101-1 寒假高二學藝活動數學作業 作業時數 :10 小時 1. ABC 中, B = 10, BD 為 ABC 之平分線, AB = 6, BC =,又 ABE = 90 ( 如圖 ),則: (1) BD =. () AE =.. 設等腰 ABC 中, B = 90,若 D 是 BC 的中點,則 : (1)tan BAD =. ()tan CAD =. sinα + sin β = 1. 設,求 cos α + cos β =. cosα + cos β = 0 4. 若點 P(sinθ cosθ, tanθ cosθ ) 在第三象限內,且 tanθ 為 x + x = 0 之一根,則 sin θ +sinθ cosθ cos θ =. 5. ABC 中, BC = a, CA = b, AB = c,若 log(a + b + c) + log(a + b c) = loga + logb,則 C 為 度. 6. ABC 中, AB =, AC = 6, BC = 1, (1) M 為 BC 上的中點, AM =. () A 的分角線交 BC 於 D, AD =. () 若 E 為 BC 上異於 B, C 的一點,且 AE =,求 BE 之長 =. 7. 在 ABC 中,已知 AB = 9, BC = 10, AC = 11,求: (1) 若 D 為 BC 中點,則 AD =. () ABC 之內切圓切 BC 於 E,則 AE =. 8. 設 x R, f (x) = + sinx + cosx sinx, (1) 令 t = sinx + cosx,請以 t 表示 f (x) =. () 求 f (x) 之最小值為. 9.cosα cosβ = 1, sinα + sinβ = 1,求 sin(α β ) =. 10. 自高為 h 之山頂,測得遠處地平線的俯角為 α,求地球之半徑為. 11. 設 sinx + siny = 1,則 cosx + cosy 的最大值為. 1. ABC 中,若 cosb = 4 5, cosc = 1 5, BC 邊上之高 AH,中線 AM,若 MH = 5,則: (1) AH =. () ABC 的面積 =. () AB =. 1. 設 0 < θ < 90 且 sinθ + cosθ =,則 sinθ + cosθ =. 14. 正 ABC 之邊長為 0,動點 P 自 A 往 B 移動, Q 點自 B 往 C 移動,若 P 之速度為 Q 之兩倍,求 PQ 之最小值.
15. 設四邊形 ABCD 內接於一圓且 AB = 1, BC =, CD =, DA = 4,則: (1) AC =. () 四邊形 ABCD 的面積為. 16. 設 ABC 滿足 (a + b c)(b + c a) = ( )ca,試求 tanb =. ( 其中 a, b, c 分別表 A, B, C 的對邊長 ) 17. 設 ABC 中, AB = 5, BC = 6, CA = 7,其內切圓切三邊 BC, CA, AB 於點 D, E, F,則: ABC (1) AD =. () 面積的比值 =. DEF 18. 設 sinθ cosθ = 4,則 sinθ + cosθ =. 19. 設 0 θ 180,則 y = 5cos θ + 7 之範圍為. 5cosθ 7 0. 三角形 ABC 中, h = 60, 5 a b h =, c = 65,求 h =. c ( h a, h b, h c,分別表過 A, B, C 的高 ) 1. 如圖, ABD = 90, AB = 5, BD = 10, AC = 4, BC =,則: (1)CD =. () ACD 面積 =.. 如下圖, 在坐標平面上, 設 C( 6, 1), 若一直線 L 通過 C 點, 分別交 x 軸, y 軸於 A, B 兩點, m BC = AB, 此直線 L 之斜率為 n, 其中 m, n 均為正整數且 m 與 n 互質, 則 m =.. 設 x R, 求 ( x 4) 5 ( x 4) 1 + + + + 之最小值為, 此時 x 值為. 4. 當平面上的點 ( x, y ) 之坐標 x 與 y 都是整數時, 稱點 ( x, y ) 為格子點. 數學家知道 : 坐標平面上三個頂點皆為格子點的三角形之面積可以用公式 as + bi + c 來表示, 其中 S 代表三角形三邊邊上的格子點數, I 是落在三角形內部 ( 不含邊上 ) 的格子點數, a, b, c 是固定的常數, 則 ( a, b, c ) =. 5. 在坐標平面上, 正方形 ABCD 的四個頂點坐標分別為 A(0, 1), B(0, 0), C(1, 0), D (1, 1). 設 P 為正方形 ABCD 內部的一點, 若 PDA 與 PBC 的面積比為 1:, 且 PAB 與 PCD 的面積比為 :, 則 P 點的坐標為.( 化成最簡分數 )
6. 在坐標平面上, 設 A 為直線 x y = 0上一點, B 為 x 軸上一點. 若線段 AB 的中點坐標為 7 (, 6), 則點 A 的坐標為, 點 B 的坐標為 7. 坐標平面上有二定點 A(1, ), B(, ) 及直線 L: x y+ = 0, 試在 L 上找一點 P 使得 PA + PB 的值最小, 其值為何? 此時 P 坐標為何? x+ y 18 0 8. 設 x, y Z 且 Px (, y ) 為滿足不等式組 x y 0的格子點, 則 P 共有 個 y + 0 9. 在 x, y 滿足 x 0, y 0, x+ y 1 0, x+ y 0 之條件下, 求 : (1) x+ y+ 之最大值與最小值. y 5 () 之最大值與最小值. x + () x + y + x+ 4y+ 5之最大值與最小值. 0. 滿足 ( x + y )( x + y 4) 0 之圖形, 其面積為. x + y 0 1. 滿足不等式組 之圖形, 並求其面積為. x 1 + y 0. 設某家運送公司有載重 4 噸的小貨車 7 輛, 載重 5 噸的大貨車 4 輛, 及 9 名司機. 現在該公司受託每天至少要運 0 噸的煤. 設載重 4 噸的小貨車需 x 輛, 載重 5 噸的大貨車需 y 輛, (1) 試寫出不等式組. () 試問這公司有幾種調度車輛的辦法?( 只考慮大貨車及小貨車之輛數 ) () 設小貨車開一趟要用 500 元, 大貨車卻要 800 元, 怎麼樣才能最節省? 運費最少多少元?. 有四條直線 L1: x y = 1, L : x+ y = 4, L:8x+ y = 10和 L : x=, 4 這四條直線圍出一個四邊形, 則此四邊形較短的對角線長為. 4. 線性函數 f ( x ) 滿足 1 < f (1) < 及 < f () < 4, 則 f () 的範圍為. x+ y 1 0 x + y 0 5. 在條件 的限制下, x 0 y 0 使 P= kx+ y+ 1在點 (4, 0) 有最大值, 則 k 的範圍為. 6. 右圖中 ABCDEF 正六邊形, 將各邊所延長形成一個六角星形. 令正六邊形所圍成之區域為 R 1, 斜線區域為 R, 設 f ( x, y) = 5x 4y, 則 f ( x, y ) 在 R 1上之最大值為, f ( x, y ) 在 R 上之最小值為. 7. 設一線性規劃的可行解區域為如右圖所示之正六邊形內部 ( 含邊界 ), 而目標函數為 y ax. 若已知 A 點為此目標函數取得最大值之唯一的點, 則 a 值的範圍要有限制. 若以不等式表示,
則 a 之範圍為. 8. 在一個牽涉到兩個未知量 x, y 的線性規劃作業中, 有三個限制條件. 坐標平面上符合這三個限制條件的區域是一個三角形區域. 假設目標函數 ax + by (a, b 是常數 ) 在此三角形的一個頂點 (19, 1) 上取得最大值 1, 而在另一個頂點 (1, 10) 取得最小值. 現因業務需要, 加入第四個限制條件, 結果符合所有限制條件的區域變成一個四邊形區域, 頂點少了 (19, 1), 新增了 (17, 1) 和 (16, 11). 在這四個限制條件下, 請選出正確的選項 : (1) ax + by 的最大值發生在 (17, 1) ()ax + by 的最小值發生在 (16, 11) () ax + by 的最大值是 0 (4) ax + by 的最小值是 7. 9. 設 AB 為圓的直徑, C 為 AB 上的一點使得 AC = BC, 並設 D 與 E 為圓周上的兩點使得 DC AB 且 DE 為圓的另一直徑. 試問 DCE 面積與 ABD 面積的比值為. 40. 設 Px (, y, ) 若所有滿足 log (1 + x + y ) 1+ log ( x+ y) 之 P 點所成圖形面積為 S 1, 滿足 10 10 log ( + x + y ) + log ( x+ y) 之 P 點所成圖形面積為 S, 則 S : S 1之比值為. 10 10 41. 設 P, A, B 為坐標平面上以原點為圓心的單位圓上三點, 其中 P 點坐標為 (1, 0), A 點坐標為 1 5 (, ), 且 APB 為直角, 則 B 點坐標為. 1 1 4. A(, ) 為圓 x + y = 5 內一點, 則 (1) 以 A 為中點之弦長為. () 以 A 為中點之弦的直線方程式為. 4. 過點 A (1, ) 的直線 L 將圓 ( x ) + y = 4分成兩個弧, 當劣弧所對的圓心角最小時, 直 線 L 的斜率為. 44. 將一光源置於點 P (1, 4), 則圓 ( x ) + ( y 1) = 1在 x 軸上的影子長多少? 45. 過直線 y = x 上的一點 A 作圓 ( x 5) + ( y 1) = 的兩條切線 L1, L, 當 L1, L, 對直線 y = x 對稱時, L1與 L之銳夾角 θ 為. 46. 在坐標平面上, 一圓通過點 (, 7), 且與直線 4x+ y 14= 0相切於點 ( 1, 6), 若此圓的 方程式為 x + y + ax + by + c = 0, 則 a =, b =, c =. 47. 設 Γ : x + y 10x+ 9= 0為坐標平面上的圓. 試問下列哪些選項是正確的?( 多選 ) (1) Γ 的圓心坐標為 (5, 0) () Γ 上的點與直線 L:x+ 4y 15= 0的最遠距離等於 4
() 直線 L 1 : x+ 4 y+ 15 = 0與 Γ 相切 (4) Γ 上恰有兩個點與直線 L :x+ 4y = 0 的距離等於 (5) Γ 上恰有四個點與直線 L :x+ 4y 5= 0距離等於 48 已知向量 a, b, 且 AB = a + b, BC = 5 a + 6 b, CD = 7 a b 是 (1)A, B, D.()A, B, C.()B, C, D.(4)A, C, D. 49. 已知等差數列 a n 的前 n 項和為 S n, 若 OB = a1 OA+ a00 OC S 00 =., 則一定共線三點 且 A, B, C 三點共線, 則 50. 設 A(1, 5), B(1, 7), 若 AB 與直線 y = mx 5 交於 P 點且 AP : BP = 7:1, 則 m =., 若向量 4 a, 4 b c, ( a c ), d 其首 51. 設 a = (1, ), b = (, 4), c = ( 1, ) 尾相接恰能圍成四邊形, 則 d =. 5. 設平面上已有兩點 (0, 0), ( a, b ), 其中 a b而且 a 與 b 皆不為零. 現在要選第三點, 使得以此三點為頂點之三角形為等腰, 則下列哪些點可選為第三點? (1) (, b a )() ( b, a) () ( a b, b a) (4) (0, b ) (5) ( a, 0).( 多選 ) 5. 某別墅有一個由四塊正方形的玻璃拼成的田字形窗戶, 窗外路燈的光線 ( 假設路燈是一個點光源 ) 透過窗戶在地板上形成一個變形的田字形光影. 在地板上建置一個直角坐標系, 發現田字形光影外框的四個頂點的坐標分別為 ( 4, 40), (16, 0), (16, 40) 和 (8, 16). 求田字形窗戶的中心投影在地板上的坐標. 54. ABC 中, AB = 4, AC = 且 AB + AC = 5 55. 設 a =, b = 4, 則 ABC 面積 =., a 與 b 之夾角為 60, c = a + t b (t R ), c 之最小值 =.() 若 c 平分 a 與 b 之夾角, 則 t =. 滿足 a + b + c = 0 且 ( a b ) c, a b, 若 a = 1 (1) 求 56. 設向量 a, b, c, 則. a + b + c = 57. 設 O 為 ABC 的外心, 外接圓半徑為, A = 60 58. 兩向量以 a 和 b 表示, 並以 a b o, B = 45 o, 則 OA + OB + OC =. 表示 a 和 b 的內積, 以 a, b 分別表示 a 和 b 的長度, 試問下列哪一個選項表示 : 三角形兩邊中點的連線段與第三邊平行, 且其長度為第三邊之半?
1 1 1 = 0() ( a b = a b )() a b a b a + b a + b + a b a b = a a + b b a + b a + b. a = b =, 下列向量何者可以平分 a 與 b 之夾角? 1 () a + b () 16 a + b (4) (4, ) (5) a + b. (1) a b (4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5) 59. 設 (, 4), (6, 8) (1) a b 60. 坐標平面上有一質點沿方向 u = (1, ) 前進. 現欲在此平面上置一直線 L, 使得此質點碰到 L 時依光學原理 ( 入射角等於反射角 ) 反射, 之後沿方向 = (, 1) 前進, 則直線 L 的方向 向量應為 w = 61. 設 x, y R 且 5x+ 1y 7= 0, 則 ( x ) ( ) + y 之最小值 =. 6. 設 x, y R 且 x + y 4x+ 6y+ 1= 0, 則 x+ 4y之最大值 =, 最小值 =. 6. 設 Aa (, 1), B(, b), C (, 4) 為坐標平面上三點, 而 O 點為原點. 若向量 OA 與 OB 上的正射影相同, 則 a 與 b 滿足的關係式為. 在向量 OC 64. 坐標平面上有相異兩點 P, Q, 其中 P 點坐標為 (, s t ). 已知線段 PQ 的中垂線 L 的方程式為 x 4y = 0, 試問下列哪些選項是正確的? (1) 向量 PQ 與向量 (, 4) 平行 6s 8 t () 線段 PQ 的長度等於 5 ()Q 點坐標為 (, t s ) (4) 過 Q 點與直線 L 平行之直線必過點 ( s, t) (5) 以 O 表示原點, 則向量 OP + OQ 與向量 PQ 的內積必為 0. 4x+ y = 10 11x 4y = 65. 設 與 有相同解, 求 ( x, y, a, b ) = ax + by = 16 bx 5ay = 1 (1+ cos θ ) x y = 0 66. 若有 θ 使方程組 不只有一組解, 求 sinθ + cosθ 的值 =. x + (1 + sin θ ) y = 0 ( a ) x 5y = 0 67. 方程組 有異於 (0, 0) 的解, 求 a 之值. x+ (4 a) y = 0
參考答案 : 1. [(1);() 1 5 7 ],. [(1) 1 ;() 1 ],.[ ],4. [ 4 ],5.[ 10],6.[ (1) 7 ;() 10 1 ;() ], 1 1 7.[ (1) 19 ;() 7 ],8.[(1) t + t +, t ;() 1 ],9.[ 1 1 ],10.[ hcosα ], 1 cosα 11.[ ],1.[ (1)1;()1;()0],1.[ 4 + 6 5 ],14.[ 10 1 7 ],15.[(1) 16.[ 1],17.[ (1)5;() 5 0 ],18.[ 8 7 ],19.[ { y 6 y 1 90 }],0.[ ], 6 7 8 1.[(1) 61 ;()10],.[],.[10],[ ],4.[ (0.5, 1, 1) ],5. [ 8 1 11 6.[ (4, 1), (, 0) ],7.[(1) 10 () P (, )],8.[], 5 5 5 9.[(1) M=0, m=.()m= 1, m=.()m=65,m= 5.],0.[1],1.[ 9 4 0 x 7 0 y 4.[(1) 0 x + y 9 0 4x + 5y.[ 5 ],4.[ 4 < f () < 7 ],5.[ 55 7 ;() 6 ], (, ) 5 ],,x,y 為整數,()10 種,()5 輛小貨車, 輛大貨車, 運費最少為 4100 元 ], 7.[ < a < 0 ],8.[(1)()],9.[ 4.[ 17, x y 4= 0 ],4.[ k ],6.[ 6+ 5, 5 ], 47.[(1)()(4)],48[(1)],49.[ 100 ],50.[ 5.[ (16, 5) ],54.[ 119 ],55.[ 1 ],40.[ 10 ],41.[ 1 5 (, ) 1 1 ], ], ],44.[ ],45.[ 60 o ],46.[ 10, 6, 9 ] 1 ],51.[ (, 6) ],5.[(1)()()(4)(5)],, 4 ],56.[ 4 ],57.[ 6 ], 58.[()],59.[()()(4)],60.[ (1, ) ],61.[ ],6. [10 6, 10 6 ], 6.[ a 4b = 0 ],64.[(1)()(4)(5)],65.[ (1,,4,) ],66.[ 1 ],67.[ 7 或 -1],