數學傳播 33 卷 2 期, pp. 27-47 如何計算圓錐曲線的切線 羅驥韡 計算圓錐曲線的切線方程式, 一直是個難題, 尤其是對一般高中生的程度來說, 更何況針 對不同的圓錐曲線 ( 橢圓 拋物線 雙曲線等 ) 而言, 又有不同的切線公式, 感覺上既不統一又 難以記憶, 所以我在這裡要介紹一種算法, 一種統一的算法, 讓你不管面對何種圓錐曲線, 都可 以直接應用的公式 圓錐曲線方程式 在座標平面上, 我們知道, 不管是哪一種圓錐曲線, 都可以表示為以下的形式 : 例如 : ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 (1) 橢圓 : x2 4 + y2 1 = 1, 我們可以寫成 : x 2 + 4y 2 4 = 0 (2) 拋物線 : y 2 = 4(x 1), 我們可以寫成 : y 2 4x + 4 = 0 (3) 雙曲線 : x2 1 y2 3 = 1, 我們可以寫成 : 3x 2 y 2 3 = 0 當然上面所舉的例子都是所謂的 標準式, 也 就是這些圓錐曲線在座標平面上的位置都是經過特 別安排的, 所以方程式會看起來特別漂亮簡潔 一般說來, 如果圓錐曲線沒有在 標準位置 的 話, 那麼它的方程式就會看起來有點複雜, 例如 : x 2 2xy + 3y 2 5x 2y + 1 = 0, 它的圖形會 像右圖一樣 如何判斷一條通過特定兩點的線是不是切線呢? 例題 1: 我在上面的圓錐曲線中, 再加入兩個點 A(3, 6) 與 B(10, 3), 那麼連接這兩點的直線到底是不是切線呢? 27
28 數學傳播 33 卷 2 期民 98 年 6 月 解答 : 要回答這樣的問題, 我們可以利用直線 的參數式來測試看看, 到底這個直線與圓錐曲線有 幾個交點, 以下我們就來計算看看 : 首先, 通過 AB 兩點的直線參數式為 : { x = 3 + 7t y = 6 3t 我們將這組點座標代入圓錐曲線方程式 x 2 2xy + 3y 2 5x 2y + 1 = 0, 得到 : (3 + 7t) 2 2(3 + 7t)(6 3t) 2 5(3 + 7t) 2(6 3t) + 1 = 0 化簡得 : 118t 2 161t + 55 = 0 計算它的判別式可以得到 : (161) 2 4(118)(55) = 33 < 0 所以由判別式小於零, 我們可以知道上述的直線與圓錐曲線沒有任何交點 ( 雖然圖形上看起來 好像 切到, 但事實上, 精確的計算告訴我們並沒有 ) 一般說來, 要判斷一條通過特定兩點的線是不是切線, 都可以利用上述的方法來達成 既然這個方法這麼好用, 那麼我們何不利用這樣的思考模式, 發展出一些好用的公式或判斷的法則呢? 沒錯! 這正是我們這篇文章的目的, 所以我們就繼續往下探索看看吧! 探索切線的公式或準則 假設直線通過 A(x 1, y 1 ) B(x 2, y 2 ) 兩點, 圓 錐曲線為 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0, 那 麼我們利用上述同樣的方法來計算看看, 直線參數 式與圓錐曲線之間, 有沒有任何交點 首先, 直線參數式為 : { x = x1 + (x 2 x 1 )t y = y 1 + (y 2 y 1 )t
如何計算圓錐曲線的切線 29 然後, 我們將這組座標代入圓錐曲線方程式, 得到 : a[x 1 + (x 2 x 1 )t] 2 + b[x 1 + (x 2 x 1 )t][y 1 + (y 2 y 1 )t] + c[y 1 + (y 2 y 1 )t] 2 +d[x 1 + (x 2 x 1 )t] + e[y 1 + (y 2 y 1 )t] + f = 0 如果我們將上面的計算式整理成 t 的二次式, 會得到 : [a(x 2 x 1 ) 2 + b(x 2 x 1 )(y 2 y 1 ) + c(y 2 y 1 ) 2 ] t 2 +[2ax 1 (x 2 x 1 )t]+bx 1 (y 2 y 1 )+by 1 (x 2 x 1 )+2cy 1 (y 2 y 1 )+d(x 2 x 1 )+e(y 2 y 1 )] t +[ax 2 1 + bx 1y 1 + cy1 2 + dx 1 + ey 1 + f] = 0 當然, 如果我們要計算這個二次式到底有沒有解, 還要計算它的判別式, 這時你或許會想 : 天啊! 它的係數已經如此複雜了, 我們竟然還想去計算它的判別式? 就算我們真的花了九牛二虎之力把它算出來了, 難道我們還會想去記憶它或應用它嗎? 的確, 我們是遇上了瓶頸, 我們遇到變數符號太多太長 複雜難以處理的窘境 然而, 正是因為面對這樣的窘境, 才讓數學家了解到 : 必須開發新的符號與新的運算規則, 讓我們可以繞過複雜計算的深淵, 繼續邁向推理解題的大道 以下我們就來介紹這個新的利器 開發新的運算符號 首先, 我們先來介紹一種 表格式乘積加總法 : 在左邊的表格中, 2 所在的那一橫列與 3 所在的那一直行, 對到了數字 5, 這時我們規定 : 2 3 5 要乘起來, 也就是會得到 2 3 5 = 30 我們在左表中, 又多放了一些數字上去, 現在我們要計算 2 3 5 和 1 4 6, 並把它們加總起來, 所以其實我們要計算的是 : 2 3 5 + 1 4 6 = 30 + 24 在這個例子中, 我們填上所有的數字, 並利用上面說明的方式將所有的乘積全部加起來 首先, 我們先將左側的數字 0, 1, 2 和上側的數字 1, 3, 4 乘到格子裡, 可以得到右表中的數字 : 0 0 0 0 24 24-8 30 0
30 數學傳播 33 卷 2 期民 98 年 6 月 最後, 我們只要將表格中所有的數字加起來, 那麼所得到的數字就是我們想要計算的總和, 也就是 : 24 + 24 8 + 30 = 70 這就是我們所說的 表格式乘積加總法 當然, 如果你學過 矩陣 乘法, 你會知道我們這裡所謂的 表格式乘積加總法, 其實可 以用矩陣來表示 例如 : 上面所舉的最後一個例子, 可以利用矩陣乘法 : 1 2 7 1 [0 1 2] 0 8 6 3 來表示 4 5 0 4 不過, 如果你沒學過矩陣, 那也沒關係, 請繼續看我們以下的討論就可以了 我們這裡為什麼要介紹這樣 怪異的加總法 呢? 主要是因為這種加總法剛好跟圓錐曲線 的方程式有某種巧妙的連結 請看以下的例子 : 在左表中, 如果我們運用 表格式乘積加總法, 那麼我們會得到 : x 2 2xy + 8y 2 + 3x + 11y + 0 請讀者注意看 : 這剛好是圓錐曲線方程式 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 等號左邊的形式, 這也正是為什麼我們要介紹這種加總法的原因 b 如果我們在表格中設定了像左表一樣的數字 ( 請注意裡面的 2 d 2 e 2 ), 那麼我們就會得到與圓錐曲線一般式 ( 等號左邊 ) 一模一樣的形式 : ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f 最後, 為了靈活運用這樣的計算法, 我們把最通用的形式寫出來, 並且徹底研究這種運算法的規則, 才能順利地用於後面的解題推理 中 但是, 我們總不能每次都用畫表格的方式來表現, 所以在這裡 我們假設 : a b c M = d e f P = (x 1, y 1, z 1 ) Q = (x 2, y 2, z 2 ) g h i 並且, 我們規定新的符號 : [P, Q] M
就代表左表所表示的 表格式乘積總和, 也就是 : 如何計算圓錐曲線的切線 31 [P, Q] M = ax 1 x 2 + bx 1 y 2 + cx 1 z 2 +dy 1 x 2 + ey 1 y 2 + fy 1 z 2 +gz 1 x 2 + hz 1 y 2 + iz 1 z 2 新符號的定義 [P, Q] M = x 2 y 2 z 2 x 1 a b c y 1 d e f z 1 g h i = ax 1 x 2 + bx 1 y 2 + cx 1 z 2 +dy 1 x 2 + ey 1 y 2 + fy 1 z 2 +gz 1 x 2 + hz 1 y 2 + iz 1 z 2 究竟這樣的新符號有什麼漂亮的運算規則呢? 請看以下的說明 : 新符號的運算性質 假設我們除了上述的新符號之外, 我們也引用一般的 向量加法 與 純量積 的運算概念, 也就是下列的運算規則 : (1) 若 P = (x 1, y 1, z 1 ), Q = (x 2, y 2, z 2 ), 則 P + Q 代表 (x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 ) (2) 若 P = (x, y, z), t 為實數, 則 tp 代表 (tx, ty, tz) 那麼, 我們所使用的新符號就會有以下的運算規則 : 假設 P = (x 1, y 1, z 1 ) Q = (x 2, y 2, z 2 ) R = (x 3, y 3, z 3 ), t 為實數, 則有 (1) 加法分配律 : [P + Q, R] M = [P, R] M + [Q, R] M 或 [P, Q + R] M = [P, Q] M + [P, R] M (2) 純量積 : [tp, Q] M = t[p, Q] M = [P, tq] M
32 數學傳播 33 卷 2 期民 98 年 6 月 一般而言, 交換律 並不成立, 也就是 [P, Q] M = [Q, P] M 通常是錯的, 但如果 M 是 對稱 的, 那麼交換律也會是正確的 但我們說 M 是 對稱 的, 指的是什麼意思呢? 在這裡 我舉個例子 : 左表中, 數字 1 4 7 所在的位置, 我們術語上稱為矩陣的 主對 角線, 在這主對角線的兩側的 格子對 ( 如圖中紅色的箭頭所指 的三對格子 ), 如果都各自相同, 那麼我們就說 : 這個矩陣是 對 稱 的 左表中, 如果我們假設 : a b/2 d/2 M = b/2 c e/2 P = (x, y, 1) d/2 e/2 f 那麼, 圓錐曲線的方程式 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 就可以寫成 : [P, P] M = 0 這裡的 M 就是一個典型的 對稱矩陣 從現在開始, 我們將這 個矩陣稱為圓錐曲線的 係數矩陣 因此, 如果 M 是 對稱 的, 那麼我們的新符號就擁有了 交換律 : (1) [P, Q] M = [Q, P] M 以上所說的運算性質, 會在下面的討論中一直出現, 但我們將這些性質的證明放到本文最後的附錄中, 因為雖然這些證明很重要, 但並不是我們要討論的重點, 所以介紹完新的符號後, 我們趕快回到原來的問題上吧! 我們原來的問題是 : 如果直線通過 A = (x 1, y 1 ) B = (x 2, y 2 ) 兩點, 那麼它與圓錐曲線 : ax 2 + bxy c y 2 + dx + ey + f = 0 到底會不會相交? 在什麼條件下, 它才會變成切線? 豁然開朗的切線準則 我們前面有提到, 如果點 (x, y) 在圓錐曲線 ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f = 0 上面, 那麼 這個點座標代入方程式當然會等於零, 如果我們用 表格式乘積加總法 來表示的話, 那會得到 :
如何計算圓錐曲線的切線 33 = 0 所以, 如果 A 的座標為 (x, y), 那麼我們希望用 A 來代表 (x, y, 1), 這樣的話, 我們就可以用 更簡短的方式來表示一個點是否在圓錐曲線上了, 也就是 : A(x, y) 在 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 上 可以寫成 : a b/2 d/2 = [A, A] M = 0, 其中 M = b/2 c e/2 d/2 e/2 f (1) 我們就不妨把 A(x, y, 1) 稱為是 A(x, y) 的 擴充座標 吧! ( 註 : 比較正式的說法是 齊 次座標 ) 所以假設我們說 B 點的座標為 (4, 5), 那麼 B 就表示是 (4, 5, 1), 其餘請以此類推 好! 我們 已經做完所有的準備工作了, 現在讓我們正式開始繼續切線的推理工作吧!... 通過 A = (x 1, y 1 ) B = (x 2, y 2 ) 兩點的直線參數式為 : { x = x1 + (x 2 x 1 )t = (1 t)x 1 + tx 2 y = y 1 + (y 2 y 1 )t = (1 t)y 1 + ty 2 我們也可以寫成這樣 : [ ] x = (1 t) y [ x1 y 1 ] ] + t [ x2 y 2 如果我們把 (x, y) 稱為 P, 那麼會有 : P = (1 t)a + tb 事實上, 對於 擴充座標 P(x, y, 1) 來說, 下面的式子也是對的 : P = (1 t)a + tb
34 數學傳播 33 卷 2 期民 98 年 6 月 也就是 : 是對的 ( 請讀者自行檢驗 ) x x 1 x 2 y = (1 t) y 1 + t y 2 1 1 1 現在, 如果我們要檢查 AB 直線上的動點 P 是不是在圓錐曲線上, 我們只要檢查 : [P, P] M = 0 對不對就好 但因為 : P = (1 t)a + tb 所以, 我們要檢查 : [(1 t)a + tb, (1 t)a + tb] M = 0 有沒有解? 接著我們整理 ( 利用新符號的運算性質 ) : [(1 t)a + tb, (1 t)a + tb] M = (1 t) 2 [A, A] M + 2t(1 t)[a, B] M + t 2 [B, B] M ) ( ) ) = ([A, A] M 2[A, B] M + [B, B] M t 2 + 2[A, A] M + 2[A, B] M t + ([A, A] M 之前, 我們對這個 t 的二次式有沒有解束手無策, 現在有了新的符號幫忙下, 如虎添翼, 我們不 僅用新符號重新算出這個二次式, 這一次我們更要計算出它的判別式, 請繼續看下面判別式的 計算 : ( 2[A, A] M + 2[A, B] M ) 2 4 ([A, A] M 2[A, B] M + [B, B] M )([A, A] M ) ) = 4 ([A,B] 2M [A,A] M[B,B] M 從上式, 我們得到一個非常重要的結果, 也是本文最主要的結果, 當 : [A,B] 2 M [A,A] M [B,B] M = 0 時 判別式為零, 此時意味著 : 直線 AB 與圓錐曲線的交點只有一個, 這個交點就是切點, 此直線就 是切線 因為這個 切線準則 太重要了, 所以我們重新再敘述一遍 :
如何計算圓錐曲線的切線 35 切線準則 若通過 A(x 1, y 1 ) 與 B(x 2, y 2 ) 的直線為圓錐曲線 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 的切線, 則 擴充座標 A(x 1, y 1, 1) B(x 2, y 2, 1) 會擁有以下的切線準則 : (1) [A,B] 2 M [A,A] M[B,B] M = 0. 之前我們完全無法處理的判別式, 現在竟然化為如此簡短的數學式, 可見新符號的威力真是驚人! 切線準則的應用 現在讓我們舉幾個例子來看看如何使用這個超強的 切線準則 例題 2: A(3, 2) 在雙曲線 x 2 y 2 + x 2y 12 = 0 上 請問經過 A 點的切線方程式是什麼? 解答 : 假設 P(x, y) 為切線上的一點, 那麼通過 A 與 P 的直線, 事實上就是切線本身, 既然如此, 那麼 A 與 P 就會符合 切線準則 : [A,P] 2 M [A,A] M[P,P] M = 0 但因為 A 本身在雙曲線上, 所以 : [A,A] M = 0 因此, 我們可以得到 : [A,P] M = 0 也就是 : 經整理可得 : 7 2 x + y 17 2 = 0 或者你也可以寫成 7x + 2y = 17, 這就是經過 A 點的切線方程式...
36 數學傳播 33 卷 2 期民 98 年 6 月 經過上面這個例題的探討, 我們發現一個漂亮的現象, 那就是 : 過切點的切線方程式 若 A(x 0, y 0 ) 在圓錐曲線 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 上, 則通過 A 點的切線方程式為 : [A,X] M = 0, 其中 X = (x, y, 1) 也就是切線方程式為 : 現在, 我們將這個公式應用到所有圓錐曲線的標準式上, 你會發現 : 所有我們熟知的標準式切線 公式 ( 如果你曾經記憶過的話 ), 會一一出現 請看 : 下表中, 我們假設 (x 0, y 0 ) 為圓錐曲線上的一點 類型標準式計算切線所得切線方程式 橢圓 x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 x 0 a 2 x + x 0 b 2 y = 1 拋物線 ( 上下型 ) x 2 = 4cy x 0 x = 2c(y + y 0 ) 拋物線 ( 左右型 ) y 2 = 4cx y 0 y = 2c(x + x 0 )
如何計算圓錐曲線的切線 37 類型標準式計算切線所得切線方程式 雙曲線 ( 左右型 ) x 2 a 2 y2 b 2 = 1 x 0 a 2 x x 0 b 2 y = 1 雙曲線 ( 上下型 ) x2 a 2 + y2 b 2 = 1 x 0 a 2 x + x 0 b 2 y = 1 雖然上面我們列出了所有的標準式的切線公式, 但我們這樣做只是為了要向你說明 : 我們的 切線準則 是通用的, 你可以用於任一類型的圓錐曲線, 而不是要你去背誦上面這些看起來都不太一樣的切線公式... 上面我們一直把重心擺在解決如何計算圓錐曲線上一點的切線, 但是如果要計算通過圓錐曲線外一點的切線時, 那麼又該如何呢? 請看下面的例子 : 例題 3: 請計算通過 A(1, 1), 並與橢圓 x 2 + 2y 2 = 1 相切的切線方程式 注意 : A 點在橢圓外! 所以會有兩條切線 解答 : 假設 P(x, y) 為切線上的一點, 那麼根據 切線準則, 我們可以得到 : [A,P] 2 M [A,A] M[P,P] M = 0. 其中 : [A,P] M = x y 1 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 1 = x + 2y 1 [A,A] M = 1 2 + 2 1 2 1 = 2 註 : 就是將 A(1, 1) 直接代入 x 2 + 2y 2 1 [P,P] M = x 2 + 2y 2 1 註 : 就是將 P(x, y) 直接代入 x 2 + 2y 2 1 因此, (x + 2y 1) 2 2(x 2 + 2y 2 1) = 0
38 數學傳播 33 卷 2 期民 98 年 6 月 整理可得 : x 2 4xy + 2x + 4y 3 = 0 最後我們作因式分解 ( 我們知道答案是兩條直線, 所以應該可以分解成兩條直線方程式 ) : ( 4x + 4)y + (x 2 + 2x 3) = 0 4(x 1)y + (x 1)(x + 2) = 0 (x 1)( 4y + x 2) = 0 因此 : x 1 = 0 或 x 4y + 3 = 0 最後這兩個方程式都是直線方程式, 而且也是 P(x, y) 必須符合的條件, 所以這兩條直線就是 切線! 例題 4: 請計算通過 A(2, 3), 並與拋物線 x 2 = 4y 相切的切線方程式 注意 : A 點在 拋物線外! 所以會有兩條切線 解答 : 假設 P(x, y) 為切線上的一點, 那麼根據 切線準則, 我們可以得到 : [A,P] 2 M [A,A] M[P,P] M = 0 其中 : [A,P] M = x y 1 2 1 0 0 3 0 0 2 1 0 2 0 [A,A] M = 2 2 4( 3) = 16 [P,P] M = x 2 4y 因此, = 2x 2y + 6 (2x 2y + 6) 2 16(x 2 4y) = 0 整理可得 : 3x 2 + 2xy y 2 6x 10y 9 = 0 最後我們作因式分解 : 3x 2 + (2y 6)x (y 2 + 10y + 9) = 0 3x 2 + (2y 6)x (y 1)(y + 9) = 0 [x + (y + 1)][3x (y + 9)] = 0
如何計算圓錐曲線的切線 39 因此 : x + y + 1 = 0 或 3x y 9 = 0 最後這兩個直線方程式, 就是切線!... 一般說來, 如果一個點在圓錐曲線之外, 那麼它會擁有兩條切線, 但還有另外一條線跟這個點也有密切的關係, 這條線叫做 極線, 請看以下的探討 : 極線的探討 例題 5: 已知 A(3, 2) 在橢圓 x 2 + 2y 2 4y = 4 的外面, 且通過 A 點的切線 ( 有兩條 ) 與橢圓分別交於 C D 兩點, 請計算出 CD 直線的方程式 解答 : 因為 AC 直線與 AD 直線都是切線, 所以由 切線準則 知 : [A,C] 2 M [A,A] M[C,C] M = 0 [A,D] 2 M [A,A] M[D,D] M = 0 但因為 C D 都在橢圓上, 所以 : [C,C] M = 0 [D,D] M = 0 因此我們可以知道 : [A,C] M = 0 [A,D] M = 0 雖然目前我們還不知道 C D 的點座標, 但由這兩個方程式, 我們知道 C D 同時符合下面這個方程式 : [A,X] M = 0, 其中 X = (x, y, 1) 然而這個方程式本身就是一個直線方程式, 請看 : [A,X] M = x y 1 3 1 0 0 2 0 2 2 1 0 2 4 = 3x + 2y 8
40 數學傳播 33 卷 2 期民 98 年 6 月所以, 既然 C D 同時符合這個方程式, 那麼 CD 直線方程式當然就是 : 3x + 2y = 8... 經由上面這個例題的探討, 我們得到一條特殊的直線, 這條直線我們稱為 極線, 這是一條通過兩切點的直線 我們將這個重要的結果整理如下 : 極線公式 若 A(x 0, y 0 ) 在圓錐曲線 as 2 + bxy + cy + dx + ey + f = 0 外面, 通過 A 點的兩條切線交圓錐曲線於 C D 兩點, 則我們稱 CD 直線為 A 點的 極線, 且其方程式為 : [A,X] M = 0, 其中 X = (x, y, 1) 也就是極線方程式為 : 此時, 我們也稱 A 點為 CD 直線的 極點 如果你還記得前面的 過切點的切線方程式 公式的話, 你會發現 : 這兩個公式不是一模一樣嗎? 是的, 的確沒錯! 是一模一樣 當 A 點在圓錐曲線外時, 這個公式會產生 極線, 但當 A 點到達圓錐曲線上時, 它就會變成 切線! 其實, 透過上面的極線公式, 我們可以得到一種特殊的對應關係, 也就是一個 極點 對應到一條 極線, 更特殊的是 : 一個 切點 對應到一條 切線, 這種對應關係非常有意思, 所以我們打算繼續往下探討, 但是因為以下的探討需要用到 矩陣 與 齊次座標 的觀念, 因此如果你沒有學過這些觀念, 那麼也許你只能先跳過下面這一段! 以下的討論, 僅提供給學過 矩陣 與 齊次座標 的讀者! 極點與極線 切點與切線的探索 述一遍 : 在更深入討論之前, 我們先利用 矩陣 與 齊次座標 的語言, 再將前面的結果重新敘
如何計算圓錐曲線的切線 41 假設 : A = x 0 y 0 z 0 為座標平面上定點 A 的齊次座標 a b/2 d/2 M = b/2 c e/2 為圓錐曲線的係數矩陣 d/2 e/2 f x X = y 為座標平面上動點 X 的齊次座標 z 由前面的討論, 我們有下面的結果 : (1) 若 A 在圓錐曲線上, 則 A T MA = 0 (2) 若 A 為極點, 則 A T MX = 0 為極線方程式, 我們也可以說 A T M 為極線的齊次座標 (3) 若 A 為切點, 則 A T MX = 0 為切線方程式, 我們也可以說 A T M 為切線的齊次座標 若我們假設 u = A T M 是一條極線 ( 或切線 ) 的齊次座標, 則我們可以推論 : u = A T M um 1 = A T A = (um 1 ) T u T = M 1 u T 所以我們有以下結果 : (1) 若 u 為極線 ( 切線 ) 齊次座標, 則 M 1 u T 為極點 ( 切點 ) 齊次座標 如果 u 是切線齊次座標的話, 那麼 M 1 u T 就是切點, 也就是說 M 1 u T 在圓錐曲線上, 因此我們可以推得 : (M 1 u T ) T M(M 1 u T ) = 0 也就是 : um 1 u T = 0 所以我們又有了一個很特殊的結果 : 切線齊次座標方程式 如果 u 是切線齊次座標的話, 那麼 u 符合方程式 : um 1 u T = 0
42 數學傳播 33 卷 2 期民 98 年 6 月 這個 切線齊次座標方程式 有很漂亮的應用, 但在應用它之前, 我想先說說 M 與 M 1 a b/2 d/2 M = b/2 c e/2 可以說是圓錐曲線的 齊次座標, 怎麼說呢? 且讓我來舉的例子 : d/2 e/2 f 比方說, 如果我們把橢圓方程式 x 2 +2y 2 4y=4 乘以 3 倍, 會得到 3x 2 + 6y 2 12y = 12, 但它還是同一個橢圓方程式啊! 也就是說 : 兩個 係數矩陣 1 0 0 3 0 0 0 2 2 與 0 6 6, 它們的作用其實是一模一樣的! 0 2 4 0 6 12 所以, 如果兩個 係數矩陣 只差一個 ( 非零的 ) 倍數, 那麼它就會代表同一個圓錐曲線, 這也 就是為什麼我們說 M 算是圓錐曲線的 齊次座標 了! 因此, 雖然 切線齊次座標方程式 寫成 um 1 u T = 0, 但因為 M 1 與 adj(m) 只差 一個倍數, 所以我們在真正計算的時候, 其實直接利用 adj(m) 就可以了 註 : adj(m) 是 M 的 古典伴隨矩陣 (classical adjoint) 也就是 : e f + h i a b c 若 M = d e f, 則 adj(m) = b c h i g h i b c + e f 下面我們就來看看如何應用這個 切線齊次座標方程式! d f g i a c + g i a c d f d e + g h a b g h a b + d e T 切線齊次座標方程式的應用 例題 6: 請計算出橢圓 x 2 + 2y 2 4y = 4 上斜率為 2 的切線 ( 有兩條 ) 解答 : 因為切線斜率為 2, 我們可以將切線設為 : 2x y + k = 0, 也就是我們可以將切線的 齊次座標 ( 也就是它的係數 ) 設為 : u = [2 1 k]
如何計算圓錐曲線的切線 43 再來, 經由橢圓的 係數矩陣 : 1 0 0 M = 0 2 2 0 2 4 我們可以計算出 : 12 0 0 M 1 adj(m) = 0 4 2 0 2 2 因為 u 為切線的 齊次座標, 所以符合 : um 1 u T = 0, 因此我們可以得到 : 整理得 : k 2 2k 26 = 0 k = 1 ± 3 3 因此我們所求的切線為 : 2x y + 1 ± 3 3 = 0... 從上面這個例子可以看到, 利用 M 1 ( 或者 adj(m)), 我們可以計算出已知斜率的切線方程 式 所以讓我們再看另一個例子來說明如何計算圓錐曲線標準式的切線 例題 7: 已知橢圓 x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 的切線斜率為 m, 請計算其方程式 解答 : 橢圓標準式的 係數矩陣 為 : 1/a 2 0 0 M = 0 1/b 2 0 0 0 1
44 數學傳播 33 卷 2 期民 98 年 6 月 所以 : 1/b 2 0 0 M 1 adj(m) = 0 1/a 2 0 0 0 1/a 2 b 2 假設切線方程式為 : mx y + k = 0, 也就是假設 u = [m 1 k], 因此根據 : 我們有 : 所以推得 : k 2 = a 2 m 2 + b 2 k = ± a 2 m 2 + b 2 um 1 u T = 0 m2 b 2 1 a 2 + k2 a 2 b 2 = 0 因此, 我們可以推得已知斜率的橢圓切線公式 : y = mx ± a 2 m 2 + b 2... 經由上面這個例子的啟發, 我們可以看得出來, 其實每個 標準式 的切線都可以利用相同的方 法計算出來 下面我們就列出所有圓錐曲線 ( 橢圓 雙曲線 拋物線 ) 標準式的切線公式 ( 如果 斜率是已知的話 ), 但詳細的計算過程, 請讀者自行驗證 已知斜率的切線公式類型標準式 M 計算 um 1 u T = 0 所得切線方程式 橢圓或雙曲線 x 2 A + y2 B = 1 y = mx ± Am 2 + B 拋物線 ( 上下型 ) x 2 = 4cy y = mx cm 2 拋物線 ( 左右型 ) y 2 = 4cx y = mx + c m
如何計算圓錐曲線的切線 45 當然, 跟前面一樣, 我們列出這個公式表, 並不是要讀者去背誦它, 我們的目的還是在展示最重 要的一個觀念 : 切線齊次座標方程式 是通用的, 而且它不是只能用在標準式而已喔! 下面我們再展示一個更神奇的例子給你看 如果我們不知道圓錐曲線本身的方程式, 但知道它 的某些切線方程式, 我們甚至可以反推出這個圓錐曲線是誰, 請看! 例題 8: 如右下圖, 我們連接 (1, 0), (0, 9) (2, 0), (0, 8), (9, 0), (0, 1) 等直線 假 設這些直線都是某個圓錐曲線的切線, 請問這個圓錐曲線的方程式是什麼? 解答 : 從右圖這些連接線的連接法, 我們可以知道它們的截距式為 : x 1 + y 9 = 1 x 2 + y 8 = 1. x 9 + y 1 = 1 它們可以統一寫成 : x m + y n = 1, 其中 m + n = 10 換句話說, 我們可以假設這些線的 齊次座標 為 : u = [u v 1], 其中 u = 1 m, v = 1 n 這樣一來, 因為 m + n = 10, 所以可以推得 : 1 u 1 v = 10 10uv + u + v = 0 而且如果這些線都是某個圓錐曲線的切線, 那麼它們會符合切線 齊次座標 的方程式 : um 1 u T = 0 但我們知道 : 10uv + u + v = 0, 所以可以推得 : 0 5 1/2 M 1 = 5 0 1/2 1/2 1/2 0
46 數學傳播 33 卷 2 期民 98 年 6 月 最後我們可以得到 : 1/4 1/4 5/2 M adj(m 1 = 1/4 1/4 5/2 5/2 5/2 25 1 1 10 1 1 10 10 10 100 也就是原來的圓錐曲線方程式為 : x 2 2xy+y 2 20x 20y+100 = 0 進一步的分析讓我們知道它是一個 拋物線, 如上圖... 附錄 ( 新符號運算性質的證明 ) 假設 P = (x 1, y 1, z 1 ) Q = (x 2, y 2, z 2 ) R = (x 3, y 3, z 3 ), t 為實數, 則有 (1) 加法分配律 : [P + Q, R] M = [P, R] M + [Q, R] M 或 [P, Q + R] M = [P, Q] M + [P, R] M (2) 純量積 : [tp, Q] M = t[p, Q] M = [P, tq] M 證明我們先證明加法分配律 假設 : M = a b c d e f g h i
如何計算圓錐曲線的切線 47 則 : [P + Q, R] M = x 3 y 3 z 3 x 1 + x 2 a b c y 1 + y 2 d e f z 1 + z 2 g h i = a(x 1 + x 2 )x 3 + b(x 1 + x 2 )y 3 + + i(z 1 + z 2 )z 3 = ax 1 x 3 + bx 1 y 3 + + iz 1 z 3 + ax 2 x 3 + bx 2 y 3 + + iz 2 z 3 x 3 y 3 z 3 x 3 y 3 z 3 = x 1 a b c y 1 d e f + x 2 a b c y 2 d e f = [P, R] M + [Q, R] M z 1 g h i z 2 g h i 另一邊的加法分配律請讀者自行驗證... 接下來, 我們再證明 純量積 [tp, Q] M = x 2 y 2 z 2 tx 1 a b c ty 1 d e f tz 1 g h i = atx 1 x 2 + btx 1 y 2 + + itz 1 z 2 = t(ax 1 x 2 + bx 1 y 2 + + iz 1 z 2 ) x 2 y 2 z 2 = t x 1 a b c y 1 d e f = t[p, Q] M z 1 g h i 另一邊的純量積也請讀者自行驗證... 參考文獻 1. Brannan, D. A., Esplen, M. F. and Gray, J. J., Geometry, Cambridge, p.166-173. 本文作者任教台北市立陽明高中數學科