第一章 數與式 配合課後練習本 第 至 回 -( 上 乘法公式與有理數 第 至 回 -( 下 根式運算與實數 6 - 絕對值 第 6 至 8 回 6 - 指數與常用對數 第 至 回 第二章 直線與圓 - 坐標平面與直線方程式 第 至 回 - 直線方程式的應用 第 至 8 回 - 圓方程式 第 至 0 回 8 - 圓與直線的關係 第 至 回 第三章 多項式 - 多項式的除法 第 至 6 回 8 - 多項式函數 第 至 0 回 - 多項不等式 第 至 回
第 節 ( 上 乘法公式與有理數 -( 上 乘法公式與有理數 數 是數學的主體, 要學的東西既多且雜, 雖然在國中小已經學過, 但請別以為這個單元是在老調重彈為了讓甫進高中的同學順利銜接課程, 本書編排許多國中複習的範例, 因此將 - 實數 拆成上 下兩節, 相信這樣子安排可以對同學的學習有所助益 觀念帶著走 國一上 正負數與數線 分數的運算 介紹負號及負數的運算 數線的三要素為原點 方向及單位長 有理數為兩個整數的比值, 主要在學習運算 化簡 去括號的規則, 以及數值大小的比較 以下各分數的計算結果, 何者正確? 䕷 ( 虲 ( 8 6 蚒 ( 蚲 ( ( 鷺江國中 8 8 8 計算 ( ( 8 苓雅國中 8 8 計算 ( ( ( # # g # 0 䕷 虲 0 00 蚒 00 蚲 竹北國中 000
第 章數與式 國二上 二次的乘法公式 介紹 ( a - b 的分解與 ( a! b 乘開的運用乘法公式是恆等式, 代入數或式必定成立, 可幫助我們進行因式分解 因式分解 ( + y ( - y + ( y - = 桃園國中 若將 ( - - 0 ( - ( + + ( + 因式分解得 ( a + b, 則 a b = 龍津國中 因式分解 - y + z - z = 復興國中 三次的乘法公式. 分配律 : 如 ( a + b + c ( p + q = ap + aq + bp + bq + cp + cq, 乘開共 = 6 項 可推廣到一般情形, 如 ( a+ b+ c ( + y ( p+ q+ r+ s *. 二次的乘法公式 ( 複習 平方差 :( a + b ( a - b = a - b 項 項 項 和的平方 :( a + b = a + ab + b 差的平方 :( a - b = a - ab + b *, 乘開共 = 項 稆三項和的平方 :( a + b + c = a + b + c + ( ab + bc + ca 可推廣到 n 項和的 平方為 ( gn gn ( g n n * * 各項平方相加. 三次的乘法公式 和的立方 :( a + b = a + a b + ab + b 禙差的立方 :( a - b = a - a b + ab - b 辻立方和 :a + b = ( a + b ( a - ab + b 稆立方差 :a - b = ( a - b ( a + ab + b 兩兩相乘後相加. 較少用到的乘法公式 a + b + c - abc = ( a + b + c ( a + b + c - ab - bc - ca a + a b + b = ( a + ab + b ( a - ab + b, 特別地, 若 b = 可得 a + a + = ( a + a + ( a - a +
第 節 ( 上 乘法公式與有理數 推導三次乘法公式乘法公式怎麼來的? 就只是分配律乘開而已!. 試求 ( a - b + c ( - p + 6q + r + s 展開後共項, 其中 bq 項的係數為,cr 項的係數為. 試求 ( a + b + c ( p - q ( - + y - z 展開後共項, 其中 aq 項的係數為,bpz 項的係數為,cpq 項的係數為. 利用分配律展開 ( a + b =, 可得 和的立方 公式, 再利用 移項推導 立方和 公式 a + b = 試求 ( a + b + c - d ( p + q - r + s - t 展開後共項, 其中 as 項的係 數為,bq 項的係數為 試求 ( a + b + c ( p - q + 6r + s ( - + y - z 展開後共項, 其中 arz 項 的係數為,bqy 項的係數為,cy 項的係數為 利用分配律展開 ( a - b =, 可得 差的立方 公式, 並 移項提公因式得 a - b =, 即為 立方差 公式
第 章數與式 利用分配律展開 ( a + b ( a - a b + a b - ab + b = 利用分配律展開 ( a + ab + b ( a - ab + b = a a b a b a b a b ab a b ab b a a b b 代公式乘開或分解 直接利用乘法公式求展開式或因式分解, 不用分配律. 乘開 ( - y + z =. 乘開 ( a + b =. 乘開 ( - y ( + y + y =. 因式分解 6 + 8 = = ( ( 6 ( 6 再講清楚 一般都在係數為整數的環境下因式分解, 若允許係數為無理數, 則可以分解得更加澈底 6 乘開 : 禑 ( y + z = 禙 ( + y - z =
第 節 ( 上 乘法公式與有理數 乘開 : 禑 ( a - b = 禙 ( 6 6 8 辻 ( + y ( - y + y = 8 因式分解 : 禑 8 - = 禙 + + + = 辻 6-6 = 代公式求值 Ⅰ. 化簡 8 6 = 6 有許多麻煩的求值問題, 如果使用乘法公式會方便許多. a r,b r,c r, 則 a + b + c + ab - bc - ca =. 自然數 = 0n + 是 的倍數, 利用乘法公式說明 的速求法如 6 =, =. 利用乘法公式求 (. = 傳授絕招這個速求法還可以推廣 : 禑 = 禙 6 = 請同學記起來用!
6 第 章數與式 化簡 = 0 a r,b r,c r, 則 a + b + c + ab + bc + ca = 利用速求法求 =, =, = 利用乘法公式求 : 禑. = 禙 8.0 = 辻 = 稆 = 8 化簡 8 8 8 8 8 00 代公式求值 Ⅱ 求值問題在高中很重要! 以後會和其它主題結合出題. 若 a + b =,ab =, 請問 : a + b = a + b = a + b = 再講清楚 還可以把次數提高, 名校常考, 如 : a + b = ( a + b ( a + b - a b - a b a 6 + b 6 = ( a + b ( a - a b + b. 若 a + b =,ab =, 且 a > b, 則 ab,a
第 節 ( 上 乘法公式與有理數. 若 - + = 0, 請問 : 若 a - b =,ab =, 請問 : a + b = a - b = a + b = 設 a b 為正實數, 若 a - b =,ab =, 則 ab,a 6 若 - - = 0, 請問 : 8 6 若 a + b =,a + b =, 請問 : ab = a + b = 有理數與分式. 有理數 : 整數 a 與 b,b! 0, 形如 b a 的數稱為有理數, 如 -, 所以每 個整數也都是有理數每個有理數的分母與分子都可約分成最簡形式, 並可用直尺 圓規在數線上找到精確位置 注意一般口語所說的 分數 泛指 形式的數, 如 這些並不是有理數 r 都有分母與分子, 但
8 第 章數與式. 有理數化成小數 : 一個有理數必可化成有限小數或循環小數在十進位系統下, 若 最簡有理數的分母只有 或 的因數, 則該有理數可化成有限小數若分母有 以外的因數, 則必定化成循環小數例 = 0. 8, = 0. 8g= 08. 6 6. 小數化成有理數 : 有限小數可以直接化成分數, 而循環小數可透過解方程式化成 分數, 並可得到速算法, 請詳見範例. 有理數的稠密性 : 相異有理數之間, 至少有一個有理數存在 ( 如兩數的平均, 稱 為有理數的稠密性由此可知, 兩相異有理數之間有無限多個有理數, 即有理數 的點在數線上是密集的 ( 但並未填滿, 有許多空隙是無理數的點. 有理數四則運算的封閉性 : 兩個有理數可以相加 相減 相乘 相除, 而且經四 則運算後, 仍然是有理數 ( 若相除必須除數不為 0 6. 分式的運算 : 若用文字符號取代分母 分子的數值, 所得的算式稱為 分式 兩 分式可以相加 相減 相乘 相除, 其運算規則與分數相同 例 ( ( ( ( ( (. 數線上的分點坐標 : 數線上的兩點 A ( a 與 B ( b, 若 P ( 滿足 PA :PB = m:n, 則可利用 出 P ( 若 在 a b 之間, 則 mb m - a : b - = m:n 求 na n A(a P( B(b a b m : n 分數的化簡. 化簡 ( ( ( ( # g #( 分數的化簡規則在國中就學過了, 幫同學溫習一下 6 0 0. 化簡繁分數 ( ' 8 8 # # 6 0 6 8 複習一下 分數化簡的原則 : 禑括號優先禙沒括號時先乘除後加減辻帶分數化成假分數稆化除為乘 b 込內母外子 : a = b y ay
第 節 ( 上 乘法公式與有理數 8 化簡 ( ( ( ( ( 0 # g # 化簡 ( ( ( ( # g # 00 ( ( ( ( # g # 00 00 0 化簡 6 # # 8 6 6 8 = 化簡 ( 0 6 6 # # # 6 6 分式的化簡. 化簡 把數字用符號代替, 運算規則不變, 細心即可, 並解, 得 =. 化簡 8, 並解, 得 = 小小叮嚀 解完分式方程式一定要代回檢查, 若使分母為 0 就不合 化簡 ( ( 6
0 第 章數與式 化簡, 並解, 得 解, 得 = 分數化成小數 分數化成小數不是有限, 就是循環, 只能二選一. 下列哪些選項的數值可以化成有限小數? 䕷 虲 蚒 6 66 蚲 6 蛯 8 原來如此 最簡有理數若分母只有 的質因數, 就可化成有限小數. 請問 00 化成小數後是否為有限小數?, 小數點後最後一個不為 0 的數字是, 位置在小數點後第位 舉例觀察 6. = 6 0 0. 00 = 6 0 8. 將有理數 表成小數會有無限多位, 若小數點後第 n 位的數字記為 a n, 其中 n 為自 然數請問 a + a + a + + a 00 =
第 節 ( 上 乘法公式與有理數 下列哪些選項可化為有限小數? 6 0 6 請問 6 0 小數點後共位數字, 最末位數字為 若 8 在小數點後第 n 位數字 f ( n =, 且 n > 00, 則最小 n 值為 8 將化成小數, 小數後第 n 位數字為 f ( n, 請問 : f ( 0 = f ( + f ( + f ( + + f ( 0 = 若 # # 0, 滿足 f ( = 的整數 共有個, 和為 8 循環小數化成分數. 循環小數 0. 化成最簡分數為 0 6 8 8. 化簡.. #. 循環小數有無限多位, 可以化成分數, 要能馬上化簡 8 分母為 小數點後幾位循環就幾個, 幾位不循環就幾個 0 分子則是 全部 - 不循環 特訓 ( 不用化簡 : 禑 0. 禙. 辻. 6 原來如此 = 0 6 000 小小叮嚀 循環小數若不方便計算就化成分數吧! 記得先乘除後加減
第 章數與式 = 0 = 0. 0 = 0. = 0. 6 00 000. 請將下列分數化成循環小數 :. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 6 將 0. 8 化成最簡分數為 0. 8 0. 8 = 8 0 0 0 化成最簡分數 :.. 0 = 08. 08. 8 0, 0. 8 小數點以下第 00 位的數字為 =.. 小小叮嚀 前幾題用除法會很慢, 請記住規則然後逆推, 若不易逆推才用除法 = 6 8 0 0 6 化成最簡分數 :.. [ ( 0. 006. ] # ' 0 0 ( 6 0 0 0 ( 0 0 請將下列分數化成循環小數 : = 0. = 0. 0 = 0. 6 = 0. 00 000 00 0. 0. 0. 0. 0. 0. 6 0. 0. 小數點後第 00 位的數字是 = 68 = 0. 00 000 = 0. = 0. g 00 數線上 A( a 與 B( b,p 在 AB 上,PA : PB = m:n, 則 P 點坐標為 設 a < b, 如右圖, 設 P 的坐標為, 則 PA a a, PB b b 由 PA : PB = ( - a :( - + b = m:n, 得 m ( - + b = n ( - a mb + na = ( m + n, 得 mb na m n 若 a > b, 同理可得相同結果 A a mb m m P + + na n n B b
第 節 ( 上 乘法公式與有理數 數線上的分點坐標只會中點坐標太遜了, 把 : 推廣到 m:n 才夠看!. 數線上, 已知 A ( - B (, 點 P 滿足 PA : PB = :, 試求 : 禑若 P 在線段 AB 上,P 坐標為禙若 P 在線段 AB 外,P 坐標為 A P B ( A B P P AB BP (. 數線上有 A ( a B ( b 兩點, 其中 a < b, 且在 A B 之間有 P ( Q ( 8 兩點, 已知 PA : PB = :,QA :QB = :, 求 a =,b = a P b a b A Q B a b 8 數線上, 已知 P ( Q ( -, 點 R 滿足 PR :QR = :, 請問 : 禑若 R 在 PQ 上, 求 R 坐標為 - 禙若 R 在 PQ 外, 求 R 坐標為 Q R P ( R 數線上 A ( - 0 B ( -, 點 P 滿足 PA :PB = :, 求 P 坐標為 A P 0 ( ( 0 P 0 B - 0-6 6 數線上, 已知 A ( B ( -, 若 P Q 在 AB 上且 AP : PQ :QB = ::, 0 則 P 的坐標為,Q 的坐標為 - 6 B Q BQ P A BP PA ( QA Q 6 ( P 0 小明解題, 數線上 A 與 B ( 0, 在 AB 上找 P 使 PA :PB = :, 本來 A 的坐標 是負值, 小明漏看負號誤以為是正值, 得到的 P 坐標為, 請問正確 P 坐標為 0 0 ( P Q P R ( A B 0 ( 0 PA A P QP AB 0 PR 0 6 B
第 章數與式 0 利用分點比大小 從分點公式反推線段比例, 可以知道點的位置 y,b 的大小為. 已知 < y, 且 a y, c y,d y, 請比較 a b c d 傳授絕招 m ny 若 a 滿足 m + n = k, 則 a k 到 y 的距離比例固定, 就可以代 = 0,y = 來速解. 已知 a b 為實數且 a < b, 則下列選項哪些為真? 䕷 a < a + b < b 虲 a < a + b < b 蚒 a+ b < a+b 蚲 a+ b < a+ b 蛯 a+ b < a+ b 6 動腦想想 若出現 ma + nb 而 m + n! k, 則 k 稍微推一下就很容易找出反例 若直接代 a = 0 且 b =, 猜答有時會出錯, 想想為什麼? y y y 8 已知 < y, 且 a, b,c, 則下列選項哪些為真? 6 䕷 < a 虲 a < b 蚒 b < c 蚲 a < c 蛯 c < y 已知 < y, 則下列選項哪些為真? + y + y + y + y + y +y 䕷 < 虲 < 蚒 < + y + y + y +y 蚲 < 蛯 <
第 節 ( 上 乘法公式與有理數 0 已知 < y, 則下列哪些選項的值會大於 + y? + 6y + y + 8y 䕷虲蚒蚲 + y 蛯 + 0 y 循環小數 具備 無限 的特性, 因此關於其數值的大小及運算, 有些地方讓人覺得不可思議, 最有趣的現象就是. 0 與 比大小, 與我們從小建立的數感相 悖請回答下列問題 : 一 多選題 請問下列各選項的算式, 哪些正確? 䕷 0. 0. 0. 虲 0. 0. 6. 蚒 0. 0. 8 6. 蚲 0. 0.. 蚲 0. < 0. < 設 a 為 到 的整數, 將 a 用小數符號記為 0.a, 請問下列各選項關於不等關 0 係的敘述, 哪些為真? 䕷 0.a < 必成立虲 0.a < 必成立蚒 0. a < 0. a 必成立 蚲 0. # 0. a # 0. 與 0. # 0. a # 0. 的解相同 蛯 0. # 0. a # 0. 與 0. < 0. a < 0. 的解相同 二 非選題 小明學過 循環小數化成分數 的規則之後, 發現利用這個方法, 可確定任何一個正整數 n, 必可乘上另一個正整數 k, 得到的乘積為 0 0 的形式如 = 0, 08 = 請問若 0 要乘上正整數 k 得 0 0, 其中 a 為正整數, b 為非負整數, 試求出 k a b 之值 ( 答案不唯一, 舉出一組解即可 a 個 b 個
0 6 0 a a b ab b ( a b ( a ab b - a b a a b b 0 6 0 6 8 8 8 8 ( 8 8 6 0 a s as as b q bq bq arz bqy 6 a 6r ( z arz b ( q y bqy cy 0 ( a b ( a b ( a b ( a b ( a ab b 8 a a b ab ba ab b a a b ab b ( a b a a b ab b 8 8 8 8 # # # g # 0 0 ( y y ( y y ( y ( y ( y ( y z ( y z ( ((0 (0 [( (0] ( b a b a a b ( z z y ( z y ( z y ( z y ( y z ( y z a b ( a b a b ab ( a b ab ( a b ( a b [ ( a b ab ] ( a b ( a ab b ab ( a b ( a ab b a a b a b a b ab ba a b a b ab b a b a a b a b a b a b ab a b ab b a a b b ( ( y z ( ( y ( y z z( y z 0y 0yz z ( a b ( a ( a ( b ( a ( b ( b 8a 6a b ab b ( y 8 y ( b ( 6q 8bq bq 8 ( c ( r 0cr cr 0 8 ( a ( q ( aq aq ( b ( p ( z 6bpz bpz 6 cpq cpq 0 ( a b ( a b ( a ab b ( a b a a b a b ab b a b a a b ab b ( a b a a b ab b a b ( a b a b ab ( a b ab ( a b ( a b [ ( a b ab ] ( a b ( a ab b ab ( a b ( a ab b ( ( ( 6 ( ( 6 ( 6( 6 ( ( 6( 6 6 y 6yz z y z 0y 0yz z a a b ab b 6 6 8 8 y 6 ( ( 6 ( ( ( ( ( ( (y z ( y y z ( z 6 y 6yz z
( ( y ( z ( ( y ( y ( z ( z ( y z 0y 0yz z ( a b ( a ( a b ( a b b a a b ab b ( ( ( ( ( 6 6 8 ( y [( ( y ( y ] ( ( y 8 y 6 ( ( ( 6 ( ( ( ( ( ( [ ( ] ( ( ( 8 ( 8 ( 8 ( ( ( ( ( a b a b ab a b ( ab ab a b ( ab( a abb ( a b a b a b a b ( a b a b ab ( a b ab ab ( a b ab a b! a b ab ' a a b 0 ( ( ( ( 6 ( 6 6 6 6 6 6 ( ab c [( r ( r ( r] ( 6 0 600 (0n 00n 00n n( n 00 6 80 6 0 (. ( 0. 0. (0. (0.. 0. 0.00.6 60.6 6.60 68 68 00 06 00 8 6 8 ( a b a b ab a b 6a b a b ( a b( a abb ( 06 ( a b a b a b a b 8a b 0 8 00 ( a b a b ab ( a b ab ab ( a b ab ab a b a 0 6 ( ( abc [( r ( r ( r] 6 0 8 0. ( 0. 6 0. 0.0.6 8.0 ( 8 0.0 6 0.6 0.000 6.60 (0 8000 00 0 68 6 (0 6000 00 0 68 ( 8 ( 8 8 8 8 ( 8 ( 8 8 00 00 00 8 8 8 ( 6 8 ( ( (8 6 ( a b a b ab abab a b ( ab( a abb ( 8 8 0 g 0 6 8 6 8 # # # # # # 6 # 0 # # # # # # # # # # 0
0 6 # 8 0 0 # # 6 0 # # 0 00 6 g # # # # # # 0 0 00 0 0 # # # g # # 00 00 8 # # # g # # 00 00 # 8 # 6 # 8 # 6 # # 6 6 0 0 8 6 0 0 8 8 6 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 8 ( ( 6 8 8 8 0 ( 0 0 0 8 ( ( 6 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 6 0 ( 0 0 0 ( ( ( ( ( 8 8 #. # 00 # 6 6 0. 6 6 6 # 6 0000 66 6 # # 6 6. 6 8 8 # 000 00 00 00 00 0 00 00 00 8 0.g 0. a a a a a a 6 a 0 6 0 0 8 0 6 8 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 00. 8 8 0 f ( 6 f ( f ( 8 f ( 8 f ( 0 f ( 0 0 0. 8 f ( 6 f ( f ( 8 f ( 8 f ( 0 8 (8 88 8 8 a 00
f ( f ( f ( 0 f ( 6 f ( 6 0 6 6 0 6 6 6 8 0 8 6 0 000 0. 00. 00000. 00 8 00 00 6 66 0. dddd 0. 0.dddd # # 0 8 0 8 # # 6 6 # # # # 0. 0.dddd 0. 0.dddd 0.6 8 0 6 0 0. 0. 0. 6 0. 0.8 8 0 0 0.8 0. 8 8 8 600. 6 8 0.8 8 0 6 8 6 8. 8 0 0 6 ( 6 0 0 0 ( 0 0 6 8 0. dddd 0. 0.dddd 0. 0.dddd 6 0.6 0.dddd 0. 68 0. ddddd 00 000 0. 0.g 00 00 A ( a B ( b P AB PA PB mn P mb na m n A P B ( P A B P AB BP ( 0 a P b A Q B a b P a b a b Q 8 a b a b 8 6 6 0 0 6 Q R P ( R Q P R ( QP PR 6 A P B 0 ( ( 0 P 0 P A B PA AB 0 ( 0 0 6 B Q P A BP PA ( P 0
BQ QA ( Q 6 A ( A ( A P B 0 0 0 ( A P 0 abcd y 0y a b c d b c a d d 0 bc a y a a b a b a b a # a b a a b a b b ab a b a b 8a b 0 0 ab a b 8 0 0 ab a b 6 a 8b a 0b a b ab a b a b # 6 c a b y y y y 6 y 0 y y y y y y 8 y 0y 6y y y y # y y y y y y y 8y y y y 6 y y 6 0! 8 6 0.. 0. 0. 0. 0. # 0. a # 0. a 0. # 0. a # 0. a a 000. 0 00 0 00 k a b - 6 6 ' # # # 6 6 0 6 ( ' ' # # # # 6 6! 0. 0 8 0.8 0000 00 ( 6 6 0 6 0 ( ( 0
高中數學 第 冊 講義 課後 習本 第 回 -(上 乘法公式及其應用 第 回 - 三角形的重 內 外 垂四心 第 回 -(上 有理數的運算與循環小數 第 8 回 - 二元一次不等式的圖形 第 回 -(上 數線上的分點公式 第 回 - 圓方程式Ⅰ 第 回 -(下 根式的運算與化簡 第 0 回 - 圓方程式Ⅱ 第 回 -(下 實數的性質與算幾不等式 第 回 - 圓與直線的關係Ⅰ 第 6 回 - 絕對值的化簡與性質 第 回 - 圓與直線的關係Ⅱ 第 回 - 絕對值方程式 第 回 - 多項式的概念與除法原理 第 8 回 - 絕對值不等式 第 回 - 綜合除法及其應用 第 回 - 指數符號與指數律 第 回 - 餘式定理與函數求值 第 0 回 - 指數求值與科學記號 第 6 回 - 因式定理與求餘式問題 第 回 - 常用對數符號與求值 第 回 - 線型函數與二次函數的圖形 第 回 - 指數與對數的應用 第 8 回 - 二次函數的極值問題 第 回 - 斜率的概念與點斜式 第 回 - 求二次函數 第 回 - 截距式與直線系 第 0 回 - 三次函數的圖形 第 回 - 點對直線的投影 對稱與點線距 第 回 - 二次不等式 第 6 回 - 點線距公式的應用 第 回 - 高次不等式與應用問題 班級 姓名 座號
-( 8 y ( y ( 6y y 6 y y 8y ( ( y ( y ( 6y y ( y ( y ( y ( y ab a 6ab b a b 0 ( a b 8 a 6ab b 0 a b 6ab ( ab( a abb a abb a b ab 6ab ab ab ( a b ( a b a b ab 6ab ab 8ab 8 y ( y y y y y y y y y y y y y 0y ( y 0 y y 0 a b a b ab a b 8 ( a b a b ab ab ( a b ( a b ( a ab b ( 8 a b ab a b 6a b a 6 b 6 8 ( a b a b ab a b ab 6 ( a b a b a b 6 a b a b a 6 b 6 ( a ( b ( a b ( a a b b 6 ( 8 6 8 6 ( 6 8 ( ( 8 ( 6 ( 8! ( 0! (!
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