數學 III_-~- 年 班座號 姓名 一 單選題 ( 題每題 0 分共 0 分 ) 總 分 ( ). 甲 乙二人平時能解出數學題之機率分別為 解出幾題? (A)0 (B) () (D) (E)7 今二人合作解 8 題且互不影響, 則可預期他們能 甲 乙二人合作能將題目解出之機率為 P( 甲 乙 ) P( 甲 ) P( 乙 ) P( 甲 乙 ) 解 8 題, 則可預期他們能解出 8 題 ( ). 擲一均勻的硬幣二次, 每出現一個正面得 元, 一個反面賠 元, 則所得總額的期望值為 (A) 元 (B) 7 元 () 元 (D) 9 元 (E) 元 A 機率 二正一正一反二反 價值 0 元 元 元 所求期望值 0 ( ) ( 元 ) ( ). 擲三枚公正的硬幣, 若出現 x 個正面, 則可獲得 x 元, 若皆未出現正面則輸 8 元, 則期望值為 (A)0 元 (B) 元 () 元 (D) 元 B 出現 個正面的機率為 8, 可得 元 ; 出現 個正面的機率為 8, 可得 元 ; 出現 個正面的機率為 8, 可得 元 ; 皆未出現正面的機率為 8, 要輸 8 元 ; 故期望值為 ( 8) 元 8 8 8 8 - -
( ). 八人作一直線排列, 其中甲 乙二人相鄰的機率為 (A) 8 (B) 7 () (D) (E) D 甲 乙二人相鄰的排列為 7! 故二人相鄰的機率為 7! 8! ( ).0 個燈泡中有 個是壞的, 今從這 0 個燈泡中任意取出 個, 則含有壞燈泡的機率是 (A) (B) () (D) (E) B 取出兩個燈泡都是好的機率 0 所求機率 ( ). 在某次考試中, 有一試題採單選題, 而此題有 (A) (B) () (D) 四個答案, 其中只有一個答案是正確 的 若答對此題可得 分, 答錯則倒扣 S 分 假設某考生決定 靠運氣瞎猜其中一答案, 為了讓該考 生在此題上得分的期望值為 0, 則 S 之值為 (A) (B) () (D) D 猜對的機率為, 可得 分 ; 猜錯的機率為, 須倒扣 S 分 ; 故期望值 ( S) 0 S ( )7. 袋中有大小相同的紅球 個 黑球 個 白球 個, 自袋中一次取一球, 共取二次, 取出不放回, 則二 球同色的機率為 (A) (B) 8 () 8 (D) 7 (E) 9 E 兩球為紅球的事件, 其樣本有 兩球為黑球的事件, 其樣本有 兩球為白球的事件, 其樣本有 個 個 個 所求機率 9 ( )8. 設兄弟 人擲一骰子, 先擲出么點者可得 00 元, 今由弟弟先擲, 則弟弟得到金額的期望值為 (A)00 元 (B)00 元 ()000 元 (D)00 元 B 全部的情形可分為 - -
弟弟先擲出么點 種 哥哥先擲出么點 種 弟弟的期望值 00 00 元 ( )9. 同時擲 粒公正的骰子, 則其點數總和的期望值為 (A) 7 (B) () (D)7 B 丟一顆骰子出現點數的期望值 7 7 故丟 顆骰子點數和的期望值為 ( )0. 擲四枚公正的硬幣一次, 每出現一個正面可得獎金 0 元, 每出現一個反面則須付 0 元, 則其獎金期 望值為 (A)0 元 (B) 元 ()0 元 (D) 元 7 ( ). 設 A B 為二事件, 若機率 PA ( ) PB ( ) PA ( B), 則 P(A B) (A) 8 8 7 (B) () (D) (E) E PB ( ) PB ( ) P(AB) P(A) P(B) P(AB) 7 PA ( B) PA ( B) 8 8 PA ( B) PAB ( ) PB ( ) ( ). 設某燈泡工廠生產了 000 個燈泡, 其中含有 8 個不良品, 今從中隨機取出 00 個燈泡, 則含不良品的數學期望值為 (A). (B) (). (D) A 8 8 Ex ( ) 00. 000 ( ). 甲 乙二人各擲一公正的骰子且互不影響, 甲 乙二人中恰有一人得么點的機率為 (A) (B) 8 () (D) 8 (E) 7 8 - -
D 甲得么點, 乙不是么點 甲不是么點, 乙得么點 ( ) ( ) 故所求機率為 ( ) ( ) 8 ( ). 一筒中裝有 號籤 枝 號籤 枝 號籤 枝 0 號籤 0 枝, 今由筒中任抽出 枝籤, 若抽得 r 號籤可得 r 元 (r 0), 則抽出 枝籤獲得的期望值為 (A)7. 元 (B)7 元 (). 元 (D) 元 B 0 (0 ) 0 期望值 0 0 8 0 7元 ( ). 設 {A, A, A, A } 為樣本空間 S 的一個分割, 若 PA ( ) PA ( A) PA ( A ), 則事 件 A 發生的機率 P (A ) (A) (B) () 8 (D) B ( ). 某人同時擲三個公正的硬幣一次, 規定出現 k 個正面可得 k 元 (k ), 若無正面出現則須付 元, 則此人作此試驗所得金額的期望值為 (A) 元 (B) 元 () 元 (D) 元 8 ( )7. 設袋中有 0 個球, 分別為 0 等號碼, 自袋中任取 球, 則此三球中數字最大者為 8 的 機率為 (A) (B) 7 0 () 0 7 (D) 7 0 D ( )8. 同時擲 顆公正的骰子一次, 則至少出現 個 點的機率為 (A) (B) () 9 (D) ( )9. 自裝有 元硬幣 枚 0 元硬幣 枚 0 元硬幣 枚的袋中, 隨機取出 枚硬幣, 則所取 枚硬幣幣值和的期望值為 (A) 元 (B) 元 () 元 (D)0 元 D ( )0. 甲 乙 丙 丁 人排成一列, 則甲在乙 丙左邊的機率為 (A) (B) () (D) - -
( ). 設袋中有 0 個大小相同的球, 其中 個是白球, 個是紅球, 個是黑球, 某人自袋中隨機取 球 ( 同 時取出 ), 則此 球皆異色之機率為 (A) (B) () (D) ( ). 同時擲五個公正的硬幣一次, 每出現一個正面可得獎金 0 元, 則作此試驗獲得獎金的期望值為 (A)0 元 (B) 元 () 元 (D) 元 D 一正面機率 0 二正面機率 0 三正面機率 四正面機率 五正面機率 0 0 期望值 0 0 0 0 0 元 ( ). 若 0 個燈泡中有 0 個燈泡是壞的, 今從這 0 個燈泡中任意取出 個燈泡, 則含有壞的燈泡的機率是 (A) 7 0 (B) 0 () 7 0 (D) 0 0 B ( ). 自 0 中, 任取相異三數作成三位數, 則此三位數是 的倍數之機率為 (A) 9 00 (B) () 00 (D) D 0 任取相異三數作成三位數有 種 的倍數有以下 : 0 種 種 0 種 種 種 0 種 - -
種 機率 00 ( ). 設袋中有一元 五元 十元 五十元硬幣各一枚, 問小蓮從袋中任取一個硬幣幣值之數學期望值為多少元? (A). (B) (). (D) A 0 0. ( 元 ) ( ). 安安保險公司銷售一年期之高中學生平安保險, 保險額為 萬元, 保費為 00 元, 保險公司根據過去資料顯示, 高中學生不會出意外的機率為 0.99, 則每一投保學生保險公司獲利的期望值為 (A)0 元 (B)00 元 ()00 元 (D)00 元 B 00 0.99 (00 0000) 0.0 00 元 ( )7. 投擲二硬幣, 若均出現正面可得 元, 若僅有一正面可得 元, 若無正面可得 元, 則期望值為 (A) 元 (B) 元 () 7 元 (D) 元 D ( 元 ) ( )8. 若方程式 x ax b 0 的係數 a b, 分別是擲骰子甲與骰子乙所得的點數代入而得, 則方程式恆有二 相等實根的機率為何? (A) 8 (B) () (D) A ( )9. 設有編號 四杯不同的酒, 如果先飲第 杯再飲其他三杯則一定不會醉, 否則依任何其他順 序喝完這四杯酒則一定會醉 今有一不知情的人連續喝完了四杯酒, 那麼他會喝醉的機率為 (A)!! (B)!! ()! (D)! B ( )0. 設將 張卡片分別用自然數 編號, 若以抽取 張卡片之自然數作為三角形之三個邊, 則能構成三角形之機率為 (A) (B) 0 () (D) B ( ). 在擲單顆骰子遊戲中, 若甲每投一次骰子要先付給乙 x 元, 且出現點數為奇數時, 乙需付給甲 0 元 ; 出現點數為偶數時, 乙需付給甲 0 元, 但出現奇數點的機率為出現偶數點機率的 倍, 則 x 應訂為多少元, 此遊戲才是公平的? (A) (B)0 () (D)0 B - -
設奇數點的機率為 P (A), 偶數點的機率為 P (B) P (A) P (B) 出現奇數點的機率為出現偶數點機率的 倍 P (A) P (B) P (A) P (B) 代入 得 P (B) P (B) PB ( ) 則 PA ( ) 為了遊戲公平, 付出的錢 得到的期望值 xp( A) 0 P( B) 0 0 0 0 ( 元 ) 故選 (B) ( ). 由 7 8 9 的數字中, 任取相異二數, 其和為偶數的機率為 (A) 7 8 (D) 7 (B) () 9 ~9 任取 數共 種 9 奇數 奇數和為偶數 偶數 偶數 0 共 種 機率 9 ( ). 庭院深深深幾許 七個字重新排列, 三個 深 字均不相鄰的機率為 (A) 7 (B) () 8 (D) 7 A 7! 全部排法有 80! 三個深不相鄰 :! 0 0 機率 80 7 ( ). 已知 0 個產品中有 個為不良品, 今由這 0 個產品隨機抽出 個, 則含有不良品的機率為 (A) 9 8 (B) 0 8 () 8 (D) 7 8 D - 7 -
( ). 甲 乙各擲一個公正的骰子, 則甲的點數小於乙的點數的機率為 (A) (B) () (D) D 甲的點數 乙的點數 ~ ~ ~ 故甲的點數小於乙的點數的機率 ( ). 設 A B 為樣本空間中兩互斥事件, 且 PA ( ), PA ( B), 則 P (A B') (A) 7 (B) () (D) 8 PA ( B) PA ( ) PA ( B) PA ( ) 0 ( )7. 甲 乙 丙 丁四人猜拳 ( 刀 石 布 ) 一次, 則此四人恰有 人勝的機率為 (A) 9 (B) 7 () 7 (D) B 機率 7 ( )8. 自 對夫婦中任選 人, 則所選 人中恰有一對為夫婦的機率為 (A) (B) () (D) ( )9. 擲一公正的骰子 8 次, 恰出現 次么點 次偶數點的機率為 (A) 70 79 (B) 8 () 8 (D) 8 機率 8 8 ( )0. 設 A B 為同一樣本空間 S 的二事件, 已知 PA ( ) PB ( ) PA ( B), 則 P (A' B) (A) (B) () (D) - 8 -
( ). 在邊長為 的正三角形內部任取一點 P, 則 P 到三頂點的距離皆大於 的機率為 (A) 8 (B) 8 () 8 8 (D) 9 9 以 為半徑,A B 為圓心畫弧 ( 如圖 ), 則空白部分即是大於 的部分 AB 面積 9, 空白部分面積 9 9 8 機率 9 8 ( ). 自 至 的自然數中, 任取相異三數, 則三數成等差的機率為 (A) 8 (B) () 9 (D) 8 A 設取出的三數為 a b c, 其中 a b c, a c b a c 同是奇數或同是偶數, 取法有 7 個 8 故機率為 ( ). 某人投籃平均每五次投中三次, 設此人在 n 次投籃中至少投中一次的機率大於 0.999, 則 n 之最小值為 ( 已知 log 0.00) (A) (B)0 ()9 (D)8 D 投中一次的機率大於 0.999 相當於投不中的機率小於等於 0.00, 投不中的機率每次為 ( ) n 0.00 log( ) n log 0.00 n(log log) n(log ) n 7. log 0.98 n 之最小值為 8 ( ).A B 為樣本空間 S 之三事件, 若 PA ( ) PB ( ) P ( ), 且 P (A B) P (B ) 0, PA ( ), 8 則 A B 三事件至少有一事件發生的機率為 (A) 7 8 (B) () 8 (D) - 9 -
P (A B) P (B ) 0 P (A B ) 0 三事件至少有一事件發生的機率 P (A B ) P (A) P (B) P () P (A B) P (B ) P (A ) P (A B ) 00 0 8 8 ( ).0 件產品中, 有 件是不良品, 由產品中隨機抽取 件, 其中恰有 件不良品的機率為 (A) (B) () 7 (D) 9 B 7 所求機率 0 ( ). 男 女排成一列, 其中同性不相鄰的排法, 其機率為 (A) 0 (B) () 0 (D)!! 男女相間的排法有!! 種, 故所求機率為! 0 ( )7. 袋中有大小相同的 白球 紅球 黑球, 任取 球, 取出為同色球的機率為 (A) 7 7 (D) 7 8 (B) () 8 0 所求機率為 9 8 ( )8. 擲兩粒骰子, 至少出現一個 點的機率為 (A) (B) () (D) A 至少出現一個 點的事件 全部 沒有出現 點 故所求機率 ( )9. 設自 {,,,, 9} 中取出相異二數, 其積為完全平方數的機率為 (A) 0 (B) 9 () 8 (D) B 樣本空間的樣本有 個 9-0 -
完全平方的事件 {, 9, 8, 9} 故機率 9 ( )0. 設自 {,,,, 9} 中取出相異二數, 二數之積為完全立方數的機率為 (A) 8 (D) D 完全立方的事件 { 8,, 9} 故機率 (B) () ( ). 張撲克牌任取 張, 其為一對的機率為 (A) (B) 7 () 7 (D) B 所求機率 7 ( ). 中山高中一 二 三年級學生人數的比例分別為 0% % 8%, 而一 二 三年級男生人數占該年級的比例分別為 0% 0% 0%, 現從全校學生中任意選取 人, 則此人為女生的機率為何? (A).% (B).% ()7.8% (D)9.% D 由題意, 樹狀圖如下 : 由 知所求機率 0% 0% % 0% 8% 0% 9.% 故選 (D) ( ). 設 S 為一試驗之樣本空間, 集合 A B 皆為 S 中的事件, 且 P (A) 為事件 A 發生的機率 下列敘述何者錯誤? (A) 若 A 與 B 為互斥事件, 則 P (A B) P (A) P (B) 恆成立 (B)P (B A) P (B) P (A) 恆成立 ()P (S A) P (A) 恆成立 (D)P (A B) P (A) P (B) P (A B) 恆成立 B (A) 若 A 與 B 為互斥事件, 則 P (A B) 0 故 P (A B) P (A) P (B) P (A B) P (A) P (B) (B) 舉反例 : - -
設 S 為擲一公正硬幣之樣本空間,A 為正面的事件,B 為反面的事件 則 PB ( A) PB ( ), PB ( ) PA ( ) 0 P(B A) P (B) P (A) 故 P(B A) P (B) P (A) 不一定成立 ()P (S A) P (A' ) P(A) (D) 排容原理恆成立 ( ). 一袋中有大小相同的紅球 個 白球 個 黑球 個 今從袋中一次取 球, 則所取 球中至少有 球顏色相同的機率為何? (A) (B) 0 () 79 0 (D) D 袋中有 0 個球設袋中一次取 球的樣本空間為 S 而 球顏色均不同的事件為 A 0 則 ns ( ) 0, na ( ) 0 na ( ) 0 PA ( ) ns ( ) 0 故 P( 至少 球顏色相同 ) P (A) ( ). 某遊樂場舉辦摸彩活動, 摸彩箱中有 0 號球 號球 號球各 個, 每一球被取出之機率均相同 遊客由摸彩箱中同時取出 球, 若取出的 個球為 個 號球 個 0 號球時, 則此遊客可以免費入場 求一遊客經由此摸彩活動得以免費入場的機率為何? (A) 0 (B) 8 () 9 (D) B 設 S 為由摸彩箱中 9 個球同時取 球的樣本空間,A 為取出 個 號球 個 0 號球的事件 則 n (S) 9 9! 8!! n (A) 9 個球取 個 個 號球取 個 個 0 號球取 個!! 9!!!! na ( ) 9 因此所求 PA ( ) ns ( ) 8 8 二 填充題 (8 格每格 0 分共 0 分 ).A B 為同一樣本空間 S 的二事件, 已知 P (A) 0.,P (B' ) 0.,P (A B) 0., 則 ()P (A B), - -
()P (A' B) ()0.7;()0.. 某人擲一公正骰子一次, 若出現奇數點可得 00 元, 若出現 點或 點可得 00 元, 若出現 點則要付出 000 元, 則此人獲得金額的期望值為 0 元 Ex ( ) 00 00 ( 000) 0 元.x ax b 0 式中的 a b 各由一公正的骰子出現的點數來決定, 則此方程式無實數解的機率為 7 方程式無實數解 D a b 0 a 值,,,,,,,,,,, b 值 共 7 組 7 機率為. 某人同時擲 枚均勻硬幣一次, 約定出現 k 個正面可得 k 元, 出現 m 個反面須付 m 元, 求此試驗所得金額的 期望值為 元. 連擲一公正的骰子三次, 則點數積為 的機率為 7 點數積 abc! 故機率 7. 連擲一均勻硬幣三次, 若出現一次正面可得 00 元, 出現二次正面可得 00 元, 出現三次正面可得 00 元, 則所得 金額的期望值為 00 元 7. 擲三粒公正骰子一次, 若出現 個相同點數可得 70 元, 若出現 個相同點數可得 8 元, 假設玩此遊戲須先付 0 元, 求獲利的期望值為 0 元 8. 擲 枚均勻的硬幣, 恰出現二正面三反面的機率為 (), 至少出現一正面的機率為 () () ;() 0 二正三反的機率 - -
至少出現一正面 全部 沒有正面 機率為 9. 自裝有 白球 紅球的袋子中, 一次取出兩個球, 若每個球被取到的機會相同, 且取出兩球同色可得 00 元, 取 出 白 紅則須付 元才算公平 0 0. 任意 個人, 恰有 個人在同一月份出生的機率為 7 8 0! 00 7 機率 8. 甲 乙 丙 丁 人猜拳, 各出剪刀 石頭 布三者之一, 形成 人贏 人輸的機率為 9 刀刀石石 人贏 人輸的情形有 種 刀刀布布 石石布布 機率 9. 甲 乙 丙 丁 戊 己 人排成一列, 則甲 乙必相鄰且丙 丁分離的機率為 甲 乙相鄰且丙 丁分離的事件有!! P 種!! P 故機率!. 以 作成數字相異的四位數, 求此四位數為 的倍數的機率為 當此四個數字和為 的倍數時, 此四位數即為 的倍數 故有 (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) 等 組! 機率 P. 從 中, 任取相異三數作為三角形的三個邊長, 則能構成三角形的機率為 7 0 三角形任二邊和必須大於第三邊 - -
可能三邊長為 共 7 種 7 7 機率 0. 一袋中有大小相同的 個白球 個紅球, 今任意從袋中一次取 球 : () 取得 紅 白球的機率為,() 取得 紅球的機率為, () 取得紅球個數的期望值為 個 () 0 ;() ;() 0 () 紅 白的機率 9 () 紅的機率 9 () 紅 白的機率 9. 某人丟一粒公正的骰子 0 紅球個數的期望值 ( 個 ) () 出現偶數點的機率為, () 若出現偶數點, 則可獲得與點數相同的錢, 若出現奇數點, 須賠與點數相同的錢, 擲一次的期望值為 元, () 若出現 a 點可得 a 元, 則其期望值為 元 () ;() ;() 7 () 機率 () 期望值 ( ) ( 元 ) 7 () 期望值 () ( 元 ) 7. 甲 乙 人輪擲一公正骰子為戲, 甲先乙後, 先擲得 點者為勝, 則甲得勝的機率為 甲勝的機率 ( ) ( ) ( ) 8. 一袋中有 號與 號卡片各 張, 一次取出 張, 數字積的期望值為 - -
8 期望值 () () ( ) 9. 設甲袋有 紅球 白球, 乙袋有 藍球 白球, 今由甲袋任取二球放入乙袋, 再由乙袋任取二球放回甲袋, 則 紅球 藍球都在甲袋的機率為 甲袋取 紅 白 乙袋 ( 紅 藍 白 ) 取 紅 藍 0 0 0 0 乙袋 ( 藍 白 ) 取 藍 白甲袋取 白 0 0 0 0. 擲 元硬幣 個, 若每出現一正面可得 元, 則擲一次的期望值為 元 出現 個正面的機率 8 出現 個正面的機率 8 出現 個正面的機率 8 期望值 ( 元 ) 8 8 8 ( x ). 從區間 [, ] 中任取一數 x, 則滿足不等式 的機率 x 原式 ( x ) 0 x ( x) x 0 x x 0 x - -
(x )(x ) 0 x 機率 ( ). 一袋中有大小相同的 白球 紅球 黃球 : () 今自袋中取出三球, 則三球異色的機率為, () 今自袋中取出一球, 連取三次, 每次取出之球不放回, 則三球異色之機率為 () ;() () 所求機率 () 若取出 球依序為 ( 白 紅 黃 ) 之機率為 0 白 紅 黃三色作直線排列有! 種 故所求機率為! 0. 有大小尺寸不同的球鞋 雙, 從中任取 隻, () 恰為 雙的機率為,() 隻均不成雙的機率為 () ;() () (). 甲生能解某題之機率為, 乙生能解某題之機率為 為, 今甲 乙二人同解某題且互不影響, 則此題被解出之機率 7 0 7 0. 設自 {,,,, 0} 中取出 數 : () 一數為另一數的 倍之機率為, () 為連續二數的機率為 () 9 ;() () 一數為另一數 倍的事件 {(, ), (, ), (, ), (, 8), (, 0)} - 7 -
所求機率 0 9 () 連續二數的事件 {(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, 7),(7, 8),(8, 9),(9, 0)} 9 9 所求機率 0. 一筒中有 號籤 支 號籤 支 號籤 支 號籤 支 : () 由筒中任意抽取 支, 則同號之機率為, () 若每次抽 支, 抽出之後不放回, 連取 次, 則順次抽得 號之機率為 () 9 ;() 0 () 所求機率 0 9 () 所求機率 0 9 8 7 0 7.A B D 四人排成一列 : ()A 在 B 前, 在 D 前的機率為, () 自左而右, 照 A B D 的順序排列的機率為 () ;()! () 排列數為!!, 排好後在 中依序填入 A B, 中依序填入 D, 即為 A 在 B 之前, 在 D 之前的情況, 共 種, 故所求機率! ()ABD 僅有 種排法, 故所求機率 8. 投擲二粒公正骰子, 其出現的點數和 : () 為 的倍數的機率為, () 為 的倍數的機率為 () 7 ;() () 點數和為 的倍數和事件 {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} 7 所求機率 () 點數和為 的倍數的事件 {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} - 8 -
故所求機率 三 計算題 ( 小題每小題 0 分共 0 分 ). 老闆在一袋中放大小相同的 7 個黑球 個白球, 若顧客從袋中取出一球為白球, 則老闆給顧客 00 元, 抽中黑球老闆不給顧客任何錢, 但事先顧客要先付 00 元給老闆, 問顧客獲利的期望值 0( 元 ) 7 抽中黑球的機率為 0, 抽中白球的機率為 0 當抽中白球, 顧客自老闆處賺得 00 元, 但要先扣掉付給老闆的 00 元, 顧客淨得 00 元 當抽中黑球, 老闆不用給顧客任何錢, 顧客淨得 00 元 7 顧客獲利的期望值為 00 ( 00) 0 ( 元 ) 0 0 另解 00 00 0 ( 元 ) 0 由結果得知, 此一遊戲對老闆是有利, 對顧客卻不利. 甲 乙二人玩一種遊戲, 由甲做莊, 乙先付給甲 0 元, 然後自裝有大小相同的 個白球 個黑球的袋中拿取一 球, 若取出黑球, 則甲給乙 元, 否則甲不給乙任何錢, 試問乙的期望值 0( 元 ) 取得黑球的機率為 故乙的期望值為 ( 0) 0 0 0 元 此遊戲為一公平的遊戲. 大小不同的球鞋 雙, 放於一箱中, 任取 隻, 求下列各機率 : () 隻均不成雙 () 恰為 雙 () 8 ;() () 若 隻均不成雙, 則 隻必為 雙中每雙之任一隻, 其取法有, 但因有左 右之分, 其配法又有 種 8 故所求機率為 0-9 -
() 我們先將每一雙球鞋各自放入盒中, 再從 盒中任取 盒即可, 但樣本空間仍為 0 隻中取 隻鞋, 即為 0 故恰為 雙球鞋之機率為 0. 根據統計, 一位 0 歲老人可活過一年的機率為 98%, 若某位滿 0 歲的老人保一年 00000 元的壽險, 但須繳保費 000 元, 試問一人投保, 保險公司獲利的期望值為多少? 000( 元 ) 不論是否理賠, 一投保即須先繳保費 000 元故保險公司若有損失為 00000 000 97000 元依題意保險公司獲益 000 元的機率為 98% 而損失 97000 元的機率為 %, 故保險公司獲利的期望值為 000 98% ( 97000) % 90 ( 90) 000 此一投保方式, 保險公司獲利的期望值為 000 元 另解 不論是否理賠, 保險公司皆收到保費 000 元, 若有意外, 保險公司需付保費 00000 元, 機率為 %, 故期望值為 000 ( 00000) % 000 000 000( 元 ). 袋中有同式樣的黑襪 雙 白襪 雙, 自袋中任取 隻襪子, 若機會均等, 試求 隻恰為 雙的機率 0 襪子無左 右之分, 因此兩雙襪子的情況分為 : 兩雙皆為黑襪, 有 種 ; 兩雙皆為白襪, 有 種 一雙黑一雙白, 有 90 種 故所求機率為 0 0. 袋中有大小相同且編號 到 0 的號碼球共 0 個, 今小倩從袋中取一球, 則拿到的球號是 的倍數或是 的倍數的 機率是多少? 令 S 為樣本空間,A 表拿到球號是 的倍數的事件,B 表拿到球號是 的倍數的事件, 則 S {,,,,9,0},n(S) 0-0 -
A {,8,,,,,8},n(A) B {,0,,0,,,0},n(B) 0 AB {0,0},n(AB) 0 所以 PA ( ), PB ( ), PA ( B) 0 0 0 故拿到的球號是 的倍數或是 的倍數的機率為 0 0 PA ( B) PA ( ) PB ( ) PA ( B) 0 0 0 0 7.0 個樣品中有 個不良品, 從 0 個樣品中隨機取出 個, 求含有不良品個數的期望值 ( 個 ) 含有 個不良品的機率 0 8 含有 個不良品的機率 0 8 7 7 9 所求期望值為 ( 個 ) 另解 不良品所占比例為 0 故取 個, 其中不良品個數的期望值為 ( 個 ) 0 8. 袋中有大小相同且編號 到 0 的號碼球共 0 個, 今小倩從袋中取一球, 小倩拿到的球號是 7 的倍數或是 8 的倍數 的機率是多少? 0 令 表拿到球號是 7 的倍數之事件 ;D 表拿到球號是 8 的倍數之事件 則 {7,,,8,,,9},n() 7 D {8,,,,0,8},n(D) 因 D, 所以 與 D 為互斥事件 7 故所求機率為 P ( D) P ( ) PD ( ) 0 0 0 - -
9. 一次投擲二粒公正的骰子, 試求點數和小於 的機率 設樣本空間為 S, 則 n(s) A {(,),(,),(,)}, 則 n(a) 所以 PA ( ) 由餘事件機率的性質知 : 所求機率 PA ( ) PA ( ) 0. 袋中有大小相同的紅球 個 白球 個 黑球 個, 抽獎者自袋中抽出一球, 若抽中紅球可得 0 元, 抽中白球可 得 0 元, 抽中黑球可得 80 元, 抽獎者應先付給提供遊戲者多少錢才算公平? 0( 元 ) 抽中紅球的機率為 抽中白球的機率為 抽中黑球的機率為 抽獎者的期望值為 0 0 80 0 ( 元 ) 故抽獎者應先付 0 元才算公平. 某人擲一公正的骰子, 在玩之前須先付 元, 若擲出 x 點, 可得 x 元, 問他擲骰子後可期望淨得多少錢? ( 元 ) 擲一骰子出現 點的機率各為 所求期望值 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - -
( ) ( 元 ) 另解 擲一粒骰子產生的總金額為 9( 元 ) 9 一粒骰子有 個面, 故每一個面價值為 9 ( 元 ) 9 所求期望值 ( 元 ). 將一枚均勻硬幣連擲三次, 試求至少有一次正面的機率 7 8 設樣本空間為 S, 則 n(s) 8 三次皆為反面的事件 A {( 反, 反, 反 )},n(a) 7 故所求機率為 PA ( ) 8 8. 五對夫婦坐在客廳內, 試求下列各事件發生的機率 : () 任選二人, 恰為一對夫婦 () 任選四人, 恰為二對夫婦 () 任選四人, 恰有一對夫婦 () 任選四人, 均不是夫婦 () 9 ;() ;() 7 ;() 8 () 任選二人 : 樣本空間有 0 個樣本點 恰為一對夫婦 : 從五對夫婦中任選一對 ( ) 故所求機率為 0 9 () 任選四人 : 樣本空間有 0 個樣本點 恰為二對夫婦 : 從五對夫婦中任選二對 ( ) 故所求機率為 0 () 任選四人 : 樣本空間有 0 個樣本點 恰有一對夫婦 : 五對夫婦中先任選一對 ( ), 再從剩下的四對選出二對 ( ), 選出的二對中每對再各 選一人 ( ) - -
故所求機率為 0 () 任選四人 : 樣本空間有 7 0 個樣本點 均不是夫婦 : 五對夫婦中先選四對 ( ), 再從選出的四對中每對各選一人 ( ), 故所求機率為 8 0. 同時投擲二粒公正的骰子, 試求所得點數和的期望值 7( 點 ) 二粒骰子之點數和與其機率列表如下 : 點數和 7 8 9 0 機率 所求期望值 ( 7 8 9 0 ) ( 0 0 0 0 ) 7 ( 點 ) 另解 擲一粒骰子所得點數的期望值為 7 () 7 故擲二粒骰子所得點數和的期望值為 7( 點 ). 設 個 歲的老人買了 年期 00 萬的壽險, 須年繳保費 000 元, 假設該年齡的老人 年平均存活率約為 98 %, 求保險公司獲利的期望值為多少元? 000 元 期望值 000 98% (000 000000) ( 98%) 00 900 000 元. 從五對夫婦中任選五人, 試求五人中任二人均無夫妻關係的機率 - -
8 五對夫婦中任選五人的樣本空間有 從每對夫妻中任選一人的方法有 種 0 個樣本 故所求事件有 個樣本 8 所求機率 0 7. 設盒子內有 號球一個, 號球二個, 號球三個, 號球四個, 今自盒子中任抽出一球, 若抽得 r 號球可得 r 元, 求抽出一球獎金的期望值 元 0 期望值 元 0 8. 發行彩券 000 張, 其中有 張獎金各 000 元, 張獎金各 00 元, 張獎金各 00 元 試求持有此種彩券 0 張 獲得獎金的期望值 9 元 期望值 0 ( 000 00 00) 9元 000 000 000 9. 設袋中有相同的紅球 個 白球 個, 現自袋中任取 球, 若 球同色, 則可得 00 元, 試求取一次的獎金期望 值 0 元 取 球同色的機率為 P 0 故取一次的期望值 00 0 ( 元 ) 0 0. 設袋中有大小相同的 0 元 元硬幣各 枚, 自袋中任取 枚, 求其幣值和期望值 元 此試驗可能發生的結果為 (0 元, 0 元 ) (0 元, 元 ) 與 ( 元, 元 ) 發生的機率分別為,, - -
9 期望值 0 0 ( 元 ). 某次段考, 班上同學英文及格的占, 數學及格的占 格時, 求其數學也及格的機率, 英文或數學至少有一科及格的占, 若已知某生英文及 設 A 表示英文及格的事件,B 表示數學及格的事件 則 PA ( ), PB ( ), PA ( B) 又因為 P(AB) P(A) P(B) P(AB) PA ( B) 0 PA ( B) 根據題意, 所求為 PB ( A) 0 PA ( ). 袋中有大小相同的 9 張卡片, 其中 張寫上 0 元, 另外 張寫上同值的金額, 自袋中任取 張卡片, 欲得期望值 元, 則另外 張上的錢數為何? 元 設另外 張上的錢數為 x 元 x 9 9 9 0 (0 x) 0 0 x 0(0 x) x 故另外 張卡片上的錢數為 元. 某次段考, 班上同學英文及格的占, 數學及格的占 格時, 試求其英文也及格的機率, 英文或數學至少有一科及格的占, 某生在已知數學及 設 A 表示英文及格的事件,B 表示數學及格的事件 - -
則 PA ( ), PB ( ), PA ( B) 又因為 P(AB) P(A) P(B) P(AB) PA ( B) 0 PA ( B) 0 PAB ( ) PB ( ). 同時丟擲兩粒公正的骰子, 試求其點數和的期望值 7 點 點數和 7 8 9 0 機率 期望值 7 8 9 0 7( 點 ). 袋中有大小相同的紅球 個 白球 個, 由袋中取出 球, 求依下列方式取球時, 球都是紅球的機率 : () 一次取 球 () 取 球後, 不放回, 再取 球 () ;() () 本題由古典機率知 : 一次取 個紅球的機率為 0 () 設 A 表第一次取到紅球的事件 B 表第二次取到紅球的事件 則 PA ( ) 0-7 -
PB ( A ) 9 故二次皆為紅球的機率為 PA ( B) PA ( ) PB ( A) 0 9. 袋中有大小相同的紅球 個 白球 7 個, 一次取 球, 連取二次, 取出後不放回袋中, 試求第一次取得紅球, 第 二次取得白球的機率 7 0 第一次取得紅球的機率為 7 0 7 7 第二次取得白球的機率為 7 9 7 7 由條件機率的乘法公式知 : 所求機率為 0 9 0 7. 枚相同的硬幣丟一次, 個正面可得 元, 個正面可得 元, 個正面可得 元, 全正面或全反面可得 元, 試問丟擲一次的期望值 元 8 正面數 0 機率 期望值 ( 元 ) 8 8. 擲一粒公正的骰子, 考慮以下三事件 : A: 出現奇數點 B: 出現偶數點 : 出現 點或 點 ()A 與 B 是否為獨立事件? ()A 與 是否為獨立事件? () 否 ;() 是 - 8 -
()A {,,}, 則 PA ( ) B {,,}, 則 PB ( ) AB, 則 P(AB) 0 得 P(AB) P(A) P(B) 故 A B 為相關事件 ()A {,,}, 則 PA ( ) {,}, 則 P ( ) A {}, 則 PA ( ) 得 P(A) P(A) P() 故 A 為獨立事件 9. 擲一粒公正的骰子, 考慮以下三事件 : A: 出現奇數點 B: 出現偶數點 : 出現 點或 點 試問 B 與 是否為獨立事件? 是 PB ( ), P ( ) B {}, 則 PB ( ) 得 P(B) P(B) P() 故 B 為獨立事件 0. 一題數學題目, 甲生能解出之機率為, 乙生能解出之機率為, 若甲 乙同解此題且互不影響 : () 甲 乙二人均解出之機率為何? () 甲 乙二人恰有一人解出之機率為何? () 此題被解出之機率為何? () ;() ;() 設 A 表甲解出的事件,B 表乙解出的事件 - 9 -
根據題意, PA ( ) PB ( ), 且 A 與 B 為獨立事件 () 所求為 PA ( B) PA ( ) PB ( ) () 所求為 P(AB) P(AB) P(A) P(B) P(A) P(B) ( ) ( ) () 所求為 PA ( B) PA ( ) PB ( ) PA ( B) 7. 設 A 與 B 為某試驗可能發生的二事件, 若 PA ( ) PA ( B) P(B) x, 則 : 0 () 當 A 與 B 為獨立事件時, 求 x 值 () 當 A 與 B 為互斥事件時, 求 x 值 () ;() 0 () 因為 P(AB) P(A) P(B) P(AB) 又已知 A 與 B 為獨立事件, 所以 P(AB) P(A) P(B) P(AB) P(A) P(B) P(A) P(B) 7 即 x x, 故 x 0 () 因為 A 與 B 為互斥事件, 則 AB P(AB) P() 0 故 P(AB) P(A) P(B) P(AB) 7 x 0 0 x 0. 設 A 與 B 為某試驗可能發生的二事件, 若 P(B) 0.8 P(AB) 0.9,P(A) x, 則 : () 當 A 與 B 為獨立事件時, 求 x 值 () 當 A 與 B 為互斥事件時, 求 x 值 ()0.;()0. () 因為 P(AB) P(A) P(B) P(AB) 已知 A 與 B 為獨立事件, 所以 P(AB) P(A) P(B) - 0 -
P(AB) P(A) P(B) P(A) P(B) 即 0.9 x 0.8 x 0.8 x 0. () 因為 A 與 B 為互斥事件, 則 AB P(AB) P() 0 故 P(AB) P(A) P(B) P(AB) 0.9 x 0.8 0 x 0.. 設 A 與 B 為樣本空間 S 中之二獨立事件, 且 P(A) 0. P(B) 0., 試求 : ()P(AB) ()P(B A) ()0.7;()0. () 因為 A 與 B 為獨立事件, 所以 P(AB) P(A) P(B) 由於 P(AB) P(A) P(B) P(AB) P(A) P(B) P(A) P(B) 0. 0. 0. 0. 0.7 () 因為 A 與 B 為獨立事件, 則 A 與 B 亦為獨立事件故 P(B A) P(B) P(B) 0. 0. 7. 設 A 與 B 為樣本空間 S 中之二獨立事件, 且 PA ( ) PB ( ), 試求 : 0 ()P(AB) ()P(AB) () 7 0 ;() 0 () A 與 B 為獨立事件 A 與 B 亦為獨立事件 7 7 PA ( B) PA ( ) PB ( ) ( PA ( )) PB ( ) ( ) 0 0 () A 與 B 為獨立事件 A 與 B 亦為獨立事件 P(AB) P(A) P(B) ( P(A)) ( P(B)) 7 ( ) ( ) 0 0. 從 至 00 的自然數中任取一數, 設機會均等, 求取得既不是 的倍數, 也不是 的倍數的機率 07 00 至 00 中 的倍數有 個 的倍數有 0 個 - -
的倍數有 個故 或 的倍數有 0 9 個 9 07 所求機率為 00 00. 如圖, 假設由 A 點至 B 點, 走捷徑的話, 走每條路的機會均等, 求經過 點的機率 0 9! A 至 B 的捷徑走法有!! 種!! A--B 的捷徑走法有 0 0 種!!!! 0 0 故所求機率為 7. 打橋牌時, 每人 張, 問某人所分的 張中有 張是黑桃的機率是多少? 張都不是黑桃的機率是多少?( 列 出式子即可 ) 9, 9 某人分到 張, 樣本空間有 個樣本 張中有 張是黑桃的機率為 張都不是黑桃的機率為 9 9 8. 由 7 七個數字中, 任意取出二數, 設機會均等 : () 求其和為偶數的機率 () 在兩數和為偶數的條件下, 求兩數均為奇數的機率 () 7 ;() - -
7 () 樣本空間有 個樣本兩數和為偶數有兩種情況 : 偶數 偶數有,, 共 個樣本 奇數 奇數有,, 7,, 7, 7 共 個樣本 故所求機率為 7 () 兩數和為偶數的事件中, 有 9 個樣本 和為偶數, 且兩數為奇數的事件中, 有 個樣本 故所求機率為 9 9. 用 a c h i o n t 七個英文字母排列, 求母音 a i o 任兩不相鄰的機率是多少? 7 樣本空間的樣本有 P 7 7 7! 先將 個子音作直線排列, 有! 排法 再將 個母音分別安插進去, 有 種排法 故所求機率為! 7! 7 0. 一袋中有 9 個球, 藍 黑, 每次取一球, 取出不放回, 共取 次 : () 求取出之球, 依次為藍 黑之機率 () 求第二次取出之球為黑色球之機率 () 8 ;() 9 () 由條件機率的乘法公式知 : 所求機率為 9 8 8 () 因為取出之球不放回, 故第一次取出之球可能為黑色, 亦可能不是黑色, 分下列二種情形分別加以討論 : 第一次取出黑色球, 第二次取黑色球的機率 9 8 8 第一次取出藍色球, 第二次取黑色球的機率 9 8 8 - -
0 以上二事件為互斥, 故所求機率為 8 8 8 9. 自裝有 白球 紅球 黃球之袋中, 一次任取 球, 試求至少含 紅球之機率 7 7 至少含 紅球的機率 ( 球皆不是紅球的機率 ) 0 7. 設甲袋中有紅球 個 白球 個 ; 乙袋中有紅球 個 白球 個 黃球 個, 先依機會均等原則選出甲袋或乙袋, 再由選出之袋中任取 球, 試求取到白球的機率 9 0 取到白球的機率 取到甲袋中的白球的機率 取到乙袋中的白球的機率 9 0. 二袋中各有 0 個球, 球上各標有 0, 今隨機從二袋中各取 球, 試求所取 球號碼差為 的機率 0 號碼差 表示為 (, ),(, 7),,(, 0) 二號碼球 0 故機率為 0 0. 同時投擲三粒公正的骰子, 則出現點數和為 的倍數的機率為何? 點數和為 的情形 :(,, ) (,, ) (,, ) 點數和為 的情形 :(,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) 點數和為 8 的情形 :(,, ) 其中 數相異有 種情形, 同 異有 種, 數皆同有 種 - -
!!!!! 故其機率. 自然數 x y z 為奇數的機率都是, 試求 xy z 為奇數的機率 xy z 為奇數表示 xy 為奇數,z 為偶數 或 xy 為偶數,z 為奇數 又 xy 為奇數的機率為,xy 為偶數的機率為 xy z 為奇數的機率為. 同時擲四枚均勻的硬幣, 試求 : () 恰出現一正面的機率 () 至少出現一正面的機率 () ;() 設樣本空間為 S, 恰出現一正面的事件為 A, 均為反面的事件為 B, 至少一正面的事件為 B', 則 n (S), na ( ), nb ( ), 故 () PA ( ),() PB ( ) PB ( ) 0 7. 擲兩粒均勻骰子, 試求 : () 點數和小於 0 的機率 () 點數和為 的機率 () ;()0 設樣本空間為 S, 點數和不小於 0 之事件為 A, 則 n (S),A {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} n (A) - -
() 點數和小於 0 的機率為 PA ( ) PA ( ) () 點數和為 的事件為空事件, 故其機率為 P () 0 8. 袋中有相同的 白球 紅球, 試求 : () 任取一球, 取到紅球的機率 () 任取二球, 二球同色的機率 () 任取三球, 一白球二紅球的機率 () ;() 7 ;() 0 0 () 設樣本空間為 S, 則 ns ( ) 0 取到紅球之機率為 P 0 () 設樣本空間為 S, 則 ns ( ) 0 取到二球同色之機率為 P 0 7 () 設樣本空間為 S, 則 ns ( ) 0 取到一白二紅之機率為 P 0 0 9. 甲袋內有白球 個 黑球 個, 乙袋內有 個黑球 今自甲袋內取 球放入乙袋, 再從乙袋取出 球放回甲袋, 求甲袋內白球存在的機率 7 甲袋取 黑球放入乙袋 甲袋取 白 黑放乙袋, 又從乙袋取回 白 黑 故所求機率為 7 7 7 0. 若甲班學生, 有血型為 O 型 ; 乙班學生, 有血型為 O 型 今自甲班 0 人, 乙班 人中, 任選一人, 問此人 血型為 O 型的機率 - -
8 7 O 型共有 0 人 8 故此人 O 型機率為 0 7. 一袋中有 白球 紅球, 由袋中一次取三球, 試求至少有 紅球的機率 恰有 個紅球的機率為 9 0 恰有 個紅球的機率為 9 故所求機率為 0. 一袋中有 0 個球, 球上分別刻有 0 的數字, 同時自袋中取出 球, 球中數值最大者設為 x, 試 求 x 之機率 0 0 樣本空間的樣本有 (x ) 表示取到 個 號球, 另兩個球號均小於 的事件 nx ( ) 0, 故所求機率 0 0-7 -