12-振动和波-(II)机械波 - 大班课

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1 振动和波 (II) 机械波 1

2 内容 1. 平面简谐波 ( 运动学 ) 和波动方程 ( 动力学 ). 能流和能流密度 3. 线性波的叠加, 驻波 4. 多普勒效应 5. 光波 声波 水波的介绍

3 思路 1. 从原型思想开始 构造简谐行波的运动学, 强调新物理量 波速 波长 ( 波数 ) 猜测和引入简谐行波的动力学 波动方程 举若干实例. 能量观点 波动过程的能量传输 定义波强 平均能流密度 3. 波的叠加 : 还是 Cos 函数的加法 一维驻波 行波中的 拍 现象 3

4 如果每一个质元都在振动 每个质元 在振动过程中有先后传递顺序! 4

5 最简单的原型 (Prototype) 是谁?? 简谐波 - 驻波? 简谐波 行波 几种模式 : 行波的波前表示法 : 5

6 一对行波合成为驻波 时间在哪里? 6

7 波沿 轴正向传播 波沿 轴反向传播 7

8 简谐行波的运动学构造 所有 坐标振动的统一表达式? y O p y(, t) Acos( t ),? 0 8

9 是什么? y(, t) Acos[ ( t ) 0] 检验一下! 就是波形向前传播的速度 波速, 也是相 位的传播速度, 所以也称 为相速. 定义相关物理量 : 波长 波数 ( 波矢 ) T k π 9

10 多种书写形式 y(, t) Acos[ ( t ) 0] y(, t) Acos t k π π T T (, ) t cos[π( y t A ) 0] T y(, t) Acos[π( t ) 0] 0 k π 10

11 建议记住 y(, t) Acos[ ( t ) 0] y(, t) Acos t k 0 预告 : 二元函数! 偏微分! 11

12 还有 : 负方向传播的简谐行波 y(, t) Acos[ ( t ) 0] y(, t) Acos t k 0 记住了, 做题就容易了! 1

13 波的反射和透射 半波损失 波阻 Z Z 大 波密介质, Z 小 波疏介质. 有半波损失 Z 小 Z 大 入射波在反射时发生 反向的现象称为半波损失. Z 大 Z 小 反射系数 ( 对振幅或能量而言 ) 透射系数 Z Z Z Z 无半波损失 13

14 例题 有一列向 轴正方向传播的平面简谐波, 它在 t = 0 时刻的波形如图所示, 其波速为 =600 m/s. 试写出波动方程. y/m O 1. 5 /m 14

15 例题 如图, 沿 轴传播的平面简谐波方程为 10 3 y cos[00π( t )] (SI) 00 隔开两种介质的反射界面,A 与坐标原点 O 相距.5 m. 设反射端两侧波阻相差悬殊且可视为固定端. 求反射波方程. y O 1 A 解题步骤 : 1) 写出一般方程, 特征量待解 ; ) 选特殊点定特征量 ; 3) 查看有无半波损失 15

16 从运动学到动力学 波动力学方程可能的形式? 猜? y Acost 0 y t y y y y t y = 偏微分! 第一项 : 质元的加速度 ( 局域 ) 第二项 : 质元的受力? 16

17 偏微分方程 17

18 作为弹性介质的固体 杨氏模量 E 剪切模量 G F S F S E G l l l l l l F S l l F 都是胡克定律! 分别导致纵波和横波 18

19 横波为例 ( 体元横截面积 S, 密度 r ) y 研究对象 Δm F Δ y O + F 切应变 : lim 0 y dy d y(, t) F 胡克定律 : S y G 19

20 Δ 处 处 G t y S F ), ( G t y S F Δ Δ ), ( GS t y t y F F ), ( ), ( Δ Δ t y t y t y Δ ), ( ), ( ), ( Δ 细节! 细节! 0

21 GS t y F F Δ ), ( Δ Δ ), ( Δ t t y m F F Δ Δ m S r r 是常数吗? y G t y r 弹性固体中横波的波动方程有近似! 啊啊啊!!! 1 扔掉其他项, 只保留线性项

22 将来的问题? 如果没有近似, 会怎么样? 非线性 解不是 cos 的形式

23 横波与纵波的差别 y G y t r y E y t r 横波位移 质元 dm 平衡位置 横波的波动方程 y 纵波的波动方程 y// 纵波位移 波的传播方向 3

24 波速 由什么决定? 4 y y t y G t y r y E t y r r E 纵 r G 横因此固体中的声速

25 空气的声速 在液体和气体中波速为 流 K / r K 为媒质的体变弹性模量 ; r 为质量密度. 在液体和气体只能传播纵波. 理想气体纵波波速 ( 声速 ) 气 p RT r 331 m / S C / C 1.4 J / K, P 1 atm, r 1.93 kg / m P V 3 5

26 软绳 y t T r l y 横波 T r l 横 6

27 软绳与弹簧 质点振动方向 软绳 波的传播方向 质点振动方向 软弹簧 波的传播方向 7

28 讨论 : 声音的本质是什么? 软绳的波动是声波吗? 地震波是声波吗? 空气中 百度百科 : 声波 (Sond Wave 或 Acostic Wave) 是声音的传播形式 声波是一种机械波, 由物体 ( 声源 ) 振动产生, 声波传播的空间就称为声场 在气体和液体介质中传播时是一种纵波, 但在固体介质中传播时可能混有横波 人耳可以听到的声波的频率一般在 0 赫兹至 0000 赫兹之间 声音的微观机制是什么? (1) 引力?() 电磁力?(3) 弱作用?(4) 强作用? 坐等 固体物理学 8

29 一点历史 历史上第一次测出空气中的声速 :1708 年 一们英国人德罕姆站在一座教堂的顶端, 注视着 19 公里外正在发射的炮弹, 通过计算炮弹发出闪光后与听见炮的轰隆声之间的时间, 经过多次测量后取平均值, 得到的声速为 343m/s 历史上第一次测出水中的声速 :187 年 瑞士物理学家科拉顿和他的助手在日内瓦湖上进行的, 在相距 米的两只船上, 从发射船上用链条把一口钟吊入水中, 他的助手在用锤子敲击水中钟的同时, 使船上的炸药引爆发光, 坐在接收船上的科拉顿一手握着他自己设计的喇叭形水下接收器, 一手持着秒表, 测量从他看见火光的时刻开始, 直到听见从水里传来的钟声为止的时间, 实验结束后, 科拉顿在法国数学家斯特姆的帮助下, 宣布了水中声速为 1435 米 / 秒的结论 第一次测出铸铁中的声速 : 在巴黎用下列方法进行的, 在铸铁管的一端敲一下钟, 在管的另一端听到两次响声, 第一声是由铸铁传来的, 第二声是由空气传来的, 由于已知声音在空气中的速度, 利用管长和测出的时间可得结果 9

30 30

31 万有引力需要传递不? 需要速度不? Mm F G rˆ r 这公式里有时间么? 有速度么? 31

32 听到声音是一件很复杂的事情 人工耳蜗 我们的耳朵在做傅里叶分析?! 3

33 诊脉? 悬丝诊脉? 历史上是否真的有悬丝诊脉之事? 病人的脉象能否通过丝线传导给医生呢? 为了弄清这个问题, 曾有人专门请教过北京四大名医之一的施今墨老先生 施老先生曾给清廷皇室内眷看过病 他介绍说, 这悬丝诊脉可说是亦真亦假 所谓真者, 确曾有其事 ; 所谓假者, 悬丝纯粹是一种形式 原来, 大凡后妃们生病, 总要由贴身的太监介绍病情, 太医也总是详细地询问这些情况, 诸如胃纳 舌苔 二便 症状 病程等 为了获得真实而详尽的情况, 有时太医还要给太监送些礼物 当这一切问完之后, 太医也就成竹在胸了 到了悬丝诊脉时, 太医必须屏息静气, 沉着认真 这样做, 一是谨守宫廷礼仪, 表示臣属对皇室的恭敬 ; 二是利用此时暗思处方, 准备应付, 以免因一言不慎 一药不当而招祸 33

34 一万个理由 (or 观点?): 你信不信? 前面不是说了 听到声音是很复杂的 嘛, 所以肯定能复杂到产生这种手段呀! 你怎么能排除线绳除了传递机械振动外, 没有别的信息传递的可能? 这肯定类似于耳朵的功能 : 复杂傅里叶变换嘛! 再说不是说 耳朵可以识字嘛 1979 年唐雨耳朵识字事件 : 34

35 能量观点 体元质量 dm = r dv 体元振动所具有的动能 体元形变所具有的势能 总能量 y O dy d 1 1 dek dmv dv y t r 1 d Ep k(d y) 35

36 弹性力关系 kdy F 切变模量 ) ( d 1 y V G p ) (d d 1 d y GS E dy S F G d GS k d )] ( cos[ t A y 若细棒中传播的是简谐波啰里啰唆的推导 36

37 )] ( [ sin d 1 d k t VA E r )] ( [ sin d 1 d p t VA G E r / G 又 )] ( [ sin d 1 d d p k t VA E E r 体元总机械能 : )] ( [ sin d d d d p k t A V E E E r 37

38 V E E V E d d d d d p k 平均 1 ra t T T d A r 1 1 y G t y r )] ( sin [ t A r 普适结论能量密度 平均能量密度 38

39 平均能流密度 波强 单位时间通过垂直于波的传播方向上单位面积的平均能量. I I ΔtΔS ΔtΔS 1 r A A S t 1 I r A 简称能流密度, 或波强 ( 坡印廷矢量 ). 39

40 定义 波线 ( 波射线 ) 波的传播方向用线表示 ; 波面 ( 相面 波阵面 ) 振动相位相同点的轨迹. 波前 某时刻处在最前面的波面. 在各向同性均匀介质中, 波线与波阵面垂直. 40

41 [ 求证 ] 在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在 行进方向上振幅不变. [ 证明 ] 平面波, 在垂直于 I 方向取两平面 S 1 =S I 1S1 IS 1 r A 1 S 所以, 平面波振幅相等 : 1 S 1 1 S r A1 A S1 S S A S 得证. 41

42 能量守恒! 波的形式与能量传播 波线 波线 波面 波面 平面波 ( 傅立叶变换 ) 球面波 ( 勒让德球谐函数 ) 柱面波 ( 贝塞尔函数 ) 4

43 球面波 对球面波 :P 1 =P 即 I 1 S 1 =I S 1 1 r A1 S1 r A S 球面波 1 π 1 1r1 Ar S 4 r A 即振幅与离波源的距离成反比 球面简谐波的波函数 : y A r cos( t r ) S 4 r π r r 1 43

44 简谐驻波 各质点的振幅各不相同. 位移恒为零 波节, 振幅始终最大 波腹. / / 波节 波腹 在波节 波腹之间各点作稳定的振动, 其 A 有 0 A A 44

45 y A 特点 t t t t 0 T 4 T 3T 4 y y y A 1. 两相邻波节之间的各质元振动相位相同, 每一波节两 侧各质元的振动相位相反.. 在驻波中没有能量的定向传递. 45

46 如何用加法加出驻波? y 设 y 1 Acos Acos t t k k k π 则 y y 1 y (Acosk)cos t 振幅因子谐振因子 π ( Acs o )cos t cos π k 0, ( 干涉相消, ); 4 ( k 0, 1,, ) k 1, ( 干涉相长, ). 46

47 二维驻波 双缝干涉 杨氏双缝干涉 1 两波源具有相同的频率 ; 具有恒定的相位差 ( 波程差 ); 3 振动方向相同. I( ) I I I I cos Δ? 合振动的强度为 : 1 1 注意 : 光学 的时候, 再来算一遍 怎么算? 暂且观看录像 1- 水波 双缝 干涉 1-47

48 不同边界条件的效果 板和膜的振动, 波在边界往复的反射形成驻波. 矩形膜上的二维驻波, 阴影部分和明亮 部分反相, 两者的交线为波节. 48

49 对驻波的能量观点 49 t A V m E r k sin ) π ( cos d Δ 1 d t A v V y V G E r p cos π sin ) π ( d ) ( d 1 d 动能与势能相位相反, 没有能量的定向传播.

50 行波中的 拍现象 50 (1) 首先复习振动中的 拍! () 两个频率相近, 振幅相同的简谐波的同向叠加 ] ) Δ ( ) Δ cos[( ] ) Δ ( ) Δ cos[( 1 k k t A y k k t A y y 1 y y k t k t A cos Δ Δ cos

51 y y 1 y Acos Δt Δk cos t k 群速度 g Δ Δk g 相速度 =? 51

52 叠加原理成立的条件 波动方程为线性微分方程 y t a y 若 y 1 y 分别是它的解, 则 (y 1 +y ) 也是它的解, 即波动方程遵从叠加原理. 注 : 对非线性行波 ( 如爆炸 ) 不适用. 5

53 水波有点复杂 稳定时, 分浅水波和深水波 有可能出现浪花 (wave breaking)! By Kraaiennest - Own work, GFDL, wiki 53

54 地震波也复杂 p-wave and s-wave from seismograph 54

55 每一个小棒做匀速圆周运动, 一串小棒的整体运动是个什么波?

56 Soliton ( 孤立波 ) kink-antikink 孤子 56

57 学习的起点 我们仅仅是学习了基本方法 进一步思考和处理复杂问题的基础 原型 (prototype) 和范式 (paradigm) 很重要 Aerbach s book 57

58 尾声 : 真空中的电磁波 ( 光波 ) 真空中, 电磁场的基本方程是麦克斯韦方程 B E t E B 00 0J t E r 0 B 0 i j k 58

59 在没有电荷电流分布的真空中麦克斯韦方程是齐次的 ( r 0, J 0情形 ) B E t E B 0 0 t E 0 B 0 推导中利用矢量公式 ( A) ( A) A 59

60 B E E E 0 B B t t E t t E B 0 0 E E t E 0 y z 三维 B t t B 00 E 00 B B t B 0 60

61 c 米 / 秒 真空中电磁波的波速 光速 0 真空介电常量 0 真空磁导率 电磁波 电场分量 ( 光波 ) 磁场分量 61

62 电偶极子辐射的电磁波 6

63 光波是一个很有意思的波 1. 传播媒质是什么?. c 是相速度? 实验确认, 真空中的光速相对任何惯性参考系不变 狭义相对论 63

64 扩展内容 64

65 多普勒效应 多普勒效应 由于波源和观测者的相对运动, 造成观测 频率与波源频率不同的现象. 关系式 是介质中某点三量的关系. 到的频率. 振源 观测者的相对运动状态, 直接影响观测者探测 观察者观测到的波速 与观测到的波长 之比称为 观测频率 波源和观察者相对于介质静止. 65

66 以介质为参考系, 并设波源和观测者的运动都发生在它们之间的联线上. 观 观察者相对介质的速度, 趋近波源为正 ; 源 波源相对于介质的速度, 趋近观察者为正 ; 介质中的波速 波源发射频率. 66

67 波源静止而观察者运动即 源 = 0, 观 0 观察者迎向波源, 相对观察者波的速率 + 观, 单位时间通 过观察者的完整波长数 ( 频率 ) 为 观? 观 T 观 v 源 S 0 (1 观 ) 频率升高 观察者离开波源, 同理可得观察者接受到的频率 : 观 频率降低 67

68 观察者静止而波源运动 源迎着观察者, 观测者测到 的频率为 : 远离? 1 T 源 源 源 T 源 源 0 S 1 v 源 T s 1 观 vt 0 源 s s o v 观 =0 68

69 T 源观 源观 观测者测得频率为 : 注意 : 对于弹性波, 不存在横向多普勒效应, 因此, 如果波源和观测者的运动不是沿它们的联线方向 ( 纵向 ), 以上各式中的 源和 观应当理解为波源和观测者的速度的纵向分量. 相向远离观察者和波源在同一直线上运动 T 源观 源观 69

70 分别用 1 和 表示波源速度和观察者速度与波源与观察 者连线的夹角, 有 观 源 cos cos 1 70

71 [ 例题 ] 如图表示用超声波多普勒效应测血球速度 换能器 T 发射超声 波射于血球, 并接受反射波. 试研究如何用此仪器测出血球速度大小. [ 解 ] 声波从换能器 T 射向血球 C, 换 能器和血球分别为静止波源和运动 的观察者, 血球接受到的频率为 ( cos ) / 血 和 血各表示声波在静止介质中的波速和血球速率, 为 T 与血球 C 连线与血球速度夹角, 为超声波发射频率. (1) 71

72 换能器接受到的频率 血 由 (1) 和 () 得 () ( cos ) Δ 血 Δ 血 血 血 血 cos cos 换能器发出的和接受到的频率之差 ( 多普勒频移 ) 血球速率为 cos Δ cos 7

73 利用声波的多普勒效应可以测定流体的流速, 振动体的振动和潜艇的速度, 还可以用来报警和监测车速 在医学上, 利用超声波的多勒效应对心脏跳动情况进行诊断, 如做超声心动 多普勒血流仪等. 超声多普勒效应测血流速 73

74 [ 例题 ] 一声源振动的频率为 040 Hz, 以速度 向一反射面接近, 观察者在 A 处测得拍频 Hz, 如声速为 340 m/s, 求波源移动的速度. 如果波源不动, 反射面以速度 V R =0.0m/s 向观察者接近, 测得拍频 4 Hz, 求波源的频率. [ 解 ]1. 观察者不动, 波源运动. 观察者接收到的频率有 : 直接从远离它的波源来的声音和经反射面反射后的频率, 两者形成拍. 声源 A 观察者 反射面 反射面接收到的是向它接近的波源的频率 ; 反射面不动所以反射面入射频率等于反射频率. 74

75 拍频 由反射面 V V s V V 来自波源 s 声源 A 观察者 反射面 解出 : 0.5 m/s. 若波源不动, 反射面运动. 观察者接收到的频率有 : 直接从静止的波源来的声音和经相向运动的反射面反射后的频率, 两者形成拍. 声源 A V 观察者 反射面 75

76 反射面接收到的是 观察者 接近波源的频率 ; 反射面 V V V R s 因反射面运动, 所以,A 观察者接收到的反射 频率是反射面作为运动的波源而来的反射频率. 拍频 V R V V V V V V R 反射面 R s s R V VR V R s 来自反射面 来自波源 s V V R V R (340 0.) 4 0. Hz 3398Hz 76

77 超音速 77

78 电磁波 ( 光波 ) 也有多普勒效应 Redshift of spectral lines in the optical spectrm of a sperclster of distant galaies (right), as compared to that of the Sn (left) wiki 78

79 结束 79

器之 间 向一致时为正 相反时则为负 ③大量电荷的定向移动形成电 流 单个电荷的定向移动同样形成电流 3 电势与电势差 1 陈述概念 电场中某点处 电荷的电势能 E p 与电荷量 q Ep 的比值叫做该点处的电势 表达式为 V 电场中两点之间的 q 电势之差叫做电势差 表达式为 UAB V A VB 2 理解概念 电势差是电场中任意两点之间的电势之差 与参考点的选择无关 电势是反映电场能的性质的物理量

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