017 年全国初中数学联合竞赛 ( 初二年级 ) 试题参考答案及评分标准 说明 : 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 第一试, 选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档 ; 第二试各题, 请按照本评分标准规定的评分档次给分. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在 评卷时请参照本评分标准划分的档次, 给予相应的分数. 第一试 一 选择题 :( 本题满分 4 分, 每小题 7 分 ) b 1. 已知实数 ab,, 满足 a 1b 90,a 9b 7, 则 = a b... 1.. 0.. 1. 已知等式可变形为 ( a b) ( b ) 90,( a b) ( b ) 7, 解得 ab 18, b b 18, 所以 1. a b. 已知实数 ab,, 满足 ab 1, 1 1 1 0, 则 ( a1) ( b) ( 5) = a 1 b 5.15..10..100..81. 答. 令 a1 x, b y, 5 z, 则 x y z ( a 1) ( b ) ( 5) 10, 且 1 1 1 由 0 a 1 b 5 1 1 1 得 0, 所以 xy yz zx 0. x y z 所以 ( a 1) ( b ) ( 5) x y z ( x y z) ( xy yz zx) 100.. 若正整数 ab,, 满足 ab 且 ab ( a b ), 则称 ( ab,, ) 为好数组. 那么, 好数组的个数 为. 4......1. 5). 若 ( ab,, ) 为好数组, 则 ab ( a b ) 6, 所以 ab 6. 显然, a 只能为 1 或. 5 若 a =, 由 ab 6 可得 b 或, b 时可得 4, b 时可得 ( 不是整数 ); 若 a =1, 则 b (1 b ), 于是可得 ( b )( ) 6, 可求得 ( ab,, ) =(1,,8) 或 (1,4, 综合可知 : 共有 个好数组, 分别为 (,,4),(1,,8) 和 (1,4,5). 017 年全国初中数学联合竞赛 ( 初二年级 ) 试题参考答案及评分标准第 1 页 ( 共 5 页 )
4. 已知正整数 ab,, 满足 a 6b 9 0, 6a b 0, 则 a b =. 44.. 40.. 441.. 460. 答. 由已知等式消去 整理得 ( a9) ( b1) 75, 所以 ( b 1) 75, 又 b 为正整数, 解得 1b 6. 若 b =1, 则 ( a 9) 75, 无正整数解 ; 若 b =, 则 ( a 9) 7, 无正整数解 ; 若 b =, 则 ( a 9) 6, 无正整数解 ; 若 b =4, 则 ( a 9) 48, 无正整数解 ; 若 b =5, 则 ( a 9) 7, 无正整数解 ; 若 b =6, 则 ( a 9) 0, 解得 a 9, 此时 18. 因此, a 9,b =6, 18, 故 a b =441. 5. 梯形 中, //,, 4,, 1, 则梯形的面积为. 10.. 10..... 答. 作 E //, H, 则 E 是平行四边形, 所以 E 1, E, 从而 E E 41, 所以 E 是等腰三角 形, 底边 E 边上的高为 1. H E 1 1 4 所以 E 的面积 S E E H, 故可得 H. F 1 4 10 所以梯形的面积为 (1 4). 6. 如图, 梯形 中, //, 90, 点 E 在 上, 若 E 4, E 8, 70, E 45, 则 E =. 56.. 58..60.. 6. 作 F, 交 的延长线于点 F, 将 F 绕点 逆时针方向旋转 90 至 G G, 则 F 为正方形, 且 EG 45 E,G,E E, 所以, EG E, 所以 EG E. 设 E x, 则 F G x 8, 70 F 98 x. E 在 Rt E 中, 有 4 (98 x) x, 解得 x 58. 017 年全国初中数学联合竞赛试题 ( 初二年级 ) 参考答案及评分标准第 页 ( 共 5 页 )
二 填空题 :( 本题满分 8 分, 每小题 7 分 ) 1. 使得等式 1 1 a a 成立的实数 a 的值为. 答 8. 由所给等式可得 (1 1 a) a. 令 x 1 a, 则 x 0, 且 ax 1, 于是有 (1 x) ( x 1), 整理后因式分解得 x( x )( x 1) 0, 解得 x1 0, x, x 1( 舍去 ), 所以 a 1或 a 8. 验证可知 : a 1是原方程的增根, a 8是原方程的根. 所以, a 8.. 已知 的三个内角满足 100, 用 表示 100,, 中的最小者, 则 的最大值为. 答 0. 因为 表示 100,, 中的最小者, 所以 100,,, 所以 6 (100 ) ( ) ( ) 00 ( ) 10, 所以 0. 0. 又当 100 0, 即 80, 60, 40 时, 满足题设条件, 故 可取到 因此, 的最大值为 0.. 设 ab, 是两个互质的正整数, 且 答 7. p 8ab a b 为质数, 则 p. 1, p, 8ab 因为 ab, 互质, 所以 a b与 a 和 b 都互质, 而 p 为质数, 所以 8 或 8 a b p, 1. a b a b 1, 由 8 可得 ab 1, p 4, 不合题意 ; p, a b p, 由 8 可得 a 7, b 1, p 7, 符合题意 ; 1. a b 所以 p 7. 4.0 个都不等于 7 的正整数排列成一行, 若其中任意连续若干个数之和都不等于 7, 则这 0 个数之 和的最小值为. 答 4. 017 年全国初中数学联合竞赛 ( 初二年级 ) 试题参考答案及评分标准第 页 ( 共 5 页 )
首先证明 : 对于任意 7 个正整数 b1, b,, b7, 其中一定存在若干个数 ( 至少一个, 也可以是全部 ) 之和为 7 的倍数. 我们来考虑如下 7 个正整数 b, b b, b b b,, b b b 1 1 1 1 1 7 如果 1 中 7 个正整数有一个是 7 的倍数, 则结论成立. 如果 1 中 7 个正整数没有一个是 7 的倍数, 则它们除以 7 所得的余数只能为 1,,,6 这 6 种情况. 所以, 其中一定有两个正整数除以 7 所得的余数相同, 不妨设为 b1 b bi 和 b1 b bj (1 i j 7 ), 于是 b i1 bj是 7 的倍数. 所以, 结论成立. 对于 0 个都不等于 7 的正整数 a1, a,, a0 中的任意 7 个数, 由上述结论可知, 其中一定有若干个数的和是 7 的倍数, 又由题设知, 它不等于 7, 所以, 它大于或等于 14. 又因为 0= 7+6, 所以 a1 a a0 14 6 4 另外, 当 a7 a14 8, a 1, a,, a 0 中其余的数都为 1 时, a 1 a a 0 =4, 即 式等号成立. 所以, a 1 a a 0 的最小值为 4. 果 第二试 一 ( 本题满分 0 分 ) 设, 是两个不同的两位数, 且 是由 交换个位数字和十位数字所得, 如 是完全平方数, 求 的值. 解设 10a b, ab, 为正整数且 1a 9,1b 9, a b, 则 10b a, a b b a a b a b a b (10 ) (10 ) 99( ) 11 ( ) ( ). 5 分 因为 是完全平方数, 所以 a b, 且 11 ( a b) ( a b). 又 1 ab 8,1 ab 18, 所以 ab 11. 10 分 于是 11 ( a b), 故 a b也是完全平方数, 所以 ab=1 或 4. 15 分如果 ab=1, 结合 ab 11可求得 a 6, b 5. 如果 ab=4, 结合 ab 11可知没有正整数解. 因此, a 6, b 5, =65. 0 分二 ( 本题满分 5 分 ) 如图, 中, 为 的中点, E 平分,F 平分, E E,F F, P 为 与 EF 的交点. 证明 : EF P. 017 年全国初中数学联合竞赛试题 ( 初二年级 ) 参考答案及评分标准第 4 页 ( 共 5 页 )
证明设, 则 180, E E, F F 90. 5 分 E P F 由于 E 是直角三角形, 所以 E 90E 90, 所以 E F. 10 分 又因为 为 的中点, 所以, 所以 Rt E Rt F, 所以 E F. 15 分又由 E F 可知 E // F, 因此, 四边形 FE 是平行四边形, 故 EF //, 于是可得 PE E, PF F. 0 分又因为 E PE, F PF, 所以 PE PE, PF PF, 所以 PE P PF, 所以 EF P. 5 分 小值. 三 ( 本题满分 5 分 ) 已知 ab,, 是不全相等的正整数, 且 解因为 b, 是正整数, 5 是无理数, 故 5b 0. 5a b a b 为有理数, 求 5b ab 的最 而 5 a b ( 5 a b)( 5 b ) (5 ab b) 5( b a) 5b 5b 5b 为有理数, 所以 b a 0, 故 b a, 又 ab,, 不全相等, 不妨设 ab. 10 分 又 a b ( ) ( )( ), 所以 ab a b a a b a b a b a b a b, 为整数. 15 分 a a 当 1时, a b 为完全平方数, 则 a 4, a b a a ( ) 0 ; 4 当 时, a b 1. 所以 a b, 且当 a 4, b, 1时, a b. 0 分 = a b 因此, ab 的最小值为. 5 分 017 年全国初中数学联合竞赛试题 ( 初二年级 ) 参考答案及评分标准第 5 页 ( 共 5 页 )