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1 編者序言 大學甄選入學名額逐年增加, 指考分發名額遞減, 已成大學入學的趨勢, 想挺進熱門校系, 頂尖大學的指考名額都減少,0 學年度清大 交大提供七成的入學名額給學測考試, 只剩三成左右留給指考分發, 台大也只剩五成左右的名額給指考分發, 理組考生在熱門校系的競爭會更白熱化 因此, 一定要好好準備學測, 爭取甄選入學的機會, 志在台大的考生, 千萬要加強數學 因為台大所有的系, 包括中文和外文系, 都採計指考數乙成績 也有學生覺得學測考不好, 何不放棄來拼指考, 建議同學絕對不要放棄以學測成績申請大學, 因為不少科系年年都增加個人申請的名額, 尤其是第二類組, 例如清大和交大電機系, 高醫醫學系也從今年開始幾近八成的名額給學測, 至於台大電機 土木及材料等三系, 名額也逾 70%, 台大醫學系 法律系及牙醫系, 則仍較喜歡以學測來招生, 保留 80% 名額給大學學測 個人申請名額大增除表示考生機會增加, 更顯示指考名額減少, 競爭會更激烈 征服學測, 是十幾萬個考生的共同心願, 數學又是決定勝負的重要關鍵科目中的關鍵科目 今年學測數學科首度以 99 課綱命題, 雖然這幾年平均難易度年數比為 :, 但同學千萬不可掉以輕心, 因為今年有許多頂尖學校科系, 釋放更多名額加上有些學校亦以學測成績作為篩選條件, 所以鑑別度應會納入命題者的考慮範圍內, 雖然舊課綱內有些內容已被刪減, 但若要鑑別同學程度, 亦會往應用問題方向作為命題準則, 在得分上若沒有相當觀念做背景的同學亦不易拿高分, 計算部份須逐式寫完驗算, 畢竟算錯不如不要算 這是筆者在考前給同學所作的分析, 觀看 0 年學測試題果然如筆者所料, 鑑別度大大提高, 頂標至少掉兩個級分以上, 再送給高二升高三同學, 思考每一道試題之命題精神與解題要領提升數學功力共勉之 編者謹致

2 八十八學年度學科能力測驗試題八十九學年度學科能力測驗試題九十學年度學科能力測驗試題九十一學年度學科能力測驗試題九十一學年度學科能力測驗試題 ( 補 ) 九十二學年度學科能力測驗試題九十三學年度學科能力測驗試題九十四學年度學科能力測驗試題九十五學年度學科能力測驗試題九十六學年度學科能力測驗試題九十七學年度學科能力測驗試題九十八學年度學科能力測驗試題九十九學年度學科能力測驗試題一百學年度學科能力測驗試題一百零一學年度學科能力測驗試題一百零二學年度學科能力測驗試題

3 大學入學考試中心八十八學年度學科能力測驗試題 數學考科 作答注意事項 考試時間 :00 分鐘 題型題數 : 單一選擇題 題題型題數 : 多重選擇題 7 題題型題數 : 填充題 0 題 作答方式 : 用 B 鉛筆在 答案卡, 修正時應以橡皮擦拭, 切勿使用修正液作答方式 : 答錯不倒扣 試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 - - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

4 第一部分選擇題 壹 單一選擇題 說明 : 第 至 題, 每題選出最適當的一個選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 答錯不倒扣 00 ( ). 下列何者是 除以 0 的餘數? ( ) (A)0 (B) (C)4 (D)6 (E)8 ( ). 下列五個數中, 何者為最小? ( ) (A) (B) ( ) 8 (C) 4 (D) ( ) (E) 8 ( ). 圖 為一正立方體,A,B,C 分別為所在的 ( ). 邊之中點, 通過 A,B,C 三點的平面與此立 ( ). 方體表面相截, 問下列何者為其截痕的形狀? ( ) (A) 直角三角形 (B) 非直角的三角形 ( ) (C) 正方形 (D) 非正方形的長方形 ( ) (E) 六邊形 貳 多重選擇題 : 說明 : 第 4 至 0 題, 每題至少有一個選項是正確的, 選出正確選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 說明 : 答錯不倒扣, 未答者不給分, 只錯一個可獲.5 分, 錯兩個或兩個以上不給分 ( )4. 設 ABC 的三頂點 A,B,C 所對邊的邊長分別為 a,b,c, AH 為高, 則 AH 之長為 : (A) b sin B (B) c sin C (C) b sin C (D) c sin B (E) a sin A ( )5. 試選出正確的選項 : ( )5 (A) 0.4 不是有理數 (B) 0.4 > (C) 0.4 > 0. 4 ( ) 5 (D) 0.4 < 0. 5 (E) 0.4 = 0.4 ( )6. 三次方程式 x + x x = 0 在下列那些連續整數之間有根? ( )5 (A) 與 之間 (B) 與 0 之間 ( )5 (D) 與 之間 (E) 與 之間 (C)0 與 之間 ( )7. 關於橢圓 Γ : ( x ) + ( y ) + ( x + ) + ( y + ) = 6, 下列何者為真? ( )7 (A)(0,0) 是 Γ 的中心. (B)(,),(, ) 為 Γ 的焦點 ( )7 (C) Γ 的短軸為 4 (D) Γ 對稱於直線 x=y ( )7 (E) Γ 對稱於 (,) 與 (, ) 的連線 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 - - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

5 a a a ( )8. 下列各選項中的行列式, 那些與行列式 b b b a a a ( )8 (A) c c c b b b a a a c c c a (B) a a b b 相等? ( ) 8(C) b c b c b c (D) b c b c b c ( )8(E) b b b c c c a a a c c c b c c c a a a c c c ( )9. 測量一物件的長度 9 次, 得其長 ( 公尺 ) 為.4,.46,.4,.45,.44,.48,.46,.47, ( )9..45 將上面的數據每一個都乘以 00, 再減去 40 得一組新數據為,6,,5,4,8,6, 7,5, 問下列選項, 何者為真? ( ) (A) 新數據的算術平均數為 5 (B) 新數據的標準差為 ( ) (C) 原數據的算術平均數為.45 (D) 原數據的標準差為 0. ( ) (E) 原數據的中位數為.45 ( )0. 圖 為一正方體, 試問下列何者為真? ( ) (A) EA EG = 0 (B) ED EF = 0 ( )0 ( ) (C)EF + EH = AC (D) EC AG = 0 ( )0 ( ) (E) EF + EA+ EH = EC 第二部分 : 填充題 說明 : 第 A 至 J 題, 將答案標示在答案卡之 解答欄, 每題完全答對給 5 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 一個正三角形的面積為 6, 今截去三個角,( 如圖 ), A. 使成為正六邊形, 此正六邊形的面積為 B. 本金 00 元, 年利率 6%, 每半年複利一次, 五年期滿, B. 共得本利和為 元 ( 元以下四捨. 五入 ) C. 一位海盜將三件珠寶埋藏在一個島上的三個地方, 海盜就以島上的一棵大王椰子樹為中心, 由 A. 大王椰子樹向東走 步埋他的第一件珠寶 ; 由大王椰子樹向東走 4 步, 再往北走 a 步埋他的 A. 第二件珠寶 ; 最後由大王椰子樹向東走 a 步, 再往南走 8 步埋他的第三件珠寶 事隔多年之後, A. 海盜僅記得 a>0 及埋藏珠寶的三個地方在同一直線 那麼 a= ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 - - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

6 π D. 設 0 < θ <, 且 + 為 x (tanθ + cotθ ) x + = 0 的一根, 則 tan θ = 4 E. 有一輪子, 半徑 50 公分, 讓它在地上滾動 00 公分的長度, 問輪子繞軸轉動 度 5 ( 度以下四捨五入 ) F. 在 ABC 中, 已知 C = 60, AC = 000 公尺, BC = 000 公尺, 則 A 為 度 5 ( 度以下四捨五入 ) ( 參考資料 :.7, 7.646, ) G. 袋子裡有 個球, 個球上標 元, 個球上標 5 元 從袋中任取 個球, 即可得到兩個球所標錢數的總和, 則此玩法所得錢數的期望值是 元 H. 有一片長方形牆壁, 尺寸 ( 即 : 長 單位長, 寬 單位長 ), 若有許多白色及咖啡色壁 H. 磚, 白色壁磚尺寸為, 咖啡色壁磚尺寸為 4, 用這些壁磚貼滿此長方形, 問可貼成幾 H. 種不同的圖案? 種 I. 擲 粒公正骰子, 問恰好有兩粒點數相同的機率為 J. 在空間中, 連接點 P(,,) 與點 Q(4,5,5) 的線段 PQ 之垂直平分面為 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

7 常用對數表及三角函數表 b ± b 4ac. 一元二次方程式的公式解 : x = a y y. 通過 ( x, y) 與 ( x, y ) 的直線斜率為 m = x x n. 等比級數 < ar > 的前 n 項之和 n n r a ar 當 r 時 Sn = a = 當 r= 時 Sn r r r = na 4. ABC 的正弦及餘弦定理 : a b c 4 () = = = d,d 為外接圓直徑 ( 正弦定理 ) sin A sin B sin C 4 () c = a + b abcosc ( 餘弦定理 ) n 5. 統計公式 : 算術平均數 M ( = X ) = ( x + x + + x ) = n n n n 5. 統計公式 : 標準差 S = ( xi X ) = x n n i= i= i n x i i= X 6. 常用對數表 = log x y 0 x 註 :. 表中所給的對數值為小數點後的值 表尾差 註 :. 表中最左欄的數字表示 x 的個位數及小數點後第一位, 最上一列的數字表示 x 的小數點後第二位 7. 三角函數表 : 角度 sin Cos 角度 sin Cos 角度 sin Cos ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

8 ================= 八十八年答案 ===================== 第一部分 壹 單一選擇題 選擇題. D. E. D 貳 多重選擇題 4. CD 5. BCDE 6. ABD 7. ABCE 8. BC 9. ABCE 0. ABCE 第二部分 填充題 A. 4 B. 4 C. 6 D. E. 9 F. 4 G. 4 H. I. 5 J. x + y + z = ===================== 解析 ======================= 第一部分 選擇題 壹 單一選擇題 除以 0 之餘數即 之個位數字 5 4k + 故 = 0P + 6 4k = 0P + 4 A. 4k + 8 = 0P k 6 =0 P 得 = 其個位數為 6 餘數為 6 故選 (D) 6 4.(A) (B) ( ) = ( ) = (C) (D) ( ) = (E) > > > > 故選 (E). 任不共線三點決定唯一平面 由 B作 AC 之平行線得 BD, 如右圖 圖 為正六面體 AC // BD, AB // CD AC = BD > AB = CD CAB = ABD = BDC = DCA = 90 = ABCD 為長方形 故選 (D) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

9 貳 多重選擇題 4. 右圖中, AH = bsin C 或 csin B 故選 (C)(D) (A) 0.4 = = 為有理數 (B) = > = (C) 0.4 = > 0.4 (D) 0.4 = < 0.5 (E) = 且 0.4 = = 故選 (B)(C)(D)(E) 6. 令 f ( x) = x + x x = 0 f ( ) f ( ) < 0, f ( ) f (0) < 0, f () f () < 0 x 在區間 (, ),(,0),(, ) 有根, 且 deg f( x ) = 無其它實根故選 (A)(B)(D) 7. 令 F (, ), F(,), P( x, y) 則 PF + PF = 6 又 FF = 5 < 6 Γ 之焦點為 F, F 且 a = 6 b = a c =, 故 b = 4 中心為 F, F 之中點 (0,0) 對稱軸為 FF 即 y = x 或過中心且垂直 FF 之直線 : y = x 故選 (A)(B)(C)(E) y = x y = x a 8.(A) c b a c b a c b a c = b (B) 行 列互換其值不變 (C) 將第 列乘以 ( ) 加到第 列其值不變 (D) (E) c b c a b c 故選 (B)(C) a a b c a c b c a b c a c b c c a b c c a b c 行或列無法提出相同因數加以運算 a a a = b b b ( 行列式第, 行對調, 其值變號 ) c ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

10 9. 新數據,6,,5,4,8,6,7,5 x = ( ) = 9 (A) 5 n (B) S = ( x i x) = ( ) = n 9 i= (C) = (D) S = b S = 00S S = 0. 0 bx+ a x x x (E) 新數據之中位數為 5 原數據之中位數為.45 故選 (A)(B)(C)(E) 0.(A) EA EG EA EG = 0 0.(B) ED EF ED EF = 0 0.(C) EF + EH = EG = AC 0.(D) 四邊形 EGCA 非正方形 對角線 EC 0.(E) EF + EA+ EH = EB+ EH = EC 故選 (A)(B)(C)(E) 與 AG A E 不垂直 EC AG 0 H F D B G C 第二部分 填充題 A. 如右圖 θ = 0 ( 正六邊形 ) A = ACB = 60 AC = BC = CD = DE AC = AE ΔABC = ΔAEF 9 故 個小 Δ = ΔABC = ΔAEF 六邊形 = ΔAEF ΔABC = ΔAEF = 4 0 B. 本利和 = 00 ( + 0.0) = 00(.0) 0 log(.0) = 0log.0 = 0.8 ( 查表 ) 而 log.4 = 0. 8 ( 查表 ) 故本利和 = 00.4 = 4 元 C. 如右圖, 三點共線 0 a 8 0 = 4 a a ( a ) 64 = 0 ( a 6)( a + 4) = 0 故 a= 6, a= 4 ( 不合 ) 0 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

11 D. x (tanθ + cotθ ) x + = 0 ( x tanθ )( x cotθ ) = 0 得兩根為 tan θ, cotθ D. 又兩根積 = 一根為 + 另一根為 + = π D. 但 0< θ < cotθ > tanθ tanθ = 4 E. 由 S = rθ 00 = 50θ θ = ( 弧度 ) = 4 ( 度 ) = 9.99( 度 ) F. AB = AC + BC AC BC cos60 = = 7 AB = 7 7 = sina sin 60 sin A = 7 = 由查表知 40.5 < A < 4 故 A 4 C 60 B ( 單位 : 千公尺 ) A G. 5 共 7 元, E( x) = E( x) 取一次的期望值為元, 故取二次的期望值為 = 元 H. 設白色用 x 個, 咖啡色用 y 個, 則 x + 4y = x + y = 6 (x,y 為非負整數 ) x = 6 x = 4 5! () 種.() = 5 種 0 x 6 4 y = y = 4! y 0 x = 4! x = 0 () = 6 種.(4) 種 y =!! y = 共有 = 種圖形 0 6 5! I. 擲三粒骰子所有情形有 6 種, 其中恰有二粒相同, 如 (5,5.) 之情形有 CC = 90 種,! 90 故所求機率為 6 J. PQ 的中點為 (,,4) J. PQ = (, 4, ) / /(,,) 中垂面之法向量 J. 故所求為 x + y+ z = k, 將 (,,4) 代入得 k =,. 即 x + y + z = ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

12 大學入學考試中心八十九學年度學科能力測驗試題 數學考科 作答注意事項 考試時間 : 00 分鐘 題型題數 : 單一選擇題 7 題題型題數 : 多重選擇題 題題型題數 : 填充題 0 題 作答方式 : 用 B 鉛筆在 答案卡, 修正時應以橡皮擦拭, 切勿使用修正液作答方式 : 答錯不倒扣 試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

13 第一部分選擇題 壹 單一選擇題 說明 : 第 至 7 題, 每題選出最適當的一個選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 答錯不倒扣 ( ). 有一等腰三角形底邊為 0, 頂角 7 下列何者可以表示腰長? ( ) (A) 5 sin6 (B) 5 tan6 (C) 5 cot6 (D) 5 sec6 (E) 5 csc6 ( ). 在坐標平面上, 根據方程式 x + 5 y 7 = 0, x + y + 4 = 0, x y = 0 畫出三條直線 ( ). L, L, L, 如圖所示 試選出方程式與直線間正確的配置? ( )(A) L : x y = 0 ( ) (B) L : x y = 0; L : x + 5y 7 = 0; L : x + y + 4 = 0 ( ) (C) L : x + y + 4 = 0; L : x + 5y 7 = 0; L : x y = 0 ( ) (D) L : x y = 0; L : x + y + 4 = 0; L : x + 5y 7 = 0 ( ) (E) L x + y + 4 = 0; L : x y = 0; L : x + 5y 7 0 : = ( ). 下列五組資料 ( 每組各有 0 筆 ) ( ).A :,,,,,0,0,0,0,0 ( ).B :,,,,,5,5,5,5,5 ( ).C : 4,4,4,5,5,5,5,6,6,6 ( ).D :,,,,,,4,4,5,5 ( ).E :,,,4,5,6,7,8,9,0 ( ). 試問哪一組資料的標準差最大? ( ) (A)A (B)B (C)C (D)D (E)E ( )4. 如圖所示有 5 筆 ( X, Y ) 資料 試問 : ( ). 去掉哪一筆資料後, 剩下來 4 筆資料 ( ). 的相關係數最大? ( ) (A)A ( ) (B)B ( ) (C)C ( ) (D)D ( ) (E)E ( )5. 假設世界人口自 980 年起,50 年內每年增長率均固定 已知 987 年世界人口達 50 億,999 ( )5. 年第 60 億人誕生在賽拉佛耶 根據這些資料推測 0 年世界人口數最接近下列哪一個數? ( )5 (A)75 億 (B)80 億 (C)86 億 (D)9 億 (E)00 億 ( )6. 在 999 年 6 月 日數學家利用超級電腦驗證出 是一個質數 若想要列印出此質數 ( )6. 至少需要多少張 A4 紙? 假定每張 A4 紙, 可列印出 000 個數字 在下列選項中, 選出最接 ( )6. 近的張數 log ( )6 (A)50 (B)00 (C)00 (D)500 (E)700 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 - - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

14 ( )7. 設 P 表示丟 個公正硬幣時, 恰好出現 個正面的機率, P 表示擲 個均勻骰子, 恰好出現 個偶數點的機率, P 表示丟 4 個公正硬幣時, 恰好出現 個正面的機率 試問下列選項何者為真? ( )6(A) P = P = P (B) P = P > P (C) P = P < P ( )6(D) P = P > P (E) P > P > P 貳 多重選擇題 : 說明 : 第 8 至 0 題, 每題至少有一個選項是正確的, 選出正確選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 說明 : 答錯不倒扣, 未答者不給分, 只錯一個可獲.5 分, 錯兩個或兩個以上不給分 ( )8. 在坐標平面上, 以 (, ), (, ) 為焦點, 且通過點 (,4) 畫一雙曲線 試問此雙曲線也會通過 ( )8. 下列哪些點? ( )8 (A) (, ) (B) (,4) (C) (, ) (D) (, ) (E) (, ) ( )9. 阿山家在一條東西向馬路的北方 D 點處, 為了不同目的, 他走到馬路的路線有下列三條 : ( )9. 向南走 a 公尺到 A 點之後, 繼續向南走 a 公尺到達馬路 ; ( )9. 向東南走 b 公尺到 B 點之後, 繼續向南走 b 公尺到達馬路 ; ( )9. 向東走 c 公尺到 C 點之後, 繼續向南走 c 公尺到達馬路 ( )9. 根據上述資料, 下列選項何者為真? ( )9(A) c = a (B) a < b < c (C) b = a ( )9(D)A,B,C,D 四點共圓 (E)A,B,C 三點剛好在以 D 點為焦點的拋物線上 x ( )0. 將行列式 x x 展開得到多項式 (x) f 下列有關 f (x) 的敘述, 何者為真? ( )0 (A) f (x) 是一個三次多項式 (B) f ( ) = 0 (C) f ( ) = 0 ( )0 (D) f ( ) = 0 (E) f ( 5) = 0 第二部分 : 填充題 說明 : 第 A 至 J 題, 將答案標示在答案卡之 解答欄, 每題完全答對給 5 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 今年 ( 公元 000 年是閏年 ) 的 月 日是星期六 試問下一個 月 日也是星期六, 發生在公 A 元哪一年? 年 B. 將自然數按下列規律排列, 每一列比前一列多一個數, 如下表所示 : B 第一列 B 第二列, B 第三列 4, 5, 6 B. 第四列 7, 8, 9,0 B 第五列,,,4,5. 試問第 00 列第 個數是多少? ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 - - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

15 C. 設三次方程式 x 7x + x 0 = 0 有兩複數根 a + i, + bi, 其中 a,b 是不為 0 的實數 C 試求它的實根 D. 空間中有一直線 L 與平面 E : x + y + z = 9 垂直 試求通過點 (,,4) 且與直線 L 垂直的平面方程 D. 式 E. 在某海防觀測站的東方 海浬處有 A B 兩艘船相會之後,A 船以每小時 海浬的速度往南航 E. 行,B 船以每小時 海浬的速度向北航行 問幾小時後, 觀測站及 A B 兩船恰成一直角三角 5 形 F. 氣象局測出在 0 小時期間, 颱風中心的位置由恆春東南方 400 公里直線移動到恆春南 5 西的 F.00 公里處, 試求颱風移動的平均速度 ( 整數以下, 四捨五入 ) G. 桌面上有大小兩顆球, 相互靠在一起 已知大球的半徑為 0 公分, 小球半徑 5 公分 試求這兩 G. 顆球分別與桌面相接觸的兩點之間的距離 H. 體操委員會由 0 位女性委員與 5 位男性委員組成 委員會要由 6 位委員組團出國考察, 如以性別做分層, 並在各層依比例隨機抽樣, 試問此考察團共有多少種組成方式 I. 交通規則測驗時, 答對有兩種可能, 一種是會做而答對, 一種是不會做但猜對 已知小華練習交通規則筆試測驗, 會做的機率是 0.8 現有一題 5 選 的交通規則選擇題, 設小華會做就答對, I. 不會做就亂猜 已知此題小華答對, 試問在此條件之下, 此題小華是因會做而答對 ( 不是亂猜 ) I. 的機率是多少? ( 以最簡分數表示 ) J. 如下圖所示, 有一船位於甲港口的東方 7 公里北方 8 公里 A 處, 直朝位於港口的東方 公里北 J. 方 公里 B 處的航標駛去, 到達航標後即修正航向以便直線駛入港口 試問船在航標處的航向修正應該向左轉多少度 ( 整數以下, 四捨五入 ) A B 甲港口 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 - - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

16 參考公式及可能用到的數值. 一元二次方程式的公式解 : b ± x = b 4ac a. 通過 x, ) 與 x, ) 的直線斜率為 m = ( y ( y y x y x n n r. 等比數列 < ar > 的前 n 項之和 Sn = a, r r 4. ABC 的正弦及餘弦定理 a b c () = = = R,R 為外接圓的半徑 ( 正弦定理 ) sin A sin B sinc () c = a + b abcosc ( 餘弦定理 ) 5. 統計公式 : 算術平均數 M ( = X ) = ( x + x + + x n 標準差 S = 相關係數 r = 其中 S X n n n i= i= ( x X ) i i ( x X )( y n S X S Y = i n Y ) = n i= x i ) = n n x i n i= X n i= ( x X )( y i n n ( xi X ) i= i= 為變量 X 之標準差, S Y 為變量 Y 之標準差 6. 貝氏定理 : P( A) P( B A) P( A B) = P( A) P( B A) + P( A ) P( B A ) i Y ) ( y Y ) 7. 參考數值 :.44;.7; 5.6, 對數值 : log0 0.00, log , log , log i ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

17 ================= 八十九年答案 ===================== 第一部分 壹 單一選擇題 選擇題. E. D. A 4. D 5. C 6. E 7. B 貳 多重選擇題 8. BCD 9. ABE. 0. ABCD 第二部分 填充題 A. 005 B. 495 C. 5 D. x + y + z = 8 E. F. 7 G. 0 H. 00 I. 0 J. 45 ===================== 解析 ======================== 第一部分 選擇題 壹 單一選擇題. 頂角 BAC = 7, BC = 0 CAD = 7 = 6 0 AC = DC csc6 = ( ) csc6 = 5 csc6 故選 (E). L : 圖形由左下至右上 m > 0. L, L 圖形由左上至右下 m < 0, m 0 : < L 較 L 陡峭, 故 m < m. 但. 故 m =, m =, m = 5 L : x y = 0. 即 L : x + y + 4 = 0 故選 (D) L : x + 5y 7 = 0 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

18 55 0. SA = 505 ( ) = 0.5, SB = 0 ( ) = SC = 56 ( ) = 0.6, SD = 0 ( ) = SE = 85 ( ) = 8.5 SA > SE > SB > SD > SC 故選 (A) 因為 D (, 0) 較偏離以 A,B,C,E 為主的直線分佈軌跡上, 故去掉 D 之後, 所剩下資料之相關係數會最大 ( 如右圖 ) 故選 (D) 5. 設每年增加 a 倍人口 ( + a ) 50 = 60 ( + a) = 年人口為 ( + a) 50 = ( + a) 50 = ( ) 50 = 86.4 故選 (C) log( ) log( ) = log 為 位數 即需 A 4 紙 ( 取 700 張 ) 故選 (E) P = C ( )( ) =, P = C ( )( ) =, P = C( )( )( )( ) = 8 故 P = P > 故選 (B) P 貳 多重選擇題 8. F (, ), F (, ) 中心 (, ) 且 c = 4 c = 又 P(, 4) PF PF = a = a = b = ( x ) ( y ) 即 = 再將各點 (A)(B)(C)(D)(E) 代入檢驗, 故選 (B)(C)(D) 9.(A) CF = OD, c = a (B) ADB = 45,b = (a b) b = a( ) (C) c > b > a (D) ABCD 四點要共圓時, ADC + ABC =80 (D) 但圖中 ADC = 90, ABC > 90, 故不共圓 (E) A,B,C 三點恰在 D 點為焦點,L 為準線之拋物線上 D c C a b B A c b a O E F L ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

19 x 0. 令 f ( x) = x = x 7x + 6 又 f () = 0 f ( x) 有 ( x ) 之因式 x f ( x) = x 7x + 6 = ( x )( x + )( x ) f () = f () = f ( ) = 0 且 deg f ( x) = 故選 (A)(B)(C)(D) 第二部分 填充題 A 餘, 66 7 餘 餘 跳 天, 餘 跳 天 年 天 月 日星期? 六 一 二 三 四 六 005 年即下一個一月一日為星期六 B. 第一列有 個數, 第二列有 個數 第九十九列有 99 個數, 99 第九十九列最後一個數為 k, 而第 00 列第 個數為 99 k= k= 99 (99 + ) k + = + = 495 C. 設 f ( x) = x 7x + x 0 R( x) 因有一根為 a + i, 必有另一根 a i 即 a i = + bi a =, b = f ( x) = 0 之 個共軛複根 ( + i, i) f ( x) = ( x x + )( x 5) 實根為 5 D. 設平面 E : x + y + z = 9 平面 E 與 E 同時垂直直線 L 平面 E // E ( 法向量相同 ) D. 即可假設 E : x + y + z = k E 通過 (,, 4) 6+ = k k = 8 E = x + y + z = 8 E. CD = BD AD = (t) (t) 6t = 44 t = ± ( 負不合 ) F. 如圖, 設颱風之位移 x = AB x = (00) + (400) (00)(400) cos60 x = 00 ( 公里 ) 平均速度 = = 7. ( 公里小時 ) 7 ( 公里小時 ) 位移時間 00 = 0 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

20 = G. BC = O O O A = (0 + 5) (0 5) 0 0 H. 女生 :6 = 男生 :6 = C 4 C = 0 0 = 00 5 I. 設事件 A 表示因會作而答對之情況, 事件 B 表示答對之情形 4 P( A B) P( A B) = = = = P( B) J. 法一 ): 設應左轉 θ 度 α + β + θ + 90 = 80 θ = 90 ( α + β ) A(7,8) + tanα + tan β 又 tan( α + β ) = = 5 = 5 = tanα tan β 5 5 即 α + β = 45 θ = 45 J. 法二 ): AB = ( 5,5), BO(, ) 設 AB 與 BO 夾角 θ AB BO 65 cosθ = = = AB BO 5 6 甲 B (,) α θ β θ = 45 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

21 大學入學考試中心九十學年度學科能力測驗試題 數學考科 作答注意事項 考試時間 : 00 分鐘 題型題數 : 單一選擇題 題題型題數 : 多重選擇題 7 題題型題數 : 填充題 0 題 作答方式 : 用 B 鉛筆在 答案卡, 修正時應以橡皮擦拭, 切勿使用修正液題型題數 : 答錯不倒扣 試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

22 第一部分選擇題 壹 單一選擇題 說明 : 第 至 題, 每題選出最適當的一個選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 答錯不倒扣 ( ). 設 a= ( ), b= ( ), c= ( ) 4 下列選項何者為真? 4 ( ) (A) a > b > c (B) a < b < c (C) a = c > b (D) a = c < b (E) a = b = c ( ). 右圖為一拋物線的部分圖形, 且 A B C D E 五個點中有一為其焦點 ( ). 試判斷哪一點是其焦點?( 可利用你手邊現有簡易測量工具 ) ( )(A)A (B)B ( )(C)C (D)D A B C D E ( )(E)E ( ). 令 X 代表每個高中生平均每天研讀數學的時間 ( 以小時計 ), 則 W = 7(4 X) 代表每個高中 ( ). 生平均每週花在研讀數學以外的時間 令 Y 代表每個高中生數學學科能力測驗的成績 設 X, ( ).Y 之相關係數為 RXY, W, Y 之相關係數為 R WY, 則 R XY 與 R WY 兩數之間的關係, 下列選項何者為真? ( )5(A) RWY = 7(4 RXY ) (B) RWY = 7RXY (C) RWY = 7RXY ( )5(D) R WY = R XY (E) RWY = R XY 貳 多重選擇題 : 說明 : 第 4 至 0 題, 每題至少有一個選項是正確的, 選出正確選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 說明 : 答錯不倒扣, 未答者不給分, 只錯一個可獲.5 分, 錯兩個或兩個以上不給分 π ( )4. 若 sin x=, < x<π, 則下列選項何者為真? ( )4 (A) cos x = (B) tan x = (C) cot x = (D) sec x = (E) csc x = ( )5. 設 a,b,c 為實數 若二次函數 f ( x) = ax + bx+ c的圖形通過 (0, ) 且與 x 軸相切, 則下列 ( )5. 選項何者為真? ( )(A) a < 0 (B)b>0 (C) c = ( )(D) b + 4ac= 0 (E) a+ b+ c 0 ( )6. 若正整數 a,b,q,r 滿足 a= bq+ r且令 ( ab, ) 表示 a 與 b 的最大公因數, 則下列選項何者為 ( )6. 真? ( )6 (A) ( ab, ) = ( b, r) (B) ( ab, ) = ( q, r) (C) ( aq, ) = ( b, r) ( )6 (D) ( aq, ) = ( q, r) (E) ( ar, ) = ( b, q) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

23 ( )7. 古代的足球運動, 有一種計分法, 規定踢進一球得 6 分, 犯規後的罰踢, 進一球得 6 分 請問下列哪些得分數有可能在計分板上出現? ( )7 (A)6 (B)8 (C)8 (D)0 (E)84 ( )8. 在坐標平面上, A(50, 00), B(46,0), C( 4,), O(0,0), 則下列選項何者為真? ( )8 (A) 四邊形 ABCO 是一個平行四邊形 (B) 四邊形 ABCO 是一個長方形 ( )8 (C) 四邊形 ABCO 的兩對角線互相垂直 (D) 四邊形 ABCO 的對角線 AC 長度大於 5 ( )8 (E) 四邊形 ABCO 的面積為 50 x y ( )9. 在坐標平面上, 請問下列哪些直線與雙曲線 = 不相交? 5 4 ( )9 (A)5y = x (B)5y = x (C)5y = x + (D)5y = x (E) y = 00 6 ( )0. 令 z 為複數且 z =, z, 則下列選項何者為真? ( ) (A) z = (B) z = (C) z = 或 z = ( ) (D) z 4 = 4 5 (E) + z+ z + z + z + z = 0 第二部分 : 填充題 說明 : 第 A 至 J 題, 將答案標示在答案卡之 解答欄, 每題完全答對給 5 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 將一張 B4 的長方形紙張對折剪開之後, 成為 B5 的紙張, 其形狀跟原來 B4 的形狀相似 已知 A.B4 紙張的長邊為 6.4 公分, 則 B4 紙張的短邊長為 公分 ( 小數點後第二位四捨五入 ) B. 調查某新興工業都市的市民對市長施政的滿意情況, 依據隨機抽樣, 共抽樣男性 600 人 女性 B. 400 人, 由甲 乙兩組人分別調查男性與女性市民 調查結果男性中有 6% 滿意市長的施政, B. 女性市民中有 46% 滿意市長的施政, 則滿意市長施政的樣本占全體樣本的百分比為 % C. 從,,,4,5,6,7,8,9 中, 任取兩相異數, 則其積為完全立方數的機率為 D. 設多項式 f ( x ) 除以 x D. 以 x 4x +, 餘式為 5x + 4, 餘式為 x + ; 除以 x 5x + 6, 餘式為 x + 4 則多項式 f ( x ) 除 E. 兩條公路 k 與 m, 如果筆直延伸將交會於 C 處成 60 夾角, 如圖所示 E. 為銜接此二公路, 規劃在兩公路各距 C 處 450 公尺的 A B 兩點間開 E. 拓成圓弧型公路, 使 k,m 分別在 A B 與此圓弧相切, 則此圓弧長 E. = 公尺 ( 公尺以下四捨五入 ).7, π.4 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 - - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

24 F. 如右圖的四角錐展開圖, 四角錐底面為邊長 的正方形, 6. 四個側面都是腰長為 4 的等腰三角形, 則此四角錐的高度 6. 為 G. 在坐標平面的 x 軸上有 A (, 0), B( 4,0) 兩觀測站, 同時觀察在 x 軸上方的一目標 C 點, 測得 5 G. BAC 及 ABC 之值後, 通知在 D(, 8) 的砲台此兩個角的正切值分別為 8 及 8 9 那麼砲 G.. 台 D 至目標 C 的距離為 H. 將一個正四面體的四個面上的各邊中點用線段連接, 可得 H. 四個小正四面體及一個正八面體, 如右圖所示 如果原四 H. 面體 ABCD 的體積為, 那麼此正八面體的體積為 I. 根據過去紀錄知, 某電腦工廠檢驗其產品的過程中, 將良品檢驗為不良品的機率為 0.0, 將不良品檢驗為良品的機率為 0.6, 又知該產品中, 不良品佔 5%, 良品佔 95% 若一件產品被檢驗為良品, 但該產品實際上為不良品之機率為 ( 小數點後第三位四捨五入 ) J. 籃球 人鬥牛賽, 共有甲 乙 丙 丁 戊 已 庚 辛 壬 9 人參加, 組成 隊, 且甲 乙兩人不在同一隊的組隊方法有 種 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 - - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

25 參考公式及可能用到的數值. 一元二次方程式的公式解 : b± b 4ac x = a y y. 通過 ( x, y ) 與 ( x, y ) 的直線斜率為 m = x x n. 等比級數 < ar r > 的前 n 項之和 Sn = a r r, 4. ABC 的正弦及餘弦定理 : a b c () = = = R,R 為外接圓半徑 ( 正弦定理 ) sin A sin B sin C () c = a + b abcosc ( 餘弦定理 ) n 5. 統計公式 : n 算術平均數 M ( = X) = ( x+ x + + xn) = xi n n i= 標準差 S = n n ( xi X ) = xi X n i= n i= n n ( xi X)( yi Y) ( xi X)( yi Y) i= i= n S n n XSY ( xi X) ( yi Y) i= i= 相關係數 r = = 其中 S X 為隨機變數 X 之標準差, S Y 為隨機變數 Y 之標準差 6. 貝氏定理 PAB ( ) = PAPB ( ) ( A) PAPB ( ) ( A) + PAPB ( ) ( A ) 7. 參考數值 :.44;.7; 5.6, 7.646; π.4 8. 對數值 : log0 0.00, log , log , log ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 - - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

26 ================= 九十年答案 ===================== 第一部分 選擇題 壹 單一選擇題. C. C. E 貳 多重選擇題 4. CDE 5. ACE 6. AD 7. BCE 8. ABE 9. ABD 0. ACDE 第二部分填充題 A. 5.7 B. 40 C. D. 5x E. 544 F. 4 G. H. 6 I. 0.0 J. 0 ===================== 解析 ======================= 第一部分 選擇題 壹 單一選擇題 a = ( ) = [( ) ] = ( ), b = ( ) = [( ) ] = ( ) c= ( ) = [( ) ] = ( ) a= c> b 4 故選 (C). 拋物線開口向右 焦點在拋物線右側故可能焦點為 C D E 其中 B 為拋物線的頂點 又正焦弦長 = 4 c C 點最有可能, 即 PQ = 4BC 故選 (C) P A B C D E Q ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

27 . 法一 ): R XY ( Xi X)( Yi Y) ( Wi W)( Yi Y) =, RWY = ns S ns S X Y W Y W = 7(4 X) S = 7 S = 7S ( W W) = 7 ( X X) i i W X X ( Wi W)( Yi Y) 7 ( Xi X)( Yi Y) ( Xi X)( Yi Y) RWY = = = = R ns S 7nS S ns S 法二 ): w= 7x+ 68 Rw, y= Rx, y 故選 (E) W Y X Y X Y XY 貳 多重選擇題 π 4. sin x= < x<π 5 cos x<0 ; tan x<0 ; cot x<0 ; sec x<0 ; csc x> cos x=, tan x=, cot x=, sec x=, csc x= 故選 (C)(D)(E) 5. 通過 (0, ), 且與 x 軸相切, 則概圖如右 : (A) 開口向下 a < 0 b (B) 頂點 x 座標 x = 可能大於 0, 亦可能小於 0, a b 之正負值無從判斷 (C) f (0) = c, 即為圖形與 y 軸交點 c = (D) 與 x軸相切 f( x) = ax + bx+ c= 0之解為重根 判別式 D= b 4ac= 0 b = 4ac b + 4ac = 8ac 0 (E) 切點位置不定但開口向下, 且與 x 軸相切故 f( x) 0恒成立 f() = a+ b+ c 0 故選 (A)(C)(E) 6. 由輾轉相除法原理知 ( 被除數, 除數 ) = ( 除數, 餘數 ) a= bq+ r ( a, b) = ( b, r) a= qb+ r ( a, q) = ( q, r) 故選 (A)(D) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

28 7. 設得分為 y, 踢進球數為 p, 犯規後踢進球數為 q y 6 p 6q (A) y = 6 = 6 p+ 6q 8p+ q= 8q= q p = 0,, 均不合 (B) y = 8 = 6 p+ 6q 8p+ q= 4 8p= 4 q p = 時 q = 則 ( p, q) = (,) 符合 (C) y = 8 = 6 p+ 6q 8p+ q= 4 8p= 4 q p = 時 q = 則 ( p, q) = (,) 或 (4,) (D) y = 0 = 6 p+ 8q 6 p= 0 8q 左 = 偶, 右 = 奇, 矛盾 沒有整數解 (E) y = 84 = 6 p+ 6q 8p+ q= 4 8p= 4 q p = 時 q = 4 則 ( p, q) = (, 4) 或 (7,) 故選 ( B)( C)( E) = +, 其中 p, q N { 0} (A) m AB = = ; moc = = mab = moc AB// OC m CB = = = ; moa = = = mcb = moa CB// OA ABCO 為平行四邊形 (B) m m = AB CB; m m = AB OA AB CB AB OA m m = OC CB; m m = OC OA OC CB OC OA 又 OC = ( 4) + = 5 ; OA = (50) + (00) = = 50 可知 OC OA ABCO 為長方形 (C) OC AB = ( 4,) ( 4,) = 5 0 OC AB (D) AC = OC + OA = 5 + (50) = (50) + 5 又 5 = (50 + ) = (50) + 50 AC < 5 (E) ABCO 之面積 = OC OA = 5 50 = 50 故選 (A)(B)(E) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

29 x 9.(A) 5y = x y = 代入雙曲線 5 4x x 5 x x = = 0= ( 不合 ) 與雙曲線不相交 x x x 9 (B) 5y = x y = 代入雙曲線 5 x x = = x x + = 0 = x = 0< 0( 不合 ) 與雙曲線不相交 x + (C) 5y = x+ y = 代入雙曲線 5 (x + ) x 5 = 4 x (x+ ) = 00 (x+ x+ )(x x ) = (4x+ )( ) = 00 4x+ = 00 x= 與雙曲線相交於 x = 4 4 x (D) 5y = x y = 代入雙曲線 5 4x x 5 x x = = 0= ( 不合 ) 與雙曲線不相交 (E) y = 00 代入雙曲線 x (00) x = = + 50 = 50 x = x =± 5 50 與雙曲線相交於 x =± 5 50 故選 (A)(B)(D) 6 0. z = 的解在單位圓上 [ π π ] 6 z 6 = r 6 cos(0 + k ) + i sin(0 + k ) = 6 r = r = 0+ kπ 0+ kπ k k z = cos + isin = cos(0 + π) + isin(0 + π) 6 6 k = 0,,,, 4, 5代入, 即為 z的六個解 0. (A) z = r = k k 0. (B) z = cos(0 + π) + isin(0 + π) k = 0,,,, 4, 5代入, z 並不一定為 0. (C) z = cos(0 + kπ) + isin(0 + kπ) k = 0,,,,, 4 5代入, 不論 k 為多少值代入, z = 或 z = (D) 4 4 k k 4 4 z = cos(0 + π) + isin(0 + π) z = = 6 0. (E) z 6 ( z )( z 5 z 4 z z 5 4 z 0 = z+ ) z + z + z + z + z+ = = = 0 z z 故選 (A)(C)(D)(E) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

30 第二部分填充題 6.4 x A. = x = x 8. x = (8.) x= 8. x B = = = % = 40% C. 樣本空間為 C = = 6 組 其積為完全立方數的兩數只有 (,8),(,4),(,9) 組 機率為 = 6 D. f ( x) = ( x 5x+ 4) q ( x) + x+ = ( x 4)( x ) q ( x) + x+ f() = f( x) = ( x 5x+ 6) q( x) + x+ 4 = ( x )( x ) q( x) + x+ 4 f() = f( x) = ( x )( x ) q( x) + a( x ) + 將 f () 代入得 f() = a+ = a= 5 f( x) = ( x )( x ) q( x) + 5( x ) + = ( x )( x ) q( x) + 5x = ( x 4x+ ) q ( x) + 5x 450 E. 如右圖得到三角形的邊長比, 求出 OA = = r 利用弧長 = rθ = π 60 00π = 544 F. 法一 : 如右 ( 圖一 ) 先求垂直線 L 交於底面正方形一邊的 P 點, 則 P 6 即為正方形邊的一中點, 再找正方形的中心點 O, 算出 PP 6 長為 4 = 5( 利用畢氏定理 ) 再求出 P 至 O 點 6 的垂直距離, 即為四角錐的高 ( 見圖二 ) 6 ( 利用畢氏定理 ) 法二 : H = OC CE H = 4 ( ) = 4 另解 H = 4 E A ( 5) = 4 O D B C ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

31 G. 由 C 點向 X 軸作垂直高交 X 軸於 C 點 8 y 8 tan BAC = = 9 x 9 8 y 8 tan ABC = = 6 x 解聯立得 8x= 9y 9 y = 4, x= y = 48 8x 座標為 = (, 0), C 座標為 (, 4) 5 5 CD = [( ) ] + [ 4 ( 8) ] = = 69 = C H. 大四面體與小四面體的邊長為 : H. 大四面體與小四面體的體積比為 : = 8: H. ( ) = = 為 個小正四面體的體積 8 H. 4 = 6 = 6 將大正四面體的體積扣掉四個小正四面體的體積即為 所剩的正八面體的體積 I. 產品 實良 : 95% 實不良 : 5% 檢良 : 95% ( 0.) 檢不良 : 95% 0. 檢良 : 5% 0.6 檢不良 : 5% ( 0.6) 5% = % ( 0.) + 5% J. 甲 乙 C C C = = 0 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

32 大學入學考試中心九十一學年度學科能力測驗試題 數學考科 作答注意事項 考試時間 :00 分鐘 題型題數 : 單一選擇題 6 題題型題數 : 多重選擇題 6 題題型題數 : 填充題 8 題 作答方式 : 用 B 鉛筆在 答案卡, 修正時應以橡皮擦拭, 切勿使用修正液題型題數 : 答錯不倒扣 試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

33 橢圓相交於 第一部分選擇題 壹 單一選擇題 說明 : 第 至 6 題, 每題選出最適當的一個選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 答錯不倒扣 ( ). 設 Pxy (, ) 為坐標平面上一點, 且滿足 ( x ) + ( y ) + ( x ) + ( y 4) ( )., 那麼 P 點的位置在哪裡? ( ) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 (E)x 軸或 y 軸上 ( ). 一群登山友, 在山上發現一顆巨樹, 隊中 0 位身高 70 公分的男生, 手拉著手剛好環抱大樹一圈, 問樹幹的直徑最接近下列何值? ( )(A) 公尺 (B)5 公尺 (C)7 公尺 (D)9 公尺 (E) 公尺 ( ). 如圖, 下面哪一選項中的向量與另兩個向量 ( ). PO QO 之和等於零向量? ( ) (A) AO (B) BO ( ) (C)CO (D) DO ( ) (E) EO = ( ) + (4 ) ( )4. 若某校 000 位學生的數學段考成績平均分數是 65.4 分, 樣本標準差是 5.4 分, 而且已知 ( )4. 成績分佈呈現常態分配, 試問全校約有多少人數學成績低於 60 分? ( )4 (A) 約 80 人 (B) 約 60 人 (C) 約 40 人 (D) 約 0 人 (E) 約 400 人 ( )5. 試問用下列哪一個函數的部分圖形來描述右圖較恰當? ( )5 (A) ( x ) (B) sin( x ) + ( )5 (C) cos( x ) (D) 0.5( x ) + 4 ( )5 (E) x. ( )6. 在坐標平面上有一橢圓, 它的長軸落在 x 軸上, 短軸落在 ( )6.y 軸上, 長軸 短軸的長度分別為 4, 如圖所示, 通過 ( )6. 橢圓的中心 O 且與 x 軸夾角為 45 度的直線在第一象限跟 ( )6 P, 則此交點 P 與中心 O 的距離為 ( )6 (A).5 (B).6 ( )6 (C) (D).5 ( )6 (E). ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 - - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

34 貳 多重選擇題 : 說明 : 第 7 至 題, 每題至少有一個選項是正確的, 選出正確選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 說明 : 答錯不倒扣, 未答者不給分, 只錯一個可獲.5 分, 錯兩個或兩個以上不給分 ( )7. 若實數 a,b,c 滿足 abc > 0, ab + bc + ca < 0, a+ b+ c> 0,a > b> c, 下列選項何者為真? ( )7 (A) a > 0 (B) b > 0 (C) c > 0 (D) a > b (E) a > c ( )8. 一機器狗每秒鐘前進或者後退一步, 程式設計師讓機器狗以前進 步, 然後再後退 步的規 ( )8. 律移動, 如果將此機器狗放在數線的原點, 面向正的方向, 以 步的距離為 單位長 令 Pn ( ) ( )8. 表示第 n 秒時機器狗所在位置的坐標, 且 P (0) = 0, 哪麼下列選項何者為真? ( )8 (A) P () = (B) P (5) = (C) P (0) = ( )8 (D) P (0) = (E) P(0) < P(04) x+ y+ z = 0 ( )9. 下列哪些選項與方程式組 的解集合相同? 4x+ y+ 6z = 0 ( )9 (A) y = 0 (B) x+ z = 0 y = 0 x + y + z = 0 ( ) 9(D) (E) 6 x+ 4 y+ 9 z = 0 x+ y+ z = 0 4x+ y+ 6z = 0 (C) x= y = 0 ( )0. 觀察相關的函數圖形, 判斷下列選項何者為真? ( )0 (A)0 x = x 有實數解 (B) 0 x = x 有實數解 ( ) 0(C)x 為實數時,0 x > x 恆成立 (D) x > 0 時, 0 x > x 恆成立 ( )0 (E)0 x = x 有實數解 ( ). 某甲自 89 年 7 月起, 每月 日均存入銀行 000 元, 言明以月利率 0.5% 按月複利計息, 到.90 年 7 月 日提出 某乙則於 89 年 7 月起, 每單月 ( 一月 三月 五月 ) 日均存入銀行 000 元, 亦以月利率 0.5% 按月複利計息, 到 90 年 7 月 日提出, 一整年中, 兩人都存入本金 000 元 提出時, 甲得本利和 A 元, 乙得本利和 B 元, 問下列選項何者為真? 005 k ( ) (A) B > A (B) A = 000 ( ) k = k 005 ( ) (C) B = 000 ( ) k = 000 (D) A < 000( ) ( ) (E) B < 000( ) 000 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 - - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

35 ( ). 在 Δ ABC 中, 下列哪些選項的條件有可能成立? ( ) (A) sin A= sin B= sin C = (B)sin A sin B sin C ( ) (C)sin A, sin B, sin C 均大於 ( ) (E) sin A= sin B=, sin C =,, 均小於 (D) sin A= sin B= sin C = 第二部分 : 填充題說明 : 第 A 至 H 題, 將答案標示在答案卡之 解答欄, 每題完全答對給 5 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 工匠在窗子外邊想做一個圓弧型的花台, A. 此花台在窗口的中央往外伸出 7 公分, A. 窗口的寬度是 68 公分, 則此圓弧的圓半徑為 公分 B. 0 與 9 + 的最大公因數為 C. 某公司民國 85 年營業額為 4 億元, 民國 86 年營業額為 6 億元, 該年的成長率為 50%, 三年的成長率皆相同, 且民國 89 年的營業額為 48 億元, 則該公司 89 年的成長率為 % D. 在一個圓的圓周上, 平均分布了 60 個洞, 兩洞間稱為一間隔, 在 A 洞 D. 打上一支木樁並綁上線, 然後依逆時針方向前進, 每隔 9 個間隔就再打 D. 一支木樁, 並綁上線, 依此繼續操作, 如右圖所示 試問輪回到 A 洞需 D. 再打樁前, 總共已經打了幾支木樁 E. 某次網球比賽共有 8 位選手參加, 採單淘汰制, 每輪淘汰一半的選手, 剩下一半的選手進入下一輪 在第一輪被淘汰的選手可獲得 萬元, 在第 輪被淘汰的選手可獲得 萬元, 在第 k 輪被淘汰的選手可獲得 k 萬元, 而冠軍則可獲得 8 萬元 試問全部比賽獎金共 萬元 F. 某人隔河測一山高, 在 A 點觀測山時, 山的方位為東偏北 60, 山頂的仰角為 45, 某人自 A 點 F. 向東行 600 公尺到達 B 點, 山的方位變成在西偏北 60, 則山有多高 公尺 G. 有一群體有九位成員, 其身高分別為 60,6,66,70,7,74,76,78,80( 單位 : 公 G. 分 ), 此九人的平均身高為 7 公分, 今隨機抽樣 人, 則抽到 人的平均身高等於母體平均身 G. 高的機率為 ( 化成最簡分數 ) H. 右圖為一正立方體, 被一平面截出一個四邊形 ABCD, 其中 B,D 分別 H. 為稜的中點, 且 EA : AF = :則 cos DAB = ( 化成最簡分數 ) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 - - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

36 參考公式及可能用到的數值. 一元二次方程式 ax + bx + c = 0 的公式解 : ± x = b b 4ac a y y. 通過 ( x, y ) 與 ( x, y) 的直線斜率為 m = x x n n r. 等比級數 < ar > 的前 n 項之和 Sn = a r r, 4. Δ ABC 的正弦及餘弦定理 a b c () = = = R,R 為外接圓半徑 ( 正弦定理 ) sin A sin B sin C () c = a + b abcosc ( 餘弦定理 ) 5. 統計公式 : n 算術平均數 M ( = X) = ( x+ x + + xn ) = x n n i= i 標準差 S = n n ( xi X ) = xi X n i= n i= n n ( xi X)( yi Y) ( xi X)( yi Y) i= i= n S n n XSY ( xi X) ( yi Y) i= i= 相關係數 r = = 其中 S X 為隨機變數 X 之標準差, S Y 為隨機變數 Y 之標準差 6. 常態分布的資料對稱於平均數 M 且當標準差為 S 時, 該資料大約有 68% 落在區間 ( M S, M+ S) 6. 內, 約有 95% 落在區間 ( M S, M + S) 內, 約有 99.7% 落在區間 ( M S, M + S) 內 7. 參考數值 :.44;.7; 5.6, 6.449; π.4 8. 對數值 : log0 0.00, log , log , log ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

37 ================= 九十一年答案 ===================== 第一部分 壹 單一選擇題 選擇題. A. B. C 4. B 5. D 6. B 貳 多重選擇題 7. ADE 8. ABCD 9. BDE 0. BCDE. ABCDE. ABE 第二部分填充題 A. 85 B. C. 00 D. 0 E. 576 F. 600 G. H. 8 7 ===================== 解析 ======================= 第一部分 選擇題 壹 單一選擇題. 此為橢圓, 焦點 F (, ), F (, 4) a= ( ) + ( 4) = 8; c= ( ) + (4 ) = 8 a = c表 P( x, y) 落在 FF 上故選 (A). 依試卷參考公式 9, 雙手橫向張開的距離約略為身長 700 故樹幹周長 π r 70 0 r r 5.4m 故選 (B) π. PO 向量 = (,),QO 向量 = ( 5,) 設點為 X XO + PO + QO = O, XO + (,) + ( 5,) = O XO = (, 5) 觀察圖可知 X 點為 C 故選 (C) 4. M = 65.4, S = 5.4 M S = 60 又依試卷參考公式 6, 及常態分布圖 ( 如右 ) 得知, 斜區人數約為 % = 680 人 成績低於 60 分 ( 即 M S ) 者約有 = 60 人 故選 (B) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

38 5. 原圖為拋物線, 頂點在第一象限, 開口向下故選 (D) 6. 依題意長軸長 a = 4, 短軸長 b =, 中心 (0,0) x 6. 橢圓標準式 : + y = 又直線過 (0,0), 斜角 45 L: y = x 4 x 由 + x = x=± 4 5 第一象限的交點為 P(, ) OP= ( ) + ( ) =.6 故選 (B) 貳 多重選擇題 7. abc > 0 ( 三正或二負一正 ) 又 ab + bc + ca < 0 ( 三正情形不合 ) a, b, c為二負一正, 且 a > b> c故 a> 0, b c< 0 依題意 a+ b+ c> 0 又 中 a> 0,, b c< 0, 故 a > b+ c > b 及 c 故選 (A)(D)(E) 8. 依題意 P(0) = 0, P() =, P() =, P() =, P(4) =, P(5) =, 五步一個循環且只前進 步, 故寫成 : k+, n= 5k+ k +, n = 5k + Pn ( )= k +, n = 5k + ( k為非負整數 ) k +, n = 5k + 4 k +, n = 5k + 5 P(0) = P(5 0 + ) = 0 + = ; P(04) = 0 + = 故選 (A)(B)(C)(D) x+ y+ z = 0 9. 表空間中一直線, 方向向量 (, 0, ), 過點 (0,0,0) 4x+ y+ 6z = 0 x= t 故參數式為 y = 0 ( t R), 逐一代入各備選答案, 故選 (B)(D)(E) z = t 0. (A) (B) (E) 故選 (B)(C)(D)(E) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

39 .(A) 只計算 個月 A = 000( ) 而 B = 即可推知一年後 B > A (B) (C) A = 000( ) < (D) 0 (E) B = 000( ) < (A) A, B, C均為 60 (B) A, B, C可介於 0 ~60 或 0 ~ 80 (C) A, B, C均介於 60 ~ 0 (D) A, B, C可為 0 或 50, 無法組合成 80 (E) A, B均為 0, C = 0 第二部分 填充題 A. 設半徑 r ( r) = (r 7) + 84 A. r = ( r 6) + 7 r = 85 圓弧的半徑為 85 公分 B. 設最大公因數 d, d, d + d ( ) ( + ) d B. 最大公因數為 C. 設三年的成長率為 r %, 依題意 6( + r%) = 48 ( + r%) = 8 r% = r = 00 D. 一周 60 個間隔, 相鄰木樁 9 個間隔, 取最小公倍數為 80 個間隔,A 洞會再打一樁前, D. 總共有 = 支 k 8 E. 令最後淘汰者可得 = k = 7表全賽程共 7 輪 輪次 淘汰人數 冠軍 人每人獎金 總獎金 = = 576 萬元 F. 由 Δ APC 中, 設 CP = h, 因 PAC = 45 AC = h 又 ΔABC 為正 Δ h= AC = AB= 600 公尺 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

40 G. 平均身高 = 7cm, 找出 人身高總和為 7 = 5 cm 人身高總和 5 (6,70,80) 或 (6,7,78) 或 (6,74,76) G. 機率 = 任選 人 = = 9 C 8 H. 取一個空間坐標系 A (, 0, ), B (,, ), C (0, 0, ) H. 則 AD = (,0, ), AB = (0,, ) AD AB 4 cos DAB = = = AD AB ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

41 大學入學考試中心九十一學年度學科能力測驗 ( 補考 ) 試題 數學考科 作答注意事項 考試時間 :00 分鐘 題型題數 : 單一選擇題 6 題題型題數 : 多重選擇題 6 題題型題數 : 填充題 8 題 作答方式 : 用 B 鉛筆在 答案卡, 修正時應以橡皮擦拭, 切勿使用修正液作答方式 : 答錯不倒扣 試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

42 第一部分選擇題 壹 單一選擇題 說明 : 第 至 6 題, 每題選出最適當的一個選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 答錯不倒扣 ( ). 在 0 與 40 之間共有多少個質數? ( ) (A) 個 (B) 個 (C) 個 (D)4 個 (E)5 個 4 ( ). 方程式 x + x = 0有多少個實根? ( ) (A)0 (B) (C) (D) (E)4 ( ). 下列圖形有一為雙曲線, 請將它選出來? ( ) (A) (B) (C) ( ) (D) (E) ( )4. 如圖所示, 在坐標平面上, 以原點 (0,0) 為頂點, 且通過 (,), ( ) 4.(-,) 的拋物線, 它的焦點坐標為 : ( )4 (A)(0,0.5) (B)(0,) ( )4 (C)(0,.5) (D)(0,) ( )4 (E)(0,4) ( )5. 九十年度大學學科能力測驗有 萬名考生, ( )5. 各學科成績採用 5 級分, 數學學科能力測驗 ( )5. 成績分布圖如下圖 請問有多少考生的數學 ( )5. 成績級分高於 級分? 選出最接近的數目? ( ) (A)4000 人 (B)0000 人 ( ) 5 (C)5000 人 (D)0000 人 ( )5 (E)000 人 ( )6. 如圖 Δ ABC 中,BC 邊上兩點 D E 分別與 A 連線 ( )6. 假設 ACB = ADC = 45, 三角形 ABC,ABD,ABE ( )6. 的外接圓直徑分別為 c,d,e 試問下列何者為真? ( )6 (A) c< e< d (B) d < e< c ( )6 (C) e< c, d < c (D) d = c< e ( )6 (E) d = c> e ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

43 貳 多重選擇題 : 說明 : 第 7 至 題, 每題至少有一個選項是正確的, 選出正確選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 說明 : 答錯不倒扣, 未答者不給分, 只錯一個可獲.5 分, 錯兩個或兩個以上不給分 ( )7. 關於雙曲線 x y =, 下列選項何者為真? ( )7 (A) 對稱於 y 軸 (B) 對稱於直線 x y = 0 ( )7 (C) 直線 x+ y = 0 為一漸近線 (D) (,0) 及 (,0) 為其焦點 ( )7 (E) (,0) 及 (, 0) 為其頂點 ( )8. 設實數 a,b 滿足 0< a<, 0< b< 則下列選項哪些必定為真? ( )8 (A) 0< a+ b< (B) 0< ab < (C) < b a< 0 b ( ) 8(D) 0< < a (E) a b < ( )9. 如圖 Δ ABC 的對邊分別為 a,b,c,p 為 C 點的垂足,h 為高, BP= x, ( )9. AP = y, 則下列選項哪些必定為真? h h x y ( )9 (A) cosc = + (B) cosc = + a b a b ( )9 (C) cosc = cos( A+ B) (D) cosc= a + b c ab h xy ( )9 (E) cosc = ab ( )0. 平面上有一個直角三角形, 其三邊的斜率為實數 m, m, m, 並假設 m > m > m 則下列選項哪些必定為真? ( )0 (A) mm = (B) mm = (C) m > 0 (D) m 0 (E) m < 0 ( ). 函數 f ( x) = (cos0x cos x),x 為實數, 則下列選項哪些為真? ( ) (A) f ( x) = sinxsinx恆成立 (B) f( x) 恆成立 ( ) (C) f ( x ) 的最大值是 (D) f ( x ) 的最小值是 - ( ) (E) f( x ) = 0的解有無窮多個 ( ). 三相異平面兩兩相交於三條相異直線 l, l, l 試問下列選項哪些絕不可能發生? ( ) (A) l, l, l 三線共交點 (B) l, l, l 不共面, 但 l// l// l ( ) (C) l, l, l 共平面 (D) l, l, l 兩兩相交, 但三交點相異 ( ) (E) l, l, l 三線中兩兩都是歪斜線 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

44 第二部分 : 填充題 說明 : 第 A 至 H 題, 將答案標示在答案卡之 解答欄, 每題完全答對給 5 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 ] A. 5 除以 00 的餘數為 π π B. 令複數 z = (cos + isin ) 且 z i = (cos aπ + isin aπ), 則實數 a = 7 7 C. 某人存入銀行 0000 元, 言明年利率 4%, 以半年複利計息, 滿一年本利和為 Q 元 則 Q = D. 在平面上有一正方形 ABCD,AB BC CD DA 的延長線分別交直線 L 於 P Q R S 已知 PR =, QS = 4, 則正方形 ABCD 的邊長為 E. 空間中有三個平面 5x + 4y 4z = kx,4x + 5y+ z = ky, x+ y+ z = 0, 其中 k < 0 當 k = E. 時, 三個平面交於一線 F. 如右圖各小方格為 cm 的正方形 試問圖中 F. 大大小小的正方形共有多少個? 個 G. 一顆半徑為 公分的大巧克力球, 裡頭包著一顆半徑為 5 公分的軟木球 如果將此巧克力球重 G. 新融化, 做成半徑為 公分的實心巧克力球, 最多可以做幾顆這樣的巧克力球? 顆 H. 某次考試, 有一多重選擇題, 有 A B C D E 五個選項 給分標準為完全答對給 5 分, 只答錯 個選項給.5 分, 答錯 個或 個以上的選項得 0 分 若某一考生對該題的 A B 選項已確定是應選的正確答案, 但 C D E 三個選項根本看不懂, 決定這三個選項要用猜的來作答, 則他此題所得分數的期望值為 分 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

45 參考公式及可能用到的數值. 一元二次方程式 ax + bx + c = 0 的公式解 : ± x = b b 4ac a y y. 通過 ( x, y ) 與 ( x, y ) 的直線斜率為 m = x x n n r. 等比級數 < ar > 的前 n 項之和 Sn = a r r, 4. Δ ABC 的正弦及餘弦定理 a b c () = = = R,R 為外接圓半徑 ( 正弦定理 ) sin A sin B sin C () c = a + b abcosc a = b + c bccos A( 餘弦定理 ) 5. 參考數值 :.44;.7; 5.6, 7.646; π.4 6. 對數值 : log 0.00, log 0.477, log , log 半徑 r 的球體積為 π r ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

46 ================ 九十一年 ( 補 ) 答案 ==================== 第一部分 壹 單一選擇題 選擇題. B. C. D 4. A 5. B 6. E 貳 多重選擇題 7. ACE 8. ABE 9. DE 0. CE. ABDE. CDE 第二部分 填充題 A. 5 B. 9 C D. 4 5 E. F. 50 G. 00 H. 5 6 ===================== 解析 ======================= 第一部分 選擇題 壹 單一選擇題. 只有 和 9 二個故選 (B). x x + x = 0 4 ± 4+ 4 x = = ± ( 負不合 ) = + x=± + 有二實根故選 (C). 從原點畫漸近線, 其端點愈靠近漸近線, 故選 (D) 4. 設拋物線 y = ax 且過 (, ) = 4a a= y = x x = y = 4 y 焦點 (0, ) 故選 (A) 5..5% + % + % +.5% = 8% 8% 0000=9600 約 0000 人故選 (B) AB AB 6. ΔABC 與 Δ ABE 中, = c = e AED > 45 c > e sin 45, sin AED AC AD AC ΔABC 與 Δ ABD 中, = c, = d = c = d c = d > e sin B sin B sin B 故選 (E) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

47 貳 多重選擇題 7. 由雙曲線 x y = 可知 a =, b =, c = 焦點為 ( ±,0) 故選 (A)(C)(E) 8. 0< a < < a < 0 0< b < < b < : 0< a+ b< + : < a+ b< : 0< ab < + 4 : < a b<, 結合 + 與 + 4 : a b < 故選 (A)(B)(E) a + b c 9. 由餘弦定理, cosc = ab 9. 又 cosc = cos( α + β ) = cosαcos β sinαsin β = = a b a b ab 9. 故選 (D)(E) h h x y h xy 0. 為直角三角形, 又 m > m > m 可分為下列情形討論 : m > m > 0> m, m m = m > m > 0> m, m m = m m m m > = 0>, = 4 m m m m m m > 0> m > m, m m = 5 m > 0> m > m, m m = 而 0 m > m > m或 m > m > m 0, 皆無法描繪出圖形由上可知 m > 0 m < 0恆成立, 而 m m =, m m =, m 0 不恆成立 故選 (C)(E). f ( x) = (cos0x cos x) = ( ) sin( x) sin( x) = sinx sin x sin x 且. sin x sin x sin x = f( x) x = π + nπ, n Z時, f ( x ) 有最小值 =. 而求不出 x, 使得 f( x ) =, 而 f( x ) = 0有無限多解故選 (A)(B)(D)(E) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

48 .(A)(B) (C) (D) (E) 有可能發生 截出的三直線不可能共平面 交出的三直線兩兩互相平行無交點 若平行則不為歪斜故選 (C)(D)(E) 第二部分 填充題 A. = (0 + ) = C 0 + C C 0 + C 0 + C 皆可被 00 整除 C 0 + C = 50 + = 5 餘 π π B. z = (cos + isin ) 7 7 π π π π π π π π z i = ( sin + icos ) = (sin + icos ) = (cos( + ) + isin( + )) = (cos π + isin π) = (cos aπ + isin aπ) a = C. 0000( + %) = = = 0404 D. x + 9cos θ = 9 x 9sin θ = 0 6 x 44sin θ = 0 x + 6sin θ = 6 x + 6sin θ = 6 9 x + 44sin θ = : 5x = 44 x = x= 5 5 (5 kx ) + 4y 4z = 0 5 k 4 4 E. 4 x+ (5 k) y+ z = 0 相交於一線 Δ = 4 5 k = 0 x + y + z = 0 k k+ = 0 ( k )( k ) = 0 k < 0 k = F. cm :4 6= 4 cm : 5= 5 cm : 4= cm : = 共有 = 50 個 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

49 G. 巧克力球體積 = π π 5 = π 60 所需新巧克力球體積 = π = π 8 4 π 60 G. 共可做出 00.4, 最多為 00 顆 4 π H. 全對 : C ( ) 5= 對兩題 : C ( ).5= H. 其餘沒分數 期望值 = + = ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

50 大學入學考試中心九十二學年度學科能力測驗試題 數學考科 作答注意事項 考試時間 : 00 分鐘 題型題數 : 單一選擇題 5 題題型題數 : 多重選擇題 6 題題型題數 : 填充題 9 題 作答方式 : 用 B 鉛筆在 答案卡, 修正時應以橡皮擦拭, 切勿使用修正液作答方式 : 答錯不倒扣 試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

51 第一部分選擇題 壹 單一選擇題 說明 : 第 至 5 題, 每題選出最適當的一個選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 答錯不倒扣 0 ( ). 試問有多少個正整數 n 使得 為整數? n n n ( ) (A) 個 (B) 個 (C) 個 (D)4 個 (E)5 個 ( ). 若 f ( x) = x x x+ 5, 則多項式 gx ( ) = f( f( x)) 除以 ( x ) 所得的餘式為? ( ) (A) (B)5 (C)7 (D)9 (E) ( ). 若 (4 + i)(cosθ + isin θ) 為小於 0 的實數, 則 θ 是第幾象限角? ( ) (A) 第一象限角 (B) 第二象限角 (C) 第三象限角 ( ) (D) 第四象限角 (E) 條件不足, 無法判斷 ΔABP 面積 ( )4. 設 ABC 為坐標平面上一三角形,P 為平面上一點且 AP= AB+ AC, 則等於 5 5 ΔABC 面積 ( )4 (A) 5 (B) 4 (C) 5 (D) (E) ( )5. 根據統計資料, 在 A 小鎮當某件訊息發佈後,t 小時之內聽到該訊息的人口是全鎮人口的 kt ( 5.00( ) %, 其中 k 是某個大於 0 的常數, 今有某訊息, 假設在發佈後 小時之內已經 ( )5. 有 70% 的人口聽到該訊息 又設最快要 T 小時後, 有 99% 的人口已聽到該訊息, 則 T 最接 ( )5. 近下列哪一個選項? ( )5(A)5 小時 (B) 7 小時 (C)9 小時 (D) 小時 (E) 小時 貳 多重選擇題 : 說明 : 第 6 至 題, 每題至少有一個選項是正確的, 選出正確選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 說明 : 答錯不倒扣, 未答者不給分, 只錯一個可獲.5 分, 錯兩個或兩個以上不給分 ( )6. 如右圖, 兩直線 L L之方程式分別為 L : x+ ay+ b= 0, L : x+ cy+ d = 0; ( )6. 試問下列哪些選項是正確的? ( )6 (A) a > 0 (B) b > 0 ( )6 (C) c > 0 (D) d > 0 ( )6 (E) a > c ( )7. 如右圖,ABCD-EFGH 為一平行六面體,J 為四邊形 BCGF 的中心, 如果 ( )7. AJ = a AB + bad + cae, 試問下列哪些選項是正確的? ( )7 (A) < b < (B) a+ b+ c= ( )7 (C) a = (D) a = c ( )7 (E) a = b ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

52 ( )8. 以下各數何者為正? ( )8 (A) (B) log (C) log (D) log (E) log ( )9. 下列哪些函數的最小正週期為 π? ( )9 (A)sin x + cos x (B)sin x cos x (C) sinx+ cos x ( )9 (D) sinx cos x (E) sin x + cos x ( )0. 假設坐標平面上一非空集合 S 內的點 ( x, y ) 具有以下性質 : 若 x > 0, 則 y > 0 試問下 列哪些敘述對 S 內的點 ( x, y ) 必定成立? ( )0 (A) 若 x 0, 則 y 0; (B) 若 y 0, 則 x 0 (C) 若 y > 0, 則 x> 0 ( )0 (D) 若 x>, 則 y > 0 (E) 若 y< 0, 則 x 0 ( ). 設 π a : x 4y+ az = 0(a 為常數 ) E : x y+ z = 5及 E :x 5y+ 4z = 為坐標空間中的 ( ). 三個平面, 試問下列哪些敘述是正確的? ( ) (A) 存在實數 a 使得 π a 與 E 平行 ( ) (B) 存在實數 a 使得 π a 與 E 垂直 ( ) (C) 存在實數 a 使得 π a, E, E 交於一點 ( ) (D) 存在實數 a 使得 π a, E, E 交於一直線 ( ) (E) 存在實數 a 使得 π a, E, E 沒有共同交點 第二部分 : 填充題 說明 : 第 A 至 I 題, 將答案標示在答案卡之 解答欄, 每題完全答對給 5 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 設 a, a,, a50是從,, 0 這三個整數中取值的數列, 若 a+ a + + a50 = 9 且 A. ( a + ) + ( a + ) + + ( a50 + ) = 07, 則 a, a,, a50當中有幾項是 0? B. 金先生在提款時忘了帳號密碼, 但他還記得密碼的四位數字中, 有兩個, 一個 8, 一個 9, 於 B. 是他就用這四個數字隨意排成一個四位數輸入提款機嘗試, 請問他只試一次就成功的機率有多少 ( 化最簡分數 ) C. 設 A (, 0) 與 Bb (,0) 為坐標平面上的兩點, 其中 b >, 若拋物線 Γ : y = 4x 上有一點 P 使得 Δ ABP C. 為一正三角形, 則 b = x y D. 設 P 為雙曲線 = 上的一點且位在第一象限, 若 F, F為此雙曲線的兩個焦點, 且 PF: PF = :, 則 Δ FPF 的周長等於 E. 在坐標空間中, 通過 O (0,0,0), N (0, 0,), P(,, ) 三點的平面與球面 4 4 H. 相交於一個圓 C, 則圓 C 的劣弧 NP 的弧長等於 ( 化成最簡分數 ) H ( 所謂劣弧 NP 是指圓 C 上由 N,P 兩點所連接的兩弧中較短的那一段弧 ) S x y z : + + = ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

53 F. 設 k 為一整數, 若方程式 則 k = kx + 7x + = 0有兩個相異實根, 且兩根的乘積介於 5 6 與之間, 7 7 G. 在只有皮尺沒有梯子的情形下, 想要測出一拋物線形拱門的高度 已知此拋物線以最高點的鉛 垂線為對稱軸, 現甲 乙兩人以皮尺測得拱門底部寬為 6 公尺, 且距底部公尺高處其寬為 5 公尺,H. 利用這些數據可推算出拱門的高度為 公尺 ( 化成最簡分數 ) H. 某次數學測驗共有 5 題單一選擇題, 每題都有五個選項, 每答對一題可得 4 分, 答錯倒扣 分, 某生確定其中 6 題可答對 ; 有 6 題他確定五個選項中有兩個選項不正確, 因此這 6 題他就從剩下的選項中分別猜選一個 ; 另外 題只好亂猜, 則他這次測驗得分之期望值為分 H ( 計算到整數為止, 小數點以後四捨五入 ) I. 根據統計資料, 月份臺北地區的平均氣溫是攝氏 6 度, 標準差是攝氏.5 度, 一般外國朋友 9 比較習慣用華氏溫度來表示冷熱, 已知當攝氏溫度為 x 時, 華氏溫度為 y = x+ ; 若用華氏溫 5 度表示, 則 月份臺北地區的平均溫度是華氏 度, 標準差是華氏 度 9( 計算到小數後第一位, 以下四捨五入 ) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

54 參考公式及可能用到的數值. 一元二次方程式 ax + bx + c = 0 的公式解 : ± x = b b 4ac a y y. 通過 ( x, y ) 與 ( x, y ) 的直線斜率為 m= x x x x, n n r. 等比數列 < ar > 的前 n 項之和 Sn = a r r, 4. Δ ABC 的正弦及餘弦定理 a b c () = = = R,R 為外接圓半徑 ( 正弦定理 ) sin A sin B sin C () c = a + b abcosc ( 餘弦定理 ) 5. 統計公式 : n 算術平均數 M ( = X) = ( x+ x + + xn) = xi n n i= n 標準差 S = ( xi X) n i= 6. 參考數值 :.44;.7; 5.6, ; π.4 7. 對數值 : log0 0.00, log , log , log ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

55 ================= 九十二年答案 ===================== 第一部分 壹 單一選擇題 選擇題. D. E. B 4. C 5.D 貳 多重選擇題 6. DE 7. ABCD 8. ABE 9. CD 0. BDE. BCE 第二部分 填充題 A. B. 54 F. G. C. 5 D. E. π H. 68 I. 60.8,6. ===================== 解析 ======================== 第一部分 選擇題 壹 單一選擇題 55. 原式 = Z n 55 n= 或 5 或 或 55 ( n N) 故選 (D) n. 由餘式定理 : R= g() = f( f()) = f( + 5) = f() = + 5 = 故選 (E) 實部 = 4cosθ sinθ < 0. 虛部 = cosθ + 4sinθ = 0 tanθ = θ Ⅱ 或 IV 4 但由 4cosθ < sinθ, 而 θ Ⅱ 或 IV 時, sin θ 與 cos θ 必異號 sinθ > 0 θ Ⅱ 故選 (B) cosθ < 0 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

56 4. 如圖 : 由內分點公式得 AP = AB + AC 5 5 令 AP k AP AB AC k =, + = AB + AC 5 5 ΔABP ΔABP ΔABP k = = = = 5 ΔABP 5 ΔABC 5 ΔABC 5 故選 (C) k k 00( ) = 70 = 0. k = log kt kt 00( ) = 99 = 0.0 kt = log 0.0 T log 0.0 log 0 = = 0. log0. log0. =.8 T.5 故選 (D) 0.59 log0 = log 0 = = log 0. log 貳 多重選擇題 L : m > 0, y截距 < 0 a< 0, b< 0 L : m > 0, y截距 > 0 c< 0, d > 0且 m > m > < a> c 故選 (D)(E) a c a c AJ = AB + BJ = AB + ( BC + BF ) = AB + ( AD + AE) = AB + AD + AE 7. 故選 (A)(B)(C)(D) 8.(A) 令 p=, q= 則 log p = log, log q= log log p> log q p> q (B) log = log log = log > 0 (C) log = log log = log < 0 (D) log = log < 0 (E) log log 0 = > > 0 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

57 π 9.(A) 原式 = sinx+ 週期 = π 4 π (B) 原式 = sinx 週期 = π 4 π (C) 原式 = sin x + 週期 = π 4 π (D) 原式 = sin x 週期 = π 或以上皆可使用最小公倍式法 4 π π π (E) sin x+ + cos x+ = cos x + sin x = 原式 週期 = 0. p q ~ q ~ p x> 0 y > 0 y 0 x 0 且充分條件可縮小範圍, 必要條件可擴大範圍故選 (B)(D)(E). π a 之法向量 na = (, 4, a) E 之法向量 n = (,, ), E 之法向量 n = (, 5, 4) 4 a (A) na // n = = a無解 4 (B) na n (, 4, a) (,, ) = a= 0 a= 9 (C) 交於一點, 則 Δ 0 4 a Δ= = 5 a 0 a 5 a 5時, 三平面交於一點 5 4 (D) 交於一直線 無限多組解 Δ=Δ x =Δ y =Δ z = 若 Δ= 0 則 a = 5 此時 Δ x = 5 = (E) 沒有共同交點 無解 Δ = 0 若 Δ= 0 則 a = 5, 此時 Δ x = 9 0 三平面無共同交點 a = 5 時使三平面無共同交點 無實數 a 使三平面交於一直線成立 第二部分 填充題 設 a 為 的有 m 個,0 的有 n 個, 的有 r 個 i m + n + r = 50 A. m + n 0 + r ( ) = 9 m r = 9 A. m ( + ) + n (0 + ) + r( + ) = 07 4m+ n= 07 A. - - m= 48 m= 4 A. 代入 n =, 代入 r = 5, 有 項為 0 4! ns () = = P =! B. ( 成功 ) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

58 t C. 令 P= ( t t) = tan60, = t t = 0 t C. ( t+ )( t ) = 0 t = ( t = 不合, b> ) C. 正 Δ 之邊 = ( ) + ( ) = 4 b = 5 D. 由方程式可知兩焦點為 F (5, 0) 及 F ( 5, 0) D. 又 PF PF = a = 6 D. 令 PF = k, PF = k k k = 6 k = ( 負不合 ) D. 又 c = a + b = 9+ 6= 5 c= 5 D. 故 Δ FPF 的周長 = k+ k+ FF = = E. EONP 過球心 O (0, 0, 0) E. 截圓半徑 = 球半徑 = 令 NOP = θ (0, 0, ) (,, ) E. 則 cosθ 4 4 = = θ = π ( 劣弧 0 < θ < π ) NP = rθ = π = π F. 令兩根為 α, β αβ = < < < k <.8 < k < 4. k 7 k F. k Z k = 或 或 4 但方程式有二相異實根 b = 4ac> k > 0 k <.5 F. 由, 可知.8 < k <.5, 故 k = G. 設拋物線 y = ax, 拱門高為 k, 則 : 5 G. (, k+ ), (, k) 拋物線 5 k + = a( ) 4 k = a(9) 5 k = = k = k 9 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

59 H.6 題 : H. 題 : xi 4 Ex ( ) = f( xi ) xi 4 4 Ex ( ) = 0 所求 = 68 f( xi ) 5 5 y = ax + b I. yi = axi + b Sy = a S x 9 9 y = 6 + = 60.8, S y =.5 = ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

60 大學入學考試中心九十三學年度學科能力測驗試題 數學考科 作答注意事項 考試時間 :00 分鐘 題型題數 : 單一選擇題 6 題題型題數 : 多重選擇題 5 題題型題數 : 填充題 9 題 作答方式 : 用 B 鉛筆在 答案卡, 修正時應以橡皮擦拭, 切勿使用修正液作答方式 : 答錯不倒扣 試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

61 第一部分選擇題 壹 單一選擇題 說明 : 第 至 6 題, 每題選出最適當的一個選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 答錯不倒扣 ( ). 已知一等差數列共有十項, 且知其奇數項之和為 5, 偶數項之和為 0, 則下列哪一選項為此數列之公差? ( ) (A) (B) (C) (D)4 (E)5 ( ). 下列選項中的數, 何者最大? 其中 n! = n ( n ) ( ) (A) 00 0 (B) 0 00 (C) (D)50! (E) 00! 50! ( ). 右圖陰影部分所示為複數平面上區域 π 5π ( ). A= z: z = r(cosθ + isin θ), 0 r, θ 4 4 ( ). 之略圖, 令 D = { w: w = z, z A}, 試問下列選 ( ) 項中之略圖, 何者之陰影部分與區域 D 最接近? ( ) (A) (B) (C) ( ).(D) (E) ( )4. 坐標空間中給定兩點 A (,, ) 與 B (7, 6, 5), 令 S 為 xy 一平面上所有使得向量 PA 垂直於 向量 PB 的 P 點所成的集合, 則 ( )4 (A)S 為空集合 (B)S 恰含一點 (C)S 恰含兩點 ( )4 (D)S 為一線段 (E)S 為一圓 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

62 ( )5. 設 Δ ABC 為平面上的一個三角形,P 為平面上一點且 AP = AB + t AC, 其中 t 為一實數, 試 ( )5. 問下列哪一選項為 t 的最大範圍, 使得 P 落在 Δ ABC 的內部? ( )5 (A) 0 < t < (B) 0 < t < (C) 0 < t < 4 ( ) 5(D) 0 < t < (E) 0 < t < 4 ( )6. 台灣證券交易市場規定股票成交價格只能在前一個交易日的收盤價 ( 即最後一筆的成交價 ) ( )6. 的漲 跌 7 % 範圍內變動, 例如 : 某支股票前一個交易日的收盤價是每股 00 元, 則今天該支股票每股的買賣價格必須在 9 元至 07 元之間 假設有某支股票的價格起伏很大, 某一天的收盤價是每股 40 元, 次日起連續五個交易日以跌停板收盤 ( 也就是每天跌 7%), 緊接著卻連續五個交易日以漲停板收盤 ( 也就是每天漲 7%), 請問經過這十個交易日後, 該支股票每股的收盤價最接近哪一個選項中的價格? ( )6(A)9 元 (B)9.5 元 (C)40 元 (D)40.5 元 (E)4 元 貳 多重選擇題 : 說明 : 第 7 至 題, 每題至少有一個選項是正確的, 選出正確選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 說明 : 答錯不倒扣, 未答者不給分, 只錯一個可獲.5 分, 錯兩個或兩個以上不給分 ( )7. 中山高速公路重慶北路交流道南下入口匝道分成內 外兩線車道, 路旁立有標誌 外側車道 ( )7. 大客車專用 請選出不違反此規定的選項 : ( )7 (A) 小型車行駛內側車道 (B) 小型車行駛外側車道 ( )7 (C) 大客車行駛內側車道 (D) 大客車行駛外側車道 ( )7 (E) 大貨車行駛外側車道 ( )8. 在坐標平面上, 下列哪些方程式的圖形可以放進一個夠大的圓裡面? ( )7 (A) x = y (B) x + y = (C) x y = ( )7 (D) x+ y = (E) x + y = ( )9. 如右圖 O-ABCD 為一金字塔, 底是邊長為. 之正方形, 頂點 O 與 ( )9. A B C D 之距離均為, 試問下列哪些式子是正確的? ( )9(A) OA + OB + OC + OD = 0 (B) OA + OB OC OD = 0 ( )9(C) OA OB + OC OD = 0 (D) OA OB = OC OD ( )9(E) OA OC = ( )0. 從,,,0 這十個數中隨意取兩個, 以 p 表示其和為偶數之機率,q 表示其和為奇數 ( )0. 之機率, 試問下列哪些敘述是正確的? ( )0 (A) p + q = (B) p = q (C) p q 0 ( )0 (D) p q 0 (E) p ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

63 ( ). 設 f ( x ) 為三次實係數多項式, 且知複數 + i 為 f( x ) = 0之一解, 試問下列哪些敘述是正確 ( ). 的? ( ) (A) f( i) = 0 (B) f( + i) 0 (C) 沒有實數 x 滿足 f ( x) = x ( ) (D) 沒有實數 x 滿足 f( x ) = 0 (E) 若 f (0) > 0 且 f () < 0則 f (4) < 0 第二部分 : 填充題 說明 : 第 A 至 I 題, 將答案標示在答案卡之 解答欄, 每題完全答對給 5 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 某數學老師計算學期成績的公式如下 : 五次平時考中取較好的三次之平均值佔 0%, 兩次期中 A. 考各佔 0%, 期末考佔 0%, 某生平時考成績分別為 , 期中考成績分別為 A.86 79, 期末考成績為 90, 則該生學期成績為 ( 計算到整數為止, 小數點以後四捨五入 ) B. 某電視台舉辦抽獎遊戲, 現場準備的抽獎箱裡放置了四個分別標有 元獎額的球 參加者自行從抽獎箱裡摸取一球 ( 取後即放回 ), 主辦單位即贈送與此球上數字等額的獎金, 並規定抽取到 0 元的人可以再摸一次, 但是所得獎金折半 ( 若再摸到 0 就沒有第三次機會 ); 則一個參加者可得獎金的期望值是 元 ( 計算到整數為止, 小數點以後四捨五入 ) C. 設 a,b,c 為正整數, 若 alog50 + blog clog50 =, 則 a+ b+ c= D. 設 Δ ABC 為一等腰直角三角形, BAC = 90, 若 P Q 為斜邊 BC 的三等分點, 則 D. tan PAQ = ( 化成最簡分數 ) E. 某高中招收高一新生共有男生 008 人 女生 94 人報到 學校想將他們依男女合班的原則平均 E. 分班, 且要求各班有同樣多的男生, 也有同樣多的女生 ; 考量教學效益, 並限制各班總人數在 E. 40 與 50 人之間, 則共分成 班 F. 在坐標空間中, 平面 x y+ z = 0上有一以點 P (,,) 為圓心的圓 Γ, 而 Q( 9,9,7) 為圓 Γ 上 6. 一點 若過 Q 與圓 Γ 相切的直線之一方向向量為 ( a, b,), 則 a =, b = G. 設 70 < A < 60 且 sin A+ cos A= sin 004, 若 A = m, 則 m = H. 坐標平面上的圓 C:( x 7) + ( y 8) = 9上有 個點與原點的距離正好是整數值 I. 在坐標平面上, 設直線 L: y = x+ 與拋物線 Γ : x = 4y 相交於 P Q 兩點, 若 F 表拋物線 Γ 的焦 9. 點, 則 PF + QF = ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

64 參考公式及可能用到的數值. 一元二次方程式 ax + bx + c = 0 的公式解 : ± x = b b 4ac a. 平面上兩點 P( x, y ), P ( x, y ) 間的距離為 y y. 通過 ( x, y ) 與 ( x, y ) 的直線斜率為 m= x x x x, PP = ( x x ) + ( y y ) 4. 三角函數的和角公式 : sin( A+ B) = sin Acos B+ cos Asin B tanθ+ tanθ tan( θ+ θ) = tanθ tanθ 5. Δ ABC 的正弦及餘弦定理 : c = a + b abcosc n n 6. 棣美弗定理 : 設 z = r(cosθ + isin θ), 則 z = r (cos nθ + isin nθ),n 為一正整數 n 7. 算術平均數 M ( = X) = ( x+ x + + xn) = xi n n i= 8. 參考數值 :.44;.7; 5.6, 6.449; π.4 9. 對數值 : log0 0.00, log , log , log 常用對數表 log0 N N 表 尾 差 註 :. 表中所給的對數值為小數點後的值. 表中最左欄的數字表示 N 的個位數及小數點後第一位, 最上一列的數字表示 N 的小數點後第二位 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

65 ================= 九十三年答案 ===================== 第一部分 選擇題 壹 單一選擇題. C. B. E 4. A 5. D 6. A 貳 多重選擇題 7. ACD 8. BE 9. CD 0. AD. ABE 第二部分 填充題 A. 84 B. 675 C. 5 D. 4 E. 4 F. 5, G. 06 H. I. 0 ====================== 解析 ======================= 第一部分 選擇題 壹 單一選擇題. 設等差數列十項為 a a a a0 由奇數項之和為 5 a+ a+ a5 + a7 + a9 = 5 由偶數項之和為 0 a + a4 + a6 + a8 + a0 = 0 - ( a + a4 + a6 + a8 + a0) ( a+ a+ a5 + a7 + a9) = 5 ( a a) + ( a4 a) + ( a6 a5) + ( a8 a7) + ( a0 a9) = 5 d + d + d + d + d = 5 5d = 5 d = 故選 (C) (A) 00 = (0 ) = (B) 0 = (0 ) = 00 = (C) 50 = 項 (D) 50! = 項 00! (E) ! = 50 項 50 項 00 由以上可推知 0 為最大故選 (B) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

66 π 5π. A= z: z = r(cosθ + isin θ), 0 r, θ 4 4 9π 5π D= z : z = r (cosθ + isin θ), 0 r, θ 4 4 由同界角之概念 : 9 π 與 4 4 π 為同界角, 5 π 7π 與為同界角 陰影之角度為 π ~ π 故選 (E) 設 Px (, y,0) 由 PA PB 可得 ( x, y, ) (7 x, 6 y, 5) ( x)(7 x) + ( y)(6 y) + 5 = 0 x 8x+ 7+ y 8y+ + 5= 0 ( x 4) + ( y 4) = S為空集合故選 (A) 5. AP= AB+ tac 如設 A(0, 0), B(, 0), C(0,) 則 AB = (, 0), AC = (0, ) AP = (, 0) + t(0, ) = (, t) x > 0 Δ ABC 內部為 : y > 0 而 (, ) t 在此內部 x + y < > 0 t 0 > t > 0 0< t < 故選 (D) t < + t < 40( 7%) ( + 7%) = 40( 0.07) ( ) = 40 ( 0.07)( ) 5 6. = 40( ) 40( ) = 9.0 故選 (A) n 註 : 因 ( ± x) ± nx ( 當 x 值很小的情形下 ) [ ] 5 貳 多重選擇題 7. 此規定為 外側車道, 大客車專用 依邏輯基本概念, 找不違反此規定的選項故選 (A)(C)(D) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

67 8.(A) 為拋物線圖形 (B) 為橢圓圖形 (C) 為雙曲線圖形 x+ y = (D) x+ y = 之聯集 x + y = (E) x + y = 要放進一個夠大的圓裡面需為封閉性之圖形 9.(A) OA + OB + OC + OD 顯然非 0 (B) OA + OB OC OD = OA OD + OB OC = DA + CB = DA 0 (C) OA OB + OC OD = OA OD + OC OB = DA + BC = 0 (D) OA OB = OA OB cos AOB = 4 cos AOB OC OD = OC OD cos DOC = 4cos DOC 又 AOB = DOC OA OB = OC OD (E) OA OC = OA OC cos AOC = 4cos AOC + ( ) 6 由 Δ OAC 中, cos AOC = = = OA OC = 4 = 和為偶 : 所取兩數皆為偶或皆為奇和為奇 : 所取兩數為一奇一偶 : C + p C = ; q: C C =, p q 0 0 C 9 C 9 = 故選 (A)(D) 9,,,, 5 7 9,,,, f ( x ) 為三次實係數多項式,+ i 為 f( x ) = 0之一根. i 為 f( x ) = 0之一根 [ x ( + i) ] [ x ( i) ] f( x) x x+ f( x) f( x) = 0除 + i, i外, 另一根為實根 ( 共三個根 ) (A) f( i) = 0 (B) f( + i) 0 (C) f( x) x= 0為三次實係數多項式, 必有實數解 9 6 (D) 設 f ( x) = ax + bx + cx + d, f ( x ) = ax + bx + cx + d 令 x = y 則 f ( y) = ay + by + cy+ d 則 f( y ) = 0, 必有實數解 x = y R x= y R (E) f(0) f () < 0 則此實根介於 0 ~ 間 f (4) < 0 ( 若 f (4) > 0, 則 ~ 4 間又有另一實根, 則矛盾 ) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

68 第二部分 填充題 A % + ( ) 0% % = B ( ) = 675 ( 元 ) alog + blog 5 + clog = ( a, b, c N) C a b c a b c C log + log 5 + log = log ( 5 ) = a b c 9 C. 5 = 50 = 5 a+ b+ c= 5 D. 設 BA= a, 則 AC = a, BP= PQ= QC = a D. 在 Δ BAP 中, AP = ( a) + ( a) a a cos 45 = 5a D. AP = 5a, 同理 AQ = 5a a a a cos PAQ = = 5a 5a 5 tan PAQ = 4 ( 5 ) + ( 5 ) ( ) 4 E. (008, 94) = 84 = = ; =, 因 40 < k+ k < < k < 50, E. 取 k = 則每班男生 4 人, 女生 人, 每班人數為 46 人, 則編班的班數為 7= 4( 班 ) F. 由已知 PQ ( ab,,),( ab,,) n= (,,), PQ= ( 0,8,6) 0a+ 8b+ 6 = 0 a= 5 F. a b+ = 0 b= G. 70 < A < 60 且 sin A+ cos A= sin 004 sin 04 G. ( sin A+ cos A) = sin 04 sin( A + 0 ) = sin 6 A= 06 = m m= 06 H. 圓 C 之圓心 (7,8) 與 O(0,0) 之距離為 = H. 圓 C 距離 O 最近距離為 7. 最遠距離為 +. H. 因此整數距離為 8,9,0,,, H. 每個整數距離為兩個點 6 =, 而 70 < A < 60 9 O (7,8) 9 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

69 y = x+ I. x = 4( x+ ) x= ± x = 4y I. P(,4 ), Q(+,4+ ) 依拋物線定義, 準線 L: y = PF + QF = d( P, L) + d( Q, L) = (5 ) + (5+ ) = 0 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

70 大學入學考試中心九十四學年度學科能力測驗試題 數學考科 作答注意事項 考試時間 :00 分鐘 題型題數 : 單一選擇題 5 題題型題數 : 多重選擇題 6 題題型題數 : 填充題 9 題 作答方式 : 用 B 鉛筆在 答案卡, 修正時應以橡皮擦拭, 切勿使用修正液作答方式 : 答錯不倒扣 試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

71 第一部分選擇題 壹 單一選擇題 說明 : 第 至 5 題, 每題選出最適當的一個選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 答錯不倒扣 ( ). 試問整數 4659 共有多少個不同的質因數? ( ) (A) 個 (B) 個 (C) 個 (D)4 個 (E)5 個 nn ( + ) ( ). 利用公式 n = ( ), 可計算出 () + () + (0) 之值為 : ( ) (A)4075 (B)4095 (C)45 (D)45 (E)455 ( ). 台北銀行最早發行的樂透彩 ( 俗稱小樂透 ) 的玩法是 4 選 6 : 購買者從 0 ~ 4 中任選六 ( ). 個號碼, 當這六個號碼與開出的六個號碼完全相同 ( 不計次序 ) 時即得頭獎 ; 台北銀行曾考 ( ). 慮發行 9 選 5 的小小樂透: 購買者從 0 ~ 9 中任選五個號碼, 如果這五個號碼與開出的五個號碼完全相同 ( 不計次序 ) 則得頭獎 假設原來的小樂透中頭獎的機率是 R, 而曾考 r 慮. 發行的小小樂透中頭獎的機率是 r 試問比值最接近下列哪個選項? ( ) (A) (B)5 (C)7 R (D)9 (E) ( )4. 設 a,b 為正實數, 已知 log7 a =, log 7 b = ; 試問 log 7( a+ b) 之值最接近下列哪個選項? ( ) (A) (B) (C)4 (D) (E)4 ( )5. 某校高一第一次段考數學成績不太理想, 多數同學成績偏低 ; 考慮到可能是同學們適應不良 ( )5. 所致, 數學老師決定將每人的原始成績取平方根後再乘以 0 作為正式紀錄的成績 今隨機 抽選 00 位同學發現調整後的成績其平均為 65 分, 標準差為 5 分 ; 試問這 00 位同學未調 整前的成績之平均 M 介於哪兩個連續正整數之間?( 試題末附有標準差公式 ) ( )5 (A) 40 M < 4 (B) 4 M < 4 (C) 4 M < 4 ( )5 (D) 4 M < 44 (E) 44 M < 45 貳 多重選擇題 : 說明 : 第 6 至 題, 每題至少有一個選項是正確的, 選出正確選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 說明 : 答錯不倒扣, 未答者不給分, 只錯一個可獲.5 分, 錯兩個或兩個以上不給分 ( )6. 如右圖所示, 兩射線 OA 與 OB 交於 O 點, 試問下列選項中 ( )6. 哪些向量的終點會落在陰影區域內? ( )6 (A) OA + OB (B) OA + OB 4 ( )6 (C) OA OB (D) OA + OB ( )6 (E) OA OB 4 5 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

72 ( )7. 如右圖所示, 坐標平面上一鳶形 ABCD, 其中 A C 在 y 軸上,.B D 在 x ( )7. 軸上, 且 AB = AD =, BC = CD = 4, AC = 5 令 mab mbc mcd mda ( )7. 分別表直線 AB BC CD DA 之斜率 試問以下哪些敘述成立? ( )7 (A) 此四數值中以 m AB 為最大 (B) 此四數值中以 m BC 為最小 ( )7 (C) m BC = m CD (D) mab mbc = ( )7 (E) m + m > 0 CD DA ( )8. 假設坐標空間中三相異平面 E E E皆通過 (,, 0) 與 (, 0, ) 兩點, 試問以下哪些點也同時在此三平面上? ( )(A) (,,) (B) (,,) (C) (4,,) ( )8 (D) (,4,0) (E) ( 5, 4, ) π ( )9. 若 0 < θ <, 試問以下哪些選項恆成立? 4 ( )8 (A)sinθ < cosθ (B) tanθ < sinθ (C) cosθ < tanθ ( )8 (D)sin θ < cos θ θ (E) tan < tanθ x y ( )0. 設 F 與 F 為坐標平面上雙曲線 Γ: = 的兩個焦點,P 為 Γ 上一點, 使得此三點構成 9 6 ( )0. 一等腰三角形 試問以下哪些值可能是這些等腰三角形的周長? ( ) (A)0 (B)4 (C)8 (D) (E)6 ( ). 設 S 為空間中一球面,AB 為其一直徑, 且 AB = 0 若 P 為空間中一點, 使得 PA + PB = 4, ( ). 則 P 點的位置可能落在哪裡? ( ) (A) 線段 AB 上 (B) 直線 AB 上, 但不在線段 AB 上 ( ) (C) 球面 S 上 (D) 球 S 的內部, 但不在線段 AB 上 ( ) (E) 球 S 的外部, 但不在直線 AB 上 第二部分 : 填充題 說明 : 第 A 至 I 題, 將答案標示在答案卡之 解答欄, 每題完全答對給 5 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 若多項式 x x+ 能整除 x + x + x + px + x+ q, 則 p =, q = B. 在坐標平面上, 正方形 ABCD 的四個頂點坐標分別為 A (0, ), B (0, 0), C (, 0), D (, ) 設 P B. 為正方形 ABCD 內部的一點, 若 Δ PDA 與 Δ PBC 的面積比為 :, 且 Δ PAB 與 Δ PCD 的面積比為 :, 則 P 點的坐標為 ( 化成最簡分數 ) C. 在數線上有一個運動物體從原點出發, 在此數線上跳動, 每次向正方向或負方向跳 個單位, 跳動過程可重複經過任何一點 若經過 6 次跳動後運動物體落在點 + 4 處, 則此運動物體共有 種不同的跳動方法 9 D. 設複數 z = i; 若 + z+ z + + z = a+ bi, 其中 a,b 為實數, 則 a =, b = ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

73 E. 設 O 為坐標平面上的原點,P 點坐標為 (, ) ; 若 A B 分別是正 x 軸及正 y 軸上的點, 使得 5. PA PB, 則 Δ OAB 面積的最大可能值為 ( 化成最簡分數 ) F. 如右圖所示, 在 Δ ABC 中, BAC 的平分線 AD 交對邊 BC 於 D; 6. 已知 BD =, DC = 6, 且 AB = AD, 則 cos BAD 之值為 6 ( 化成最簡分數 ) G. 在坐標平面上, 過 F (, 0) 的直線交拋物線 Γ : y = 4x 於 P Q 兩點, 其中 P 在上半平面, 且知 G. PF = QF, 則 P 點的 x 坐標為 ( 化成最簡分數 ) 8 H. 設 x 為一正實數且滿足 x x = ; 若 x 落在連續正整數 k 與 k + 之間, 則 k = I. 如右圖所示,ABCD-EFGH 為邊長等於 之正立方體 若 P 點在 6. 立方體之內部且滿足 AP = AB + AD + AE 則 P 點至直線 AB 之 4 6. 距離為 ( 化成最簡分數 ) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -7 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

74 參考公式及可能用到的數值. 一元二次方程式 ax + bx + c = 0 的公式解 : ± x = b b 4ac a. 平面上兩點 P( x, y), P ( x, y ) 間的距離為 PP = ( x x ) + ( y y ) y y. 通過 ( x, y) 與 ( x, y) 的直線斜率為 m= x x x x, n n r 4. 等比數列 < ar > 的前 n 項之和 Sn = a r r, 5. 三角函數的和角公式 : sin( A+ B) = sin Acos B+ cos Asin B tanθ+ tanθ tan( θ+ θ) = tanθ tanθ 6. Δ ABC 的正弦定理 : sin A sin B sin = = C a b c Δ ABC 的餘弦定理 : c = a + b abcosc 7. 棣美弗定理 : 設 z = r(cosθ + isin θ), 則 n n z = r (cos nθ + isin nθ),n 為一正整數 n 8. 算術平均數 M ( = X) = ( x+ x + + xn) = xi n n i= n n ( 樣本 ) 標準差 S = ( xi X) = (( xi ) nx ) n i= n i= 9. 參考數值 :.44;.7; 5.6, 6.449; π.4 0. 對數值 : log0 0.00, log , log , log ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -7 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

75 ================= 九十四年答案 ===================== 壹 單一選擇題. C. A. D 4. B 5. E 貳 多重選擇題 6. AB 7. BCE 8. B 9. AE 0. BE. BCDE 第二部分 填充題 A.,8 B. (, ) C. 6 D.,- 5 E. 5 F. G. H I. 6 ====================== 解析 ======================= 第一部分 選擇題 壹 單一選擇題 = 7, 不同的質因數共 個故選 (C) = ( ) ( ) 0 0 = ( ) ( ) = 0 55 = 4075 故選 (A). r R C C = = = = C C = 故選 (D) 4. log a= a= 7 7 log b= b= ( 7 ) 7 50 a+ b= + = + = log ( a+ b) = log (7 50) = log 7 + log 50 + = 故選 (B) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -7 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

76 5. 設原來未調整前的成績為 x x x x00則調整後的成績為 0 x 0 x 0 x 0 x00 n xi nx i= (00x+ 00x x00) S = 5 = n 原來平均數為 = 故選 (E) 00 x+ x + + x00 = 貳 多重選擇題 a > 0 6. 設 OP = aoa + bob, 則 P 在陰影區 b > 0 a + b > 6 (A) 由圖顯然在陰影區域內 6 (B) + = > 會在 L 的右側 ( 陰影區域 ) 4 6 (C) 顯然落在 S 區域內, 故不在陰影區域內 9 6 (D) + = < 會在 L 的左側 ( 非陰影區域 ) (E) 顯然落在 S 區域內 7. 設 OA = x, 則 OC = 5 x x = 4 (5 x) 69 x= OB= 4 = mab = = ; mcd = = mbc = = ; mda = = mcd + mda = = > 0 故選 (B)(C)(E) x= + t 8. 由已知三相異平面交於一直線 L L: y = t t R檢查各選項之點是否滿足 L 之參數式 z = t (A) (,,) 不滿足 (B) (,,) 滿足 (C) (4,,) 不滿足 (D) (,4,0) 不滿足 (E) ( 5, 4, ) 不滿 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

77 π 9.(A) 0 < θ < 時, sinθ < cosθ 4 π π π (B) 取 θ =, 則 tan = > sin = π π π (C) 取 θ =, 則 cos = > tan = π π π π (D) 0< θ < 0< θ < sinθ < cosθ 不恆成立 ( < θ < 時, sinθ > cosθ ) 4 4 θ θ tan tan tanθ (E) tan θ = tanθ tanθ tan θ = θ = θ tan tan π θ π π 又 0< θ < 0< < < θ π θ π θ 0< tan < tan = 0< tan < tan = 0< tan < 4 4 θ tan θ 0< tan < > θ tanθ = > tan θ tan θ tan 0. P 為雙曲線上之點 PF PF = a 0表 PF PF 又 a = 9, b = 6 a=, b= 4, c= + 4 = 5 PFF 為等腰三角形 FF = PF或 FF = PF PF PF = 6 PF PF =± 6 FF = PF = 0 () PF = 6 周長為 = 6 PF PF = 6 FF = PF = 0 () PF = 4 周長為 = 4 PF PF = 6 FF = PF = 0 () PF = 4 周長為 = 4 PF PF = 6 FF = PF = 0 (4) PF = 6 周長為 = 6 故選 (B)(E) PF PF = 6. 先以平面觀之, AB 為直徑且 AB = 0 C 為 r = 5 之圓 (S 球面中的最大圓 ) 又 P 為動點, PA + PB = 4 符合橢圓之定義 a= 4 a= 7 b = 7 5 = 4 < 5 c= 0 c= 5 Γ 為 a= 7, b= 4 之橢圓, 且與 C 有相同之中心由圖中 C 與 Γ 之關係, 可知空間中 P 點與 S 之關係 故選 (B)(C)(D)(E) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

78 第二部分 填充題 A. p+ = 0 p= q p = 0 q= 8 B. 由 ΔPDA: Δ PBC = :可知 PL : PN = : B. P 之 y 坐標為由 ΔPAB : Δ PCD = : B. 可知 PM : PK = : B. P 之 x 坐標為 P(, ) 5 5 C. 設 6 次中有 x 次向正方向跳,y 次向負方向跳 x+ y = 6 C. x = 5, y = x y = 4 6! C. 方法數 6 5! = ( 種 ) ( z ) ( i) ( i) 0 D. + z+ z + + z = = =, ( i) = i ( i) = i z i i i (i+ ) i D. 原式 = = = i(i+ ) = i a=, b= i i i E. 設 Ax (, 0), x> 0, P (,) 則 PA = ( x, ) ; 又設 B(0, y), y > 0 則 PB = (, y ) E. PA PB PA PB = 0 ( x ) ( y ) = 0 x + y = 5 E. ΔOAB 之面積為 xy, x+ y 5 5 又 x y xy xy Δ OAB 面積最大為 = 8 6 F. 設 AB= a AD為 BAC 之角平分線 F. AB : AC = BD : DC = :6= : AC = a F. 由 cos ADB + cos ADC = 0( ADB = π ADC ) + a a a + 6 ( a) F. + = 0 a = a a 6 ( ) + ( ) F. cos BAD = = 4 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

79 G. Γ : y = 4 x, 焦點 (,0), 準線 L : x+ = 0 P, Q Γ d( P, L ) = PF; d( Q, L ) = QF 又 PF = QF PF : QF = : 令 PF = k, QF = k L : x+ = 0 k y H k L P y = 4x 作 QH PH PH = k k = k MF QF 又 = = MF = k PH PQ dfl (, ) = k+ k = k= P點之 x 坐標 α α + = α = 6 k M F(, 0) Q x x 8 H. x = x 8 log ( x ) = log log x+ x= 8 log x = 8 x G ( 由圖知根介於 與 8 間 ) G. 令 f( x) = log x (8 x) = x+ log x 8 f (8) = 8 + log 8 8 > 0 f (7) = 7 + log7 8 = log7 > 0 (log7 =. ) f (6) = 6 + log6 8 = log6 > 0 (log6 =. ) f (5) = 5 + log 5 8 = log 5 < 0 (log 5 =. ) 根介於 5 與 6 間 k = 5 (0,8) y (, 0) (8, 0) y = log x x y = 8 x I. 以 D 為原點建立坐標系, 設 P(x,y,z) AP = ( x, y, z) = AB + AD + AE 4 = (0,,0) + (,0,0) + (0,0,) 4 = (,, ) ( xyz,, ) = (,, ) 4 4 x = AB : y = t t R, 設 Q(, t, 0) 為 AB 之動點 z = G. PQ = ( ) + ( t ) + = ( t ) G. 當 t = 時, PQ 有最短距離 4 6 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

80 大學入學考試中心九十五學年度學科能力測驗試題 數學考科 作答注意事項 考試時間 :00 分鐘 題型題數 : 單一選擇題 5 題題型題數 : 多重選擇題 6 題題型題數 : 填充題 9 題 作答方式 : 用 B 鉛筆在 答案卡, 修正時應以橡皮擦拭, 切勿使用修正液作答方式 : 答錯不倒扣 試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

81 第一部分選擇題 壹 單一選擇題 說明 : 第 至 5 題, 每題選出最適當的一個選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 答錯不倒扣 ( ). 設一元二次整係數方程式 ax + bx + c = 0 有一根為 4+ i, 若將此方程式的兩根與原點在複數 ( ). 平面上標出, 則此三點所圍成的三角形面積為 ( ) (A)5 (B)6 (C) (D)6 (E)4 ( ). 在右圖的棋盤方格中, 隨機任意取兩個格子, 選出的兩個格子 ( ). 不在同行 ( 有無同列無所謂 ) 的機率為 ( ) (A) 0 ( ) (D) 5 (B) 4 (E) 4 5 (C) 4 ( ). 右圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形, 且 OD = 8, 問 : 直 ( ). 角三角形 OAB 的高 AB 為何? ( ) (A) (B) 6 ( ) (C) 7 (D) ( ) (E) ( )4. 下列哪一個數值最接近? ( ) (A) cos 44 + sin 44 (B) cos54 + sin 54 ( ) (D) cos74 + sin 74 (E) cos84 + sin84 (C) cos64 + sin 64 ( )5. 在養分充足的情況下, 細菌的數量會以指數函數的方式成長, 假設細菌 A 的數量每兩個小 時可以成長為兩倍, 細菌 B 的數量每三個小時可以成長為三倍, 若養分充足且一開始兩種 細菌的數量相等, 則大約幾小時後細菌 B 的數量除以細菌 A 的數量最接近 0? ( )5(A)4 小時 (B)48 小時 (C)69 小時 ( )5(D)96 小時 (E)7 小時 貳 多重選擇題 : 說明 : 第 6 至 0 題, 每題至少有一個選項是正確的, 選出正確選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 說明 : 答錯不倒扣, 未答者不給分, 只錯一個可獲.5 分, 錯兩個或兩個以上不給分 ( )6. 假設 a,b,c 是三個正整數, 若 5 是 a,b 的最大公因數, 且,4,4 都是 b,c 的公因數, ( )6. 則下列何者正確? ( )6 (A)c 一定可以被 56 整除 (B) b 00 ( )6 (C) 若 a 00, 則 a = 5 (D)a,b,c 三個數的最大公因數是 5 的因數 ( )6 (E)a,b,c 三個數的最小公倍數大於或等於 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

82 ( )7. 考慮坐標平面上所有滿足 ( x ) y ( x ) ( y 4) = 的點 ( x, y ) 所成的圖形, 下列 ( )7. 敘述何者正確? ( )7 (A) 此圖形為一橢圓 (B) 此圖形為一雙曲線 ( )7 (C) 此圖形的中心在 (, ) (D) 此圖形對稱於 x = 0 ( )7 (E) 此圖形有一頂點 (, ) ( )8. 假設實數 a, a, a, a4是一個等差數列, 且滿足 0< a < 及 a = 4, 若定義 a n b n = ( )8. 哪些選項是對的? ( )8 (A) b, b, b, b 4 是一個等比數列 (B) b < b ( )8 (C) b >4 (D) b 4 > ( )8 (E) b b 4 = 56, 則以下 ( )9. 學生練習計算三次多項式 f ( x ) 除以一次多項式 gx ( ) 的餘式, 已知 f ( x ) 的三次項係數為, ( )9. 一次項係數為, 甲生在計算時把 f ( x ) 的三次項係數錯看成 ( 其它係數沒看錯 ), 乙生在計算時把 f ( x ) 的一次項係數錯看成 ( 其它係數沒看錯 ), 而甲生和乙生算出來的餘式剛好一樣, 試問 gx ( ) 可能等於以下哪些一次式? ( )9 (A) x (B) x (C) x (D) x + (E) x + ( )0. 右圖是根據 00 名婦女的體重所作出的直方圖 ( ) 0 ( 圖中百分比數字代表各體重區間的相對次數, ( ) 0 其中各區間不包含左端點而包含右端點 ) 該 ( ) 0 00 名婦女體重的平均數為 55 公斤, 標準差為 ( ) 0.5 公斤, 曲線 N 代表一常態分佈, 其平均數 ( ) 0 與標準差與樣本值相同, 在此樣本中, 若定義 ( )0 體重過重 的標準為體重超過樣本平均數 ( )0 個標準差以上 ( 即體重超過 80 公斤以上 ), ( )0. 則下列敘述哪些正確? ( )0(A) 曲線 N( 常態分佈 ) 中, 在 55 公斤以上所佔的比例約為 50% ( )0(B) 曲線 N( 常態分佈 ) 中, 在 80 公斤以上所佔的比例約為.5% ( )0(C) 該樣本中, 體重的中位數大於 55 公斤 ( )0(D) 該樣本中, 體重的第一四分位數大於 45 公斤 ( )0(E) 該樣本中, 體重過重 ( 體重超過 80 公斤以上 ) 的比例大於或等於 5% ( ). 將正整數 8 分解成兩個正整數的乘積有 8, 9, 6 三種, 又 6是這三種分解中, ( ). 兩數的差最小的, 我們稱 6為 8 的最佳分解, 當 p q( p q) 是正整數 n 的最佳分解時, p ( ). 我們規定函數 Fn ( ) =, 例如 F (8) = =, 下列有關函數 Fn ( ) 的敘述何者正確? q 6 ( ) (A) F (4) = (B) F (4) = 8 ( ) (C) F (7) = (D) 若 n 是一個質數, 則 Fn ( ) = n ( ) (E) 若 n 是一個完全平方數, 則 Fn= ( ) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

83 第二部分 : 填充題 說明 : 第 A 至 I 題, 將答案標示在答案卡之 解答欄, 每題完全答對給 5 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 抽樣調查某地區 000 個有兩個小孩的家庭, 得到如右數據, A. 其中 ( 男, 女 ) 代表第一個小孩是男孩而第二個小孩是女孩的 A. 家庭, 餘類推 由此數據可估計該地區有兩個小孩家庭的男 A. 女孩性別比約為 :00( 四捨五入至整數位 ) 家庭別 家庭數 ( 男, 男 ) 6 ( 男, 女 ) 49 ( 女, 男 ) 55 ( 女, 女 ) 5 B. 右圖為一正立方體, 若 M 在線段 AB 上, BM = AM,N 為線段 BC B. 之中點, 則 cos MON = 0 ( 分數要化成最簡分數 ) C. 給定平面上三點 ( 6, ),(, ),(,), 若有第四點和此三點形成一菱形 ( 四邊長皆相等 ), 則第 C. 四點的坐標為 D. 如圖所示,ABCD 為圓內接四邊形 : D. 若 DBC = 0, ABD = 45, CD = 6, 則線段 AD = E. 新新鞋店為與同業進行促銷戰, 推出 第二雙不用錢 --- 買一送一 的活動, 該鞋店共有八款鞋可供選擇, 其價格如下 : 款式甲乙丙丁戊已庚辛 價格 E. 規定所送的鞋之價格一定少於所買的價格 ( 例如 : 買一個 丁 款鞋, 可送甲 乙兩款鞋之一 ) E. 若有一位新新鞋店的顧客買一送一, 則該顧客所帶走的兩雙鞋, 其搭配方法一共有 種 F. 某地共有 9 個電視頻道, 將其分配給 個新聞台 4 個綜藝台及 個體育台共三種類型, 若同 類型電視台的頻道要相鄰, 而且前兩個頻道保留給體育台, 則頻道的分配方式共有 種 G. 用黑 白兩種顏色的正方形地磚依照如下的規律拼成若干圖形 : H. 拼第 95 個圖需用到 塊白色地磚 H. 在三角形 ABC 中, 若 D 點在 BC 邊上, 且 AB = 7, AC =, BD = 7, CD = 8, 則 AD = I. 設 A(0,0), B(0,0), C(0,6), D(0,6) 為坐標平面上的四個點, 如果直線 y = m( x 7) + 4將四邊形.ABCD 分成面積相等的兩塊, 那麼 m = ( 化成最簡分數 ) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -8 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

84 參考公式及可能用到的數值. 一元二次方程式. 平面上兩點 b± b 4ac + + = 0 的公式解 : x = a ax bx c P ( x ), P (, ), y. 通過 ( x, y ) 與 (, ) x y 間的距離為 PP = ( x x ) + ( y y ) y y x y 的直線斜率 m = x x, x x k 4. 等比數列 < ar > 的前 n 項之和 S n n a ( r ) =, r r 5. 三角函數的公式 :sin( A+ B) = sin Acos B+ sin Bcos A cos( A + B) = cos Acos B sin Asin B sin θ = sinθcosθ 6. ΔABC 的正弦定理 : sin A sin B sin C = = =, R 是外接圓半徑 a b c R ΔABC 的餘弦定理 : c = a + b abcosc 7. 棣美弗定理 : 設 z = r( cosθ + isinθ), 則 z n n = r ( cosnθ + isinn ) n 8. 算術平均數 : M ( = X) = ( x + x + + xn) = xi n n i = θ,n 為一正整數 n n ( 樣本 ) 標準差 : S = ( xi X) = (( xi ) nx ) n i= n i= 參考數值 : log 0.00 ; log ; sin5 = ; cos5 = 常態分佈 : 常態分佈的資料對稱於平均數 μ, 且當標準差為 S 時, 該資料大約有 68% 0. 落在區間 ( μ S, μ+ S) 內, 約有 95% 落在區間 ( μ S, μ+ S) 內, 約有 99.7% 落在區 0. 間 ( μ S, μ+ S) 內 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -8 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

85 ================= 九十五年答案 ===================== 第一部分 壹 單一選擇題 選擇題. C. E. D 4. D 5. E 貳 多重選擇題 6. BCD 7. ACDE 8. ABCDE 9. ACE 0. ABDE. ACDE 第二部分 填充題 (9,) ====================== 解析 ======================= 第一部分 選擇題 壹 單一選擇題. 實係數方程式, 虛根成對 ax + bx + c = 0 ( a, b, c為整數 ) 有一根為 4+ i, 則必有另一根 4 i 三角形面積為 6 4 = 故選 (C). 從 4 行選 行從所選 行中選 格從所選另 行再選 格 C C C 96 4 P = = = 6 C 格中任取 格故選 (E) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -8 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

86 . 由圖可知 OC = 8cos0 OB = OC cos5 = 8cos 0 cos5 AB = OB sin5 = 8cos0 cos5 sin5 = 4cos0 cos5 sin5 = 4cos0 sin 0 = cos0 sin 0 = sin 60 = = 故選 (D) 4.(A) cos 44 + sin 44 = ( cos 44 + sin 44 ) = sin04 = sin 76 (B) cos54 + sin 54 = ( cos54 + sin 54 ) = sin4 = sin 66 (C) cos 64 + sin 64 = ( cos 64 + sin 64 ) = sin4 = sin 56 (D) cos 74 + sin 74 = ( cos 74 + sin 74 ) = sin4 = sin 46 (E) cos84 + sin84 = ( cos84 + sin84 ) = sin44 = sin 6 sin 46 sin 45 = 故選 (D) 最接近 = 5. 設原本細菌數為 N, 經過 t 小時後, 細菌 B 的數量除以細菌 A 的數量最接近 0, 且細菌 A 的數量為 A, 細菌 B 的數量為 B t t A = N B N = = 0 t t A B= N N t t t t t log log0 log log log t log = = = t t = t 7 故選 (E) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

87 貳 多重選擇題 6. [, 4,4] = 84 且 [ ] 84, 5 = 00 a= 5k, b= 00, c= 84h( k,, h皆為正整數 ) (A) c 一定可以被 84 整除, 而 (B) b= 00 ( N) b 00 (C) a = 5k 00 k 4 且 k N k =,,, 4 k = 時 a= 5 ( a, b) = (5, 00 ) = 5 k = 時 a= 50 ( a, b) = (50, 00 ) = 50 ( 不合 ) k = 時 a= 75 ( a, b) = (75, 00 ) = 75 ( 不合 ) k = 4 時 a= 00 ( a, b) = (00, 00 ) = 00( 不合 ) 若 a 00 則 a = 5 (D) ( ab, ) = 5 ( abc,, ) 5 (E) [ abc,, ] 5 84 = 令 Γ: ( x ) + ( y 0) + ( x ) + ( y+ 4) = 0 = a 取 F(, 0), F(, 4), c= 4 ( x ) ( y+ ) b= a c = 5 4 = Γ : + = 5 (A) (B) a > c故表一橢圓 (C) 中心 M (, ) x = ( 長軸 ) (D) 對稱軸為 y = ( 短軸 ) (E) a = 5 長軸頂點為 (, ),(, 7) 8.(A) b n = a n b a a a d 4 = = = 同理 a b b b b b = = b, b, b, b4是一個等比數列 (B) 0< a < 且 a = 4 an 為遞增數列又 b a n = b n n 亦為遞增數列 b < b (C) 0< a <, a = a+ d = 4 a = 4 d 0< 4 d < < d < a 又 a = a d = 4 d < 4 d < < a < b = > = 4 (D) < d <, a = 4= a4 d d = a4 4 < a4 4< 5< a4 < 6 a4 5 b4 = > = a a4 a+ a4 a 8 (E) b b4 = = = = = 56 d ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

88 9. f ( x) = x + ax + x+ b 9. 甲將 f ( x ) 看成 x + ax + x + b = f( x) 乙將 f ( x ) 看成 x + ax x + b = f( x) (A) 若 gx ( ) = x, 則 f(0) = f(0) = b (B) 若 gx ( ) = x, 則 f() = a+ b+ 4 f() = a+ b+ (C) 若 g ( x) = x, 則 f() = 4a+ b+ 0 = f() = 4a+ b+ 0 (D) 若 gx ( ) = x+, 則 f( ) = a+ b 4 f( ) = a+ b (E) 若 gx ( ) = x+, 則 f( ) = 4a+ b 0 = f( ) = 4a+ b 0 0. 平均數 ( X ) = 55, 標準差 ( S ) =.5 0.(A) 曲線 N( 常態分布 ) 中的平均數與樣本平均數相同, 0. 皆為 55, 故 55 公斤以上占 50%, 如圖 () 0.(B) 曲線 N( 常態分布 ) 中的標準差與樣本標準差相同, 皆為.5, 如圖 () 00% 95% 80 公斤以上占 =.5% (C) 區間 組中點 次數以下累積次數 5~ ~ ~ ~ ~ ~ % + % = 5% > 50% 由圖形可知中位數落在 45~55 公斤這一組 中位數 < 55公斤 n 00 (D) = = % < 5% < 5% 第一四分位數落在 45~55 公斤這一組 第一四分位數 > 45 (E) 85~90 公斤這一組占 5% 體重過重 ( > 80 公斤 ) 的比例 5%.(A) 4= F(4) = = 4 (B) 4 = 4 6 F(4) = = 6 (C) 7 = 9 F(7) = = 9 (D) 若 n 是一個質數 n= n F( n) = n (E) 若 n 是一個完全平方數 n= k k F( n) = k = k ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

89 第二部分 填充題 A. 男生總數 : = 06 A. 女生總數 : = 974 A. 男生 : 女生 = 06 : : 05 :00 B. 以 O 為原點, 建立坐標系, 設正立方體邊長為, B. 則 A(0, 0,), C(,,), B(0,,) B. N 為 BC 之中點 N(,,) BM = AM M (0,,) OM = (0,, ), ON = (,, ) + 4 cos MON = = C. 如圖, (, ) 與 (, ) 之中點為 (, ) ( 6, ) 與 ( x, y ) 之中點為 (, ) x = ( 6) = + 6 = 9 y = ( ) = + = 第四點的坐標為 (9,) D. DBC = DAC = 0 ( 對同弧 角度相同 ) ABD = ACD = 45 ( 對同弧 角度相同 ) 6 AD Δ ACD 中, 由正弦定理得 sin 0 = sin 45 6 AD = sin 45 = = 7 sin 0 E. 分類整理如下表 : 價格 670 元 700 元 800 元之款式有甲 乙丙 丁 戊己 庚 辛 買 700 元一雙送 670 元一雙, 有 C C = 6 種 5 買 800 元一雙送 (700 元或 670 元一雙 ), 有 C C = 5 種 所求共有 6+ 5= 種 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

90 F. 體育台綜藝台新聞台 頻道類型的排法有 種 體育須在前兩頻道 只有綜藝台與新聞台排列而 個體育台 個新聞台 4 個綜藝台間皆可交換 共有!! 4! = 6 4 = 576 種 G. 整理圖形之規律性, 可得 G. 得白色地磚數目的通式 a = (n+ ) n= 5n+ a 95 = = 478 H. 設 AD = x 在 Δ ABD 與 Δ ABC 中, 由餘弦定理 x H. cos B = = H. x =± 7 ( 負不合 ) I. 四邊形 ABCD 之對稱中心為 (5,) I. 直線 y = m( x 7) + 4將四邊形 ABCD 面積等分 I. 直線必過對稱中心 (5,) I. (5,) 代入 y = m( x 7) + 4 I. = m(5 7) + 4 m= n ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

91 大學入學考試中心九十六學年度學科能力測驗試題 數學考科 作答注意事項 考試時間 :00 分鐘 題型題數 : 單一選擇題 5 題題型題數 : 多重選擇題 6 題題型題數 : 填充題 9 題 作答方式 : 用 B 鉛筆在 答案卡, 修正時應以橡皮擦拭, 切勿使用修正液題型題數 : 答錯不倒扣 試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

92 第一部分選擇題 壹 單一選擇題 說明 : 第 至 5 題, 每題選出最適當的一個選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 答錯不倒扣 6 4 ( ). 設 f ( x) = ax bx + x, 其中 a,b 為非零實數, 則 f(5) f( 5) 之值為? ( ) (A) 0 (B)0 (C) ( ) (D)0 (E) 無法確定 ( 與 a,b 有關 ) ( ). 試問共有多少個正整數 n 使得坐標平面上通過點 A( n,0) 與點 B (0, ) 的直線亦通過點 ( ). P(7, k ), 其中 k 為某一正整數? ( ) (A) 個 (B)4 個 (C)6 個 (D)8 個 (E) 無窮多個 ( ). 設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為 f( t) = t + 0t+, 其中 t 0, 則這段時間內該 ( ). 地區的最大溫差為? ( ) (A)9 (B)6 (C)0 (D)5 (E)6 x y ( x+ ) y ( )4. 坐標平面上方程式 + = 的圖形與 = 的圖形共有幾個交點? ( ) (A) 個 (B) 個 (C) 個 (D)4 個 (E)0 個 x ( )5. 關於坐標平面上函數 y= sin x的圖形和 y = 的圖形之交點個數, 下列哪一個選項是正確的 0π ( )5 (A) 交點的個數是無窮多 (B) 交點的個數是奇數且大於 0 ( )5 (C) 交點的個數是奇數且小於 0 (D) 交點的個數是偶數且大於或等於 0 ( )5 (E) 交點的個數是偶數且小於 0 貳 多重選擇題 : 說明 : 第 6 至 題, 每題至少有一個選項是正確的, 選出正確選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 說明 : 答錯不倒扣, 未答者不給分, 只錯一個可獲.5 分, 錯兩個或兩個以上不給分 ( )6. 若 Γ= { z z 為複數且 z = }, 則下列哪些點會落在圖形 Ω= { w w= iz z Γ}, 上? ( )6 (A) i (B) i (C)+ i (D) i (E) + i ( )7. 坐標平面上有相異兩點 P Q, 其中 P 點坐標為 ( s, t ) 已知線段 PQ 的中垂線 L 的方程式為 ( )7.x 4y = 0, 試問下列哪些選項是正確的? ( )7 (A) 向量 6s 8 t PQ 與向量 (, 4) 平行 (B) 線段 PQ 的長度等於 5 ( ) 7 (C)Q 點坐標為 ( t, s ) (D) 過 Q 點與直線 L 平行之直線必過點 ( s, t) ( ) (E) 以 O 表示原點, 則向量 OP + OQ 與向量 PQ 的內積必為 0 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

93 7 ( )8. 下列哪些選項中的矩陣經過一系列的列運算後可以化成 0? ( )8 (A) 0 (B) 0 (C) ( )8 (D) 0 (E) ( )9. 坐標空間中, 在 xy 平面上置有三個半徑為 的球兩兩相切, 設其球心分別為 A,B,C 今將第四個半徑為 的球置於這三個球的上方, 且與這三個球都相切, 並保持穩定 設第四個球的球心為 P, 試問下列哪些選項是正確的? ( ) 9 (A) 點 A,B,C 所在的平面和 xy 平面平行 (B) 三角形 ABC 是一個正三角形 ( )9 (C) 三角形 PAB 有一邊長為 (D) 點 P 到直線 AB 的距離為 ( ) (E) 點 P 到 xy 平面的距離為 + x ( )0. 設 a 為大於 的實數, 考慮函數 f ( x) = a 與 gx ( ) = log a x, 試問下列哪些選項是正確的? ( )0 (A) 若 f () = 6, 則 g (6) = 6 f(8) f(8) ( )0 (B) = f(9) f(9) ( )0 (C) g(8) g(9) = g(8) g(9) ( )0 (D) 若 P,Q 為 y = g( x) 的圖形上兩相異點, 則直線 PQ 之斜率必為正數 ( )0 (E) 若直線 y = 5x與 y= f() x 的圖形有兩個交點, 則直線 y= x與 y = g( x) 的圖形也有兩個 5 ( )0 交點 ( ). 設 f ( x ) 為一實係數三次多項式且其最高次項係數為, 已知 f () =, f () =, f (5) = 5, ( ). 則 f( x ) = 0在下列哪些區間必定有實根? ( ) (A) (,0) (B) (0,) (C) (,) (D) (, 5) (E) (5, ) 第二部分 : 填充題 說明 : 第 A 至 I 題, 將答案標示在答案卡之 解答欄, 每題完全答對給 5 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 設實數 x 滿足 0< x <, 且 log x 4 log x =, 則 x = ( 化成最簡分數 ) B. 在坐標平面上的 Δ ABC 中,P 為 BC 邊之中點,Q 在 AC 邊上且 AQ = QC 已知 PA = (4,), B. PQ = (, 5), 則 BC = ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -9 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

94 C. 在某項才藝競賽中, 為了避免評審個人主觀影響參賽者成績太大, 主辦單位規定 : 先將 5 位評審給同一位參賽者的成績求得算術平均數, 再將與平均數相差超過 5 分的評審成績剔除後重新計算平均值做為此參賽者的比賽成績 現在有一位參賽者所獲 5 位評審的平均成績為 76 分, 其中有三位評審給的成績 應剔除, 則這個參賽者的比賽成績為 分 D. 某巨蛋球場 E 區共有 5 排座位, 此區每一排都比其前一排多 個座位 小明坐在正中間那一排 ( 即第 排 ), 發現此排共有 64 個座位, 則此球場 E 區共有 個座位 E. 設 P,A,B 為坐標平面上以原點為圓心的單位圓上三點, 其中 P 點坐標為 (,0),A 點坐標為 5 C. (, ), 且 APB 為直角, 則 B 點坐標為 ( 化成最簡分數 ) F. 某公司生產多種款式的 阿民 公仔, 各種款式只是球帽 球衣或球鞋顏色不同 其中球帽共有黑 灰 紅 藍四種顏色, 球衣有白 綠 藍三種顏色, 而球鞋有黑 白 灰三種顏色 公司決定紅色的球帽不搭配灰色的鞋子, 而白色的球衣則必須搭配藍色的帽子, 至於其他顏色間的搭配就沒有限制 在這些配色的要求之下, 最多可有 種不同款式的 阿民 公仔 G. 摸彩箱裝有若干編號為,,,0 的彩球, 其中各種編號的彩球數目可能不同 今從中隨機摸取一球, 依據所取球的編號給予若干報酬 現在有甲 乙兩案 : 甲案為當摸得彩球的號數為 k. 時, 其所獲報酬同為 k; 乙案為當摸得彩球的號數為 k 時, 其所獲報酬為 kk ( =,,, 0) 67 G. 已知依甲案每摸取一球的期望值為 4, 則依乙案每摸取一球的期望值為 ( 化成最簡分數 ) H. 坐標平面上有一點 V (0,) 為頂點 F (0,6) 為焦點的拋物線 設 Pab (, ) 為此拋物線上一點, Qa (,0) H. 為 P 在 x 軸上的投影, 滿足 FPQ = 60, 則 b = I. 在 Δ ABC 中,M 為 BC 邊之中點, 若 AB =, AC = 5, 且 BAC = 0, 則 tan BAM = I.( 化成最簡根式 ) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -9 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

95 參考公式及可能用到的數值. 一元二次方程式 ax + bx + c = 0 的公式解 : ± x = b b 4ac a. 平面上兩點 P( x, y), P ( x, y ) 間的距離為 PP = ( x x ) + ( y y ) y y. 通過 ( x, y) 與 ( x, y) 的直線斜率為 m= x x x x, k 4. 等比數列 < ar > 的前 n 項之和 S n n a ( r ) =, r r 5. 三角函數的和角公式 : sin( A+ B) = sin Acos B+ cos Asin B tanθ+ tanθ tan( θ+ θ) = tanθ tanθ sin A sin B sin C = = a b c 的餘弦定理 c = a + b abcosc 6. Δ ABC 的正弦定理 Δ ABC 7. 棣美弗定理 : 設 z = r(cosθ + isin θ), 則 n n z = r (cos nθ + isin nθ),n 為一正整數 n 8. 算術平均數 M ( = X) = ( x+ x + + xn) = xi n n i= n n S = ( xi X) = x nx n i= n i= i ( 樣本 ) 標準差 ( ) 9. 參考數值 :.44;.7; 5.6, 6.449; π.4 0. 對數值 : log0 0.00, log , log , log ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -9 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

96 ================= 九十六年答案 ===================== 第一部分 壹 單一選擇題 選擇題. D. B. D 4. A 5. C 貳 多重選擇題 6. ACE 7. ABDE 8. AE 9. ABD 0. ABDE. BD 第二部分 填充題 A. B. (-,) C. 79 D. 600 E. (, 5 ) 4 F. 5 G. 87 H. I. 5 4 ====================== 解析 ======================= 第一部分 選擇題 壹 單一選擇題 f(5) f( 5) = a 5 b a ( 5) + b ( 5) ( 5) + = 0 故選 (D) 0. 通過 A B 的直線斜率為 = 故過 A B 的直線方程式為 y = x+ x ny+ n= 0 0 ( n) n n 要過點 P(7, k) 4 nk + n = 0, 其中 n,k 皆為正整數即 nk ( ) = 4 合於條件的 n 只可能是,,7,4 故選 (B). f( t) = t + 0t+ = ( t 0t+ 5) + 6 = ( t 5) + 6 在 t = 5 時, 有最高的溫度 6;. 而在 t = 0 時, 有最低溫度 所以最大的溫差為 6 = 5 故選 (D) 4. 如右圖, 兩個圖形僅有一個交點 故選 (A) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

97 5. 依題意分別做出兩個函數的圖 ( 如下圖 ) : 如圖所示,Y 軸右邊 0 到 π 的正弦函數 y = sin x的圖形從 0 到 π 是 正半波, 即圖形在 X 軸上 x 5. 方 從 π 到 π 是 負半波, 即圖形在 X 軸下方 直線 y = 與 y = sin x的正半波有一個交點 P, 0π 5. 但從 π 開始到 0π 的四個 π 的行程中, 每一個 π 的寬度中直線與曲線都有兩個交點 ( 在 π 到 x 5.4π 之間的兩個交點為 P 及 P ) 所以 Y 軸的右方 y = sin x 與 y = 有 + 4= 9個交點 由於 0π x 5. y = sin x 的圖形關於原點是對稱的, 所以在 Y 軸的左邊, y = 的圖形與 y = sin x 的下半波也有 0 π 5.9 個交點 再加上原點, 我們就得到了兩個圖形的所有的交點數為 9 + = 9 故選 (C) 貳 多重選擇題 6. 法 : 做 Γ= { z z 為複數且 z = } 6. Ω= { w w= iz z Γ} 以及, 的圖, 由圖 6. 可知 i + i + i 三個點在 Ω= { w w= iz, z Γ} 上 w w 法 : w = iz z = i i = w i = i w i = 再分別將題中的選項代入這個方程式, 滿足方程式解僅有 i + i + i 故選 (A)(C)(E) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

98 7.(A) PQ 垂直於 L, 所以向量 PQ 可以作為 L 的一個法向量 又因為 (, 4 ) 也是 L 的一個法向 7. 量, 所以 PQ 平行於 (, 4 ) s 4 t 6s 8 t 7.(B) PQ = 倍 (s,t) 到 x 4y = 0的距離 = = + ( 4) 5 7.(C) (t,s) 不為 P 關於 L 的對稱點, 故 Q 的座標不為 (t,s) 7.(D) 過 Q 點且平行於 L 的直線上的任一點與 Q 到 L 的距離相等, 所以也和 P 到 L 的距離相 ( s) 4( t) s 4 t 等 而點 ( s, t ) 到 L 的距離為 =, 且 [ ( s) 4( t) ] [ s 4t] + ( 4) 5 = (s 4 t), 即點 ( s, t ) 與點 (s,t) 在直線 x 4y = 0的相異側, 因此點 ( s, t ) 在過 Q 點且平行於 L 的直線上 (E) 原點 O 在直線 x 4y = 0上, 所以 OP = OQ 從而 OP + OQ 與 PQ 中垂線平行, i.e. OP + OQ 與 PQ 垂直 向量 OP + OQ 與向量 PQ 的內積必為 ( ) 8.(A) R + R (B) 0 中第四行的各元均為 0, 不可能經過線性組合變成非零的元 ( ) (C) R R +, 是一個秩 = 矩陣, 不能變為秩 = ( ) (D) R R 0 + 0, 係數矩陣為秩 =, 不能變為秩 = R ( ) + R (E) ( R ( ) + R ) + R ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

99 9.(A) A B C 與 x y 平面距離均為, 且 A B C 三點不共線故 ABC 所在的平面與 xy 平面平行 (B) AB = BC = CA =, Δ ABC 為正 (C) Δ PAB 亦為邊長 = 之正三角形 (D) 因為 Δ PAB 為一個邊長為 的正三角形, 則由頂點到對邊的距離為, 故 (D) 為真 (E) H 為 P 到三角形 ABC 的垂足,H 也是三角形的重心 所以 HM 的長度為 CM 的三分之一. 所以 HM = PH = ( ) ( ) = 6. 所以由 P 到 xy 平面的距離為 + 6 故(E) 為假. 故選 (A)(B)(D) 0.(A) f() = a = 6 loga 6 = g(6) = loga 6 = loga 6 = = f(8) a f(8) a f(8) f(8) (B) = = a = a ; = = a = a, = 9 9 f(9) a f(9) a f(9) f(9) 8 (C) g(8) g(9) = loga 8 loga 9 = loga ; g(8) g(9) 9 8 = loga8 loga9 = loga 9 (D) 假設 Psgs (, ( )), Qt (, gt ( )) 為 y = g( x) 上的兩個點, 當 a >, y = g( x) 為嚴格遞增, gs () gt () 即當 s> t g() s > g() t 也就是 s t 與 gs () gt () 同正同負, 故 > 0 s t x (E) 因為 y = a 與 y = log a x 關於 x = y 對稱, 而 y = 5x 與 y = x也是關 5 於 x = y 對稱 所以, 若 y = 5x 與 x y = a 有兩個點, 則他們的對稱圖形也有兩個交點 ( 如圖五 ). 因為 f() =, f() =, f(5) = 5, 故可設 f ( x) = ( x )( x )( x 5) + x, 則 (A) 當 x< 0 時, f( x) < 0, 所以在 (, 0) 中沒有實根 (B) f(0) < 0, f() > 0, 所以在 (0, ) 上有實根 (C) f() > 0, f() > 0, 且由 (D) 知在 (,)(,5) 間均有根, 三次方程式, 由代數基本定理知 (,) 沒有實根 (D) f() > 0, f() < 0, 所以在 (, ) 上有實根, 所以在 (, 5) 上有實根 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

100 (E) 當 x> 5 時, f( x) > 0, 所以在 (5, ) 中沒有實根 第二部分 填充題 A. log x 4 log x= log x log x=, 令 t = log x A. 則原式可以寫成 t =, 即 t t = 0 (t+ )( t ) = 0 t A. 則 t = 或 t =, 其中 t = 不合 A. 所以 t =, 即 log x =, 因此 x = B. BC = PC = ( AC AP) = AC+ PA= ( ) AQ+ PA B. = ( PQ PA) + PA = PQ PA = (, 5) (4, ) = (, ) 4 C. 這位參賽者的原始總成績應為 5 76 = 40, 剔除三位與平均數相差超過 5 分的評審成績之後 C. 的新成績為 = 948, 故此參賽者的比賽成績為 948 = 79 D. 按照題意, 這個球場的 E 區每排的座位數成公差 的等差數列 故第 排有 64 + ( ) ( ) D. = 40 個座位, 第 5 排則有 64 + (5 ) = 88 個座位 全部 E 區的座位數為一個首項為 40, 末 D. 項為 88, 公差為 的等差數列的和 故共有 ( ) 5 = 600 個座位 E. 如右圖, 因為 APB 為直角, 所以 AB 為圓的一個直徑, 也就是說,B 為 A 關於原點的對稱點, 所以 B 點的座標 5 為 (, ) F. 可以分為兩種情況討論, 選為白球衣, 選為非白球衣 因為選白球衣, 所以一定要搭配藍帽子, 剩下能變化的只有三種鞋子可選, 故只有 種搭配方法 如果不選白球衣, 則球衣的選擇有 種, 帽子有 4 種選擇, 球鞋有 種選擇, 但是要扣除紅帽灰鞋 所以有 4 = 種由 共有 5 種搭配 G. 假設, 球號,,,0 的彩球的數目分別為 n, n,, n0, 且設箱中彩球的總數為 n, 則有 n n n n= n+ n + + n0甲案的期望值為 E = = n n n 4 n n n0 乙案的期望值為 E = ( ) + ( ) + + ( 0) n n n n n n0 n n n = ( ) ( ) = = n n n n n n 4 4 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

101 H. 如右圖, PQ = PF = b, RQ = OF = 6, PR b 6 PR = b 6, = = cos 60 = PF b b = I. 如下圖, 利用餘弦定理 BC = AB + AC AB AC cos0 = ( ) = 49 7 所以 BC = 7 BM = 設 AM = x ( x) + BC = ( AB + AC ) 4x + 49 = 68 AM = ( ) ( ) 同理 Δ ABM 利用餘弦定理, 得 cos BAM = = tan BAM = ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

102 大學入學考試中心九十七學年度學科能力測驗試題 數學考科 作答注意事項 考試時間 :00 分鐘 題型題數 : 單一選擇題 5 題題型題數 : 多重選擇題 7 題題型題數 : 填充題 8 題 作答方式 : 用 B 鉛筆在 答案卡, 修正時應以橡皮擦拭, 切勿使用修正液題型題數 : 答錯不倒扣 試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

103 第一部分選擇題 壹 單一選擇題 說明 : 第 至 5 題, 每題選出最適當的一個選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 答錯不倒扣 ( ) ( ). 對任意實數 x 而言, 7 x + 的最小值為? ( ) (A) (B) (C)9 (D)7 (E)8 ( ). 在職棒比賽中 ERA 值是了解一個投手表現的重要統計數值 其計算方式如下 : 若此投手共 E 主投 n 局, 其總責任失分為 E, 則其 ERA 值為 9 n 有一位投手在之前的比賽中共主投了 90 局, 且這 90 局中他的 ERA 值為. 在最新的一場比賽中此投手主投 6 局無責任失分, 則打完這一場比賽後, 此投手的 ERA 值成為 (A).9 (B).0 (C). (D). (E). ( ). 有一個圓形跑道分內 外兩圈, 半徑分別為 0 50 公尺 今甲在內圈以等速行走, 乙在外 ( ). 圈以等速跑步, 且知甲每走一圈, 乙恰跑了兩圈 若甲走了 45 公尺, 則同時段乙跑了 ( ) (A)90 公尺 (B)0 公尺 (C)5 公尺 ( ) (D)50 公尺 (E)80 公尺 ( )4. 某地區的車牌號碼共六碼, 其中前兩碼為 O 以外的英文大寫字母, 後四碼為 0 到 9 的阿拉 伯數字, 但規定不能連續出現三個 4 例如:AA4,AB444 為可出現的車牌號碼 ; 而 AO4,AB444 為不可出現的車牌號碼 則所有第一碼為 A 且最後一碼為 4 的車牌號碼個 數為 ( )4 (A) 5 9 (B) (C) ( )4 (D) (E) ( )5. 廣場上插了一支紅旗與一支白旗, 小明站在兩支旗子之間 利用手邊的儀器, 小明測出他與 ( )5. 正東方紅旗間的距離為他與正西方白旗間距離的 6 倍 ; 小明往正北方走了 0 公尺之後再測 量. 一次, 發現他與紅旗的距離變成他與白旗距離的 4 倍 試問紅白兩旗之間的距離最接近 下列. 哪個選項? ( )5 (A)60 公尺 (B)65 公尺 (C)70 公尺 ( )5 (D)75 公尺 (E)80 公尺 貳 多重選擇題 : 說明 : 第 6 至 題, 每題至少有一個選項是正確的, 選出正確選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 說明 : 答錯不倒扣, 未答者不給分, 只錯一個可獲.5 分, 錯兩個或兩個以上不給分 ( )6. 試問 : 在坐標平面上, 下列哪些選項中的函數圖形完全落在 x 軸的上方? ( )5 (A) y = x+ 00 (B) y = x + (C) y = + sinx ( )5 (D) y = x (E) y = log x ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -0 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

104 ( )7. 某高中共有 0 個班級, 每班各有 40 位學生, 其中男生 5 人, 女生 5 人 若從全校 800 人中以簡單隨機抽樣抽出 80 人, 試問下列哪些選項是正確的? ( )5(A) 每班至少會有一人被抽中 (B) 抽出來的男生人數一定比女生人數多 ( (C) 已知小文是男生, 小美是女生, 則小文被抽中的機率大於小美被抽中的機率 ( (D) 若學生甲與學生乙在同一班, 學生丙在另外一班, 則甲 乙兩人同時被抽中的機率跟甲 丙兩人同時被抽中的機率一樣 ( )5(E) 學生 A 和學生 B 是兄弟, 他們同時被抽中的機率小於 00 ( )8. 已知 a, a, a為一等差數列, 而 b, b, b為一等比數列, 且此六數皆為實數 試問下列哪些 ( )8. 選項是正確的? ( )8 (A) a < a 與 a > a可能同時成立 (B) b < b 與 b > b與可能同時成立 ( )8 (C) 若 a+ a < 0, 則 a + a < 0 (D) 若 bb < 0, 則 bb < 0 ( )8 (E) 若 b, b, b皆為正整數且 b < b, 則 b 整除 b 0 ( )9. 已知在一容器中有 A,B 兩種菌, 且在任何時刻 A,B 兩種菌的個數乘積為定值 0 為了簡單起見, 科學家用 PA = log( na) 來紀錄 A 菌個數的資料, 其中 n A 為 A 菌的個數 試問下列哪些選項是正確的? ( )9(A) P A 0 ( )9(B) 當 P A = 5 時,B 菌的個數與 A 菌的個數相同 ( )9(C) 如果上週一測得 P A 值為 4 而上週五測得 P A 值為 8, 表示上週五 A 菌的個數是上週一 A ( )9 菌個數的 倍 ( )9(D) 若今天的 P A 值比昨天增加, 則今天的 A 菌比昨天多了 0 個 ( )9(E) 假設科學家將 B 菌的個數控制為 5 萬個, 則此時 5< P A < 5.5 ( )0. 已知實係數多項式 f ( x ) 與 gx ( ) = x+ x 有次數大於 0 的公因式 試問下列哪些選項是正 ( )0. 確的? ( )0 (A) gx= ( ) 0恰有一實根 ( )0 (B) f( x ) = 0必有實根 ( )0 (C) 若 f( x ) = 0與 gx= ( ) 0有共同實根, 則此實根必為 ( )0 (D) 若 f( x ) = 0與 gx= ( ) 0有共同實根, 則 f ( x ) 與 gx ( ) 的最高公因式為一次式 ( )0 (E) 若 f( x ) = 0與 gx= ( ) 0沒有共同實根, 則 f ( x ) 與 gx ( ) 的最高公因式為二次式 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -0 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

105 x y+ z+ 4 x y+ ( ). 設坐標空間中三條直線 L, L, L的方程式分別為 L : = = ; L : = 6 8 z + 4 x y z ( ). = ; L : = = 試問下列哪些選項是正確的? 4 4 ( )(A) L 與 L 相交 ( )(B) L 與 L 平行 ( )(C) 點 P(0,, 4) 與 Q (0, 0, 0) 的距離即為點 P 到 L 的最短距離 x = 0 ( )(D) 直線 L : y + z + 4 與直線 L, L皆垂直 = 4 ( )(E) 三直線 L, L, L共平面 ( ). 設 Γ : x + y 0x+ 9= 0為坐標平面上的圓 試問下列哪些選項是正確的? ( ) (A) Γ 的圓心坐標為 (5,0) ( ) (B) Γ 上的點與直線 L:x+ 4y 5= 0的最遠距離等於 4 ( ) (C) 直線 L : x+ 4 y+ 5 = 0與 Γ 相切 ( ) (D) Γ 上恰有兩個點與直線 L :x+ 4y = 0 的距離等於 ( ) (E) Γ 上恰有四個點與直線 L :x+ 4y 5= 0 的距離等於 第二部分 : 填充題說明 : 第 A 至 H 題, 將答案標示在答案卡之 解答欄, 每題完全答對給 5 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 令 A(,6,0), B(,, ), C (4,4,5) 為坐標空間中三點 若 D 為空間中的一點且滿足 A. DA 4DB + DC = 0, 則 D 點的坐標為 7 B. 在坐標平面上, 設 A 為直線 x y = 0上一點,B 為 x 軸上一點 若線段 AB 的中點坐標為 ( 6),, A. 則點 A 的坐標為, 點 B 的坐標為 C. 坐標平面上, 以原點 O 為圓心的圓上有三個相異點 A(, 0), B, C, 且 AB = BC 已知銳角三角形 C. OAB 的面積為 0, 則 Δ OAC 的面積為 ( 化為最簡分數 ) x D. 設 F 與 F 為坐標平面上雙曲線 Γ: y = 的兩個焦點, 且 P( 4,) 為 Γ 上一點 若 FPF 的 8 角平分線與 x 軸交於點 D, 則 D 的 x 坐標為 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -0 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

106 E. 設 O (0, 0, 0) 為坐標空間中某長方體的一個頂點, 且知 (,,),(,, ),(, 6,6) 為此長方體 E. 中與 O 相鄰的三頂點 若平面 E: x+ by+ cz = d 將此長方體截成兩部分, 其中包含頂點 O 的那 E. 一部分是個正立方體, 則 (,, bcd ) = F. 設 a,b 為正整數 若 b = 9a, 且 a+ b> 80, 則 a 的最小可能值為 G. 坐標平面上有一質點沿方向 u = (, ) 前進 現欲在此平面上置一直線 L, 使得此質點碰到 L 時 依光學原理 ( 入射角等於反射角反射, 之後沿方向 v = (,) 前進, 則直線 L 的方向向量 w = (, ) H. 已知坐標平面上圓 O : ( x 7) + ( y ) = 44 與 O :( x+ ) + ( y ) = 9相切, 且此兩圓均與直 線 L: x = 5相切 若 Γ 為以 L 為準線的拋物線, 且同時通過 O 與 O 的圓心, 則 Γ 的焦點坐標為 ( 化為最簡分數 ) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

107 參考公式及可能用到的數值. 一元二次方程式 ax + bx + c = 0 的公式解 : ± x = b b 4ac a. 平面上兩點 P( x, y), P ( x, y ) 間的距離為 PP = ( x x ) + ( y y ) y y. 通過 ( x, y) 與 ( x, y) 的直線斜率為 m= x x x x, k 4. 等比數列 < ar > 的前 n 項之和 S n n a ( r ) =, r r 5. 三角函數的和角公式 : sin( A+ B) = sin Acos B+ cos Asin B cos( A+ B) = cos Acos B sin Bsin A tanθ+ tanθ tan( θ+ θ) = tanθ tanθ sin A sin B sin C = = a b c 的餘弦定理 c = a + b abcosc 6. Δ ABC 的正弦定理 Δ ABC 7. 棣美弗定理 : 設 z = r(cosθ + isin θ), 則 n n z = r (cos nθ + isin nθ),n 為一正整數 n 8. 算術平均數 M ( = X) = ( x+ x + + xn) = xi n n i= n n S = ( xi X) = x nx n i= n i= i ( 樣本 ) 標準差 ( ) 9. 參考數值 :.44;.7; 5.6, 6.449; π.4 0. 對數值 : log , log0 0.00, log , log , log ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

108 ================= 九十七年答案 ===================== 第一部分 壹 單一選擇題 選擇題. C. B. D 4. D 5. A 貳 多重選擇題 6. BCD 7. DE 8. BD 9. BE 0. ACE. ABDE. ABD 第二部分 填充題 A. (-7,0,8) B. (4,),(,0) C. 5 5 F. 5 G. - H. (, ) 5 5 D. - E. (-,,9) ====================== 解析 ======================= 第一部分 選擇題 壹 單一選擇題. 7 為底的指數函數為一個增函數 指數愈大 值愈大, 又 x R x +, ( ). 故 7 x + 的最小值為 7 = 9 故選 (C) E. 依題意 90 局的 ERA 值為., 即 9. n = (n 為投球局數,E: 總失分 ), 可以求出這位投手之前.90 局的總失分為 分 今又投了無失分的 6 局, 依照定義, 新的 ERA 值為. 故選 (B) 9 = 內圈的周長為 0 π = 60π, 外圈的周長為 50 π = 00π 0 甲乙的速率比 V甲 : V乙 = 60 : 00 = :0 在甲走了 45 公尺的同時, 乙跑了 45 = 50 故選 (D) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

109 4. 因為第一碼為 A, 最後一碼為 4, 所以我們只需排列第二碼的英文數字及第三 四 五碼的數字 4. 就這個原則, 可以分為兩類 A (0 0 ) 故選 (D) 四 五碼為 4 5. 作如右圖 : 設小明原來的位置為 C, 紅旗插在 B 點, 白旗插在 A 點 向北 0 公尺之後停在 D 點, 假設 : AC = t, BC = 6t, AD= x, DB= 4x x t = 00 依題意可以列出式子 6x 6t = 00, 解出 t = 5, 所以 AB = 5 公尺 = 60.6, 最接近 60 故選 (A) 貳 多重選擇題 6. 要讓圖形恆在 x 軸的上方的充要條件為函數值恆正 (A) y = x+ 00 的值不恆正 (B) y = x +, 恆正 故圖形恆在 x 軸的上方 (C) sinx + sinx, 恆正 x (D) x R, > 0, 恆正 (E) 常用對數的值域為整個實數集合, 故不恆正 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

110 7.(A) 有可能抽出的 80 人全部來自校內某四個 五個或六個 班級 所以不見得每班必有人 7. 被抽出 (B) 男生被抽出的機率 5 大於女生被抽出的機率 8 8, 但因為女生總數占總學生數的 8, 實. 際上有 00 人 超過抽出學生人數一半, 所以有可能抽出的女生人數超過所有被抽出人數的半數, 反而多於男生被抽出的人數 80 (C) 本題是採簡單隨機抽樣, 所以小文被抽中的機率如同小美, 皆為 = C (D) 甲乙被同時抽出的機率為 800 C, C 甲丙同時被抽出的機率也是 800 C, 所以, 甲 乙兩人同時被抽中的機率跟甲 丙兩人同時被抽中的機率一樣 80 C (E) A B 同時被抽出的機率為 = < 故選 (D)(E) 800 C (A) a = a + d, 如果 a < a, 表示 d > 0, 此時應 a < a (B) 如數列 :,4, 8, 公比 = 即可 (C) 舉一個反例 : ( a, a, a ) = (,0,) 就可以得到 a+ a < 0 且 a + a > 0 (D) bb < 0 表示 b 與 b 異號, 此時公比為負, 所以 b 與 b 也異號 (E) 反例 : ( b, b, b ) = (4,6,9), 其中 4 不整除 6 故選 (B)(D) (A) 因題意可知 na nb = 0, 故 na 0 log log( na) log0 0 PA 0 (B) 當 P A = 5 時, P B 的值也是 5 所以 B 菌的個數與 A 菌的個數相同 (C) 假設上週一 A 菌數目為 x, 週五 A 菌的數目為 y, 則 log x = 4 且 log y = 8 y 4 4 log y log x= log = 4 y = x 0, 即週五 A 菌的數目為週一 A 菌數目的 0 倍 x (D) PA + = log( na) + = log( na) + log0 = log0( na), 表示菌數增加為 0 倍, 並非多了 0 個 0 (E) 因為 na = log 5 + log na = 0 PA = 6 log 5 = 6 + log = , 在 5 與 5.5 之間 0. 先將 gx ( ) = x+ x 作因式分解, 得到 gx ( ) = ( x )( x + x+ ) (A) 因為 ( x + x+ ) = 0沒有實根, 所以 x= 為 gx= ( ) 0的唯一實根 (B) 若 f ( x ) 與 gx ( ) 的公因式為 ( x + x+ ), 則不能保證 f( x ) = 0必為實根 (C) 若 f( x ) = 0與 gx= ( ) 0有共同實根, 又因為 x= 為 gx= ( ) 0的唯一實根, 所以 x = 也是 f( x ) = 0與 gx= ( ) 0的共同實根 (D) 當 f( x ) = 0與 gx= ( ) 0有共同實根時, 其公因式可能為 ( x ) 或 ( x ) ( x + x+ ), 所以 f ( x ) 與 gx ( ) 的最高公因式可能為一次式也可能為三次式 (E) 若要沒有共同實根, 且次數大於 0 的公因式, 則此公因式必為 ( x + x+ ) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

111 .(A) 由方程式可知 L 與 L 兩條直線不平行, 且相交於點 (0,, 4) (B) L 與 L 有相同的方向向量, 但沒有交點 ( 將 ( t, t,4t) 代入 (C) 向量 QP = (0,, 4), 因為 QP (,, 4) = 5 0 L 無解 ), 所以平行, 所以 QP 不垂直 L 的方向向量 故點 P(0,, 4) 與 Q (0,0,0) 的距離不為 P 到 L 的最短距離 (D) 直線 L 的方向向量為 (0,4, ), 與 L 及 L 方向向量的內積均為 0 又 (0,, 4) 亦在直線 L 上, 所以與 L 及 L 均垂直 (E) 因為 L 與 L 相交所以 L 與 L 共面 又 L 與 L 平行, 所以 L 與 L 共面, 若 L 與 L 再相交, 可宣稱三條直線共平面 以 L 的參數式 (,,4 t t t) 代入 L 的方程式, 得交點為 (,, 4), 故三線共平面. 將方程式配方得 ( x 5) + y = 4 (A) 圓心的坐標為 (5,0) (B) 因為圓心在直線 L:x+ 4y 5= 0上, 所以圓上的點到 L:x+ 4y 5= 0的最遠的距離恰為圓的半徑 4 (C) 圓心 (5,0) 到直線 L : x+ 4 y+ 5 = 0的距離為 (5) + 4(0) + 5 = 6 4, 所以兩圖形不相切 5 (D) 直線 L :x+ 4y = 0 (5) + 4(0) 到圓心的距離為 =, 5 它與 Γ 交於兩點, 在 Γ 上有兩個點與 L 的距離為 ( 如右上圖 ) (E) 直線 L :x+ 4y 5= 0 (5) + 4(0) 5 到圓心的距離為 =, 5 它與 Γ 交於兩點, 在 Γ 上有三個點與 L 的距離為 ( 如右下圖 ) 第二部分 填充題 A. 令坐標的原點為 O DA 4DB + DC = 0, 所以 ( OA OD) 4( OB OD) + ( OC OD) = 0 A.OD = OA 4OB + OC = (,6,0) 4(,, ) + (4, 4,5) = ( 7,0,8), 即 D 的坐標為 ( 7,0,8) B. 假設 A 的坐標為 (,) t t,b 的坐標為 (,0) s 由題意 t+ s = 7 且 t =, 故 t = 4 s = B. 即 A 的坐標為 (4,),B 的坐標為 (,0) C. 如右圖 Δ OAB 的面積為 OA OBsinθ =, 0 4 sinθ = ; cosθ = 5 5 Δ OAC 的面積為 OA OBsin θ = sinθcosθ = 5 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

112 D. 法一 :) 如右圖 : 由雙曲線的光學性質知過 P 點的切線, FPF 的切線 過點 P 的切線為 : 即為 4x y = x+ y+ = 0, 其與 x 軸的交點 8 為 (,0) 法二 :) PF =, PF = 5 PD 平分 FPF PF : PF = F D : DF = : 5 由分點公式得 D(,0) ( 4,) (,0) (, 0) E. 依題意, 若 x + by + cz = d 將長方體切成一個正方體及 E. 一個長方體, 則這個平面必平行於平面 OBC, 故選向 E. 量 OD 作為它的法向量 OD = OA = (, 6,6) = (,, ) E. 且得 D(,, ), 則其平面方程式為 : E. ( x ) ( y+ ) + ( z ) = 0 x y+ z = 9, E. 所以 ( b, c, d ) = (,,9) F. b = 9a及 a+ b> 80, b + 8b> 50 ( b+ 9) > 60 = 5, F. 於是得到 ( b+ 9) 5 > 0 ( b+ 60)( b 4) > 0 b> 4 或 b < 60 ( 不合 ) F. b = 9a且 a b 皆為正整數, 則 9a 為一個平方數,. 而 9a= ( a), 所以 a 必為平方數 b = 9a 9a> 4 a> 4 故 a 的最小值為 5 = 5 G. 向量 u = (, ) 即 w // u+ v= (,) w = (, ) 及 v = (,) H. 如右圖 : A 為兩圓的切點, O 及 O 都在 H. 拋物線上, 且 OA = OC OA = OB, H. 根據拋物線的定義, 可知 A 即為拋物線 H. 的焦點 A 即為線段 OO 的一個內分點 H., 切內分比為兩圓的半徑比 所以 O+ 4O 5 H. A = = (, ) 的長度相等 角平分線其方向向量平行 u+ v, 又因為向量的 x 坐標為, 故 w 的坐標為 (, ) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -0 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

113 大學入學考試中心九十八學年度學科能力測驗試題 數學考科 作答注意事項 考試時間 :00 分鐘 題型題數 : 單一選擇題 6 題題型題數 : 多重選擇題 5 題題型題數 : 填充題 8 題 作答方式 : 用 B 鉛筆在 答案卡, 修正時應以橡皮擦拭, 切勿使用修正液作答方式 : 答錯不倒扣 試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 - - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

114 第一部分選擇題 壹 單一選擇題 說明 : 第 至 6 題, 每題選出最適當的一個選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 答錯不倒扣 ( ). 數列 a+,, ak + k,, a0 + 0共有十項, 且其和為 40, 則 a+ + ak + + a0之值為 ( ) (A) (B)0 (C)0 (D)85 (E)8 ( ). 令 a = cos( π ), 試問下列哪一個選項是對的? ( ) (A) a = (B) < a (C) < a 0 ( ) (D) 0 < a (E) < a 4 ( ). 已知 f ( x), g( x ) 是兩個實係數多項式, 且知 f ( x) 除以 g( x) 的餘式為 x 試問下列哪一個選 ( ). 項不可能是 f ( x) 與 g( x) 的公因式? ( ) (A)5 (B) x (C) x (D) x (E) x 4 ( )4. 甲 乙 丙三所高中的一年級分別有 4 5 個班級 從這 個班級中隨機取一班參加國文抽考, 再從未被抽中的 個班級中隨機取一班參加英文抽考 則參加抽考的兩個班級在同一所學校的機率最接近以下哪個選項? ( )4 (A)% (B)% (C)5% (D)7% (E)9% ( )5. 假設甲 乙 丙三鎮兩兩之間的距離皆為 0 公里 兩條筆直的公路交於丁鎮, 其中之一通過甲 乙兩鎮而另一通過丙鎮 今在一比例精準的地圖上量得兩公路的夾角為 45, 則丙 丁兩鄉鎮間的距離約為 ( )5 (A)4.5 公里 (B)5 公里 (C)5.5 公里 (D)6 公里 (E)6.5 公里 ( )6. 試問坐標平面上共有幾條直線, 會使得點 O (0,0) 到此直線之距離為, 且點 A (,0) 到此直線之距離為? ( )6 (A) 條 (B) 條 (C) 條 (D)4 條 (E) 無窮多條 貳 多重選擇題 : 說明 : 第 7 至 題, 每題至少有一個選項是正確的, 選出正確選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 說明 : 答錯不倒扣, 未答者不給分, 只錯一個可獲.5 分, 錯兩個或兩個以上不給分 ( )7. 試問下列哪些選項中的數是有理數? ( )7 (A).46 (B) (C) log log 0 sin5 cos5 ( )7 (D) + (E) 方程式 x x + x = 0的唯一實根 cos5 sin5 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 - - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

115 ( )8. 坐標平面上四條直線 L, L, L, L 4與 x 軸 y軸及直線 y = x ( )8. 的相關位置如圖所示, 其中 L與 L垂直, 而 L 與 L4平行 ( )8. 設 L, L, L, L 4的方程式分別為 y = mx, y = mx, y = mx ( )8. 以及 y = mx 4 + c 試問下列哪些選項是正確的? ( )8 (A) m > m > m (B) m m 4 = ( )8 (C) m < (D) m m < ( )8 (E) c > 0 ( )9. 某廠商委託民調機構在甲 乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比 ( 以下簡稱 ( )9. 知名度 ) 結果如下: 在 95% 信心水準之下, 該產品在甲 乙兩地的知名度之信賴區間 0.08,0.6 試問下列哪些選項是正確的? 分別為 [ 0.50,0.58 ] [ ] ( )9 (A) 甲地本次的參訪者中,54% 的人聽過該產品 ( ) 9 (B) 此次民調在乙地的參訪人數少於在甲地的參訪人數 ( )9 (C) 此次調查結果可解讀為 : 甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品的機率大於 95% ( )9 (D) 若在乙地以同樣方式進行民調, 所得知名度有 95% 的機會落在區間 [ 0.08,0.6 ] ( )9 (E) 經密集廣告宣傳後, 在乙地再次進行民調, 並增加參訪人數達原人數的四倍, 則在 ( )9 95% 信心水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會減半 ( 即 0.04) x+ y+ az = ( )0. 設 abc,, 為實數, 下列有關線性方程組 x+ 4y+ bz = 的敘述哪些是正確的? x + 0y+ 7z = c ( )0 (A) 若此線性方程組有解, 則必定恰有一組解 ( )0 (B) 若此線性方程組有解, 則 a b 7 ( )0 (C) 若此線性方程組有解, 則 c = 4 ( )0 (D) 若此線性方程組無解, 則 a b= 7 ( )0 (E) 若此線性方程組無解, 則 c 4 ( ). 如圖所示, 正立方體 ABCD-EFGH 的稜長等於 ( 即 AB = ), ( ). K 為為正方形 ABCD 的中心,M N 分別為線段 BF EF 的 ( ). 中點 試問下列哪些選項是正確的? B ( ) (A) KM = AB AD + AE ( ) (B)( 內積 ) KM AB = ( ) (C) KM = ( ) (D) Δ KMN 為一直角三角形 ( ) (E) Δ KMN 之面積為 0 A M E N F K C G D H ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 - - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

116 第二部分 : 填充題 說明 : 第 A 至 I 題, 將答案標示在答案卡之 解答欄, 每題完全答對給 5 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 從 到 00 的正整數中刪去所有的質數 的倍數及 的倍數之後, 剩下最大的數為 B. 坐標平面上有四點 O(0,0), A(, 5), B(6,0), C( x, y) 今有一質點在 O 點沿 AO 方向前進 AO 距離後停在 P, 再沿 BP 方向前進 BP 距離後停在 Q 假設此質點繼續沿 CQ 方向前進 CQ 距離後回到原點 O, 則. ( x, y ) = C. 抽獎遊戲中, 參加者自箱中抽出一球, 確定顏色後放回 只有抽得藍色或紅色球者可得消費券, C. 其金額分別為 ( 抽得藍色球者 )000 元,( 抽得紅色球者 )000 元 箱中已置有 顆藍色球及 5 顆紅色球 在抽出任一球之機率相等的條件下, 主辦單位希望所有參加者所得消費券的期望值為 00. 元, 則主辦單位應於箱內再置入顆其他顏色的球 D. 坐標平面上有兩條平行直線 它們的 x 截距相差 0,y 截距相差 5 則這兩條平行直線的距離 C. 為 E. 假設 Γ 為坐標平面上一開口向上的拋物線, 其對稱軸為 x = 的焦距 ( 焦點到頂點的距離 ) 為 4 8 E. 若 Γ 與另一拋物線 Γ : y = x 恰交於一點, 則 Γ 的頂點之 y 坐標為 ( 化成最簡分數 ) F. 某公司為了響應節能減碳政策, 決定在五年後將公司該年二氧化碳排放量降為目前排放量的 F.75% 公司希望每年依固定的比率( 當年和當年排放量的比 ) 逐年減少二氧化碳的排放量 若達到 F. 這項目標, 則該公司每年至少要比前一年減少 % 的二氧化碳的排放量 F. ( 計算到小數點後第一位, 以下四捨五入 ) G. 坐標空間中 xy 平面上有一正方形, 其頂點為 O(0,0,0), A(8,0,0), B(8,8,0), C(0,8,0) 另一點 P 在 xy 平面的上方, 且與 OABC,,, 四點的距離皆等於 6 若 x + by + cz = d 為通過 A,B,P 三點的平面, 則 (,, bcd ) = H. 有一橢圓與一雙曲線有共同的焦點 F F, 且雙曲線的貫軸長和橢圓的短軸長相等 設 P 為此橢圓與雙曲線的一個交點, 且 PF PF = 64, 則 FF = I. 在 Δ ABC 中, AB = 0, AC = 9, cos BAC = 設 P Q 分別在邊 AB AC 上使得 Δ APQ 之面 8 積為 Δ ABC 面積之一半, 則 PQ 之最小可能值為 ( 化成最簡分數 ) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -4 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

117 參考公式及可能用到的數值 b± b 4ac. 一元二次方程式 ax + bx + c = 0 的公式解 : x = a. 平面上兩點 P( x, y ), P ( x, y ) 間的距離為 y y. 通過 ( x, y ) 與 ( x, y ) 的直線斜率為 m= x x x x, PP = ( x x ) + ( y y ) na ( + an) n( a + ( n ) d) 4. 首項 a, 公差為 d 的等差數列前 n 項之和為 S = = 5. 三角函數的和角公式 :sin( A+ B) = sin Acos B+ sin Bcos A cos( A+ B) = cos Acos B sin Asin B a b c 6. Δ ABC 的正弦定理 : = = = R sin A sin B sin C Δ ABC 的餘弦定理 : c = a + b abcosc 7. 95% 信心水準下之信賴區間 : ˆ( ˆ) ˆ( ˆ) ˆ p p p pˆ p p, + n n 8. 參考數值 :.44;.7; 5.6, 6.449; π.4 9. 對數值 : log0 0.00, log , log , log 常用對數表 log0 N N 表尾差 註 :. 表中所給的對數值為小數點後的值. 表中最左欄的數字表示 N 的個位數及小數點後第一位, 最上一列的數字表示 N 的小數點後第二位 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -5 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

118 ================= 九十八年答案 ===================== 第一部分 選擇題 壹 單一選擇題. C. B. D 4. E 5. A 6. C 貳 多重選擇題 7. ACD 8. BCD 9. AB 0. DE. AD 第二部分 填充題 A. 95 B. ( 4,0) C. D. E. 9 8 F. 5.6% G. (0,,8) H. 6 I. 5 ====================== 解析 ======================= 第一部分 選擇題 壹 單一選擇題 ( a + k) = 40, a + k = 40 k k k= k= k= 0 ( + 0) 0 0 ak + = 40 ak + 0 = 40 a+ a + + a0 = 0 故選 (C) k= k= 0π 0π. 設 a = cos( π ), π.4, π < π π cos π < cos( π ) cos, < a 故選 (B) 4 4. 利用輾轉相除法 ( f( x), gx ( )) = ( gx ( ), x ) 設 d( x) f( x), d( x) g( x) 得 d( x) ( x ) 4 因 ( x + ) / ( x ) 故選 (D) 同在甲校同在乙校同在丙校 CC + CC + CC P = = = 9% C C 故選 (E) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -6 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

119 0 5. 依題意作圖, 利用正弦定理 sin 45 0 x = x = 0 x = 故選 (A) x = sin0 丁 0 甲 乙 0 x 0 丙 6. 利用圓的定義 OP =, AP = 作圖 圓心到切線距離等於半徑, 兩圓心距 = 半徑和 外切 兩圓之公切線恰有 條故選 (A) 貳 多重選擇題 7. (A) 有限小數 Q 7. (B) 為無理數 7. (C) log0 5 + log0 = log0 0 = Q sin5 cos5 sin 5 + cos 5 7. (D) cos5 + = = = sin5 sin5 cos5 sin5 cos5 sin5 cos5 = 4 sin 0 = Q a b 7. (E) 設為 f( x) = x x + x = 0之有理根則 a, b 可能 或 但 f() 0, f( ) 0 b a x x + x = 0並無有理根 8. 如圖 (A) m > 0 > m > m (B) L L且 L// L 4 L L4 m m4 = (C) 0< m <, 又 m m = m < (D) m > m, m > 0 m m > m m m m < y = m x+ c, x= 代入得 y = c< (E) 甲地 :[ 0.50, 0.58] 0.54 ± 0.04 乙地 :[ ] Pˆ 54% 4% ˆ 甲 = 誤差值 =, P乙 = % 誤差值 = 4% 9(A) 有強調本次參訪, 故正確 0.08, ± ( 0.54) 0.( 0.) n乙 (B) = = < n乙 < n甲 n甲 n乙 n甲 (C) 依信賴區間信心水準定義, 甲地居民有一半以上的人聽過該產品的機率不超過 95% 9(D) 每次民調所得知名度 ˆP 不盡相同, 故未必有 95% 的機會落在區間 [ 0.08,0.6 ] 9(E) 再次作民調故知名度亦跟著做改變 信賴區間寬度不因此而僅作一半的縮減 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -7 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

120 x+ y+ az = 0. x+ 4y+ bz = a, b, c R x + 0y+ 7z = c 由 得 x+ 0 y+ (a b) z = (A) 若 a b= 7 且 c = 4 無限多解 ( 平面 ) 0.(B) 理由同上 0.(C) 若恰有一解時則 a b 7 與 c 值無關 0.(D) 無解 平面 // 平面 4 a b= 7 且 c 4 0.(E) 理由同上. 定坐標系, 如右圖 z (A) KM = (,, ) AB AD + AE = A(0,0,) [ (,0,0) (0,,0) + (0,0, ) ] K(,,) = (,, ) = KM B(,0,) C(,,) (B) KM AB = (,, ) (, 0, 0) = (C) KM = + + = E(0,0,0) M(,0,) (D) MN = (,0, ) MN = N(,0,0) KN = (0,, ) KN = 5 F(,0,0) G(,,0) ( ) + ( ) = ( 5) 得 Δ KMN 為直角 Δ x 6 0 (E) Δ KMN 面積 = = D(0,,) y H(0,,0) 第二部分 填充題 A. 由 00 的倍數 99 的倍數 A. 98 的倍數 97 質數 96, 的倍數 95 非質數,, 的倍數 B. O(0,0), A(, 5), B(6,0), C( x, y) B. AO = (,5) OP = AO 且 OP// AO OP = AO = (,5) P(,5) B. BP = ( 6,5 0) = (,5) BP = ( 6,0) 令 Qmn (, ) PQ= BP ( m, n 5) = ( 6,0) m=, n= 5 = 9 x x= 4 B. QO = CQ (, 5) = ( x,5 y) 5 = 45 y y = 0 ( xy=, ) ( 4,0) C. 設置入 x 顆其他顏色的球共有球數 = + 5+ x= x+ 7顆 C. Ex ( ) = = = 00 x+ = 90 x= x+ 7 x+ 7 x+ 7 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -8 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

121 D. 在不失一般性條件下 ( WLOG... ) 令此二直線 D. L, L如右圖 : D. 故 dl (, L ) 即為 Δ OAB 底邊 AB 高又 5 0 OB = 5, OA = 0 AB = 5 h = = 5 E. Γ 為開口向上之拋物線, 且對稱軸 E. 為 x =, 焦距 = c= ( c> 0) E. 令 Γ :( x + ) = 4 ( y k) ( x+ ) = ( y k) ( x+ ) = ( y k) E. 又 Γ, Γ 交於一點 4 y = x 9 E. 由 代入 ( x + ) = ( x k) ( x + x+ ) = x k E. x + x+ = x k x + x+ + k = 0, Dx = 0 9 4( + k) = 0 k = F. 設該公司每年至少比前一年減少 r %, 並令目前排放量為 A F. A( r%) = 0.75 A ( r%) = log( r%) = log F. 5log( r%) = log log 4 log( r%) = 5 F. log( r%) = = 經查表得 log( r%) = log r% = r% = = 5.56% 5.6% G. O(0,0,0), A(8,0,0), B(8,8,0), C(0,8,0) 平面 OABC方程式為 : z = 0 法向量 N = (0,0,) G. 正方形 OABC 之中心為 (4,4,0) 令 P 為 (4, 4,0) + t(0,0,) (4, 4, t) G. OP = t = t = 6 t =± ( 負不合 ) 故 P (4,4,) 8 = d G. 平面 ABP : x + by + cz = d 將之代入 8 + 8b = d 4 + 4b + c = d ( bcd,, ) = (0,,8) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -9 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

122 H. 設橢圓長軸之半為 a, 短軸之半為 b,p 為交點依定義 橢圓 : PF+ PF = a, H. 雙曲線 : PF PF = b ( 依題意雙曲線貫軸長 = 橢圓短軸長 ) PF + PF = PF PF + 4 PF PF 4a = 4b a b c c FF c = 64 = = 8 = = 6 I. 由圖設 AP= a, AQ= b Δ APQ = ΔABC I. absin A = 0 9 sin A ab = 45 I. 利用餘弦定 PQ = a + b ab cosa = a + b = a + b a b = ab = PQ 最小值 = = ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -0 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

123 大學入學考試中心九十九學年度學科能力測驗試題 數學考科 作答注意事項 考試時間 :00 分鐘 題型題數 : 單一選擇題 7 題題型題數 : 多重選擇題 5 題題型題數 : 填充題 8 題 作答方式 : 用 B 鉛筆在 答案卡, 修正時應以橡皮擦拭, 切勿使用修正液作答方式 : 答錯不倒扣 試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 - - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

124 第一部分選擇題 壹 單一選擇題 說明 : 第 至 7 題, 每題選出最適當的一個選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 答錯不倒扣 ( ). 若數列 a, a,, ak,, a0中每一項皆為 或 -, 則 a+ a + + ak + + a0 之值有多少種可能? ( ) (A)0 (B) (C) P 0 (D) C 0 (E) 0 5 a ( ). 已知 a,b 為整數且行列式 = 4, 則絕對值 a+ b 為何? b 7 ( ) (A)6 (B) (C) ( )(D)9 (E) 條件不足, 無法確定 ( ). 箱中有三顆紅球與三顆白球 一摸彩遊戲是從箱中隨機同時抽出兩顆球 如果抽出的兩球顏色不同, 則得獎金 00 元 ; 如果兩球顏色相同, 則無獎金 請問此遊戲獎金的期望值為何? ( ) (A)0 元 (B)0 元 (C)40 元 (D)50 元 (E)60 元 ( )4. 坐標平面上給定兩點 A(, 0) 與 B(0,), 又考慮另外三點 P( π,) Q(,6) 與 R (, log4 ) 令 ΔPAB 的面積為 p ΔQAB 的面積為 q ΔRAB 的面積為 r 請問下列哪一個選項是正確的? ( )4 (A)p < q< r (B)p < r < q (C)q< p< r (D)q< r < p (E)r < q< p ( )5. 在密閉的實驗室中, 開始時有某種細菌 千隻, 並且以每小時增加 8% 的速率繁殖 如果依此速率持續繁殖, 則 00 小時後細菌的數量最接近下列哪一個選項? ( )5 (A)9 千隻 (B)08 千隻 (C)00 千隻 (D)00 千隻 (E)000 千隻 ( )6. 坐標空間中 O 為原點, 點 A 的坐標為 (,,) 設 S 是以 O 為球心 4 為半徑的球面 請問在 S 上滿足內積 OA OP = 6 的所有點 P 所成的圖形為何? ( )6 (A) 空集合 (B) 一個點 (C) 兩個點 (D) 一個圓 (E) 兩個圓 x y x y x y x ( )7. 令橢圓 Γ : + = Γ : + = Γ : + = 的長軸長分別為 l l l 請問 下列哪一個選項是正確的? ( )6 (A) l = l = l (B) l = l < l (C) l < l < l (D) l = l < l (E) l < l < l ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 - - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

125 貳 多重選擇題 : 說明 : 第 8 至 題, 每題至少有一個選項是正確的, 選出正確選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 說明 : 答錯不倒扣, 未答者不給分, 只錯一個可獲.5 分, 錯兩個或兩個以上不給分 ( )8. 設 θ θ θ θ4分別為第一 第二 第三 第四象限角, 且都介於 0 與 π 之間 已知 cosθ = cosθ = cosθ = cosθ4 =, 請問下列哪些選項是正確的? π ( )7 (A) θ < (B) θ + θ = π (C) cosθ = ( 4 π 7 (D) sinθ 4 = (E) θ 4 = θ + ( )9. 下列哪些方程式有實數解? ( )8 (A) x x x + x = 0 (B) + = 0 (C) log x + log x = 9 ( )8 (D)sin x+ cos x= ( )8(E) 4sinx+ cosx= nn ( + ) ( )0. 設 a, a,, an, 為一實數數列, 且對所有的正整數 n 滿足 an+ = an 請問下列 哪些選項是正確的? ( )9 (A) 如果 a =, 則 a = ( )9 (B) 如果 a 是整數, 則此數列的每一項都是整數 ( )9 (C) 如果 a 是無理數, 則此數列的每一項都是無理數 ( )9 (D) a a 4 a n (n 為正整數 ) ( )9 (E) 如果 a 是奇數, 則 a, a, 4, a, 都是奇數 (n 為正整數 ) k k+ k+ k+ n ( ). 坐標空間中, 直線 L 上距離點 Q 最近的點稱為 Q 在 L 上的投影點 已知 L 為平面 x-y = 上通過點 (,, ) 的一直線 請問下列哪些選項中的點可能是原點 O 在 L 上的投影點? ( ) 0(A)(,,) ()0(B)(,0,) )0(C) ( 4,,0) 5 5 ( )0(D) ( 4,, ) 5 5 ( )0(E) ( 8,, ) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 - - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

126 ( ). 想要了解台灣的公民對某議題支持的程度所作的抽樣調查, 依性別區分, 所得結果如下表 : 女性公民 男性公民 贊成此議題的比例 ˆp ˆp 的標準差 pˆ( pˆ) n 請問從此次抽樣結果可以得到下列哪些推論? (A) 全台灣男性公民贊成此議題的比例大於女性公民贊成此議題的比例 (B) 在 95% 的信心水準之下, 全台灣女性公民贊成此議題之比例的信賴區間為 [0.48,0.56] ( 計算到小數點後第二位, 以下四捨五入 ) (C) 此次抽樣的女性公民數少於男性公民數 ( ) (D) 如果不區分性別, 此次抽樣贊成此議題的比例 pˆ 介於 0.5 與 0.59 之間 ( ) (E) 如果不區分性別, 此次抽樣 pˆ 的標準差 第二部分 : 填充題 pˆ( pˆ) 介於 0.0 與 0.04 之間 n 說明 : 第 A 至 H 題, 將答案標示在答案卡之 解答欄, 每題完全答對給 5 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 坐標平面上有一個平行四邊形 ABCD, 其中點 A 的坐標為 (,), 點 B 的坐標為 (8, ), 點 C 在第一象限且知其 x 坐標為 若平行四邊形 ABCD 的面積等於 8 平方單位, 則點 D 的坐標為 B.. 設 f (x) 為滿足下列條件的最低次實係數多項式 : f (x) 最高次項的係數為, 且 -i i 5 皆為方程式 f (x) = 0 的解 ( 其中 i = - ) 則 f (x) 之常數項為 C. 有一個兩列三行的表格如右下圖 在六個空格中分別填入數字 4 5 6( 不得重複 ), 則 這兩個數字在同一行或同一列的方法有種 D. 設實數 a > 0 若 x y 的方程組 x y = x y = a 有解, 則 a = x ay = D E. 如右圖, 直角三角形 ABD 中, A 為直角,C 為 AD 邊上的點 已知 BC = 6, AB = 5, ABD = ABC, 則 BD = ( 化成最簡分數 ) C B A ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -4 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

127 F. 設 a b 為實數 已知坐標平面上拋物線 y = x + ax + b 與 x 軸交於 P Q 兩點, 且 PQ = 7 若拋物線 y = x + ax + (b + ) 與 x 軸的兩交點為 R S, 則 RS = G. 已知 Δ ABC 中, AB = BC = 且 A = C, 則 AC = ( 化成最簡分數 ) 9 H. 坐標平面上給定點 A (,) 直線 L: y = 5 與拋物線 Γ : x = 8y 以 d (P, L) 表示點 P 到 4 直線 L 的距離 若點 P 在 Γ 上變動, 則 dpl (, ) AP之最大值為 ( 化成最簡分數 ) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -5 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

128 參考公式及可能用到的數值. 一元二次方程式 b± b 4ac + + = 0 的公式解 : x = a ax bx c. 平面上兩點 P( x, y ), P ( x, y ) 間的距離為 PP = ( x x ) + ( y y ) y y. 通過 ( x, y ) 與 ( x, y ) 的直線斜率為 m= x x x x, n( a+ ( n ) d) 4. 首項為 a 且公差為 d 的等差數列前 n 項之和 Sn = n a( r ) 首項為 a 且公差為 r 的等比數列前 n 項之和 Sn =, r r 5. 三角函數的和角公式 :sin( A+ B) = sin Acos B+ sin Bcos A cos( A+ B) = cos Acos B sin Asin B a b c 6. Δ ABC 的正弦定理 : = = = R sin A sin B sin C Δ ABC 的餘弦定理 : c = a + b abcosc n 7. 算術平均數 : M ( = X) = ( x+ x + + xn) = xi n n i= n n S = ( xi X) = ( xi ) nx n i= n i= ( 樣本 ) 標準差 : ( ) 8. 95% 信心水準下之信賴區間 : ˆ( ˆ) ˆ( ˆ) ˆ p p p pˆ p p, + n n 9. 參考數值 :.44,.7, 5.6, 6.449, π.4 0. 對數值 : log0 0.00, log , log , log ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -6 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

129 ================= 九十九年答案 ===================== 第一部分 選擇題 壹 單一選擇題. B. C. E 4. A 5. C 6. D 7. D 貳 多重選擇題 8. BC 9. AE 0. BCD. ACE. BD 第二部分 填充題 A. (6,8) B. 65 C. 4 D. 4 E F. 4 G. 5 H. 4 ====================== 解析 ======================= 第一部分 選擇題 壹 單一選擇題. 設 有 x 個, 有 y 個 x+ y = 0,, x y N {0} a+ a + a0 = x+ ( ) y = x y x y x y 共 種 故選 (B). a b Z 5 a = 4 5 ab = 4 b 7 ab = a b a+ b = 故選 (C) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -7 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

130 . 獎金 00 0 機率 C ( C + C ) = 5 6= 9 C + C = C C 9 6 期望值 = 00+ 0= 60 故選 (E) A(,0), B(0,), AB: x+ y = Δ PAB = AB d( P, AB) Δ QAB = AB d( Q, AB) Δ RAB = AB d( R, AB) π + π.4 d( P, AB) = = dqab (, ) = = log4.5 d( R, AB) = = = = d( R, AB) > d( Q, AB) > d( P, AB), r > q > p 故選 (A) 5. 每小時增加 8% 的速率 小時後有隻千隻 ( + 8%) = (.08) 08 = 00 log(.08) 00log 00 = 00[ log + log log00] = 00[ ] = =. + log <. < + log log 000 <. < log 約有 00 千隻最接近故選 (C) S: x + y + z = 6 令 Pxyz (,, ), OAOP = (,,) ( xyz,, ) = 6 x+ y+ z= 6 表一平面 E doe (, ) = = = 6 < 4( 半徑 ) 平面與球交於一圓故選 (D) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -8 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

131 7. x y Γ : + = 長軸 l = 5= 0 5 x y x y Γ : + = + =, a = 50, a = 5, 長軸 l = a = x y x x 0x y Γ : + = + = ( x 5) y + = 表中心 (5, 0), a = 5, a = 5 之橢圓, l = a= l = l < l 故選 (D) 貳 多重選擇題 θ, θ, θ, θ 分別為第一 二 三 四象限角 8. 4 cosθ = cosθ = cosθ = cosθ4 = cos θ= cos θ4= ; cos θ= cos θ= π π ( A) : < cosθ < cos θ > 4 4 ( B) : cosθ =, cosθ = 且 θ, θ 分別在第一 二象限, θ+ θ = π ( C) : cosθ = ( D) : θ4 在第四象限且 cosθ4 =, sinθ4 = π π ( E) : θ4 = π θ, θ = π + θ θ4 ( θ+ ) = ( π θ) ( π + θ) = π θ 0, θ4 θ+ 9. ( A) : 實係數方程式, 虛根必成雙存在 三次方程式至多有二虛根, 即至少有一實根 x x x x x x ( B) : > 0且 > 0, + = x x 即 + = 0 無實數解 ( C) : 令 t = log x, = logx, t+ = t t+ = 0 t t Dt < 0, log x= t 無實數解 ( D) : sinx, cosx sin x+ cos x= 無實數解 4 ( E) : 4sinx+ cosx= 5( sinx+ cos x) = 5(sin xcosφ+ cos xsin φ) = 5sin( x+ φ) = 9 sin( x+ φ) = < 有解, 故選 ( A)( E) 0 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -9 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

132 nn ( + ) 0. an+ = a n ( A) : a, a = a = 0 a = 0 nn ( + ) ( B) : Z, n N 且 a Z, a = a= a a Z kk ( + ) 同理若 ak Z 則 ak+ = ak Z, k N nn ( + ) an+ = an Z, n N ( C) : a Q, a = a = a Q, n N, an Q ( n+ )( n+ ) ( n+ )( n+ ) ( D) : an+ = an+ an+ + an+ = nn ( + ) nn ( + ) an+ = an an+ + an = ( n + ) - an+ an = [( n+ ) n ] = n+ > 0, n N a a a 4 6 ( E) : 由 (D) a = ( k+ ) + a, 若 a 為奇數且 k 為偶數 則 a = ( k+ ) + a k+ 故選 ( B)( C)( D) k+ k k k 為偶數. 令 A(,, ), Q( l, m, n) L x y = 投影點 Q 需滿足下列二條件 () 在平面 E :x y = 上 () OQ QA ( A) : OA= (,,), AA= (0,0,0), OA AA= 0 ( B) : (,0,) E: x y = O(0,0,0) 6 4 ( C) : CA= (,,), OC = (,,0) CA OC = 0, CA OC 6 4 ( D) : DA= (,,4), OD= (,, ) Qlmn (,, ) DA OD = 8, DA / OD ( E) : EA= (,, ), OE = (,, ) A(,,) EA OE = 0, EA OE 故選 ( A)( C)( E) N = (,,0) x y = ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 -0 - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

133 . (A) : 此調查對象非全台灣公民, 故不能由此次抽樣的結果, 直接推論全台灣的情形皆是如此, 即 全台灣男性公民贊成此議題的比例大於女性公民贊成此議題, 故選項 (A) 錯誤 pˆ( pˆ) pˆ( pˆ) ( B) : 95% 信心水準下之信賴區間為 [ pˆ, pˆ + ] n n 全台灣女性公民贊成此議題之比例的信賴區間為 [ , ] = [0.48,0.56] ( C) : 令抽樣的女性公民數為 n, 男性公民數為 n, 女 pˆ( pˆ) pˆ( pˆ) 又 pˆ 的標準差 S = n= n S 0.5 ( 0.5) 0.59 ( 0.59) n女 = = 64; n = 男 5 (0.0) (0.04) 0.5 n女 n男 ( D) : 若不分性別, pˆ = n女 + n男 0.5( n女 + n男 ) 0.5 n女 n男 0.59( n女 + n男 ) 則 0.5 = < < = 0.59 n女 + n男 n女 + n男 n女 + n男 0.5 < pˆ < 0.59 ( E) : 由 ( D) 之結果知不區分性別, 贊成此議題的比例 pˆ > 0.5 pˆ( pˆ) < 0.5 ( 0.5) 又 n + n > n pˆ( pˆ) 0.5 ( 0.5) pˆ 之標準差 = < = 0.0 故選 ( B)( D) n + n n 男女女 男 男女女 第二部分填充題 A. 令 C(, n), D( x, y) AB : x 6y + 4, AB = 7 ABCD 面積 = AB d( C, AB) 6n + 4 = 7 = n = 8, n= 9 or ( 不合 ) 6 C 在第一象限 AD = BC ( x, y ) = (4,7), ( x, y) = (6,8) Dxy (, ) C(, n) A(,) B(8, ) B. 實係數方程式, 虛根必成雙存在又 f( x) 之最高次係數為 B. B. x i ( x ) 4, x 6x 0 = = + = x= i x = x + = 0 f( x) = ( x 5)( x 6x+ )( x + ) 常數項 = f (0) = 5 = 65 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 - - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

134 C. 共 行, 二列 同在第 行! 4! = 48 同在第一列 P 4! = 44, 在同一行或同一列共有 = 4 D. 法一 ) x y = () D x y = a () x ay = () a a 由 ()() 得 ( xy, ) = (, ) 代入 () ( a) a x ay = a( ) =. a a 8 = 0 ( a 4)( a+ ) = 0 a = 4 但 a > 0 取 a = 4 法二 ) 有解 a = 0 a a = 4 ( 不合 ) D. 但此方法為高三甲 乙類數學矩陣與行列式才教 E. E 5 cos θ =, 令 BD= x 6 5 cos θ = x 5 = cos θ x = ( ) = x 6 x 8 90 x = 7 B θ θ 6 5 D C A ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 - - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

135 F. F. y = x + ax+ b 與 x 軸交於 PQ 令 P( α,0), Q( β,0), α β = 7 又 α + β = a, αβ = b + = a b= ( α β) 4αβ 4 49 = + + ( + ) y x ax b 與 x 軸兩交點為 R, S 令 R( γ,0), S = ( δ,0) RS = γ δ = γ + δ 4γδ = 4( + ) = 4 8 = 49 8 = 4 a b a b RS = 4 G. 由正弦定理知 = sinθ sin θ A = sinθ sinθcosθ cosθ = 4 設 AC = x, 由餘弦定理得 x + x + 5 cosθ = = = x 6x 4 x x 4 + 0= 8 ( x )(x 5) = 0 5 x = 5 但 x= 為等腰直角 ( 不合 ), x= θ B x θ C H. Γ : x = 8 y, 焦點 F(0,), A(,) 4 9 又 0 < 8 且 ( ) < 8, F, A在拋物線同側 4 x = 4 y 上下型 準線 L : y+ = 0 9 P Γ, d( L, L) = dpl (, ) AP= dpl (, ) AP+ 9 = PF AP + AF + = + = 4 4 F(0,) 9 A(,) 4 P L : y+ = 0 L: y+ 5= 0 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 - - 數學 ~ ~ ~ ~ ~

136 大學入學考試中心一百學年度學科能力測驗試題 數學考科 作答注意事項 考試時間 :00 分鐘 題型題數 : 單一選擇題 6 題題型題數 : 多重選擇題 7 題題型題數 : 填充題 7 題 作答方式 : 用 B 鉛筆在 答案卡, 修正時應以橡皮擦拭, 切勿使用修正液作答方式 : 答錯不倒扣 試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

137 第壹部分選擇題 (65%) 一 單一選擇題 (0%) 說明 : 第 至 6 題, 每題選出最適當的一個選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 答錯不倒扣 ( ). 有一箱子, 內有 黑球與 白球 有一遊戲, 從箱子中任取出一球 假設每一顆球被取出的機率都相同, 若取出黑球可得獎金 50 元, 而取出白球可得獎金 00 元, 則下列哪一個選項是此遊戲的獎金期望值? () 70 元 () 75 元 () 80 元 (4) 85 元 (5) 90 元 ( ). 多項式 4( x + ) + ( x+ ) ( x ) + ( x ) 等於下列哪一個選項? ()x(x +) ()x(x ) ()x(x )(x+) (4)(x ) (x +) (5)x(x )(x +) ( ). 設 ( an+ ) = ( an),n 為正整數, 且知 a n 皆為正 令 bn = log an, 則數列 b,b,b, 0 為 : () 公差為正的等差數列 () 公差為負的等差數列 () 公比為正的等比數列 (4) 公比為負的等比數列 (5) 既非等差亦非等比數列 x y x y ( )4. 坐標平面上滿足方程式 ( + )( ) = 0 的點 (x, y) 所構成的圖形為 () 只有原點 () 橢圓及原點 () 兩條相異直線 (4) 橢圓及雙曲線 (5) 雙曲線及原點 ( )5. 請問下面哪一個選項是正確的? () 7 < 7 () 5 0 < 0 5 () < 0 (4) =.5 (5) log ( )6. 根據台灣壽險業的資料, 男性從 0 歲 歲 到 60 歲各年齡層的死亡率 ( 單位 :%) 依序為 :.050, 0.50, 0.50, 0.00, 0.070, , , , , 0.050, , , , , , 0.09, 0.94, 0.890, 0.04, 0., 0.64, 0.66, 0.7, 0.085, 0.09, 0.948, 0.88, 0.80, 0.799, 0.79, 0.8, 0.86, 0.94, 0.05, 0.90, 0.54, 0.59, 0.74, 0.96, 0.0, 0.47, 0.779, 0.49, 0.457, 0.496, 0.540, , 0.646, 0.679, 0.79, 0.77, 0.89, 0.887, 0.949,.068,.48,.9,.50,.4485,.585,.75 經初步整理後, 已知 6 個資料中共有 4 個資料小於 0. 請問死亡率資料的中位數為下列哪一個選項? ()0.04 ()0.64 ()0.7 (4)0.085 (5)0.09 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

138 二 多重選擇題 (5%) 說明 : 第 7 至 題, 每題至少有一個選項是正確的, 選出正確選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 說明 : 答錯不倒扣, 未答者不給分, 只錯一個可獲 分, 錯兩個或兩個以上不給分 ( )7. 設 O A B 分別為複數平面上代表 0 + i 以及 i 的點 請問下列哪些選項所對應的點落在 Δ OAB 的內部? () cos 60 () cos50 + i sin50 () 4 i 5 (4) + i 5 (5) ( cos0 + i sin0 ) ( )8. 已知 sinθ = 且 cosθ > 0, 請問下列哪些選項是正確的? 4 () tanθ < 0 () tan θ > () sin θ > cos θ 9 (4) sinθ > 0 (5) 標準位置角 θ 與 θ 的終邊位在不同的象限 ( )9. 考慮坐標平面上以 O(0,0) A(,0) B(0,4) 為頂點的三角形, 令 C C 分別為 Δ OAB 的外接圓 內切圓 請問下列哪些選項是正確的? () C 的半徑為 () C 的圓心在直線 y = x 上 () C 的圓心在直線 4x + y = 上 (4) C 的圓心在直線 y = x 上 (5) C 的圓心在直線 4x + y = 6 上 ( )0. 坐標平面中, 向量 w 與向量 v = (, 5) 互相垂直且等長 請問下列哪些選項是正確的? () 向量 w 必為 ( 5, ) 或 ( 5,) () 向量 v+ w 與 v w 等長 () 向量 v+ w 與 w 的夾角可能為 5 (4) 若向量 u = av+ bw, 其中 a, b 為實數, 則向量 u 的長度為 a + b (5) 若向量 (, 0) = cv + dw, 其中 c, d 為實數, 則 c > 0 ( ). 在坐標平面上, 圓 C 的圓心在原點且半徑為, 已知直線 L 與圓 C 相交, 請問 L 與下列哪些圖形一定相交? ()x 軸 () ( x y = ) () x + y = x y (4) ( x ) + y = 6 (5) + = 9 4 ( ). 坐標空間中, 考慮球面 S:( x ) + ( y ) + ( z ) = 4 與 A(, 0, 0 ) B(, 0, 0 ) 兩點 請問下列哪些選項是正確的? () 原點在球面 S 上 ()A 點在球面 S 之外部 () 線段 AB 與球面 S 相交 (4)A 點為直線 AB 上距離球心最近的點 (5) 球面 S 和 xy, yz, xz 平面分別截出的三個圓中, 以與 xy 平面所截的圓面積為最大 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

139 ( ). 設 f( x) = x( x )( x+ ), 請問下列哪些選項是正確的? () f ( ) > 0 () f( x ) = 有整數解 () f( x) = x + 有實數解 (4) f ( x) = x有不等於零的有理數解 (5) 若 f( a ) =, 則 f( a) = 第貳部分 : 選填題 (5%) 說明 : 第 A 至 G 題, 將答案標示在答案卡之 解答欄, 每題完全答對給 5 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 已知首項為 a 公比為 r 的無窮等比級數和等於 5; 首項為 a 公比為 r 的無窮等比級數和等於 7, 則首項為 a 公比為 r 的無窮等比級數和等於 B. 空間中一長方體如右圖所示, 其中 ABCD 為正方形, BE 為 6 長方體的一邊 已知 cot AEB =, 則 cot CED = 5 C. 高三甲班共有 0 位男生 5 位女生, 需推派 位同學參加某項全校性活動 班會中大家決定用抽籤的方式決定參加人選 若每個人中籤的機率相等, 則推派的三位同學中有男也有女的機率為 D. 四邊形 ABCD 中, AB =, BC = 5, CD = 5, DA = 7, 且 DAB = BCD = 90, 則對角線 AC 長為 E. 一礦物內含 A B C 三種放射性物質, 放射出同一種輻射 已知 A B C 每公克分別會釋放 出 單位 單位 單位的輻射強度, 又知 A B C 每過半年其質量分別變為原來質量的 倍 於一年前測得此礦物的輻射強度為 66 單位, 而半年前測得此礦物的輻射強度為 4 單位, 且目前此礦物的輻射強度為 8 單位, 則目前此礦物中 A B C 物質之質量分別 公克 F. 設 x y E : + = ( 其中 a > 0 ) 為焦點在 (, 0 ), (, 0 ) 的橢圓 ; E a b : 焦點在 (, 0 ) 且準線為 x = 的拋物線 已知 E, E 的交點在直線 x = 上, 則 a = G. H : x y+ z = 為坐標空間中一平面,L 為平面 H 上的一直線 已知點 P(,, ) 為 L 上距離原點 O 最近的點, 則 (,, ) 為 L 的方向向量 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

140 ================= 一百年答案 ===================== 第壹部分 一 單一選擇題 選擇題 二 多重選擇題 第貳部分選填題 5 7 A. B. 6 5 F. + G. (,-,-) C D. E. (4,, ) ===================== 解析 ======================= 第壹部分 選擇題 一 單一選擇題. 黑球白球 機率 5 5 獎金 期望值 Ex= ( ) = 70, 故選 () 5 5. 法一 ) f( x) = 4 ( x + ) + ( x+ ) ( x ) + ( x ) 法二 ) = x + + x + x+ x + x x + x 4 4 ( )( ) = x x = x x+ x ( )( ) f( x) = 4( x + ) + ( x+ ) ( x ) + ( x ) f(0) = f() = f( ) = 0 且領導係數 = f( x) = ( x)( x+ )( x ), 故選 (5) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

141 . b b = loga loga n+ n n+ n a = loga loga = log = log = 0 n+ n+ n an b b = 為定值, < b > 是公差為負的等差數列, 故選 () n+ n n 4 x y x y 4. ( + )( ) = x y x y + = 0 or = 表 ( 0,0) 一點或 4x± y = 0 兩直線 ( 0,0) 亦在 4x± y = 0 上, 故圖形為兩條相異直線, 故選 () 5. () : = 87, 7 = 4 > () :5 = 5 > () : = (04) > 0 = (4) : log log 8 =.5 (5) : log = log, log 8 =.5, log <.5 故選 (5) , 0.50, 0.50, 0.00, 0.070, , , , , 0.050, , , , , , 0.09, 0.94, 0.890, 0.04, 0., 0.64, 0.66, 0.7, 0.085, 0.09, 0.948, 0.88, 0.80, 0.799, 0.79, 0.8, 0.86, 0.94, 0.05, 0.90, 0.54, 0.59, 0.74, 0.96, 0.0, 0.47, 0.779, 0.49, 0.457, 0.496, 0.540, , 0.646, 0.679, 0.79, 0.77, 0.89, 0.887, 0.949,.068,.48,.9,.50,.4485,.585,.75 由小到大排序位置在第 位者為中位數 故 Me = 0.64, 故選 () ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

142 二 多重選擇題 7. () : cos 60 = 表 (,0), 在 ΔOAB 內部 () : cos 50 + i sin 50 主幅角 = 50 在單位圓上但不在 ΔOAB 內部 主幅角故在外部 4 i 4 4 () : = + i cos θ =, sin θ = 表位置在第四象限單位圓上, 且 < θ < 0 故在 ΔOAB 內 + i (4) : = cos 60 + i sin 60-5 = 60, ΔOAB (5) : ( cos 0 + i sin0 ) = cos π π π π + i sin = cos + i sin, 表主幅角 = 0 在單位圓上的點 故在 ΔOAB 內 故選 ()()(5) 8. sin θ =, cos θ > 0 θ 為第四象限角 () : tan θ < () : tan θ = ( ) = > () : sin θ =, cos θ =, sin θ < cos θ 9 9 (4) : sin θ = sin θ cos θ < 0 4 cos θ = sin θ = = > 9 9 sin θ < 0, cosθ > 0, θ 亦為第四象限角 (5) : 0 故選 ()() ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

143 9. AB = 5, AOB = 90 C 為 ΔOAB 之外接圓 AB 為直徑, 半徑 = C 為 ΔOAB 之內切圓 ΔOAB 的面積 = r s 4 = r (+ 4+ 5) r = 外心在斜邊之中點 (, ) 內切圓半徑 =, 內心 (,) 5 4 () : 半徑 = () : 不在直線 y= x上 () : 外心 (,) 4x+ y = (4) : 內心 (,) y= x (5) : 內心 (,) 不在 4x+ y = 6 上, 故選 ( )(4) 0. v = (, 5), v = w 且 v w, v w= 0 w= ( 5, ) or( () : w =± ( 5, ) 5,) () : v+ w = v + v w+ v = v + w v w = v v w+ w = v + w v+ w = v w, 故 v + w 與 v w 等長 () : v w 且 v = w v+ w, v, w為等腰直角三角形 5 v+ w v w v+ w, 與 w 夾角 = 45 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

144 (4) : u = av + bw u = av+ bw = a v + abv w+ b w ( 但 v w=0) = a v + b w ( 又 v = w =) = ( a + b ) v = 9 ( a + b ) u = a + b (5) : 向量的線性組合之存在且唯一性 cv + dw = c(, 5) + d( 5, ) = (,0) c+ 5d = 5 ( c, d) = (, ) 5c d = or cv + d w = c (, 5) + d( 5,) = (,0) c 5d = 5 ( c, d) = (, ) 5c+ d = c > 0, 故選 ()()(5). 圓 C 之圓心在原點, 半徑 = + = C: x y 4 L C, 與圓相交 () : 若 L: y = 則 L與圓相交但與 x 軸並不相交 x () : 同上 L 未必與 y = ( ) 相交 () : 若 L: y = 則 L 與圓交於 (0, ) 但並不與 x + y = 即半徑 = 之圓相交 (4) : d( O, L) d( O', L) 4, 故必與半徑 = 4, 圓心 O' (, 0) 相交 ( 如上圖 ) x y (5) : + =, 短軸 = 4, 長軸 = x y x y L 與圓 + = 相交, 必與 + = 相交, 如右圖 故選 (4)(5) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

145 S x + y + z =. :( ) ( ) ( ) 4 O 代入 =, 原點在球面上 () : (0,0,0) ( ) +( ) +( ) 4 A 代入 在球 S 內部 () : (,0,0) 0 +( ) +( ) <4 () : B(,0,0 ) 代入 ( ) +( ) + ( ) >4 在球外部, 故 AB與 S 相交 (4) : AB = (,0,0) (,0,0), 若 P AB 則 P(+ t, 0, 0) 球心 O'(,,) OP= ( t,, ) 當 OP AB 時, OP AB = 0, t = 0, 故 P(,0,0) = A 為球心在 AB 之投影點 (5) : 設 S 與 xy, yz, zx 三個截圓面積分別為 A, A, A A = (4 9) π = 5 π, A = (4 ) π = π, A = (4 4) π = 0π 故與 yz 平面截圓最大故選 ()()(4). () : f ( ) = ( )( + ) < 0 () : f( x) = x( x )( x+ ) = 0 = x x 0 f( x) = 0 Z[ x] 若有整數解必為 ± or ± 但 f( ± ) 0, f( ± ) 0, 沒有整數解 f x = x + x x= x + () : ( ) x x x = 0 f( x) = x + R[ x] 實係數方程式若有虛根必成雙存在, 必有實根 (4) : f( x) = x x x= x x x= 0, x= 0or ± 沒有不等於 0 之有理根 (5) : f( a) = a a=, f( a) = ( a) ( a) = ( a a) = 故選 () 第二部分 填充題 a A: = r = a() r a = 7 7 r = a() r 5 由 ()() r =, a = a 8 5 = = r 6 8 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

146 B: AB BE BE 6 cot AEB = = AB 5 不失一般性 ( W L O G) 令 AB = 5, BE = 6 6 ABCD為正方形, 該圖為長方體 CD為平面 EBC 之法向量 CD CE CE BC + BE cot( CED) = = = = CD C: n( S) = C = = n( A) = ( 二女一男 ) 或 ( 一女二男 ) = C C + C C = 0 + = = 5 0 na ( ) PA ( ) = = = ns ( ) D : DAB = BCD = 90 對角互補 A B C D 四點共圓 BD 為直徑 = 5 B + D = π cosb = cosd 令 AC = x, 由餘弦定理 + 5 x 6 x cosb = = x 74 x cosd = = x 74 x cosb = cosd = ( ) 0 70 x =, x= ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

147 E: 設目前 A B C 礦物質量分別為 x, y, z 公克 x+ y+ z = 8 x+ 6y+ 4z = 得 ( x, y, z) = (4,,) 4x+ 8y+ 6z = 66 故 A B C目前質量分別為 (4,,) 公克 F E y x y x : : = 4 = x y E : + = 焦點 ( ±,0) a b y = a b = 9 () 代入 E x 交點 (,6) 與 (, 6) 代入 E x = x y 9 6 : + = + = 9 9 E a a, 得 a a a = ± 7 8 ( 負不合 ) a = = = = + G: L OP= (,,) 且 L N = (,,) L OP N = (,, ) = (,, ) N L H : x y+ z = ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

148 參考公式及可能用到的數值. 一元二次方程式 b± b 4ac + + = 0 的公式解 : x = a ax bx c. 平面上兩點 P( x, y ), P ( x, y ) 間的距離為 PP = ( x x ) + ( y y ) y y. 通過 ( x, y ) 與 ( x, y ) 的直線斜率為 m= x x x x, n( a+ ( n ) d) 4. 首項為 a 且公差為 d 的等差數列前 n 項之和 Sn = n a( r ) 首項為 a 且公差為 r 的等比數列前 n 項之和 Sn =, r r 5. 三角函數的和角公式 :sin( A + B) = sin Acos B+ sin Bcos A cos( A + B) = cos Acos B sin Asin B a b c 6. Δ ABC 的正弦定理 : = = = R sin A sin B sin C Δ ABC 的餘弦定理 : c = a + b abcosc n 7. 算術平均數 : M ( = X) = ( x+ x + + xn) = xi n n i= n n S = ( xi X) = ( xi ) nx n i= n i= ( 樣本 ) 標準差 : ( ) 8. 95% 信心水準下之信賴區間 : ˆ( ˆ) ˆ( ˆ) ˆ p p p pˆ p p, + n n 9. 參考數值 :.44,.7, 5.6, 6.449, π.4 0. 對數值 : log0 0.00, log , log , log ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

149 大學入學考試中心一百零一學年度學科能力測驗試題 數學考科 作答注意事項 考試時間 :00 分鐘 題型題數 : 單一選擇題 7 題題型題數 : 多重選擇題 6 題題型題數 : 填充題 7 題 作答方式 : 用 B 鉛筆在 答案卡, 修正時應以橡皮擦拭, 切勿使用修正液作答方式 : 答錯不倒扣 試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

150 第壹部分選擇題 (65%) 一 單一選擇題 (5%) 說明 : 第 至 7 題, 每題選出最適當的一個選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 答錯不倒扣 ( ). + + 等於下列哪一個選項? 5 4 ().0 ().05 (). (4).5 元 (5). ( ). 將邊長為 公分的正立方體堆疊成一階梯形立體, 如右圖所示, 其中第 層 ( 最下層 ) 有 0 塊, 第 層有 9 塊,, 依此類推 當堆疊完 0 層時, 該階梯形立體的表面積 ( 即該立體的前 後 上 下 左 右各表面的面積總和 ) 為多少? ()75 平方公分 ()90 平方公分 ()0 平方公分 (4)0 平方公分 (5)50 平方公分 ( ). 下表為常用對數表 log0 N 的一部分.0 請問 0 最接近下列哪一個選項? () 0 () 0 () 007 (4) 076 (5) 0 ( )4. 甲 乙兩校有一樣多的學生參加數學能力測驗, 兩校學生測驗成績的分布都很接近常態分布, 其中甲校學生的平均分數為 60 分, 標準差為 0 分 ; 乙校學生的平均分數為 65 分, 標準差為 5 分 若用粗線表示甲校學生成績分布曲線 ; 細線表示乙校學生成績分布曲線, 則下列哪一個分布圖較為正確? () () () (4) (5) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

151 ( )5. 若正實數 x,y 滿足 log x =.8, log 0 0 y = 5.6, 則 log ( x + y) 最接近下列哪一個選項的值? 0 ().8 ()5.6 ()5.9 (4)8.4 (5). ( )6. 箱中有編號分別為 0,,,,9 的十顆球 隨機抽取一球, 將球放回後, 再隨機抽取一球 請問這兩球編號相減的絕對值為下列哪一個選項時, 其出現的機率最大? ()0 () ()4 (4)5 (5)9 ( )7. 空間坐標中有一球面 ( 半徑大於 0) 與平面 x+ 4y = 0 相切於原點, 請問此球面與三個坐標軸一共有多少個交點? () () () (4)4 (5)5 貳 多重選擇題 : 說明 : 第 8 至 題, 每題至少有一個選項是正確的, 選出正確選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 說明 : 答錯不倒扣, 未答者不給分, 只錯一個可獲 分, 錯兩個可獲 分, 兩個以上不給分 4 ( )8. 設 f ( x) = x 5x + x + ax+ b 為實係數多項式, 且知 f() i = 0( 其中 i = ) 請問下列哪些選項是多項式方程式 f( x ) = 0 的根? ( )7 () i ()0 ( )7 () (4) 5 ( ) (5)5 ( )9. 三角形 ABC 是一個邊長為 的正三角形, 如下圖所示 若在每一邊的兩個三等分點中, 各選取一點連成三角形, 則下列哪些選項是正確的? () 依此方法可能連成的三角形一共有 8 個 () 這些可能連成的三角形中, 恰有 個是銳角三角形 () 這些可能連成的三角形中, 恰有 個是直角三角形 (4) 這些可能連成的三角形中, 恰有 個是鈍角三角形 (5) 這些可能連成的三角形中, 恰有 個是正三角形 B A C ( )0. 設 O 為複數平面上的原點, 並令點 A,B 分別代表非零複數 z,w 若 AOB = 90, 則下列哪些選項必為負實數? () z ()zw ()( zw ) (4) z (5)( zw ) w w ( 其中 w 為 w 的共軛複數 ) ( ). 若實數 a,b,c,d 使得聯立方程組 ax + 8y = c { 有解, 且聯立方程組 x 4 y = { x + by = d 無 x 4y = 解, 則下列哪些選項一定正確? () a () c = 6 () b = (4) d 9 (5) 聯立方程組 ax + 8y = c { 無解 x + by = d ( ). 在坐標平面上, 廣義角 θ 的頂點為原點 O, 始邊為 x 軸的正向, 且滿足 終邊上有一點 P, 其 y 坐標為 4, 則下列哪些選項一定正確? ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~ tanθ = 若 θ 的 ()P 的 x 坐標是 6 () OP = () cosθ = (4)sin θ > 0 (5) cos θ < 0

152 ( ). 平面上兩點 F, F 滿足 FF = 4 設 d 為一實數, 令 Γ 表示平面上滿足 PF PF = d 的所有 P 點所成的圖形, 又令 C 為平面上以 F 為圓心 6 為半徑的圓 請問下列哪些選 項是正確的? () 當 d = 0 時, Γ 為直線 () 當 d = 時, Γ 為雙曲線 () 當 d = 時, Γ 與圓 C 交於兩點 (4) 當 d = 4 時, Γ 與圓 C 交於四點 (5) 當 d = 8時, Γ 不存在 第二部分 : 填充題 說明 : 第 A 至 G 題, 將答案標示在答案卡之 解答欄, 每題完全答對給 5 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 若首項為 a, 公比為 0.0 的無窮等比級數和等於循環小數., 則 a = B. 設 A(,),B (,5),C(5,),D (0, 7),E (, ) 及 F (8, 6) 為坐標平面上的六個點 若直線 L 分別與三角形 ABC 及三角形 DEF 各恰有一個交點, 則 L 的斜率之最小可能值為 C. 小明在天文網站上看到以下的資訊 可利用北斗七星斗杓的天璇與天樞這兩顆星來尋找北極星 : 由天璇起始向天樞的方向延伸便可找到北極星, 其中天樞與北極星的距離為天樞與天璇距離的 5 倍 今小明將所見的星空想像成一個坐標平面, 其中天璇的坐標為 ( 9,8 ) 及天樞的坐標為 ( 7, ) 依上述資訊可以推得北極星的坐標為 D. 設點 A(,) 的 x 坐標為 B(4,8) 為坐標平面上兩點, 且點 C 在二次函數 y = x 的圖形上變動 當 C 點 時, 內積 AB AC 有最小值 A E. 在邊長為 的正三角形 ABC 上各邊分別取一點 P,Q,R, 使得 APQR 形成一平行四邊形, 如右圖所示 : 若平行四邊形 APQR 的面積為 0, 則線段 PR 的長度為 P R F. 設 m,n 為正實數, 橢圓 x y + = 的焦點分別為 (0,) m n F 與 F (0, ) 若此橢圓上有一點 P 使得 PF F 為一正三角形, 則 m =,n = B Q C G. 坐標空間中, 在六個平面 x = 4, x =, y =, y =, z = 及 z = 4 所圍成的長方體上 隨機選取兩個相異頂點 若每個頂點被選取的機率相同, 則選到兩個頂點的距離大於 之機率為 ( 化成最簡分數 ) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

153 參考公式及可能用到的數值. 一元二次方程式 + + = 0 的公式解 : x = b± b 4ac a ax bx c. 平面上兩點 P( x, y), P ( x, y ) 間的距離為 PP = ( x x ) + ( y y ). 通過 ( x, y) 與 ( x, y) 的直線斜率為 y y =, m x x x x 4. 首項為 a, 公差為 d 的等差數列前 n 項之和為 等比數列 k < ar > 的前 n 項之和 S n n a( r ) = r S, r na ( + a) ( a + ( n ) d) n = =, 5. 級數公式 : n nn ( + )(n+ ) k = n = 6 k = 6. 三角函數的和角公式 :sin( A + B) = sin Acos B+ sin Bcos A cos( A+ B) = cos Acos B sin Asin B 7. ABC 的正弦定理 : a = b = c = R,R 為 ABC 的外接圓半徑 sin A sin B sin C ABC 的餘弦定理 : c = a + b abcosc 8. 棣美弗定理 : 設 z = r(cosθ + isin θ), 則 n n z = r (cos nθ + isin nθ),n 為一正整數 n 9. 算術平均數 M ( = X ) = ( x+ x + + xn) = xi n n i= ( 樣本 ) 標準差 S = x X = x nx n n n n ( i ) (( i ) ) i= i= ( ) ( ) 0. 95% 信心水準下的信賴區間 :[ P P P, P P + P ]. 參考數值 :.44;.7; 5.6, 6.449; π.4 0. 對數值 : log0 0.00, log , log , log ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

154 ================= 一百零一年答案 ================== 第壹部分 選擇題 一 單一選擇題 二 多重選擇題 第貳部分 選填題 A.. B. C. (,6) D., E. 7 F.,6 G. 7 ===================== 解析 ======================= 第一部分選擇題壹 單一選擇題 = 400 = 0 = 故選 ( ). ( ) = 50 故選 ( 5 ) 側表面積上下 左右. x log x m m.07 = m = = 故選 ( 4 ) 4. 兩校學生成績分布均都很接近常態分布, 故其頂峰可視為平均數與中位數所在 X 甲 =60< X 乙 =65, 甲的頂峰 ( 粗線 ) 在乙的頂峰 ( 細線 ) 左側 S ( 標準差 ) = 0 分 > S = 5 分 甲的離散程度 > 乙的離散程度故選 ( ) 甲乙 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

155 5. log x=.8 x= 0 0 log y = 5.6 y = x + y = (0 ) + 0 = = log ( x + y) = log( 0 ) = log + log = 5.90 故選 () 6. S: 球共 0 顆, 且取後放回, 取兩次 ns ( ) = 0 0 = 00 A: 兩球編號相減的絕對值 A n(a) na ( ) PA ( ) = = 8 = 0.8 機率最大故選 ( ) ns ( ) 設球心為 A 原點為 O( 0, 0, 0 ), 則 OA = ( t,4 t,0) A( t,4 t,0), 球半徑為 R = ( t) + (4 t) = 5 t 得 d( A, x軸 )=4 t < R; d( A, y軸 ) = t < R; d( A, z軸 ) = 5 t = R 得球面與 x 軸交於 ( 6t, 0, 0) 與原點 O( 0, 0, 0 ) 與 y 軸交於 ( 0, 8t, 0 ) 與原點 O( 0, 0, 0 ) 與 z 軸切於原點 O( 0, 0, 0 ) 共有 個交點 ( 如右圖 ) 故選 ( ) z x (6t,0,0) A(t,4t,0) O(0,0,0) (0,8,0) y 二 多重選擇題 4 8. f ( x) = x 5x + x + ax+ b為實係數多項式 f( x) = 0有虛根必成雙存在 f( i) = 0 f( i) = 0 x + f( x) 利用長除法得 ( ab=, ) ( 5,0) f ( x) = ( x + )( x 5 x) f( x) = 0之四根為 0,5, ± i 故選 ( )( )( 5 ) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

156 9. A A A B C () : 三邊之二點各取一點 C C C = 8 () :( 圖一 ) 為正三角形共 個, 故有 個銳角三角形 () : ( 圖二 ) 為直角三角形共 6 個 (4) : 鈍角三角形 0 個 (5) : 個正三角形故選 ( )( ) B C B ( 圖一 ) ( 圖二 ) C 0. 複數平面原點,A,B 表非零的複數 z,w 令 z = r (cosθ + i sin θ ) ; w= r (cosθ + isin θ ) AOB = 90 θ θ = 90 + kπ, k Z 但 z r r (cos( θ θ ) isin( θ θ )) w r r () : = + = i 不為負實數 () : z w = rr[cos( θ + θ ) + isin( θ + θ )] 無法判斷是否為負實數 [ ] () : ( zw) = ( rr) cos(θ + θ ) + isin(θ + θ ) 無法判斷是否為負實數 (4) : ( z r r ) = ( ) ( i) = ( ) 為負實數 w r r r 4 4 (5) : ( zw ) = ( z w w ) = ( z r) = r ( z ) = r ( ) = rr 為負實數故選 ( 4 )( 5 ) w w w r. ax + 8y = c {, = a 8 = 4( a + ), x 4y = 4 () ; () ; 有解可分為 ( i ) 恰有一解 0 a, c = 6 ( ii ) 無限多解 = x= y= 0 a = 故選項 () () 皆不一定正確 x = c 8 = 4( c + 6) 4 ( ) ;( 4 ) ; x + by = d {, x 4 y = = b = b, 4 4 x = d b = d b, 9 4 y = d = d 無解 = 0 但 x+ y 0, b =, d 9 4 ( 5 ) ax + 8y = c :{ x + by = d, = 8 4 a ab b = + 無法確定, b = 取 a = 0 即有解故選 ( )( 4 ) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

157 . tanθ = > 0, 且 y 坐標為 4, θ 第三象限 4 ( ) : tan θ = = x = 6 x ( ) : P( 6, 4) OP= ( ) : θ 第三象限, cosθ < 0 ( 4 ) : tanθ =, sinθ =, cosθ = sinθ = sinθ cosθ = ( )( ) = + cos ( 5 ) : cos θ θ = ± 未必 < 0 故選 ( )( 4 ). () ; PF PF = d = 0 PF = PF Γ 為 FF 的中垂線 y () ; PF PF = d = < 4= F F Γ 為雙曲線 () ; PF PF = d = < 4= F F Γ 為雙曲線, 與圓 C 交於四點 ( 如右圖一 ) F (, 0) F (, 0) x 圖 ( 一 ) (4) ; PF PF = d = 4 = F F Γ 為以 F F 起點的兩射線, 與圓 C 交於兩點 ( 如右圖二 ) (5) ; PF PF d 8 4 F F = = > = Γ 無圖形, 即 Γ 不存在 故選 ( )( )( 5 ) F (, 0) F (, 0) 第二部分 填充題 A: = + = 9 9 圖 ( 二 ) a = a = 99 = y B (, 5) C ( 5, ) B: 恰 有一交點, 故由圖可知所求之 L 的斜率最小值為 m CF = 6 = 8 5 A (, ) E (, ) x 由題意得右圖 D ( 0, 7 ) F ( 8, 6 ) ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

158 C: 天樞 A( 7, ), 天璇 B ( 9, 8 ) 北極星 C ( x, y ) AC = 5BA ( x 7, y ) = 5(,) ( x, y) = (,6) 天樞 A(7,) 天璇 B(9,8) 延長大約 5 倍 北極星 C (x, y) 天璣 天權玉衡 開陽 瑤光 D: C y = x, 令 C( t, t ),t R AC = (t +,t ), AB = (6,6) AB AC = t + + t = ( t + ) 當 t =, C(, ) 時, 此時 x =, AB AC = 為最小 E: 設 AP = x, PB = x, APQR 為平行四邊形 BPQ = A = 60 BPQ 為正三角形 PQ = x = AR 又平行四邊形 APQR 面積 = 0, a APR = 0 x ( x) sin 60 = 0 x( x) = 40 x B P x A Q x R C ( x 5)( x 8) = 0, x= 5or8 由餘弦定理 PR = AP + AR AP AR cos 60 PR = PR = 7 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

159 F: PF F 為正三角形, P 在 FF 中垂線 y = 0 上 又 P 在橢圓上, 令 P ( ± m,0), OF = c = OP = F F = m = m = n m= c = 4 6, n =6 ( 0, ) O (0, ) F F ( m,0) P G: E 4 : x= ; E : x= d( E, E ) = E : y = ; E : y = d( E, E ) = 4 4 A D E : z = ; E : z = 4 d( E, E ) = 由圖可知 B C i GD= CH = AF = BE = + = () 0 ii BG = CF = AH = ED = + = ( ) iii AG = CE = BH = FD = + + = ( ) 4 由 (i)(ii)(iii) 的兩頂點距離大於 的機率為 = = C F E G H ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

160 大學入學考試中心一百零二學年度學科能力測驗試題 數學考科 作答注意事項 考試時間 :00 分鐘 題型題數 : 單一選擇題 6 題題型題數 : 多重選擇題 6 題題型題數 : 填充題 8 題 作答方式 : 用 B 鉛筆在 答案卡, 修正時應以橡皮擦拭, 切勿使用修正液作答方式 : 答錯不倒扣 試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

161 第壹部分選擇題 (60%) 一 單一選擇題 (0%) 說明 : 第 至 6 題, 每題選出最適當的一個選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 答錯不倒扣 ( ). 學校規定上學期成績需同時滿足以下兩項要求, 才有資格參選模範生 一 國文成績或英文成績 70 分 ( 含 ) 以上 ; 二 數學成績及格 已知小文上學期國文 65 分而且他不符合參選模範生資格 請問下列哪一個選項的推論是正確的? () 小文的英文成績未達 70 分 () 小文的數學成績不及格 () 小文的英文成績 70 分以上但數學成績不及格 (4) 小文的英文成績未達 70 分且數學成績不及格 (5) 小文的英文成績未達 70 分或數學成績不及格 ( ). 令 a =.6.6, b =.6.6, c = 請選出正確大小關係 () a > b> c () a > c> b () b> a > c (4) b> c> a (5) c> b> a ( ). 袋子裡有 顆白球, 顆黑球 由甲 乙 丙三人依序各抽取 顆球, 抽取後不放回 若每顆球被取出的機會相等, 請問在甲和乙抽到相同顏色球的條件下, 丙抽到白球之條件機率為何? () 5 () () (4) 5 (5) ( )4. 已知以下各選項資料的迴歸直線 ( 最適合直線 ) 皆相同且皆為負相關, 請選出相關係數最小的選項 x 5 x 5 () () () y y 0 x 5 x 5 (4) (5) y 9 5 y x 5 y 5 7 ( )5. 將 4 顆雞蛋分裝到紅 黃 綠的三個籃子 每個籃子都要有雞蛋, 且黃 綠兩個籃子裡都裝奇 數顆 請選出分裝的方法數 () 55 () 66 () (4) 98 (5)5 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

162 ( )6. 莎韻觀測遠方等速率垂直上升的熱氣球 在上午 0:00 熱氣球的仰角為 0, 到上午 0:0 仰角變成 4 請利用下表判斷到上午 0:0 時, 熱氣球的仰角最接近下列哪一個度數? θ sinθ cosθ tanθ () 9 () 40 () 4 (4) 4 (5) 4 二 多重選擇題 (0%) 說明 : 第 7 至 題, 每題至少有一個選項是正確的, 選出正確選項, 標示在答案卡之 解答欄, 每題答對得 5 分, 說明 : 答錯不倒扣, 未答者不給分, 只錯一個可獲 分, 錯兩個選項者可獲 分, 錯兩個或兩個以上者不給分 ( )7. 設為正整數, 符號 0 n 代表矩陣 0 自乘 n 次 令 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~ n an bn 0 = cn d, 請選出正確 n 的選項 () a = () a, a, a 為等比數列 () d, d, d 為等比數列 (4) b, b, b 為等差數列 (5) c, c, c為等差數列 ( )8. 設 a > > b> 0, 關於下列不等式, 請選出正確的選項 () ( a) > ( a) () b > b () log 0 > log0 a b (4) log > log (5) log b log a a b a ( )9. 設 a< b< c 己知實係數多項式函數 y= f() x 的圖形為一開口向上的拋物線, 且與 x 軸交於 ( a,0) (,0) b 兩點 ; 實係數多項式函數 y = g( x) 的圖形亦為一開口向上的拋物線, 且跟 x 軸相交於 (,0) b (,0) c 兩點 請選出 y = f( x)+ g( x) 的圖形可能的選項 () 水平直線 () 和 x 軸僅交於一點的直線 () 和 x 軸無交點的拋物線 (4) 和 x 軸僅交於一點的拋物線 (5) 和 x 軸交於兩點的拋物線 ( )0. 坐標平面上考慮兩點 Q (, 0), Q (,0) 在下列各方程式的圖形中, 請選出其上至少有一 點 P 滿足內積 PQ PQ <0 的選項 () y = () x y (4) 4x + y = (5) = y b + = = x + () x y ( ). 設 F, F 為橢圓 Γ 的兩個焦點 S 為以 F 為中心的正方形 (S 的各邊可不與 Γ 的對稱軸平行 ) 試問 S 可能有幾個頂點落在 Γ 上? () () () (4)4 (5)0

163 ( ). 設實數組成的數列 < a n > 是公比為 0.8 的等比數列, 實數組成的數列 < b n > 是首項為 0 等差數列 已知 a > b 且 a > b 請選出正確的選項 () a 9 a 0 < 0 () b 0 > 0 () b 9 > b 0 (4) a 9 > a 0 (5) a 8 > b 8 第貳部分 : 選填題 (40%) 說明 : 第 A 至 H 題, 將答案標示在答案卡之 解答欄, 每題完全答對給 5 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 設 k 為一整數, 已知 k < < k+, 則 k = B. 設 a b 為實數且 ( a+ bi)(+ 6 i) = 80, 其中 i =, 則 (, ) ab = C. 坐標平面中 A( a,), B(6, b ), C (9,) 三點共線, 已知 C 不在 A B 之間, 且 AC : BC = :, 則 a+ b= D. 阿德賣 00 公斤的香蕉, 第一天每公斤賣 40 元 ; 沒賣完的部份, 第二天降價為每公斤 6 元 ; 第三天再降為每公斤 元, 到第三天全部賣完, 三天所得共為 70 元, 假設阿德在第三天所賣香蕉的公斤數為 t, 可算得第二天賣出香蕉的公斤數為 at + b, 其中 a= b = E. 坐標平面上, 一圓與直線 x y = 以及直線 x y = 5 所截的弦長皆為 4, 則此圓的面積為 π F. 令 A B 為坐標平面上兩向量 已知 A 的長度為, B 的長度為, 且 A 與 B 之間的 夾角為 60 令 u = A + B, v = xa+ yb, 其中 x,y 為實數且符合 6 x + y 8, 以及 x y 0, 則內積 u v 的最大值為 G. 設銳角三角形 ABC 的外接圓半徑為 8, 已知外接圓圓心到 AB 的距離為, 而到 BC 的距離為 7, 則 AC = ( 化成最簡根式 ) H. 如下圖, 在坐標空間中,A,B,C,D,E,F,G,H 為正立方體的八個頂點, 已知其中四個點的坐標 A (0,0,0) B (6,0,0) D (0,6,0) 及 E (0,0,6),P 在線段 CG 上且 CP : PG = :5,R 在線段 EH 上且 ER : RH = :,Q 在線段 AD 上, 若空間中通過 P,Q,R 這三點的平面, 與直線 AG 不相交, 則 Q 點的 y 坐標為 ( 化成最簡分數 ) z x F B E A Q ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~ R G P C H D y

164 參考公式及可能用到的數值 n( a+ ( n ) d). 首項為 a 且公差為 d 的等差數列前 n 項之和 Sn = n a( r ) 首項為 a 且公差為 r 的等比數列前 n 項之和 Sn =, r r. 三角函數的和角公式 :sin( A+ B) = sin Acos B+ sin Bcos A cos( A + B) = cos Acos B sin Asin B a b c. Δ ABC 的正弦定理 : = = = R sin A sin B sin C Δ ABC 的餘弦定理 : c = a + b abcosc n 4. 一維數據 X : x, x, x, 算術平均數 μ = ( x + x + + x ) = x n x n n n i= 標準差 σ n n = ( ) (( ) ) x x x x n i i x n μ = i n μ = i= i= 5. 二維數據 ( X. Y):( x, y ), ( x, y ),, ( x, y ), 相關係數 r = n n σ 迴歸直線 ( 最適合直線 ) 方程式 y μ = r Y ( x μ ) y X, Y X σ 6. 參考數值 :.44,.7, 5.6, 6.449, π.4 7. 對數值 : log0 0.00, log , log , log X XY, n ( x μ )( y μ ) i X i Y nσ σ X Y ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

165 ============== 一百零二年答案 ================== 第壹部分選擇題一 單一選擇題 二 多重選擇題 第貳部分 選填題 A. 6 B. ( 4,) C. 9 D.,70 E. 5 F. G. 4 5 H. 5 ===================== 解析 ======================= 第壹部分 選擇題 一 單一選擇題. p : 國文成績或英文成績 70 分以上, q : 數學成績及格 p q: 可參選模範生 小文不符合參選資料 ( p q) p q, 故 p : 國文成績與英文成績均未達 70 分 q : 數學成績不及格 4 故小文英文成績未達 70 分或數學成績不及格故選 (5) 第二冊第二章 : 邏輯推理. a =.6.6 =.6 (.6 ) = b =.6.6 =.6.6 = (.6) ((.6) ) 9 c = = =.88 (.6) b> c > a 故選 (4) 第一冊第三章: 指數與對數 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

166 . A : 甲和乙抽到同顏色的球, B : 丙抽到白色球 8 PA= ( ) ( 白白 ) + ( 黑黑 ) = PA ( B ) = ( 白白白 ) + ( 黑黑白 ) = = PB ( A) = = 故選 () 第二冊第三章: 機率 8 0 X Y nxy i i 4. r = ns S x y 0 觀察這 5 個選項之 X =, Y = 5 均相同, 0 且 xy = 46 亦均相同 i i XY nxy= = i i S x 均相同, 比較 S 即可 y 96 4 ( A) : S y = [( 5) + ( 5) + ( 5) ] = 8 ( B): S = [( 5) + (0 5) + ( 5) ] = y 8 ( C) : S = [(5 5) + (7 5) + ( 5) ] = y ( D) : S = [(9 5) + ( 5) + (5 5) ] = y 6 ( E) : S = [(7 5) + (4 5) + (4 5) ] = y 5 故 (E) 選項代入為最小 第二冊第四章: 數據分析 5. 設紅 黃 綠三個籃子各裝 x y z 顆其中 y z 為正奇數, 且 x,, y z N x+ y+ z = 4 ( i ) x =,, 5 代入 y+ z = 奇數 ( 不合 ) ( ii) x= y+ z =, 令 y = y +, z = z +, y, z N { 0 } (y + ) + (z + ) = y + z = 0, 方法數 = H 0 (iii) x = 4 代入得方法數 = H 9 同理故總方法數 = H + H + + H y + z 故方法數 H = C = 故選 () 第二冊第二章: 排列組合 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

167 6. 氣球等速垂直上升, 故設 0 分鐘上升 m 公尺設 CD = DE = EF = m, BC = x, AB = x x+ m 7 (7 40) x = tan 4 = =, m = x (7 40) x x + x+ m tanθ = = = x x 40 θ = 4 故選 () A F 0 :0 E 0 : 0 θ m C θ x 0 B x 第三冊第一章: 三角函數 二 多重選擇題 a b a b 7. 由定義, = c d 0, c d = = a b 7 c d = = () : a = () : a = a = a = 是公比為 的等比數列 () : d =, d = 4, d = 8 是公比為 的等比數列 (4) : b =, b =, b = 7不是等差數列 (5) : c = c = c = 0 是公差為 0 的等差數列故選 ()()()(5) 第四冊第三章 : 矩陣 () : a> a < a ( a) > ( a) () : b b b b < < > b () : a> b log0 a> log0 b log0 < log0 a b (4) : loga = logb = 0 (5) : 若取 a = 0, b= 0, 則 log b=, log a = log b< log a a b a b 故選 ()() 第一冊第三章: 指數與對數 9. 根據題意, 可令 f ( x) = p( x a)( x b), g( x) = q( x b)( x c), 其中 p, q> 0 a c 則 f ( x) + g( x) = ( x b)[( p+ q) x ( a+ c)] 為二次式, 根為 b +, p + q a+ c 若 b = p + q, a+ c 則 f ( x) + g( x) 與 x 軸僅交於一點 ; 若 b p + q 則 f ( x) + g( x) 與 x 軸交於兩點, 故選 (4)(5) 第一冊第二章: 多項式 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

168 0. 滿足 PQ PQ < 0 的點 P 必落在以 Q (, 0), Q (, 0) 為直徑兩端點的圓內 畫圖可知 : () () () (4) (5) 0 0 故選 ()()(4) 第三冊第三章 : 平面向量 第四冊第四章 : 圓錐曲線. 畫圖可知有以下三種可能 : y y y F F x F F x F F x 故選 ()()(5) () : 橢圓 Γ x y : a + b = 之一焦點 Fc (,0), 若 Px (, y ) 在橢圓上, 由橢圓的圖形之對稱性可知 0 0 最多只有兩個點 Px (, y ) Qx ( 0 0 0, y 0 ) 與焦點 Fc (,0) 的距離相同, 故不可能有超過 個頂點落在橢圓 Γ 上 (4) : 由 () 知 第四冊第四章: 圓錐曲線 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

169 . () : 因為 a, a 必一正一負, 故 a a < () 8 a = a ( 0.8) > b = 0+ 8d 9 9 : 9 a = a ( 0.8) > b = 0+ 9d 0 0 由 9 ( 0.8) a = a ( 0.8) < (0 + 8 d) ( 0.8) = 8 6.4d 0 90 得 0 + 9d < a < 8 6.4d 5.4d < 8 d < < b = 0 + 9d < 0 = < () : 由 知 d < 90 < 0 b > b (4) : 若 a > 0 a > 0> a ; 若 a < 0 a > 0> a (5) : 取 a = ( ) a = ; 取 d = b = ( ) =, 得 a < b 故選 ()() 第二冊第一章: 數列與級數 第二部分 填充題 k k+ k < k < 79 A: < < k k + > ( k + ) > 79 B: ( a+ bi)(+ 6 i) = 80 (a 6) b + (6a+ ) b i = 80+ 0i a 6b= 80 a = 4 6a+ b= 0 b= 取 6 即可 第一冊第一章 : 數與數線 第一冊第二章 : 多項式 C: C 不在 A,B 之間, 情形只有 種 : Aa (,) B(6, b ) C (9,) 9+ a 6 = 由分點坐標公式知 + b = a = 0, b = 9 a + b = 9 第一冊第一章: 數與數線 D: 設第一天賣 x 公斤, 第二天賣 y 公斤, 則 x+ y+ t = 00 0x+ 9y+ 8t = 90, y+ t = 70 0 y = t+ 70 第一冊第二章 : 多項式 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

170 E: x y = 和 x y = 5 平行且距離為 圖為弦長皆相等為 4 圓心到二弦距離相等為 如圖所示 : r = ( ) + 7 = 5 圓面積 = πr = 5π 7 r O x y = x y = 5 第三冊第二章 : 直線與圓 F: u v= ( A+ B) ( xa+ yb) = x A + ( x+ y) A B+ y B = x + ( x+ y) A B cos60 + 4y = x+ 5y 目標函數 不等式 6 x+ y 8 和 x y 0 圖為 以平行線法或頂點法皆可得最大值發生在 (,5) 故最大值為 + 5 5= 6+ 5= y x y = x y = 0 (,5) (,4) (4,4) (,) x x+ y= 8 x+ y= 6 第三冊第二章 : 直線與圓 第三冊第三章 : 平面向量 G: 外心為中垂線交點 AD = BD = 8 = 5, 5 sinα =, cosα = 4 4 且 BE = CE = = 5, sin β =, cos β = 8 8 sin( ABC) = sin( α + β) = sinαcos β + cosαsin β = 5 4 AC 由正弦定理 8 AC 4 5 sin( ABC ) B 8 α β D O 7 E 第三冊第一章 : 三角函數 A C H: 由題目條件坐標化後可設 Q(0, k,0), P (6,6,) z A (0,0,0), G (6,6,6), R (0,,6) 因為 PQR 所在平面不與 E R H AG 相交故 PQR 所在平面平行 AG 所以 PQR 所在平面法向量垂直 F G AG A Q y 令 RQ RP 為 PQR 所在平面之一組法向量 D P k k B (,, ) (6,6,6) = 0 C x ( 5k+, 6,8 6 k) (6,6,6) = 0 5 k = 5 k = 第四冊第二章: 空間中平面與直線 ~ ~ ~ ~ ~ 林廷 數學 ~ ~ ~ ~ ~

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