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敢贺
5 years ago
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1 注意 : 允許學生個人非營利性的圖書館或公立學校合理使用本基金會網站所提供之各項試題及其解答可直接下載而不須申請重版系統地複製或大量重製這些資料的任何部分, 必須獲得財團法人臺北市九章數學教育基金會的授權許可申請此項授權請電郵 ccmp@seed.net.tw otice: Individul students, nonprofit librries, or schools re permitted to mke fir use of the ppers nd its solutions. Republiction, systemtic copying, or multiple reproduction of ny prt of this mteril is permitted only under license from the Chiuchng Mthemtics Foundtion. Requests for such permission should be mde by e-miling Mr. Wen-Hsien SU ccmp@seed.net.tw

2 . 我們已經學過了指數, 現在來學習與指數有緊密聯繫的對數我們知道, 的次冪等於 6, 可以記作 = 6, 這裡 6 是的次冪, 是底數, 是指數在計算中, 我們還會遇到相反的問題 : 的多少次冪等於 6? 為了表示 6 是的多少次冪, 我們採用一個新的式子 : log 6 =, 這裡叫做以為底的 6 之對數, 仍叫做底數,6 叫做真數 b 一般地說, 如果 ( > 0 ) 的 b 次冪等於, 就是 =, 數 b 就叫做以為底的之對數, 記作 log = b, 其中叫做底數 ( 簡稱底 ), 叫做真數 b 在實數範圍內, 正數的任何次冪都是正數在 = 中, 因為是不等於的正數, 所以對於任意一個實數 b, 總是正數, 也就是說零與負數沒有對數本章對數式中的字母, 如不加特殊說明, 底數都是不等於的正數, 真數都是正數 b = 中的底數指數冪與對數式 log = b中的指數式底數對數真數的關係可表示如下 : 指數對數冪真數 b = log = b 底數 log 是拉丁文 logrithm ( 對數 ) 的縮寫 - 5 -

3 例如在如果把 b = 中的 b 寫成 log, 有 log = = 6中, 如果把寫成 log 6, 就有 log6 = 6 例把下列指數式寫成對數式 : () () log5 65 = 9 = () log 9 = 5 = 65 () 例把下列對數式寫成指數式 : () log 8= () log = () = 8 () 已知 log0 =, 求由 log0 =, 得 0 = 所以 = 00 0 = 0000 求下列各式的值 : () log9 8 () log 7 () 設 log9 8 = x, 則 9 = 8 9 = 8 x = 即 log9 8 = () 設 log = x, 則 =

4 7 x = 即 log 7 = = 5 求下列各式的值 : () log () log7 () 設 log = x, 則 = = x = 即 log = () 設 log7 = x, 則 7 = 0 7 = x = 0 即 log7 = 0 例 5 可以推廣到一般情況, 設是不等於的正數, 則 log = log = 0 根據對數的定義, 同學們可以自己證明這兩個等式. 把下列指數式寫成對數式 : () 5 = () () 0 0 = (5) 0 = 000 () 8 = (6) 7 = 9 7 =

5 . 把下列對數式寫成指數式 : () log 9= () log = () log = () log8 = (5) log5 5= (6) log7 = 9. 求下列各式的值 : () log5 5 () log 6 () log0 0.0 () log. 求下列各式中的 x: () log x = 5 () log x = () log5 x = () log x = 0 5. 求下列各式的值 : () log55 () log0. () log9 () log 求下列各式的值 : log50 log0. 5 () 5 () 0.. 我們學過了指數的定義及運算, 知道如果 > 0 p q i p+ q = p q p q = p n ( ) np = p n, 那麼 n p = 根據這些等式與對數的定義, 我們可以得到對數的運算性質

6 . 設 log = 由對數的意義, 得 M = p = q p M i = q i p+ q = log M = p+ q= log M + log 這就是說, 兩個正數的積之對數, 等於同一底數的這兩個數的對數之和, 即 log M = log M + log 當因數多於兩個時, 上述性質仍然成立例如 log LM = log L + log M + log. 設 log = 則 M = p = q p M p q = = q log = = log log 這就是說, 兩個正數的商之對數, 等於同一底數的被除數的對數減去除數的對數之差, 即 M log log M log =. 設 log M = p, 則 M = p n p n np M = ( ) = n log M = np = nlog M 這就是說, 一個正數的冪之對數, 等於冪的底數之對數乘以冪指數, 即 n log M = nlog M

7 . 一個正數的算術根之對數, 等於被開方數的對數除以根指數, 即 n log M = log M n 同學們可以自己證明這個性質用 log x log y log z 表示下列各式 : xy () log z () 5 log x y x () log yz () x y log z xy () log = log xy log z z = log x + log y log z 5 5 () log x y = log x + log y = log x + 5log y x () log = log x log yz yz = log x (log y + log z ) () = log x log y log z x y log = log log x y z z = log x + log y log z = log x + log y log z 5 計算 : () log0 00 () i 7 5 log ( )

8 () () 5 log0 00 = log000 = log ( i ) = log + log = 7log + 5log = = 9. 用 log0 x log 0 y log 0 z log 0 ( x + y) log 0 ( x y) 列各式 : () log0 xyz () log 0( x + y) z () log 0( x y ) () (5) log xy 0 (6) ( x+ y ) z. 計算 : () log (7 9 ) () (). 計算 : log () 0 log xy z x xy log 0 00 log000 log7 9 () log6 log () log0 5 + log0 () log5 + log5 () log5 log5. 下面的式子對不對, 為什麼? () log (8 ) = log8 log () log0 log 0( ) = log0 () log log log8 log 8 = 表示下

9 . 求下列各式中的 x 並指出計算 x 時是求冪, 求對數, 或是求方根 : () = x () x = 000 () 0 x = 用對數形式把下列各式中的 x 表示出來 : () = 6 () = () = () = 0.5. 把下列對數式寫成指數式, 並求出 x 的值 : () log = x () log5 65 = x () log0 000 = x () log = x (5) log = x (6) log = x 9 (7) log0 = x (8) log6 = x 000. 用 log x log y log z log ( x+ y ) log ( x y) 表示下列各式 : x () log y z () z log x y () log xy z xy () log x y x+ y (5) log x y i y (6) log y xx ( y) 5. 計算 : () log + log () log8 log () log0 log0 5 () log50 + log50.5

10 6. () 用 = log0 5 表示 log0 log 0 0 () 用 = log0 與 b = log0 表示 log0 log 0 5 log 0 6 log0 log 0 5. 由於我們通常用的是十進制記數法, 所以我們通常用的對數是以 0 為底的對數, 這種對數叫做常用對數在表示常用對數的時候, 通常把底數 0 略去如不作特殊說明, 一般所說的對數都是指常用對數例如說 00 的對數是, 就是說 00 的常用對數是我們知道 : 0 = 000 log000 = 0 = 00 log00 = 0 = 0 log0 = 0 0 = log = 0 0 = 0. log 0. = 0 = 0.0 log 0.0 = 0 = 0.00 log 0.00 = 可以看出,0 的整數次冪之對數是一個整數, 並且真數較大的時候, 它的對數也較大一個正數, 如果不是 0 的整數次冪, 它的對數是一個小數例如 log 7 是一個與之間的一個小數,log 是與之間的一個小數一個正數的對數 ( 具有一定精確度的近似值 ), 從前可利用對數表求得, 現在則可利用工程計算器很方便地求得 - 6 -

11 . 我們知道,<.08 < 0, 所以 0< log.08 <, 就是說, log.08 是一個正的純小數如果知道了 log.08 = 0.55, 我們可以求的對數首先用科學記數法表示上面各數, 再求出對數 : log = log(.08 0 ) = log0 + log.08 = log 0.8 = log(.08 0 ) = log0 + log.08 = log 080 = log(.08 0 ) = log0 + log.08 = 一般地, 可以得到 :. 所有正數的對數都可以寫成一個整數 ( 正整數零或負整數 ) 加上一個正的純小數 ( 或者零 ) 之形式整數部分叫做這個對數的首數, 正的純小數 ( 或者零 ) 部分叫做這個對數的尾數例如 : 在 log = 中, 首數是, 尾數是 0.55 在 log 0.8 = 中, 首數是, 尾數是 0.55 在 log080 = 中, 首數是, 尾數是 0.55 從上例還可以得到 :. 只有小數點位置不同的數, 它們的對數之尾數都相同求一個正數的對數之首數時, 用科學記數法把這個數寫成 0 n 的形式, 其中 < 0 n 是整數,n 就是這個正數的對數之首數 - 6 -

12 對數的首數是正整數或者零的時候, 可以把首數與尾數相加, 寫成小數的形式例如 log0.8 =.55 log.08 = 0.55 而當對數的首數是負整數的時候, 通常會把 - 號寫在這一個整數的上面, 並把首數與尾數之間的 + 號略去不寫例如, log = , 通常寫成 log =.55 這裡要注意.55 等於 ( 即.675 ), 不等於.55 用科學記數法表示下列各數, 並求出各數的對數之首數 =.6 0, 對數的首數是 = , 對數的首數是 =.076 0, 對數的首數是寫出下列各對數的首數與尾數 : () log = 0.50 () log b =.087 () log c =.087 () 首數是 0, 尾數是 0.50 () 首數是, 尾數是 () log c =.087 = = ( ) + ( 0.087) = =.59 首數是, 尾數是用科學記數法表示下列各數, 並求出它們的對數之首數

13 . ( 口答 ) 說出下列各數的對數之首數 : ( 口答 ) 下列各式的值是什麼? () log0 () log0000 () log 6 5 () log0 (5) log0 (6) log 0.0 (7) log 0. (8) log 寫出下列各對數的首數與尾數 : () log =.070 () log b = 0.09 () log c =.57 () log d =.57 (5) log =.655 (6) log =. 5. 計算 : () () ().508 () (5).8 (6) 長方體的體積是 5.8 cm, 長是.5 cm, 寬是. cm, 求它的高 7. 已知圓的面積等於 cm, 求它的周長 8. 某種產品的產量平均每年比上一年增長.5%, 求經過 6 年產量比原來增長的百分數. 寫出下列各對數的首數與尾數 : () log 0 =.77 () log8.56 = 0.95 () log 0.7 =.869 () log 0.08 =

14 . 已知一個數的對數之首數是下列各數, 問這個數是大於等於還是小於? 把它用科學記數法 0 n 表示時,n 是多少? () () 5 () () 0 (5) (6). 把下列負首數與正尾數的和改成一個負數之形式 : ().75 () 把下列各數改成負首數與正尾數的和之形式 : ().87 () 0.9 ().06 () 已知 log x 的尾數與 log 709 的尾數相同, 它的首數是下列各數, 求 x () 5 () () 0 () (5) (6) (7) (8) 6. 下列的式子對不對? 為什麼? () log( + b) = log + log b () () (log ) = log () log log( b) = log b log = log 7. 根據球的體積公式 V 體積 π r =, 求半徑 r 等於.5 cm 的球之 8. 圓柱的體積公式是 V = π r h, 其中 r 是圓柱的底面半徑,h 是圓柱的高求直徑是 0. cm 的 000 m 長之銅絲的重量 ( 已知銅的比重是 8.9 g/cm ) 9. 在某種條件下繁殖一種細菌, 一小時以後的數量是原來之.8 倍, 計算在這樣的條件下小時以後的數量是原來數量的多少倍

15 一本章主要內容是對數的概念運算性質以及常用對數 b 二設 ( > 0 ) 的 b 次冪等於, 就是 =, 數 b 就叫做以為底的之對數, 記作 log = b, 其中是對數的底數 ( 簡稱底 ), 叫做真數在對數式 log = b中, > 0 > 0 三積商冪方根的對數是 : log ( M) = log M + log M log = log M log n log M = nlog M n log M = log M n 利用它們可以把乘除運算化為加減運算, 把乘方開方運算轉化為乘除運算四我們通常用的對數是以 0 為底的對數, 這種對數叫做常用對數, 的常用對數可以簡寫成 log 知道一個正數, 可以由常用對數表 ( 或利用工程計算器 ) 查出這個數的對數知道一個對數, 可以由反對數表 ( 或利用工程計算器 ) 查出這個數利用常用對數表反對數表及積商冪方根的對數之性質, 可以比較簡潔地進行乘除乘方開方的計算

16 . 是什麼數時, 下列各式成立? () = () = () = () =. () 設 ( x ) + ( y+ ) = 0, 且 x y 為實數, 求 x y () 設 x + y x+ y+ = 0, 且 x y 為實數, 求 x y. 計算 : () ( + b c)( b+ c)( + b+ c)( + b+ c) () ( + b c d)( b c+ d) () ( x + y)( x + y)( x + xy+ y )(x xy+ y ) () ( x )( x )( x )( x ) (5) ( b) ( + b) (6) ( b)( + b)( + b+ b )( b+ b ). 分解因式 : () + b + c + b+ bc+ c () b+ b b b () x 5x + () mn + m n (5) m + m + (6) b + ( b ) + b( b) (7) ( + b )( + b) ( b ) 5. () 已知 x + y + z = xy+ yz+ zx= b, 求 x + y + z () 已知 x + = 5, 求 x + x x 6. 化簡 : () x + x+ x+ ( x+ )( x+ )

17 () () (5) + b + b+ b + b b + () (6) ( 5 ) 7. 解方程 : () x + x 0 = 0 () () x x+ x 6 = 0 6 x () = (5) x x x (6) x+ x = x+ + 9 = 0 x x 9x = 8. 解方程組 : () cx + y = c + x cy = c ( c 0 ), 求 x y () x + by = c ( b x + by = c b ), 求 x y () 5x+ y y+ x 5 + = + = x y + () 5x+ y y+ x 6 = = 5 x y+ (5) 5x 7y = 0 x xy+ = 0 9y+ z = (6) x y = x+ 8z =

18 x + 5x 8y = 6 (7) x x y = 9. k 為什麼值時, 方程 ( k ) x x+ = 0有兩個不相等的實數根? 有兩個相等實數根? 沒有實數根? 0. 求方程 x + px+ q = 0 之兩根的平方和及兩根的立方和. 求下列各式中的 x: () 6 x = () x = 0.5. 求下列各式中的 x: () log8 x = () log = x () log x 8 = () log7 x = 0. 下面的式子對不對 ( 其中 > 0 且 x > 0 y > 0 n 是大於的整數 )? 如果不對, 舉出例子 () (log x) = log x () log x = log x log x x () = log () log x = log n x log y y n. () log00 比 log 大多少? 00 () log 0.00 比 log000 小多少? 5. 已知 log = 0.00 log= 0.77, 求 log log 已知 = 5.7 b = 8.7 c = 0.5 s = ( + b+ c), 求 ss ( )( s b)( s c)

19 7. () 確定 () 確定的第一個不等於零之數碼 00 是幾位數, 並且求出它的最高之兩位數碼在小數點後面連續有多少個零, 並且求出它 8. 要使我國外貿的總金額經過 0 年成為倍, 平均每年的增長率是百分之幾? 9. 一些機器設備, 原來價值 700 萬元, 由於使用磨損, 每年比上一年價值降低 5.5%, 求 5 年後這些機器設備的價值

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練習 9A ( 9. 特殊角的三角比 T ( 在本練習中, 不得使用計算機如有需要, 答案以根式或分數表示. 試完成下表三角比 θ 0 4 60 sin θ cos θ tan θ 求下列各數式的值 (. cos 60. sin 4 4. tan 4. cos0 4 tan 0 7. sin 4 cos 4 8. cos 60 tan 4 9. tan 60sin 0 0. sin 60 cos