0 年第 屆 IM 國際數學競賽 ( 新加坡 ) leventh IM International Mathematics ontest (singapore), 0 國中三年級決賽試題解答 第 -6 題請將答案填寫在下面答案表內! 第 7-8 題需在試題空白處寫出計算過程, 否則不予計分! 選擇題 6 7 8 答案 填空題 9 0 6 答案 x x y 或 y 0. 一 選擇題 ( 每小題 分, 共 0 分 ). 如圖一個簡單臉譜由 五塊區域組成, 現用紅 黃 藍 綠四種顏色對這五塊區域染色, 要求有公共邊界的區域要用不同 顏色區分開, 且兩只 眼睛 要同色, 那麼染錯的機率 為 ( ). 80%<<8%. 8%<<90%. 90%<<9%. >9% 答案 : 9 解答 : 0.89 6. The area of trapezoid( 梯形 ) at the right figure is square unit, //, //, GH//, with =,, QQ, What is the area of quadrilateral( 四邊形 ) RQO?... 9 8 答案 : 翻譯 : 如圖, 梯形 面積為,//,//,GH//, 且 =,=,Q=Q, 那麼 S 四邊形 RQO=( ) 解答 : 如圖, 將梯形 放入 6 6 的方格表, 共占 8 格, 四邊形 RQO 占 格, 故面積為 /8. 6 G O R Q H IM 國際數學九年級決賽第 頁 / 共 8 頁
. 如圖 中,=60 =0, 將 繞 邊中 點 M 順時針旋轉 0 至, 設 與 交於點, 與 交於點, 那麼 M 的角度為 ( ). 60. 90. 0. 0 答案 : 解答 : 設 與 分別由 0 與 0 旋轉而得 ; 翻譯 : 則 M 0 M,M 0 M, 且 0 M 0 M0 翻譯 : 作等腰 0 M 0 M 的高 M MQ; 翻譯 : 則 M,MQ, 故 MQ=90 翻譯 : 又 0 MM 0 MQMQ0, 易知 M=MQ 0 M M 0 Q. 若 a b 有意義, 則此代數式可化簡為 ( ) ab a b. a b. a b. a b. b a 答案 : 解答 : ab 有意義翻譯 a,b 符號相同 ( 即同正負 ). 若 a0 且 b0, 則 ab a b ( ab a b ) ( a b) 0 則 ab a b 無意義. 若 a0 且 b0, 則 ab a b a b a b a b ( a b ) 原式 b a a b 7. 89 6 8 9 0 7 6 計算結果為 ( ). 整數. 有限小數. 無限循環小數. 無理數 答案 : n n n n ( n ) ( n ) n n 解答 : ( ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) n n n n 7 6 8 7 6 原式 9 8 0 9 6 6 8 0806 IM 國際數學九年級決賽第 頁 / 共 8 頁
6. 任作凸 n 邊形, 以各邊為直徑各作一個圓, 該凸 n 邊形總能被這 n 個圓 ( 包括圓 周及其內部區域 ) 所覆蓋, 則 n 的最大值為 ( ).... 6 答案 : 解答 : 對於任意凸 邊形的內部一點, 它關於 邊的張角總和為 60, 所以必有至少一個角 90, 則 被對應邊為直徑的圓所覆蓋, 同理, 易見正 邊形的中心關於所有邊的張角都是 7 90, 故中心不會被任一個圓覆蓋 a x 7. 將函數 y 的圖象以直線 yx 為軸作軸對稱變換, 已知得到的圖像是一個 x a 中心對稱圖形且對稱中心為 M(m,), 則 a m ( ).... 答案 : 解答 : 化簡得 y x a, 即函數 y 右移 a 單位, 下移 單位 x 故對稱中心為 (a,) 再將此對稱中心變換至 M, 即為 a,m,a m 8. 已知拋物線 yax 與其關於點 (,) 中心對稱的曲線恰有兩個不同的交點 和, 若 所在直線與 x 軸正半軸夾角為, 那麼實數 a( )... 答案 :. 解答 :() 為對稱點, 即關於 (,) 對稱, 故直線 過點 (,), 故直線 :yx ()yax 與 yx 的交點為 (0,0) 和 ( a, a ), 故 (0,0) 與 ( a, a ) 關於點 (,) 對稱 ; a 二 填空題 ( 每小題 分, 共 0 分 ) 9. Refer at the right, is the midpoint of, lie on with 60, 0, 80, S S, What is the length of?. 答案 : IM 國際數學九年級決賽第 頁 / 共 8 頁
翻譯 : 如圖, 在 中, 是 中點, 是 上一點, 且 60, 0,80,S S, 則 的長為 解答 : 易知 0,80,80, 將 補成等邊, 易見 為 的三等分線 作另一條三等分線, 可見 且相似比 :: S S S S S 8, 0. 關於 x 的二次不等式 x x(a)0 僅有一個整數解, 且係數 a 也是整數, 那麼 a 答案 : 解答 : 整理得 a x x, 函數 f(x) x x ( x ) f(x) 的最大值為 f(), 且在 x 取整數值時, 函數次大值是 f(0)f() 由題目條件知僅有一個整數滿足 f(x)a, 這個整數 x 只能是 x; a 的取值範圍是 a, 故 a x( x )( x y). etermine all the solution of x x y.. x x 答案 : y 或 y x( x )( x y) 翻譯 : 解方程組 x x y, 寫出所有解 a x x ab 解答 : 令 b x y, 則原方程組變為 a b ; 由二次方程的韋達定理解得 ab, x x x x 即 x y, 解得 y 或 y IM 國際數學九年級決賽第 頁 / 共 8 頁
. 如圖, 為圓 O 上三個點,0 為固定邊, 為動點, 且保持 0, 以 的邊, 為邊向三角形外作正方形 和 G, 設 G 交於點, 則 O 的最大值為 O G 答案 : 解答 : 設 繞 點逆時針轉 90 可與 H 重合 H 且 H; =90, 令 M 為 中點, 則 M ; 由外心性質知 O 為以 0 為底邊的等腰三角形,O0 MO : OMOM. 如圖 G H 分別是正方形 四邊 上的點, 且 G H 三線共點, 線段 G G H H 的長度都是整數公分, 又知 S Hcm, H S GH6cm,S cm, 那麼則 S 四邊形 GH cm 答案 :0. S 解答 :() 由 G,H, 三線共點 ; 知 G H S GH G () 設 Hx,Gy, 正方形邊長為 a; (ax)(ay)s H6,xyS GH, 解得 x,y,a9 S 四邊形 GH9 6 (9 )(9)0.. 設實數 x y 滿足 x y xy0, 且 y0, 則代數式 x y 的最小值是 答案 : x 解答 : 設 y, 則 xy 代入題中方程 :(y) y (y)y0,( )y ()y0 0, 即 () 6( )0, 得 IM 國際數學九年級決賽第 頁 / 共 8 頁
. 已知不等式 a x x b 的解集是 a x b( 其中 ab) 則 b 答案 : 解答 : 二次函數 f(x) x x ( ) x 的圖像頂點為 (,), 對稱軸為 x, 開口向上 ; 若 a> f min f(), 則 的解集為兩個關於 x 對稱的區間 ; a x x b 故 a, 且 a b 關於 x 對稱, 且 f(a)f(b)b; 解方程 b b b, 得 b,b ( 捨去 ) 6. 已知等腰梯形的最長邊長為 cm, 周長為 8cm, 面積為 7cm, 則它的最短邊長為 cm 答案 : 解答 :() 若最大的邊為腰, 則上下底分別為 a b, 則 ab 兩個這樣的梯形可拼成一個邊長為 和 的平行四邊形, 其面積最大為 <77 解答 :() 下底為, 設腰長為 x, 高 h, 如圖 則上底為 x, 高 h x x x ( ) 故 (8 x ) x 7 令 y x, 即 (7 ) 7 y y, y 7y 0 可化為 ( y 6)( y ) 0 得 y 或 y6( 捨去 ), 代入得 x, 滿足題目要求 x x x h x x IM 國際數學九年級決賽第 6 頁 / 共 8 頁
三 簡答題 ( 每小題 0 分, 共 0 分, 請簡要寫出解答過程 ) 7. 對於正整數 n, 定義 f(n) 為 n n 的十進位表示的數碼和, () 求 f(n) 能取得的最小可能值 ; () 找到正整數 n, 使 f(n)0 答案 :8, 6 解答 :() n n n(n ) n( n ) (mod ) 若 f(n) 則 n n,n0, 矛盾 ; 若 f(n) 則 n n 必形如 0 0, n n0 ; 則 n n 0 n(n ), 無解 ; 若 f(n) 則 n n 可以形如 0 0, n n 0, 當 n8 時,n +n+=0f (8), 故最小值為 () 令 n0 6 則 n +n+0 6 0 60 60 080 6 0 0 0 故當 時,n +n+ 的十進位表示為 99 960 99 00 960 00 f (0 6) 9( ), 當 時,n 6 時,f(n)0 IM 國際數學九年級決賽第 7 頁 / 共 8 頁
8. 如圖, 以 的中線 為直徑作圓 O, 分別交 於點, 設圓 O 在 處的切線交於點, 求證 證明 : 取 的中點 M N; 連接 M M N N; 90 MMM NNN; 又 MMM90 ; NNN90 ; 解 MN80 0 ; MN 又 M N(SS) M N MN 又 為 MN 中點 MN 即 IM 國際數學九年級決賽第 8 頁 / 共 8 頁