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1 概率教學的一些思考內地交流教師薛惠良 陸宏香港教統局對概率教學的要求學習重點 : ) 透過不同的活動, 探究概率的意義 ; ) 直觀認識概率與統計學或類比活動中所見的相對頻數的關係 ; ) 探索在現實生活中的概率問題 ( 包括幾何概率 ); ) 以列出樣本空間和數數的方法計算理論概率 ; 5) 認識期望值的意義 建議課時比例 : 課時 ( 新授課 )+ 課時 ( 復習課 ) 說明 : 我們編寫這一章教材的教學方案, 以教統局對本章教材的要求為綱, 結合合作學校的實際, 按照我們的理念, 在教材知識結構分析 教學過程活動方案設計 例題儘量貼近生活實際 多種方法展示解題結果這四個方面展開, 目標是為了提升學生質素和發展老師專業水準 所提供的內容在執教的時候, 必須作必要的取捨, 特別要指出的是有的例題的解法是從知識結構的完備性上考慮的, 無需介紹給學生 由於時間倉促, 不足之處, 敬請批評指正 感謝教統局陳森泉 盧錦玲老師的指導 概率教學的總體安排一 : 概率的初步概念 ( 三課時 ) ) 隨機事件 ; ) 概率的含義 ; ) 生活中的概率

2 二 : 比較複雜的概率問題的處理方法 (+ 課時 ) ) 樹狀圖和列表法 ; ) 數數原則 ; ) 綜合練習 ; ) 摸獎與先後次序無關 三 : 實驗概率 ( 通過試驗估計隨機事件發生的概率 )( 三課時 ) ) 頻率 實驗概率與理論概率 ; ) 實驗概率的計算極其意義 ; ) 實驗概率與理論概率的預測探究 四 : 期望值 ( 三課時 ) ) 期望值 ; ) 公平遊戲 ; ) 生活中的期望值和公平遊戲 一 : 概率的初步概念 ( 三課時 ) ( 一 ) 教學目標 : ) 認識概率的基本概念, 及各有關詞語的定義 ; ) 理解概率的性質 ; ) 懂得概率在日常生活中的應用及計算 ( 二 ) 重點 : ) 概率表示一個事件發生的可能性大小的數叫該事件的概率 ; ) 實驗中觀察頻率值時注意兩點 :

3 () 要清楚關注的是哪個和那些結果 ; () 要清楚所有機會均等的結果 ( 其中 () () 兩個結果數之比即為所關注結果發生的概率 ) ) 準確理解概率的含義 : 概率是一個理論值, 當實驗無數次時, 關注結果的頻率逐漸穩定到概率值附近 ( 三 ) 重點內容分析和舉例 ) 隨機現象 : 在現實世界中, 有一些現象在相同的條件下, 重複同樣的試驗, 該現象有時發生有時不發生 這些現象就個別來說發生與否是沒有規則 不可預測的, 但在大量的屬於和觀察以後, 就其整體而言恰表現出非偶然的規律性, 這些現象被稱為 隨機現象 "; 概率論研究的就是研究隨機現象所服從的規律 ) 隨機事件 必然事件和不可能事件在相同條件下, 可能發生也可能不發生的事件稱為隨即事件 在一組基本條件之下, 每一次試驗一定會發生的事件稱為必然事件 在一組基本條件之下, 每一次試驗都不會發生的事件稱為不可能事件 例題選講 [ 例題 ] 指出下列現象中, 那些是隨機現象, 那些不是 : (a) 隨機的選出兩個奇數, 其和恰為一個偶數 ; (b) 從一疊獎券中隨機的選取一張, 恰好中獎 ;

4 (c) 將一根火柴隨機地斷成三段, 恰能圍成一個三角形 ; (d) 隨意地作一個凸四邊形, 連接相鄰兩邊的中點又得一個四邊形, 這個四邊形恰好是平行四邊形 (e) 隨機地取一個正數, 將其開平方, 該數的平方根小於該數 (f) 班上選 個同學, 身高較高的同學其體重恰好也較重 (g) 取一枚普通的硬幣進行拋擲試驗, 發現 正面朝上 " 的頻率與 反面朝上 " 的頻率之和恰好是 (h) 從英語 6 個字母卡片中同時抽出三張, 組成單字 see 分析與解 : 如果所發生的現象一定會發生或肯定不發生, 那麼此現象就不是隨機現象了 a. 不是隨機現象 ;( 必然事件 ) b. 是隨機現象 ; ( 隨機事件 ) c. 是隨機現象 ; ( 隨機事件 ) d. 不是隨機現象 ; ( 必然事件 ) e. 是隨機現象 ; ( 隨機事件 ) f. 是隨機現象 ; ( 隨機事件 ) g. 不是隨機現象 ; ( 必然事件 ) h. 不是隨機現象 ;( 不可能事件 ) 注 : 在上述隨機事件中, 不能計算出概率的是 () 注 : 掌握區分隨機事件 必然事件 不可能事件的常用方法 : ) 想一想有沒有該事件發生的例子和該事件不發生的例子, 如果這兩種例子都找到了, 說明這事件是隨機事件 ; 如果認定找不到該事件不發生的例子, 說明

5 這事件是必然事件 ; 如果認定找不到該事件發生的例子說明該事件是不可能事件 ) 列出試驗所有可能發生的結果, 如果該事件只包括了這些結果中的一部分, 說明該事件是隨機事件 ; 如果該事件囊括了所有這些結果, 說明該事件是必然事件 ; 如果該事件根本不在這些結果當中, 說明這事件是不可能事件 [ 例題 ] 從一副沒有大小王的撲克牌中, 隨機地在打亂的這副撲克牌中抽出幾張牌, 在這個規定的情景中, 請列舉隨機事件 必然事件 不可能事件各一個 解 : 隨機事件的例子 : 隨機地在打亂的這副撲克牌中抽出 張牌, 恰好是 : 8" 必然事件的例子 : 隨機地在打亂的這副撲克牌中抽出 張牌, 這張牌一定不是大小王 不可能事件的例子 : 隨機地在打亂的這副撲克牌中抽出 5 張牌, 這 5 張牌都是 J 根據概率定義 : P( 摸到一張牌是 8)= 符合事件的結果數目 / 所有可 能結果的總數 = = 5 P( 摸到一張牌不是大小王 )= 符合事件的結果數目 / 5 = 所有可能結果的總數 = 5 P( 摸到一張牌是大小王 )= 符合事件的結果數目 / 所 0 5 有可能結果的總數 = = 0 從上面的計算, 就有 : P( 不可能事件 )=0 P( 必然事件 )= 5

6 此外, 對於任何事件 E, 其發生的概率 P(E) 皆符 合 : 0 P ( E) [ 跟進 ] 設計一個情景, 比如拋擲一枚普通的立方體骰子, 讓學生列舉隨機事件 必然事件 不可能事件的例子各一個 ) 概率的含義探究性教學在課堂內 ( 或佈置學生以小組為單位在課外活動 ) 設計以下四個學生活動 : 讓學生試驗並記錄實驗結果 每一個小組安排一個活動 A: 內容安排 : ) 拋一枚硬幣, 關注結果 反面向上 " ) 擲一枚六面體骰子, 關注結果 擲得 5" ) 從一副沒有大小王的撲克牌中摸一張牌 ( 隨機 ), 關注結果 摸到桃 " ) 拋擲三個籌碼已知 : 籌碼 : 一面色, 一面黃色 ; 籌碼 : 一面黃色, 一面綠色 ; 籌碼 : 一面色, 一面綠色 關注結果 三個籌碼中有一對籌碼顏色相同 B: 分析實驗記錄 : 如 : 擲一枚六面體骰子, 關注結果 擲得 5" 如果擲的很多, 那麼由學生記錄結果計算得平均每 6 次有一次擲出 5" 但在記錄上可以看出, 並不是說每擲 6 次就一定可以得到 5" 一次, 在這一地方連續擲了 8 次沒一次出現 5"; 在另一個地方連續擲了 次沒有出現次出現一次 5"; 而在這裏擲了 出現次了兩次 5" 6

7 讓其他三個組交流並分析實驗記錄 C: 總結概率的含義 : 表示一個事件發生的可能性大小的數叫該事件的概率 ; 這是一個理論值, 當實驗無數次時, 關注結果的頻率逐漸穩定到概率值附近 ; 同時它並不說明在某幾個試驗中該事件一定發生 這兩層意思必須明白 [ 跟進 ] 下列說法正確嗎? 說明理由 () 一個有獎獎券的中獎概率是 0%, 那麼買 5 張獎券必有 張中獎 ; () 天氣預報說, 明天本地下雨的概率是 80%, 那麼明天一定會下雨 ; () 拋擲一枚普通的正方體骰子, 擲得的點數是 的概率是, 因為 是 6 的一半 ; () 從一副和勻了的撲克牌中任抽一張, 抽到大王 的概率是, 因為在一副撲克牌中, 有大王小王各一 張 (5) 從一隻放有形狀相同, 顏色不同的盒子中摸出一隻白球的概率是 0, 這句話的意思是這個盒子中的白球很少 思路 : 判斷所說的話是否正確的依據是看概率是否正確, 或對概率的理解是否準確等 答案 :() 不正確 中獎概率是 0% 是指在全部獎券中有 0% 的獎券能夠中獎, 若買 5 張獎券不一定就是有 張中獎 () 不正確 明天本地下雨的概率是 80%, 只能說明, 明天本地下雨的可能性比較大, 但並不是明天一定下雨 7

8 () 不正確 正方體骰子共有 6 個面,6 個面的不同點數 5 6, 拋擲一次, 出現各個點 數的可能性相同, 所以出現 的概率是, 而不是 () 不正確 從一副和勻了的撲克牌中任抽一張, 抽到大王的概率是, 因為一副撲克牌有 5 張, 即 5 所有可能的結果總數為 5 如果只從大小王兩張牌 中抽一張牌, 那麼抽得大王的概率是 (5) 不正確 在一隻放有形狀相同, 顏色不同的盒子中摸出一隻白球的概率是 0, 表示該盒子中沒有白球 [ 跟進 ] 有十張卡片, 分別寫有 0 至 9 十個數位, 將它們背面向上後洗勻, 任意抽取一張, 回答下列問題 : () 抽到一位數的概率 ; () 抽到奇數的概率, 抽到偶數的概率 ; () 抽到不超過 6 的數字的概率 () 抽到質數的概率為 =, 說明平均抽 5 次就 0 能兩次抽到質數 ; 還是說明每抽 5 次, 一定能抽到質數兩次 [ 跟進 ] 盒中有十個相同的球, 分別標有 0 從中任取一個球, 問此球號碼為偶數的概率與號碼不大於 的概率哪個大? 解 : 此球號碼為偶數的概率 P( 偶數 )= 0 5 = < 0 = 此球號碼不大於的概率 [ 例題 ] 用 0 個除顏色外均相同的球設計一個摸球遊戲, 使得 : 5 6 8

9 () 摸到球的概率為 摸到黃球的概率為 ; 6, 摸到藍球的概率為, () 摸到球的概率為, 摸到藍球的概率為 5 思路因為每次摸到一個球的機會均等, 由概率的值先求出袋中不同顏色的球的個數 解 :() 滿足條件的球個數為 0 6 =5 個, 籃 球個數為 0 =0 個, 黃球個數為 0 =5 個, 所以將 0 個球中, 把 5 個染成色,0 個染成藍色,5 個染成黃色 () 由 () 的方法可知, 在這 0 個球中應有 0 個球, 個籃球, 餘下的 8 個球只要不是色或藍色的球 [ 例題 ] 兩個袋中各裝有兩個球, 一個球和一個黑球 小彬和小強想利用它們做遊戲 規則如下 : 從兩個袋中各取一個球, 如果都是黑色, 則小彬勝 否則小強勝 這個遊戲規則對雙方公平嗎? 思路要判斷這個遊戲規則對雙方是否公平, 只要計算出兩次都摸到黑球的概率, 這就要分析兩次摸出的兩個球的所有可能結果數 解 : 兩次摸出的兩個球的所有可能結果為 : 黑 黑 黑黑四種, 出現黑黑只有一次, 故從兩個 袋中各取一個球, 都是黑色球的概率為, 即小彬勝 的概率是, 而小強勝的概率是, 所以這個遊戲規則對雙方是不公平的 9

10 [ 跟進 5] 對例二作怎樣的改動, 才能使這個遊戲規則對雙方是公平 說出方法的種數 方法 : 郎思認為摸出兩個球顏色相同的概率為, 顏色不同的概率也是, 所以規則作這樣的改動 : 從兩個袋中各取一個球, 如果顏色相同, 則小彬勝 否則小強勝 這樣遊戲規則對雙方公平 方法 : 雅麗認為, 在原來的基礎上採用記分制 因 為小彬勝的概率是, 而小強勝的概率是, 兩次 摸出都是黑色球, 則記小彬 分, 兩次摸出其他情況, 則記小強一分, 以得分多少決定勝負 這樣遊戲對雙方公平 ( 本質上可用期望值的知識思考此題, 在這裏出現此題的目的是從學生的興趣出發 ) [ 例題 5] 有一個均勻的正十六面體形狀的骰子, 其中一個面標有 ", 兩個面標有 ", 三個面表有 ", 四個面標有 ", 其餘的面標有 5", 隨意擲出這枚骰子, 試求 : () 5" 朝上的概率是多少? () 擲出大於 的數字朝上的概率是多少? () 擲得數字不是 " 朝上的概率是多少? 思路 : 設定這枚骰子的各個面相等, 則每次拋擲時, 每個面朝上的可能性相同, 求每個數字朝上的概率取決於這個數字在正十六面體中所占的面數 解 :() 此正十六面體中有一個 ", 兩個 ", 三個 ", 四個 ", 六個 5" 所以 5" 朝上的概率為 P(5 朝上 )= 6 6 = 8 ; 0

11 () 大於 的數位有 " 5", 它們共占 0 個面, 所以擲出數字大於 的面朝上概率 0 5 P= 6 = 8 () 數字 " 占 個面, 則有 個面的數字不是 ", 所以擲出數字不是 " 朝上的概率為 P= = 6 或 P=- = ) 生活中的概率問題 [ 例題 6] 美玲每天要乘車上學, 在她上車的車站上有 9 號車和 6 號車都可以到她的學校, 所以, 哪號車先到她就乘上哪號車 她統計了上個月坐 9 號車到校有 6 次, 坐 6 號車到校 7 次, 你認為明天美玲一定乘 6 號車上學 解 : 不一定 巴士發車的時間是確定的, 美玲每天上學的時間也基本不變, 從家到車站這段路程擁擠情況不確定, 加上其他可變因素, 由上個月的記錄, 明天美玲乘 6 號車的可能性較大, 也有可能上 9 號車 [ 跟進 6] 一張圓桌旁有四個座位,A 先生坐在圖上所示的座位上,B C D 三人隨機坐到其他三個座位上, 求 A 與 B 不相鄰而坐的概率 A 圓桌 解 : 把 B C D 三人坐的順序用樹狀圖列出如下 : C D B D B C

12 B C D D C D B C B 共有 6 種不同的情況, 與 A 不相鄰的情況有 種, 這樣 A 與 B 不相鄰的概率 P= = 6 [ 綜合練習 ] 袋中有除顏色不同外其他均相同的小球, 色球 個, 黑色球 6 個, 攪勻後, 隨機從袋中摸出一個球, 那麼摸到的球概率大還是黑球概率大? 分析計算結果, 回答以下問題 : () 概率的大小表示的真實含意是什麼? () 求出兩個概率的關係式 ; () 小華和小春想利用這個袋做遊戲, 他們商定, 小華摸到球勝, 小春摸到黑球勝, 這個遊戲對他們公平嗎? 若想公平你幫他們想想辦法 ; () 有的同學認為, 每次摸球, 不是摸到色球, 就是是摸到黑色球, 所以摸到球的概率與摸到黑球的概率一樣大 ; 還有同學認為, 雖然黑球數目多一些, 被摸到的機會稍大, 如果只摸一次, 則摸到的機會就一樣大, 他們的說法對嗎? (5) 彩民小王買了一注福利彩票居然中了一等獎, 彩民小李買了十注福利彩票沒有中獎, 這是怎麼回事? 請你解釋 (6) 在維多利亞公園, 張先生 0 歲的兒子一摸一個筆記本電腦, 於是大家紛紛仿效, 帶著孩子參與摸獎, 期望能摸到電腦, 他們的願望能實現嗎? 為什麼? 思路 : 袋中的 8 個球被摸到的機會是均等的, 由此出發計算概率, 理解概率的深刻含義, 即可回答以下問題

13 解 :P( 摸到球 )= = 8 6 = P( 摸到黑球 )= 8 () 摸到球的概率為, 表示摸很多次時, 平均 7 每 7 次中有 次摸到球 ; 摸到黑球的概率 7, 表示摸很多次時, 平均每 7 次中有 次摸到黑球 ; 在這裏摸到球或黑球的概率, 表示在一次摸球中, 摸到兩種球的機會大小不同 () 觀察結果可知 P( 摸到球 )+ P( 摸到黑球 ) = () 小華 小春用這種規則作遊戲顯然對雙方不公平, 小春勝的機會要大 若想公平, 有以下方案 : ) 口袋中取出 個黑球 ; ) 加 個球於口袋中 ; ) 在 黑球個數不變的情況下, 採用記分, 小華取出球得 6 分, 小春取出黑球得 分, 以得分的多少為取勝的標準 () 每次摸到的球不是球就是黑球, 但黑球的數目大於球的數目, 摸中的機會要大, 所以摸到黑球的概率要大 如果只摸一次, 有可能摸到球, 也有可能摸到黑球, 從表面上看, 出現結果的概率為, 但實際上, 在摸球的過程中黑球被摸的概率大, 所以, 上述兩位元同學的說法都是錯誤的 (5) 小王買的一注和小李買的十注中的每一注中獎的概率是一樣的, 事實上把小李買的十注可以看成是由 0 個人買了每人一注, 則每個人中獎的概率大小一樣 7 7

14 (6) 他們的願望不一定都能實現, 因為摸獎對於摸獎者來說, 得獎的概率都是一樣的, 只要參與, 無論是誰機會都是均等的 二 : 比較複雜的概率問題的處理方法 (+ 課時 ) ) 樹狀圖和列表法 ; ) 數數原則 ; ) 綜合練習 ; ) 摸獎與先後次序無關 ( 一 ) 教學目標 : () 掌握利用樹狀圖和列表法, 解決較為複雜的概率問題 著重要求學生對樹狀圖和列表法的熟練把握樣本空間, 從而得到事件所有可能的結果和滿足條件的所有可能的結果 () 理解並掌握數數原則, 計算事件所有可能的結果和滿足條件的所有可能的結果的數目 () 探究利用數數原則, 計算事件所有可能的結果數目的各種類型的方法 ( 二 ) 重點 : () 學習概率的核心問題之一是需要羅列所有可能的結果 借助樹狀圖可以有效地避免結果的重複和遺漏 目前所學的是等可能結果的樹狀圖 () 研究的物件有且只有兩個元素時, 用列表法可以更直觀地把握所有可能的結果 () 理解數數原則與數形圖之間的關係, 準確地使用數數原則計算所有可能的結果 ( 三 ) 重點內容分析與舉例 :. 等可能結果的樹狀圖

15 畫等可能結果的樹狀圖時, 要注意畫出的同一級的每一個 枝條 " 必須是等可能的 也就是每一個 枝條 " 發生的概率是相等的, 這是列舉所有等可能結果的保障 在列舉第二步的可能結果的時候, 需要注意是放回情形還是不放回的情形, 這對 枝條 " 是有影響的 如果需要列出更多步的可能結果, 方法也是一樣的 要統計有多少可能結果只要數最後 樹梢 " 上共有幾個 果子 " 如果要比較兩個事件發生機會的大小, 只要數這兩個事件各包含 果子 " 的多少, 包含 果子 " 的多的, 發生的機會 ( 也就是發生的概率 ) 就越大 每個 果子 " 的描述是有序的 如 5" 就表示拋擲一枚骰子, 第一次擲的是, 第二次擲的是, 第三次擲的是 5. 數數原則若某一個事件 E 可分為 K 個步驟, 第一個步驟有 n 個可能結果, 第二個步驟有 n 個可能結果, 第個 K 步驟有 n k 個可能結果, 則事件 E 共有 n n n k 個可能結果 注意 : 當計算事件的可能結果的數目時, 首先確定事件由幾個步驟組成, 而所有可能結果的數目就是各步驟的可能結果的乘積 ( 必要時, 先分類, 後分步 ) 數數原則的理解用樹狀圖來說明 [ 例題一 ] 隨意從放有 個球和一個藍球的口袋中摸出一個球, 再放回袋中攪勻後再摸出一個球, 求兩次摸到的球都是球的概率 思路 : 根據概率的定義, 先求出所有機會相等的結果, 再求出兩次的都是球的概率 5

16 解 : 根據題意畫出樹狀圖 藍 一共有 5 種可能出現的結果, 其中兩次摸到都是球 的次數為 6, 故兩次摸到的都是球的概率為 6 5 解法 : 利用列表法進行計算 : 藍 藍 藍 藍 藍 藍 藍 藍 藍 藍 藍藍 從表中可得 : 一共有 5 種可能出現的結果, 其中兩 次摸到都是球的次數為 6, 故兩次摸到的都是球 6 的概率 P= 5 解法 : 用數數原則進行計算 : 先把球進行編號, 這樣, 在 5 個不同的球中取出 個球的所有可能的情 況有 5 5 = 5 種, 在 個球中取出 個球的所有可 能的情況有 = 種, 這就有兩次摸到的都是球 的概率為 P= 5 6 = 5 解法 : 用獨立事件的概率公式進行計算 : 第一次摸 5 到球的概率為 P =, 第二次摸到球的概率為 6

17 5 P =, 又因為 P, P 獨立, 所以兩次都摸到球的概 率 P= 6 P P = = [ 例題二 ] 醫療臨床用血來自公民的自願獻血 現 有三個自願獻血者, 兩人血型是 O 形, 一人血型為 A 型 若在三人中隨意挑選一個人獻血, 兩年後又從 此三人中隨意挑選一人獻血 試求兩次獻血都是 O 型的概率 分析 : 使用列表法或樹狀圖觀察列出所有可能的結 果, 計算滿足條件的概率 解法 : 首先使用列表法 : O O A O (O,O) (O,O) (A,O) O (O,O) (O,O) (A,O) A (O,A) (O,A) (A,A) 這樣就有兩次獻血都是 O 型的概率 P= 9 解法 : 採用樹狀圖 : O O O O O O O A O A A A 由樹狀圖得兩次獻血都是 O 型的概率 P= 9 此題可以仿 [ 例題 ] 用數數原則或獨立事件的概率進行計算 [ 跟進 ] A B 為兩個轉盤, 分成三個部分, 玲玲和蘭蘭利用他們作遊戲, 同時自由轉動兩個轉盤, 當兩個指標所停區域的數都是奇數或都是偶數時, 則玲玲勝, 當兩個指標所停區域的數是一奇一偶時, 則蘭 7

18 蘭獲勝 你認為這個遊戲公平嗎? 試用概率的知識說明 思路 : 畫出樹狀圖或列出表格, 計算玲玲和蘭蘭 獲勝的概率, 並進行比較 解法 : 先畫出樹狀圖 : A B 結果 ( 奇, 偶 ) 5 ( 奇, 奇 ) 6 ( 奇, 偶 ) ( 偶, 偶 ) 5 ( 偶, 奇 ) 6 ( 偶, 偶 ) ( 奇, 偶 ) 5 ( 奇, 奇 ) 6 ( 奇, 偶 ) 由此可知玲玲獲勝的概率 :P( 玲玲勝 )= 9 蘭蘭獲勝的概率 :P( 蘭蘭勝 )= 9 5 由此, 這個遊戲對他們不公平, 蘭蘭獲勝機會大 解法 : 列表可得 :( 以行為先 ) 5 6 (,) ( 奇, 偶 ) (,5) ( 奇, 奇 ) (,6) ( 奇, 偶 ) (,) ( 偶, 偶 ) (,5) ( 偶, 奇 ) (,6) ( 偶, 偶 ) 8

19 (,) ( 奇, 偶 ) (,5) ( 奇, 奇 ) (,6) ( 奇, 偶 ) 由此可知玲玲獲勝的概率 :P( 玲玲勝 )= 9 蘭蘭獲勝的概率 :P( 蘭蘭勝 )= 9 5 由此, 這個遊戲對他們不公平, 蘭蘭獲勝機會大 [ 跟進二 ] 隨意安排甲 乙 丙三位老師在假期三天中護校, 每名老師護校一天 問 : 老師甲排在老師乙之前的概率是多少? 解法 : 由於安排的隨意性, 在一天中老師甲 乙護校的可能性是相同的 所以老師甲排在老師乙之前的概率是 解法二 : 用樹狀圖計算這三名老師在三天中參加護校的順序共有的排法, 然後計算甲排在乙前面的排法 第一天 第二天第三天 結果 乙 丙 ( 甲 乙 丙 ) 甲 丙 乙 ( 甲 丙 乙 ) 甲 丙 ( 乙 甲 丙 ) 乙 丙 甲 ( 乙 丙 甲 ) 甲 乙 ( 丙 甲 乙 ) 丙 乙 甲 ( 丙 乙 甲 ) 由樹狀圖可知這三名老師在三天中參加護校的順序 共有 6 種排法, 甲排在乙前面有 種排法, 這樣, 甲排在乙前面的概率為 P= 6 = [ 例題三 ] 一個家庭有三個孩子 () 求這個家庭有三個男孩的概率 ; 9

20 () 這個家庭有二個男孩一個女孩的概率 ; () 這個家庭至少有一個男孩的概率 思路用 G 和 M 分別男孩和女孩, 畫出樹狀圖, 列出 所有可能的結果 解法 : 先畫出樹狀圖 : 第一個孩子第二個孩子第三個孩子所有可能結果 G (G,G,G) G M (G,G,M) G G (G,M,G) M M (G,M,M) G (M,G,G) G M (M,G,M) M G (M,M,G) M M (M,M,M) () 可能出現的結果數為, 所以 P( 男 )= 8 ; () 可能出現的結果數為,P( 男 女 )= 8 ; () 可能出現的結果數為 7,P( 至少 男 )= 8 7 或 P( 至少 男 )=-P( 女 )=- 8 = 8 7 我們老師還需要掌握以下方法 和方法 解法 : 因為每一胎生男生女的概率都是, 由獨立 事件的概率運算公式 P( 男 )= = 8 ; 0

21 P( 男 女 )= + + = ; 解法 :P( 男 女 ) 滿足貝努裏分佈, 這樣就有 : P( 男 女 )= c = 8 [ 跟進 ] 石頭 " 剪刀 " 布 " 是個廣泛流傳的遊戲, 遊戲時甲 乙雙方每次做 石頭 " 剪刀 " 布 " 三種手勢中的一種, 規定 : 石頭 " 勝 剪刀 ", 剪刀 " 勝 布 ", 布 " 勝 石頭 " 同種手勢不分勝負須繼續進行比賽 假定甲 乙兩人每次都是等可能的作這三種手勢, 那麼一次比賽時兩人做同種手勢 ( 不分勝負 ) 的概率是多少? 分析 : 此問題用樹狀圖或列表法計算甲 乙兩人用三種手勢的各種可能情況 解法 : 用數狀圖計算 : 甲石頭剪刀布 乙石頭剪刀布石頭剪刀布石頭剪刀布結果 : 一共有九種可能, 其中出現 ( 石頭, 石頭 ) ( 剪刀, 剪刀 ) ( 布, 布 ) 不分勝負的結果共有三 個, 所以不分勝負的概率即 P( 同種手勢 )= 9 = 解法 : 用列表法計算 :( 以列為先 ) 石頭 剪刀 布 石頭 ( 石, 石 ) ( 剪, 石 ) ( 布, 石 ) 剪刀 ( 石, 剪 ) ( 剪, 剪 ) ( 布, 剪 ) 布 ( 石, 布 ) ( 剪, 布 ) ( 布, 布 )

22 結果 : 一共有九種可能, 其中出現 ( 石頭, 石頭 ) ( 剪刀, 剪刀 ) ( 布, 布 ) 不分勝負的結果共有三 個, 所以不分勝負的概率即 P( 同種手勢 )= 9 = 解法 : 對甲乙兩人, 所出的三種手勢是等可能的, 所得到的結果呈對稱形式, 由等可能事件的概率可得 不分勝負的概率即 P( 同種手勢 )= 想一想, 在實際的遊戲中, 兩人玩 次就一定會出現一次相同手勢嗎? [ 例題 ] 在一個口袋中, 有 個黑球, 個白球 求 () 在口袋中任意摸一個球, 摸到黑球的概率 () 甲在口袋中摸去一個球後, 乙在口袋中任意摸一個球, 摸到黑球的概率 () 甲 乙在口袋中摸去兩個球後, 丙在口袋中任意摸一個球, 摸到黑球的概率 解 :() 甲在口袋中任意摸一個球, 摸到黑球的概 率 P= = 6 ; () 甲在口袋中摸去一個球後, 乙在口袋中任意摸一個球, 摸到黑球的概率 P 可以這樣計算 : 甲在口袋中摸去一個黑球後, 乙在口袋中摸到黑球 A A A 的概率為 P = 6 = 0 6, 甲在口袋中摸去一個白球後, 乙在口袋中摸到黑球 A A A 的概率為 P = 6 = 0 9, 所以乙摸到黑球的概率 P= = ;

23 () 甲 乙在口袋中各摸去一個球後, 丙在口袋中任意摸一個球, 摸到黑球的概率 P 可以這樣計 A + A A A A + A A A 算 : 由 () 的計算過程得 P= 6 60 = 0 = 總結 : 對於甲 乙 丙三個人在這個口袋中任意摸 取一個球, 摸的黑球的概率都是, 與此三人的摸 球先後次序無關 注 : 此題可以作這樣的整體考慮, 把這 6 個球進行編號, 問題 () 就等價於 : 把這 6 個球排成一排, 第三個位置排黑球的概率是多少?6 個有不同 6 編號的球排成一排的可能情況有 A 6 種, 黑球排在 5 第三個位置的情況有 A, 所以滿足條件的概率 A A A P= = A 5 問題探究 : 一個口袋中, 除了顏色不同外, 其他均相同的 個小球, 其中 個色, 個白色 由 [ 例題 ] 知, 第一次在口袋中取一個色球的概率是 ( 不放 回 ), 第二次在口袋中取出一個球的概率也是 ( 不放回 ), 第三次在口袋中取出一個球的概率也 是 ( 不放回 ), 第四次在口袋中取出一個球的概 率也是 也就是在一個口袋中有除了顏色外其他均相同的兩個球和兩個白球, 每一次取出一個球 ( 不 放回 ) 是球的概率都是, 與先後取的次序無關

24 然而, 第一次在口袋中取一個色球的概率是 ; 把取出的球放回口袋, 第二次在口袋中取一個色球 的概率是 ; 把取出的球再放回口袋, 第三次在口袋 中取一個色球的概率還是 ; 把取出的球再放回口 袋, 第四次在口袋中取一個色球的概率依然是 在口袋中, 取出一個球是色球的概率, 無論放回還是不放回, 其值不變, 是因為此問題特殊, 還是其有普遍意義 為什麼? 你能說出理由嗎? 通過上述問題的探究, 再來探討以下問題 : 購買獎券時 到底是買連號的容易中獎還是買不連號的容易中獎, 你能否作出有說服力的解答 [ 跟進 ] 信班的三個球迷雅思 阿亮 貝爾決定通過用抓鬮來確定誰得僅有的一張世界盃足球票 他們準備了三張小紙片, 其中一張畫上了五星, 另兩張空白 抓到五星的人才能得到球票 剛要抓鬮, 雅思問 : 誰先抓? 先抓的人會不會機會比別人大? 試說明你對此的看法 提示 : 方法 : 畫樹狀圖分別計算雅思 阿亮 貝爾得到球票的概率 方法 : 用數數原則來計算 ( 可以整體考慮, 也可以局部考慮 ) 雅思 阿亮 貝爾得到球票的概率 [ 例題 5] 袋中有 個球, 個黃球, 個白球, 了顏色外, 其他均相同 摸兩次 ( 摸出第一個球後放回袋中 ), 計算兩次摸出相同顏色的球的概率 解法 : 首先把這五個球進行編號, 然後用樹狀圖來計算兩次摸出相同顏色的球的概率 設此五球為 : 黃 黃 白

25 第一次摸到的球 第二次摸到的球 結 果 (, ) (, ) 黃 (, 黃 ) 黃 (, 黃 ) 白 (, 白 ) (, ) (, ) 黃 (, 黃 ) 黃 (, 黃 ) 白 (, 白 ) ( 黃, ) ( 黃, ) 黃 黃 ( 黃, 黃 ) 黃 ( 黃, 黃 ) 白 ( 黃, 白 ) ( 黃, ) ( 黃, ) 黃 黃 ( 黃, 黃 ) 黃 ( 黃, 黃 ) 白 ( 黃, 白 ) ( 白, ) ( 白, ) 白 黃 ( 白, 黃 ) 5

26 黃 ( 白, 黃 ) 白 ( 白, 白 ) 由樹狀圖知摸兩次摸到球的可能顏色情況有 5 種, 顏色相同的情況有 9 種, 所以兩次摸到球的顏色相同的概率 P= 5 9 解法 : 把口袋中的球作上述編號後, 有記數法則知, 兩次摸到 個球所有可能情況有 N =5 5 種, 兩次摸到顏色相同的所有可能情況有 N = + +=9 種, 所以兩次摸到球的顏色相同的概率 P= 5 9 [ 跟進 5] 把三張形狀 大小相同但畫面不同的風景圖片都平均剪成三段, 然後, 把上 中 下三段分別混合洗勻, 從三堆圖片中隨機地各抽出一張, 求三張圖片恰好組成一張完整風景圖片的概率 解 : 由樹狀圖進行計算可得 或 P= = = 7 9 變換試題 : 把一張風景圖片平均剪成三份, 將它在桌面上均勻攪合, 然後重新組合, 求恰好組成一張完整風景圖片的概率 解 : 此問題又等價於把數字 排成一排, 按由小到大順序的概率是多少? 這樣, 就有樹狀圖記數而 得 滿足條件的概率 P= 6 練習 提升質素 [ 練習 ] 本港電視臺在慶 回歸 " 文藝晚會接到熱線電話 000 個, 現在要從中抽取 幸運觀眾 "0 名亞雯同學剛撥通了一次熱線電話, 她能成為 幸運觀眾 " 的概率是 ( ) 6

27 A. 0 B. 00 C. 00 D. 000 [ 練習 ] 中國象棋方棋子按兵種不同分佈如下 : 個帥,5 個兵, 士 象 車 馬 炮 " 各 個, 將所有棋子的反面放在棋盤中, 任取一個不是兵和帥的概率是 ( ) A. 6 B. 6 5 C. 8 D. 8 5 [ 練習 ] 以下有 5 種說法 : () 天氣報告指出, 明天下雨的概率是 0%, 後天下雨的概率是 80%, 那麼後天外出的人員更應該考慮帶雨具 ; () 盒子中摸到白球的概率是 99%, 那麼從盒子中摸出一隻球一定會是白球 ; () 布袋中只有白顏色的球若干個, 那麼從中摸出一隻球是球的概率是 ; () 不考慮成語的引申含義 十拿九穩 " 與 百發百中 " 表達的意思是一樣的 ; (5) 擲兩枚普通的正方體骰子, 擲的兩個 6 的概率 是 正確的判斷有 ( ) 個 A. 個 B. 個 C. 個 D. 個 [ 練習 ] 從一副沒有了大小王的撲克牌中任意抽取一張牌, 放回攪勻後再抽, 下列說法合理的是 ( ) A. 如果抽取 00 次, 抽出四種花色的次數會比較接近 ; B. 如果抽取 00 次, 抽出四種花色會相等 ; C. 如果抽取 次, 可能全是黑桃 ; D. 如果抽取 次, 不可能全是黑桃 7

28 [ 練習 5] 有一對酷愛運動的年輕夫婦給他們 個月大的嬰兒拼排 塊分別寫有 0" 08" 北京 " 的字塊, 如果嬰兒能排成 008 北京 " 或者 北京 008" 的字塊, 則他們就給嬰兒獎勵, 假設該嬰兒能將字塊橫著正排, 那麼這個嬰兒能得到獎勵的概率是 ( ) A. 6 B. C. D. [ 練習 6] 阿方從家到學校, 共經過三個路口, 每個路口都有綠燈,( 燈停, 綠燈行 ) 在每個路口遇 到燈的機會都是, 則阿方從家到學校一路通行 無阻的概率是 ( ) A. 8 B. C. D. [ 練習 7] 拋擲三枚普通的硬幣出現 正正正 " 的概率與拋擲一枚普通的硬幣三次出現 正正正 " 的概率是相等的嗎? 填寫 : 是或否 [ 練習 8] 在一副去掉大 小王的撲克牌中任意抽取一張牌, 則 P( 抽到黑桃 K)= ;P( 抽到梅花 ) = ;P( 抽到桃 9)= ;P( 抽到 Q)= [ 練習 9] 現有式樣 大小完全相同的四張硬紙片, 上面分別寫著 四個數字, 如果每次抽取兩張硬紙片上數字之和等於 5 的概率 P= [ 練習 0] 在一個不透明的袋中裝有除顏色外其餘都相同的三個小球, 其中一個球, 兩個黃球 如果第一次從袋中摸出一個球後不放回, 第二次在袋中再摸出一個球, 那麼兩次都摸到黃球的概率是 [ 練習 ]006 年 7 月, 麥當勞杏花村連鎖店推出優惠銷售活動, 雞塊品種有 : 麥樂雞 辣雞翅膀 ; 主要飲 8

29 料有 : 可樂 咖啡 奶昔 如果李欣想按上述品種點一份雞塊, 一杯飲料 請用樹狀圖表示所有可能出現的結果 李欣點到 辣雞翅膀 + 奶昔 " 的概率是多少? [ 練習 ] 有兩把不同的鎖和三把鑰匙, 其中兩把鑰匙恰好分別能打開這兩把鎖, 第三把鑰匙不能打開這兩把鎖 任意取出一把鑰匙去開任意的一把鎖, 一次打開鎖的概率 [ 練習 ] 甲 乙兩人的中國象棋的棋藝相當, 但總能分出勝負 ( 不下和棋 ) 甲 乙兩人個拿出 00 交給棋證丙, 作為勝方的獎勵, 誰先勝三局 ( 五局三勝制 ) 就得到所有的 00, 前三局的結果是甲兩勝一負, 遺恨的是由於特殊原因甲 乙兩人再也沒有下棋 在這樣的情況下, 請你為棋證丙設計一個方案, 把 00 分給甲 乙兩人 解 : 因為甲 乙兩人的中國象棋的棋藝相當, 兩人之間的勝負是隨機事件, 再賽兩局, 用樹狀圖可列出比賽結果 用甲表示 甲勝 ", 用乙表示 乙勝 " 這樣所有可能的結果是 :( 甲, 甲 ) ( 甲, 乙 ) ( 乙, 甲 ) ( 乙, 乙 ), 其中甲獲勝有三種可能, 乙獲勝只有一種可能, 所以甲獲勝的概率是, 乙 獲勝的概率是 合理的分法是給 甲 : 00=$00, 給乙 : 00=$00 三 : 實驗概率 ( 通過試驗估計隨機事件發生的概率 )( 三課時 ) () 實驗概率 ( 頻率 ) 與理論概率的概念 ; () 實驗概率 ( 頻率 ) 與理論概率的關係 ; 9

30 () 概率的預測探究 ( 一 ) 教學目標 : () 認識並理解實驗概率的意義和求取的方法 () 明白理論概率和實驗概率的聯繫和區別 () 進一步理解概率的含義, 應用概率, 預測某種事物發生的可能性的大小 ( 二 ) 重點知識內容梳理 () 實驗概率的定義 : 通過實驗所得的事件的相對頻數, 稱為實驗概率 也就是 : P(E)= 事件 E 的相對頻數即是 : P(E)= 實驗中事件 E 發生的次數或頻數 / 實驗的總次數 實驗次數越多, 實驗概率愈接近理論概率 事實上, 不是所有隨機事件的概率能被正確地度量或計算出來的, 很多時候, 我們會從事件以往發生的次數來估計該事件的概率 例如 : (a) 過往 0 年內的八月共有 57 天下雨, 我們估計 57 八月某一天下雨的概率為 (0 年內八月共有 0 0 天 ) (b) 在一十字路口, 一個月內統計得有 500 架車輛經過, 而在該月內發生了三次交通意外, 因此估計 汽車在該十字路口發生意外的概率為 500 (c) 從學校足球隊過往在區的 次比賽中, 有 9 次獲獎 我們估計學校足球隊在下一次的比賽中獲獎 的概率為 9 = (a),(b),(c) 所計算的值稱為實驗概率 0

31 對應的理論概率的理解, 應該是如 : 當投擲一枚硬幣時, 我們所假設的正面向上和反面向上都是等可 能的, 所以正面向上的概率在 理論 " 上應等 這種理論推算出事件發生的概率稱為 理論概率 " () 概率的應用 : 如在摸球活動中, 每次摸到球的顏色不一定相同, 通過計算概率 = 某種顏色球的總數 / 袋中球的總數, 此值的大小即可預測摸出種顏色球的機會的大小 機會的大小與事件的概率有關, 與其他無關 ( 三 ) 活動設計與例題分析 解答重播概率第一課時的學生實踐活動 : 在課堂內 ( 或佈置學生以小組為單位在課外活動 ) 設計以下四個學生活動 : 讓學生試驗並記錄實驗結果 每一個小組安排一個活動 A: 內容安排 : ) 拋一枚硬幣, 關注結果 反面向上 " 5) 擲一枚六面體骰子, 關注結果 擲得 5" 6) 從一副沒有大小王的撲克牌中摸一張牌 ( 隨機 ), 關注結果 摸到桃 " 7) 拋擲三個籌碼已知 : 籌碼 : 一面色, 一面黃色 ; 籌碼 : 一面黃色, 一面綠色 ; 籌碼 : 一面色, 一面綠色 關注結果 三個籌碼中有一對籌碼顏色相同 B: 分析實驗記錄 : 如 : 擲一枚六面體骰子, 關注結果 擲得 5" 如果擲的很多, 那麼由學生記錄結果計算得平均每 6

32 次有一次擲出 5" 但在記錄上可以看出, 並不是說每擲 6 次就一定可以得到 5" 一次, 在這一地方連續擲了 8 次沒一次出現 5"; 在另一個地方連續擲了 次沒有出現次出現一次 5"; 而在這裏擲了 出現次了兩次 5" 讓其他三個組交流並分析實驗記錄 C: 總結概率的含義 : (a) 表示一個事件發生的可能性大小的數叫該事件的概率 ; 這是一個理論值, 當實驗無數次時, 關注結果的頻率逐漸穩定到概率值附近 ; 同時它並不說明在某幾個試驗中該事件一定發生 這兩層意思必須明白 (b) 我們對 ) 進行歸納, 第二組同學擲一枚六面體骰子, 每一位同學擲了 00 次, 共擲 800 次 ; 關注結果 擲得 5"6 次, 所以 擲得 5" 此事件的實 6 =0.575 而它的理論概率 驗概率 P = 800 P = = 老師組織其他三個組完成各自活動項目的實驗概 率計算 注 : 實驗概率在另外一個層面 ( 有下例 ) 作出比較深入的理解 一公司在某區有三個特約經銷店, 都設在該區的大商場裏 經調查該公司的產品在這三個特約經銷店的銷量占同類商品總銷量的 5%, 於是, 該公司在廣告中宣傳說他們的產品在該區市場上的銷量占同類商品的 5% 這個廣告當否? 為什麼?

33 答 : 有不妥之處 調查是在該公司所設的這三個特約經銷店進行的, 但是廣告中的結論是對該區所有市場而言的, 題中的第一個 5% 不是實驗概率 [ 例題 ] 甲袋中裝有 0 只球,90 只白球 ; 乙袋中裝有 0 只球,00 只白球, 這些球除顏色外其他都一樣, 如果想第一次取出一隻球, 應該選擇哪只袋子機會大? 為什麼? 解 : 在甲袋中取出一隻球的概率為 P 在乙袋中取出一隻球的概率為 P 0 = ; = ; 0 6 = = P P, 應該選擇乙袋 [ 例題 ] 量度 0 罐可樂的實際容量, 所得結果如下 : 容量 (ml) 數量 從以上結果, 計算一罐可樂有下列容量的實驗概率 (a) 少於 5.5ml; (b) 在 7.5ml 至 57.5ml 的範圍內 分析 : 以下是各組區間的組界 : 容量 (ml) 組界 (ml)

34 解 :(a)p( 容量 5.5ml)= = 7 0 (b)p( 容量在 7.5ml 和 57.5ml 之間 ) = = 0 = 5 [ 跟進 ] 下表所示為一次健康檢查活動中,80 名人士的體重 (kg) 分佈 : 體重 頻數 0 7 求參與這次健康檢查活動的人士符合下列體重要求的實驗概率 (a) 介乎 (kg) (b) 少於 79.5(kg) 分析 : 以下是各組區間的組界 : 體重 (kg), 組區間 組界 (kg) 解 (a)p( 介乎 (kg))= (b)p( 少於 79.5(kg))= 或 P( 少於 79.5(kg)) =- P( 大等於 79.5 kg)=- + 9 = = = [ 例題 ] 一袋內有相同大小的球 藍球 黃球 個 現由袋中任取一個球, 記錄它的顏色後放回袋 77 80

35 中, 然後再抽取第二個球 在抽取 500 次後, 結果記錄如下 : 顏色藍黃頻數 估計袋內球 藍球及黃球的數目 分析 : 當抽球的次數很大時, 實驗概率 理論概率 解 : 設袋內有 x 個球, 有 y 個藍球及有 z 個黃球 Q 實驗概率 理論概率 5 x 對於球就有 : 這樣 x = y 對於藍球就有 : 這樣 y = 對於黃球 z =.968 袋內有 6 個球 個藍球 個黃球 [ 跟進 ] 某校調查 00 名中三年級學生的年齡結 構, 結果如下 : 年齡 學生人數 8 x 6 y 任意選取一名中三學生的年齡為 5 歲的實驗概率 是 00 (a) 求 x 及 y 的值 答案 : x=86,y= (b) 求任意選取一名中三學生的年齡大於 5 歲的 實驗概率 答案 : 00 9 [ 例題 ] 國家衛生部資訊統計中心根據國務院新聞辦公室授權發佈的全國內地 00 年 5 月 日至 5 月 5

36 日非典型肺炎發病情況, 按年齡段進行統計得各年齡段發病的人數, 如表所示 : 發病 年齡 發病人數 () 全國內地 5 月 日至 5 月 5 日共有多少人患 非典型肺炎 ; () 在 9.5~9.5 歲非典型肺炎的病人這一組有多少 人, 占發病總人數有多少個百分點? 哪個年齡段的發 病的實驗概率最大? () 試計算年齡在 9.5 歲至 9.5 歲患非典型肺炎病 人的實驗概率 分析 : 以下是患非典型肺炎病人的年齡的組界 : 病人年齡 ( 組區間 ) 組界 解 :() 這些日子裏共有 08 人發病 () 在 9.5~9.5 歲非典型肺炎的病人這一組有 人, 占發病總人數有 = %, 即有 0 個百分 6

37 點 在 9.5~9.5 這個年齡段的發病率最大, 其實驗 8 9 概率 P= 08 = 5 =5.9% () 年齡在 9.5 歲至 9.5 歲患非典型肺炎病人的實 88 驗概率 P= 08 = 7 =8.8% [ 跟進 ] 對 DJP 天主教學校 ( 男校 ) 中二年級的仰臥起坐的測試成績進行了統計, 資料分組整理後得到下表, 但其中資料第四組的頻數值被墨蹟蓋住了, 只知道第四組的頻數是 0, 你能根據給出的資訊求出這個頻率嗎? 若次數大於或等於 7 次為達標, 則該校有多少中二生達標, 達成率是多少? 統計者認為該學校的仰臥起坐的測試成績在全港其有代表性, 試估計全香港中二男生仰臥起坐的達成率 DJP 天主教學校 ( 男校 ) 中二年級的仰臥起坐的分組成績表 分組 6~ ~9 0~6 7~ ~50 頻率 分析 : 首先根據頻率之和為 可知第四組的頻率 ( 實 驗概率 ) 為 0.5=, 總數 = 頻數 / 實驗概率 =0/ =0 因為第 5 組的學生都達標了, 達成 率為 =0.60=60%, 達標的中二學生數為總數乘於達成率 =0 60%=7 由題設, 可以估計全港中二男生的仰臥起坐的達成率為 60% [ 跟進 ]LN 基督教中學為了瞭解學生的身體發育情況對年滿 7 歲的 60 名男同學的身高進行了測量, 結果如下 : 7

38 身高 人數 根據上表試求 : () 計算在年滿 7 歲的男生中, 身高不底於.65, 不高於.7 的實驗概率 () 而該校年滿 7 歲的男生有 68 人, 那麼在這個範圍內的人數約有多少人 [ 例題 5] 以下我們研究 006 年香港數學會考乙部的概率試題 : 下面的幹葉圖顯示 A 班及 B 班的學生在某次測驗的得分 ( 一分為單位 ) 的分佈, 其中 a b c 及 d 均為小於 0 的非負整數, 已知每班各有 5 名學生 A 班 : 幹 ( 十位 ) 葉 ( 個位 ) 0 a b B 班 : 幹 ( 十位 ) 葉 ( 個位 ) 0 c d (a) 求 A 班學生的得分分佈的四分位數間距及 B 班學生的得分分佈的四分位數間距 ( 分 ) 8

39 (b) 該測驗的及格分數為 0 分, 從該 50 名學生中隨機選取 名學生 () 求恰有 名所選取的學生均在該測試中及格的概率 () 求恰有 名所選取的學生均在該測試中及格且兩人在同一班的概率 () 已知恰有 名所選取的學生均在該測試中及格, 求該兩人在同一班的概率 (7 分 ) 解 (a)a 班的四分位數間距 =9-8= B 班的四分位數間距 =5-= (b) A 班及格人數為 8 人, 不及格人數為 7 人 ; B 班及格人數為 0 人, 不及格人數為 5 人 () 設 : 從該 50 名學生中隨機選取 名學生, 恰有 名所選取的學生在該測試中及格的事件 B 的概率為 P, 則 C 8 P = 50 C C 原則計算 ) 97 = 700 =0.( 這裏可用數數 () 設 : 恰有 名所選取的學生均在該測試中及格且兩人在同一班的事件 B 的概率為 P, 則 ( 8 0 C + C ) () P = 50 C C 數數原則計算 ) 089 = 900 =0.( 同樣可用 9

40 () 設 : 已知恰有 名所選取的學生均在該測試中及格, 求該兩人在同一班事件 B 的概率為 ( 8 0 C + C ) P, 則 P = 8 C C C = = 0. 5 或設 : 已知恰有 名所選取的學生均在該測試中及格, 求該兩人不在同一班事件 B 的概率為 P, 這樣事件 B 與事件 B 是對立事件 C 8 P =- P =- 8 C C 0 C C = = 0. 5 此時用對立事件的概率計算顯得非常清晰 [ 跟進 5] 拋擲一枚硬幣三次 () 第一次出現正面, 第二次出現正面, 第三次出 現反面的概率 () 出現兩次正面一次反面的概率 解法 : 用樹狀圖求拋擲一枚硬幣三次的所有可能的 結果 第一次拋擲第二次拋擲第三次拋擲所有可能結果 正 ( 正正正 ) 正 反 ( 正正反 ) 正 正 ( 正反正 ) 反 反 ( 正反反 ) 正 ( 反正正 ) 正 反 ( 反正反 ) 反 正 ( 反反正 ) 反 反 ( 反反反 ) 這樣就有 : () 第一次出現正面, 第二次出現正面, 第三次出 現反面的概率 P= 8 0

41 () P( 出現兩次正面一次反面的概率 )= 8 解法 :() 拋擲一枚普通硬幣出現正面 反面的 概率都是, 並且每一次拋擲都是獨立的, 滿足條件 的概率 P= = 8 P( 出現兩次正面一次反面的概率 ) = = 8 C = 8 P( 兩次正面一次反面的概率 )= 注 : 本題與第二講 [ 例題三 ] 本質上一致 [ 跟進 6] 在每個籌碼上分別做上記號 : 籌碼一 : 正面, 反面 O; 籌碼二 : 正面 O, 反面 #; 籌碼三 : 正面 #, 反面 拋擲這三個籌碼, 求能夠出現一對相同符號 ( 如 O 中有兩個 ) 的概率 解 : 用樹狀圖列出拋擲三個籌碼出現的所有可能的情況 籌碼一籌碼二籌碼三可能結果 # ( O#) O ( O ) # ( ##) # ( # ) # (OO#) O (OO ) O # (O##) # (O# )

42 這樣 : P( 出現一對相同符號 )= 6 = 8 四 : 期望值 ( 三課時 ) () 期望值 ; () 公平遊戲 ; () 生活中的期望值和公平遊戲 ( 一 ) 教學目標 : () 認識並理解期望值的意義, 並能作簡單的計算 () 加深對概率的理解, 引用期望值的概念判斷遊戲對參與者是否公平 () 明白期望值不是實驗重複多次後的結果, 而是與實驗重複多次後的結果很接近的一個數 ( 二 ) 重點知識內容梳理在本章中, 對期望值沒有作出嚴格的定, 只注重用描述的方法培養學生對期望值的直觀瞭解 計算概率可讓我們對發生的事件作一個 ( 平均 ) 估計, 這個計數值稱為期望值, 而期望值是由事件的概率所決定 即 : 事件發生的情況有 n 個可能結果, 每一個結果取得 的數值分別為 x, x, x, L, x n, 若上述可能結果發生的概率分別為 p, p, p, L, p n, 則所得數值的期望值是 : = x p + x p + x p + L+ x p n n 注意點 : () 期望值是由事件發生的每一個可能結果的概率所決定 ; () 期望值是預期所得結果的平均數值, 並不一定與實際結果相符 ;

43 () 上述兩條讓學生在有效的學習活動中自身體驗 公平遊戲是期望值概念的其中一個應用, 能使參與者把握那些遊戲是公平的, 那些遊戲不公平 ( 有利 不利 ) 的判斷 掌握的法則是 : 贏面期望值 = 期望回報值 - 所付代價等於 : (a) 正數時, 遊戲對參與者有利 ; (b)= 0 時, 遊戲是公平的 ; (c) 負數時, 遊戲對參與者不利 ( 三 ) 活動設計與例題分析 解答 (A) 活動設計 : () 子墨 : 媽媽, 我擲這一枚普通硬幣 0000 次, 你期望出現正面的次數是多少? 媽媽 : 差不多正面出現 5000 次, 同樣反面也差不多出現 5000 次 注 5000 次是擲出正面的概率為 而得出的期望值 () 小莉玩摸牌遊戲, 現有一副中的四張牌, 他們是 8,8,8 和 8, 規定 : 摸到 8 得 0 分, 摸到 8 得 分, 摸到 8 得 分, 摸到 8 得 5 分 (a) 試求 :P( 摸到 8 )=, P( 摸到 8 )= P( 摸到 8 )=,P( 摸到 8 )= (b) 小莉玩了這個摸牌遊戲 00 次 ( ) 試估計她取得以下各分的頻數分別是多少? 0 分 :_50 次 ; 分 : 次 ; 分 : 次 ; 5 分 : 次 ( ) 從 b() 的答案所得, 預計她平均每摸一次可得多少分?

44 解 : 平均得分 = 00 = =. 5 ( 分 ) () 竟玩轉動 ( 如圖 ) 幸運輪遊戲, 當指標所停留的區域便可得到相應的分數 (a) 試指出指標所停留在各區域的理論概率 P( 0 分 )=_ 8 _; P( 分 )=_ 8 ; P( 分 )= ; P(5 分 )= (b) 竟轉動幸運輪遊 00 次 ( ) 試估計她取得以下各分的頻數分別是多少? 0 分 :_5_ 次 ; 分 :_5_ 次 ; 分 :_50 次 ; 5 分 :_00_ 次 ( ) 從 b() 的答案所得, 預計她平均每轉一圈可得多少分? 解 : 平均每轉一圈可得分數為 : E= = =.75 ( 分 ) 8 此時建立期望值的概念 : 事件發生的情況有 n 個可能結果, 每一個結果取得的數值分別為 x, x, x, L, x n, 若上述可能結果發生的概率分別為 p, p, p, L, p n, 則所得數值的期望值是 : x p + x p + x p + L+ x p n = n 對於期望值這樣的一個抽象的數學概念, 在教學過程中, 我們研究引入此概念的途徑和方法 這三種

45 方法堅持從學生的認識水準出發, 用日常生活的實際的感性材料來引入, 力求做到從感知上理解 當然在以下實例應用時一定要抓住概念的本質屬性 人的認識活動是一個特殊的心理活動的過程, 智力不同的學生完成這個過程往往有明顯的差異, 教學時我們從全體學生出發, 從不同的角度, 設計不同的方式, 使學生對期望值這個概念作出辨證的分析, 進而認識概念的本質屬性 選擇了這樣的一些簡單活動方式來辨認 識別幫助學生掌握概念的外延和內涵, 深化對概念的理解 此時, 引入期望值的概念 : 事件發生的情況有 n 個可能結果, 每一個結果取得的數值分別為 x, x, x, L, x n, 若上述可能結果發生的概率分別為 p, p, p, L, p n, 則所得數值的期望值是 : x p + x p + x p + L+ x p n = n (B) 例題分析與解答 : [ 例題 ] 試計算拋擲一枚骰子時, 所的點數的期望值 解 : 下表記錄了投擲一枚骰子的所有可能的結果及相應的理論概率 : 點數 5 6 概率 6 點數期望值為 : = =

46 點數.5 表示不斷地投擲骰子所得點數理論上的平均值 [ 例題 ] 在一場跨欄比賽中, 良寶獲得金牌 銀牌 銅牌的概率分別是 和 0.5 若首三名的獎金分別是 $80000 $50000 和 $0000, 求良寶參加這次比賽所的獎金的期望值 解 : 良寶所得獎金的期望值 =$( )= $7000 注 : 所得獎金只可能是 $80000 $50000 $0000 中的一項, 而沒有可能是 $7000 因此, 期望值只表示良寶所得獎金的平均值 [ 例題 ] 布賦參加一次射箭比賽, 他射中箭靶上內 圈, 中圈, 外圈的概率分別是,, 8 8 圈得 5 分, 射中中圈的 分, 射中外圈得 0 分, 求布賦在一次試射所得分的期望值 解 : 布賦在一次試射所得分的期望值 ; 如果射中內 5 = = =. 65 ( 分 ) [ 跟進 ] 甲袋裝有 5 只球和 5 只黑球, 乙袋裝有 00 只球和 50 只黑球和 0 只白球, 著三種球除了顏色以外沒有任何區別 兩袋中的球都已攪勻 閉上眼睛從口袋中取出一隻球, 如果你想取出一隻黑球, 你選哪個口袋成功的機會大呢? 下面是小 小華 小松 小楓爭論的結果 : 小認為選甲袋好, 因為甲袋中的球的數目較少, 容易摸到黑球 ; 小華認為選乙袋好, 因為乙袋中的球比較多, 摸到黑球的機會比較大 ; 6

47 小松認為機會一樣大, 因為只有兩種可能, 摸到黑球或摸到黑球以外的球, 而這兩種機會相等 ; 小楓認為選甲好, 因為甲袋中只有兩種顏色的 球, 摸到球和黑球的概率都是, 而乙袋中有三 種顏色的球, 摸到每中顏色的球的概率都是 你認為他們誰說的有道理? 思路只需計算每個口袋摸到黑球的概率即可判斷選哪個口袋成功的機會大 解 : 在甲袋中,P( 摸到黑求 )= 在乙袋中,P( 摸到黑球 )= 5 =, = 60 6 因為 6 5 > 6, 所以選乙袋的成功機會大 總結 : 小的想法是不對的, 但她忽視了黑球的數目也少, 所以摸到黑球的概率小 ; 小華雖然判斷正確, 但判斷的理由不充分即摸到黑球機會的大小與袋中球的多少沒有關係 ; 而小松和小楓對概率的含義理解有誤, 故而得出的結論是錯誤的 ( 本題考查對概率的概念的理解 ) [ 跟進 ] 小明對小說 : 我們來做一個遊戲, 我向空中扔三個硬幣, 如果它們落地後全是正面朝上或全是反面朝上, 小得 0 分 但是, 它們落地後出現其他情況, 我得 5 分, 得分多者獲勝 " 請你分析小是否參加小明設計的遊戲 思路 : 必須計算三枚硬幣落地後全是正面朝上或全是反面朝上的概率及三枚硬幣落地後出現其他情況的概率 第一枚第二枚第三枚所有可能結果 7

48 正 ( 正, 正, 正 ) 正 反 ( 正, 正, 反 ) 正 正 ( 正, 反, 正 ) 反 反 ( 正, 反, 反 ) 正 ( 反, 正, 正 ) 正 反 ( 反, 正, 反 ) 反 正 ( 反, 反, 正 ) 反 反 ( 反, 反, 反 ) 由圖可知共有 8 種式樣, 每中式樣出現的可能性 相同 其中, 三枚情況相同的概率 P = =, 三枚 情況不完全相同的概率 P 6 = ; 8 = 從長遠角度看, 小明每扔四次就贏三次, 得 5 分, 而小每扔四次就贏一次, 得 0 分 如果他們反復玩下去, 小必輸無疑 所以, 小不可以參加小明設計的這個遊戲 也就是 : 小明在遊戲中得分的期望值 5 =5 = =. 75 ( 分 ) 小在遊戲中得分的期望值 = 0 =. 5 ( 分 ) 這是一個不公平的遊戲 [ 例題 ] 黃英書院中一年級有六個班, 要從中選出兩個班代表學校參加某項活動, 一 () 班必須參加, 另外在一 () 至一 (6) 這五個班中選出一個班 一 () 班學生澄澄建議用如下的方法 : 從編號為, 8 8

49 , 的三個白球 A 袋中摸出一個球, 再從編號為,, 的三個球 B 袋中摸出一個球 ( 兩袋中的球的大小 形狀 與品質完全一樣 ), 摸出兩個球的數字和是幾, 就選幾班 遭到了一 () 班和一 (6) 班的同學的反對, 認為不公平, 這是澄澄為自己班的利益所設計的方案 這是為什麼? 請說明理由 解 : 用列表法或樹狀圖刻畫所有可能的情況和滿足條件的所有可能的情況 ( 略 ) 得 : P( 數字之和等於 )= 9 ; P( 數字之和等於 6)= 9 ; P( 數字之和等於 )= 這樣就得 : 一 () 澄澄同學的方案有利於自己的班 自然可得 :P( 數位之和等於 )= P( 數字之和等於 5)= = 9 9 = P( 數字之和等於 ) [ 跟進 ] 一副去掉大小王的牌, 甲乙兩人用這副牌做遊戲, 規定甲 乙兩人各摸一張牌, 若摸到相同顏色的牌則甲勝, 若摸到不同顏色的派則乙勝, 你認為誰勝的機會大? 解 : 第一次摸到黑牌的概率為, 第二次摸到黑牌的 概率也是 ; 第一次摸到牌的概率為, 第二次摸 到牌的概率也是 所以兩次摸到顏色相同的牌的 概率 P= + = 同樣的兩次摸到顏色不同 9

50 的牌的概率 P= + = 這樣甲乙兩人獲勝 的機會一樣大 [ 例題 ] 投擲兩枚骰子, 若兩枚骰子的點數相同, 便可贏的 $00, 否則就沒有獎金 若需要付 $0 才可以投骰子一次, 計算參與者的贏面期望值 解 :P( 兩枚骰子的點數相同 )= 6 = $ 6 所以投一次骰子的期望回報 = = 00 0 贏面期望值 =$ 6 -$ 0=-$ [ 跟進 ] 在一個遊戲中, 志宏投擲一枚正四面體的骰子, 骰子上各面上的數字分別是 以下是他投擲各點數的回報 : 點數 回報 /$ 求志宏贏面的期望值 解 : Q P () i = ( i =... ) 志宏贏面的期望值 W= = =( ) = = $0.75 [ 例題 5] 思俊投擲兩枚骰子, 並把所得的點數相加 (a) 利用表列法把所有可能的結果列舉出來 (b) 求所得的點數和是下列情況的概率 ( ) 的倍數 ( ) 的倍數 ( ) 既不是 的倍數, 也不是 的倍數 解 :(a) 投擲兩枚骰子, 所得的點數相加後的所有可能結果表列如下 : 50

51 (b)( ) 的倍數的概率是 P= 數的概率 P= ( ) 的倍數的概率是 P= ( ) 既不是 的倍數, 也不是 的倍 = 6 既是 的倍數, 且是 的倍熟的概率 P= = 6 既不是 的倍數, 也不是 的倍數的概率 P= - ( + )+ 6 = [ 跟進 5] 一天, 小青和小聰的父母不在家, 小青對小聰說 : 我們玩遊戲吧 " 小青拿出一個袋子, 然後裝入除顏色外均相同的一一白兩個小球, 他對小聰說 : 我們開始摸球吧, 任意從中摸出一個球, 記錄其顏色, 再放回袋中, 再從中摸出一球十時微, 如果兩次顏色相同, 則你獲勝, 若兩次顏色不同, 則我獲勝 " 小聰想了想說 : 這樣不太公平吧, 球太少我會輸的, 如果再放入一個黃球, 出顏色外, 它與其他兩個球均相同, 連摸三次, 三次摸到顏色相同的球, 你就獲勝, 三次摸到顏色完全不同的球則我獲勝 " 你認為他們兩人的遊戲規則公平嗎? 按他們各自設計的遊戲規則誰獲勝的機會大? 說明理由 5

52 思路 : 由於在這種規則下摸球概率比較複雜, 可 借助樹狀圖計算出概率, 再比較獲勝機會的大小 思路 : 作為老師, 再把握獨立事件, 互斥事件, 對立事件的概率的運算法則 解法 : 小青的遊戲規則可畫如下樹狀圖 : 第一次摸球 第二次摸球 結果 (, ) 白 (, 白 ) ( 白, ) 白 白 ( 白, 白 ) 共有四種出現可能的結果兩次摸到相同顏色, 和兩次摸到不同顏色的概率都是 小青設計的方 案對雙方是公平的 解法 : 第一次摸出球的概率是, 放回後第二次 摸出球的概率也是, 則兩次摸出都是球的概率 P=, 同樣的有放回兩次摸出都是白球的概率 P=, 這樣有放回兩次摸到顏色相同的球概率是 P= + = ; 同理有放回兩次摸到顏色不同 的球概率是 P= + = 便知, 小青設計的 方案是公平的 方法 : 用樹狀圖來計算用 白 黃三種顏色的小球排成一排, 每排 球, 同種顏色的球可以重複使 用, 顏色完全相同的概率 P= =, 顏色完全不同的 概率 P= 7 6 = ( 樹狀圖略 )

53 方法 : 利用記數原理 : 用 白 黃三種顏色的小球排成一排, 每排 球的所有可能的情況有 N = = =7 種, 而顏色相同的所有可能情況有 N = 種, 顏色完全不同的所有可能情況有 N= 種, 這樣就有 P( 顏色完全相同 )= P( 顏色完全不同 )= 6 = 7 9, = 7 9 ; 方法 : 第一次取出球的概率 P =, 第二次取出 球的概率 P =, 第三次取出球的概率 P =, 所以, 三次都取出球的概率 P = P P P = 7 同理, 三次都取出白球的概率 P= 7 ; 三次都取出黃 球的概率 P= 7, 這樣三次取出顏色相同的球的概率 P= = = 7 9 而顏色完全不同用獨立事件 互斥事件概率的計算方法相對比較複雜, 在這裏不在贅述 結論 : 小聰設計的方案不公平, 對自己有利 小結 :. 表示一件事件發生的機會大小的數字稱為概率, 而一件事件 E 的概率用 P(E) 來表示 :P(E) = 符合事件 E 的結果的數目 / 所有可能結果的總數 並且 0 P ( E ). 我們可以利用樹狀圖 表列法或數數原則的幫助來列出某事件的所有可能的結果. 數數原則 5

54 若某一個事件 E 可分為 k 個步驟, 第一個步驟有 n 個可能結果, 第二個步驟有 n 個可能結果, 第個 k 步驟有 n k 個可能結果, 則事件 E 共有 n n n k 個可能結果. 根據某些假設及理論所得的概率稱為理論概率, 透過實驗得到的相對頻數稱為實驗概率 一件事件 E 的實驗概率 P(E) 定義如下 : P(E)= 事件 E 的相對頻數, 也就是 P(E)= 實驗中事件 E 發生的次數 / 實驗 的總次數當實驗次數足夠多時, 實驗概率 理論概率 5. 期望值是對發生的事件作的一個 ( 平均 ) 估計 : 事件發生的情況有 n 個可能結果, 每一個結果取得的數值分別為 x, x, x, L, x n, 若上述可能結果發生的概率分別為 p, p, p, L, p n, 則所得數值的期望值是 : = x p + x p + x p + L+ x p n n 6. 公平遊戲的判斷 : 贏面期望值 = 期望回報 - 所付代價當贏面期望值等於 : 正數時, 遊戲對參與者有利 ; 0 是, 遊戲是公平的 : 負數時, 遊戲對參與者不利 綜合練習一 選擇題. 下列事件中, 是必然事件的是 A. 打開電視機, 正在播放動畫片 B. 在同一年出生的 67 名學生中, 至少有兩人的生日是同一天 5

55 C. 擲一枚六個面分別標有 ~6 的數字的均勻骰子, 骰子停止轉動後偶數點朝上 D. 通過努力, 你會成為數學家. 從一副撲克牌中抽出 5 張桃, 張梅花, 三張黑桃放在一起洗勻後, 從中取出 0 張牌, 恰好桃 梅花 黑桃 種牌都取到, 這件事件 A. 必然發生 B. 不可能發生 C. 很可能發生 D. 可能發生. 一個箱子放有 黃 黑三種小球, 三個人先後去摸球, 一人摸一次, 一次摸出一個小球, 摸出後放回, 摸出黑色小球為贏 這個遊戲是 A. 公平遊戲 B. 不公平遊戲 C. 先摸者贏的可能性大 D. 後摸者贏的可能性大. 下列說法合理的是 A. 雅麗在 0 次拋圖釘的實驗中發現三次釘尖朝上, 由此她認為釘尖朝上的概率是 0. B. 拋擲一枚普通的骰子, 出現 6 的概率是的意思是 6 每拋擲 6 次就有一次擲得 6 C. 某彩票的中獎機會是 %, 那麼如果買 00 張彩票一定會有 張中獎 D. 在某一課堂進行的實驗中, 甲 乙兩組同學估計硬幣落地後, 正面朝上的概率分別是 0.8 和 一個密閉不透明的盒子裏有若干個白球, 在不允許倒出來的情況下, 為估計白球的個數, 黎那向其中放入 8 個黑球, 搖勻後從中摸出一個球記下顏色再把它放回盒中, 不斷重複, 共摸球 00 次, 其中 88 次摸到黑球, 估計盒中大約有白球 A.8 個 B.0 個 C.6 個 D. 個 55

56 6. 香港電腦彩票有兩種方式 選 5" 和 9 選 7", 若選中的號碼全正確則獲一等獎, 你認為一等獎機會大的是 A. 選 5" B. 9 選 7" C. 一樣 D. 不能確定二 填空題 7. 在 張卡片分別寫有 0 π 5, 從中隨機 抽取一張卡片, 抽到無理數的概率是 8. 在 0 瓶可樂飲料中, 有 瓶已過保質期, 從中任意抽取一瓶, 抽中已過保質期的飲料的概率是 9. 一個盒子裏有 個除顏色外其餘都相同的玻璃球, 個色, 個綠色, 個白色 現隨機從盒子一次取出兩個小球則這兩個球都是白色球的概率是 0. 中一年級愛班有 0 名男生, 名女生, 現隨機抽取一名學生, 則 :() 抽到一名男生的概率是 ;() 抽到女生麗華的概率是. 拋擲兩枚分別表有 的正四面體骰子, 寫出這實驗中的一個不可能事件 ; 寫出這個實驗中的一個必然事件. 有 6 張牌, 它們是 , 現從中抽取兩張牌, 點數之和為奇數的概率是 三 解答題. 有兩組卡片, 第一組 張卡片分別寫著 A B B, 第二組 5 張卡片分別寫有 A B B C D 試用列表法 樹狀圖兩種方法計算從每組卡片中各取一張, 兩張都是 B 的概率 56

57 . 雅莉有 白 黃 黑四件襯衣, 又有米色 藍色 灰色的三條長褲, 雅莉最喜歡搭配是白色襯衫配藍色長褲, 那麼她黑暗中隨機拿出一套衣褲正是她喜歡的搭配, 這樣的巧合發生的概率是多少? 如果雅莉最不喜歡搭配是色襯衫配灰色長褲或黑色襯衫配米色長褲, 那麼她黑暗中隨機拿出一套衣褲正是她最不喜歡的搭配的概率又是多少? 請你分析並得出結論 5. 兩個可以自由轉動的均勻轉盤 A B, 轉盤 A 被均勻地 等份, 每份分別標上 四個數字 ; 轉盤 B 被均勻地 6 等份, 每份分別標上 5 6 六個數位, 有人為甲 乙兩人設計了一個遊戲, 其規則如下 : () 同時自由轉動轉盤 A 與 B; () 轉盤停止後, 指標各指向一個數字 ( 如果指標恰好指在分格線上, 那麼重轉一次, 直到指標指向某一數字為止 ), 用指標所指的兩個數字作乘積, 如果得到的積為偶數, 那麼甲勝, 如果得到的積為奇數, 那麼乙勝 ( 如轉盤 A 指標指向, 轉盤 B 指標指向, =, 按規定甲勝 ) 你認為這樣的規則是否公平? 如果公平, 請說明理由, 如果不公平, 那麼請你設計一個公平的規則, 並說明理由 參考答案練習 提升質素.B,.D,.A,.C, 5.C, 6.A; 是, 8.,,, ;. 甲 $00 乙 $00 綜合練習 9., 0.,. 6,., 57

58 .B,.A,.A,.D, 5.A, 6.B; 0 7., 8. 5, 9. 6, 0., ;. 如 :() 擲出的兩個數字之和大於 8,() 擲出的兩個數字之積是不大於 6 的正整數,. 5,. 5,. ; 6 5. 遊戲不公平 甲勝的概率 P( 積為偶數 )=, 乙勝的概率 P( 積為奇數 )=, 採用積分的方法決定勝負, 規定積為偶數, 獎勵 分, 積為奇數, 獎勵 分, 這樣就有 : 贏面期望值等於 = - =0, 此時遊戲公平 58