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0 年青少年數學國際城市邀請賽參賽代表遴選初賽個人競賽試題 編號 : 姓名 : 校名 : 國中 作答時間 : 二小時第一部分 : 填充題, 每小題 分, 共 60 分 ( 注意 : 請將答案直接填入各題預留空白處, 不須列出計算過程 ) 0. 87 之值的個位數為 因所求為個位數之值, 故觀察 7 的次方之個位數變化 因 7 的個位數為 7 7 的個位數為 7 的個位數為 7 的個位數為, 故 7 的次方之個位數從 次方開始, 是依序以 7 這四個數為週期循環出現 因 0= 0+, 0 故 87 之值的個位數為 7 中的第三個數, 即為 答 :. 從 7,,,. 開始, 把 7 的倍數依次連接在一起寫下去, 一直寫到 00, 成為一個很大的數 :7...00, 則這個數是 位數 因 00=7, 故觀察 7 的 倍至 7 的 倍各個數的位數變化 一位數 : 僅 7 =7 這 個數, 共 位 ; 二位數 : 從 7 = 至 7 =8 共 個數, 合計 6 位 ; 三位數 : 從 7 =0 至 7 = 共 8 個數, 合計 8 位 ; 四位數 : 僅 7 =00 這 個數, 共 位 ; 因此所寫出的數為 +6+8+= 位數 答 : 位數. 設長方形的長增加其長度的 0, 若面積不變, 則長方形的寬所減少的長度與原來的寬之比為 面積不變即為長與寬的乘積是定值 當長增加其長度的時, 即增為原長度的 0 0, 0 故寬須縮短為原長度的, 即需減少, 故所求之比為 :=: 答 ::. 設 x y 為正整數, 則滿足方程式 + = 的所有數對 ( x, y ) 共有 x y 00 組
0y 0000 + = 0y + 0x = xy x = = 0 +, 因此 x 為正整數 x y 00 y 0 y 0 的條件為 y 0 為 0000 的正因數 因 0000 =, 故知 0000 共有 (+) (+)= 個正因數, 因此數對 ( x, y ) 共有 組 答 : 組. 已知 x y z 滿足 x + y + z = x + y + z = 6 x + y + z = 0 則 + + = x y z 解一 x + y + z = x + y = z x + y + z = 6 x + y = 6 z x y z 0 + + = x + y = 0 z ( x + y) ( x + y ) 故 xy = = z + z 因 x + y = ( x + y)( x + y xy), 故可得 0 z = ( z)((6 z) ( z + z )), 化簡後可得 ( z )( z z + 6) = 0, 故知 x + y = z=, 因此知, 故可得 = xy = x( x) ( x )( x ) = 0, 即知 x= xy = y= 或 x= y= 因此 x + y + z = + + = 解二 ( x + y + z) = x + y + z + ( xy + yz + zx) 6 = 6 + ( xy + yz + zx), 故知 : xy + yz + zx = ( x + y + z)( x + y + z ) = x + y + z + xy + xz + yx + yz + zx + zy 故知 : x y z x y z xy yz zx xyz = + + + ( + + )( + + ) 6 = 0 + xyz xyz = y z + z x + x y ( xy + yz + zx) xyz( x + y + z) 因此 + + = = = = x y z x y z ( xyz) 答 : 6. 設 x y 與 z 為正整數, 並計算它們的倒數和 ; 接著將這三個正整數 x y 與 z 依序分別加上 與 後, 再計算它們的倒數和 請問經過這樣操作之後, 倒數和之差的最大值是
此即為計算 ( + + ) ( + + ) 的最大值 x y z x + y + z + 因 = x x + x( x + ) = =, 故知 y y + y( y + ) z z + z( z + ) ( + + ) ( + + ) 為遞減函數, 因此最大值發生在 x=y=z= 時, x y z x + y + z + 其值為 + + = 答 : 7. 已知一正整數加上 7 後為一完全平方數, 而此正整數減去 6 仍為一個完全平方數, 則此正整數為 令此正整數為 a, 且 a + 7 = a 6 =, 故知 = 7 + 6 = 7, 即 ( + )( ) = 7 因 7 為質數, 故知 +=7 =, 解之可得 =7 =6, 故 a = 7 7 = 6 + 6 = 8. 設 N = 66 6, 則 N 的最後五個數碼為 0個 6 0個 答 : 因所求為 N 的最後五個數碼, 故考慮乘數與被乘數的最後五碼相乘所得之積, 即考慮 6666 因 6666 =, 故 6666 =+0+ 00+000+0000, 即其最後五個數碼為 答 :. 已知 a 及均為正整數, 則 a 的最大值為 00 因為 = a a +, 00 故知為正整數的必要條件為是 整數, 即 a+ 為 00 的因數 因所求為 a 的最大值, 即可知其發生於 a+=00 時, 此時 a= = 87 答 : 0. 設 x y 為正整數, 則滿足方程式 x y = 6 的所有數對 (x, y) 共有 組 因 6 = 且 與 為互質, 故 與 必分別都是一個完全平方數與一個 0 6 0 完全立方數的乘積 因 p = ( p ) ( p ) = ( p ) ( p ) = ( p ) ( p ) 共有 種情況, 所以合計有 = 組正整數解 答 : 組
. 如右圖, 邊長為 0 的正方形 C 截去一角 C 0 成為五邊形 CEF, 其中 E=0,F=; 若 y M 點 P 在線段 EF 上使矩形 PMN 有最大面積 a 時, 則 PE 的長度為 解一 可令 PM=a PN=b CM=y N=x 則知 0 a 0 b 0 a+x=b+y=0, 即 x = 0 a y = 0 b 且由矩形 PMN 的面積可 得以下等式 : ab = 0 y( a + 0) x( b + ) 0 = 7 ((0 b)( a + 0) + (0 a)( b + )) = a b + ab 此等價於 a+b=0, 即 a = 0 b 故知矩形 PMN 的面積為 ab = b(0 b) = ( b ) + ( ) 此函數最大值發生在 b = < 但因 b 0, 故知矩形 PMN 有最大面積 發生於 b=, 此時 PE = EF = + 0 = 解二 延長 NP 交 C 於 Q 點, 則知 PQE~ FE 可 C E y Q y y 令 PQ=CM=y, 其中 0 y, 則 EQ=y 此時矩 M P 形 PMN 的面積為 F (0 + y)(0 y) = 00 + 0y y = + ( y y) 00 6 = ( y ) + 此函數最大值發生在 y = > 但因 0 y, 故 N 知矩形 PMN 有最大面積發生於 y=, 此時 PE = EF = + 0 = 答 :. 已知正三角形 C 內部一點 P 滿足 P= P= PC=, 則正三角形 C 的面積 = 解法一 如圖, 在三角形 C 外部取一點 使得 PC, 則可知 = =, 且 = PC, 故知 P= + P= PC+ P=60, 所以可推知 P= P=60, 即 P 為正三角形, 因此 P=, 此時可由 E b 0 P N x F
畢氏定理推知 P P 依同樣方法再取出 E F 點 使得 EC P FC PC, 則可推得六邊 形 ECF 的面積為正三角形 C 的面積的 倍, 且六邊形 ECF 由邊長分別為 的三個正三 P 角形與 個邊長分別為 的直角三角形所組 成, 因此正三角形 C 的面積為 6 + ( ( + + ) + ) = 解法二 E 如圖, 在三角形 C 外部取一點 使得 PC, 則可知 = =, 且 = PC, 故知 P= + P= PC+ P=60, 所以可推知 P= P=60, 即 P 為正三角形, 因此 P=, 此時可由畢氏定理 推知 P P 故利用餘弦定理可知 P = P + P P Pcos P = + cos0 = + 故正三角形 C 的面積為 6 + = 答 : 6 + 第二部分 : 計算證明, 每題 0 分, 共 60 分 ( 注意 : 請在本試卷正反面空白處依題號作答, 須詳列計算過程及說明理由 ). 已知 是 0 6 7 8 中的一個數碼, 若一百零一位數 = 是 7 的倍數, 則 的所有可能值為何? 0個 0個 易知 是 7 的倍數 ( 給 分 ) 因為 8個 0個 7 0 = 0 0個 8個 8 + 0 +, 以及知 8個 8 7, 故只要代入的 能使 0 是 7 的倍數即是 8個 題目所求答案 ( 給 0 分 ) 8 因為 (7, 0 ) =, 所以只需討論能使 是 7 的倍數的所有可能 值 故可求得 = 或 8 ( 給 分 ) 答 : 8 C F C
. 如圖, 已知三角形 C 是一個邊長為 0 的正三角形, 三角形 C 是等 腰三角形, C=0 以 為頂點任作一個 60 的角, 角的兩邊分別交 於點 X 交 C 於點 Y 請問三角形 XY 的周長是多少? 可知 = C=0 延長 C, 在延長線上取 CE=X, 則可知 X CE, 所以 X=E X= CE ( 給 分 ) 因此由 C=0, 可推知 XE=0 ; 再因 XY=60, 所以 EY=60 = XY; X Y 此時因 X=E Y=Y, 故可知 XY EY, 所以 XY=YE ( 給 0 分 ) C 故可知 X+Y+XY= X+Y+YE= X+Y+YC+CE= E X+Y+YC+X=+C=0 ( 給 分 ) 答 :0. 有一個正九邊形, 將它的各個頂點任意地塗成紅色或白色 以正九邊形的頂點所作出的三角形中, 試證 : 存在兩個全等的三角形, 它們的頂點所塗的顏色都各自相同 由下圖知三角形的頂點都是正 邊形的頂點的情形共有 7 種不同的形狀 : ( 給 分 ) 將 邊形的頂點染上兩種顏色時, 必有一種顏色出現在至少 個頂點上 ( 鴿籠原理 ),( 給 分 ) 以這 個頂點中的 個點為頂點的三角形有 0 個 ( 若令這 個頂點為 C E, 則有 C E F C CE CF CE CF EF 這 0 個三角形, 或由 = 0 也可得此結論 ) 因 0 > 7 ( 上圖的 7 種情形 ), 因此, 這 0 個同色三角形中, 必有兩個形狀相同 ( 鴿籠原理 ), 也就是存在兩個全等的三角形 ( 給 0 分 )