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1 第六章 计算生物学的 计算生物学 的 多元统计 多元统计方法 方法 (I) 数据 尤其是大量的数据 通常不能提供信息 而统计 学家的目的是揭示这些数据所包含的信息 Joh Taak ( Poat & tatstcs The cece of Ucetat 004)

2 生命科学 生命现象多样性重复性复杂性随机性 统计分析方法 多元统计分析方法 多元回归分析方法多元判别分析方法聚类分析方法主成分分析方法相关性分析方法 随机现象的多变量 多因素医学病症诊断生态环境生物的进化 运用数理统计方法研究多变量 多因素问题 多元统计分析理论和方法 多元统计分析理论和方法 多元统计分析研究多元变量的统计规律性, 是一元统计学的推广, 同时又有多元随机变量特有的问题

3 多元统计分析的主要研究内容和方法 98 年,Wshat h 多元正态总体样本协方差矩阵的精确分布 降维问题 ( 简化数据结构 ) () 将某些较复杂的数据结构通过变量变换等方法使相互依赖的变量变成互不相关的变量 () 把高维空间的数据投影到低维空间, 使问题得到简化同时损失的信息不太多 主成分分析因子分析对应分析 归类问题 对所考察的观测样本 ( 或变量 ) 按照相似程度进行分类 归类 聚类分析判别分析

4 3 变量间的相互联系 () 相互依赖关系 : 分析一个或几个变量的变化是否依赖于另一些变量的变化 建立变量间的定量关系, 并用于预测或控制 回归分析 () 变量间的相互关系 : 分析两组变量间的相互关系 典型相关性分析 4 多元数据的统计推断 参数估计假设检验 5 多元统计分析的数学理论基础 多维随机向量多维正态随机向量多元统计量

5 6. 多元数据的统计描述 图表示法 7 5 散点图 轮廓图

6 雷达图 调和曲线图 f t s t cos t s t cos f X t...

7 直方图 (Hstogam) Hstogam: Gaphca dspa of tauated fequeces, show as as, t shows what popoto of cases fa to each of sevea categoes. 以每个区间的方柱面积 ( 不是高度!) 来作为该区间样本的数量或比例的测度 区间划分 区间划分的重要性 : () 过粗的区间划分会将很多分布的信息混杂在一起 ( 求和运算 ), 从而丢失一些重要的分布信息 ; () 过细的区间划分会出现很多频数过少的区间 ( 统计学要求, 一般在每一区间 / 格内, 应该有 5 个以上的样本 ), 无法反映正确的分布信息 区间划分的原则 : () 区间数目在 6~5 为宜 ; () 落入每个区间 ( 格 ) 的样本数目不少于 5, 个别两端 ( 最大 最小 ) 的数目可以略少

8 区间个数 K: Mooe 公式 (Mooe, 986) : K C tuges 公式 (tuges, 98): 区间间隔 k : K k :k=,,..., K 5, 其中 C =~3 3.3g 由此得到每个区间的频数,,..., K, 进而确定每一方柱的高度 k / k, 即可画出频数直方图 频率直方图和频率密度直方图 频率 (fequec) f, k,,..., K k K k k fk 频率密度 (fequec dest) fk k p k, k,,..., K k k K p k k k

9 Cosde data coected the U.. Cesus Bueau o tme to tave to wok (000 cesus). The cesus foud that thee wee 4 mo peope who wok outsde of the homes. Ths oudg s a commo o pheomeo e o whe coectg data fom peope. Iteva Wdth Quatt Quatt/wdth Hstogam of tave tme, U 000 cesus. Aea ude the cuve equas the tota ume of cases. Ths dagam uses Q/wdth fom the tae. 区别 : 柱形图 (Ba chat)

10 箱线图 (Bopot) 也称箱须图 (Bo-whske Pot), 由统计学家 Tuke 发明 利用数据中的五个统计量 : 最小值 第 /4 分位数 中位数 第 3/4 分位数与最大值来描述数据, 可以粗略地看出数据是否具有有对称性, 分布的分散程度等信息, 特别可以用于对多个样本的比较 Let the data speak fo themseves! Joh Wde Tuke (95-000) 箱线图的绘制步骤 : () 画数轴 () 画矩形盒 : 两端位置分别对应数据的上下四分位数 (Q 和 Q3) 在矩形盒内部中位数位置画中位线 (3) 在 Q3+.5IQR 和 Q-.5IQR 处画两条与中位线一样的线段, 这两条线段为异常值截断点, 称其为内限 ; 在 Q3+ 3IQR 和 Q-3IQR 处画两条线段, 称其为外限 处于内限以外位置的点表示的数据都是异常值, 其中在内限与外限之间的异常值为温和的异常值 (md outes), 在外限以外的为极端的异常值 (eteme outes) (4) 从矩形盒两端边向外各画一条线段直到不是异常值的最远点, 表示该批数据正常值的分布区间 (5) 用 〇 标出温和的异常值, 用 * 标出极端的异常值

11 IQR: Itequate Rage 外限 内限 中位线 内限 外限 Eteme outes Md outes Md outes Eteme outes 数据来自 期间新泽西州 Baoe 的二氧化硫日最大浓度记录, 为 36 组容量约 30 的样本数据 Cames 等 (983) 的结论为 : The opots...showmapopetes of thedataathe stkg. g Theesageea educto suphu dode cocetato though tme due to the gadua coveso to ow suphu fues the ego. The dece s most damatc fo the hghest quates. Aso, thee ae hghe cocetatos dug the wte moths due to the use of heatg o. I addto, the opots show that the dstutos ae skewed towad hgh vaues ad that the spead of the dstutos... s age whe the geea eve of cocetato s hghe.

12 6. 回归分析方法 (Regesso aass) 不同变量之间的关系 变量与变量的关系 : 确定性关系 函数关系 U=IR v=gt 变量与变量的关系 : 非确定性关系 统计相关 ( 具有统计规律 ) Y=f(,,, )+ 回归分析的基本问题 Regesso: the eato etwee seected vaues of ad oseved vaues of (fom whch the most poae vaue of ca e pedcted fo a vaue of ) ) Regesso 来源于 F. Gato, 他曾对亲子间的身高做研究, 发现父母的身高虽然会遗传给子女, 但子女的身高却有逐渐 回归到中等即人的平均值 的现象 寻求表达量 Y 与,,, 的相关关系的经验回归方程, 简称回归方程 因果关系 Regesso towad the mea

13 利用回归方程, 在一定可靠度的要求下, 预估当自变量,,, 取确定值时, 随机变量 Y 的取值, 称为预测预测问题 ; 为使 Y 在给定的范围内取值, 利用回归方程, 控制自变量,,, 的取值范围, 称为控制问题控制问题 一元回归问题 多元回归问题多因变量回归问题线性回归问题 非线性回归问题 6.. 一元线性回归问题 : 可控制或可精确观测得到的数据的变量 ; Y: 与 具有相关关系的随机变量 环境湿度 (=,,, ) 细菌生长数量 (=,,, ) 数据对 ( 样本值 ):(, ) =,,, 散点图不妨假定 Y 与 具有线性相关关系 : Y a (, ) 其中, 是满足正态分布 数学期望为 0 的 随机变量, 于是 : E Y a

14 根据样本 (, ), =,,, 对系数 a 作出估计, 并求得 E(Y) 的估计值 : 回归值 称为一元线性回归方程一元线性回归方程 ˆ aˆ ˆ 回归系数 回归直线回归值回归系数 回归直线 求回归方程的两个基本步骤 :. 求 a 的估计值, 从而求出线性回归方程 ;. 作线性相关性检验 直线 L:=a+ 样本点 (, ), =,,, 定义离差平方和为 : Q. a 的最小二乘法估计 a, a Q(a, ) 表示点 (, ), =,,, 与直线 L 的偏离程度 的 满足 : Q a, ˆ m Q a, aˆ, ˆ 称为 a, 的最小二乘估计值最小二乘估计值

15 根据多元函数达到极值的条件, 令 : 0 Q 0 0 a Q a a Q 化为方程组 : a a 其中 : 可以证明 ( 略 ), 当 不全相同时, 上述方程组有且存在唯一解 可以证明 ( 略 ), 当 不全相同时, 上述方程组有且存在唯解 解得 : a ˆ ˆ ˆ 可以证明 ( 略 ) 是 的最小方差无偏估计 ˆ ˆ 可以证明 ( 略 ), 是 a, 的最小方差无偏估计 线性回归方程可改写为 : a, ˆ ) ˆ ( ˆ

16 . 线性相关性检验 运用方差分析 考虑样本离差平方和 ( 总和 ): ˆ ˆ U Q ˆ ˆ ˆ ˆ U Q ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) U: 回归值的离差平方和, 由 个 的离散性通过 对 Y 的相关关系造成称为回归平方和 ( 回归和 ) Q: 对 Y 的非线性影响以及试验的随机误差 ( 数据的随机涨落 ) 造成称为剩余平方和 ( 余和 )

17 (). 检验法考虑回归和 U 相对于总和 的比 : U 定义 : 称为相关系数相关系数 相关系数 : 越大, 线性相关关系越显著 ; =0,Y 与 不存在线性相关关系 ; =,Y 与 完全线性相关 ( 完全正 / 负相关 ) 采用相关系数 为统计量, 当 : 时, 认为在显著性水平 下, 线性回归显著 数据点数目 相关系数临界值 ( (-) 表

18 计算 F 值 : F (). F 检验法 Q 显然,F F 值越大,U U 在总和中所占比例越大, 回归性也越显著 当 : U F F, 时, 认为在显著性水平 下, 线性回归显著 数据点数目 查表 :F 分布表 ( 略 ) 3. 例子 根据散点图, 确定回归方程形式 ˆ 计算得到 : aˆ ˆ ˆ 4060 aˆ ˆ

19 线性相关性检验 : 查表得 : 0. 0 ( ( 7 ) ( 7 ) 显然, 在显著性水平 =0.00 下,Y 与 的线性相关关系高度显著 usttuto ate of tasato tato sgas. The Y as shows the chage ate etwee TA sga ad D sga usage. The X as shows the evoutoa dstace of 6 RNA. Each ack pot deotes a Actoactea geome, ad a the dstaces ae cacuated compag wth teptomces Coecoo A3(); each ed pot deotes a geome teptococcaceae, ad the dstaces ae cacuated compaso wth teptococcus pogees M GA. The ea egessos ae = (ack e, = 0.77) ad = (ed e, = 0.77), oth wth p-vaue <

20 6.. 可线性化的曲线回归 方法 : 变量替换. 双曲线型 a 令 u, a u 得得 令 v a a u u, v 得到. 指数曲线型 ae 若 a>0, 则令 v=, 得到 : v a 若 a<0, 则令 v=(-), 得到 : v ( a) 3. 幂函数型 a 0 若 a>0, 则令 v=,u=,, 得到 (a<0 情况类推 ): v a u

21 4. 对数曲线型 a og 令 u=og, 得到 : og a 令 v=og, 得到 : og v a og a u a 令 u=og, v=og, 得到 : v a u 5. 曲线型 a e 令 : u e v 得到 : v a u

22 6..3 多元线性回归问题,,, : 个可控制或可精确观测得到的数据的变量 ; Y: 与,,, 具有相关关系的随机变量 不妨假定 Y 与,,, 具有线性相关关系 : Y... 0 其中, 是数学期望为 0 的随机误差, 且满足正态分布 对于 组样本观察值 (>):,,, (=,,, ) (=,,, ) 多元线性回归模型为 : E 其中, 互不相关 0 0,,...,... 记 Y X ε 多元线性回归模型可写成 : Y X E ( ε ) 0 ε

23 定义离差平方和 : Q. 回归系数 的最小二乘估计 0... 定义 : 在多元线性回归模型中, 若存在 的估计值, 则对于任意一组实数 0,,, 构成的向量, 都成立不等式 称 ˆ Q 是 的最小二乘估计 ( ˆ ) Q 定理 : 在多元线性回归模型中, 设矩阵 X 列线性无关, 则唯一存在 的最小二乘估计 ˆ ˆ ( X X ) X Y ˆ. 计算回归系数 ˆ Q 令 0, j 0,,,...,, 得到方程组 : j j j,,...,,,... j j j 问题 : 求解上述方程组

24 j j j ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ... j j j,...,, 其中 : k j kj k j ) )( ( k k k ) )( ( k 显著性检验显著性检验 : 样本离差平方和样本离差平方和 U: 回归平方和 ( 回归和 ) 回归平方和 ( 回归和 ) Q: 剩余平方和 ( 余和 ) 剩余平方和 ( 余和 ) Q U ) ( Q: 剩余平方和 ( 余和 ) 剩余平方和 ( 余和 ) U ˆ U Q U / U F ) /( Q F

25 6..4 逐步回归问题 理想的多元回归效果 选取对 Y 有显著关联的自变量,,, k 进行回归, 剔除关联较小的自变量 ; 对于相互关联很强的自变量, j,, k, 只要从中选取一 j 个对 Y 有显著关联的自变量进行回归 ; 逐步回归 基于逐步筛选法的逐步回归 逐个引入自变量, 每次引入对 Y 影响最显著的自变量, 并对原有变量逐个进行检验 ( 如 F 检验 ), 把影响不显著的自变量逐个剔除 最终得到的回归方程既不漏掉对 Y 影响显著的自变量, 又不包含对 Y 影响不显著的变量

26 逐步回归的基本步骤 引入自变量的显著性水平 剔除自变量的显著性水平 对不在方程中的自变量能否引入? 否 能 引入自变量 筛选结束 否 对已在方程中的自变量能否剔除? 能剔除自变量

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