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坦倬贺
9 years ago
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1 高二下數學期末考總複習宗翰程皓老師機率的基本概念 () 機率的基本概念 () 機率的基本概念 () 事件之間的關係集合運算公式機率的運算排列組合的基本應用 () 排列組合的基本應用 () 排列組合的基本應用 () 數學期望值 () 數學期望值 () 統計抽樣與分布區線圖平均數與中位數標準差之觀念標準差常態分布信賴區間與信心水準之觀念信賴區間與信心水準 () 信賴區間與信心水準 ()

2 機率的基本概念 () 投擲三個相同的銅板一次, 以 A 表示恰好出現二次正面的事件, 以 B 表示至少出現二次正面的事件, 以表示至少出現一次正面的事件, 試求 A B 三事件的發生機率 ( 法一 ) 樣本空間觀察法將所有的樣本空間寫出後, 再計算其發生機率 S = { 正正正, 正正反, 正反正, 反正正, 正反反, 反正反, 反反正, 反反反 } A = { 正正反, 正反正, 反正正 } B = { 正正正, 正正反, 正反正, 反正正 } = { 正正正, 正正反, 正反正, 反正正, 正反反, 反正反, 反反正 } 由上列式子可知 (S) = 8,(A) =,(B) = 4,() = 7 4 故可得 P( A) =, P( B) = =, P( ) =

3 機率的基本概念 () 投擲三個相同的銅板一次, 以 A 表示恰好出現二次正面的事件, 以 B 表示至少出現二次正面的事件, 以表示至少出現一次正面的事件, 試求 A B 三事件的發生機率 ( 法二 ) 排列組合計算法將所有情況的排列數寫出後, 再計算其發生機率 ( S) = = = 8 ( 丟三次, 每次結果為正或反的排列數 )! ( A) = = ( 正正反的排列數 )!! ( B) = = 4( 正正反的排列數, 再加上全正的排列數 )! ( ) = = 7 ( 丟三次的排列數, 再扣掉全負的排列數 ) 故可得 P( A) =, P( B) =, P( ) = 8 7 8

4 機率的基本概念 () 袋中有白球紅球黑球各個, 且每球被取出的機會均等今自袋中一次取出二球, 若二球不同色的事件為 A, 試求 P(A) 寫出樣本空間與事件的方法數 ) ( ) ( ) ( 9 = = = = S A A P 9 ) ( S = ) ( A = 再計算事件發生的機率 ( 從 9 相異球中任取球的方法數 ) ( 球不同色的方法數 )

5 機率的基本概念 () 有 A B H 八個隊伍如右圖之賽程表安排賽程若 A 隊實力最強 B 隊次之, 則在任意安排的情況下,A 隊能得冠軍而 B 隊能得亞軍之機率為何? No. 分析. A 隊實力最強, 故不論賽程表如何安排, 最後一定會得冠軍. B 隊實力僅次於 A 隊, 但賽程表的安排會影響 B 隊能不能得亞軍, 因為如果 B 隊在最後決賽前就與 A 隊相遇, 則會落敗而無法晉級至最後決賽故要使 A 隊得冠軍而 B 隊得亞軍, 則八隊任意分成兩大組比賽時,A B 兩隊須在不同大組

6 機率的基本概念 () 有 A B H 八個隊伍如右圖之賽程表安排賽程若 A 隊實力最強 B 隊次之, 則在任意安排的情況下,A 隊能得冠軍而 B 隊能得亞軍之機率為何? No. ( 法一 ) 分堆分配計算法. 先將八隊任意分成兩大組, 再將兩大組分成 (, ) 兩小組 44 ( S) = ( )!!. 其中 A B 要在不同大組, 故各選三隊分別與 A B 兩隊組成兩大組, 再將兩大組分成 (, ) 兩小組 4 6 ( ). 再求出機率 8 4! 4 計算太複雜了吧?!

7 機率的基本概念 () 有 A B H 八個隊伍如右圖之賽程表安排賽程若 A 隊實力最強 B 隊次之, 則在任意安排的情況下,A 隊能得冠軍而 B 隊能得亞軍之機率為何? A No ( 法二 ) 機率基本觀念. 先將 A 分配到第一大組. 將 B 分配到第二大組, 才有機會在最後一場與 A 對決取得亞軍, 因此只能將 B 安排在,,, 4, 5, 6, 7 這七個位置中的 4, 5, 6, 7 4 故 B 得亞軍的機率為 P = 7

8 事件之間的關係和事件 A B 表示由事件 A 和事件 B 的所有樣本構成的事件, 稱為 A 和 B 的和事件 A B 積事件 A B 表示由事件 A 和事件 B 的共有樣本構成的事件, 稱為 A 和 B 的積事件 A B

9 事件之間的關係餘事件 A 表示不在事件 A 中的所有樣本構成的事件, 稱為 A 的餘事件 A 互斥事件若 A B = φ, 則稱 A B 互斥或稱 A B 為互斥事件, 意即事件 A 和事件 B 不可能同時發生 A B

10 集合運算公式聯集與交集的分配律. A (B ) = (A B) (A ). A (B ) = (A B) (A )

11 集合運算公式狄莫根律. A (B ) = (A B) (A ) (B ) = B 將 A 視為宇集

12 集合運算公式狄莫根律. A (B ) = (A B) (A ) (B ) = B 將 A 視為宇集. A (B ) = (A B) (A ) (B ) = B 將 A 視為宇集

13 集合運算公式狄莫根律. A (B ) = (A B) (A ) (B ) = B 將 A 視為宇集聯集的補集等於補集的交集. A (B ) = (A B) (A ) (B ) = B 將 A 視為宇集交集的補集等於補集的聯集

14 機率的運算投擲一粒不公正的骰子, 若各點數出現之機率與該點數成正比, 試求出現偶數點的事件之機率由題目所給的條件求出各點的機率令 P(k) 表示出現點數為 k 的機率 P () : P() : P() : P(4) : P(5) : P(6) = : : : 4: 5: 6 P() P() P() P(4) P(5) P(6) = P( ) = 4 5, P( ) =, P( ) =, P( 4) =, P( 5) =, P( 6) = 6 再依題意求出偶數點的機率 P( 偶 ) = P() P(4) P(6) = 4 7

15 排列組合的基本應用 () 甲乙丙三人猜拳, 假設三人出種拳 ( 剪刀石頭布 ) 的機會均等, 求三人猜一次拳不分勝負的機率分析不分勝負有二種情形 :. 三人皆出不同的樣式. 三人皆出相同的樣式

16 排列組合的基本應用 () 甲乙丙三人猜拳, 假設三人出種拳 ( 剪刀石頭布 ) 的機會均等, 求三人猜一次拳不分勝負的機率求出各種情形的方法數, 再求出機率令樣本空間為 S ( S) = = 三人皆出不同樣式的事件為 A ( A ) = =! 三人皆出相同樣式的事件為 A 不分勝負的事件為 A A) = ( A ) ( ( A)! 故 P( A) = = = ( S) A ) = ( A ( )

17 排列組合的基本應用 () 投擲一粒均勻的骰子二次, 設第一次擲得點數為 a 點, 第二次擲得點數為 b 點, 求使聯立方程組下列各情況之機率 : () 無限多解 () 無解 () 恰有一解 x ay = bx y = 的解為令投擲一粒均勻的骰子二次之樣本空間為 S 則 (S) = 6 6 = 6 a b 為骰子點數 a b 為 ~6 的整數 () 令無限多解的事件為 H 若 x ay = 為無限多解, 則二方程式為相依方程式, 即 bx y = b =, a = 9( 不合 ) ( H ) = 0 0 P( H ) = = 0 6 b = a =

18 排列組合的基本應用 () 投擲一粒均勻的骰子二次, 設第一次擲得點數為 a 點, 第二次擲得點數為 b 點, 求使聯立方程組下列各情況之機率 : () 無限多解 () 無解 () 恰有一解 x ay = bx y = 的解為令投擲一粒均勻的骰子二次之樣本空間為 S 則 (S) = 6 6 = 6 a b 為骰子點數 a b 為 ~6 的整數 () 令無解的事件為 I 若 x ay = 為無解, 則二方程式為矛盾方程式, 即 bx y = a 6 ab = 6, 共有 4 組 (I) = 4 b 6 b = a ( I) 4 P( I) = = = ( S) 6 9

19 排列組合的基本應用 () 投擲一粒均勻的骰子二次, 設第一次擲得點數為 a 點, 第二次擲得點數為 b 點, 求使聯立方程組下列各情況之機率 : () 無限多解 () 無解 () 恰有一解 x ay = bx y = 的解為令投擲一粒均勻的骰子二次之樣本空間為 S 則 (S) = 6 6 = 6 a b 為骰子點數 a b 為 ~6 的整數 () 令恰有一解的事件為 J 樣本空間使聯立方程組滿足三種情形 : 無限多解無解恰有一解 8 P( J ) = P( H ) P( I) = 0 = 9 9

20 排列組合的基本應用 () 將 A B 等 9 人平分成三組, 求 A B 在同一組的機率? ( 法一 ) 分堆分配法令 9 人平分成三組的樣本空間為 S A B 在同一組為事件 A 6 9 ) ( S = 6 7 ) ( A = 選組選人與 A B 同組 A B 在同一組的機率 = =

21 排列組合的基本應用 () 將 A B 等 9 人平分成三組, 求 A B 在同一組的機率? ( 法二 ) 抽球法將題目視為箱中有個紅球個白球個黑球,9 個人依序抽球抽到同色的即同一組則 A B 同一組的機率即 A B 抽中同色球之機率 A B 在同一組的機率 = =

22 數學期望值 () 袋中標號的球有個標號的球有個標號的球有個標號的球有個, 設 x 表抽出球的號碼, 若每球被抽中的機會相等, 試求 x 的期望值求出各個號碼被抽中的機率 x 表抽出之球號, f (x) 表對應之機率 x f (x) f () f () f () ( ) 袋中全部球數 = = f () = f () = ( ) ( ) f ( k) = k ( )

23 數學期望值 () 袋中標號的球有個標號的球有個標號的球有個標號的球有個, 設 x 表抽出球的號碼, 若每球被抽中的機會相等, 試求 x 的期望值 6 ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( () () () ) ( = = = = = = f f f f x E 再求出期望值

24 數學期望值 () 某人投擲二粒公正骰子, 投出點數和為 7 點時, 可領 00 元獎金, 並可再玩至點數和不為 7 為止試求參與此遊戲所得獎金的期望值先求出點數和為 7 的機率投擲二粒骰子, 令 S 為樣本空間,A 為二粒骰子點數和為 7 的事件則 (S) = 6 = 6,A = {(, 6), (, 5), (, 4), (4, ), (5, ), (6, )} (A) = 6 ( A) 6 P( 二粒骰子點數和為 7) = = = ( S) 6 6

25 數學期望值 () 某人投擲二粒公正骰子, 投出點數和為 7 點時, 可領 00 元獎金, 並可再玩至點數和不為 7 為止試求參與此遊戲所得獎金的期望值再求期望值得到第張 00 元的機率 p = ( 不論之後是否成功 ) 6 得到第張 00 元的機率 p = ( ) ( 第一次成功且第二次成功 ) 6 得到第張 00 元的機率 p = ( ) ( 連續三次成功 ) 6 則參加此遊戲可能得到的獎金為 00 ( ) ( ) = [ ( ) ] = = 0( 元 )

26 統計抽樣與分布區線圖某班學生 50 人, 在一次測驗中得分最高為 96 分最低為分, 現將 0~00 分分成 7 組, 即最小為 0~40 分, 最大為 90~00 分, 組距為 0 分, 若 G G 分別表這些資料所繪得的以下累積次數分配曲線及以上累積次數分配曲線, 且知 G 中一點 (60, 0) 在 G 中的坐標為 (60, y), 則 y = 由定義解題 (60, 0) G ( 以下累積次數分配曲線 ) 即表示 60 分以下 ( 不含 60 分 ) 有 0 人 (60, y) G ( 以上累積次數分配曲線 ) 即表示 60 分以上 ( 含 60 分 ) 有 y 人全班人數 = (60 分以下人數 ) (60 分以上人數 ) = 50( 人 ) 0 y = 50 y = 40

27 平均數與中位數擲一粒公正骰子 00 次, 並將其結果記錄如下 : 點數次數設算術平均數為 a 分, 中位數為 b 分, 則 a b =? 由定義解題 a = = 又 00 次之中位數為依序排列後, 第 50 個與第 5 個點數之算術平均數 b = = 故 a b =.4 = 0.4

28 標準差資料的分散程度要表達一組資料的分散程度, 可利用每個資料與中心點的距離和之大小來判斷, 即 x i X i= 平均絕對離差因資料的多寡會影響其值的大小, 易失其參考價值, 故再除以資料的個數, 即為平均絕對離差 x i= i X 來表示資料的離散程度, 稱

29 標準差變異數由於絕對值在代數運算中不易討論, 所以將平均絕對離差 ( x i i= 平方的平均, 即, 稱為變異數 S ( 或 σ ) X ) 標準差變異數的單位是資料單位的平方, 必須加以開方後, 才能與其他資料 ( 如平均數等 ) 做運算 ( 或比較 ), 因此以變異數的開方, 即為標準差 S ( x i= i X ) 來表示資料的分散程度, 稱

30 標準差某生一次月考六科的算術平均為 80 分, 若已知其中五科的成績為分, 則該生成績的標準差為分分析資料經平移後, 標準差不變, 即 y = x b S = S 由定義解題 i 設另一科成績為 a, 則 a = 80 6 a = 86 即 6 科成績為分若各科平移 ( 減 80), 則變為 , 且 Y = X 80 = 0 6 S [6 ( ) 6 x = S y = ] = = 6 ( 分 ) 6 6 i y x

31 常態分布有一競爭激烈的入學考試, 其考生入學成績恰好為一平均數為 70 分標準差為 5 分的常態分配, 試問 : () 若隨機抽取一考生成績, 此考生分數恰好在 65 與 80 分之間的機率為何? () 若此項考試預估錄取率為 6%, 則你能預估上榜門檻的保險分數嗎? μ = 70,σ = 5 μ σ = 70 5 = 75,μ σ = 70 0 = 80 () 70~80 分落在 μ~μ σ, 約占總面積的 95% = 47.5% 65~70 分落在 μ σ ~μ, 約占總面積的 68% = 4% 又資料總量與所占面積成正比 65~80 分的人約占 47.5% 4% = 8.5% 故任取一人分數落在 65~80 分之間的機率為 8.5% 4% 47.5%

32 常態分布有一競爭激烈的入學考試, 其考生入學成績恰好為一平均數為 70 分標準差為 5 分的常態分配, 試問 : () 若隨機抽取一考生成績, 此考生分數恰好在 65 與 80 分之間的機率為何? () 若此項考試預估錄取率為 6%, 則你能預估上榜門檻的保險分數嗎? μ = 70,σ = 5 μ σ = 70 5 = 75,μ σ = 70 0 = 80 () 70~75 分落在 μ~μ σ, 約占 68% = 4% 70 分以下的人數約占 50% 75 分以上的人數約占 4% 50% = 6% 故上榜的分數大約落在 75 分 50% 4% 6% 70 75

33 信賴區間與信心水準信賴區間在進行估計的時候, 通常會以一個區間來表示估計結果, 這樣的區間就稱為信賴區間信賴區間的表示方法 [0.5, 0.7]: 表示信賴區間介於 0.5 與 0.7 之間, 即取 0.5 p 0.7 為可信賴的範圍 44% ± %: 表示信賴區間介於 0.4 與 0.47 之間, 即取 0.4 p 0.47 為可信賴的範圍

34 信賴區間與信心水準信心水準實際的 p 值會落在信賴區間範圍內的機率, 就稱為信心水準 95% 的信心水準 95% 的信心水準所代表的涵義 : 抽樣所得的信賴區間有 95% 的機率會涵蓋真正的 p 值

35 信賴區間與信心水準 () 在某次滿意度調查中, 成功訪問到 000 位臺灣地區 0 歲以上的成年民眾, 得到滿意度為 57%, 若在 95% 的信心水準下, 抽樣誤差為正負個百分點, 試問 : () 回答滿意的有幾人? () 信賴區間為何? () 在 000 位受訪者中, 有 % = 570 人回答滿意 () 有 95% 的機率, 真正的滿意度 p 會介在 [ , ] = [0.54, 0.6] 即信賴區間為 [0.54, 0.6]

36 信賴區間與信心水準 () 為了驗證一枚古硬幣是否為均勻的硬幣, 某人做了多次的投擲試驗, 並發表推論如下我們有 95% 的信心認為此硬幣出現正面的機率是 6% 到 44% 之間, 試求 : () 在此實驗中, 共投擲了幾次硬幣? () 其中出現幾次正面? () 設總共投擲硬幣次 = 0.4, = = 0.04 故可將 6% 到 44% 表示為到 p ˆ( pˆ ) 又 95% 的信賴區間為 [ pˆ σ, pˆ σ ], σ = pˆ = 0.4, σ = = 0.04 = 0.0 = = 600 ( 次 )

37 信賴區間與信心水準 () 為了驗證一枚古硬幣是否為均勻的硬幣, 某人做了多次的投擲試驗, 並發表推論如下我們有 95% 的信心認為此硬幣出現正面的機率是 6% 到 44% 之間, 試求 : () 在此實驗中, 共投擲了幾次硬幣? () 其中出現幾次正面? () 設出現正面的次數為 f i fi pˆ = = 0.4 fi = 40 ( 次 ) 600

38 請上名師學院網站

1-2 二元一次聯立方程式 21 例 1 代入法判斷二元一次聯立方程式的 { x3y5 2xy3 x1y2 x3y3 x2y1 xy 二元一次式 x y x+3y x-y x2y1 x2y1 { x3y5 2xy3 { 2x3y1 xy3 x2y1

1-2 二元一次聯立方程式 21 例 1 代入法判斷二元一次聯立方程式的 { x3y5 2xy3 x1y2 x3y3 x2y1 xy 二元一次式 x y x+3y x-y x2y1 x2y1 { x3y5 2xy3 { 2x3y1 xy3 x2y1 1 20 1-2 二元一次聯立方程式 1 二元一次聯立方程式 2 代入消去法 3 加減消去法主題 1 二元一次聯立方程式列二元一次聯立方程式 6 x y 3 1 700 3xy700 5 2 1200 5x2y1200 { 3xy700 5x2y1200 二元一次聯立方程式二元一次方程組二元一次聯立方程式的 3xy700 5x2y1200 xy x y 共同 x200y100 3xy700