更新日期 :07.7. 高中數學講義 數與式. 數與數線 整數 Z: 包含正整數 ( 可數數 Z + ) 0 負整數三類 ( 自然數 N :,,, 皮亞諾假設自然數定義 : 0,,,, ) 有理數 Q: 若 m,n 均為整數, 且 n 0, 凡可表示成 整數比 m n 的數, 稱為有理數 整數 有限小數 ( 最簡分數後, 分母只含 或 5 的質因數 ) 循環小數 ( 最簡分數後, 分母含有 或 5 以外的 質因數 ) 都可化為 整數比 有理數的四則運算 :,b,c,d 為有理數 m n, 都是有理數 b. + d c = bc+d c b. d c = bc d c b. d c = bd c b 4. d c = b c d = bc d 有理數運算律 : r,s,t 為有理數. 加法交換律 : r+s = s+r 乘法交換律 : r s = s r. 加法結合律 : (r +s)+t = r+(s+t) 乘法結合律 : (r s) t = r (s t). 分配律 : r (s+t) = r s+r t 有理數次序 : r,s,t 為有理數三一律 : r > s,r = s,r < s 三式中恰有一式成立 遞移律 : 若 r > s 且 s > t 則 r > t 若 r > s 則 r +t > s+t r > s,t > 0 則 rt > st r > s,t < 0 則 rt < st 稠密性 : 數線上對應整數的點稱為整數點 對應有理數的點稱為有理點 數線上的任何區段中, 都有 無限多個 同樣的對應點, 具有此性質稱為稠密性 整數無稠密性 ( 任意兩相異有理數之間, 都可找到一個有理數 ) 有理數具有稠密性 ( 稠密性隱藏 無窮 的意涵 ) 有理點的尺規作圖 : ( 每個有理點均可尺規作圖 ) 相似三角形 : PMN PQR PM : PQ = PN : PR = MN : QR 若 PB//AD 則 OP : OA = OB : OD. 數線上 OA. 過原點 O 作一直線 L 順伯的窩 數與式 [ 第 頁 / 共 頁 ]
高中數學講義數與式 P O P A M N B Q R D L. 在 L 上作 n 等分點 B,D, 使 OB : OD = m : n, 連接 AD, 過 B 點作平行 AD 直線, 交數線於 P 點 則 OP = OB OD OA = m n OA 無理數 : 數線上, 不是有理數的數, 稱為無理數 ( 無法化為兩整數比值的數 ) 形如 n 的無理數 : 自然數 n 的標準分解式中, 某一個質因數出現奇數次方時, 則 n 為無理數 n 的無理數的尺規作圖 : 若 n 可表示成兩整數平方和, n = + b 可利用直角三角形畢氏定理斜邊 長 = n 或利用直角三角形母子相似定理 : AB = BC BD, AD = BD CD, AC = BC CD 比例中項作圖 : AD = BD CD A F B D C P E Q L 無理數的近似值 : 形如 n 的無理數, 無理數 n = ±b. = ± b 無理數的多樣性 : 除了形如 n 的無理數外, 諸如 =.59905 + =.7 圓周率 π =.45965 特殊數 e =.788884, 化成十進位數都是 不循環的無限小數 我們可造成許多無理數, 如 0.0000000000, 它是由 0 與 組成, 夾在兩個 之間 0 的個數 逐漸增加, 是一個不循環的無限小數 實數 R : 有理數與無理數合在一起稱為實數 任意實數 α, 則 α 0 順伯的窩 數與式 [ 第 頁 / 共 頁 ]
https://sites.google.com/site/hysh4mth 高中數學講義 C N Z Q R 數系 N Z Q R C 實數 R,( 平方 0) 複數 C 虛數 i 自然數 整數 有理數 實數 複數 整數 Z 有理數 Q 正整數 ( 自然數 )N 零負整數 分數小數 ( 有限小數 無限小數 ) 無理數 ( 不可化為分數 ) : π,e,,, 數線坐標 : 數線上的所有點的集合為實數, 若數線上 A 點對應點為, 稱為 A 點在數線上的坐標 記為 A() 實數的四則運算與次序 :. 數線上兩實數,b 則 +b, b,b, b,( 0) 仍為數線上實數點. 實數仍具有運算律中的結合律 交換律 分配律. 數線上愈右邊的點愈大 b > 0 稱 大於 b, 記為 > b 4. 實數次序性質仍具有三一律 遞移律 加法律 乘法律 有理數與無理數的和與積 :. 有理數與無理數的和為無理數. 有理數與有理數的和與積仍為有理數. 有理數 ( 不為 0) 與無理數的積為無理數 4. 兩個無理數的和或積可能為有理數, 也有可能為無理數 5. 設,b,c,d 均為有理數,x 為無理數 ; 若 +bx = c+dx 則 = c,b = d 算幾不等式 : ( 算術平均數與幾何平均數的不等關係式 ) +b 若,b 為非負實數, 則 b 且當 = b 時, 等式才成立 例題 數系 b 0 範例 : 將式子 + b 5 化為最簡? : 若 b = c 驗證 d c = b 是否成立? d b : 若 b = c +b 驗證 = c+d 是否成立? d b d 5 ;b 5, 5 (b 5) 順伯的窩 數與式 [ 第 頁 / 共 頁 ] yes yes
4 高中數學講義數與式 c : 化簡 d : 式子 =? x x x 8x 4 可化簡為下列哪一選項? () 4 () 4 () x 4(x ) (4) (+) 7x 4(x ) 範例 : 若 為正整數, 且 4 < 0. < 99 99, 求 值? = : 選出正確的選項? (). 0.9 < (). 0.9 = (). 0.4 = 0. + 0.04 (4). 0.4 >,4,5 (5). 0.4 = 0.+0.04 b : 將 0.8 化為最簡分數? c : 下列選項中哪些為無理數?() 0.45 () ().44 (4) (5) π (6) 49,,5 5 範例 : 已知 5 < 6 < 7, 試問 6 比較接近 5 或 7? : 設 = 0+ 8,b = + 6,c = + 7, 試比較,b,c 之大小順序? b : 設 =,b = 4,c = 5 4, 試比較,b,c 之大小? 範例 4: 設,b 為有理數, 且滿足 ( b)+(+b) = ( )+(4 b), 求,b 值? 較接近 7 > c > b > b > c =,b = 4 : 求下列符號所表示的實數? i. 8 ii. b 4 b iii. 4 8 不存在 不能 4b : 若 為無理數, 問 (+),( ) 可否均為有理數? 4 4c : 化簡 48x 4 x =? x 4d : 解 x+5 = + x x = 4 4e : 解 4 = = 6 範例 5: 設,b 為實數, 且滿足 ( ) +(b ) = 0, 求,b 值? =,b = 5 : 設,b,c 為整數, 且滿足 ( ) +(b ) +(c+) =, 求,b,c 值? = 0,,b =,c = 5b : 設,b,c 為整數, 且滿足 + b + c+ =, 求,b,c 值? = 0,,b =,c = 順伯的窩 數與式 [ 第 4 頁 / 共 頁 ]
https://sites.google.com/site/hysh4mth 高中數學講義 5 5c : 已知 x++ y + +( z) = 0, 求 x +y +z 值? 4 算幾不等式應用 : 變數間和與變數間乘積的大小關係 範例 6: 若,b 均為正數, 且 +b = 6, 求,b 的值為何? 使 b 的値最大為多少? ( 解 :) =,b = ; Mx b = 9 6 : 在 0 x 條件下, 求 y = x ( x) 的最大值? 6b : 一矩形面積為 5, 則此矩形的最小周長為何? x =,Mx = 4 7 6c : 一個農民想在一個面積 60000 平方公尺的長方形周圍圍上籬笆 他計劃在其中一邊使用的圍欄費用為每公尺 00 元, 而另外三邊的圍欄每公尺花費 00 元 問他必須如何規劃此矩形使得購買柵欄費用降至最低? 最低費用為多少元? ( 解 :)00 00 的矩形, 其中圍欄費較高的一邊為 00 公尺, 最低費用為 0000 元 0 6d : 若 0 x, 求 y = ( x)(+x) 的最大值? ( 解 :) 利用 ( x)+(+x)+(+x) ( x)(+x)(+x), 當 x =,mx y = 7 習題 - 數與數線. 下列敘述何者恆真? () n N, 所有的 n + 為質數 () 所有的奇數必為 4n+ 形式, 其中 n 為自然數 () 若某數為 4 與 的倍數, 則某數必為 6 的倍數 (4) 任兩相異的平方數之差必為奇數 (5) 若 x 為實數, 則 x+4 4 (6) 任兩相鄰整數的立方差不可能為 的倍數 (7) 任意非零實數必大於其倒數 (8) 若某數為奇數則該某數的平方必為奇數. 若 +b,+b 均為整數, 則,b 是否為整數?. 若 +b,+b 均為有理數, 則,b 是否為有理數? 4. 已知,b 為有理數, 且 + +5 b = 4+, 求,b 值? 5. 將 6. 將 7. 滿足 5607 685 469 + 59 7 < n 00 < 6 化為最簡分數 b, 求分母 及分子 b =? 化為最簡分數, 則其分母為? 的正整數 n 有幾個? 8. 設 x,y Q, 若 (+ 5)x+( 5)y = 8 5, 求 x,y 之值? 9. 設 R, 若 Q 且 5 Q 則 是否必為有理數?Why? 0. 設 7 化為小數後, 小數點以下第 n 位數字為 f(n), 則 f()+f()+ +f() =?. 已知 x,y,z 為正實數, 且 xyz =, 求 x+y +z 的最小值? 順伯的窩 數與式 [ 第 5 頁 / 共 頁 ]
6 高中數學講義數與式. 設 x > 0, 若 x = t 時, 使得 x+ 6 x +0 最小值為 m, 求數對 (t,m) =?. 設 x,y 為正實數且 x+y =, 求 4. 設,b 是正實數, 試證 : +b y x + x y 的最小值? b ( 算幾不等式 ) 5. 對於任意實數, 下列說法是否恆成立? 若不對, 請補充一定的條件使之成立 () x+ > (b) 若 x,y 0 則 x+y 0 (c) 若 x > y 則 x < y (d) 若 x = 則 x = (e) 若 x > y 則 x > y 6. 若 x > 0, y = x +x, 利用算幾不等式, 求 x 為何值時? 會使得 y 有最大值為多少?(hint:y = x+ ) x 習題 - 7. 78 個 4. 可利用 ( b) 0.,5,6,8.,b 未必為整數.,b 必為有理數 4. =,b = 5. = 6677,b = 6. 57 7 = 00487. 式的運算 乘法公式 : 8. x =,y = 4 9. 是, Q, 5 = 0. 54.. (4,8 +0). 4 5. x > 0 5b. xy > 0 5c. x > 0,y > 0 5d. 0 5e. x > y > 0, 或 x < y < 0 6. x =, Mx y =. 完全平方公式 : (±b) = ±b+b. 平方差公式 : b = (+b)( b). 立方和公式 : +b = (+b)( b+b ) 4. 立方差公式 : b = ( b)( +b+b ) 5. 和立方公式 : (+b) = + b+b +b = ( +b )+b(+b) 6. 差立方公式 : ( b) = b+b b = ( b ) b( b) 常用式子的和 差與積的代換關係式 :. +b = (+b) b. (+b+c) = +b +c +(b+bc+c) 順伯的窩 數與式 [ 第 6 頁 / 共 頁 ]
https://sites.google.com/site/hysh4mth 高中數學講義 7. +b = (+b) b(+b) = (+b)( b+b ) 4. b = ( b) +b( b) = ( b)( +b+b ) 5. +b +c bc = (+b+c)( +b +c b bc c) 分解因式 : 把二次或二次以上的式子分解成較低次數的因式乘積, 稱為因式分解 常見的因式分解方法 :. 先提出公因式 :( 分組配對 ) 物以類聚法 xy +y xz z. 乘法公式 : 平方公式 平方差公式 立方和 立方差 完全立方公式等. 十字交叉乘法 ( 二次三項式 ):(x+b)(cx+d) 4. 雙十字交叉乘法 :( x+b y +c )( x+b y +c ) 5. 拆項配方 ( 乘法公式 ) 法 : x 4 +x +x 根式的運算性質 : 0, 表為方程式 x = 的非負解. 若,b > 0 則 b = b. 若,b > 0 則 b = b. 若,b > 0 則 = b b 4. x = x ( x) = x ( n x) n = x 根式有理化因子乘積 單項二次根式 ( ) 二次根式 + b b ( ) ( b) 二次根式 b + b ( ) ( b) 單項三次根式 ( ) 單項三次根式 ( ) 三次根式 + b [( ) b+( b) ] ( ) +( b) 三次根式 b [( ) + b+( b) ] ( ) ( b) 三次根式 [( ) b+( b) ] + b ( ) +( b) 三次根式 [( ) + b+( b) ] b ( ) ( b) 雙重根式的化簡 : x± y = (+b)± b = ( ± b) = ± b 例題 式子化簡 範例 : 將 x 6 +6x 5 +5x 4 +0x +5x +6x+ 表示成某式的立方? (x +x+) 順伯的窩 數與式 [ 第 7 頁 / 共 頁 ]
8 高中數學講義數與式 : 化簡 +b +c bc ( b) +(b c) +(c ) b : 將 x +x+4 表示成 (x ) 的多項式 ( 即 (x ) +b(x )+c 形式 ) c : 若 (x +cx+d) 展開式為 x 4 +x +bx 8x+4, 則常係數,b,c,d 值為何? (+b+c) =,b = 5,c = 8 ( 4,8,,) 範例 : 將下列根式的分母有理化 :. + =? ( 解 :)+ 9+. 0+ 5 0 5+ =? ( 解 :) 7 ( 0+5 5 0 ) 0+ : 將 表示成兩個無理數乘積, 其中一個無理數為 5+ + + ;98 b : 若 x =,y = 則 xy =? x +y =? + c : 若 x = 5+ 雙重根式化簡, 求 4x 0x 值? 範例 : 化簡 9 0 値? 化簡 6 4+ =? : 化簡 8 7 値? b : 化簡 9 4 6 値? ( 解 :) 4 ( ) c : 求最接近 + 9 的整數? 9 範例 4: 化簡 4+6 5 的整數部分為, 正小數部分為 b, 求,b 的值? 4 : 若 x,y 分別是 8 的整數部份和小數部份, 則 xy y =? 4b : 已知方程式 x 5x+45600 = 0 的兩根為 675,676 化簡 5+780? 4c : 已知 99+70 的實數立方根為 +b, 其中,b 為整數, 求實數 99+70 4d : 比較 = 7+0 ( 與 b = + ) 的大小? 7 5 4 7 + 9 4 = 5,b = 5 5 6+5 + = b 順伯的窩 數與式 [ 第 8 頁 / 共 頁 ]
https://sites.google.com/site/hysh4mth 高中數學講義 9 範例 5: 設 x =, 求 ()x+ x = () x + x = () x + x = ( 解 :) 先求出 x x =,x+ x = 4 值, 再利用乘法公式求值 ; ()4,() 4,() 5 5 : 已知 x = 5b : 設 x = 5c : 設 x =, 求 (x+ x ) 4(x+ x )+4 值? 8 +,y =, 選出正確敘述選項?() xy = () x +y = 4 () x+y = 6,,,4,() (4) x y = (5) x 4 的整數部分為 4 7 40,y = 7+ 40, 試求 x +xy +y 之值? 習題 - 式子化簡. 因式分解下列各式 : () x +8y () 4 + +. 因式分解下列各式 : () x 4 +x +4 () x 8xy +5y +x 4y. 因式分解 (x+) (x+)(x )+(x ) 4. 若 x =.0 試比較 = x 與 b = x x + 的大小? 又若 x = 0.99 時, 比較 = x 與 b = x x+ 的大小? 5. 設 = + 5 +, 則下列選項何者的值與 相等?() 0.68 () + () (4) (5) 6. =,b = 7. 已知 x = +, 問,b 分別最接近哪一整數? +,y =, 求 + 8. 化簡 9 4 9+4 5 値? 9. 化簡 x = 0. 求 8 60,y = + 7 + + + =? + + 4. 化簡並求出其值 : () (+ 6)( + 6) =? 54 (b) + 8 6 4 (c) 9 4 (d) (+ ) 4 =. 已知 = +,b = +6 4x 49xy +4y 的值? + 求下列各值 : ()+b ()b () +b (4) b 順伯的窩 數與式 [ 第 9 頁 / 共 頁 ]
0 高中數學講義數與式. 求整數 k 滿足 m = ( (+ ) 5) k 亦為一整數? 並求此整數 m? 4. 說明 0 00 ( 0 00 + 0 00 ) 略小於 習題 -. (x+y)(x xy+4y ),( + +)( +) 6.. = 5,b. = 5 7. 7 b. c. 5 6 6 4. () (x + x + )(x x + ) () (x 5y +)(x y ). 0(x+)(x+) 4. > b; < b 5.,,4,5 8. 5 9. x = 5,y = + 0.. 8+6 d. 97+56. 4,,4,8. k = 9;m = 70 4. ++ + 深入研究題. 化簡求值 + 5+ 5 =?. 將分母根式有理化 :. 化簡 9 4 6 =. 數線上的幾何 + = + 9+ 絕對值 : 數線上對應的點 A(), 用符號 表示原點 O 與點 A() 的距離, 為 的絕對值 4 ( ) 絕對值的性質 :. 當 0 時, = < 0 時, =. 數線上兩點 A(),B(b) 的距離為 AB = b = b. 絕對值性質 : 兩實數,b () 0 (b) = (c) = (d) b = b (e) b = b,b 0 (f) b b (g) 三角不等式 ±b + b ; b ±b 數線上兩點距離與絕對值 : 每一個實數 恰對應到數線上一點 A(), 則 A,B 兩點間的距離 AB 用 b 表示 順伯的窩 數與式 [ 第 0 頁 / 共 頁 ]
https://sites.google.com/site/hysh4mth 高中數學講義 分點公式 : 分點公式 : 設 A(),B(b) 為數線上相異兩點, 若點 P(x) 是線段 AB 上的一點且 PA : PB = m : n, m : n 則 P(x) = ( mb+n n+m ) A P B x 絕對值不等式 :. x 充要條件為 x O x. x 充要條件為 x 或 x O x 三角不等式 : x + y x+y, x y x y 例題 數線上的位置範例 : 三個相異實數 b c 滿足 b = 4 5 + 5 c, 如果將 b c 標示在數線上, 則 (). b 在 與 c 之間 (). c > b (). 若 d = 4 c, 則 d 在 與 c 之間 (4). 到 c 的距離是 到 b 的距離的 5 倍 (5). 如果 b = 4 5 + 5 c, 則 b c > 0 : 設,b 為實數, 且 > b, 則下列何者正確? (). > +b (). > +b > +b 4 b > b (4). 5 5,,4 > b (). > +b > > b > +4b (5).,4 > +b > b +b b b : 若已知 0 < x <, 數線上點 = x,b = x,c = x,d = x, 則此四點在數線上由左而右的點 依序為何? c : 已知數線上,b 的位置如圖 : 選出下列正確選項? O b d < < < b < c (). 數線上 b 位於 的右邊 (). 數線上 b 位於 b 的左邊 (). 數線上 b 位於 b 的右邊 5 b m+nb (4). 數線上位於 的左邊 (5). 數線上, 任意實數 m,n, 點必位於,b 之 m+n,,,4 間 4 d : 若 x : x 4 = : 4, 求 x 值? 7 絕對值不等式 x 範例 : 不等式 x < b 之解為 < x < 5 則,b 之值? =,b = 4 順伯的窩 數與式 [ 第 頁 / 共 頁 ]
高中數學講義數與式 : 不等式 x+5 > b 之解為 x < 或 x > 6, 求,b 之值? =,b = 7 b : 解不等式 5 x 6 c : 解不等式 x > 7 d : 不等式 x+9 b 之解為 x 5, 求常數,b 之值? 範例 : 解不等式 x+ + x 4 < 5 : 滿足不等式 x + x+ 5 的整數共有幾個? b : 解不等式 x+4 x 7 c : 解不等式 x 4 + x+ 6 x x > 5,x < = 4,b = < x < 7 5 x,x x,x = 範例 4: 利用絕對值在數線上幾何意義 ( 距離 ), 求 x + x + x + x 4 的最小值? ( 解 :) 當 x 代入 ( 中間數 ), 有 min = 4 4 : 若不等式 x + x+4 < 為無解, 此時常數 值範圍為何? 4b : 求 x + x + x +4 x 4 的最小值? 4c : 求 x x+ 的最大值? 7 x =,min= 8 Mx = 4d : 求 (x ) +(x ) +(x ) +(x 4) 的最小值? ( 解 :) 當 x = +++4 4. 數線上兩點 A( ),B(5), 求 () AB =? 平均數,min= 5 習題 - 數線上的幾何 (b) 已知 AB 線段上一點 P, 使 PA : PB = :, 求 P 點坐標? (c) 已知 AB 直線上一點 P, 使 PA : PB = :, 求 P 點坐標?. 設,b Q 且 < b, 則下列何者為真? (A) < +b b (C) < +b < +b < b (D) < +b 4 4. 求滿足 x+ = 4 的實數 x 值? 4. 解方程式 x + x 4 = 6,x R 5. 解不等式 < x+7 7 6. 解不等式 x 4 > < +b < b (E) < +b 5 < b (B) < +b 4 < +b 5 < b < +b 4 < 順伯的窩 數與式 [ 第 頁 / 共 頁 ]
https://sites.google.com/site/hysh4mth 高中數學講義 7. 對任意實數 x, 求 x + x 5 + x 8 的最小值? 8. 若不等式 x+ b 的解為 x 5, 求實數,b 之值? 9. 設,b R, 若 x b 的解為 8 x, 求數對 (,b) =? 0. 解不等式 : x 4 + x+ > 5. 解 < x+ 8 習題 -. AB = 6 b. P() c. P(),P(). A,B,E. x =, 5 4. x =,5 5. < x 5 6. x >,x < 7. 6 8. =,b = 9. ( 6 5, 5 ) 0. x R. 0 x < 5, < x 6... 教用版 ( 附參考答案 )... 順伯的窩 - End - [ 第 頁 / 共 頁 ]