lt99ok 1 lltt99ok 組合 主題一 異物組合 1. 從 n 個不同的事物中取出 k 個的排列數 P 是組合數 的 k! 倍,即 n k n k n n k! P. k k. 從 n 個不同事物中取出 k 個 ( 0k n) 為一組,其組合數 為 n k n!. k! n k! n k
lt99ok 例題 1 配合課本例 1 求下列各數: (1) 8, () 8 6, () 8 8, () 8 0. Ans:(1) 8,() 8,() 1,() 1 (1) () () () 8 8 6 8! 87 8.!6! 1 8! 87 8. 6!! 1 8! 8!0! 8 8 1. 8! 0!8! 8 0 1. 類題 1 請在下列空格內填入適當的數字: (1) () () 6 7 P 10 10 Ans:(1) 15,() 5,() (1) () 6!!! 6 15. 7!!! 7 5. () 因為 P 10 P,所以! 10. 10 10! 例題 配合課本例 從 10 個排球選手中選出 6 人上場比賽. (1) 共有多少種選法? () 若其中甲乙兩人定位為舉球員,必恰選一人,則共有多少種選法? Ans:(1) 10,() 11
(1) 從 10 人中任選 6 人的方法有 10 6 10! 1098 7 10 ( 種 ). 6!! 1 () 先從甲乙兩人選一人當舉球員有 lt99ok 1 種選法, 再從剩下的 8 個人中任選 5 人有 利用乘法原理,得選法共有! 8! 56 11 ( 種 ). 1!1! 5!! 8 1 5 8 5種選法. 類題 從 8 個籃球隊員中選出 5 人上場比賽. (1) 共有多少種選法? () 若其中甲乙兩人是主力戰將一定要上場,則共有多少種選法? Ans:(1) 56,() 0 (1) 從 8 人中任選 5 人的方法有 8 5 8! 876 56 ( 種 ). 5!! 1 6 6! () 依題意,得選法共有 0 ( 種 ).!! 例題 常考題 (1) 將 a, b, c, d, e, f, g 共七個字母排一列,求 e, f, g 完全分開的方法數. () 將 a, b, c, d, e, e, e 共七個字母排一列,求三個 e 完全分開的方法數. Ans:(1) 10,() 0 (1) 先將 a, b, c, d 排成一列, 再從 a, b, c, d 的 5 個空隙中選出 個空隙, 最後將 e, f, g 排入 個空隙,故排法共有!! 10 6 10 ( 種 ). 5 () 先將 a, b, c, d 排成一列,
lt99ok 再從 a, b, c, d 的 5 個空隙中選出 個空隙, 最後將 e, e, e 排入 個空隙,故排法共有! 1 10 1 0 ( 種 ). 5 類題 (1) 將 a, b, c, d, e 共五個字母排一列,求 d, e 完全分開的方法數. () 將 a, b, c, e, e 共五個字母排一列,求二個 e 完全分開的方法數. Ans:(1) 7,() 6 (1) 先將 a,b,c 排成一列, 再從 a,b,c 的 個空隙中選出 個空隙, 最後將 d,e 排入 個空隙,故排法共有!! 66 7 ( 種 ). () 先將 a,b,c 排成一列, 再從 a,b,c 的 個空隙中選出 個空隙, 最後將 e,e 排入 個空隙,故排法共有! 1 661 6 ( 種 ). 例題 配合課本例 從男生 6 人,女生 5 人中選出 5 人組成委員會. (1) 選出 名男生 名女生的選法共有多少種? () 若規定男女生至少各有 人,則共有多少種選法? Ans:(1) 150,() 50 (1) 先從 6 名男生中選出 人有 6 種選法, 再從 5 名女生中選出 人有 5 種選法. 6 5 利用乘法原理,得選法共有 1510 150 ( 種 ). () 男女生至少各有 人的情形可分成選出 男 女 和 男 女 兩種:
lt99ok 5 6 5 男 女 的選法有 010 00 種. 6 5 男 女 的選法有 1510 150 種. 利用加法原理,得選法共有 00 150 50 ( 種 ). 類題 從男生 人,女生 6 人中選出一個 5 人小組. (1) 若其中 人為男生,則有多少種選法? () 若其中至少有 名男生,則有多少種選法? Ans:(1) 60,() 66 (1) 先從 名男生中選出 人有 種選法, 再從 6 名女生中選出 人有 6 種選法. 6 利用乘法原理,得選法共有 15 60 ( 種 ). () 男生至少有 人的情形可分成選出 男 女 和 男 1 女 兩種: 6 男 女 的選法有 15 60 種. 6 男 1 女 的選法有 1 16 6 種. 利用加法原理,得選法共有 60 6 66( 種 ). 例題 5 配合課本例 已知兩組互相垂直的平行線段,相交如右圖. (1) 共有多少個矩形? () 包含 P 點的矩形有多少個? () 至少包含 P 或 Q 兩點之一的矩形共有多少個? Ans:(1) 6,() 9,() 15 (1) 任二水平線和二鉛直線都可圍成一個矩形, 二水平線的取法有 種,
6 lt99ok 二鉛直線的取法也有 種, 利用乘法原理,得矩形共有 6 ( 個 ). () 依題意在 P 點的左右上下各取一線, 1 1 得矩形共有 ( 個 ). 1 1 1 1 9 () 設 A 為所有包含 P 點之矩形組成的集合, B 為所有包含 Q 點之矩形組成的集合. 利用取捨原理,得至少包含 P 或 Q 兩點之一 的矩形個數 n A B 可計算如下: n A B n A nb n A B 9 9 1 1 1 1 1 1 1 18 15 ( 個 ). 類題 5 已知兩組互相垂直的平行線段,相交如右圖. (1) 共有多少個矩形? () 不包含 P 點的矩形有多少個? Ans:(1) 60,() 6 5 (1) 所求 10 6 60 ( 個 ). () 所求 ( 全部矩形的個數 )( 包含 P點矩形的個數 ) 60 60 6 ( 個 ). 1 1 1 1 例題 6 常考題 某公寓住戶想從 5 對夫婦中,選出 人組成管理委員會,求下列選法各有多少種? (1) 任意選. () 選出的 人恰有一對夫婦.
lt99ok 7 () 夫婦不可同時入選. Ans:(1) 10,() 10,() 80 (1) 從 10 人中選出 人,共有 10 10 ( 種 ). () 設 5 對夫婦為 Aa, Bb, c, Dd, Ee. 先從 5 對中選出 1 對, 再從剩下的 種英文字母選出 種, 而每種字母又有大寫與小寫 種選擇, 5 故共有 1 10 ( 種 ). () 從 5 種英文字母選出 種, 而每種字母又有大寫與小寫 種選擇, 故共有 5 80( 種 ). 類題 6 從 6 對夫婦中,選出 人組成委員會,若規定夫婦不可同時入選, 則共有多少種選法? Ans:0 夫婦不可同時入選的選法,共有 6 0( 種 ). 例題 7 常考題 從 internet 一字共 8 個字母中,求 (1) 任取 個字母為一組,共有多少種組合? () 任取 個字母排成一列,共有多少種排列數? Ans:(1) 6,() 5 internet 一字共有一個 i,兩個 n,兩個 t,兩個 e,一個 r. (1) 任取 個字母為一組有三種情形: 兩同兩同:從 n, t, e 中選兩種字母的方法有 兩同兩異:從 n, t, e 中選一種字母, 種.
8 lt99ok 再從剩下的四種字母中選兩種, 方法有 1 6 18 種. 四異:從五種字母中選四種,方法有 5 5種. 根據加法原理得知,任取 個字母為一組共有 18 5 6 種組合. () 承 (1),任取 個字母排成一列可分為以下三種情形:! 兩同兩同:選法有 種,每種都有 6!! 種排列方法. 因此,有 6 18種排法.! 兩同兩異:選法有 18 種,每種都有 1! 種排列方法. 因此,有 181 16種排法. 四異:選法有 5 種,每種都有! 種排列方法. 因此,有 5 10種排法. 根據加法原理得知,共有 18 16 10 5 種排法. 類題 7 從 mammal 一字共 6 個字母中任取 個排成一列,共有多少種排法? Ans:19 mammal 一字共有三個 m,兩個 a,一個 l. 任取 個字母排成一列可分為以下三種情形: (1) 三同:有 1 11 1種.! () 二同一異:有 1 1 1 種.!1! () 三異:有! 6種. 根據加法原理得知,共有 11 6 19種排法.
lt99ok 9 主題二 組合數的性質 兩個組合數的性質: (1) 剩餘定理:當 0k n時, n n k n k. n n1 n1 () 巴斯卡定理:當 0 k n 1時,. k k k1
10 lt99ok 例題 8 配合課本例 5 (1) 已知 10 10 k k 1,求 k 的值. 19 () 求 的值. Ans:(1) 1 或,() 110 (1) 有下列兩種情形: 若 k k 1,則 k 1. 若 k k 1 10,則 k. 故 k 1或. () 利用 及巴斯卡公式,得 原式 19 19 19 19 0 110. 類題 8 (1) 已知 1 1 5 k,求 k 的值. 10 () 求 的值. 0 1 8 Ans:(1) 或,() 165 (1) 有下列兩種情形: 若 5k,則 k 若 k. 5 1,則 k. 故 k 或. () 利用 及巴斯卡公式,得 0 0
lt99ok 11 原式 10 0 1 8 10 1 8 10 10 7 8 11 8 165. 例題 9 常考題 n1 n n 1 設 n, r 為正整數,且 n1 r,若 : : 6 : 9 : 1,求 n, r 的值. Ans:n=1,r= 因為 n n! nn 1, nn 1 1 r r r n1 n n1 1! n1! r : r : r : : r! n r 1! r! n r! r! n r 1! 1 n : : 1 n r n r n r 1 n 所以 1 : : n r n r n r n 9 n r 6 n 1 1 n n r, 9n 9 1n 1r 1. nr1 9 解得 n1, r. 6 : 9 : 1.推得 類題 9 n n n 設 n, r 為正整數,且 n r,若 r 1 : r : r1 1 : :,求 n, r 的值. Ans:n=1,r=5 因為 n n n n! n! n! r 1 : r : r 1 : : 1! 1!!! 1! 1! r n r r n r r n r 1 1 1 : : 1 n r 1 n r r n r r 1 r 1, 所以 1 1 1 : : 1 : : n r n r r n r r r.推得 1 1
1 lt99ok nr1 r 1 n r 1 n r n5r r 1 解得 n1, r 5.
lt99ok 1 主題三 重複組合 下列三個問題的組合數都是 n H k,而且 H n n k 1 k k. (1) 從 n 類事物中選取 k 個的組合 ( 每類的個數均至少 k 個且可以重複選取 ). () n 元一次方程式 x1 x xn k 的非負整數解. () 將 k 個相同的事物全部分給 n 個人的分法.
1 lt99ok 例題 10 配合課本例 6 方程式 x1 x x 6 有多少組非負整數解? Ans:8 8 8 非負整數解共有 H ( 組 ). 6 6 8 類題 10 方程式 x y z u 7 有多少組非負整數解? Ans:10 10 10 非負整數解共有 H ( 組 ). 7 7 10 例題 11 配合課本例 7 桌球俱樂部擬購買 8 把桌球拍以供忘記攜帶球拍的會員使用, 若球拍分為刀板,直拍與大陸拍 類,試問俱樂部有多少種購買方式? Ans:5 設桌球俱樂部擬購買刀板,直拍與大陸拍各 x1, x, x 把, 根據題意得 x1 x x 8. 8 1 10 10 其非負整數解有 H 組, 故共有 5 種購買方式. 8 8 8 5 類題 11 菜市場推出菠菜 A 菜 等 6 種菜任選 把 50 元,每種菜都可重複選取, 問:用 50 元買 把菜,會有多少種購買組合? Ans:56 設 6 種菜各買 x1, x,, x 6把, 根據題意得 x1 x x6. 其非負整數解有 H 6 8 56 組,
lt99ok 15 故共有 56 種購買組合. 例題 1 配合課本例 8 將 7 枝相同的筆全部分給 個小朋友. (1) 共有幾種分法? () 若要求每人至少分到 1 枝,則有多少種分法? Ans:(1) 10,() 0 (1) 將 7 枝相同的筆全部分給 人的分法有 H ( 種 ). 10 10 7 7 10 () 先將筆分給每人 1 枝,於是問題就變成 枝相同的筆全部分給 人, 分法有 H 6 0 ( 種 ). 類題 1 將 9 本相同的書全部分給 個小朋友. (1) 共有幾種分法? () 若要求每人至少分到 本,則有多少種分法? Ans:(1) 55,() 10 (1) 將 9 本相同的書全部分給 個小朋友的分法有 H ( 種 ). 11 11 9 9 55 () 先將書分給每人 本,於是問題就變成 本相同的書全部分給 人, 分法有 H ( 種 ). 5 10
16 lt99ok 例題 1 常考題 已知方程式 x y z u 1,問 (1) 非負整數解有多少組? () 正整數解有多少組? () 滿足 x 0, y 1, z, u 的整數解有多少組? () 滿足 x 0, y 1, z, u 的整數解有多少組? Ans:(1) 55,() 165,() 8,() 10 (1) 非負整數解有 H 15 1 1 55 組. () 令 x x 1 0, y y 1 0, z z 1 0, u u 1 0, 原方程式可改寫為 x y z u 1 1 1 1 1, 即 x y z u 8. 又 x, y, z, u 均為非負整數解, 11 故 x y z u 8有 H 8 8 165 組非負整數解, 即 x y z u 1 有 165 組正整數解. () 因為 x0, y1, z, u,所以令 x x 0, y y 1 0, z z 0, u u 0, 原方程式可改寫 為 x y z u 0 1 1,即 x y z u 6. 又 x, y, z, u 均為非負整數解,故 x y z u 6有 H 9 6 6 8 組非負整數解, 即滿足 x0, y1, z, u, x y z u 1 有 8 組整數解. () 因為 x, y, z, u 皆為整數,且 x 0, y 1, z, u x 1, y, z, u, 所以令 x x1 0, y y 0, z z 0, u u 0, 原方程式可改寫為 x y z u 1 1, 即 x y z u.
又 x, y, z, u 均為非負整數解, 故 x y z u 有 H 5 10 即滿足 x0, y1, z, u, x y z u 1 有 10 組整數解. lt99ok 17 組非負整數解, 類題 1 從全校高一的 5 個班級選出 10 人組成籃球聯隊,規定每班至少有一個人參加. 請問各班名額的分配共有多少種情形? Ans:16 此問題相當於問: 方程式 x y z u t 10 的正整數解有多少組? 5 5 9 9 故名額的分配共有 H H 16 ( 10 5 5 5 種 ). 例題 1 常考題 設 x y z u 10,問 (1) 非負整數解有多少組? () 正整數解有多少組? Ans:(1) 1001,() 10 令 t x y z u 10 0.因此, x y z u t 10. (1) 因為 x, y, z, u, t 均為非負整數, 所以 x y z u t 10 的非負整數解有 H 5 1 10 10 1001 組, 即 x y z u 10 的非負整數解有 1001 組. () 因為 x, y, z, u, t 均為整數,且 x, y, z, u 0, t 0 x, y, z, u 1, t 0, 所以令 x x1 0, y y1 0, z z1 0, u u1 0, t t 0, 原方程式可改寫為 x 1 y 1 z 1 u 1 t 10,即
18 lt99ok x y z u t 6. 又 x, y, z, u, t 均為非負整數解, 故 x y z u t 6 有 5 10 H 6 6 10 組非負整數解, 即 x y z u 10 的正整數解有 10 組. 類題 1 不等式 x+y+z 7 的 (1) 非負整數解有多少組? () 正整數解有多少組? Ans:(1) 10,() 5 仿例題的解法,得 10 10 (1) 非負整數解有 H 組. 7 7 10 7 7 () 正整數解有 H H 5 7 組. 例題 15 配合課本例 9 將 本相同的書及 5 枝相同的筆全部分給甲乙兩人, 則下列分法各有多少種? (1) 每人至少得一枝筆. () 每人至少得一物 ( 書或筆皆可 ). Ans:(1) 0,() 8 (1) 因為每人至少得一枝筆, 所以先各發一枝筆給甲乙兩人. 剩下的三枝相同的筆全部分給甲乙兩人, 分法有 H 種. 再將 本相同的書全部分給甲乙兩人, 分法有 H 5 5 種. 因此,每人至少得一枝筆的分法有 5 0種.
lt99ok 19 () 將 本相同的書及 5 枝相同的筆全部分給甲 乙兩人, 5 6 分法有 H H 5 5 5 6 0種. 其中,甲全沒拿到及乙全沒拿到的分法不符合題意, 分法共有 種. 因此,每人至少得一物的分法有 0 8種. 類題 15 某公司設有四個部門,每個部門均有經理一人,另有總經理一人管理這四個部門.年終時董事會發放同面額的禮券 10 張給總經理及四部門的經理,若總經理至少得 張,四個經理每人至少得 1 張,則共有多少種發放的方法? Ans:5 因為總經理至少得 張,四個經理每人至少得 1 張,所以先發 張給總經理,各發 1 張給四個經理,剩餘的 張再全部分給 5 人, 分法有 H 種. 5 7 5
0 lt99ok 主題四 分堆的方法數 分堆的方法數 分給人的方法數等堆數階乘.
lt99ok 1 例題 16 配合課本例 10 將 6 本不同的書,求下列各分法的方法數: (1) 平分成三堆. () 依 本, 本, 1 本, 1 本分成四堆. () 依 本, 1 本, 1 本分成三堆. () 甲得 本,乙得 1 本,丙得 1 本. Ans:(1) 15,() 5,() 15,() 0 (1) 將 6 本不同的書,平分成三堆的分法有 6 種. 15! () 將 6 本不同的書, 依 本, 本, 1 本, 1 本分成四堆的分法有 6 1 1 1 5!! 種. () 將 6 本不同的書,依 本, 1 本, 1 本 6 1 1 1 分成三堆的分法有 15 種.! () 將 6 本不同的書,先依 本, 1 本, 1 本分成三堆, 6 1 1 1 分法有 15 種.! 再將這三堆書分給甲,乙,丙三人, 有 11 種分配方法. 故有 15 0種分法. 類題 16 將 8 位新生平均分發到甲 乙 丙 丁四班,共有多少種分法? Ans:50 先將 8 位新生分成 人, 人, 人, 人四堆, 再任意分發到四個班級. 8 6 故共有! 50 ( 種 ).!
lt99ok 例題 17 常考題 籃球 人鬥牛賽,共有 9 人參加,組成三隊,求其中甲乙兩人不在 同一隊的組隊方法有多少種. Ans:10 9 6 將 9 人平分成三隊的分法有 80 種.! 其中,甲乙兩人同一隊的組隊方法不符合題意, 7 6 1 有 70 種.! 因此,甲乙兩人不在同一隊的組隊方法有 80 70 10 種. 類題 17-1 公司從 8 名員工中選派 人到台北市 台中市及台南市三地出差,其中台北市須去 人,另外兩地各去 1 人,求共有多少種派遣方案? Ans:80 先從 8 人中選出 人,再將此 人分成 人, 1 人, 1 人三堆,最後再安排到三個城市. 1 8 1 1 故共有! 80( 種 ).! 類題 17- 學校以 每班轉入的學生不超過 位 的原則,將 8 位轉組的學生編入 A, B,, D 四班,則下列方案編班名單各有多少種? (1) 平均編入 A, B,, D 四班. () 將甲乙丙 人編入 A 班,而其餘 5 人編入 B,, D 三班. Ans:(1) 50,() 0 (1) 因為每班都編入 8 人, 8 6 所以編班名單共有! 50 ( 種 ).!
lt99ok () 因為其餘 5 人每人各有 種選擇,所以應有 5 = 種選擇,但當 5 人都選同一班時,違反 每班轉入的學生不超過 位 的原則,須扣除.故編班名單共有 -=0( 種 ).
lt99ok lltt99ok 重要精選考題 基礎題 n n 1-1 已知 P 7, 16,求 n,r 的值. r Ans: n17, r P n r n 7, 16 r r n(n 1)(n ) (n r+1) 7 =r!= = n(n 1)(n ) (n r+1) 16 r! r=, n(n 1) =16! n(n-1)=7=1716 n=17 1- 設 18 18 m m Ans: m 或 5 18 18 m m,求正整數 m 的值. m=m+ 或 m+(m+)=18 m= 或 m=5. 水族箱中有大小不同的金魚 隻,孔雀魚 隻,大肚魚 5 隻,若從中撈 隻不同種類的魚送給小花,則共有多少種選擇的方案 ( 同種類的魚視為不同 )? Ans:7 種金魚,孔雀魚各 1 隻, 或金魚, 大肚魚各 1 隻, 或孔雀魚,大肚魚各 1 隻, 共有 +5+5=1+15+0=7 種
lt99ok 5. 從 5 個老師及 9 個學生中,選出 人擔任委員,求下列選法各有多少種? (1) 任意選. () 老師與學生各至少一人被選中. () 至少有兩個老師被選中. Ans:(1) 6 種,() 70 種,() 100 種 (1) 111 =6 1 = 1 () 位老師,1 位學生或 1 位老師, 位學生, 共有 + =109+56=70 5 9 5 9 1 1 () 位老師,1 位學生或 位老師, 共有 + =109+10=100 5 9 5 1. 某拳擊比賽,規定每位選手必須和所有其他選手各比賽一場,賽程總計為 78 場,則選手人數有多少人? Ans:1 人 n n(n 1) = =78 n(n-1)=156=11 n=1 5. 阿公瘋樂透 ( 樂透每張彩券有 6 個號碼 ),他以 包牌方式 在 1 到 9 號中任 取 6 個號碼就買一張彩券,彩券每張 50 元.結果該期頭獎號碼為: 7, 8, 9, 10, 11, 1 號.依得獎規定:若每張彩券恰有三個號碼與頭獎號碼相同, 則可得 00 元,不到三個號碼相同,則沒得獎金.請問:阿公賠了多少元? Ans:00 元 9 6 = 987 =8, 即共買 8 組, 1 花了 850=00 元 6 65 1 =0, 即共中了 0 組,
6 lt99ok 得獎金 000=000 元, 賠了 00-000=00 元 6. 因乾旱水源不足,自來水公司計畫在下週一至週日選擇兩天停止供水.若要求 停水的兩天不相連,則自來水公司共有多少種選擇方式? 91 指乙 Ans:15 種 7-6=15. 二天相鄰 任選二天 7. 甲乙兩人在排成一列的 10 個空位中,選不相鄰的兩個座位坐下, 共有多少種不同的方法? Ans:7 種 10 P -9=90-18=7. 二位相鄰 任排二位 8. 右圖是由 個大小相等的正方形所拼成,問圖中的 9 個點共可決定 (1) 多少條直線? () 多少個三角形? Ans:(1) 0 條, () 76 個 (1) 任兩點可連成一直線, 扣除三點共線者, 得 8 +8 =6-+8=0 條直線 9 () 任三點可連成一個三角形, 扣除三點共線者, 得 8 =8-8=76 個三角形 9
lt99ok 7 9. 從 dependence 一字共 10 個字母中, (1) 任取 個字母為一組,共有多少種組合? () 任取 個字母排成一列,共有多少種排列數? Ans:(1) 1 種, () 71 種 共有 個 d, 個 e, 個 n,1 個 p,1 個 c (1) 個相同者有 1 種, 同 1 異者有 種, 同 同者有 種, 同 異者有 =6=18 種, 個相異者有 5 =5 種, 故共有 1+++18+5=1 種取法 () 個相同者有 1 種, 同 1 異者有 =16 種, 同 同者有!!! =6=18 種, 同 異者有!! =61=16 種, 個相異者有 5!=5=10 種, 故共有 1+16+18+16+10=71 種排法 98 99 n 10. 設 r,且 r<10,求正整數 n,r 的值. Ans: n100, r 98 99 = 5 98 99 + + + + + + = 5 98 99 + + + + + = 5 5 98 99 + + + +
8 lt99ok = = 99 99 + = 100, 故 n=100,r= 11. 某家冷飲店供應 種飲料,小華要外帶 6 杯飲料,問共有多少種點法? Ans:8 種設四種飲料各買 x1,x,x,x 杯, 則 x1+x+x+x=6, 非負整數解有 H 6 9 6 987 =8 種點法 1 1. 將 枝相同的原子筆及 枝相同的鉛筆全部分給甲 乙 丙三人,則下列分法各有多少種? (1) 任意分. () 每人至少得一枝原子筆及一枝鉛筆. Ans:(1) 150 種,() 種 (1) H 5 6 H =1015=150 種分法 () 先發給每人 1 支原子筆及 1 支鉛筆, 剩下 1 支鉛筆任意分配有 H 1 1 = 種分法 1. 公司從 8 名職員中選出 5 人派往甲 乙 丙三地出差,其中甲地須派 1 人, 另外兩地各派 人,求共有多少種選派方案. Ans:1680 種 8 7 5 1 8! 1!!!! =1680 種選派方案 進階題
lt99ok 9 1. 有一列火車從第一車到第十車共十節車廂,若要指定其中三節車廂為自由坐,則 (1) 共有多少種指定方案? () 若再要求此三節自由坐車廂兩兩不相銜接,則共有多少種指定方案? Ans:(1) 10 種,() 56 種 10 1098 (1) =10 1 8 876 () =56 1 15. 趙氏與錢氏兩對夫婦 以及孫先生 李先生圍坐一個六人座圓桌吃飯,其中趙先生和孫先生已在兩個相鄰的位子坐定.若限定夫妻不得相鄰,則其他四人就座的方法共有多少種? 97 指乙 Ans:10 種 1 趙夫人 錢先生錢夫人李先生 孫先生 1 1 1 趙先生 1 1 1 1 1 1 1 16. 啦啦隊競賽規定每隊 8 人,且每隊男 女生均至少要有 人.某班共有 名男 生及 7 名女生想參加啦啦隊競賽.若由此 11 人中依規定選出 8 人組隊,則共有 多少種不同的組隊方法? Ans:161 種 所求 = 7 6 + 7 5 + 7 =161. 9 指乙
0 lt99ok 17. 全校獨唱比賽有 位高一, 位高二, 位高三共 9 位同學報名參賽. (1) 若出場順序只考慮年級,而先不考慮人名,而且要求 位高一同學不可連續 出賽,如:一二三一二三一二二,則共有多少種年級的排列順序? () 若同年級上台次序要連續並考慮人名,且最後由 位高三學長壓軸演出, 則共有多少種出賽的安排? Ans:(1) 55 種,() 576 種 (1) 二二二二三三先作排列, 再於其間格安插三個 一, 6!!! =55 種 7 ()!!!=576 種 18. 有一個兩列三行的表格如右圖.在六個空格中分別填入數字 1 5 6( 不得重複 ),則 1 這兩個數字在同一行或同一列的方法有 種. 99 學測 Ans: 種 1 這兩個數字在同一列的有!=88, 1 這兩個數字在同一行的有!=1, 1 這兩個數字在同一行或同一列的方法有 88+1= 種 19. 右圖中,每一小格都是邊長為 1 的正方形,試問:圖中的線段可構成多少個矩形及正方形? Ans:51 個矩形, 17 個正方形 (1) 矩形有 5 5 =0+0-9=51 個 () 11 有 1 個, 有 5 個, 共有正方形 1+5=17 個 0. 有 6 男 女共 10 名學生擔任本週值日生,導師規定在本週 5 個上課日中,每天兩名值日生,且至少須有 1 名男生.試問本週安排值日生的方式共有多少種? Ans:00 種
恰有 名男生在一組, 有 6 15種, 剩下 名男生與 名女生配對有!= 種, 再將 5 組排週一到週五的順序, 故共有 155!=00 種排法 lt99ok 1 1. 問:四位正整數中,數字和為 7 的共有多少個? Ans:8 個設原數為 xyzu,x,y,z,u 為非負整數, 且 x 0, 10 1098 x+y+z+u=7 之非負整數有 7 10, 1 9 扣除 x=0 者, 即 y+z+u=7 之非負整數有 6 個, 故共有 10-6=8 個 7 n. 設 H H H H,求正整數 n 的值. Ans:1 0 1 9 9 H H H H 0 1 9 H H H H = 5 0 1 9 = H 5 1 H H 9 = 5 = H 1 9 9 故 n=1. 棒球比賽每隊的先發守備位置有九個:投手 捕手 一壘手 二壘手 三壘手 游擊手 右外野 中外野 左外野各一位.某一棒球隊有 18 位可以先發的球員,由教練團認定可擔任的守備位置球員數情形如下: (1) 投手 位 捕手 位 一壘手 1 位 二壘手 位 三壘手 位 游擊手 位; () 外野手 位 ( 每一位外野手都可擔任右外野 中外野或左外野的守備 );
lt99ok () 另外 1 位是全隊人氣最旺的明星球員,他可擔任一壘手與右外野的守備.已知開幕戰的比賽,確定由某位投手先發,而且與此投手最佳搭檔的先發捕手也已確定,並由人氣最旺的明星球員擔任一壘手守備,其餘六個守備位置就上述可擔任的先發球員隨意安排,則此場開幕戰共有 種先發守備陣容. ( 當九個守備位置只要有一個球員不同時,就視為不同的守備陣容 ) 99 指乙 Ans:19 ( 二壘手 ) ( 三壘手 ) ( 游擊手 ) ( 外野手 ) =19