Microsoft PowerPoint - 分數與計算

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1 分數與計算 李美穗博士

2 你看過這樣的分數教學嗎? 認識分數分母就是媽媽, 分子就是孩子, 媽媽背上揹著孩子就是分數

3 真分數與假分數的教學 媽媽的年齡比孩子大, 這是真的, 所以叫做 真分數 媽媽的年齡比孩子小, 這是假的, 所以叫做 假分數

4 帶分數呢? 站在媽媽和孩子旁邊的數, 是爸爸, 所以叫做 帶分數 有 個爸爸, 是真的嗎?

5 有理數的學習分類 Kieren(988). 整體和部分的關係. 比例. 分數. 量度 5. 運算

6 學生分數學不好的原因 Kieren(988). 分數和整數各有不同的心理領域, 學 生要用不同的心像圖 操作過程和語 言來學習分數概念, 若無法轉換, 自 然就學不好了. 學習分數的難處在於學生不能把舊知 識過渡至新知識, 學生無法用 數數 的計算方法或概念來認識分數

7 學習分數常出現的問題. 口訣作概念 分數教學中有太多口訣, 並經常以口訣代替概念 口訣只是一些結果的陳述, 並不是概念知識, 口訣教學只能協助學生記憶其計算次序 經常要求學生記口訣, 容易養成學生不求甚解的態度

8 學習分數常出現的問題. 計算次序 -- 強記計算次序, 不僅沒有生成概念, 還加重學生的記憶負擔和心理負擔 = =

9 學習分數常出現的問題. 不必要的枝節概念 例如 : 要求約成最簡分數, 忽略等值分數的概念 5 8 5

10 學生學習分數的困難 一 學生預備知識不足 沒有良好的整數運算基礎例如 : 學生對於比例的知識不足, 所代表的比例相同 二 認知上的障礙 學生沒有 可變的 的概念, 同樣是 條, 不同的基數會得出不同的數量 m m

11 分數學習的迷思概念. 分數乘法 愈乘愈小 : 小學生一直以來都認為兩個數相成之後的結果只會變大. 分數的單位不是熟悉的 十進位 : 最簡單的分數位值是 二分之一, 為 二進制 每個問題的 單位 都可以不同, 比 十進位 更多變化

12 分數學習的迷思概念. 擴分中的用語矛盾 : 把擴分, 可以變成, 教學用語往往是 乘大分數 倍大分數. 分數有時 不是等分 : 開始學分數時, 很強調分數是等分的 有 輛車, 貨車 輛, 自行車 8 輛, 不是等分 6

13 學好分數的要素 Behr and Post(988) 指出, 學生要 對整數的四則運算 ( 加減乘除 ) 都很 熟練, 且具有量度的概念, 才能學好 分數 學者 Hunting and Davis(99) 認為 要學好分數, 必須先多做整數運算, 並多學習量度和面積概念

14

15 建立數學思維的教學過程 學生能從以下三種模式學得數學思維 : 第一種是對應過程 : 對應問題, 對應 算式和對應數學結構 第二種是歸納過程 : 學生要看出規律, 才能歸納 第三種是演繹過程 :

16 對應過程 對應問題, 對應算式和對應數學結構 例如 : 個人分 包糖 ( 算式是 ) 個人分 包半糖 ( 算式是 ) 兩個結構都是除法, 由整數對應分數

17 歸納過程 學生要看出規律, 才能歸納 例如 : 6 由 的是, 的是, 的是, 學生歸納出 的 = a

18 演繹過程 例如 : 由 的是, 8 的是, 得出 6 的是.5

19 數學思維的教學 對應 歸納 演繹, 是課堂例行教學的ㄧ部分 讓學生體會數學有豐富的思維內容, 不單是計算而已 ; 正確計算的背後, 還有數學結構

20 分數教學的情境 連續量情境 離散量情境 單位分數內容物為單一個物 單位分數內容物為多個個物

21 分數在小學中的各項意義 部分 / 整體 ( 連續量 ) 子集 / 集合 ( 離散量 ) 單位分量的累加 視為兩數相除的結果 ( 兩量與兩數 的比值 ) 數線上的一值 運算值 ( 分數倍 )

22 -n- 能在具體情境中, 初步認識分數, 並解決同分母分數的比較與加減問題

23 認識分母 以內的分數 個圓平分成 等分, 其中 等分是全部的幾分之幾? 讀作二分之一, 寫成

24 塗色的部分是全部的幾分之幾? ( ) ( ) ( )

25 塗色的部分是全部的幾分之幾? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

26 塗色的部分是全部的幾分之幾? ( ) ( ) ( ) ( )

27 比較不同單位分數的大小 條和條, 哪一條比較長? 條 條 條比條長, 所以 >

28 已認識單位分數 三年級在這個基礎上, 以單位分數為單位來點數 例如 : 個圓是 個 圓合起來 這樣可以延續小朋友在整數的豐富經驗 而加減法或同分母分數的大小比較都仿照這個方式教學

29 例 : 有顏色的部分是長方形的幾分之幾? 個 6 可以 記做 6 六分之四, 記做 6

30 同分母分數的比較 ( ) ( ) ( ) ( )

31 大於, 個大於 個, 也就是 >

32 同分母分數的加法 ( ) ( ) 合起來是多少張? + = 5

33 同分母分數的減法 條長 6 公尺的藍彩帶和 條長 6 公尺的紅彩帶, 哪一條長? 長幾公尺? 6 = ( ) 6

34 例 : = 個 加 個 是 5+ 個 例 : : = 個減 個 0 0 是 7- 個

35 四年級 -n-07 理解分數之 整數相除 的意涵 -n-08 能認識真分數 假分數與帶分數, 熟練 假分數與帶分數的互換, 並進行同分母 分數的比較 加 減與整數倍的計算 -n-09 能認識等值分數, 進行簡單異分母分數 的比較, 並用來做簡單分數與小數的 互換 -n-0 能將簡單分數標記在數線上

36 -n-07 能在平分情境中, 理解分數之 整數相除 的意涵 這是除法用來解決分裝或平分概念的延伸 這裡的教學要小心處理 個披薩平分給 個小朋友, 每個小朋友可以分到幾分之幾個披薩? = ( 個 )

37 討論 如何將 個披薩平分給 個人? 先將每個披薩各平分成 片, 再從每個披薩 中各取個披薩, 個披薩有 片, 於是應 該是個披薩, 也就是每人應得個披薩

38 討論 個披薩平分給 個人 引導出帶分數的結果 討論 個披薩平分給 個人 引導出等值分數

39 認識分子和分母之間的, 是等同於除法 因此就是 5 的結果 而以後學分數除法時, 也有相似的情況 : 5 = = =6

40 分數的除法活動 一條長 公尺的紙條折成 等份, 請問一等份的長度為多少公尺? 有 6% 的五年級學童和 5% 的六年級學童, 將總量 ( 公尺 ) 視為單位量 ( 公尺 ), 而選擇 公尺 的答案

41 在具體情境中, 讓學童認識有餘數與 無餘數兩者間的不同 如 :5 個糖果分給 個小朋友與 5 個披薩分給 個小朋友的差異

42 -n-08 能認識真分數 假分數與帶分數, 熟練假分數與帶分數的互換, 並進行同分母分數的比較 加 減與非帶分數的整數倍的計算 () 將整數點數與分數記號連結起來 ( 例 9 如 9 個就是 ) () 說明真分數 假分數 帶分數的意義 () 說明假分數與帶分數的轉換, 並理解這 與分子除以分母的商與餘數的關係 () 說明整數的比較與計算如何與同分母的 比較與計算連結

43 透過分解合成, 理解加減互逆也 可用於分數加減 理解作在帶分數減法時, 可能要 從整數借 的計算原理 並在以 0 為分母時, 理解這與小數相減 借位的原理相通

44 認識真分數 假分數 帶分數 6 0 < < 0 小於 的是真分數, 大於 的是假分數 假分數與帶分數的關係 = 5 5 = 5 0 = 99 = 5

45 假分數與帶分數 假分數與帶分數的聯絡 透過假分數數詞與帶分數數詞所描述的數量間的比較活動

46 同分母分數加減法活動 條繩子和條繩子合起來是多少條 0 0 繩子?. 用具體物或畫圖做出條繩及條 0 0 繩子, 再利用分數數詞序列點數 0. 分別看成是 個及 個條繩子, 而合成的結果是 7 個 0 條 0

47 透過分解合成, 理解加減互逆也可用於分數加減 理解作在帶分數減法時, 可能要從整數取 的計算原理 在以 0 為分母時, 理解這與小數相減退位的原理相通

48 理解在作帶分數減法時, 也可以將 帶分數之被減數化成 + 帶分 數 的計算原理來簡化計算 =( + ) - = ( )

49 非帶分數的簡單整數倍 每個小朋友有 有個披薩 = 個披薩 每個小朋友有 6 個披薩, 個小朋友共 & & & & & & 個披薩, 個小朋友共 有個披薩 = 個披薩 = 個披薩 A B C C A B

50 學童應能計算理解或理解計算 如 : = 9 8 = 7 8 = ( 教師指定要寫成分數時 )

51 -n-09 能理解等值分數, 進行簡單異分母分數的比較, 並用來做簡單分數與小數的互換 等值分數是一般分數加減的基礎, 也可 當做約分 擴分的前置經驗 ( 參見 5-n- 06) 本細目著重等值分數的概念理解, 其計 算則應透過 5-n-06 來完成

52 將 個披薩, 平分給 個小朋友 將每個披薩各平分成 片的方法 ; 將 個披薩, 平分給 個小朋友 個披薩 = 個披薩, 簡記成 = 8 個披薩 = = 個披薩 在具體的平分情境中知道 個披薩分給 9 人, 相當於 個披薩分給 個人 9 = = = 9

53 先複習 = = = = 的事實, 然後在具體情境中, 說明分數等值的理由 可先由分母的倍數差 倍的分數先出發 ( 因為切半的操作最簡單 )

54 由於本細目僅強調 等值分數 概念 的理解, 因此在處理比較問題時, 只 處理分母為 或 000 的分數, 這些是比較常用的情形 0 = 適時引入, 與小數相連結

55 讓學童理解與即為等值分數, 6 8 並運用等值分數進行簡單異分母分數 ( 限一分母為另一分母之倍數時 ) 的 5 8 比較, 如 : 和, 哪一個數大? 6 5 > 8 5 = > 8 8,

56 五年級 5-n-06 能用約分 擴分處理等值分數的換算 5-n-07 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減 5-n-08 能理解分數乘法的意義, 並熟練其計算, 解決生活中的問題 5-n-09 能理解除數為整數的分數除法的意義, 並解決生活中的問題

57 5-n-06 能用約分 擴分處理等值分數的換算 四年級僅強調等值分數概念的認識 * 在五年級教學時, 可由具體情境, 解釋約分與擴分的意義 * 運用因數與倍數來理解約分與擴分, 並做等值分數的換算

58 連續量情境 兩條一樣長的繩子, 做彩球用去條, 綁禮物用去條, 哪一個用掉的繩子的比較長? 0 0 記為 0 = 0 認識擴分 認識約分 0 0 = = 0 0

59 離散量情境 盒巧克力有 粒, 盒和盒一樣多嗎? 6 6 顆 6 顆 記為 6 = 認識擴分 認識約分 = 8 8 = 6

60 因數 倍數公因數 公倍數約分 擴分處理等值分數 通分 利用通分進行簡單異分母的分數比較及加減

61 5-n-07 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減 以簡單異分母為教學重點, 所謂 簡單 係指兩分母 () 分母均為一位數 ; () 一分母為另一分母的倍數 ; () 乘以 5 就可以找到兩分母之公倍數 ( 例如兩分母為 與 8) 通分是利用約分或擴分, 將兩異分母的分數, 變成兩同分母之等值分數後, 再來做兩同分母分數的比較與加減 由於只作通分概念的認識, 並不要求化成最簡分數 此時學童在做通分時, 可能只是做最簡單的分母相乘, 但教師應鼓勵學童盡量將答案約分為較簡單的分數 注意學童經常發生的錯誤類型 : 分母與分子各自相加減 5 例 : 當比較, 7 的大小時, 由通分分別為 7及 因此 7, 發現不需算出 7 就可得出 >

62 一分母為另一分母的倍數 布題一 : 小華和光光一起吃披薩, 小 5 8 華吃了個披薩, 光光吃了個披薩, 誰吃的比較多? 布題二 : 一包巧克力有 顆 童童吃 了包, 平平吃了包, 誰吃得比較多? 6 0

63 兩分母為一位數且互質 布題一 : 上完體育課後, 琪琪和佑佑各買了一瓶相同容量的礦泉水 琪琪喝了 瓶, 佑佑喝了 瓶, 誰喝的比較少? 布題二 : 一盒餅乾有 56 片 阿花和小布各買了一盒餅乾, 花花帶了 盒去學校, 布布帶了盒去, 誰帶的餅乾 7 比較多? 8

64 特別的異分母比較方法 以分數和 的差距進行比較 布題一 : 美琪和天佑各買了一瓶相同 容量的汽水 美琪喝了了瓶, 誰喝的比較少? 瓶, 天佑喝

65 透過參考分數 進行比較 布題二 : 一盒餅乾有 56 片 小花和阿 布各買了一盒餅乾, 小花帶了 學校, 阿布帶了餅乾多? 盒去 盒去學校, 誰帶的

66 四年級已經做過 在平分情境下, 理解分數之 整數相除 例 : 給定一條長繩長度為 5 公分, 以一段長度為 公分的木條去測量並標記 ( 想成要將長繩剪成 公分長的短繩 ) 由整數計算知 5 除以 = 得到 8( 段 ), 但還剩下 公分 公分的長度, 相當於 公分的, 因此可將剩下的 公分的繩子, 記成段 於是可以將整個測量結果, 記成 5 =8+ ( 段 ) 或 8 ( 段 )

67 平分情境與測量情境 平分情境 ( 四年級 ) 媽媽買 個披薩, 平分給全家 個人, 每人可以分到多少個披薩? = 答 : 個 測量情境 :( 五年級 ) 一條緞帶長 0 公分, 每 7 公分剪一段, 共可剪成幾段? = 段 公分 每 7 公分為一段, 公分是段 答 : 7 又 段 7

68 5-n-08 能理解分數乘法的意義, 並熟練其 計算, 解決生活中的問題 在乘數為分數的教學中, 最要注意的錯 誤類型, 是學童認為 乘積一定比被 乘數大, 對於這個基於整數計算經 驗的錯誤類推, 教師需細心處理 最 好在最容易理解的 乘數為單位分數 的情況下, 就要開始處理

69 乘數為分數的學習困難 學生第一次用, 其積變小, 故容易用除法列式 第一次接觸 分數倍 的語言 建議在學生未進入形式化學習之前, 是將分數倍語言還原成 部分/ 整體 的語言 如 : 盒糖果有 0 顆, 盒的倍是幾顆糖果? 盒糖果有 0 顆, 盒是幾顆糖果?

70 乘數為分數的學習困難. 一開始建立分數倍概念時, 以求 整數個物 的問題較恰當 整數個物 的問題: 桶水有 0 公升, 桶水是幾公升? 非整數個物 的問題: 桶水有 0 公升, 5 桶水是幾公升? = 6

71 條彩帶長 公尺, 條長幾公尺? m =( 公尺 )

72 條彩帶長公尺, 條長幾公尺? m = ( 公尺 )

73 引入形式化規則的重點. 學生需有豐富的解題及表徵經驗. 發現每等分再細分的策略, 可以解決分數倍的問題. 引導學生發現 分母乘以分母, 分子乘以分子 的規則

74 配合圖示表徵, 以 單位分數乘以單位分數 討論 分母乘以分母, 再討論 分子乘以分子 例 : 一條繩子長公尺, 其中的是多少 公尺? 5 5 =( ) 公尺 0 m m 5 公尺

75 應以倍數的概念為整合所有乘法的概念 乘數為分數的乘法, 即為分數倍 分數倍 的理解比較抽象, 可讓學童從已經熟練的直覺與運算上, 認識其合理性 如 : 一盒水果有 顆, 盒有幾顆? 列式 :, 先了解盒有幾顆? 其算法也可由 來做, ( 盒是盒有 份 ) 其算法可以

76 以圖示幫助學生理解分數倍 包巧克力有 8 片, 桌上有 包巧克 力, 弟弟吃了包的, 是幾包巧 克力? =( ) 包 包

77 分數乘以分數 例如要處理長為公分, 寬為公分的長方形, 則可 將長方形分割成長為公分, 寬為公分的 5 個小長 方形, 再將小長方形與邊長 公分的正方形比較, 知道 7 其面積是平方公分, 因此總面積為 平方公分 cm = = 平方公分 cm 5 8 cm cm 5 cm 5 cm

78 5-n-09 能理解除數為整數的分數除法 的意義, 並解決生活中的問題

79 六年級 6-n-0 能理解分數除法的意義及 其計算方法, 並用來解決日常 生活中的問題 6-n-05 能在具體情境中, 解決分數 的兩步驟問題, 並能併式計算

80 6-n-0 能理解分數除法的意義及其計算方法, 並用來解決日常生活中的問題 說明 : 分數計算的課題, 不管是從形式練習面著手, 還是從情境說明著手, 學童都需要經常練習, 兩者俱進, 才會熟練 教學順序 : 分數除以整數 整數除以分數 分數除以分數

81 分數除法的錯誤類型 在除數為分數的教學中, 最要注意的錯誤類型, 是學童會認為商一定比被除數小 對於這個基於整數計算經驗的錯誤類 推, 教師需細心處理 最好在最容易 理解的 除數為單位分數 的情況下, 就要開始處理

82 張色紙是張色紙的幾倍? = 張色紙是 張色紙的幾倍? =

83 張色紙是張色紙的幾倍? 8 = 8 8 = 8 8 =

84 張色紙是張色紙的幾倍? = 6 = = 6

85 = 6 = = 6 = = = 6

86 漆片牆需要公升的油漆, 漆 片 牆需要多少油漆? 5 5 l 5 5 = 5 = 5 =

87 從 分裝 ( 包含除 ) 的情境引入 除數為分數 的布題 先從單位分數的情況開始 披薩 個, 如果每位小朋友可分得 個, 共可分給多少人?, 先理解 個披薩, 每位小朋友可分得 個, 則 個披薩可分給 個小朋友, 因 此, 相當於 的 倍, 亦即, 因 此可分給 位小朋友

88 例 : 披薩 個, 如果每位小朋友可分得個, 共可分給多少人?, 由於除數變為原來 知道, 的結果 的兩倍, 從包含除的經驗 相當於 的結果還要再, 所以 的結果, 相當於 結合 5-n-08, 知道這相當於 最後將算式記為 = =6

89 長度測量的情境引導 顛倒相乘 的 規則 : 例如 : 一條紙帶長 公尺, 每 剪一段, 可以剪幾段? 公尺 公尺 公尺 公尺 公尺 剪成 段 ( = ) 剪成 6 段 ( = ) 剪成 9 段 ( = ) 剪成 段 ( = )

90 認識 倒數 公尺彩帶可以做一個蝴蝶結, 公尺彩帶可以做幾個蝴蝶結? 公尺彩帶可以做幾個蝴蝶結? m m m = = = =

91 公尺彩帶可以做幾個蝴蝶結? m = 6 = m m 和 互為倒數 是的倒數, 也可以說是 的倒數

92 宜以測量問題繼續討論 例 : 一繩長 公尺, 公尺剪成一段, 可剪成多少段? 5 依照上面的計算答案為 ( 段 ), 也就是 7 段再加上段 由於 - 7=, 的確 等於 因此這與以前處理的結果相同

93 分數除以分數也可用通分來說明 例 : 一繩長 公尺, 以一根長公尺的木條去度量 5 5 將 化成, 化成, 以公尺為共同 0 0 單位, 問題變成 5, 等於 段加 0 段, 其 中這段是因為剩下的公尺相當於公尺 ( 也就 5 是公尺 ) 的 = 0 = = 又 ( 段 ) 0 因為 段為公尺, 段為 5 = 0 公尺 5

94 特別注意錯誤類型 : 5 = =5 = ( 討論餘數的單位為何?) 最後引入一般的分數計算方式 : 例如 : = = = 5 9 9

95 能在分數的脈絡中, 理解乘除互逆, 例如 : 知道 =, 可用 = 來檢驗 ( 也就是知道, 相當於 )

96 6-n-05 能在具體情境中, 解決分數的兩步驟問題, 並能併式計算 說明 : 本細目為小學教學關於數與量計算之總結細目 由於學童對分數尚未熟悉, 在六年級, 只要求學童理解與練習即可

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