i 絕對值 ( d i ) 由小到大排序, 若有相同的 d i 值, 則給予平均的名次, 且將 d i 等於零的觀察值去除 ; 令 r i 表示第 i 個觀察值的名次 ; (2) 在每一個觀察值的名次前加上原來 d i 數值的正負號, 並將加上符號的所有名次予以加總起來, 以 T 表示, 即 T = n 1 i=1 sgn(d i)r i, 其中 n 1 表示去除相同 d i 值後的觀察值個數 ;

34 (3) 在成對母體相等的虛無假設下 H 0 : µ d = 0,P(sgn(d i )r i = r i ) = P(sgn(d i )r i = r i ) = 1/2, 則在 n 1 足夠大時, T 的極限抽樣分配為具有 E(T) = E = var(t) = E 的常態分配 ; = = [ n1 ] n 1 sgn(d i )r i = E[sgn(d i )r i ] i=1 n 1 i=1 [ n1 i=1 [r i 1/2 r i 1/2]µ = 0, ] 2 n 1 sgn(d i )r i = E[(sgn(d i )) 2 (r i ) 2 ] i=1 n 1 i=1 n 1 i=1 i=1 [(r i ) 2 1/2+( r i ) 2 1/2] ri 2 = n 1(n 1 +1)(2n 1 +1), 6

35 (4) 則如果樣本的加符號名次總和 T 大於 1.96 n 1 (n 1 +1)(2n 1 +1)/6 或小於 1.96 n 1 (n 1 +1)(2n 1 +1)/6 時, 則在顯著水準 α = 0.05 時, 棄卻 H 0

36 Mann-Whitney-Wilcoxon Test 至於在檢定兩個母體平均數上, 若此兩個母體分配不為常態分配且樣本數目不夠大時, 前面章節所討論的 Z 或 t 統計檢定量則不適用 ; 此時, 無母數統計檢定法是必要的 ; 而適用的法是由 Mann,Whitney 和 Wilcoxon 三位學者所發展的檢定方法, 故稱為 Mann-Whitney-Wilcoxon 檢定法 (MWW- 檢定法 ), 有時也稱為 Mann-Whitney 檢定法, 也有時稱為 Wilcoxon 名次總和檢定法 (Wilcoxon rank-sum test) 基本上,Mann-Whitney-Wilcoxon 檢定法不僅在於檢定兩個母體的平均數是否相等, 而在於檢定兩個母體是否有相同的分配, 因此,MWW- 檢定法所檢定的假設為 : H 0 : 兩個母體相等 H a : 兩個母體不相等

37 MWW- 檢定法的基本邏輯如下 : 假設我們想要檢定的兩個母體分別為 X 和 Y, 且擁有 n 個觀察值來自母體 X 和 m 個觀察值來自母體 Y, 將這兩個樣本混合在一起並依大小予以排名次 ; 假若母體 X 和 Y 的分配如下圖, 則來自母體 X 的 n 個觀察值將小於 m 個來自母體 Y 的觀察值, 則來自母體 X 的 n 個觀察值具有最小的名次總和, 即 n i=1 i

38 反之, 假若母體 X 和 Y 的分配如下圖所示, 則來自母體 X 的 n 個觀察值均將大於 m 個來自母體 Y 的觀察值, 則來自母體 X 的 n 個觀察值具有最小的名次總和, 即 n+m i=n+1 i;

39 又假若母體 X 和 Y 的分配如下圖所示, 此兩個母體具有相似的分配, 則來自母體 X 的 n 個觀察值將和 m 個來自母體 Y 的觀察值相互參差著, 則來自母體 X 的 n 個觀察值的名次總和, 將落在 n i=1 i 和 n+m i=n+1 i 之間 ;

40 由此可知, 來自母體 X 的 n 個觀察值的名次總和接近 n i=1 i 或 n+m i=n+1, 即表樣本提供了棄卻虛無假設的訊息, 而越介於 n i=1 i 和 n+m i=n+1 i 之間, 則表樣本提供了不棄卻虛無假設的訊息 ; 就檢定而言, 接著需要決定的是該大於 n i=1 i 多少或該小於 n+m i=n+1 i 多少得以不棄卻虛無假設?

41 附錄中的表 10 提供了在兩個樣本個數 n 的 m 組合下, 包含 99 % 和 95 % 信賴區間下界值 T L, 而其相對應的上界值則可依 T U = n(n+m+1) T L 加以求得 ; 則若來自母體 X 的 n 個觀察值的名次總和 T 大於 T U 或小於 T L, 則棄卻虛無假設 ; 反之, 則不棄卻虛無假設

42 很明顯地, 附錄中的表 10 所提供 (n,m) 的組合中,n 及 m 均小於 10, 但在實際的應用上,n 及 m 均可能大於 10, 則該如何決定 T U 和 T L? 此時, 簡單的做法就是以常態分配趨近名次總和 T 的分配, 即 T N(µ T,σ 2 T) = N(n(n+m+1)/2,nm(n+m+1)/12). 則在顯著水準 α 下, 若 T 大於 n(n+m+1)/2+z α/2 nm(n+m+1)/12 或小於 n(n+m+1)/2 Z 1 α/2 nm(n+m+1)/12

43 在此值得一提的是, 不論是 n 及 m 均小於 10 時 T L 的決定或 n 及 m 大於 10 時以常態分配趨近 T 分配, 一個重點是兩個樣本的名次總和必須等於 n+m i=1 i, 基於此, 在樣本觀察值排名次時, 若遇到相同數值的觀察值時, 則以平均名次給予該觀察值

44 Kruskal-Wallis 檢定 MWW 檢定是被用來檢定兩個母體是否相同, 這個檢定方法被 Kruskal 和 Wallis 兩位學者加以擴展到檢定三個或三個以上個母體是否相同 ; 因此,Kruskal-Wallis 檢定方法所面對的虛無假設為 H 0 : 所有母體皆相等 H a : 所有母體不盡相等在前面章節所討論的變異數分析 (ANOVA), 在於檢定多個相互獨立且為常態分配的母體是否具有相同的平均數 ; 然而, 當母體不為常態分配時, 變異數分析是不適用的

45 Kruskal-Wallis 檢定方法的步驟為 : 首先將所有來自待檢定之 k 個母體的樣本觀察值加以混合, 並由小到大加以排列次序 ; 根據各個樣本所得到的名次總和 R i,i = 1,...,k,, 計算下列 Kruskal-Wallis 檢定統計量 W = 12 n T (n T +1) k i=1 k = 虛無假設下欲檢定的母體個數 n i = 第 i 個樣本的觀察值個數 R 2 i n i 3(n T +1) χ 2 (k 1), n T = 所有 k 個樣本的總觀察值個數,n T = R i = 第 i 個樣本的觀察值的名次和 k i=1 n i

46 如同前述以 MWW- 檢定法檢定台灣的經濟系與企管系同學在修習統計學上的表現是否存在顯著差異, 我們以經濟系 20 位同學及企管系 14 位同學的統計成績進行檢定 ; 在此, 我們加入財金系, 即我們想了解台灣的經濟系財金系與企管系同學在修習統計學上的表現是否存在顯著差異, 當然統計學課堂中 24 位財金系同學的統計成績必須納入樣本資料中同樣在 dep-stat.xls 的檔案中, 將經濟系 20 位同學 24 位財金系同學及企管系 14 位同學的科系別及統計學成績存放在 dep-stat2.xls 中, 先利用資料 (D) 中的排序 (S) 功能將資料按統計學成績由大至小予以排列, 將名次由 1 至 58 輸入 C1:C58 中, 之後, 再將所有資料按科系別由小到大排序, 如此在 C1:C20 的名次即為經濟系 20 位同學的統計學成績的排名,C21:C44 的名次即為財金系 24 位同學的統計學成績的排名, 而 C45:C58 則為 14 位企管系同學統計學成績的排名,

47 以 sum(c1:c20) sum(c21:c44) 及 sum(c45:c58) 即可分別求得經濟系 20 位同學 24 位財金系同學和 14 位企管系同學的名次總和,R 1 = 564 R 2 = 643 和 R 3 = 504; 因 n T = = 58, 因此 Kruskal-Wallis 檢定統計量的計算為 12 k W = n T (n T +1) i=1 ( = = R 2 i n i 3(n T +1) ) 3 59 由附錄表 5 中可查得 χ (3) = , 因 W = 小於 χ (3) = , 故在顯著水準 α = 5 % 下不棄卻虛無假設

48 Friedman 檢定 A nonparametric alternative to the randomized block design; Assumptions The blocks are independent. There is no interaction between blocks and treatments. Observations within each block can be ranked. Hypotheses H 0 : The treatment populations are equal H a : At least one treatment population yields larger values than at least one other treatment population.

49 Friedman 檢定統計量 χ r = 12 bc(c +1) C Rj 2 3b(C +1) H 0 χ 2 (C 1) j=1 1. C: number of treatment levels (columns); 2. b: number of block (rows); 3. R j : total ranks of a particular treatment level; 4. j: particular treatment level.

50 等級相關史皮爾曼等級相關係數 (Spearman rank-correlation coefficient) 定義為 r s = 1 6 d 2 i n(n 2 1), n = 樣本中的同學人數, x i = 第 i 個同學的個體經濟學名次, y i = 第 i 個同學的總體經濟學名次, d i = x i y i.

51 由此定義可看出, 兩科目的名次差越大, d 2 i 將越大, 而 r s 將越小 ; 因此,r s 越大表示相關性越強, 而 r s 越小表示獨立性越高在樣本觀察值個數 n 夠大時, 依中央及限定理, 在兩母體相互獨立的虛無假設下,r s 的樣本分配為 r s N(µ rs,σ 2 r s ) = N(0,1/(n 1)). 則檢定兩個母體相互獨立虛無假設的統計檢定量為 z = r s 1/(n 1). 在顯著水準 α = 0.05 下, 若 z > 1.96 或 z < 1.96 則棄卻虛無假設, 即樣本資料支持兩母體為相互獨立

C19 (1)

C19 (1) Ch 19 實習 (1) Agenda Nonparametric statistic 使用時機 Wilcoxon Rank Sum Test Sign Test Wilcoxon Signed Rank Sum Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Spearman Rank Correlation Coefficient 2 1. Nonparametric