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纪赖
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1 第十一章 : 三個以上母體平均數的檢定 : Mei-Yuan Chen Department of Finance National Chung Hsing University February 19, 2013

2 三個以上母體平均數的檢定在日常生活中, 經常面對比較三個以上母體平均數的問題, 例如 1. 投資組合的超額報酬率 (abnormal return) 是否會隨著投資組合成分股票公司的規模而有所差異? 2. 投資組合的超額報酬率是否會隨著投資組合成分股票公司的 B/M 比例大小而有所差異? 3. 上海 A 股是否存在日曆效應? 即 A 股報酬率是否在星期一二三四及五間有所不同? 4. 台中市房價是否存在區位 ( 中東南西北北屯西屯及南屯 ) 差異? H 0 : µ X1 = µ X2 = = µ Xk,k 3

3 可不可以兩兩母體平均數作比較進行檢定對於 H 0 : µ X1 = µ X2 = = µ Xk,k 3 虛無假設, 邏輯上可以進行兩兩母體平均數的比較 : H 0 : µ Xi = µ Xj, i,j,i j, 只要發生一個或一個以上棄卻虛無檢設的檢定結果, 則 k 個母體平均數相等的虛無假設即被棄卻 ; 反之, 若所有 C k 2 個兩個母體平均數相等的虛無假設都不被棄卻, 則 k 個母體平均數相等的虛無假設即不被棄卻但面臨兩個問題 : 1. 最多需進行 C k 2 個 H 0 : µ Xi = µ Xj 檢定, 工作過於繁雜 ; 2. 當虛無假設為真時, 不棄卻虛無假設 H 0 : µ X1 = µ X2 = = µ Xk 的機率為 (1 α) n, 其中 n = C k 2, 而棄卻虛無假設的機率則為 [1 (1 α) n ] α

4 單因子在中, 實驗中接受實驗的人或物稱為試驗單位 (experiment unit), 可經由設計所能控制的因素稱為因子 (factor), 因子的不同類別或處理方式稱為處置 (treatment); 因此在稻米的田間實驗中, 實驗田所分割成的 30 個坵塊即為試驗單位, 在這 30 個試驗單位中, 所有的條件都一樣, 只有肥料施用量控制為 : 不施用輕度使用及重度使用三種, 因此, 肥料使用量是控制的因子, 而此因子存在三種處置由於此實驗僅有一個因子, 所進行的統計分析在於檢驗因子中的不同處置是否有不同的結果, 因此稱為單因子 (One-Factor ANOVA)

5 統計分析步驟定義三個隨機變數 X 1,X 2 及 X 3 : X 1 : Ω 1 {x 11,x 12,x 13,...} = D X1 (µ X1,σ 2 X 1,α 3 (X 1 ),α 4 (X 1 )) X 2 : Ω 2 {x 21,x 22,x 23,...} = D X2 (µ X2,σ 2 X 2,α 3 (X 2 ),α 4 (X 2 )) X 3 : Ω 3 {x 31,x 32,x 33,...} = D X3 (µ X3,σ 2 X 3,α 3 (X 3 ),α 4 (X 3 )) 其中,Ω 1,Ω 2 及 Ω 3 代表所有生產條件相同, 僅肥料使用量不同的生產環境而肥料使用量不同是否會影響該品種稻米的產量 ( 每一坵塊 ) 的問題, 表現成虛無假設為 H 0 : µ X1 = µ X2 = µ X3

6 股市是否存在日曆效應? 定義星期一到星期五的股票報酬率隨機變數為 R 1 : Ω 1 {r 11,r 12,r 13,...} = D R1 (µ R1,σR 2 1,α 3 (R 1 ),α 4 (R 1 )) R 2 : Ω 2 {r 21,r 22,r 23,...} = D R2 (µ R2,σR 2 2,α 3 (R 2 ),α 4 (R 2 )) R 3 : Ω 3 {r 31,r 32,r 33,...} = D R3 (µ R3,σR 2 3,α 3 (R 3 ),α 4 (R 3 )) R 4 : Ω 4 {r 41,r 42,r 43,...} = D R4 (µ R4,σR 2 4,α 3 (R 4 ),α 4 (R 4 )) R 5 : Ω 5 {r 51,r 52,r 53,...} = D R5 (µ R5,σR 2 5,α 3 (R 5 ),α 4 (R 5 )) 其中,Ω 1,Ω 2,Ω 3,Ω 4 及 Ω 5 代表所有條件相同, 僅星期日期不同的市場條件因此, 星期為控制因子, 此因子具有 5 個處置而股市是否存在日曆效應 ( 星期效應 ) 的問題, 改表示成虛無假設 : H 0 : D X1 = D X2 = D X3 = D X4 = D X5

7 對於虛無假設 : H 0 : D X1 = D X2 = D X3 = D X4 = D X5 改以較為四個較為簡單的虛無假設檢定 : H 10 : µ X1 = µ X2 = µ X3 = µ X4 = µ X5 H 20 : σ X1 = σ X2 = σ X3 = σ X4 = σ X5 H 30 : α 3 (X 1 ) = α 3 (X 2 ) = α 3 (X 3 ) = α 3 (X 4 ) = α 3 (X 5 ) H 40 : α 4 (X 1 ) = α 4 (X 2 ) = α 4 (X 3 ) = α 4 (X 4 ) = α 4 (X 5 )

8 雙因子在新藥物量產公開上市前, 必須經過臨床實驗的通過, 不但該藥物具有特定疾病的療效外, 還必須沒有危害人體的副作用 ; 假定有兩種糖尿病的新藥, 接受臨床實驗的病人有 30 人, 第一組 10 人接受 A 藥物治療, 其中 5 人於飯前服藥, 另外 5 人於飯後服藥 ; 第二組 10 人接受 B 藥物治療, 其中 5 人於飯前服藥, 另外 5 人於飯後服藥 ; 第三組 10 人僅服用一般的維他命, 其中 5 人於飯前服用, 另外 5 人於飯後服用 ; 而這 30 個病人並不知道自己吃下甚麼藥物, 經過一個星期後, 抽血檢測每個病人的血糖值, 以這些血糖值與實驗前血糖值得差異, 即可進行統計分析, 以了解 A B 兩種藥物的療效, 以及在飯前和飯後服用藥物的療效差異 ; 在這個實驗設計中, 接受實驗的 30 個病人為試驗單位, 實驗中所控制的有服用何種藥物 ( 藥物 A 藥物 B 或維他命 ) 及何時服藥 ( 飯前或飯後 ), 因此這個實驗有兩個因子, 而服用的藥物種類和服用時間的 6 個組合即為 6 個處置

9 日曆效應在股市是否存在日曆效應, 除了前述的星期效應外, 也有學術研究探討股市是否存在元月效應, 亦即元月份的股市報酬率是否與其他月份的報酬率不同? 此時, 定義以下隨機變數 X i,j : Ω i,j {x i,j,1,x i,j,1,x i,j,1, } = D Xi,j (µ Xi,j,σ 2 X i,j,α 3 (X i,j ),α 4 (X i,j )). 其中,i = 1,...,5 表示星期一至星期五,j = 1,...,12 表示 1 月到 12 月因此, 股市是否存在日曆效應的虛無假設可表示為 H 0 : D Xi,j = D 0, i,j, 改以較為四個較為簡單的虛無假設檢定 : H 10 : µ Xi,j = µ 0, H 20 : σ Xi,j = σ 0 H 30 : α 3 (X i,j ) = α 30, H 40 : α 4 (X i,j ) = α 40.

10 完全隨機設計在一個實驗中, 研究者將不同的處置以隨機的方式分派給每一給實驗單位, 這種實驗設計即是完全隨機設計 ; 例如在稻米品種的實驗中, 由於不同品種植物在相同地點栽種可能具有排他性或互利性, 而影響實驗結果, 因此, 為避免如此交互作用對實驗結果的影響, 對於任何一個坵塊所栽植的品種不做人為的決定, 而是以隨機的方法決定栽植的品種, 如此, 兩個相鄰坵塊所栽植的稻米品種是隨機決定的, 因此, 可使排他或互利性的交互作用予以隨機化, 進而降低交互作用對實驗結果的影響

11 虛無假設由於是隨機決定栽植的稻米品種, 因此, 在 30 個坵塊內所, 每一稻米品種所栽植的坵塊數有可能不相等 ; 此外, 在這樣的實驗設計中, 因為交叉作用的影響效果已降為最低, 因此, 實驗結果可表現因品種不同所造成產量差異的效果, 由於這個實驗設計著重於單一因子品種對產量的影響, 所以針對這樣實驗設計的稱為單向或單因子 (one-way ANOVA) 當然每一個稻米品種在每一個相同面積坵塊的稻米產量不會相同, 可將其定義為隨機變數, 所以研究者想知道稻米品重會不會造成產量上的差異, 即可表示成虛無假設 H 0 : µ X = µ Y = µ Z, 其中,X Y 和 Z 分別表示三種稻米品種每一坵塊的產量, 所以, 以每一稻米品種具有相同的平均產量作為虛無假設

12 檢定邏輯 (I): 相同均數差不同變異數

13 檢定邏輯 (II): 相同變異數不同均數差

14 第一組資料第二組資料 Sample from Populations Sample from Populations ȳ 1 = 5.90 ȳ 2 = 5.50 ȳ 3 = 5.00 ȳ 1 = 5.90 ȳ 2 = 5.50 ȳ 3 = 5.00

15 假設我們想要檢定 k 個母體 X 1,X 2,...,X k 是否具有相同的平均數, 因此虛無假設為 H 0 : µ X1 = µ X2 = = µ Xk 再假設我們分別從這 k 個母體蒐集得 k 組樣本, 而其樣本觀察值個數分別為 n 1,n 2,...,n k, 且其樣本平均數分別為 x 1, x 2,..., x k, 而 N = k j=1 n j 為樣本觀察值總個數, 當然我們相信這些樣本均具有其母體代表性 ; 令 x ji 表示自 j 個母體所蒐集到的第 i 個樣本觀察值

16 X 1 X 2 X 3 X k x 11 x 21 x 31 x k1 x 12 x 22 x 32 x k2.. x 1n1 x 2n2 x 3n3 x knk x 1 x 2 x 3 x k 總平均數 : x =.. k j=1 n j i=1 x ji j j=1 n j =. k j=1 n j i=1 x ji N

17 樣本總變異在所有的樣本觀察值中, 即樣本總變異 (total sum of squares, TSS) 為 TSS := = = = n k j (x ji x) 2 j=1 i=1 n k j [(x ji x j )+( x j x)] 2 j=1 i=1 n k j (x ji x j ) 2 + j=1 i=1 n k j (x ji x j ) 2 + j=1 i=1 n k j ( x j x) 2 +2 j=1 i=1 n k j ( x j x) 2, 因 j=1 i=1 n k j (x ji x j )( x j x) j=1 i=1 n k j (x ji x j )( x j x) = 0 j=1 i=1 其中 x = k nj j i x ji /N 為所有樣本觀察值得總平均數

18 在上式最後一個等號的右邊, 第一項 k nj j=1 i=1 (x ji x j ) 2 為所有樣本觀察值以自我不同的樣本平均數為中心所得到的變異, 我們稱之為樣本內變異 (sum of squares within samples, 定義 nj i=1 ( x j x) 2 為每一個樣本的樣本平成 SSW), 而第二項 k j=1 均數 ( x j ) 間以總平均數 ( x) 為中心所衡量的變異, 我們稱之為樣本間變異 (sum of squares between samples, 定義為 SSB); 換言之, 樣本總變異可分解為樣本間變異及樣本內變異之和

19 樣本總變異 X 1 X 2 X 3 X k (x 11 x) 2 (x 21 x) 2 x 31 x) 2 (x k1 x) 2 (x 12 x) 2 (x 22 x) 2 (x 32 x) 2 (x k2 x) (x 1n1 x) 2 (x 2n2 x) 2 (x 3n3 x) 2 (x knk x) 2 n1 i=1 (x 1i x) 2 n2 樣本總變異 :SST = k j=1 i=1 (x 2i x) 2 n3 i=1 (x 3i x) 2 [ nj i=1 (x ji x) 2] nk i=1 (x ki x) 2

20 樣本內變異 X 1 X 2 X 3 X k (x 11 x 1 ) 2 (x 21 x 2 ) 2 x 31 x 3 ) 2 (x k1 x k ) 2 (x 12 x 1 ) 2 (x 22 x 2 ) 2 (x 32 x 3 ) 2 (x k2 x k ) (x 1n1 x 1 ) 2 (x 2n2 x 2 ) 2 (x 3n3 x 3 ) 2 (x knk x k ) 2 n1 i=1 (x 1i x 1 ) 2 n2 i=1 (x 2i x 2 ) 2 n3 i=1 (x 3i x 3 ) 2 nk i=1 (x ki x k ) 2 樣本內變異 : SSW = = k j=1 [ nj ] (x ji x j ) 2 i=1 n k j (n j 1)SX 2 j, wheresx 2 j = (x ji x j ) 2 /(n j 1). j=1 i=1

21 樣本間變異 X 1 X 2 X 3 X k x 11 x 21 x 31 x k1 x 12 x 22 x 32 x k x 1n1 x 2n2 x 3n3 x knk x 1 x 2 x 3 x k n 1 ( x 1 x) 2 n 2 ( x 2 x) 2 n 3 ( x 3 x) 2 n k ( x k x) 2 樣本間變異 :SSB = k j=1 n j( x j x) 2

22 檢定邏輯樣本間變異大或樣本內變異小的樣本提供棄卻虛無假設較強的訊息, 因此, 我們所考慮虛無假設的樣本統計量應同時納入樣本間變異及樣本內變異兩種訊息 ; 由前面章節的討論中, 不論是對單一母體或兩個母體間參數的假設檢定方法, 都是以數值大的樣本統計量作為棄卻虛無假設的根據 ; 在此, 我們要如何結合樣本間與樣本內變異, 設計出一個統計量, 而使這個統計量能與樣本間變異成正比而與樣本內變異成反比, 如此而使樣本統計量大者, 隱含大的樣本間變異及小的樣本內變異, 進而棄卻虛無假設 ; 為達此目的, 我們可以用樣本間變異除上樣本內變異的比值作為統計量, 即可達成此目的 ; 由於當樣本間變異最小為零時, 樣本內變異即等於樣本總變異, 則統計量為零 ; 反之, 當樣本內變異為零時 ( 唯有樣本內的所有觀察值均等於其樣本平均數時, 即 x ji = x j,i = 1,...,n j ), 樣本間變異即等於樣本總變異, 則統計量為無限大

23 就樣本間變異而言, 由於在所有母體為常態分配的假設下, 即 X j N(µ j,σ 2 j),j = 1,...,k, 或當樣本觀察個數 n j,j = 1,...,k 足夠大使得中央極限定理得以成立, 則 x j µ j σ j / n j N(0,1), j = 1,...,k. 再者, 在虛無假設 H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ 0 下, 並假設 σ 2 1 = σ 2 2 = = σ 2 k = σ2 0, 則 x j µ 0 σ 0 / n j N(0,1), j = 1,...,k,

24 且因 x = k nj j=1 i=1 x ji/n, 則 x µ 0 σ 0 / N(0,1). n T n k j ( x j x) 2 /σ0 2 j=1 i=1 = (1/σ 2 0) k n j [( x j µ 0 ) ( x µ 0 )] 2 j=1 k k = (1/σ0 2 ) n j ( x j µ 0 ) 2 (1/σ0 2 ) n j ( x µ 0 ) 2 = j=1 j=1 k ) 2 ( xj µ 0 σ 0 / x µ 0 n k j σ 0 j=1 n j j=1 k N(0,1) 2 N(0,1) 2 = χ 2 (k) χ 2 (1) = χ 2 (k 1). j=1 2

25 相對的, 就樣本內變異而言, 在所有母體為常態分配的假設下, 再加上虛無假設 H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ 0 和 σ1 2 = σ2 2 = = σk 2 的假設, 則 N(0,1) 因此, 樣本內變異的抽樣分配為 x ji µ 0 σ 0 n k j n k j (x ji x j ) 2 /σ0 2 = [(x ji µ 0 ) ( x j µ 0 )] 2 /σ0 2 j=1 i=1 n j j=1 i=1 k = (1/σ0 2 ) k (x ji µ 0 ) 2 (1/σ0 2 ) ( x j µ 0 ) 2 = = n k j j=1 i=1 n k j j=1 i=1 j=1 i=1 ( x ji µ 0 σ 2 0 ) 2 ( x ji µ 0 σ 2 0 ) 2 k j=1 n j j=1 i=1 ( ) 2 x j µ 0 n j σ 2 0 ( ) 2 k x j µ 0 σ 2 0 /n j j=1 χ 2 (N) χ 2 (k) = χ 2 (N k).

26 由樣本間變異及樣本內變異的抽樣分配我們知道, 樣本間變異除以樣本內變異比例的抽樣分配為 SSB SSW = = k nj j=1 i=1 ( x j x) 2 k nj j=1 i=1 (x ji x j ) 2 k j=1 n j i=1 ( x j x) 2 σ 2 0 k j=1 n j i=1 (x ji x j ) 2 σ 2 0 χ2 (k 1) χ 2 (N k). 由前面有關母體分配關係的討論中, 我們知道兩個相互獨立的卡方分配 X χ 2 (n) 和 Y χ 2 (m), 則 X/n Y/m F(n,m).

27 因此, 我們可以設計統計量為 SSB/(k 1) ψ = SSW/(N k) = MSB MSW χ2 (k 1)/(k 1) = F(k 1,N k), χ 2 (N k)/(n k) 其中,MSB = SSB/(k 1) 為平均樣本間變異 (mean squares between samples),msw = SSW/(N k) 為平均樣本內變異 (mean squares within samples) 根據實際 k 個樣本的觀察值, 並依上式計算 ψ 統計量, 若 ψ > F 1 α (k 1,N k) 則棄卻虛無假設 H 0 而得到 k 個母體平均數不全為相等的統計推論

28 值得注意的是, 在推導 ψ 統計量的抽樣分配時, 我們所假設的條件包括分析的 k 個母體全為常態分配, 且所有母體具有相等的母體變異數, 加上虛無假設 H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ 0, 這些條件相當於 X j N(µ 0,σ 0 ),j = 1,...,k, 唯有在這條件成立下,ψ 統計量的抽樣分配方為 F 分配 ; 否則, 若母體分配不為常態分配, 或母體變異數不全為相等, 則 ψ 統計量的抽樣分配不為 F 分配, 因而, 縱使 ψ > F 1 α (k 1,N k), 我們也不能推論成母體平均數不全為相等, 因為大的 ψ 統計量有可能是母體不為常態分配或母體變異數不相等所造成的結果因此, 若母體分配不為常態分配時, 我們將改採無母數統計檢定法加以分析

29 表在前面章節中, 我們以 ψ 統計量作為檢驗多個母體平均數是否相等的統計推論 ; 而在統計學上, ψ 統計量的計算大抵以所謂的表 (ANOVA Table) 加以輔助, 其格式如下 : 變異數來源平方和自由度均方和 F 樣本間 SSB k 1 MSB MSB/MSW 樣本內 SSW N k MSW 總變異 TSS N 1

30 第一組資料的觀察值, 我們可計算得到變異數來源平方和自由度均方和 F 樣本間樣本內總變異至於第二組資料, 我們所計算得到的表為變異數來源平方和自由度均方和 F 樣本間樣本內總變異

31 gretl 中三個母體平均數的假設檢定 1. 開啟 gretl, 點選工具列上的檔案 (F) 開啟資料檔 (O) 開啟舊檔 (U), 選擇已儲存的 Excel 檔案 anova data.xls; 在檔案中,X 包含來自第一組三個樣本的 15 個樣本觀察值, sample 包含以標示樣本觀察值來自的樣本 ; 2. 點選 gretl 視窗工具列上的模型 (M) 其他線型模型 (I) (ANOVA) 已進入 gretl: 設定模型視窗 ; 3. 點選視窗右邊顯示的 X, 之後點選 Response variable 下方的右方箭頭, 即可見箭頭右方的空格中出現 X; 4. 點選視窗右邊顯示的 sample, 之後點選 Treatment variable 下方的右方箭頭, 即可見箭頭右方的空格中出現 sample; 5. 點選確定, 即可得到 gretl: (ANOVA) 的視窗, 其中包含結果,

32 gretl 中的結果, response = X, treatment = sample: Sum of squares 自由度 Mean square Treatment Residual Total F(2, 12) = / = [p value1.59e 018] Level n mean 標準差 Grand mean =

33 上海 A 股是否存在星期效應? 1. 開啟 gretl, 點選工具列上的檔案 (F) 開啟資料檔 (O) 開啟舊檔 (U), 選擇已儲存的 Excel 檔案 China ASHARE.xls; 2. 點選 gretl 視窗工具列上的模型 (M) 其他線型模型 (I) (ANOVA) 已進入 gretl: 設定模型視窗 ; 3. 點選視窗右邊顯示的 rsh, 之後點選 Response variable 下方的右方箭頭, 即可見箭頭右方的空格中出現 rsh; 4. 點選視窗右邊顯示的 dweekday, 之後點選 Treatment variable 下方的右方箭頭, 即可見箭頭右方的空格中出現 dweekday; 5. 點選確定, 即可得到 gretl: (ANOVA) 的視窗, 其中包含結果,

34 gretl 中的結果, response = rsh, treatment = dweekday: Sum of squares 自由度 Mean square Treatment Residual Total F(4, 4267) = / = [p value0.0221] Level n mean 標準差 Grand mean =

35 上海 A 股是否存在月份效應? 1. 開啟 gretl, 點選工具列上的檔案 (F) 開啟資料檔 (O) 開啟舊檔 (U), 選擇已儲存的 Excel 檔案 China ASHARE.xls; 2. 點選 gretl 視窗工具列上的模型 (M) 其他線型模型 (I) (ANOVA) 已進入 gretl: 設定模型視窗 ; 3. 點選視窗右邊顯示的 rsh, 之後點選 Response variable 下方的右方箭頭, 即可見箭頭右方的空格中出現 rsh; 4. 點選視窗右邊顯示的 Month, 之後點選 Treatment variable 下方的右方箭頭, 即可見箭頭右方的空格中出現 dweekday; 5. 點選確定, 即可得到 gretl: (ANOVA) 的視窗, 其中包含結果,

36 gretl 中的結果, response = rsh, treatment = dweekday: Sum of squares 自由度 Mean square Treatment 0, , Residual 2, , Total 2, , F(11,4260) = 0, /0, = 1,09636[p value0,3595]

37 gretl 中的結果 Level n mean 標準差 , , , , , , , , , , , , , , , , ,66835e-005 0, , , , , , , Grand mean = 0,

38 ANOVA 檢定兩母體平均數相等對於 H 0 : µ X = µ Y 的檢定, 檢定統計量 x t xn ȳ m = n ȳ m ( Sp n m) 其中 x n = 1 n S 2 p = S 2 x = n x i, i=1 ȳ m = 1 m m j=1 1 [ (n 1)S 2 n+m 2 x +(m 1)Sy] 2 1 n (x n 1 i x n ) 2, Sy 2 = 1 m 1 i=1 y j m (y j ȳ m ) 2. j=1 It is going to be proved that the statistic from ANOVA 2

39 MSB = SSB/(k 1) = n( x n x) 2 +m(ȳ m x) 2 = n[ x n (n x n +mȳ m )/(n+m)] 2 +m[ȳ m (n x n +mȳ m )/(n+m)] 2 [ ] 2 [ ] 2 (n+m) xn n x n mȳ m (n+m)ȳm n x n mȳ m = n +m n+m n+m [ ] 2 [ ] 2 m xn mȳ m nȳm n x n = n +m n+m n+m = nm2 ( x n ȳ m ) 2 +mn 2 ( x n ȳ m ) 2 (n+m) 2 = nm( x n ȳ m ) 2 n+m = nm( x n ȳ m ) 2 n+m nm = ( x n ȳ m ) 2 1 n + 1 ; m

40 Combining MSW = SSW/(n+m 2) Thus, the test statistic = [(n 1)S 2 x +(m 1)S 2 y]/(n+m 2) = S 2 p φ = MSB MSW = ( x n ȳ m) 2 1 n + 1 m S 2 p = ( x n ȳ m ) ( 2 Sp = 1 [t xn ȳ m ] n m) 2.

的目的的目的在於對統計分析所給定的先驗假設條件進行檢定, 以檢驗假設條件的適當性此假設條件包含 1. 分配形式的假設 : 例如在假設檢定中的常態分配假設 ; 2. 獨立性的假設 : 例如在兩個母體平均數及變異數假設檢定中的兩母體相互獨立的假設 ;

的目的的目的在於對統計分析所給定的先驗假設條件進行檢定, 以檢驗假設條件的適當性此假設條件包含 1. 分配形式的假設 : 例如在假設檢定中的常態分配假設 ; 2. 獨立性的假設 : 例如在兩個母體平均數及變異數假設檢定中的兩母體相互獨立的假設 ; 第十六章 : : 卡方檢定 Mei-Yuan Chen Department of Finance National Chung Hsing University February 19, 2013 的目的的目的在於對統計分析所給定的先驗假設條件進行檢定, 以檢驗假設條件的適當性此假設條件包含 1. 分配形式的假設 : 例如在假設檢定中的常態分配假設 ; 2. 獨立性的假設 : 例如在兩個母體平均數及變異數假設檢定中的兩母體相互獨立的假設