一 乘法公式與多項式 多項式的乘法公式除了用來簡化多項式的乘法運算外, 還可運用於因式 分解 在本章中, 我們首先來複習已經學過的平方公式, 然後再延伸到立方公式 1-1 平方公式 二項式相乘公式 我們可利用分配律來展開 ( a+ )( c+ d) 的乘積而得到下列的公式 : ( a + )( c + d) ac + ad + c + d 公式 1 a c ac d ad c d 另一方面, 也可利用幾何圖形來解釋這個公式 如上圖, 一個邊長分別為 ( a+ ) 和 ( c+ d) 的長方形, 可由四個面積分別為 ac ad c 和 d 的長方形所組成 我們可從大長方形的面積為四個較小的長方形的面積總和而得到這個公式 在應用上,a c 及 d 可為數字或任何文字符號 範例 1 利用公式 1 展開下列各式 : (1) (1 + a)(1 + ) () ( x+ )( x+ ) () ( x + y)( x y) 解 (1) (1 + a)(1 + ) 1 1+ 1 + a 1+ a 1+ a+ + a () ( x+ )( x+ ) x x+ x + x+ x + 5x + 6 () ( x + y)( x y) ( x + y)[ x+ ( y)] x x+ x ( y) + y x+ y ( y) 1
6x xy + xy y 6x + xy y 在上例的第 () 題中, x + 5x + 6的 x 項 ( 或稱二次項 ) 係數為 1,x 項 ( 或稱 一次項 ) 係數為 5, 常數項為 6, 其中最高次項為二次, 所以稱 x 的二次多項式, 並簡稱為一元二次式 + 5x + 6為 x 在第 () 題中, 6 x + xy y 有 x y 兩個變數, 其中 6x xy 和 y 都是二 次項 因此, 它的最高次項為二次, 所以稱它為 x 和 y 的二次多項式, 並簡 稱為二元二次式 類題練習 1 展開下列各式 : (1) (5x+ )(x ) () ( x + y)(x 4 y) 二項式相乘公式也常運用於來簡化數的計算過程, 例如 : 求 1 79 + 17 11 + 1 11 + 17 79 的值 在上面的算式中, 我們觀察到 1 79 與 1 11 有公因數 1,17 11 與 17 79 有公因數 17, 所以 1 79 + 17 11 + 1 11 + 17 79 1 79 + 1 11 + 17 79 + 17 11 1 (79 + 11) + 17 (79 + 11) (79 + 11) (1 + 17) 400 50 100000 完全平方公式 將公式 1 中的 c d 分別以 a 代入, 即可得 ( a+ )( a+ ) a a+ a + a+ a + a+,
因而得到和的平方公式 : a + a+ ( a+ ) 公式 範例 利用公式 展開下列各式 : (1) ( x + 1) () 解 (1) ( x + 1) x + x 1+ 1 x + x + 1 (x + y) () (x + y) ( x) + ( x) ( y) + ( y) 4x + 1xy + 9y 同樣的, 若將公式 1 中的 c d 分別以 a 代入, 即可得 ( a )( a ) a a+ a ( ) + ( ) a+ ( ) ( ) a a+, 因而得到差的平方公式 : ( a ) a a+ 公式 其實, 只要將公式 中的 改為, 也可得到公式 範例 利用公式 展開下列各式 : (1) ( x ) a () (x y) 解 (1) ( x a) x x a+ a x ax + a () (x ) y ( x) ( x) ( y) + ( y) 4x 1xy + 9y 我們也常用和或差的平方公式來簡化數的計算, 例如 : 在求 109 時, 可將 109 寫成 100 + 9, 再利用公式 即可求得 : 109 (100 + 9) 100 + 100 9 + 9
10000 + 1800 + 81 11881 我們知道 a+ + c (a + ) + c, 所以利用和的完全平方公式, 即可得到 : ( a+ + c) [( a+ ) + c] ( a+ ) + ( a+ ) c+ c a + a + + ac + c + c a c a c a + + + + + c 因此, 得到三項和的完全平方公式 : ( a+ + c) a + + c + a+ c+ ac 公式 4 範例 4 利用公式 4 展開下列各式 : (1) (x+ y+ ) () ( a+ c) 解 (1) ( x+ y+ ) x + y + + x y+ y + x x + y + 9+ xy+ 6y+ 6x x xy y x y + + + 6 + 6 + 9 () ( a+ c) [ a+ ( ) + ( c)] a + () + () c + () a + ()() c + () c a a + 4 + 9c + 4a 1c 6ca 類題練習 利用公式 4 展開 (x y z) 若將公式 1 中的 c d 分別以 a 取代, 即可得 : ( a+ )( a ) a a+ a ( ) + a+ ( ) 因而得到平方差公式 : a ( a+ )( a ) a 公式 5 範例 5 利用公式 5 展開下列各式 : 4
(1) (x + 4 y)(x 4 y) () ( a+ c)( a + c) 解 (1) (x + 4 y)(x 4 y) ( x) (4 y) 9x 16y () 因為 a + c a + ( c) 和 a + c a ( c), 所以可以 得到 : ( a+ c)( a + c) [ a+ ( c)][ a ( c)] a ( c) a ( c+ c ) a + c c 如同完全平方公式, 我們也常利用平方差公式來簡化數的計算 例 如 : 求 117 17 的值時, 我們可得到下列算式 : 117 17 (117 + 17)(117 17) 14 100 1400 又如求 107 9 的值時, 我們觀察到 107 100 + 7 9 100 7, 所以可得 到下列算式 : 107 9 (100 + 7)(100 7) 100 7 10000 49 9951 類題練習 求下列各式的展開式 : (1) ( x+ y+ 1)( x y 1) () ( x+ y) ( x y) 5
家庭作業 1. 展開下列各式 : 1 (1 )( ) + a ( x + 5 y)( x y) ( a+ ) 4 (x y+ ) 5 ( a c)( a+ + c) 6 ( a + a+ 4 )( a a+ 4 ) 7 ( x 1)( x )( x ) 8 ( x+ 1)( x+ )( x+ )( x+ 4) 9 10 ( x )( x+ )( x + 4) ( x+ 1)( x 1)( x+ )( x ). 回答下列各題 : 176 1 求的值 求 001 00 1998 006的值 已知 18 8 (685.5) 685 x +, 求 x 的值 4 若 ( x + ax + )(x a) 的展開式中, x 的係數為 9, 求 a 的值 6
1- 立方公式 在國中時期同學們較少接觸到立方的乘法運算, 事實上, 在多項式的乘法和因式分解的過程中, 立方公式也經常被引用 立方和與立方差 我們可利用分配律來展開一次式與二次式的乘積 例如, 展開 ( a+ )( a a+ ) 即可得到 : ( a+ )( a a+ ) 因此, 得到立方和公式 : a a + a + a a + a + ( a+ )( a a+ ) a + 公式 6 範例 1 利用公式 6 展開下列各式 : (1) ( x+ )( x x+ 4) () (a+ 5 )(4a 10a+ 5 ) 解 (1) ( x+ )( x x+ 4) ( x+ )( x x + ) x + x + 8 () (a+ 5 )(4a 10a+ 5 ) (a+ 5 )[( a) ( a)(5 ) + (5 ) ] ( a) + (5 ) 8a + 15 同樣的, 我們可以展開 ( a )( a + a+ ) 並經合併化簡後, 而得到立方差公式 : ( a )( a + a+ 其實, 只要把公式 6 中的 以 代入, 即可得公式 7 ) a 公式 7 7
範例 利用公式 7 展開下列各式 : (1) (x 1)(4x + x+ 1) () a a a ( )( + + ) 9 6 4 解 (1) (x 1)(4x + x+ 1) (x 1)[( x) + ( x) 1+ 1 ] a a a () ( )( + + ) 9 6 4 ( x) 1 8x 1 a a a a ( ) ( ) a 7 8 ( )[( ) + + ( ) ] 5a 類題練習 1 (1) 展開 (5 a )(5 a + + ) 4 () 展開 ( x xy 6 y )( x xy 4 y )( x xy 9 y ) + + + () 已知 x, 求 ( )( 9 x x + x + ) 的值 完全立方公式 在展開 (a+ ) 時, 可先將 (a+ ) 寫成 ( a )( a ) + +, 再利用和的平方公式與分配律展開即可, 也就是說 : ( a ) + ( a+ )( a+ ) ( a+ )( a + a+ a + a + a + a + a + a + a + a + ) 由此, 我們可得到和的完全立方公式 : ( a ) + a a a + + + 公式 8 8
同樣的, 展開 (a ) 的乘積, 並經化簡後即可得到差的完全立方公式 : ( a ) a a + a 公式 9 其實, 只要將公式 8 中的 以 代入, 同樣可得上式 範例 展開下列各式 : (1) ( x + ) () (x ) + y () (4a 5 ) 解 (1) ( x + ) x + x + x + () (x + y) () (4a 5 ) x + 6x + 1x+ 8 ( x) + ( x) ( y) + ( x)( y) + ( y) 7 + 54 + 6 + 8 x xy xy y (4 a) (4 a) (5 ) + (4 a)(5 ) (5 ) 64a 40a + 00a 15 類題練習 展開下列各式 : 1 (1) x + y) () ( (4 a ) 5 9
家庭作業 1. 展開下列各式 : 1 ( x ) (a ) x y x xy y ( + )( + 9 6 4 ) 4 a a + a+ 4 ( )(4 ) 5 ( x+ 1)( x 1)( x x+ 1)( x + x+ 1) 6 ( a 9)( a + a+ 9)( a a+ 9). 回答下列各題 : 1 求 1 (5 ) + (4 ) 的值 已知 a+ 且 a, 求 a + 的值 已知 a 1且 a + 5, 求 a 的值 4 4 已知 x, 求 ( x 1)( x + x + 1) 的值 10
1- 多項式的除法 在小學時, 我們會以下列的長除法 ( 直式計算法 ) 來求出 58 除以 1 得到商數 4, 餘數 6: 4 1)58 5 6 同時, 我們也知道 : 58 1 4 + 6 事實上, 在自然數的除法中, 我們有下列的規則 : 被除數 除數 商數 + 餘數, 其中, 商數和餘數為非負整數, 且餘數小於除數 同樣的, 在多項式的除法中, 我們也有類似的規則 : 被除式 除式 商式 + 餘式, 其中, 商式的次數等於被除式的次數減去除式的次數, 且餘式的次數要小於除式的次數 類似於自然數的除法, 多項式的除法運算也有直式計算法 ( 長除法 ); 為了簡化計算, 也常使用分離係數法 事實上, 這兩種方法的差別在於計算過程中, 有沒有將文字符號寫出來而已 範例 1 求( x + 4x+ ) ( x+1) 的商式及餘式 解 方法一 : 直式計算法方法二 : 分離係數法 x (x + 1) ( x + 1) x + x + 1 )x + 4x + x + x x + x + 1 商式為 x +, 餘式為 1 1+ 1 + 1 )1 + 4 + 1+ 1 + + 1 11
在完成多項式的除法後, 為了驗證所得結果是否正確, 除了重新檢視 運算過程外, 也常用上述 被除式 除式 商式 + 餘式 的概念來驗算 例如 : ( x+ 1)( x+ ) + ( 1) x x + 4x+ 1 ( 除式 商式 + 餘式 ) + 4x + ( 被除式 ) 範例 求(x + 5x + x+ 5) ( x+ ) 的商式及餘式 解 + 1 1 1 + ) + 5 + 1 + 5 + 4 1+ 1 1+ 1 + 5 1 7 商式為 x + x 1, 餘式為 7 做分離係數法時, 當除式或被除式缺項時, 需要補 0 範例 求(x + ) (x 1) 的商式及餘式 解 因為 x + x + 0 x+, 所以用 + 0 + 來表示 x + + 4 1 ) + 0 + + 4 4 1
商式為 x +, 餘式為 4 4 範例 4 求(6x 7x 4x+ 8) (x + x ) 的商式及餘式 解 + 1 )6 7 4 + 8 6+ 4 9 + 0 + 8 9 + 6 + 商式為 x, 餘式為 x + 範例 5 求(x + 8x + 7x + ) (x + x + 1) 的商式及餘式 解 + 1 + + 1) + 8 + 7 + + 6 + + 4 + + 4 + 0 商式為 x +, 餘式為 0 當餘式為 0 時, 我們稱除式整除被除式, 例如 : 在上例中,x + x + 1 整除 x + 8x + 7x + 類題練習 求下列各除法運算的商式及餘式 : (1) (x + x+ 5) ( x+ ) () ( 6 + 5 + 1) ( 1 x x x ) 4 () ( x 1) ( x 1) (4) (x + 5x) ( x + 5) 1
家庭作業 1. 求下列各除法運算的商式及餘式 : 1 (9x + 18x+ 8) (x+ 4) (7x + 11x ) (x+ ) ( x + 1) ( x 1) 4 ( x + x 1) ( x 5) 5 6 4 ( x + x x+ 4) ( x + x ) 4 ( x + 1) ( x 1). 已知 x 6x + 1 ( ax + )( x x + ) + 1, 求 a 的值. 已知某多項式除以 ( x 1), 可得商式 ( x x + 1), 餘式, 求此多項式 4. 已知 4x 1x + k 可被 (x + 1) 整除, 求 k 的值 5. 已知一長方體的體積為 x + 4x + x 6 長為 x + 且寬為 x +, 求此長方體的高 14