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旋轉坐標軸 ( 甲 ) 轉軸公式考慮一個以點 F(,) 為焦點, 以直線 L:+=0 為準線的拋物線 Γ 方程式是 Γ : ( ) +( ) = +..(*), (*) 式平方後可化成 Γ: + 8 8+6=0 (**), 但是從 (**) 很難辨識它是一條拋物線, 是否可以利用適當的坐標變換, 來辨識 (**) 式為一條拋物線我們如果將坐標軸看成此拋物線的軸與過頂點與軸垂直的直線, 則此拋物線就成為一條開口向上的拋物線, 方程式也會化成 =a 的形式, 因此接下來要考慮坐標軸的旋轉, 以化簡 Γ 的方程式 O F L () 推導轉軸公式 : 將直角坐標系 S (O,. i, j ) 繞原點旋轉一個有向角 θ, 得到一個新坐標系 S (O, e, e ), 像這種坐標原點及長度單位都不變, 只改變坐標的方向的坐標變換稱為坐標軸的旋轉, 簡稱轉軸基底 e =(cosθ,sinθ)=cosθ i +sinθ j, e =(cos(θ+ ),sin(θ+ ))=( sinθ,cosθ)=( sinθ) i +cosθ j 設 P 點在坐標系 S (O, i, j ) 與 S (O, e, e ) 下的坐標為 (,) (, ) OP= i + j = e + e = ( cosθ i +sinθ j )+ (( sinθ) i +cosθ j ) =( cosθ sinθ) i +( sinθ + cosθ ) j = cosθ sinθ 這個式子稱為轉軸公式 = sinθ + cosθ [ 幾何解釋 ]: T O θ P θ Q U R S 如右圖, OQ= OU QU= OScosθ PS sinθ = cosθ sinθ PQ= RS + SU= PS cosθ + OSsinθ = sinθ + cosθ = cosθ sinθ = cosθ + sinθ 透過可解得 = sinθ + cosθ = sinθ + cosθ 從另一個角度來看, 把新坐標系 S 繞原點 O 旋轉有向角 θ 就可變成原坐標系 S, 即 (, ) 看成原坐標,(,) 看成轉軸後的新坐標, 那麼由轉軸公式得到 = cos( θ ) sin( θ ) = cosθ + sinθ = sin( θ ) + cos( θ ) = sinθ + cosθ ~ ~

結論 : () 將直角坐標系的軸旋轉 θ 角度, 得到新的坐標軸軸點 P 作這兩個坐標下的坐標分別為 (,) (, ), (,) 與 (, = cosθ sinθ ) 滿足下列關係 : = sinθ + cosθ () 記憶法 : ( 原坐標 ) cosθ sinθ sinθ cosθ ( 新坐標 ) [ 例題 ] 設將原坐標系旋轉 θ,θ 如下所示, 試分別將原坐標為 (,) 之點的新坐標以, 表示 ()θ =30 ()θ = cos 3 Ans:() = 3 +, = + 3 () = 3 + 3, = 3 + 3 ( 練習 ) 將坐標軸旋轉 θ= 6, () 若點 A(,), 求點 A 之新坐標 () 若點 B 之新坐標為 (,3), 求點 B 的原坐標 Ans:()( 3 +, + 3 ) ()( 3 3, +3 3 ) ( 練習 ) 將坐標軸旋轉 θ=cos 3, 若 P(, ) 之新坐標 (h,k), 而 Q(r,s) 之新坐標為 (, ), 求 (h,k) (r,s) Ans:(h,k)=(, ),(r,s)=(,) ( 練習 3) 平面上一點 A(,) 試分別就下列情形求 A 點的新坐標 () 先將坐標軸平移至 (,), 再將新坐標軸以新原點為中心旋轉 () 先將坐標軸以原點為中心旋轉, 再依新坐標軸平移 (,) (3) 於 () 中若先將坐標軸以原點為中心旋轉後應平移至何處, 則得 A 點所得之新坐標才與 () 相同 ~ ~

Ans:()(,0) ()( 7, 3 ) (3) 平移至 (,3 ) ( 乙 ) 轉軸化簡方程式例子 : 將坐標軸旋轉, 求曲線 Γ: ++ =3 在新坐標系中的方程式, 並作圖 [ 解法 ]: 設坐標軸旋轉 θ 角度, = cosθ sinθ 根據轉軸公式代入 = sinθ + cosθ 曲線 Γ 的方程式 ++ =3, 得 ( cosθ sinθ) +( cosθ sinθ)( sinθ+ cosθ)+( sinθ+ cosθ) =3 整理可得 : (cos θ+cosθsinθ+sin θ) +( sinθcosθ+cos θ sin θ+sinθ cosθ) +(sin θ sinθ cosθ+cos θ) =3 (*) 若要選取角度 θ, 使得項的係數 =0 sinθcosθ+cos θ sin θ+sinθ cosθ=(cos θ sin θ)=0 cos θ=sin θ 可以取 θ=, 再代入 (*) 中, 可得 3 =, 故可知 Γ 是一個雙曲線 () 化簡方程式 : 由前面例題, 我們發現適當選擇旋轉的角度 θ, 可以使二次曲線的新方程式中消去項, 但是對於一般的二次曲線 Γ:a +b+c +d+e+f=0 (b 0)..(A) 如何選擇轉軸的角度 θ, 才可以使 Γ 的新方程式中缺少項呢? = cosθ sinθ 將代入二次曲線 Γ 的方程式中 : = sinθ + cosθ 可得 a( cosθ sinθ) +b( cosθ sinθ)( sinθ+ cosθ)+c( sinθ+ cosθ) +d( cosθ sinθ)+e( sinθ+ cosθ)+f=0 上面的方程式展開後, 整理成 a +b +c +d +e +f =0 (B) 其中 a =acos θ+b sinθ cosθ +csin θ, b = asin cosθ +b(cos θ sin θ)+csinθcosθ =bcosθ (a c)sinθ c =asin θ bsinθ cosθ +ccos θ d =d cosθ +e sinθ e = d sinθ +e cosθ f =f ( 常數項不變 ) 如果選取轉軸的角度 θ 使得 bcosθ (a c)sinθ=0, 則項的係數 b =0, 所以當 cotθ= a c b (b 0) 時, 項的係數 b =0 ~ 3~

結論 : 可以取得銳角 θ 滿足 cotθ= a c b, 選擇這樣的銳角 θ 作為轉軸旋轉的角度, 變換後的二次曲線 Γ:a +c +d +e + +f =0 (f =f ) [ 例題 ] 坐標軸旋轉 θ 角度 (0<θ< ), 使得曲線 Γ: 7+73 =00 之新方程式中沒有項 () 求 cotθ sinθ cosθ 的值 () 寫出轉軸公式 (3) 求 Γ 的新方程式 () 請求出焦點的坐標 Ans:() 7 3 ()= 3,= 3 + (3) + =()( 3,3 3 ) ( 3, 3 3 ) θ O [ 例題 3] 設 Γ 為以原點 O(0,0) 為頂點,F(,) 為焦點之拋物線, 將原坐標系 S 旋轉 cos - 得到新坐標系 S, 則 F 對 S' 的坐標為,Γ 對 S' 坐標系的新方程式為,Γ 對原坐標系 S 的方程式為 ( 化為二元二次式 ) Ans:(,0),' = [ 解法 ] ', -+ -0-0=0 θ=cos -, 原坐標 S 旋轉 θ 得到新坐標系 S, 根據轉軸公式 = = ( - ( + ) = ) = ( + ) (- +7) 由 OF= 知焦點 F 對於 S 的坐標為 (,0) ~ ~

在 S' 坐標系中,Γ: = (-+) =. (+) -+ =0+0 在 S 中,Γ: -+ -0-0=0 ( 練習 ) 設 θ 為坐標軸旋轉的角度, 試求下列二次曲線旋轉坐標軸後的新方程式 ()θ=,= ()θ=, 6+ =3 Ans:() = () 6 + = ( 練習 ) 將坐標軸旋轉 θ 角 (0<θ< ), 使得曲線 Γ: 3+ =0 對新坐標系中的方程式消去項, 請問 θ=? 新的方程式為何? Ans: 3, 0 + = ( 練習 6) 將坐標軸旋轉 θ 角 (0<θ< ), 使得曲線 Γ: ++ = 對新坐標系中的方程式消去項, () 請寫出轉軸公式 () 新的方程式為何? = Ans:() = ( ( + ) ),() + = ( 練習 7) 將坐標軸旋轉 θ 角 (0<θ< ), 使得曲線 Γ: 3+ = 對新坐標系中的方程式消去項, () 請問 θ=?() 新的方程式為何? Ans:() 3,() 8 = ( 練習 8) 曲線 Γ : + ( + ) = 0, 將坐標軸旋轉, () 可得新坐標方程式為 () 其圖形為何? 答 : Ans:() ( ) = ( );() 拋物線 ~ ~

( 丙 ) 移軸與轉軸化簡方程式例子 : 利用坐標變換, 將曲線 Γ: 6+ =0 化成標準式 [ 先移軸 ]: 因為 δ =b ac=( 6) <0, 由前面的討論可知, 可以選擇適當的原點 O / (h,k) 來移軸, 使得 Γ 的新方程式中的兩個一次式項消去 / / = + h 將移軸公式代入 Γ 的原方程式, / = + k 可得 Γ: / 6 / / + / +d / +e / +f / =0 d = 0h 6k () 其中 e = 6h + 0k (), f = h 6hk + k h k (3) 令 ()() 中 d=e=0, 可得 h=,k= 所以移軸到 O / (,) 可得新的方程式為 / 6 / / + / =8..() O / O / [ 再轉軸 ]: 取一銳角 θ 滿足 cotθ= a c b =0 θ=, 因此可得轉軸公式 / / = = cos sin + sin = cos = ( ( + ), 代入 () 中, ) ( ) 6 ( )+ ( + ) =8, 整理可得 Γ: + = 所以 Γ 是橢圓, 對稱中心在 O / (,) [ 討論 ]: 這個橢圓的長軸短軸所在直線方程式 ( 對於原坐標而言 ) 為何? 正焦弦長 =? [ 討論 ]: 如果先移軸, 再轉軸的話, 結果會一樣嗎? ~ 6~

例子 : 利用坐標變換, 將曲線 Γ: + +8=0 化成標準式因為 δ =b ac=( ) =0, 因此移軸無法消去兩個一次項, 因此先轉軸消去項, 再用配方法化成標準式 [ 先轉軸 ]: 取一個銳角 θ 滿足 cotθ= a c b = 3, 由此知 <θ <, 因此 cosθ= 3 cosθ=,sinθ =, / / / / = cosθ sinθ = ( ) 於是可得轉軸公式 / / / / = sinθ + cosθ = ( + ) 代入 Γ 的方程式中, 化簡可得 Γ: / 0 / +0=0, 配方得 / = ( / ).() [ 再移軸 ]: 根據配方的結果, 將原點移至 O / (,0) ( 對轉軸後的新坐標而言 ), / = + 並將移軸公式 : / = + 條拋物線 0 代入 () 得到 Γ 的標準式 : =, 所以 Γ 是一 ( / ) / O O / [ 討論 ]: 這個拋物線的對稱軸準線方程式 ( 對, 座標而言 ) 為何? 正焦弦長 =? ~ 7~

[ 例題 ] 設 Γ: + +0+30 =0 () 先移軸至 O / (h,k), 使得, 項的係數為 0, 此時方程式為何? () 在將坐標軸繞 O / 旋轉 θ 角度 (0<θ< ), 使得 () 中的式子沒有項, 此時方程式為何? (3) 求 ( ) +( 3) 的最小值 () 求 Γ 的正焦弦長 Ans:() / / / + / =0 () = (3) ()8 ( 練習 9) 於平面上, 方程式 6+ =0, () 標移軸轉軸化簡方程式成標準式 () 請問中心長軸頂點焦點坐標為何? Ans:() +) + =() 中心 (,) 焦點 ( 長軸頂點 ( +, +) ( +, +) 6 +, 6 6 +) ( +, 6 ( 練習 0) 若 p (, ) 為曲線 Γ :3 + 3 + = 上之動點則 () p 到原點之最大距離為 () p 到原點之最小距離為 (3) + 的最大值 = () + 的最小值 = Ans:() 6 () (3)6 () ~ 8~

綜合練習 () 坐標軸旋轉 θ 角度 (0<θ< ), 使曲線 Γ: ++ = 的新方程式消去項 (a) 寫出轉軸公式 (b) 化簡 Γ 的方程式, 並說明 Γ 的形狀 (c) 求 Γ 的正焦弦長焦點坐標 () 旋轉坐標軸 θ 角 ( 0 <θ < ), 可使方程式 + 3 + 3 + 6 3 3 =0 不具項, 則 cosθ =(A) (B) (C) (D) (E) (3) 在坐標平面上, 設曲線 Γ 的方程式為 7 8 7 +=0, 若將原坐標系旋轉 cos 3, 則 Γ 的新方程式為何? () 如右圖, 將坐標軸旋轉 θ 角後, (a)θ= (b) 橢圓對新坐標系的方程式為 (c) 橢圓的原方程式為 () 利用移軸轉軸化簡下列曲線的方程式 : (a) ++8 +8 7=0 (b)7 6 6++7=0 (6) 將坐標軸旋轉 θ 角 (0 < θ < ) 使得曲線 Γ : 7 + 73 = 00 的新方程式沒有項 (a) cot θ (b) sin θ = (c) 轉軸公式為 (d) 則 Γ 的新方程式為 (e)γ 之焦點的原坐標及對稱軸之原方程式 (7) 設二次曲線 Γ: ++ =, 若將原坐標系旋轉一銳角 θ, 使新方程式中沒有項, 則 (a)sinθ= (b) 曲線 Γ 的長軸所在的直線方程式為 9 建中 (8) 將坐標軸旋轉, 得新坐標系 S (O;, ), 有一曲線 Γ:=, 試求 : (a)γ 對 S 的新方程式為 (b)γ 之貫軸長 (c)γ 之正焦弦長 (d)γ 之焦點的原坐標 (e) 若焦點為 F,F,P 點在 Γ 上, 則 PF PF = (9) 將坐標軸旋轉 θ (0 <θ<90 ), 得一新坐標系 S / (O; /, / ), 使曲線 Γ: + +0=0 的新方程式中沒有項, 試求 : ~ 9~

(a)cotθ= (b)γ 的新方程式 = (c)γ 之焦點的原坐標為 (d)γ 之兩對稱軸之原方程式為 (e) 若, 滿足 + +0=0, 求 + 的最小值 = (0) 關於二元二次方程式 Γ: ++ =6 的敘述下列那一個選項是正確的? (A)Γ 的圖形是雙曲線 (9 指定考科模擬試題 3) (B)F(0, ) 是 Γ 的一個焦點 (C) 直線 +=0 是 Γ 的一條對稱軸 (D) 若 P(a,b) 為 Γ 上一點, 則 a b 的最大值為 3 進階問題 () 設 P Q 在坐標系 S (O, i, j ) 與 S (O, e, e ) 下的坐標為 (a,a ) (b,b ) 與 (a /,a / ) (b /,b / ), 其中 e, e 分別是由 i, j 繞原點 O 旋轉 θ 角度得到的請利用轉軸公式證明 : (a)p Q 兩點的距離, 在轉軸後不變 (b)op 與 OQ 的內積, 在轉軸後不變 (c) OPQ 的面積, 在轉軸後不變這個結果說明, 這樣的坐標變換, 不會使得距離角度有所變化綜合練習解答 () (a)= ( ),= ( + ) (b) + (c) 3,(, ) (, ) () (D) / (3) / = () (a)30 (b) + =6(c)7 6 3+3 6=0 () (a) + 9 = (b) = =, 橢圓 ~ 0~

7 (6) (a), (b) 3 3,(c) = ' ',(d) ' ' + = 3 = ' + ' 3 3 3 3 3 3 (e) F (, ) 及 F(, ) ; 3+ = 0及 + 3 = 0 3 3 長軸短軸 (7) (a) (b)+=0 (8) (a) 8 8 = (b) (c) (d)(, ) 及 (, ) (e) / / 7 (9) (a) (b) = (c) 3 3 (, ) 及 (, ) (d) 3+=0 及 +3=0 (e) (0) (C)(D)[ 提示 :(D) 由 a= (a b ),b= (a +b ) 代入 a b = a b 又 (a,b ) 在 + / = a +b 上, 由平均數不等式 ( a ) ( b ) = a b 3 3 a b = a b 3 ] () (a) 直接用轉軸公式去檢驗 (a a / ) +(b b / ) =(a a / ) +(b b / ) (b) 直接用轉軸公式去檢驗 a b +a b = a / b / +a / b / (c) 利用向量的三角形面積公式, 即可得證 ~ ~