M933( 研 -9-008) 大學入學考試中心指定科目考試研究用試卷 數學考科 ( 卷 ) 試題第一部份 作答時間 :40 分鐘作答方式 : 選擇題用 B 鉛筆在 答案卡 上作答, 修正時應以橡皮擦拭, 切勿使用修正液 非選擇題用黑色或藍色原子筆, 直接作答於試題所標示的答案欄內 祝考試順利 本試卷之著作權屬於財團法人大學入學考試中心基金會 本試卷 ( 含參考答案 ) 預定於 9 年 5 月 9 日公布在大考中心網站 http://www.ceec.edu.tw
第 頁 M933 共 6 頁 ( 卷 ) 壹 單選題 說明 : 此部分選出最適當的一個選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 0 點, 答錯不倒扣 ( x ) y. 設 k > 4, 且橢圓 Γ : + = 有一個焦點落在原點上 今以原點為中 k 4 心, 將橢圓 Γ 依逆時針方向旋轉 45 角 旋轉後另一個焦點所在位置的 Y 座 標是多少? () ()4 (3) (4) (5) 5 貳 多重選擇題 說明 : 第 -5 題, 每題有 5 個選項, 其中至少有一個選項是正確的 請選出正確選項, 標示在答案卡之 解答欄 每題各選項獨立計分, 每答對一個選項, 可得 點 ; 每答錯一個選項, 倒扣 點, 完全答對得 0 點 整題未作答者, 不給分亦不扣分 若在備答選項以外之區域劃記, 一律倒扣 點. 假設 A 和 B 兩個球的球心在同一個點, 但球 B 的半徑是球 A 半徑的兩倍 假 設空間上的一個平面 E 和球 A 相交的圓的面積為 0 ( 為圓周率 ) 則平面 E 和球 B 相交的圓的面積可能為以下哪些數? () 30 () 50 (3) 00 (4)00 (5) 0 + 00
第 頁 M933 共 6 頁 ( 卷 ) 3. 有一種小鋼珠遊戲其圖如下, 假設小鋼珠到達每一結點時, 其往左下走或右 下走的機率各為, 若只投一球, 下列哪些敘述是對的? () 落入 B C E 區的機率相等 () 落入 A 區的機率大於落入 B 區的機率 (3) 落入 B 區的機率大於落入 C 區的機率 (4) 落入 B 區的機率與落入 D 區的機率相等 (5) 落入 C 區的機率與落入 E 區的機率相等 E D B C A 4. 設 a 為一個實數, 考慮方程組 (3 - a)x + ( - a)y + z = a ( - a)x + ( - a)y + z = x + y + ( - a)z = 下列敘述何者正確? () 當 a = 時, 方程組有無窮多組解 () 當 a = 3 時, 方程組無解 (3) 當 a 3 時, 方程組至少有一組解 (4) 當 a 且 a 3 時, 方程組有唯一一組解 (5) 當 < a < 3 時, 方程組有唯一一組解 (x, y, z) 滿足 x + y + z >
第 3 頁 M933 共 6 頁 ( 卷 ) 5. 設 p, q 為正實數, 若 p log q = log ( p q) p, q 滿足下列哪些關係? () log0 q = log0p () p + q = pq (3) log 0 p < 0 (4) p + q = + 5 log0 00 000 + =, (5) q p = 5 參 選填題 說明 : 以下二題為選填題, 每題 0 點 答案寫在所標示的列號內, 依序將答案寫在答案紙之答案欄內, 若未書寫在答案欄者, 恕不計分 A. 空間中平面 E 的方程式為 : x + y + z = 令 為平面 E 和 xy - 平面相交的直線 () 平面 E 與 Z 軸的交點 P 的座標為 ( 6, 7, 8 ) () 直線 與 x 軸 y 軸的交點分別為 A B 兩點, 線段 AB 的中點 C 的座 標為 ( 9, 0, ) (3) 假設 Q 點座標為 (0,0,5), 則 PCQ 夾角 α 的餘弦值 cos α = 0. ( 取最接近一位的小數 ) ( 本題如需用到 以.4 計算 )
第 4 頁 M933 共 6 頁 ( 卷 ) B. 若方程組 x + y + z = x + 3y + z = 7 x + y + z = a 3 4 恰有一組解 (x, y, z), 則 a = C. 在一個袋子內放進兩個 號球, 兩個 號球 假設從袋中抽出兩球, 這兩球 同號的機率是 5 這兩球號碼不同的機率是 7 6 8
第 5 頁 M933 共 6 頁 ( 卷 ) ( 卷 ) 試題第二部份 說明 : 此大題為計算證明題, 共兩題, 請在各試題之答案欄作答, 請盡量作答 第一題某公司的客機只有經濟艙 機艙中有兩個走道, 走道之間每排有四個座位, 而走道外側每排各有兩個座位 為了方便乘客找到自己的位置, 奇數號的位置在一邊, 偶數號的位置在另一邊 ( 如下圖 ) 窗 窗 3 走 5 7 8 6 走 4 道 道 9 3 5 6 4 0 窗 窗 由於每排有 8 個位置, 你可以發現不管你坐在哪個位置, 坐在你前面或後面的人的座位號碼一定和你相差 8 號 () 小潘第一次搭飛機, 他希望能坐在靠窗的位置欣賞窗外風光 他的座位號碼是 54 號, 請問他是不是坐在窗邊? ( 應說明理由 ) () 小明 小文和小華三人是好朋友, 他們希望坐在一起, 也就是能坐在同一排而且中間不要夾著別人 ( 若只是隔個走道沒有關係 ) 他們的座位號碼是 373 375 376 號, 請問他們有沒有坐在一起? ( 應說明理由 ) (3) 小張最近認識一位筆友, 他很想知道這位筆友什麼時候生日, 可是筆友卻一直保密不肯告訴他 直到今年 (004 年 )4 月 日 ( 星期五 ) 那天, 他接到筆友的 email, 上面寫著 : 我最希望生日能在星期六了, 因為第二天不必上課, 生日那天可以好好玩個通宵 如果今年不是閏年的話, 我的生日 4 日那天就是星期六了 可惜今年碰到閏年, 害我還得多等好幾年, 才能在星期六過生日 雖然, 筆友沒提到他的生日在幾月, 但是小張卻發現可以用類似前面兩題的方法, 算出這位筆友的生日 (a) 請問這位筆友的生日是星期幾? (b) 請算出這位筆友的生日在幾月? (c) 這位筆友要等幾年才可以在星期六過生日? ( 應寫出計算過程否則不予計分 )
第 6 頁 M933 共 6 頁 ( 卷 ) 第二題已知 3 sin A + cos A = sin 004 () 若 80 < A < 70, 求角 A 的角度 () 若 70 < A < 360, 求角 A 的角度
M933( 研 -9-008) 大學入學考試中心指定科目考試研究用試卷 數學考科 ( 卷 ) 試題第一部份 作答時間 :40 分鐘作答方式 : 選擇題用 B 鉛筆在 答案卡 上作答, 修正時應以橡皮擦拭, 切勿使用修正液 非選擇題用黑色或藍色原子筆, 直接作答於試題所標示的答案欄內 祝考試順利 本試卷之著作權屬於財團法人大學入學考試中心基金會 本試卷 ( 含參考答案 ) 預定於 9 年 5 月 9 日公布在大考中心網站 http://www.ceec.edu.tw
第 頁 M933 共 6 頁 ( 卷 ) 壹 單選題 說明 : 第 至 題, 每題選出最適當的一個選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 0 點, 答錯不倒扣. 設 0 x, 0 < k < 是一個常數 已知 y = k 和 y = sin x 的圖形交於兩 點, 此二點的 x 座標和為 () 0 () (3) 3 (4) (5). 座標平面上有一圓 C : (x - 7) + ( y 8) = 6, 此圓上與原點的距離為整數值的點有多少個? () ()4 (3)6 (4)8 (5)0
第 頁 M933 共 6 頁 ( 卷 ) 貳 多重選擇題 說明 : 第 3-6 題, 每題有 5 個選項, 其中至少有一個選項是正確的 請選出正確選項, 標示在答案卡之 解答欄 每題各選項獨立計分, 每答對一個選項, 可得 點 ; 每答錯一個選項, 倒扣 點, 完全答對得 0 點 整題未作答者, 不給分亦不扣分 若在備答選項以外之區域劃記, 一律倒扣 點 3. 假設 A 和 B 兩個球的球心在同一個點, 但球 B 的半徑是球 A 半徑的兩倍 假 設空間上的一個平面 E 和球 A 相交的圓的面積為 0 ( 為圓周率 ) 平面 E 和球 B 相交的圓的面積可能為以下哪些數? () 8 () 30 (3) 40 (4) 80 (5) 00 4. 設 p, q 為正實數, 若 p log q = log ( p q) () log0 p = log0q () p = q (3) p = q 3 (4) p = p + q (5) p + q = pq log0 00 000 + =, p, q 滿足下列哪些關係?
第 3 頁 M933 共 6 頁 ( 卷 ) 5. 有一種小鋼珠遊戲其圖如下, 每次投一球 假設小鋼珠到達每一結點時, 其 往左下走或右下走的機率各為, 下列哪些敘述是對的? () 若只投一球, 則落入 A 區的機率大於落入 B 區的機率, 且落入 B 區 的機率大於落入 C 區的機率 () 若只投一球, 則落入 B 區的機率與落入 D 區的機率相等 (3) 若只投一球, 則落入 C 區的機率與落入 E 區的機率相等 3 (4) 若投入兩球, 則兩球落入 A B C 三區中同一區的機率是, 落入不同 8 5 區的機率是 8 (5) 若投入兩球, 且此二球落入 C 區, 則此二球會落入同一點的機率和落 入不同點的機率相同 E D B C A
第 4 頁 M933 共 6 頁 ( 卷 ) 6. 空間中平面 E 的方程式為 : x + y + z =, 假設此平面和 xy - 平面所夾角度為 θ 又令 為平面 E 和 xy - 平面相交的直線, 以 為軸平面 E 旋轉適當角度 θ 後所得的新平面 F 通過 (0,0,) 下列何者正確? () 平面 E 和平面 F 之法向量夾角為 θ () cosθ > 0. 6 (3) cosθ > 0. 9 (4) cos( θ +θ ) 0. 3 (5) θ > θ > 參 選填題 說明 : 下題為選填題, 每格 點 答案寫在所標示的列號內, 依序將答案寫在答案紙之答案欄內, 若未書寫在答案欄者, 恕不計分 () 在一個袋子內放進兩個 號球, 兩個 號球 假設從袋中抽出兩球, 這兩球同號的機率是 7, 這兩球號碼不同的機率是 9 8 0 () 在一個袋子內放進三個 號球, 三個 號球, 三個 3 號球 假設從袋 中抽出三球, 這三球同號的機率是 p, 這三球號碼都不一樣的機率是 q 下列 p 與 q 的關係, 哪一個正確? () p>q () p=q (3) p<q
第 5 頁 M933 共 6 頁 ( 卷 ) (3) 現在有黑桃 紅心 方塊 梅花四種花色的撲克牌 6 張, 每種花色 四張, 點數分別是 A,,3,4 假設從中抽出四張牌 比較這四 張牌 點數都相同的機率 P 和 點數都不相同( 分別為 A,, 3,4) 的機率 Q 的大小 下列 P 與 Q 的關係, 哪一個正確? () P>Q () P<Q (3) P=Q (4) 現在有黑桃 紅心 方塊 梅花四種花色的撲克牌 6 張, 每種花色 四張, 點數分別是 A,,3,4 假設從中抽出四張牌, 比較這四 張 點數都相同的機率 P 和 是同花順 ( 也就是花色相同而點數分 別為 A,,3,4) 的機率 Q 的大小 下列 P 與 Q 的關係, 哪一 個正確? 3 () P>Q () P<Q (3) P=Q
第 6 頁 M933 共 6 頁 ( 卷 ) ( 卷 ) 試題第二部份 說明 : 此部份為計算證明題, 請在各試題之答案欄作答, 請盡量作答 第一題 ( x ) y 設 k > 4, 且橢圓 Γ : + = 有一個焦點落在原點上 今以原點為中 k 4 心, 將橢圓 Γ 依逆時針方向旋轉 45 角 () 旋轉後另一個焦點所在位置的 Y 座標是多少? () 旋轉後的橢圓是否通過 (-,)? ( 應說明為什麼, 否則不予計分 ) 第二題小張最近認識了一位筆友, 他很想知道這位筆友什麼時候生日, 可是筆友卻一直保密不肯告訴他 直到今年 (004 年 ) 的 4 月 日 ( 星期五 ) 那天, 他接到筆友的 email, 上面寫著 : 我最希望生日能在星期六了, 因為第二天不必上課, 生日那天可以好好玩個通宵 如果今年不是閏年的話, 我的生日 4 日那天就是星期六了 可惜今年碰到閏年, 害我還得多等好幾年, 才能在星期六過生日 雖然, 筆友沒提到他的生日在幾月, 但是小張卻發現可以, 算出這位筆友的生日 () 問這位筆友的生日是星期幾? () 請算出這位筆友的生日在幾月? (3) 這位筆友要等幾年才可以在星期六過生日? ( 應寫出計算過程否則不予計分 )
M9333( 研 -9-008) 大學入學考試中心指定科目考試研究用試卷 數學考科 ( 卷 3) 試題第一部份 作答時間 :40 分鐘作答方式 : 選擇題用 B 鉛筆在 答案卡 上作答, 修正時應以橡皮擦拭, 切勿使用修正液 非選擇題用黑色或藍色原子筆, 直接作答於試題所標示的答案欄內 祝考試順利 本試卷之著作權屬於財團法人大學入學考試中心基金會 本試卷 ( 含參考答案 ) 預定於 9 年 5 月 9 日公布在大考中心網站 http://www.ceec.edu.tw
第 頁 M9333 共 6 頁 ( 卷 3) 壹 單選題 說明 : 第 至 3 題, 每題選出最適當的一個選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 0 點, 答錯不倒扣. 某曲線如圖一, 下列哪一個值最可能是圖一陰影區域的面積? ()60 ()400 (3)430 (4)460 (5)490 圖一. 空間中平面 E 的方程式為 : x + y + z = 令 為平面 E 和 xy - 平面相交的直 線 假設平面 E 以 為軸旋轉角度 θ 後通過 (0,0,) 這個點 則 cos θ 等於多 少? 5 3 () 9 () 3 (3) 3 5 (4) 5 6 (5) 5
第 頁 M9333 共 6 頁 ( 卷 3) 3. 現在有黑桃 紅心 方塊 梅花四種花色的撲克牌 6 張, 每種花色四張, 點數分別是 A,,3,4 假設從中抽出四張牌, 比較這四張 點數都相同的機率 P 和 是同花順 ( 也就是花色相同而點數分別為 A,,3,4) 的機率 Q, 下列 P 與 Q 的關係, 哪一個正確? () Q=P () Q>P>Q (3) P=Q (4) Q>P>Q/ (5) P=Q/ 貳 多重選擇題說明 : 第 4-7 題, 每題有 5 個選項, 其中至少有一個選項是正確的 請選出正確選項, 標示在答案卡之 解答欄 每題各選項獨立計分, 每答對一個選項, 可得 點 ; 每答錯一個選項, 倒扣 點, 完全答對得 0 點 整題未作答者, 不給分亦不扣分 若在備答選項以外之區域劃記, 一律倒扣 點 4. 設 p, q 為正實數, 若 p log q = log ( p q) 係? () log0 q = log0p () p = q (3) p + q = pq (4) log 0 p < 0 (5) p > q log0 00 000 + =, p, q 滿足下列哪些關
第 3 頁 M9333 共 6 頁 ( 卷 3) 5. 如圖, 邊長為 的正立方體有八個頂點 任取其中四個不共面的頂點, 以此四頂點作為一四面體的頂點, 決定一個四面體 例如, 圖中 A C D E 構成一個四面體的頂點, 但 A B D C 則不行 考慮如此構成的所有四面體, 請選出正確的選項 () 所有四面體體積都一樣 () 至少有一個四面體的體積是 6 (3) 外觀不同的四面體至少有三種 (4) 不可能有正四面體 (5) 可以將正立方體切成六個四面體 A C B D E x y 6. 以橢圓 A: + = 8 4 左邊的焦點為軸心逆時針旋轉 45 度角 旋轉後另一個焦點所在的座標為 (a, b) 則以下哪些選項是對的? () a > b () (a, b) 這個點在第二象限 (3) 旋轉後橢圓的長軸在直線 x = y - 上 (4) 旋轉後橢圓的中心在第一象限 (5) 旋轉後的橢圓通過 ( -,0) 這個點
第 4 頁 M9333 共 6 頁 ( 卷 3) 7. 有一種小鋼珠遊戲其圖如下, 每次投一球 假設小鋼珠到達每一結點時, 其 往左下走或右 下走的機率各為, 下列哪些敘述是對的? () 若只投一球, 則落入 A 區的機率大於落入 B 區的機率, 且落入 B 區 的機率大於落入 C 區的機率 5 () 若投入兩球, 則兩球落入不同區的機率是, 落入同一區的機率是 8 (3) 若投入兩球, 則有一球在 A 區的機率是, 而有一球在 B 區的機率 6 7 是 6 (4) 若投入兩球, 且此二球皆落入 C 區, 則此二球會落入同一點的機率和 落入不同點的機率相同 3 8 (5) 若投入三球, 則三球落在不同區的機率和三球皆落在同一區的機率相同 B C A
第 5 頁 M9333 共 6 頁 ( 卷 3) 參 選填題 說明 : 此題為選填題, 每題 0 點 答案寫在所標示的列號內, 依序將答案寫在答案紙之答案欄內, 若未書寫在答案欄者, 恕不計分 A. 若方程組 x + y + z = x + 3y + z = 7 x + y + z = a 恰有一組解 (x, y, z), 則 a = 8 9
第 6 頁 M9333 共 6 頁 ( 卷 3) ( 卷 3) 試題第二部份 說明 : 此部分為計算證明題, 請在各試題之答案欄作答, 請盡量作答 第一題 小張最近認識了一位筆友, 他很想知道這位筆友什麼時候生日, 可是筆友卻一 直保密不肯告訴他 直到今年 (004 年 ) 的 4 月 日 ( 星期五 ) 那天, 他接到筆友 的 email, 上面寫著 : 我最希望生日能在星期六了, 因為第二天不必上課, 生 日那天可以好好玩個通宵 如果今年不是閏年的話, 我的生日 4 日那天就是星 期六了 可惜今年碰到閏年, 害我還得多等好幾年, 才能在星期六過生日 雖然, 筆友沒提到他的生日在幾月, 但是小張卻發現可以算出這位筆友的生 日 () 問這位筆友的生日是星期幾? ( 請說明理由 ) () 請算出這位筆友的生日在幾月?( 請說明理由 ) (3) 這位筆友要等幾年才可以在星期六過生日? ( 應寫出計算過程否則不予計分 ) 第二題 設 0 x 且 x, k > 是一個常數 () 已知 y = 和 y = sin x 的圖形交於兩點, 証明此二點的 x 座標和為 k () 利用上題試証滿足 sec x = k tanx 的兩個根的和為 (3) 求滿足方程式 tan x - k tan x + = 0 的所有 x 值的和 ( 應寫出計算過程否則不予計分 )
M9334( 研 -9-008) 大學入學考試中心指定科目考試研究用試卷 數學考科 ( 卷 4) 試題第一部份 作答時間 :40 分鐘作答方式 : 選擇題用 B 鉛筆在 答案卡 上作答, 修正時應以橡皮擦拭, 切勿使用修正液 非選擇題用黑色或藍色原子筆, 直接作答於試題所標示的答案欄內 祝考試順利 本試卷之著作權屬於財團法人大學入學考試中心基金會 本試卷 ( 含參考答案 ) 預定於 9 年 5 月 9 日公布在大考中心網站 http://www.ceec.edu.tw
第 頁 M9334 共 6 頁 ( 卷 4) 壹 單選題 說明 : 第 至 題, 每題選出最適當的一個選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 0 點, 答錯不倒扣. 某曲線如圖一, 下列哪一個值最可能是圖一陰影區域的面積? ()60 ()400 (3)430 (4)460 (5)490 圖一. 一袋內放著兩個 號球, 兩個 號球以及兩個 3 號球, 若在袋中抽出兩球則 下列有關於抽中兩個都是 號球的機率, 哪一敘述是正確的? () 號碼共有三組, 選出一組, 所以機率是 3 () 樣本空間是 { 兩個球都是 號, 兩個球都是 號, 兩個球都是 3 號, 一 個 號一個 號, 一個 號一個 3 號, 一個 號一個 3 號 } 有 6 個元 素, 故抽到兩個都是 號球的機率是 6 (3) 若是抽到不同號, 則有順序的關係, 因此樣本空間是 {(,),(,), (3,3),(,),(,),(,3),(3,),(,3),(3,)} 有 9 個元素, 故抽到兩 個都是 號球的機率是 9 (4) 若兩球同時抽出, 則 () 是對的, 若是兩球是分開抽出, 則 (3) 是對 的 (5) 可將袋中六個球視為號碼皆相異, 而對應到兩個都是 號球的情況有 種, 故抽到兩個都是 號球的機率是 6 C = 5
第 頁 M9334 共 6 頁 ( 卷 4) 貳 多重選擇題 說明 : 第 3-7 題, 每題有 5 個選項, 其中至少有一個選項是正確的 請選出正確選項, 標示在答案卡之 解答欄 每題各選項獨立計分, 每答對一個選項, 可得 點 ; 每答錯一個選項, 倒扣 點, 完全答對得 0 點 整題未作答者, 不給分亦不扣分 若在備答選項以外之區域劃記, 一律倒扣 點 3. 某公司的客機只有經濟艙 機艙中有兩個走道, 走道之間每排有四個座位, 而走道外側每排各有兩個座位 為了方便乘客找到自己的位置, 奇數號的位 置在一邊, 偶數號的位置在另一邊 ( 如下圖 ) 窗 窗 3 走 5 7 8 6 走 4 道 道 9 3 5 6 4 0 窗 窗 由於每排有 8 個位置, 你可以發現不管你坐在哪個位置, 坐在你前面或後面的人的座位號碼一定和你相差 8 號 下列哪些是正確的? () 小潘的座位號碼是 54 號, 他的位置靠窗 () 小潘的座位號碼是 54 號, 他的位置不靠窗 (3) 小明 小文和小華三人的座位號碼是 373 375 376 號, 他們坐在一起, 也就是能坐在同一排而且中間不要夾著別人 ( 若只是隔個走道沒有關係 ) (4) 小明 小文的座位號碼是 373 375 號, 他們坐在一起但隔著走道 (5) 小文和小華的座位號碼是 375 376 號, 他們坐在一起但隔著走道
第 3 頁 M9334 共 6 頁 ( 卷 4) ( x ) y 4. 設 k > 4, 且橢圓 Γ : + = 有一個焦點落在原點上 今以原點為中心, k 4 將橢圓 Γ 依逆時針方向旋轉 45 角 設旋轉後另一個焦點所在位置的座標為 (a, b), 問下列哪些選項是正確的? () k = 8 () a < b (3) b = (4) 旋轉後橢圓的短軸在直線 x + y = 上 (5) 旋轉後的橢圓通過 (-,) 5. 假設 A 和 B 兩個球的球心在同一個點, 但球 B 的半徑是球 A 半徑的兩倍 假 設空間上的一個平面 E 和球 A 相交的圓的面積為 0 ( 為圓周率 ) 則平面 E 和球 B 相交的圓的面積有可能等於以下哪幾個數? () 8 () 30 00 (3) 0 (4)00 (5) 0 + 00
第 4 頁 M9334 共 6 頁 ( 卷 4) 6. 有一種小鋼珠遊戲其圖如下, 每次投一球 假設小鋼珠到達每一結點時, 其 往左下走或右下走的機率各為, 下列哪些敘述是對的? () 若只投一球, 則落入 A 區的機率大於落入 B 區的機率, 且落入 B 區 的機率大於落入 C 區的機率 () 若只投一球, 則落入 B 區的機率與落入 D 區的機率相等 (3) 若只投一球, 則落入 C 區的機率與落入 E 區的機率相等 3 (4) 若投入兩球, 則兩球落入 A B C 三區中同一區的機率是, 落入不同 8 5 區的機率是 8 (5) 若投入兩球, 且此二球落入 C 區, 則此二球會落入同一點的機率和落 入不同點的機率相同 E D B C A
第 5 頁 M9334 共 6 頁 ( 卷 4) 7. 如圖, 邊長為 的正立方體有八個頂點 任取其中四個不共面的頂點, 以此四頂點作為一四面體的頂點, 決定一個四面體 例如, 圖中 A C D E 構成一個四面體的頂點, 但 A B D C 則不行 考慮如此構成的所有四面體, 請選出正確的選項 () 所有四面體體積都一樣 () 至少有一個四面體的體積是 6 (3) 外觀不同的四面體至少有三種 (4) 不可能有正四面體 (5) 可以將正立方體切成六個四面體 A C B D E 參 選填題 說明 : 下題為選填題, 每題 0 點 答案寫在所標示的列號內, 依序將答案寫在答案紙之答案欄內, 若未書寫在答案欄者, 恕不計分 A. 空間中平面 E 的方程式為 : x + y + z = 令 為平面 E 和 xy - 平面相交的直線 假設平面 E 以 為軸旋轉角度 θ 後通過 Q (0,0,5) 這個點, 則 cos θ = 0. 8 ( 取最接近一位的小數 ) ( 本題如需用到 以.4 計算 )
第 6 頁 M9334 共 6 頁 ( 卷 4) ( 卷 4) 試題第二部份 說明 : 此大題為計算證明題, 請在各試題之答案欄作答, 請盡量作答 第一題 設 p, q 為正實數, 若 p log q = log ( p q) ( 應寫出計算過程否則不予計分 ) 第二題 log0 00 000 + 設 0 x 且 x, k > 是一個常數 =, 則 q 等於多少? p () 已知 y = 和 y = sin x 的圖形交於兩點, 証明此二點的 x 座標和為 k () 利用上題試証滿足 sec x = k sin x 的兩個根的和為 (3) 求滿足方程式 tan x + k tan x + = 0 的所有 x 值的和 ( 應寫出計算過程否則不予計分 )
M933( 研 -9-008) 93 學年度研究試題測試 數學考科 ( 卷一 ) 參考答案 一 選擇題答案 題號答案 4 345 3 45 4 345 5 4 6 0 7 0 8 9 0 0 9 3 4 6 5 6 3 7 8 3
二 非選擇題參考答案 : 卷一第一題題號 解答 () 靠窗者其座號除以 8 需餘 或. 而 54=64*8+ 故靠窗 () 373 375 376 除以 8 各餘 5,7,0(8 亦可 ) 故三人坐在同一排且相連的位置 (3) 之 (a) 今年非閏年, 生日是星期六, 但今年是閏年多一天, 所以其生日應為星期日 (3) 之 (b) 4 月 日與 4 月 4 日相差 天, 又 除以 7 餘, 故 4 月 4 日為星期六 4 月 4 日與 5 月 4 日相差 30 天, 又 30 除以 7 餘 故 5 月 4 日為星期一 依此推算若隔大月則加 3, 小月則加 故 6 月 4 日須加 3, 即 +3=5; 7 月 4 日須加, 即 5+=7; 8 月 4 日須加 3, 即 3+3=6; 9 月 4 日須加 3, 即 3+3=6; 0 月 4 日須加, 即 6+=8, 除以 7 餘 ; 故 0 月 4 日為星期日 ; 月 4 日為星期三 ; 月 4 日為星期五 反之 3 月 4 日為星期三 ; 月 4 日為星期二 ; 月 4 日為星期六 故今年只有 0 月 4 日在星期日, 得知筆友的生日在 0 月 (3) 之 (c) 若不是閏年一年有 365 天, 365 除以 7 餘, 不過每四年有一閏年, 故到 008 年時, 應加 5 天 ( 即星期五 ) 因此得等到 009 年 0 月 4 日才會是星期六, 也就是還得等 5 年 卷一第二題題號解答 () 若 80 < A < 70, 則 0 < A + 30 < 300 因 sin 004 = sin 04 = sin 336, 所以 A 無解 () 若 70 < A < 360, 則 300 < A + 30 < 390 在此範圍內, A + 30 = 336, 所以 A = 306
M933( M933( 研 -9-008) 93 學年度研究試題測試 數學考科 ( 卷二 ) 參考答案 一 選擇題答案 題號答案 3 3 3 345 4 345 5 345 6 34 7 8 3 9 0 3 3 3 3
二 非選擇題參考答案 : 卷二第一題題號解答 () 橢圓為中心為 (,0) 焦點到中心的距離為 因此 k = + 4 = 8, 另一個焦點的座標為 ( 4,0) 以原點為中心, 逆時針轉 45 之後, 另一個 () 焦點的座標為 (, ) 將點 (-,) 順時針轉 45 後, 得點 ( 0, ) 將 ( ) 0, 代入 ( x ) y Γ : +, 得值為, 所以旋轉後的點通過 (-,) 8 4 卷二第二題題號解答 () 今年非閏年, 生日是星期六, 但今年是閏年多一天, 所以其生日應為星期日 () 4 月 日與 4 月 4 日相差 天, 又 除以 7 餘, 故 4 月 4 日為星期六 4 月 4 日與 5 月 4 日相差 30 天, 又 30 除以 7 餘 故 5 月 4 日為星期一 依此推算若隔大月則加 3, 小月則加 故 6 月 4 日須加 3, 即 +3=5; 7 月 4 日須加, 即 5+=7; 8 月 4 日須加 3, 即 3+3=6; 9 月 4 日須加 3, 即 3+3=6; 0 月 4 日須加, 即 6+=8, 除以 7 餘 ; 故 0 月 4 日為星期日 ; 月 4 日為星期三 ; 月 4 日為星期五 反之 3 月 4 日為星期三 ; 月 4 日為星期二 ; 月 4 日為星期六 故今年只有 0 月 4 日在星期日, 得知筆友的生日在 0 月 (3) 若不是閏年一年有 365 天, 365 除以 7 餘, 不過每四年有一閏年, 故到 008 年時, 應加 5 天 ( 即星期五 ) 因此得等到 009 年 0 月 4 日才會是星期六, 也就是還得等 5 年
M9333( M933( 研 -9-008) 93 學年度研究試題測試 數學考科 ( 卷三 ) 參考答案 一 選擇題答案 題號答案 3 3 3 4 3 5 35 6 35 7 34 8 9 6
二 非選擇題參考答案 : 卷三第一題 題號 () () (3) 解答今年非閏年, 生日是星期六, 但今年是閏年多一天, 所以其生日應為星期日 4 月 日與 4 月 4 日相差 天, 又 除以 7 餘, 故 4 月 4 日為星期六 4 月 4 日與 5 月 4 日相差 30 天, 又 30 除以 7 餘 故 5 月 4 日為星期一 依此推算若隔大月則加 3, 小月則加 故 6 月 4 日須加 3, 即 +3=5; 7 月 4 日須加, 即 5+=7; 8 月 4 日須加 3, 即 3+3=6; 9 月 4 日須加 3, 即 3+3=6; 0 月 4 日須加, 即 6+=8, 除以 7 餘 ; 故 0 月 4 日為星期日 ; 月 4 日為星期三 ; 月 4 日為星期五 反之 3 月 4 日為星期三 ; 月 4 日為星期二 ; 月 4 日為星期六 故今年只有 0 月 4 日在星期日, 得知筆友的生日在 0 月若不是閏年一年有 365 天, 365 除以 7 餘, 不過每四年有一閏年, 故到 008 年時, 應加 5 天 ( 即星期五 ) 因此得等到 009 年 0 月 4 日才會是星期六, 也就是還得等 5 年
卷三第二題 題號 解答 () 設 y = 交 = sin x, ( 0 x ); k 可得 x y 於 ( x ), ( x ), 兩點, k, k x, x, 則 sin x = sinx x = x 0 + x = () 因假設 x, cos x 0 sin x sec x = k tan x = k = sin x cos x = sin x cos x cos x k (3) 因此滿足 sec x = k tan x 之兩個根 x, x, 即滿足 = sinx 之兩根 k ( 由 () 知 ) x + x = ( 法一 ) tan x k tan x + = 0 sec x = k tan x 因此滿足 tan x k tan x + = 0 之 x, x, 即為滿足 sec x = k tan x 之兩根, 由 () 知 x + x = ( 法二 ) 設滿足 tan x k tan x + = 0 之 x 值為 x, x, 則 tanx + tanx = k, tanx tanx = tanx = cotx 0 x, x x + x =
M9334( M933( 研 -9-008) 93 學年度研究試題測試 數學考科 ( 卷四 ) 參考答案 一 選擇題答案 題號答案 3 5 3 3 4 345 5 345 6 345 7 35 8 9 二 非選擇題參考答案 : 卷四第一題 解答 0 = 00 log000 所以 q p, p + q = p 3 + 5 q + 5 解之得 P =, 故 = P = p 因 log P log q = ( p + q) = P ( P P ) = 0
卷四第二題 : 題號 解答 () 設 y = 交 = sin x, ( 0 x ); k 可得 x y 於 ( x ), ( x ), 兩點, k, k x, x, 則 sin x = sinx x = x 0 + x = () 因假設 x, cos x 0 sin x sec x = k tan x = k = sin x cos x = sin x cos x cos x k (3) 因此滿足 sec x = k tan x 之兩個根 x, x, 即滿足 = sinx 之兩根 k ( 由 () 知 ) x + x = t 為 t + kt + = 0 之二根 若 = tan x, t = tan x 則 t + t = k < 0, t = 由此推得 因此 t 故 t <, t 0 <, < < x x < 0 < 又 tan x tan x = tan x = cot x 3 3 + x 滿足 tan x + k tan x + = 0 之 x 值的和為 x =