fun fun 三角函數一 ( n 180 ± θ ) = ± fun( θ ) ( n 180 + 90 ± θ ) = ± cofun( θ ) a b c R sin A = sin B = sinc = a b c bc A A b c a + = + cos, cos = bc 賴瑞楓老師編 姓名 :
銳角的三角函數與基本恆等式 三角函數 銳角的三角函數 : 設 ABC 為一直角三角形, C 為直角, AB 為斜邊, 兩股 BC 與 AC 分別叫做 B 的鄰邊與對邊, 則定義 : 對邊鄰邊對邊 B 的正弦 =sinb=, B 的餘弦 =cosb=, B 的正切 =tanb= 斜邊斜邊鄰邊鄰邊斜邊斜邊 B 的餘切 =cotb=, B 的正割 =secb=, B 的餘割 =cscb= 對邊鄰邊對邊倒數關係 : sin B csc B = 1,cos B sec B = 1, tan B cot B = 1 sin B cos B 商數關係 : tan B =, cot B = cos B sin B 平方關係 : sin B + cos B = 1, 1+ tan B = sec B, 1+ cot B = csc B < 注意 > 意義不同 : sin B 表示 sin B 與 sin B 餘角關係 : sin 90 A = cos A, cos A = sin A (1) ( 90 ) () ( 90 ) (3) ( 90 ) tan 90 A = cot A, cot A = tan A sec 90 A = csc A, csc A = sec A sin B, sin B 表示 sin( B ) 主題一銳角的三角函數 例 1. 試求下列各特別角的三角函數值 : A sin A cos A tan A cot A sec A csc A 30 45 60 例. 其它特別角的三角函數值 (1). 5, 67. 5, 90 三角形的三角函數值 () 15, 75, 90 三角形的三角函數值 (3) sin 18 =. [ 5 1 4 1
[ 重要的特別角函數值表 15 18 36 54 7 75 sin 6 5 1 10 5 5 + 1 10 + 5 6+ 4 4 4 4 4 4 cos 6+ 10 + 5 5 + 1 10 5 5 1 6 4 4 4 4 4 4 tan 3 + 3 [ 練習 (1) 設 cosa= 3, 且 0 < A < 90 試求 A 的其餘三角函數值 () 已知一銳角的正切為 15 8, 試求此角其餘的三角函數值 (3) 設 sina= 3 5, 且 0 < A < 90 試求 A 的其餘三角函數值 (4) cota= 3 5, sin A+ cos A 求 4cos A+ sin A 之值為 [ 8 17 (5) tana= 4 3, cos A+ sin Asec A 求 之值為 [ 87 sec A 15 (6) csca= 18 5, cos Asec A sin 求 tan Acot A + A 之值為 [ 3 1 cos A 5 (7) 設 A 為銳角, 且 tan A = 3 4, sin A cos A 求 + 之值 [ 7 1 cot A 1 tan A 5 (8) tana=3, 求 3 cos A 4 sin A 3cos A + 5sin A 之值為 [ 1 (9) ABC 中, A= 36, AB = AC = 1, CD為 C 的分角線交 AB 於 D,
(1) BC = () sin 18 = [ 5 1 5 1, 4 例 3. 試用 tana 表示 sina 及 cosa= [sin A = tan A 1+ tan, cos A = A 1 1+ tan A 例 4. 直角 ABC, C = 90, BC = a, CA= b, AB = c, 又 8cosA+cosB = 4, 求 a:b:c= [ 1:5:13 正多邊形的周長與面積 1. 圓內接正多邊形, 半徑為 r, r sin 180 n (1) 邊長 = () 周長 = n r sin ( 180 n) (3) 面積 = n r sin( 180 n) cos ( 180 n). 圓外切正多邊形, 半徑為 R, R tan 180 n (1) 邊長 = () 周長 = n R tan ( 180 n) (3) 面積 = n R tan ( 180 n) 例 5. 設一扇形中心角 θ 半徑為 a, 其內切圓半徑為 r, 則 r = [ ( θ ) ( θ ) a sin 1+ sin 例 6. 設 ABC 是等腰直角三角形, B=90,D 是 BC 中點, 求 tan DAC= [ 1 3 例 7. 設線段 AD 上有三等分點 B,C,(A-B-C-D), 以 BC 為直徑之半圓上取一點 P, APB=α, CPD=β, 求 tanαtanβ= [ 1 4 例 8. 設 x tanθ + cotθ x + 1= 0有一根為 + 3, 試求 sinθ cosθ 之值 [ 1 4 3
n n 例 9. 設 f( n) = sin θ + cos θ, (1) 試證 : () 試證 : f ( 6) = 1 3sin θcos θ f ( 4) = 1 sin θcos θ (3) 試求 f ( 6) 3f ( 4) = [ 1 [ 作業 1. 半徑為 a, b 之二圓外切, a>b, 其二外公切線之夾角為 θ a b a b 試證 : sinθ = ; tanθ = a+ b ab. 半徑為 1, 3 之二圓, 連心線段長 5, 其二外公切線之夾角為 θ, 求 cosθ= [ 1 5 3. 設 x 16sinθcosθ x + 1 = 0 有一根為 3, 試求 tanθ+cotθ 之值 [ 8 3 4. 0 < θ < 90, 若方程式 cos θ x cosθ x + 4cos θ = 0有等根, 求 θ 若方程式有實根, 求 θ 的範圍 [30,30 θ < 90 n n 5. 設 f( n) = sin θ + cos θ, 試證 : f ( 3) f ( 5) = f () 1 f () 5 f () 7 f ( 3) 6. ABC 中, C 為直角, 並以 a,b,c 分別表 A, B, C 的對邊, 若 a+b= 5 4 c, 且 a>b, 求 sina= [ 5 + 7 8 1+ tanθ 7. 若 0 < θ < 90, = 3+, 則 tanθ=,sinθ= [ 1 tanθ 3, 3 8. 邊長為 a 的正多邊形, 其內切圓與外接圓所圍環狀部分面積為 [ 1 π a 4 4
m 9. 若 0 < θ < 90,sinθ = 1 + m, 求 tanθ= [ m 1 m 10. log tan 60 + log tan 45 3log sin30 + log5 = [ 1 1+ log6+ log sec 45 11. 0 < θ < 45 若 tanθ+cotθ= 5 1, 求 sinθ cosθ = [ 1 5 主題二基本恆等式之證明例 1. 試證 : tan θ + sec θ 1 sinθ tanθ secθ + = 1 + 1 cosθ 例. 試證 : 1 + cscθ cotθ = 1 cscθ + cotθ cscθ + cotθ + 1 cscθ + cotθ 1 例 3. 試證 : 1 sinθcosθ cos θ sin θ = cos θ sin θ 1+ sinθcosθ 例 4. 試證 : sin θ tanθ + cos θcotθ + sinθcosθ = tanθ + cotθ 例 5. 試證 : cosa(tana+)(1+tana) = seca + 5sinA 例 6. 試證 : sinθ(1+tanθ)+cosθ(1+cotθ) = secθ+cscθ [ 作業 1. 試證 : tanθ + secθ 1 cosθ tanθ secθ + 1 = 1 sinθ. 試證 : 1 secθ + tanθ = 1 + secθ tanθ secθ + tanθ 1 secθ + tanθ + 1 5
3. 試證 : 1 + sinθ cosθ = 1+ tanθ cos θ sin θ 1 tanθ 4. 試證 : ( 1+ sinθ cosθ) + ( 1 sinθ + cosθ) = 41 ( sinθcosθ ) 5. 試證 : tan θ csc θ 1 tan θ 1 + = sec θ csc θ sin θ cos θ 6. 試證 : ( 1+ cosθ + sinθ = 1+ sinθ 1+ cosθ ) 7. 證明下列各恆等式 : ( 課本例題 ) (1) ( secθ tanθ) 1 sinθ = 1 + sinθ () tanθ + cotθ = secθ cscθ (3) sinθ 1 cosθ + + = cscθ 1+ cosθ sinθ (4) sin 4 θ cos 4 θ = 1 cos θ (5) 1 + cosθ 1 cosθ = 1 cosθ 1 + cosθ 4 cosθ sin θ (6) tan θ sin θ = tan θ sin θ 8. 證明下列各恆等式 : ( 課本習題 ) (1) () 4 4 cos θ sin θ = cos θ 1 3 3 cos θ + sin θ = (sinθ + cos θ) ( 1 sinθcos θ) (3) 4 4 cot θ + cot θ = csc θ csc θ 6
(4) tanθ + secθ 1 sinθ tanθ secθ + = 1 + 1 cosθ (5) + cot θ = csc θ + sec θ tan θ 9. 化簡下列各式 : (1) () 1 1 1 1 + + + = 1 + sinθ 1 + cosθ 1 + secθ 1 + cscθ [ 1 1 1 1 + + + 1 + sin n 1 + cos n 1 + sec n θ θ θ 1 + csc n θ = [ 4 4 (3) cot θ csc θ + cot θ + csc θ = [ 0 7
簡易測量與三角函數值表 1. 仰角 : 視線與水平線之夾角, 此時視線在水平線之上方. 俯角 : 視線與水平線之夾角, 此時視線在水平線之下方 例 1. 一飛機在高度 500 3 公尺的水平面上等速東飛, 某君面向東方在地面上觀測 此飛機, 仰角為 60, 5 秒後再測, 仰角為 30, 求飛機之秒速為公尺 [ 00 例. 某人於地面某處, 測得一建築物的仰角為 30, 走近 00 公尺後, 測得仰角為 45, 求建築物高為 [ 100+100 3 公尺 類題. 某人測得一山峰之仰角為 α, 當他向山峰前進 a 後, 再測得山峰之仰角增 a 大為 β, 則山峰之高為 [ cotα cot β 例 3. 山頂有一塔, 塔頂一旗桿, 旗桿之高為 h, 地面某一點測得山頂, 塔頂, 旗 h tanα 桿頂之仰角依次為 α, β, γ, 求山高為 [ tanγ tan β 類題 1. 山頂有一塔, 塔高 30 公尺, 地面某一點測得山頂, 塔頂之仰角依次為 30, 45, 則山高為 [ 15( 3+1) 公尺. 在塔高 10 公尺處, 俯測地面上一個圓形水池, 測得最遠點與最近點之俯角依次為 30, 45, 求此圓池的直徑為 [ 10( 3 1) 公尺 例 4. 在一塔底測得山頂之仰角為 α, 在塔頂測得山頂之仰角為 β, 設塔高為 a, a tanα a cot β 求山高為 [ 或 tanα tan β cot β cotα 例 5. 站在湖中小島的山峰上, 看對岸的高峰仰角是 30, 看湖面, 高峰的倒影俯角是 45, 若小島的山峰高 50 公尺 ( 從湖面算起 ), 問對岸的高峰為公尺 [ 50(+ 3) 8
類題 1. 在水池中豎立一根竹竿, 有一人離水面 h 公尺的高度 A 點, 測得竿頂的仰角為 α, 測得水面上竿頂的倒影俯角為 β, 求露出水面之竿長為 h( tanα + tan β) [ tan β tanα. 自某層樓窗口遠望一塔, 測得塔頂之仰角為 30, 塔底之俯角為 15, 設窗口與塔之水平距離為 00 公尺, 則窗高為, 塔高為 400( 3 3) [ 00 ( 3) 公尺, 公尺 3 例 6. 地面一直線上有三點 A,B,C, AB = BC =100 公尺, 有三人分別站在 A,B, C 處, 測量同一氣球, 仰角依次為 30, 45, 60, 若三人眼睛距地面均為 1.5 公尺, 求氣球高為 ( 取三位有效數字 ) [ 14 公尺 例 7. 在一塔正東方 A 測得塔頂之仰角為 30, 在塔正南方 B, 測得塔頂之仰角為 45, AB =100 公尺, 求塔高為 [ 50 公尺 例 8. 一塔高為 150 公尺, 在塔東 30 北 A 處與東 60 南 B 處各有一觀測站, 測得塔頂之仰角分別為 75, 45, 求 AB = [ 150( 6 ) 公尺 例 9. 在一塔正西方上某點測得塔頂之仰角為 45, 此人南行 3 公里後, 又測得塔頂之仰角為 30, 求塔高為 [ 3 公里 例 10. 一船向東 37 南航行, 速度為 30 浬 / 時, 於上午 9 時測得一島之方向為東 53 北, 中午 1 時再測島之方向為北 3 西, 試求中午 1 時船與島之距離為. [ 60 3浬 例 11. 海中一島其四周 8 浬內佈有水雷, 有一艦從西向東行駛, 於 A 點見島在其北 60 東, 繼續行駛 5 浬於 B 點又見島在其北 45 東, 倘若再不改變方向繼續行駛是否安全? [ 危險!! 9
廣義角的三角函數 一. 廣義角 : 有向角 : 1. 將一角視為由始邊旋轉至終邊的 旋轉量. 逆時針方向為正向, 順時針方向為負向 3. 有向角的大小無範圍限制 同界角 : 兩個有向角具有相同的始邊與終邊 α 與 β 為同界角 α= β+ n 360 例如 : 求 1991 的最小正同界角 = 二. 象限角 θ 為第一象限角 n 360 < θ < n 360 + 90 θ 為第二象限角 n 360 + 90 < θ < n 360 + 180 θ 為第三象限角 n 360 + 180 < θ < n 360 + 70 θ 為第四象限角 n 360 + 70 < θ < n 360 + 360 例如 : 下列各角為第幾象限角? (1) 1000 () 5000 (3) 1000 (4) 5000 三. 廣義角的三角函數 : 廣義角 θ 終邊上一點 P(x,y),OP = r = x + y ( 如右圖 ) 則定義廣義角 θ 的三角函數如下 : y x y x r sin θ =,cos θ =, tan θ =, cot θ =, sec θ =, cscθ = r r x y x 另一個定義 : 若廣義角 θ 的終邊與單位圓 ( 半徑為 1 的圓 ) 交於一點 P(x,y), 則定義廣義角 θ 的三角函數如下 : y x 1 1 sin θ = y, cos θ = x, tan θ =, cot θ =, sec θ =, cscθ = x y x y r y O O y P(x,y) θ y θ P(x,y) x x 四. 三角函數在各象限內之正負值 : 第一象限 : 全部都是正, 第二象限 : sin 與 csc 為正第三象限 : tan 與 cot 為正, 第四象限 : cos 與 sec 為正例如 : 已知 sinθ<0, tanθ>0, 則 θ 為第象限角 10
五. 同界角的三角函數值相等 : sin n 360 + θ = sin θ, cos n 360 + θ = cos θ, tan n 360 + θ = tanθ 六. 負角關係 : sin θ = sin θ, cos θ = cos θ, tan θ = tanθ 七.90 ±θ 關係 : sin 90 θ = cos θ, cos 90 θ = sin θ, tan 90 θ = cotθ ( 90 ) ( 90 ) ( 90 ) sin + θ = cos θ, cos + θ = sin θ, tan + θ = cotθ 八.180 ±θ 關係 : sin 180 θ = sin θ, cos 180 θ = cos θ, tan 180 θ = tanθ ( 180 ) ( 180 ) ( 180 ) sin + θ = sin θ, cos + θ = cos θ, tan + θ = tanθ 九 70 ±θ 關係 : sin 70 θ = cos θ, cos 70 θ = sin θ, tan 70 θ = cotθ ( 70 ) ( 70 ) ( 70 ) sin + θ = cos θ, cos + θ = sin θ, tan + θ = cotθ 歸納上述可得兩個化任意角為銳角三角函數的基本公式 式中 θ 可為任意角, 但判斷正負號時必須當銳角看待 fun( n 180 ± θ ) =± funθ, fun( n 180 + 90 ± θ ) =± cofunθ 或 fun( n 90 ± θ ) =± funθ 或 cofunθ ±, 奇變偶不變正負看象限 例如 : sin50 =. cos50 =. tan50 =. sin330 =. cos330 =. tan330 =. sin315 =. cos315 =. tan315 =. sin ( 510 ) =.cos( 510 ) =. tan( 510 ) =. 主題一同界角 : 若 α 與 β 為同界角 α= β+ n 360 n 例 1. 設 θ n = 180, n Z, 50 n 100, 則有個 n 值使 θ 6 n 為第二象限角 [ 9 例. 若 tanθ>0,secθ<0, 則 P(cosθ, sinθ) 可能在第幾象限 [ 三 11
θ 例 3. 設 θ 在第二象限內, 則可能在第幾象限? [ 一, 二, 四 3 例 4. 設 cos( 100 ) = k, 試求 tan80 = [ 1 k k [ 作業 1. 求最小正同界角與最大負同界角 (1) 000 [ 160, 00 () 3510 [ 70, 90. 設 α,β 分別為 γ,δ 的同界角, 則下列何者為真? [ A,B (A) α+β 與 γ+δ 為同界角 (B) 存在整數 m,n, 使 m ( α γ ) = n( β δ ) (C) 若 α=β 則 γ=δ (D) α γ = β δ (E) α β = γ δ 3. (1) 點 (cosθ, tanθ) 在第二象限內, 則點 (cotθ, secθ) 在第象限 [ 四 () 點 (cot 30, sec30 ) 在第象限 [ 二 (3) tanθ>0,secθ<0, 點 (cosθ, sinθ) 在第象限 [ 三 θ 4. 設 sinθ<0,cosθ>0, 則的終邊可能在第幾象限? [ 二, 三, 四 3 5. 設 P(sinθtanθ, secθcotθ) 在第二象限內, 則 θ 為第 象限角 [ 二 6. 設 P(sinθcosθ, secθtanθ) 在第三象限內, 則 θ 為第 象限角 [ 四 7. 若 sinθ-cosθ>0, 且 cotθsecθ<0, 則 θ 為第 象限角 [ 三 8. 設 Px, ( 5 ) 為有向角 θ 終邊上一點, 且 tanθ =, 3 6 則 cosθ=,sinθ= [, 3 3 9. 設 P(x, 1 ) 為有向角 θ 終邊上一點, 且 OP=13, 5 1 則 cosθ=,sinθ= [ ±, 13 13 1
n 10. 設 θ n = 180 n Z 1 n 100 4,,, 則有多少個 n 值使 θ n 為第一象限角 [ 13 θ 11. 設 θ 為第二象限角, 則可能為第象限角 [ 一, 三 1. 設 sin 100 = k, 試求 cot 60 = [ 1 k k 13. 設 cos, 試求 tan 60 = [ 1 k k 100 = k 14. 設 tan 0 = k, 試求 sec 50 = [ 1+ k k 15. 設 sin 110 = k, 試求 tan 610 = [ k 1 k 16. 設 tan θ = k, 90 < θ < 180, 試求 cosθ = [ 1 1+ k 17. 設 0 < x < 360, 解不等式 : log cos x > log sin x [45 < x < 90 cosx cosx 18. a = sin ( ), b = cos, c = tan, d = cos( ) 870 430 1310 1900, 試比較 a,b,c,d 之大小 [c>b>d>a 19. 0 < α < 45 < β < 90 < γ < 135 < δ < 180, 試比較 tan α, tan β, tan γ, tanδ 之大小 [ tan β > tanα > tanδ > tanγ 0. (1) 設 θ 為第二象限角, 求 tanθ+ cotθ 的最大值 = [ () 求 y = tanθ+ cotθ 的範圍為 [ y or y 1. k R, 若 sinθ 1= ( sinθ + 1) 主題二三角函數值 例 5. sin( 180 + ) cos( 90 + ) sin( 90 ) cos( 180 ) k 有解, 求 k 的範圍為 [ k 3 or k 1 3 θ θ θ θ = [ 1 13
sin θ tan 70 + θ cos θ 例 6. = [ 1 sin 180 + θ tan 70 θ sin 90 + θ 4 3+ 5 例 7.sin 60 cos150 cos5 sin315 + tan300 sec0 = [ 4 sin 180 θ tan 360 θ cos 90 θ csc 70 θ 例 8. cos 70 + θ sin 540 θ = [ 1 例 9. sin cos tan cot( 例 10. (1) 1590 1860 + 1395 960 ) = [ 1 4 () (3) 180 k = 1 360 k = 1 k= 1 3 + 3 cosk = [ 1 sin k = [ 0 ( 90 ) sin k k = [ 5 例 11. 已知 sinθ = 3 5, sinθ cosθ 且 θ 在第二象限, 則 + = [ 1 1 cotθ 1 tanθ 5 例 1. 設 90 < θ < 180 且 3sin θ sinθcosθ cos θ = 0, 則 tanθ= [ 3 1 例 13. 已知 sinθ cos θ =, secθ < 0, 則 sinθ+ cosθ= 3 3 sin θ cos θ = [ 7 11, 16 例 14.k R,sinθ, cosθ 為方程式 x + kx + k = 0 之二根, 則 k= [ 1 [ 作業 cos( 90 + θ) cot θ 70 1. + sin θ tan 180 + θ = [ 0 14
. cot10 + tan190 + tan100 + tan350 = [ 0 3. cos10 cos315 cos40 sin135 = [ 0 4. 已知 tanθ = 4 3, sinθ cosθ 求 + = [ 7 7, 1 cotθ 1 tanθ 5 5 5. 設 tanθ = 4 3, 4cosθ + 1 且 cosθ cotθ < 0, 求 3sinθ + 5 = [ 17 13 6. 已知 tanθ+ cotθ= 5 1, 3 3 且 θ 在第三象限, 求 sin θ + cos θ = [ 91 15 7. 若 cotθ=, 則 cos θ + sinθcosθ + 3sin θ = [ 11 5 8. θ 在第三象限, 3tanθsinθ-secθ+ 5 = 0, 求 tanθ= [ 9. 若 cscθ-cotθ=, 則 sinθ= cosθ= [ 4 5 10. 若 cosθ>sinθ>0, 且 tanθ+cotθ= 5 1, 則 sinθ= [ 3 5 3, 5 11. 180 < θ < 70, cosθ 為方程式 6x + x 1= 0之一根, 則 log3 tanθ = [ 1 1. 若 3 + 為方程式 x ( tan cot ) θ + θ x + 1= 0之一根, 則 sinθcosθ= [ 1 4 k 13. 設有一數 r,0<r<1, 且 r sin( k 60 ) 之和可化為 k = 1 a+ br+ cr 1 r + r, 則 ( a, b, c )= [ ( 0, 3,0 ) 15
14. 設 0 x 180 且 y = cos x+ asin x 之最大值為 3, 求正實數 a= [ 5 15. 設 180 < < 70 x 求 1+ cot x ( 1+ csc x) + cos x + ( + cos x) [ 3 16. sinα+ sinβ= 1, cosα+ cosβ= 0, 4 4 則 cos α + cos β = sin α + cos β = [ 3 5, 8 主題三內插法 例 15. 已知 sec 80 10 = 5. 855, sec 80 0 = 5. 955, 求 sec80 18 = [ 5.935 例 16. 已知 sec 40 40 = 1. 318, sec 40 50 = 1. 3, 若 sec θ = 130., 70 < θ < 360 則 θ= [319 15, 例 17. 已知 log cos 55 0 = 1. 7550, log cos 55 10 = 1. 7568, 求 log cos55 16 = [ 1. 7557 [ 作業 1. 已知 cos 4 30 = 0. 9100, cos 4 40 = 0. 9088, 求 cos4 35 = [ 0.9094. 已知 cot 5 10 = 0. 7766,cot 5 0 = 0. 770, 若 cot θ = 0. 7743, 90 < θ < 180, 則 θ= [17 45 3. 已知 sin 47 0 0. 7353, sin 47 30 0. 7373 = =, 求 sin( ) 587 3 = [ 0.7359 4. 已知 sec 67 50 =. 650, sec 67 40 =. 63, 若 csc θ =. 641, 180 < θ < 70, 則 θ= [0 15 5. 已知 cot 65 0 = 0. 459, tan 4 30 = 0. 4557, 若 cot θ = 0. 4575, 90 < θ < 180, 則 θ=. [114 35 16
正弦定理與餘弦定理 主題一正弦定理 面積公式 : a ABC = 1 底 高 = 1 absinc = 1 bcsina = 1 acsinb 正弦定理 : 設 ABC 的外接圓 O 的半徑為 R, a b c 則 = = = R a : b : c = sina : sinb : sinc sin A sin B sin C 例 1. ABC 中, ( a + b c ) 3 = sin A+ sin B sin C, 求外接圓的半徑 = [ 3 4 類題. (1) ABC 中, A: B: C=1::3, 則 a:b:c= [ 1 : 3 : () ABC 中, 若 A= 30, BC = 8, 求外接圓的半徑 = [ 8 (3) ABC 中, 若 A = 80, B = 40, 外接圓的半徑為 3, 則 c= [ 3 3 (4) ABC 中, 若 A = 30, B = 45, 則 a:b:c= [ : : 3+ 1 例. ABC 中, A= 30, B = 45, a+ b+ c = 3 + + 3, 則 c= [ 3 + 1 例 3. ABC 中滿足 asina=bsinb=3csinc, 則 a:b:c= [ 6: 3: 主題二餘弦定理 餘弦定理 : ABC 中, 1. a b c bc A A b c a + = + cos, cos = bc. b c a ca B B c a b + = + cos, cos = ca 17
3. c a b ab C C a b c + = + cos, cos = ab 投影定理 : a = b cosc + c cosb b = c cosa + a cosc c = a cosb + b cosa B 7 5 A 3 C D 例 4. 已知 ABC 三邊長分別為 AB = 7, BC = 5, AC = 3, 延長 BC 至 D, 如上圖所 示, 使得 CD =, 則 AD =. [ 7 例 5. ABC 中, : b : c = : 6 : ( 3 + 1) a, 則最大角幾度 = [ 75 例 6. ABC 中, 三邊為 x + x+ 1, x 1, x+ 1, 則最大角幾度 = [ 10 例 7. ABC 中,sinAcosA=sinBcosB, 則 ABC 之形狀為何? [ 直角 或等腰 例 8. ABC 中, 若 log a + b+ c + log a + b c = 1+ log a+ log b, 3 3 3 求 C= [ 60 4 4 4 例 9. ABC 中, 三邊 a,b,c 之關係為 a b + c = c ( a + b ) +, 求 C= [45, 135 3 例 10. ABC 中, C=60 則 (1) ( a+ b+ c) ( a+ b c) = [ 3ab b a () a+ c b+ c [ 1 例 11. ABC 中, a=3, b=4, tana= 3 4, 則 c= [ 5 or 7 5 例 1. ABC 中, AB = AC = 4, BC = 6, 在 AB 上取一點 P, 使 CP=5, 求 AP = [ 1+ 37 18
例 13. ABC 中,BC =, AC = 1+ 3, C = 45 求 AB =, A =, B = [ AB =, A = 30, B = 105 a 例 14. ABC 中, 面積為, 求證 cota+cotb+cotc= + b + c 4Δ 例 15. ABC 中, 試證下列各等式 : (1) a(sinb-sinc)+b(sinc-sina)+c(sina-sinb)=0 sin B sin C sin A () = b c a (3) (b-c)sina+(c-a)sinb+(a-b)sinc=0 (4) ab cos C c cos B = b c + + = ( cos + c os B+ ab cos C) (5) a b c bc A ca (6) a c cos B sin B = b c cos A sin A 例 16. 圓內接四邊形 ABCD 中, AB = AD = a, C = 90, D = 105 求 AC = BD = [ 3+ 1a, a 例 17. 圓內接四邊形 ABCD 中, AB = 5, BC = 4, CD =, B = 60 求 AD = [ 1+ 3 例 18. ABC 中, A 之平分線交 BC 於 D, AB = 4, AC = 3, A = 60, M 為 BC 中點, 求 AD = AM = [ 1 3 7, 37 例 19. ABC 中, A= 75, AB = 6, AC =, 在 BC 上取一點 D, BAD = 30 求 AD = [ 6 [ 作業 1. ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:5:7, 則最大角幾度 = [ 10. ABC 中,a:b:c=:3:4, 則 cosa= [ 7 8 19
3. ABC 中, A= 10 且三邊關係為 a b+ 3c = 4, a 3b c =, 求 a, b, c = [ a= 3,b=c=1 4. ABC 中,5a+b-5c=0, 3a-1b+8c=0, 則 sina:sinb:sinc = [4:5:6 5. ABC 中,( a b+ c) + ( 3a+ b c) = 0, 則 sina:sinb:sinc = 13 cosa = [3:5:7, 14 6. ABC 中, 三邊為 a,b,c, 若 sin A sin B + sin C = 0, 3 sin A + sin B sin C = 0 (1) a:b:c = () 最大內角 = [ 3:5:7, 10 7. 判斷 ABC 之形狀 : (1) a cosa = b cosb [ 直角 或等腰 () a sina = b sinb = c sinc [ 正 (3) b sin C c cos B = bccos B cosc [ 等腰 (4) a 4 b 4 + 1 a + b + = 4 c c [ 等腰直角 (5) a = b cosc [ 等腰 (6) ab A B a A b sin + sin sin sin = B a+ b [ 等腰 (7) sin A + sin B = sin C [ 直角 (8) cosb sinc = sina [ 等腰 (9) a cosb = b cosa [ 等腰 (10) tan A sin A = tan B sin B [ 直角 或等腰 8. ABC 中, 三邊 a,b,c 之關係為 (a+b+c)(b+c-a)=3bc, 求 A= [ 60 9. ABC 中, AB = 6, BC =, AC = 1+ 3, 求 A, B, C = [ 45, 75, 60 0
10. 圓內接四邊形 ABCD 中, AB = AD =, C = 90, D = 105, 求 AC = [ 3 + 1 11. ABC 中, A 之平分線交 BC 於 D, AB = 3, AC = 5, A = 10, 求 AD = [ 15 8 1. ABC 中, A = 105, AB =, AC = 1, D 為 BC 上一點且 BAD=60, 求 AD = [ 13. ABC 中, 證明 : (1) b + c cos B + cosc = a 1 cos A () cosa + cosb + cosc>1 3 14. ABC 中, a,b,c 為方程式 x 3 x + 5x = 0 之三根, A, B, cos cos cos C 分別為 a,b,c 的對角, 則 A B a + C b + c = [ 15. ABC 中, 三邊為 x x+ 3, x + 3, 4x, 則最大角幾度 [ 10 16. ABC 中, 三邊為 x x + 1 x x x 1 ( x > ),,,, 則最大角幾度. [ 10 17. ABC 中, 三邊為 10, 10 x, 10 + x, 若為銳角三角形, 5 5 則 x 範圍為 [ < x < 18. ABC 中, A= 60, AB = 10, AC = 16, 則 A 的外角平分線長為 [ 80 3 19. ABC 中, log a log c = log sin B = log,( B 為銳角 ), 求三角形之三內角 [ A=B=45, C=90 主題三三角形面積面積公式總整理 : 令 s = a+ b+ c 1
1. 已知三邊 = ss ( a)( s b)( s c) ( Heron 海龍公式 ). 已知二邊與夾角, = 1 1 1 bcsin A = ca sin B = absin C 3. 已知內切圓半徑 r, = rs 4. 已知外接圓半徑 R, = abc 4R 5. 已知旁切圓半徑 ra rb rc,, = r ( s a) = r ( s b) = r ( s c) a b c t a 表 A 的內角平分線, m a 表 BC 邊的中線長, h a 表 BC 邊的高 bc sin A bc cos( A ) ta = =, b ( b+ c) sin( A ) ( ) + c = m a + a b+ c ha : hb : hc = 1 : 1 : 1 a b c 例 0. ABC 中, s = a+ b+ c 例 1. ABC 中, r 為內切圓半徑, s = a+ b+ c, 試證 : ABC 的面積 = ss ( a)( s b)( s c), 試證 : ABC 的面積 = r s 例. ABC 中,R 為外接圓半徑, 試證 : ABC 的面積 = abc 4R 例 3. ABC 中, r a 為切於 BC 邊之旁切圓半徑, r 為內切圓半徑, 試證 :(1) ABC 的面積 = ra ( s a) () 1 + 1 + 1 = 1 r r r r a b c 例 4. ABC 中, 三中線長為 5,6,7, 求三角形面積 = [ 8 6 例 5. ABC 中, 三邊長為 5,6,7, 求外接圓半徑 = 內切圓半徑 35 6 6 =. [R =, r = 4 3 例 6. ABC 中, 三高長為 6,4,3, 求 ABC 面積 =, 三邊長 =, ABC 內切圓半徑 = [ 48 15 16 15 8 15 3 15 4, a =, b =, c =, 15 15 5 15 3
例 7. ABC 中,a+b+c=0, 內切圓半徑 = 3, A= 60 且 b<c, 求 a, b, c = [ a=7 b=5 c=8 例 8. 將周長為 1 的正六邊形各角割去一等腰三角形, 使成為正十二邊形, 求其邊長 = [ 4 3 6 例 9. 梯形 ABCD 中, AD // BC, AB = 13, BC = 5, CD = 15, AD = 11, 求梯形面積 = [ 16 例 30. ABC 中, AB = 9, AC = 8, A = 40 在 AB, AC 上各取一點 D,E,DE 把 ABC 面積等分為二, 且 DE 為最短, 則 AD = AE = [ 6, 6 例 31. ABC 中, AB = 7, AC = 9, BC = 8, 內切圓切 BC 邊於 D, 求 AD =. [ 46 例 3. 直角三角形, 面積 =4, 內切圓半徑 =, 求三邊之長 [ 6,8,10 [ 作業 1. 三角形兩邊長為 10,6, 夾角為 60, 求三角形面積 = [ 15 3. ABC 中, b= 10 3, c= 10, B = 10, 求三角形面積 = [5 3 3. ABC 中, a = 4, C = 60, B = 45, 求三角形面積 = [ 1 4 3 4. 梯形 ABCD 中, AB // CD,E 為對角線交點, ABE, CDE 之面積分別為, 3, 求梯形面積 = [5+ 6 5. ABC 中, 三邊長為 4,5,6, 求最長之中線長 = [ 106 6. ABC 中, 三中線長為 3,4,5, 求三角形周長 = [ 73 + 4 13 + 10 3 3
7. ABC 中, 有一角為 10 對邊長為 7, 另二邊長之和為 8, 求三角形面積 = [ 15 3 4 8. 梯形 ABCD 中, AD // BC, AD = 5, BC = 10, CD = 7, AB = 6, 求 cosb= 1 梯形面積 = [, 18 6 5 9. 梯形 ABCD 中, AD // BC, AD =, BC = 5, B = 45, C = 30 1 3 1 梯形面積 =. [ 4 10. P為正方形 ABCD 內一點, AP = 7, BP = 5, CP = 1, 求正方形的面積 = [ 3 11. ABC 中, ha, hb, hc 為三邊之高,tanA=1,tanB=,tanC=3, abc 5 求 = [ 3 hhh a b c 1. ABC 中, a = 5, b = 7, c = 8, 則 (1) ABC 的面積為 [ 10 3 () ABC 的內切圓半徑為外接圓半徑為 [ 3, 7 3 3 13. ABC 中, A= 90, A 之分角線交 BC 於 D, 若 AB = u, AC = v, AD = w, w w 則 + = [ u v 14. ABC 中, h : h : h = : 3: 4, a b c (1) sina:sinb:sinc = [ 6:4:3 () cosa:cosb:cosc = [ 66 :116:19 主題四三角形中線平方定理, 平行四邊形定理 三角形中線平方定理 : ABC 中,M 為 BC 之中點, 則 AB + AC = AM + BM 4
平行四邊形定理 : 平行四邊形各邊平方和等於兩對角線的平方和 例 33. ABC 中,M 為 BC 之中點, 試證 : AB AC ( AM BM ) + = + 例 34. 試證 : 平行四邊形各邊平方和等於兩對角線的平方和例 35. ABC 中, AH 為 BC 邊上的高, 試證 : AH = bc sin A a 例 36. 任意四邊形 ABCD, 二對角線 AC, BD之夾角為 θ, 試證 : 四邊形 ABCD 面積 = AC BD sinθ 類題. 四邊形 ABCD, 二對角線 AC = 9, BD = 8, 夾角為 60, 四邊形 ABCD 面積 [ 18 3 5
三角測量 一. 兩個目標 P,Q 間有障礙物, 欲測量 P,Q 之距離 : (1). 由觀測站 A, 可測出 AP = a, AQ = b, PAQ = θ 則 APQ 中, 利用餘弦定理可求出 PQ. PQ = a + b ab cosθ (). 若觀測站 A, 不能測出 AP 時 ( 可能有鐵絲網阻隔 ), 先找出另一觀測站 B, 測出 PAQ = α, QAB = β, ABP = γ, PBQ = δ, AB = a, 利用正弦定理求出 AP, AQ, 則 APQ 中, 再利用餘弦定理可求出 PQ = AP + AQ AP AQ cosα 二. A,P 間有障礙物, 欲測量 A,P 之距離 : 在 A 點同側找出另一觀測站 B, 測出 BAP = α, ABP = β, AB = a, 則 ABP a sin β 中, 利用正弦定理求出 AP = sin α + β 三. 測量山高 PQ: (1). 過山腳 Q 的直線上找出兩觀測站 A,B, 測出 QAP = α, QBP = β, AB = a, a 令 PQ = h, 可求出 AQ, BQ, a = AQ BQ, 可解得 h = cot α cot β (). 若受地形限制,A,B,Q 不在同一直線, A 點仰角 α, PAB = β, PBA = γ, AB = a, 則 ABP 中, 利用正弦定理 a 求出 h = sinα sinγ sin β + γ 四. 設山坡成一直線, 傾斜角為 θ, 由山麓 A 測出山頂仰角 α, 沿山坡前進 a 後到 達 B, 再測出山頂仰角 β, 欲測量山高 PQ: ABP 中, 利用正弦定理可求出 a AP, 則 PQ = AP = sin β sin θ sinα α sin β α 6
五. A,Q,B 在同一直線, 飛機 P 在 Q 之正上方, 測出 PAQ = α, PBQ = β, AB = a, 欲測量飛機高度 PQ: PQ = a sinα sin β sin α + β 已知高樓 AB 之高度 a, 欲測量對街樓高 PQ: (1). AB < PQ 時 B 點仰角 α, A 點仰角 β, ABP 中, 利用正弦定理 a 可求出 BP, 則 PQ = BP = sinα sin cosβ α sin α β (). AB > PQ 時 B 點仰角 α, A 點俯角 β, ABP 中, 利用正弦定理 a 可求出 BP, 則 PQ = BP = sinα sin cosβ α sin α + β 例 1. 自塔之正北 A 處測得塔之仰角為 45 又自塔之正東 B 處測得塔之仰角為 15, 已知 AB =a, 試求塔高? [ a ( 6 ) 4 例. 一塔高 150 公尺, 樹 A 在塔的正東, 樹 B 在塔的東 60 南, 一人在塔頂測得 A 之俯角 75, B 之俯角 45, 求兩樹的距離 [ 150 6 3 3 公尺 例 3.B,C 為地面上的兩點,BC =a,d 為 BC 之中點, 在 B,D,C 三處測得氣球之仰角分別為 α,β,γ, 試求氣球之高 [ a cot α + cot γ cot β 例 4. 兩觀測站 S,T 之距離為 a, 飛機 A 在地面 B 點上空,S 站測得 A 之仰角為 α, BST 為 γ,t 站測得 BTS 為 β, 求飛機之高度 β α β + γ [ a sin tan sin 例 5. 一船向正東方航行, 其左側有二燈塔 A,B, 測得 A 在北 30 東,B 在北 75 東, 該船前進 100 浬到達 C 處又測得 A 在北 30 西,B 在北 60 東, 求 AC = AB = [100 浬,100 浬 例 6. 某人從 A 測得山頂 P 之仰角為 45, 前進 100 公尺至 B, 再測得山頂之仰角為 60, 試求山頂之高度? [50(3+ 3) 7
例 7. 某人於山麓測得山頂之仰角為 45 由此山麓循 15 斜坡上行 100 公尺, 再測得山 [ 50( 6 ) 頂之仰角為 60 試求山頂之高度 + 公尺 例 8. 於相距 1000 公尺之 A,B 兩地, 測得山頂之仰角為 30,45 且 A 在山之正東方, B 在山之東南方, 求山高? [ 100 40 + 10 6 公尺 例 9. 於相距 3000 公尺之 A,B 兩地, 測量一氣球 C 之高度, 在 A 測得 AC 與 AB 之夾角為 75, 球之仰角為 30, 在 B 測得 BC 與 BA 之夾角為 60, 求氣球之高度 [750 6 公尺 例 10. 設 M,N 分別為甲, 乙兩山之山頂, 孫君從 A 地沿直線斜坡 AN 爬上乙山, 已知 AN =800 公尺, AN 之傾斜角為 30, 於 A 測得 MAN=15, 當孫君爬到乙山山頂 N 時, 又測得 M 點仰角為 60, ANM=10, 求甲山之高度 A [ 100(10 3) N B M C 例 11. 某建築物上有一塔, 塔頂有一旗竿, 旗竿長 公尺, 今在地面某點測得建築物之頂, 塔頂, 旗竿頂之仰角分別為 45, 60, 75, 求建築物高度 [1 公尺 例 1. 平面上三點 A,B,C, 測得山頂之仰角均為 15, BAC=30, BC =50 公 尺, 求山高? [50( 3) 公尺 例 13.A,B,C 三點成一直線, 測得山頂 D ( 山腳為 E) 之仰角分別為 30, 45, 60, E 不在直線上, 若 AB = BC =300 公尺, 求山之高度 [150 6 公尺 例 14.A,B,C 三點成一直線, 測得山頂 D ( 山腳為 E) 之仰角分別為 30, 45, 60, E 不在直線上, 若 AB =600 公尺,BC =400 公尺, 求山之高度 [00 15 公尺 例 15. 一塔高 9 公尺,A 在塔的北 15 東,B 在塔的北 45 西, 一人在塔頂測得 A 之俯角 60, B 之俯角 30, 求 A,B 兩點的距離 [ 3 1 公尺 8
例 16. 山頂有一塔, 地面 A 點測得山頂 D 之仰角為 α, 前進若干公尺到達 B 點後, 再測得山頂 D 之仰角為 β, 塔頂 E 之仰角為 γ, 已知 DE =h 公尺, 設 D 在地面投影為 C, 求 CD= AB = [ CD h cosγ sin β = AB = h sin( ), cosγ sin( β α) γ β sin( γ β) sinα 例 17. 有一湖, 岸上兩點 C,D, 湖岸築有鐵絲網不能靠近, 在鐵絲網外取 A,B 兩點, 距離 30 公尺, 自 A,B 分別測得下列各角 : CAB= 10, DBA= 135, DAB=30, CBA=45, 求 CD= [30( 6+ ) 公尺 例 18.A,B 兩瞭望台相距 100 6 公尺, 今發現海上有船 C, ABC= 105, BAC=45 問船 C 與瞭望台 A 相距多遠 [100(3+ 3) 公尺 [ 作業 1. 在高山遠望海面最遠一點得俯角 θ 已知山高 h, 求證地球半徑為 h cosθ 1 cosθ. 某人於山麓測得山頂之仰角為 45, 由此山麓循 30 斜坡面向山頂上行 00 公尺, 再測得山頂之仰角為 60, 試求山頂之高度 [100( 3+1) 公尺 3. 某建築物上有一塔, 塔頂有一旗竿, 旗竿長 公尺, 今在地面某點測得建築物 3+ 3 之頂, 塔頂, 旗竿頂之仰角分別為 30, 45, 60, 求建築物高度. [ 公尺 3 4. 甲, 乙兩塔直立於平地上, 相距 60 公尺, 從甲塔底看乙塔頂的仰角等於從乙塔底看甲塔頂的仰角的 倍, 又從連接兩塔底之線段之中點分別看兩塔頂時, 仰角和為 90, 求兩塔高 [ 45, 0 5. 某人在某處測得一山頂之仰角為 θ 前進 a 後仰角為 45, 再前進 b 後仰角為 ab 90 θ, 求山高 [ a b 9
6. 一人見一建築物 A 在正北方, 另一建築物 B 在北 30 西, 此人向西北行 1 公里 後, 見 A 在東北方, B 在正東方, 求兩建築物的距離 [ 6 3 公里 7. 有 50 公尺長的旗桿豎立在 40 公尺高之塔上, 於地面一點仰視, 若此點對於旗桿 與塔所張之角相等, 求此點與塔底之距離 [ 10 公尺 8. 在塔之正西 A 及正南 B 測得塔頂之仰角 45, 15 若 AB =1 公里, 求塔高 [ 50( 6 ) 9. 設 A,B,C 為地面上之三點,A 在 B 之正南,C 在 B 之正東, 今有一塔位於 B 之正西, 由 A,B,C, 三點測得塔頂之仰角 45, 60, 30, 若 AB =100, 求 BC = 及塔高 [100, 50 6 10. 一船向東 37 南航行, 時速為 30 浬, 於上午 9 時測得一島之方向為東 53 北, 中 午 1 時再測, 方向為北 3 西, 則中午 1 時, 船與島之距離 = [ 60 3 浬 11. 有一個三角架, 三隻腳的長度都是 150, 三隻腳的著地點為 A,B,C 且 AB = 70, BC = 80, CA = 90, 則腳架頂端 P 離地面的高度為. [ 3 55 A P C 1. 已知正五角星 ( 即 ABCDE 為正五邊形 ) 內接於一圓 O, 如右圖所示. 若 AC = 1, 則圓 O 的半徑長為. B E 5 1 10 + 5 [ sin18 =, cos18 = 4 4 A D 13. 在坐標平面的 x 軸上有 A(,0),B(-4,0) 兩觀測站, O 同時觀察在 x 軸上方的一目標 C 點, 測得 BAC 5 及 ABC 之值後, 通知在 D (, 8) 的砲台此兩個角 8 8 的正切值分別為及 那麼砲台 D 至目標 C 的距離為 9 3 B C 30
14. 假設 cos θ + 3sinθ =, 且 0 < θ < 90, 求 cos θ + sinθ 之值 = 15. 某甲觀測一飛行中的熱氣球, 發現其方向一直維持在正前方, 而仰角則以等速遞減 已知此氣球之高度維持不變, 則氣球正以. (A) 等速飛行 (B) 加速向某甲飛來 (C) 減速向某甲飛來 (D) 加速離某甲飛去 (E) 減速離某甲飛去 16. 設 H 為銳角三角形 ABC 的垂心 ( 三高之交點 ), 若以 c 表線段 AB 之長, 則線段 AH 之長等於. (A) c cos A sin C (B) c cos A cosc (C) c cos A tan C (D) c cos A secc (E) c cos A cscc 17. 某恆星系統中有甲 乙兩行星 假設兩者公轉軌道在同一平面上, 且為以恆星為圓心的同心圓 某時, 甲行星在恆星與乙行星之間而成一直線 今在該平面上設定一座標系如下圖 已知兩行星皆以逆時針方向運行, 且公轉之週期為 :7 試問下一次甲行星再度在恆星與乙行星之間而成一直線時, 應該是下面哪一種狀況? (A) 行星在第一象限 (B) 行星在第二象限 (C) 行星在第三象限 (D) 行星在第四象限 (E) 行星在正 x 軸上恆星甲乙 18. 如右圖, AD 為圓的直徑, B, C 為半圓上兩點, 令 a = AB, b = BC, c = CD, d = AD, 試證 d 為 x + + = 之一根. 3 方程式 ( a b c ) x abc 0 C B A D 31