國中數學基本學習內容補救教材　第五冊

五 -1 單元五直線與圓及兩圓的關係 主題一點與圓的關係 校慶來臨, 小欣的班上決定擺設射飛鏢遊戲的攤位, 製作了一個半徑為 20 公分的圓作為鏢靶 遊戲規則未射中圓形鏢靶得 0 分射中圓形圓形標靶內部得 5 分恰好射中圓形標靶外框得 10 分 小欣 自己試玩 4 次, 結果落在點 A B C D( 如圖 ), 其中 的 D 點因圓沒畫完, 看不出 D 點的位置是在圓內, 圓上還是圓 外, 因此請小蘋 來幫幫他 知道半徑是 20 公分, 只要再測量 D 點和圓心的距離就可以知道啦! 與圓心的距離等於半徑的點在圓上, 小於半徑的點在圓內, 大於半徑的點在圓外 如圖, 圓 O 半徑為 OA =r, 則 (1)OP =r,p 在圓 O 上 ; (2)OQ <r,q 在圓 O 內 ; (3)OR >r,r 在圓 O 外 小欣測量出 OD =21 公分, 則 D 點是在哪裡? 答 : ( 圓 O 上 圓 O 內 圓 O 外 ); 又這 4 次的試射, 小欣總共得分 五 -1

五 -2 國中數學基本學習內容補救教材第五冊 小試身手 1. 如圖, 圓 O 的半徑為 2 公分, 則觀察 A B C D E O 各點, 哪些點與圓心距離小於 2 公分?( ), 哪些點與圓心距離等於 2 公分?( ), 哪些點與圓心距離大於 2 公分?( ) 2. 在平面上, 有一圓 O, 半徑為 16, 已知 OP =26,OQ =16,OR =8; 請問 P Q R 三點分別與圓的位置關係為何? (1) 落在圓 O 外部的有, (2) 落在圓 O 內部的有, (3) 落在圓 O 上的有 3. 在平面上, 有一圓 O,OP =10,OQ=12,OR =8; 若其中有一點 在圓 O 上, 其餘兩點都在圓 O 外, 則圓 O 直徑為多少? 答 : 4. 如圖, 小蘋在紙上畫了 4 個圓, 並利用圓心與圓的一些交點作出 12 條線段 若此 4 圓的半徑為 2 2 3 6, 則這 12 條線段的總 長度為多少? 五 -2

五 -3 主題二直線與圓的關係 < 直線與圓的交點 > 哇! 只有一個圓卻有好多條直線哦! 每條直線和圓的交點個數各有不同 交點有 2 個的 有 1 個的 有的沒有交點, 是不是就這 3 種情形? 與圓只相交 1 點的直線稱為該圓的切線, 交點稱為切點 而與圓相交 2 點的直線稱為該圓的割線 填填看 1. 如圖, 三條直線 L M N 中, 與圓 O 只交於 1 點的直線是, 稱為圓 O 的線, 切點為 ; 與圓 O 相交於 2 點的直線是, 稱為圓 O 的線 ; 與圓 O 不相交的直線是 2. 如圖, 填入適當的名詞 五 -3

五 -4 國中數學基本學習內容補救教材第五冊 < 切線 切點與圓心 > 仔細看,OA 很像與直線 L 垂直 是真的嗎? OA 就是圓心與切點 連成的半徑, 是真的 垂直 L, 只要一步步 想就明白了! 問題與討論如圖, 直線 L 為圓 O 的切線, 且 B 為切點, 則 OB 與直線 L 垂直嗎? 請試著回答下列問題 : (1) B 點是否在圓 O 上? 除了 B 點,L 上的點是否都在圓 O 外? (2) 由 (1),O 到直線 L 上的哪一點距離最短? (3) 由 (2), 請問 OB 與直線 L 垂直嗎? [ 提示 : 一點到直線的最短距離, 指從該點作直線的垂直線段長度 ] 歸納結論 : 1. 圓心與切點的連線段等於圓的半徑 2. 圓心與切點的連線垂直於切線 3. 圓心與切線的距離等於圓的半徑 B=90 五 -4

五 -5 < 精彩小回顧 : 點到直線的距離 > 1. 點到直線的距離是點與該直線的垂直線段長嗎? 2. 左下圖, 在直線 L 上的點, 最靠近 A 點的是 點 3. 右下圖, 若 P 點到直線 M 的距離是 PC 長, 則 =90 直線與圓的相交關係圖示 直線 L 與圓 O 不相交 OA 大於圓 O 半徑 直線 M 與圓 O 只交於 B 點 OB 等於圓 O 半徑 直線 N 與圓 O 交於 C D 兩點 OE 小於圓 O 半徑 小試身手 1. 設一圓的半徑為 r, 圓心到直線的距離為 d 請填填看 : 直線與圓位置關係 不相交 切線 割線 直線與圓的交點數 比較 d 與 r 的大小關係 2. 如圖, 直線 L 為圓 O 之切線, 則 A B C 何者為其切點? 答 : ( ) 為切點 五 -5

五 -6 國中數學基本學習內容補救教材第五冊 < 計算切線段長 > 只剩這兩邊了, 繼續量一下吧? 那是切線嗎? 切點在哪裡? 例 1 如下圖, 若 PA 為圓 O 的切線, 切點為 A, 且圓 O 的半徑為 5, OP =13, 則 PA 為多少? 選擇對半徑就會很好算 解 : 連 OA, 則 OA, OPA 為直角三角形 利用畢氏定理 PA = 13 2 5 2 = 169 25= 144=12 例 1 中,PA 的長稱為 P 到圓 O 的切線段長 事實上,P 到圓 O 還有另一條切線段 PB, 如圖 請算算看,PB 的長為多少? PA PB 長度是否相等? 解 : 我們發現 : 若 PA PB 為圓 O 的切線, 且 A B 為切點, 則 PA =PB, 稱為切線段等長性質 五 -6

五 -7 若 PA PB 為圓 O 的切線, 且 A B 為切點, 則 OAP OBP 請試著填填看 (1) 因為 PA PB 為圓 O 的切線, 且 A B 為切點, 所以 OA AP 且 OB BP ; (2) OA = OB ( 皆為圓的 ) (3) OP = OP ( 共用邊 ) 所以 OAP OBP ( 根據三角形 全等性質 ) 由上亦知 :(1) PA =PB (2) APO= BPO AOP= BOP 小試身手 1. 如圖, BA BC 為圓 O 的切線, 切點為 A C, 且圓 O 的半徑為 6, OB =10, 則切線段 BA BC 的長為多少? 2. 如圖, AC 與 BC 為圓 O 的切線,A B 為切點, 若 OC =25,CB =24, 則圓 O 的半徑為多少? 四邊形 OACB 的周長為多少? 3. 如圖, PA PB 為圓 O 的切線, 且 A B 為切點, APB=50, 則 POB 是多少度? 五 -7

五 -8 國中數學基本學習內容補救教材第五冊 主題三弦與弦心距 哇! 上弦月! 看我登天摘下它 哇! 踩到圓心了, 好喘喔! 從哪一邊走呢? 起點越低的越容易喘! 圓上相異兩點相連的線段稱為弦, 圓心與弦的距離稱為弦心距 如圖,AB CD 為圓 O 的兩弦,OM ON 分別為 AB CD 的弦心距 小欣 的觀察 :(1) 一個圓有無限多條弦, 直徑是最長的弦 (2) 與圓心距離越遠的弦, 長度就越短! 直徑是最長的弦弦心距越長, 弦越短 O 五 -8

五 -9 一弦的弦心距垂直平分此弦 如圖,AB 為圓 O 的一條弦, 且 OM 為此弦的弦心距, 我們一起來說明 OM 垂直平分 AB : (1) 連接 OA 及 OB, 則 OA =OB ( 皆為圓 O 的 ), (2) 又 =OM ( 公共邊 ), (3) OMA= OMB=90 (OM 為 AB 的弦心距 ), (4) 所以根據三角形 全等性質, OMA OMB, 因此對應邊 MA =MB (5) OM AB 且 MA =MB OM 垂直平分 AB 由上亦知 :OM 是 AB 的垂直平分線, 即 過圓心且垂直弦的直線必平分此弦, 或弦的垂直平分線必通過圓心 填填看 1. AB 為圓 O 的一弦,L 1 L 2 L 3 L 4 L 5 皆為垂直 AB 的直線, 試判斷哪一條直線可平分 AB 的長?( 即通過 AB 的中點 ) 答 : 直線 ( ) 2. 圓心到弦的距離稱為此弦的 五 -9

五 -10 國中數學基本學習內容補救教材第五冊 小試身手 1. 一圓 O 半徑為 10, (1) 如圖,AB 是圓 O 的一弦,OM 為其弦心距, OM =6, 則 AM 多長?AB 多長? 解 :AM = ( ) 2 -( ) 2 = ( )= AB = (2) 如圖, 圓 O 的另一弦 CD,ON 為其弦心距, CD =12, 則 ON 多長? (3) 比較 AB 與 CD :AB CD ( 填 :> = <), 比較 AB 與 CD 的弦心距 :OM ON ( 填 :> = <), 小欣在主題三觀察 (2): 弦心距越長, 弦越短 是否正確? (4) 填填看 在同一圓中, 弦愈短, 所對的弦心距愈 ( 填 : 長 短 相等 ) 2. EF 是圓 O 的一弦,OP 為其弦心距, 若 EF =24,OP =5, 則圓 O 的半徑為多少? 五 -10

五 -11 主題四兩圓的位置關係 哇! 這個圖有好多圓喲, 我也畫 2 個圓試試 厲害! 完全表達出 大小兩圓的位置關係 連接兩圓圓心的直線稱為連心線, 如圖,L 為圓 O 1 與圓 O 2 的連心線,O 1 O 2 稱為連心線段, 也代表連心線段長 若設大圓 O 1 的半徑為 R, 小圓 O 2 的半徑為 r, 即 R>r 1. 圓 O 1 在圓 O 2 外, 圓 O 2 也在圓 O 1 外, 互不相交, 兩圓稱為外離 O > 1 2 R + r 五 -11

五 -12 國中數學基本學習內容補救教材第五冊 2. 將圓 O 2 沿著連心線向右移, 使兩圓只交於一點 P( 此點稱為切點 ), 兩圓稱為外切 O 1 2 = R + r 3. 將圓 O 2 沿著連心線再向右移, 兩圓相交於 P Q 兩點 此時可形成一個 O 1 PO 2, 因此 R r < O 1 2 < R + r R r < O 1 2 < R + r 4. 將圓 O 2 沿著連心線再向右移, 兩圓只交於一點 P( 此點稱為切點 ), 兩圓稱為內切 O 1 2 = R r 5. 將圓 O 2 沿著連心線再向右移, 小圓在大圓內, 互不相交, 兩圓稱 為內離 0 O 1 2 < R r 五 -12

五 -13 R r R + r O 1 2 內 內 交 外 外 離 切 兩 切 離 點 小試身手 1. 試著配對下列兩圓位置關係之名稱 : 外離 外切 相交於兩點 內切 內離 五 -13

五 -14 國中數學基本學習內容補救教材第五冊 2. 若圓 O 1 圓 O 2 的半徑分別為 R r, 且 R=6,r=2 請填填看: (1) R-r= 當兩圓內切時, = O 1 O 2 (2) R+r= 當兩圓外切時, = O 1 O 2 (3) 當兩圓相交於兩點時, < O 1 O 2 < (4) 當兩圓內離時, 連心線的範圍為 (5) 當兩圓外離時, 連心線的範圍為 3. 若圓 O 1 圓 O 2 的半徑分別為 7 4 請填填看: (1) 當兩圓內切時, O = 1 O 2 (2) 當兩圓外切時, O = 1 O 2 (3) 當 O =2 1 O 2 時, 兩圓關係為 (4) 當 O =15 1 O 2 時, 兩圓關係為 (5) 當 O =7 1 O 2 時, 兩圓關係為 4. 圓 O 1 半徑為 8, 圓 O 2 半徑為 3, 請根據表格中的連心線段長, 填入這兩圓的位置關係 O 1 O 2 = 5 O 1 O 2 = 1 O 1 O 2 = 11 O 1 O 2 = 6 O 1 O 2 = 20 五 -14

五 -15 主題五公切線 哇! 這條線同時跟 4 個圓相切, 真厲害! 當某直線同時是兩圓的切線時, 稱此直線為這兩圓的公切線 公切線分為兩種 :(1) 兩圓在公切線的異側, 稱為內公切線, (2) 兩圓在公切線的同側, 稱為外公切線 填填看 如圖, 哪些直線為圓 O 1 與圓 O 2 的外公切線? 哪些直線為圓 O 1 與圓 O 2 的內公切線? 答 : 外公切線有, 內公切線有 五 -15

五 -16 國中數學基本學習內容補救教材第五冊 填填看 兩圓的位置關係與內公切線 外公切線的數量關係 : 兩圓的位置關係圖示外公切線數內公切線數 (! ( ) 離 ( 條 ) 2 條 外切 2 條 ( 條 ) 相交於兩點 ( 條 ) ( 條 ) ( ) ( 條 ) ( 條 ) 內離 ( 條 ) ( 條 ) 五 -16

五 -17 小試身手 1. 如圖, 直線 L 分別切圓 O 1 圓 O 2 於 A B 兩點, 圓 O 1 半徑大於圓 O 2 半徑 則下列敘述正確者打, 否則打 ( )(1) 直線 L 是圓 O 1 圓 O 2 的外公切線 ( )(2) O 1 A L 且 O 2 B L ( )(3) O //O 1 A 2 B ( )(4) AB //O 1 O 2 ( )(5) O 1 + O 2 =180 2. 如圖, 直線 L 分別切圓 A 圓 B 於 C D 兩點 則 (1) ACO 與 BDO 是否為直角三角形? 答 :, (2) 直線 L 是圓 A 圓 B 的 公切線 ( 填 : 內 外 ), (3) AC 與 BD 是否平行? 為什麼? (4) 圓 A 圓 B 的位置關係是, 圓 A 圓 B 的外公切線共有 條, 圓 A 圓 B 的內公切線共有 條 3. 如圖, 圓 O 1 與圓 O 2 外切於 P 點, 直線 L 為其公切線, 切點為 A B, 圓 O 1 半徑小於圓 O 2 半徑 則 : (1) O O 1 O 2 1 A + O 2 B ( 填 :> = <), (2) 四邊形 AO 1 O 2 B 是何種四邊形? 答 :, (3) 圓 O 1 與圓 O 2 的外公切線共有 條, 內公切線共有 條 4. 試完成下列表格兩圓的位置關係 外離 外切 相交於兩點 內切 內離 外公切線的數目 內公切線的數目 五 -17

五 -18 國中數學基本學習內容補救教材第五冊 主題六綜合練習 1. 小欣學完本單元後, 針對自己在主題三觀察 (1): 直徑是最長的弦 提出下列兩種說明 你比較喜歡哪一種? 還是都喜歡呢? 說明 1 若弦 AB 不是圓 O 直徑, 如圖, 則 O A B 形成三角形, 故 OA + OB > AB, 又 OA OB 為半徑, 所以圓 O 直徑 >AB 說明 2 若弦 AB 不是圓 O 直徑, 作弦心距 OM, 如圖, OAM 中, OMA=90, OA > AM OBM 中, OMB=90, OB > BM 因此 OA + OB > AB, 又 OA OB 為半徑, 所以圓 O 直徑 >AB 答 : 2. AB CD 為圓 O 的兩弦,OM ON 分別為其弦心距, 若 CD =12,ON =8,OM =5, 則 (1) 圓 O 的半徑為多少? (2) AB 為多少? (3) 若 EF 為圓 O 的一弦, 且 EF 的弦心距小於 8, 則 EF CD ( 填 :> = <) 五 -18

五 -19 3. 平面上, 一圓 O 直徑為 10, 則 (1) 若 OP =10, 則 P 點在圓 O ( 填 : 內 外 上 ), (2) 若 O 與直線 L 的距離是 8, 則 L 與圓 O 有幾個交點? 答 : 個, (3) 若直線 M 是圓 O 的切線, 切點為 A,OA 等於多少? 答 : 4. 圓 O 1 與圓 O 2 的半徑比為 1:3, 當圓 O 1 與圓 O 2 外切時,O =12 1 O 2 則當圓 O 1 與圓 O 2 內切時,O 1 O 2 是多少呢? 解 :(1) 因為半徑比為 1:3, 所以設圓 O 1 半徑為 r, 圓 O 2 的半徑為 3r 當兩圓外切時,O =12, 1 O 2 可列式 =12, 化簡得 r= ; (2) 圓 O 1 半徑 =, 與圓 O 2 半徑 = ; (3) 若圓 O 1 與圓 O 2 內切, 則 O 1 O 2 = 5. 圓 O 1 與圓 O 2 的半徑比為 2:5, 且知當 O =12 1 O 2 時兩圓內切 則當圓 O 1 與圓 O 2 外切時,O 1 O 2 是多少呢? 6. 如圖, 直線 L 切圓 O 於 B 點,A 點在 L 上, OB =6, BAO=30, 則 (1) OA 多長? (2) AB 多長? 提示 :30-60 -90 三角形的三邊比 1: 3:2 五 -19