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用员林
5 years ago
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1 Analysis of Vaiane (ANOVA) ~Basi onept ~ 變異數分析基本觀念

2 如果我們想知道不同品牌的差異若我們想要瞭解不同品牌的米不同栽種法之間對產地產量的差異, 今隨機選擇面積相同, 條件相似的 12 塊田地做實驗, 得到以下數據資料 : 栽種法品牌池上米銀川米越光米一般施肥自然農法溫室栽培有機施肥母體? 因子? 如何比較差異? 單位 : 千公斤

3 因子 : 栽種法一般施肥自然農法溫室栽培有機施肥一自溫有 ( 兩因子變異數分析 ) 因子與母體樣本之關係因子 : 品牌池上米銀川米越光米台東池上 ( 池上米 ) 花蓮富里 ( 銀川米 ) 台南六甲 ( 越光米 ) 池上地區 ( 母體 A) 抽樣實驗區 ( 樣本 a) 富里地區 ( 母體 B) 抽樣實驗區 ( 樣本 b) 六甲地區 ( 母體 C) 抽樣實驗區 ( 樣本 )

4 變異數分析類型完全隨機變異數分析單因子變異數分析二因子變異數分析集區設計未重複試驗重複試驗

5 基本觀念

6 關於變異數分析檢定三個或三個上的母體平均數是否相等的檢定方法 ; 或檢定因子 (fato) 對依變數 (dependent vaiable) 是否有影響的統計方法若是利用 z 檢定或 t 檢定, 兩兩比較檢定, 不僅要檢定 C 2 n 次, 同時也會導致型 Ⅰ 錯誤的機率增加, 所以必須同時一起檢定檢定 3 個以上平均數是否相等, 也就是與檢定變異數是否有差異, 具有相同的意義, 所以本章節雖然主要檢定各母體的平均數, 但利用檢定變異數的 F 檢定分析, 故稱為變異數分析通常在人文社會科學的研究中, 會針對研究主題來規劃實驗設計, 來探究或是檢定所推論的結果其所使用的統計檢定方式, 常就以變異數分析來進行推論

7 關於因子依變數所謂因子 ( fato ) 是引起資料發生差異的原因, 也有稱之為獨立變數 (independent vaiable) 自變數實驗變數 ; 通常其產生有可能來自 : (1) 樣本屬性特質的不同類別 ( 例如性別可分為男女 ; 職業可分為軍公教農工商等 ); (2) 來自實驗設計不同的處理類型, 通常是想要透過實驗調查結果來瞭解所要釐清的問題而依變數 (dependent vaiable) 是調查者欲觀察到的反應結果 ( 反應變數 ) 例如, 不同栽種法對於農地產量的差異, 產量就是依變數 ; 變異數分析就是在檢定某因子 ( 如栽種法 ) 狀況下, 不同衡量水準下依變數 ( 產量 ) 的平均數是否相等

8 變異數分析的基本假設常態性假設 : 每個被分析中的母體皆為常態分配同質性 (homogeneity) 假設 : 每個被分析的母體, 其變異數皆相等獨立性假設 : 在進行變異數分析的抽樣過程中, 各個母體分配的樣本皆相互獨立, 抽樣方式為簡單隨機抽樣滿足以上三個基本前提, 就可以利用 F 檢定來做推論若是所分析母體無法滿足上面的前提假設, 就改用無母數統計方式進行檢定

9 變異數分析的步驟建議第 1 步設立兩個假設 : ቊ H 0:μ 1 = μ 2 = = μ = μ H 1 :μ 1, μ 2, μ 第 2 步建立變異數分析表 (ANOVA table), 並利用 F 檢定做檢定 : F = MSA MSE 第 3 步下結論並做決策或推論 : F > F 1,nT, α 拒絕 H 0 F F 1,nT, α 不拒絕 H 0

10 再談觀念 ~ 單因子變異數分析組間變異 (Among-goup vaiation) 組內變異 (Within-goup vaiation)

11 組內與組間變異的關連性母體對因子研究母體樣本 a 樣本 b ഥx a ഥx b 樣本樣本 d μ ( 未知 ) 估計 ഥx 樣本變異 x i 抽樣值 i μ ( 未知 ) 估計 ഥx 組間變異總變異 ഥx x i 組內變異 ഥx d 因子分類各別抽樣在某因子分類中 ( 如樣本 C), 再隨機抽取抽樣值 i

12 組內與組間變異的示意圖第 a 組平均值全部平均值第組平均值第組第 i 個樣本 ഥx a ഥx ഥx x i 組間變異組內變異總變異 = 組間變異 + 組內變異 SST = SSA + SSE 總變異

13 組內與組間變異的推導 x ij x ҧҧ = xҧ j x ҧҧ + (x ij xҧ j ) 單一個抽樣值的變異 ( 誤差 ) n j n j x ij xҧҧ 2 = xҧ j x ҧҧ + (x ij xҧ j ) 2 為算出總誤差, 兩邊取平方和, 此誤差即稱為變異 n j = xҧ j xҧҧ 2 +2 n j xҧ j x ҧҧ (x ij xҧ j ) + n j (x ij xҧ j ) 2 n j n j (x ij ҧ 其中, xҧ j x ҧҧ (x ij xҧ j ) = xҧ j xҧҧ x j ) = xҧ j x ҧҧ 0 = 0 n j = xҧ j xҧҧ 2 + n j (x ij xҧ j ) 2

14 組內與組間變異的推導 n j x ij ҧҧ n j n j (x ij ҧ x 2 = xҧ j xҧҧ 2 + x j ) 2 SST(SSTO) sum of squaes total SSA(SSB, SSF, SSTR) SSE(SSW) sum of squaes eo sum of squaes among goups sum of squae within goups sum of squae due to fato sum of squae teatment 總變異因子之變異隨機變異 ( 組間變異 ) ( 組內變異 ) 總變異 = 組間變異 + 組內變異 SST = SSA + SSE

15 SST 各變異的算式關連 ( 總變異,sum of squaes total) n j x ij xҧҧ 2 = n T n j 1 x n ij xҧҧ 2 = n T σ 2 2 T = (n T 1)S T T SSA ( 組間變異,sum of squaes among goups) n j xҧ j xҧҧ 2 = n j തx j 2 n T തx 2 = n 1 തx j 2 തx 2 = n T σ തx 2 SSE ( 組內變異,sum of squaes eo) n j (x ij xҧ j ) 2 = ( 假設每個抽樣樣本數都相同,n=n j ) n j 1 n j (x n ij xҧ j ) 2 j = n j σ 2 2 j = (n j 1) S j

16 母體變異數的估計值 SSA ( 組間變異 ) SSE ( 組內變異 ) MSA ( 樣本間均方 ) (mean squae between) MSE ( 樣本內均方 ) (mean squae within) MSA = σ n σ j MSE = σ n σ j 1 xҧ j xҧҧ 2 (x ij xҧ j ) 2 n T 自由度自由度 = SSA 1 = SSE n T F = MSA MSE ~F 1, n T

17 變異數分析表以單因子變異數分析 ( 完全隨機 ) 為例變異來源平方和自由度平均平方和 F 檢定因子 ( 組間 ) SSA -1 MSA 隨機 ( 組內 ) SSE n T - MSE 總和 SST n T -1 F = MSA MSE

18 還是觀念 ~ 雙因子變異數分析 A 因子組間變異 (Among-goup vaiation due to fato A) B 因子組間變異 ( Among-goup vaiation due to fato B) 兩因子間相互影響變異 (Inteation-effet vaiation between fato A and B) 組內變異 (Within-goup vaiation)

19 雙因子變異數分析 ( 未重複實驗 ) 探討兩個因子對於依變數之間的關係要做假設檢定, 就是檢定 A 因子或 B 因子的衡量水準對依變數是否會造成顯著的影響所謂未重複實驗, 實際的操作方式是 : 在抽樣時, 每個因子配對的衡量水準下, 各抽取一個樣本做觀察假設我們要研究不同學區 ( 北中南東 ) 與不同入學方式 ( 繁星申請指考 ) 對於商用統計學成績是否有影響, 所以兩個因子 ( 學區入學方式 ) 總共組成 12 種配對 :( 北, 繁星 ) ( 中, 繁星 ) ( 南, 繁星 ).. ( 南, 指考 ) ( 東, 指考 ) 每種配對抽取一個樣本, 總共就有 12 個樣本, 此即為未重複實驗

20 ҧ ҧҧ 雙因子統計模式的建立 ( 未重複實驗 ) 抽樣資料因子 A 1 A 2 A B 平均 B 1 x 11 x 12 x 1 ഥB 1 B 2 x 21 x 22 x 2 ഥB 2 : : : : : B x 1 x 2 x ഥB A 平均 ഥA 1 ഥA 2 ഥA xҧҧ 其中 A j = σ തB i = σ x ij x ij σ x = σ x ij = σ σ n T x ij

21 建立雙因子的假設檢定 ( 未重複實驗 ) A 因子的假設檢定 : ቊ H 0:μ A1 = μ A2 = = μ A H 1 :μ A1, μ A2, μ A 不全相等 B 因子的假設檢定 : ቊ H 0:μ B1 = μ B2 = = μ B H 1 :μ B1, μ B2, μ B 不全相等

22 雙因子各變異的分解 ( 未重複實驗 ) 總變異 =A 因子組間變異 + B 因子組間變異 + 組內變異 SST = SSA + SSB + SSE x ij xҧҧ 2 = SST = SSA = SSB = ഥA j xҧҧ 2 + x ij xҧҧ 2 = A j ҧ xҧҧ 2 = തB i xҧҧ 2 = ഥB i xҧҧ 2 + (x ij ഥA j ഥB i + x) ҧҧ 2 x 2 ij n T xҧҧ 2 2 = n T σ T A j ҧ 2 n T xҧҧ 2 = n T σ ҧ 2 A j തB 2 i n T xҧҧ 2 2 = n T σb തi SSE = SST - SSA - SSB 其中 n T =

23 雙因子變異數分析表 ( 未重複實驗 ) 變異來源平方和自由度平均平方和 F 檢定 A 因子 SSA -1 MSA= SSA 1 B 因子 SSB -1 MSB= SSB 1 隨機 SSE (-1)(-1) MSE= SSE 1 1 總和 SST n T -1 F A = MSA MSE F B = MSB MSE 檢定 A 因子是否有影響 : F A > F 1,( 1)( 1), α 拒絕 H 0 檢定 B 因子是否有影響 : F B > F 1,( 1)( 1), α 拒絕 H 0

24 雙因子變異數分析 ( 重複實驗 ) 探討兩個因子對於依變數之間的關係要做假設檢定, 就是檢定 A 因子或 B 因子的衡量水準對依變數是否會造成顯著的影響所謂重複實驗, 實際的操作方式是 : 在抽樣時, 每個因子配對的衡量水準下, 各抽取 n 個樣本做觀察假設我們要研究不同學區 ( 北中南東 ) 與不同入學方式 ( 繁星申請指考 ) 對於商用統計學成績是否有影響, 所以兩個因子 ( 學區入學方式 ) 總共組成 12 種配對 :( 北, 繁星 ) ( 中, 繁星 ) ( 南, 繁星 ).. ( 南, 指考 ) ( 東, 指考 ) 每種配對抽取 10 個樣本, 總共就有個樣本, 此即為重複實驗

25 ҧ 雙因子統計模式的建立 ( 重複實驗 ) 因子 A 1 A 2 A B 平均 B 1 細格平均數 (ell means) x 111 x 112 : x 11n x 121 x 122 : x 12n B 1 A 1 B 1 A 2 B 1 A x 211 x 221 : : B 2 x 21n x 22n B 2 A 1 B 2 A 2 B 2 A x 11 x 12 : x 1n തB 1 x 21 : x 2n തB 2 每列有 n 筆資料 : : : : : B x 11 : x 1n x 21 : x 2n x 1 : x n തB A 平均 B A 1 B A 2 B A 每行有 n 筆資料 ҧ A 1 A 2 Aҧ xҧҧ

26 ҧ 雙因子統計模式的建立 ( 重複實驗 ) 其中 = A 因子的類別數 = B 因子的類別數 n = 重複數 n T = 總樣本數 = n x ij = A 因子第 j 個水準 B 因子第 i 個水準的第個重複觀察值 n σ =1 A j = σ n x ij ( 第 j 行的總平均 ) ( 第 i 行的總平均 ) തB i = σ n σ =1 x ij n B i A j = σ n =1 n x ij ( 細格的平均數 ) x ҧҧ = σ n σ σ =1 x ij n ( 總平均 )

27 建立雙因子的假設檢定 ( 重複實驗 ) A 因子的假設檢定 : ቊ H 0:μ A1 = μ A2 = = μ A H 1 :μ A1, μ A2, μ A 不全相等 B 因子的假設檢定 : ቊ H 0:μ B1 = μ B2 = = μ B H 1 :μ B1, μ B2, μ B 不全相等 AB 因子交互效果檢定 : H 0:A,B 因子具交互影響 H 1 :A,B 因子不具交互影響

28 雙因子各變異的分解 ( 重複實驗 ) 總變異 =A 因子變異 +B 因子變異 +A B 交互影響變異 + 組內變異 SST = SSA + SSB + SSAB + SSE n SST = =1 x ij xҧҧ 2 = n =1 x 2 ij n T xҧҧ 2 2 = n T σ T SSA = n A j ҧ xҧҧ 2 = n A j ҧ 2 n T xҧҧ 2 = n T σ ҧ 2 A j SSB = n SSE = ഥB i xҧҧ 2 = n n =1 x ij A j B i 2 = ഥB 2 i n T xҧҧ 2 2 = n T σb ഥ i n =1 x 2 ij n 2 A j B i SSAB = SST - SSA SSB - SSE 其中 n T =n

29 雙因子變異數分析表 ( 重複實驗 ) 變異來源平方和自由度平均平方和 F 檢定 A 因子 SSA -1 MSA= SSA 1 B 因子 SSB -1 MSB= SSB 1 交互影響 SSAB (-1)(-1) MSAB= SSAB 1 1 隨機 SSE (n-1) MSE= SSE n 1 總和 SST n T -1 F A = MSA MSE F B = MSB MSE F AB = MSAB MSE 檢定 A 因子是否有影響 : F A > F 1,(n 1), α 拒絕 H 0 檢定 B 因子是否有影響 : F B > F 1,(n 1), α 拒絕 H 0 檢定 AB 因子是否有交互影響 :F AB > F 1 1,(n 1), α 拒絕 H 0

30 The End

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Microsoft Word - 94_4_stat_handout_07變異數分析.doc 7 第七章變異數分析 006 年 8 月日最後修改 7.1 變異數分析概論 7. 單因子變異數分析 7.3 雙因子變異數分析 7.4 有交互影響之變異數分析 7.1 變異數分析概論變異數分析 (Analysis Of Variance,ANOVA) 一種假設檢定的特殊型態 ANOVA 的基本想法是將總變異數分成兩部分 ; 與虛無假設有關的可解釋變異以及與虛無假設無關的不可解釋變異, 一般若虛無假設為真,