第五講 連鎖律與隱函數微分法 Chain Rule & Implicit Dierentiation 5 -
目錄 5. :綱要 5. :合成函數 5. :連鎖律 5. :隱函數微分 5.4 :動動腦想一想 5 -
綱 要 本講將介紹連鎖律與隱函數微分法, 前者是有關合成函數之微分公式, 後者則有別於前面第四講之顯函數微分 5 -
o g 合成函數 C o m p o s i t e F u n c t i o n ) 定義: 5. 給予兩函數 與 g, 則 與 g 之合成函數記作 g 定義為 g) )χ)) gχ)) 此處 g 之定義域為函數 g 定義域內所有 χ 之集合, 使得 gχ) 在 之定義域 即 D o g { D 且 g D } ) g 5-4
合成函數 C o m p o s i t e F u n c t i o n ) 例 : 若 χ)x4 且 gχ) g ) )χ) 與其對應之定義域 解 : g)χ) gχ)) ) g )χ) gχ))gx4) D D g o o g 註 : 此例可見, 一般而言 g g 5-5, 求 g) )χ) 及 4 4 [ ) 4 ) { }, 4 { - } [,
合成函數 C o m p o s i t e F u n c t i o n ) 例 : 若 且 g ) 求 g) )χ) 解 : 又 ) 9 4 Q D g ) [,] 4 4 g ) D D g φ 故 o g ) ) 9 4) 無意義 註 : 由此例可見, 任何函數的合成函數不一定有意義 5-6
合成函數 C o m p o s i t e F u n c t i o n ) 例 : 已知 F ) 使得 F o g o h ) 4 解 : 令 試求函數 g 與 h 4 ) g ) 且 h ) 則 F ) o g o h ) ) g h ))) g )) ) 4 ) ) 4 5-7
連鎖律 定理 :5.: 連鎖律 設函數 g 在點 a 處有導數存在, 函數 在點 bga) 處有導數存在, 則合成函數 ƒ g 在點 a 處亦有導數 存在, 而且 o g) a) g a)) g a) 5-8
連鎖律 證明 : Q 令 則 o Fz) g ) a) lim F Z) z b 即 F 在點 b 處連續, 因 b ga) o g ) ) o g ) a) lim a a z) b) z b b) lim z b z) z 當 z 當 z b) b b 時 b 時 b) F b) 故 z) b) F z) z b) Z D 5-9
5 - 連鎖律連鎖律令則 ), ) ) ) ) a g b g z g G o [ ] ) ) ) ) lim )) lim ) ) )) lim )) )) lim ) ) lim a F a G a a g g g F a a g g g F a a g g a a G G a a a a a
連鎖律 若令, 時, 則有 連鎖率亦可表為 推廣之 即 u) u g) o g 等等 u o h) u v ) v u u 等等 g h ))) o g) ) g h )) h ) 5 -
連鎖律 定理 :5.: 設 ) 在點 處有導數存在 則 證明 : 令 [ ] n [ ] n ) n ) ) u ) 則 5 - [ ) ] n u nu n n n u u u n u 連鎖律 ) [ ] n ) )
5 - 連鎖律連鎖律例 4: 例 5: 5) ) 5 4 ) 5 ) 5 4 ) 5 4 ) ) )
連鎖律 例 6: ) 4 ) ) 4 4 ) ) ) ) ) ) 5-4
5-5 5 例 7: ) 8) 8 ) 8) ) 8 8 8 8 8 連鎖律連鎖律
5-6 6 連鎖律連鎖律例 8: ] ) [ ] ) [ ] ) [
連鎖律 例 9: [ ] 6 4 5 ) [ ] [ ] 6 6 5 ) 4 5 ) 4 [ ] 6 5 ) 4 [ ] [ ] 6 5 5 ) 4 65 ) [ ] [ ] 6 5 5 ) 55 ) 4 4 4 65 ) 5 5 ) 5-7
連鎖律 例 : 求函數 解 : Q ) ) ) ) ) 故 在 與 處有水平切線 ) ) ) ) 在何處有水平切線?, ) 5-8
連鎖律 例 : 若 ) 且 求? 解 : ) ) ) ) 4 ) 5-9
5 - 連鎖律連鎖律例 : 設 是一可微分函數且是一可微分函數且若試求試求解 : 解 : ), ), ), ) ) ))) ) g ) g ))] ))) )))[ ))] )) )))[ ))] [ ))) ) g Q
5 - 連鎖律連鎖律 7 9 ) 9 ) ) ] ) ))[ )] ) ))[ ))] )) )))[ ) g
隱函數微分法 給定一方程式 例如由方程式 F, ), 有時可由此求出 6 可求出 4 ) 即 ) ), 其中此即為顯函數 eplicit unction) F, ) 在此之前已討論 ) 6, 但有時由方程式 不易解出 5 - ), 則只需對原方程式直接微分就可以求出隱函數 的 導數, 此法稱為隱函數微分法 implict ierentiation)
隱函數微分法 以下為隱函數微分法的例子 例 : 4 4 5 求? 解 : 4 4 5-4 4 ) 4 ) 5 5 5 5 )
隱函數微分法 例 4: F, ) 5 求及在處之切線斜率 解 : 5 ) Q 5 9 6 ± 4 故過切點,4) 之切線斜率為 -/4 過切點,-4) 之切線斜率為 /4 5-4
隱函數微分法 例 5: 求過曲線 上一點,) 之切線方程式 解 : 故過點,) 之切線斜率 所求之切線方程式為 5-5 Q ) ) ) ) 4 ) 4 4 m,) 5 ) 5
隱函數微分法 例 6: 試證在橢圓 證明 : Q a b 故過點, ) 之切線斜率 5-6 a a b b a b 上點, ) 處之切線方程式為 b a m, ) b a a b
5-7 7 隱函數微分法隱函數微分法切線方程式為切線方程式為即,, ) 為橢圓為橢圓上之點上之點 ) ) a b ) ) b a b a b a b a
隱函數微分法 例 7: 若, 求與 解 : 5-8 st st s t t s Q s t st ) t t s s s t s t t t s t s st t ) st s ) t s st s ) t st t ) )
隱函數微分法 5-9 s t st ) s s t t st s t s t s s t s st st t s t st t ) s st s s 由此例可見 t t s ) ) ) )
隱函數微分法 例 8:, 求 解 : ) ) ) 6 ) 5 -
隱函數微分法 即 6 ) ) ) 由 ) 代入 ) 得 ) 5 -
隱函數微分法 例 9: 試證過 證明 :, 上之點 Q ) ),, 的法線也會經過原點 表過, 之切線斜率為 -;; 法線與切線垂直, 故法線斜率為 法線方程式, 即法線 過原點 5 -
隱函數微分法 例 : 曲線 上過那一點之切線為垂直切線 解 : 求垂直切線, 即求滿足 Q ) 之點 5 -
隱函數微分法 故 ) ) 或 ) 當代回曲線方程式, 得 不合理 ) 當代回曲線方程式, 得 故在點,) 處有垂直切線, ) 5-4
動動腦想一想. 設 ), g ) 試求 o, o, 及 g g D o g Dg o 解 : o g) ) g )) ) ) ) D o g [, ) o ) ) )) ) g g g D 5-5 go [, ]
動動腦想一想 4. 設 F ) ) 5 ) 7試求兩函數 ) 及 g ) 使 F o g 解 : 令 則 g 4 ) 5 7, ) o g) ) g )) ) 4 ) 5 ) 7 F ) 5-6
動動腦想一想. 求方程式 ) 的圖形在點,) 之切線方程式 解 : ) ) ) ) 9 9 過點,) 之切線方程式為 ) 5-7
動動腦想一想 4. 求函數 ) 8 在何處有水平切線 解 : 水平切線, 即切線斜率為,, 故在 χ4 處有水平切線 5-8 Q ) 8 ) ) 8 ) 8) 4 8
動動腦想一想 5. 若 ) ) ) 求 ) 解 : ) ) ) ) ) ) ) ) ) 4 4 ) ) )) 8 ) ) 4) 5-9
動動腦想一想 6. 已知與 解 : Q 5-4 h g g ) 4 求 h ) ) )), ), ) h ) g )) ) )) ) h g h ) g )) ) g ) 4)
動動腦想一想 7. 若 ) 求 ) 解 : Q ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 5-4
動動腦想一想 ) ) ) ) ) 8 ) 5-4
動動腦想一想 8. 假設 為可微分函數, 試利用連鎖律 證明 : ) 若 為偶函數, 則 為奇函數 ) 若 為奇函數, 則 為偶函數 證明 : ) 若 為偶函數, 即 ) ) 則 )) )) ) ) ) 即 故 ) ) 為奇函數 5-4
動動腦想一想 ) 若 為奇函數, 即 ) ) ) 則 )) )) ) ) 即 故 ) ) 為偶函數 5-44
動動腦想一想 9. 設 為可微分函數, 且 求 g ) ) 令 g ) ) 解 : Q g ) ) g ) ) ) ) 6 ) 4 5 5-45
動動腦想一想. 若 為可微分函數, 試證 ) ) ) ) 證明 : Q 5-46 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
動動腦想一想. 若 為可微分函數, 且 解 : 令 ) ) ) 求 ) 5-47
動動腦想一想 7. 求之圖形在 χ 處之切線方程式 解 : Q 7) ) 5-48
動動腦想一想 又 χ 代入 得 7 6, 4 ; 5 5, ),) 5-49 故過,-) 之切線方程式為 4 5 ) 過,) 之切線方程式為 5 )
動動腦想一想. 求及 解 : 5-5
動動腦想一想 5-5
動動腦想一想 4. 利用隱函數微分法, 求 解 : ) 5-5
動動腦想一想 t t 5., 求 解 : Q t t t t t t t t t t ) t t t t t t t 5-5 ) )
動動腦想一想 6. 試證在拋物線 為 證明 : 5-54 c Q c上點 ) c) c, ) c, ) c 處之切線方程式
動動腦想一想 故過 即 故, ) ) 之切線方程式為 c c ) ) c c c c ) ), ) 為拋物線 c 為所求 上之點 ) 5-55
動動腦想一想 4 7. 若求 解 : Q 即又即 4 ) 8 ) 8 ) 6 8 ) 8 ) ) 5-56
動動腦想一想 由 ) 得代入 ) 5-57 8 6 8 8 8 4 9 68 64 48 9 8 64 4
動動腦想一想 8. 求過 5-58 4 ) 8 圖形上一點 -,,-) 之切線方程式 解 : 4 Q ) ) 8 4 ) ) 4 ) 4 ) ) 8 )
動動腦想一想 8 ) 4 ) 過 -,,-) 之切線斜率 m, ) 故切線方程式為表過 -,,-) ) 之切線為水平切線 5-59
動動腦想一想 4 9. 求過原點且切於圓 C: 之切線方程式 解 : 原點不在圓 C 上, 故應先求切點 P Q 4 ) 4, ) 故過切點, ) 之切線斜率為 5-6
動動腦想一想 又此切線通過原點及, ), 切線斜率亦為 由 得 ) 代入圓 C 之方程式 4 ) ± 4 故通過原點且與圓 C 相切之切線有二, 且其切點分別為 5-6,,,
動動腦想一想 Q,,, 過切點, 之切線方程式為 ) 過切點, 之切線方程式為 ± 故由 ) ))) 式化簡為所求 ) 5-6
動動腦想一想. 試證兩雙曲線與之交角為直角 證明 : 兩雙曲線之交角即為過其交點之兩切線的夾角 ), ) 設兩雙曲線之交點為, ) 則此二切線斜率分別為 與, 斜率乘積為 - o 故兩雙曲線之交角為直角 5-6