ok321 直線方程式

主題一 直線的斜率 斜率的定義:設 Ax, y,, B x y 為直線 L 上相異兩點, y y () 若 L 非鉛直線 ( x x ),則 L 的斜率 m x x () 若 L 為鉛直線 ( x x ),則稱直線 L 無斜率 斜率的變化: () 直線由左下向右上傾斜時,斜率為正 () 直線由左上向右下傾斜時,斜率為負 () 直線為水平線時,斜率為 0 直線為鉛直線時沒有斜率 同時,直線的傾斜程度愈大,斜率的絕對值也愈大 與 x 軸正向的夾角: 設直線 L 的斜率為 m,其與 x 軸正向所夾的有向角為 ( 0 80, 90),則 m tan y y BC 說明: m tan x x AC http://087

例題 設 O 0,0, A,, B,6 為坐標平面上三點, () 求直線 OA 直線 OB 直線 AB 的斜率 () 若點 D 的坐標為 D 6,,則 A, B, D 三點是否共線? Ans:() 5 m, m, m,() 三點共線 OA OB AB 0 () 直線 OA 的斜率為 0 6 0 直線 OB 的斜率為 0 6 5 直線 AB 的斜率為 0 5 () 直線 AD 的斜率為, 6 8 因為直線 AD 的斜率等於直線 AB 的斜率, 而兩直線有公共點 A, 因此兩線應為同一直線, 即 A, B, D 三點共線 類題 若 P 6,6, Q,7, Rk,8 Ans: 三點共線,求 k 值 三點共線時,直線 PQ 的斜率等於直線 PR 的斜率, 7 6 8 6 即 k 6 k 6 http://087

例題 右圖中, A, B, C, D, E 為坐標平面上的五個點 y 將這五個點的坐標 xy, 分別代入 x, 問哪一個點代入所得的值最大? Ans:B 由斜率的定義知: y x y 0 表點 x 0 xy, 與原點 O 0,0 所成直線的斜率 而 5 條直線 OA, OB, OC, OD, OE 中, 以直線 OB 的斜率最大, 故點 B 代入 y 的值最大 x 類題 如圖,將圓六等分的點分別為 A, B, C, D, E, F, 設 AB, BC, CD, DE, EF, FA 六邊所在斜率分別為 m, m, m, m, m 5, m 6,下列何者正確? () m 最大 () m 最小 () m m () m 0 (5) mm mm m5m6 0 Ans:()()()(5) BC, EF 皆為水平線, m m 5 0, AF, CD 方向為左下而右上且互相平行,則 m m6 0, AB, DE 方向為右下而左上且互相平行,則 m m 0, 故 m m6 m m5 m m 故選 ()()()(5) http://087

例題 已知直線 L 與 x 軸正向的夾角為, tan,求 L 的斜率 Ans: 如圖, BC y y ABC 中, tan m, AC x x 故斜率 m 類題 已知直線 L 的斜率為,若 L 與 x 軸正向所夾的有向角為, 求 tan Ans: 如圖, tan tan 80 OAB tan OAB OB OA 故 tan y y y y x x x x m http://087

5 主題二 直線方程式 點斜式:通過點 0, 0 y y mx x 0 0 A x y 且斜率是 m 的直線方程式為 y 截距為 b 且斜率為 m 的直線方程式 y mx b ( 斜截式 ) 設直線 L 通過相異兩點 Ax, y,, () 若 x x,則直線 L 的方程式為 y y y y x x x x ( 兩點式 ) B x y, () 若 x x,則直線 L 為鉛直線,方程式為 x x 若直線 L 的 x 截距為 a, y 截距為 b,且 a, b 均不為 0, x y 則直線 L 的方程式為 ( 截距式 ) a b 5 一般式:設直線 L : ax by c 0 () 當 b 0 時, L 的斜率為 a b () 當 b 0時, L 為無斜率的鉛直線 http://087

6 例題 求下列各直線的方程式: () 通過點,,斜率為 的直線 () 通過點,,斜率為 0 的直線 () 通過點 0,,斜率為 的直線 Ans:() x y8 0,() y 0, () x y 0 利用點斜式,得 () 直線方程式為 y x () 直線方程式為 y 0x () 直線方程式為 y x 0,即 x y8 0,即 y 0,即 x y 0 類題 求下列各直線的方程式: () 通過點,,斜率為的直線 () 通過點,,斜率為 0 的直線 () 通過點,0,斜率為 的直線 Ans:() x y 6 0,() y 0, () x y 6 0 利用點斜式,得 () 直線方程式為 y x () 直線方程式為 y 0x,即 x y6 0,即 y 0 () 直線方程式為 y 0 x,即 x y 6 0 http://087

7 例題 5 求通過 A,, B,5 Ans: x y 0 兩點的直線方程式 5 6 直線 AB 的斜率為 m 利用點斜式,得 y5 x,化簡得 x y 0 類題 5 求通過 A,, 0, 5 Ans: x y 5 0 5 直線 AB 的斜率為 m 0 B 兩點的直線方程式 利用點斜式,得 y 5 x 0,化簡得 x y 5 0 例題 6 求下列直線方程式: () 斜率為 且 y 截距為 的直線 () x 截距為 且 y 截距為 的直線 Ans:() x y 0,() x y 0 () 因為直線的 y 截距為,所以直線通過點 (0,), 又斜率為,利用點斜式,得方程式為 y-()=(x-0), 整理得 y=x-,或 x-y-=0 () 因為直線的 x 截距為, y 截距為, 0 所以直線通過點 (,0),(0, ),其斜率為, 0, 利用點斜式,得方程式為 y x 0 整理得 x y 0 http://087

8 類題 6 求下列直線方程式: () 斜率為 且 y 截距為 0 的直線 () x 截距為 且 y 截距為 的直線 Ans:() x-y=0, () x-y+=0 () 利用斜截式,得方程式為 y x 0, 整理得 y x,或 xy 0 x y () 利用截距式,得方程式為, 整理得 x y 0 例題 7 求直線 L : x y 5 0 的斜率 Ans: 5 將直線化成 y x 形式, 利用一次函數概念得斜率為 另解 令 x= y= L 通過 A(,), 令 y=0 x=5 L 通過 B(5,0), 故 L 的斜率為 m= 0 5 http://087

9 類題 7 求下列直線的斜率: () x y5 0 x y () Ans:(),() () 5 x y 5 0 y x,斜率為 x y () x y y x,斜率為 另解 0 直線通過 A(,0),B(0,), 故斜率為 0 = 例題 8 在坐標平面上,根據方程式 x5y7 0, x y 0, x y 0,畫出三條直線 L, L, L,如圖所示 試選出方程式與直線間正確的配置? () L : x 5y 7 0 ; L : x y 0 ; L : x y 0 () L : x y 0; L : x 5y 7 0 ; L : x y 0 () L : x y 0; L : x 5y 7 0 ; L : x y 0 () L : x y 0; L : x y 0 ; L : x 5y 7 0 (5) L : x y 0; L : x y 0 ; L : x 5y 7 0 Ans:() L 斜率 L 斜率 L 斜率, 而 x 5y 7 0, x y 0, x y 0 斜率分別為,,, 5 http://087

0 L : x y 0, L : x y 0, L : x 5y 7 0 答案為 () 類題 8 如右圖,三直線 L : y m x b, L : y m x b, L : y m x b, 下列有關 m, m, m, b, b, b 之選項,何者正確? () m m m () m m m () b b b () b b b (5) b b b Ans:()() 直線依逆時鐘方向旋轉後,斜率變大, m m 0 m, 由 L, L, L 三線與 y 軸交點位置判斷: P0, b 最低, 0, b b b 答案為 ()() P b 最高, http://087

主題三 直線的平行與垂直 設兩相異非鉛直直線 L, L 的斜率分別為 m, m () L // L m m () L, L 互相垂直 mm http://087

例題 9 坐標平面上四條直線 L, L, L, L 與 x 軸 y 軸及直線 y x的相關位置如圖所示,其中 L 與 L 垂直,而 L 與 L 平行設 L, L, L, L 的方程式分別為 y m x, y mx, y m x 以及 y m x c 試問下列哪些選項是正確的? () m m m () m m () m () m m (5) c 0 98 學測 Ans:()()() () : m m m () :因 L L, L // L,故 L L mm () : 0m, m m m () : m m 又 m m m m m m (5) : L 與 y 軸交點為 (0, c),知 c<0 故選 ()()() 類題 9 如圖所示,坐標平面上一鳶形 ABCD,其中 A, C 在 y 軸上, B, D 在 x 軸上,且 AB AD, BC CD, AC 5 令 m m AB BC m CD m DA 分別表直線 AB BC CD DA 之斜率試問以下哪些敘述成立? () 此四數值中以 m AB () 此四數值中以 m BC m m () BC CD () m m AB BC 為最大 為最小 (5) m m 0 9 學測 CD DA Ans:()()(5) () : m CD 最大 () () : BC CD 對 y 軸成對稱 () :因為 5, AB 與 BC 不垂直 (5) http://087

故選 ()()(5) 例題 0 已知 A,, B,0, C, k 為 ABC 的三頂點 且 A 90,求 k 的值 Ans: 0 直線 AB 的斜率為, k k 直線 AC 的斜率為 B 因為 A 90,即 AB AC, k 所以,解得 k - - C A 類題 0 三直線 L : x y 0, L : x y 6 0, L : x ky 0, 若 L, L, L 圍成一直角三角形,求 k 值 Ans: 或 可能情形有 () L L,() L L 由 () 得 k, k 由 () 得 k k 故 k 或 例題 已知點, A,直線 L :x y 0, () 求過 A 且與 L 平行的直線 L 之方程式 () 求過 A 點且與 L 垂直的直線 L 之方程式 Ans:() x y8 0,() xy 6 0 http://087

直線 L : x y 0 的斜率為 () 因為 L // L,所以 L 的斜率也是, 利用點斜式,得 L y x :, 整理得 L 的方程式為 x y8 0 () 因為 L L,所以 L 與 L 的斜率乘積為, 得 L 的斜率是 利用點斜式,得 L : y x 整理得 L 的方程式為 x y 6 0, Hide L[] Hide L[] L L : y = -0x-80 L : y = 0x+0 A L -0-5 5 - 類題 已知點, A 及直線 L : x y 5 () 通過 A 點且平行於 L 的直線方程式 () 通過 A 點且垂直於 L 的直線方程式 Ans:() x y 7, () x y () 設所求直線為 x y k,, 代入得 k 7, 直線為 x y 7 () 設所求直線為 x y k,, 代入得 k, 直線為 x y http://087

5 Hide L[] Hide L[] L : y = -0x-0 L L A L : y = 05x+5-5 5 - 例題 已知 A0,, 5, Ans: 5xy 5 B,求 AB 的中垂線方程式 5 5 AB 的中點 M, 且 m AB, 5 0 5 因此垂直 AB 的直線斜率為 5, AB 的垂直平分線為過 M 且斜率為 5 的直線,由點斜式得 5 5 y 5x,即 5xy 5 A - A: (00, -0) - j: y = 50x-50 5 B B: (50, -0) j 類題 5, A, B,7,, C 為坐標平面上的三個點, 求過 B 點且垂直直線 AC 的直線方程式 Ans: x y 0 AC 斜率, 9 過 B 點且垂直直線 AC 的直線斜率為, 所求直線方程式為 y 7 x, http://087

6 即 x y 0 B B: (0, 70) 6 L: y = 0x+0 L A: (-50, 0) A -5 5 - C C: (0, -0) 例題 求通過點,8 且與兩軸所圍成三角形面積為 6 的直線方程式 Ans: x y 0 或 6x y 0 設直線為 y 8 mx,則 8 x 截距為, y 截距為 8 m, m 與二軸所圍成面積為 8 8 m 6 8 m m, m 8 m m 9m 6m 6 0, () 因為 D 6 96 0,故無實根 () 8 m m 9m 60m 6 0 m 當 或 m, m,則直線方程式為 y 8 x 即 x y 0, 當 6 6, m,則直線方程式為 y 8 x 6, http://087

7 即 6x y 0 A 8 6 C Area CBO = 60 cm -0-5 5 O B - 解二 x y 令所求直線為 a b 8 a b ab 6 若 ab : 8 a b ab ab,, 若 ab : 8 a b 無實數解 ab 或, 8 x y x y x y 或 6x y 8 類題 設直線 L 之斜率為 且和兩坐標軸所圍成的三角形的 面積為,求 L 的方程式 Ans: xy 或 x y 設 L : y x b, y 截距為 b 且 x 截距為 和兩軸圍成的三角形面積 b b b b 8 8 b, http://087

8 故直線為 y x 8,即 xy 或 x y 8 A 6 Area ABC = 0 cm L L: y = -x+80 C 5 B http://087

9 主題四 二元一次聯立方程式的解 ax b y c 0, 二元一次聯立方程式 ( a, b, c 0 ) ax b y c 0 a b () 當 時,聯立方程式恰有一組解 ( 即二直線恰交一點 ) a b a b c () 當 時,聯立方程式無解 ( 即二直線互相平行 ) a b c a b c () 當 時,聯立方程式有無限多組解 ( 即二直線重合 ) a b c http://087

0 例題 解下列聯立方程式 x y 6 x y 6 x y 6 () () () x y x y xy Ans:() x=, y=,() 無解, () 無限多組解 () () () x y 6 x y 將 +,得 5x=5,即 x=,代入得 y=,故此聯立方程式的解為 x=, y= x y 6 x y 將,得 x+y=,此與 式是互相矛盾的也就是說,任何滿足 式的解 (x, y) 絕不會是 式的解,故此聯立方程式無解 x y 6 xy 將,得 x+y=,此與 式相同,即兩式的解完全一樣也就是說凡是 x+y=6 的解如 (,0),(0,6), 等都是聯立方程式的解,故此聯立方程式有無限多組解 類題 下列聯立方程式哪些有無限多組解? x y 5 y 6 x y 5 () () () x y x 0x0 y005 x y xy 6 () x y (5) x y Ans:()() http://087

(),恰有一組解 () 交於點,6 () 5,有無限多組解 0 0 005 () xy 6 x y xy 6,有無限多組解 xy 6 (5) x y xy x y x y 6,,聯立方程式無解 6 故選 ()() 例題 5 ax 6y 5a, 設聯立方程式 無解,求 a 的值 x a 7 y 9 7 a Ans: ax 6y 5a 因為聯立方程式 無解, x a 7 y 9 7a a 6 5a 所以 a7 9 7a a 6 由 a 7 a a 7 a 7a 0, 可推得 解得 a= 或 當 a= 時, 6 5,所以 a= 不合 7 9 7 當 a= 時, 6 5,因此 a= 7 9 7 http://087

類題 5 a x y a 設聯立方程式 的幾何意義是兩平行線, x a y a 求 a 的值 Ans: a a a 圖形為兩平行線,則 a a, a a a 6 a 5a 0 a 或 a= a 當 a= 時,,所以 a= 不合 當 a= 時,,因此 a= 例題 6 求點, A 關於直線 L : x y 0的對稱點坐標 Ans:(, ) 設點 A 關於直線 L 的對稱點為 B(x, y) 先求通過 A 點且與 L 互相垂直的直線 AB, 設 AB :x+y=k,代入 A(,), 得 k=,得直線 AB 方程式為 x+y=, 其次求直線 AB 與 L 的交點 M, x y 0 解聯立方程式 得 x=, y=0, x y 0 交點 M(,0) 為 AB 的中點, x y 所以,,0, 得 xy,, http://087

另解 P(t-,t) 在 L:x-y+=0 上,L 的斜率為 若 AP L, 則, t AP 的斜率 = t-=t- t=0, t 此時,A 在 L 的投影為 M(,0), 設對稱點 B(x,y), 則 x y, 0, 解得 x=,y=, 即 B(,) 類題 6 求點, A 關於直線 xy 0的對稱點 Ans:(,) 設點 A 關於直線 L 的對稱點為 B(x, y) 先求通過 A 點且與 L 互相垂直的直線 AB, 設 AB :x+y=k,代入 A(,), 得 k=,得直線 AB 方程式為 x+y=, 其次求直線 AB 與 L 的交點 M, x y 0 x 0 解聯立方程式 得 x y 0 y 交點 M(0,) 為 AB 的中點, x y 所以, 0,,得 (x, y)=(,) 例題 7 設 A,, 0,5 B,直線 L : y mx m,其中 m 為實數 若直線 L 與 AB 相交,求 m 的範圍 Ans: m 7 5 http://087

將直線 L 改寫為 y+=m(x+),因此直線 L 的斜率為 m,過點 P(, ) 如右圖若直線 L 與 AB 相交,則直線 PA 的斜率 m 直線 PB 的斜率 又因為直線 PA 的斜率為, 5 5 直線 PB 的斜率為 0 7,所以 m 7 5 類題 7 已知直線 L : y mx m,其中 m 為實數, A,, B, 若直線 L 與 AB 相交,求 m 的範圍 Ans: m 或 m 將直線 L 改寫為 y+=m(x-), 因此直線 L 的斜率為 m,過點 P(, ) 如右圖若直線 L 與 AB 相交,則 m 直線 PA 的斜率或 m 直線 PB 的斜率, 又因為直線 PA 的斜率為, ( ) 直線 PB 的斜率為, 所以 m 或 m, 例題 8 坐標平面上 A(,), 直線 L:x+y-5=0, 求 () A 在 L 上的投影點 () A 到直線 L 的 ( 最短 ) 距離 Ans:() (,),() 5 () 過 A 作 L 的垂直線 L:x-y+k=0 因 L 通過 A(,), 故 8-+k=0 k=5, http://087

5 即 L:x-y-5=0 (),L:x+y-5=0 () ()+() 5x-5=0 x=, 代入 () 6-y-5=0 y=, 即投影點 B(,) () A 到直線 L 的 ( 最短 ) 距離為 AB = ( ) () 5 類題 8 坐標平面上 A(,), 直線 L:x-y-5=0, 求 () A 在 L 上的投影點 () A 到直線 L 的 ( 最短 ) 距離 Ans:() (,),() () 過 A 作 L 的垂直線 L:x+y+k=0 因 L 通過 A(,), 故 ++k=0 k=, 即 L:x+y+=0 (),L:x-y-5=0 () ()+() x-=0 x=, 代入 () +y+=0 y=, 即投影點 B(,) () A 到直線 L 的 ( 最短 ) 距離為 AB = ( ) ( ) 點到直線的距離 : 坐標平面上 P(x0,y0) 到直線 L:ax+by+c=0 的距離為 ax0 by0 c a b 證明 過 P 且與 L 垂直的直線設為 L:bx-ay+k=0 (), L 通過 P, 故 bx0-ay0+k=0, 即 k=ay0-bx0, L:ax+by+c=0 (), http://087

6 ()b+()a (b +a bk ca )x+(bk+ca)=0 x= a b, ()a-()b (-a -b ak cb )y+(ak-cb)=0 y= a b, bk ca 即投影點為 B( a b d(p,l)= AB = ak cb ) a b, ( ) ( ) ( x b ay bx ca ) ( y a ay bx cb ) a b a b 0 0 0 0 0 0 = = = a x b x aby b x ca a y b y a y abx cb ( ) ( ) a b a b 0 0 0 0 0 0 0 0 a ( ax by c) b ( by ax c) ( a b ) 0 0 0 0 ( ax0 by0 c) ( a b ) ( a b ) = ( ax0 by0 c) a b ax by c a b = 0 0 例題 9 求 A(,5) 到直線 L:x+y-9=0 的距離 Ans: 5 9 0 d= 5 類題 9 求 A(,) 到直線 L:x-y+=0 的距離 Ans: ( ) 0 d= 5 http://087

7 例題 0 在坐標平面上,A(5,),B(,), 若 P(x,0) 使得 AP BP 為最小, 則 () x= () 此最小值為 Ans:() 5,() 0 作 A 對 x 軸的對稱點 A(5,), 則 AB 的斜率為, 故 5 B A AB 的方程式為 y-= (x+), 即 x+y-5=0 Q P 5 () 令 y=0 得 x= 5 () 最小值為 - A' AB = (5 ) ( ) 6 6 =0 類題 0 在坐標平面上,A(5,),B(,), 若 P(x,0) 使得 AP BP 為最大, 則 () x= () 此最大值為 Ans:(),() 7 http://087

8 A 5 0 P - A' B - 作 A 對 x 軸的對稱點 A(5,), 則 AB 的斜率為, 故 5 AB 的方程式為 y+= (x+), 即 x-y-=0 () 令 y=0 得 x= () 最小值為 AB = (5 ) ( ) 6 7 http://087

9 okex 設 A,, B,5, C 0,, D, a, () 若 AB // CD,則 a () 若 AB CD,則 a () 若 B, C, D 共線,則 a Ans:() 7,(),() () 若 AB // CD,則 AB 與 CD 斜率相等, 6 D 5 a 0 a+=8 a 7 B () 若 AB CD,則 5 a 0 A (a+)= a= () 若 B, C, D 共線,則 BC與 CD 斜率相等, 5 a 0 0 a+= a= C 5 平行四邊形之二邊在 xy 7 與 xy 0上,一頂點為 5,5,求另二條直線方程式 Ans: xy 5, x y 0 如下圖, http://087

0 6 A: (500, 500) A B D L : y = 0x+ C L : y = -067x+ 5 L 過 A 且平行於 L:x+y=7 的直線為 x+y=5, 過 A 且平行於 L:x-y+=0 的直線為 x-y=0 設三直線 L :x y 5, L : x y, L : ax y, 若 L, L, L 不能圍成一三角形,則 a 的值為何? 7 Ans:, 或 L, L, L 不能圍成一三角形, () L L: () L L a a= A A: (000, 50) a a= () L, L, L 交於一點, - - L L 解 x-y=5,x+y=, 得交點為 (, ),代入 L a- = a= 7 http://087

一位海盜欲將三件珠寶埋藏在一個島上的三個地方,海盜就以 島上的一棵大王椰子樹為中心,由大王椰子樹向東走 步埋他 的第一件珠寶;由大王椰子樹向東走 步,再往北走 a 步埋他的 第二件珠寶;最後由大王椰子樹向東走 a 步,再往南走 8 步埋他 的第三件珠寶事隔多年之後,海盜僅記得 a 0 及埋藏珠寶的 三個地方在同一直線上那麼 a 的值為何? Ans:6 如右圖, A(,0),B(, a), C(a, 8),因 A B C 三點共線,故 a0 a8 a a(a-)=8(a+8) a -a-6=0 (a-6)(a+)=0 a=6 或 a=( 不合 ) 0 0-0 B(,a) A(,0) 0 C(a,-8) 5 設坐標平面上三點 A0,, B5,,, 5 () AB 的垂直平分線方程式 () BC 的垂直平分線方程式 () ABC 的外心坐標 C,求: Ans:() 5x y5, () 6xy 5,() 5 5, () AB 的中點 M( 5, 5 AB 的中垂線斜率為 5, ), 斜率為, 5 AB 的中垂線方程式為 5x-y=5 () BC 的中點 N( 7, ), 斜率為 BC 的中垂線斜率為,, A - - -6 C 5 B http://087

BC 的中垂線方程式為 x+y= 5, 即 6x+y=5 () 解 5x-y=5,6x+y=5 得外心為 ( 5, 5 ) 6 設 A 0,0, B 0,0, C 0,6, D 0,6 如果直線 y mx 7 那麼 m 的值為何? 95 學測 為坐標平面上的四個點 將四邊形 ABCD 分成面積相等的兩塊, Ans: D: (000, 600) C: (000, 600) 6 D C G Area GHA B = 997 cm H A: A (000, 000) B: (000, 000) 5 0 B 矩形 ABCD 的面積為 60, 高 AB =0, 故 L:y=f(x)=m(x-7)+ 中 f(0)=m+,f(0)=7m+,m+-7m+=6 m= 7 如右圖,在坐標平面上有一個各小方格都是正方形且各邊平行坐標軸的 田 字如果將 9 個頂點的坐標 xy, 代 入 6x y k,問:會得到幾個不同的 k 值? Ans:7 個 http://087

A D G y P = -07 fx = x+y P B E H C F K P 如上圖,6x-y=k 的斜率為, 故直線可過 A,B,CD,E,FG,H,K 共七條 8 如右圖,兩直線 L, L 之方程式分別為 L : x ay b 0, L : x cy d 0 試問下列哪些選項是正確的? () a 0 () b 0 () c 0 () d 0 (5) a c Ans:()(5) L 的斜率 >0,x 截距 b>0 a<0,b<0 a L 的斜率 >0,x 截距 d<0 c<0,d>0 c 又 > a c a < c a>c 9 平面上四點 A,, B,, C, 和 O 0,0 過 B 作直線 OC 的平行線交直線 OA 於 D 點,求 D 點的坐標 Ans: 8, 6 如右圖, http://087

直線 OA :x+y=0 (), 直線 OC :x+y=0, 過 B 且與 OC 平行的直線為 BD :x+y=8 (), D 6 A: (-0, 0) B: (0, 0) C: (0, -0) D: (-7, 5) ()-() x=8 x= 8, A B ()-() y=6 y= 6, O C 5 8 故 D(, 6 ) - 0 若直線 L 過 P,6,且 L 在兩軸上的截距之和為 0,試求 直線 L 的方程式及直線 L 與兩軸所圍出的三角形面積 Ans: 直線方程式為 x y 5,三角形面積為 或直線方程式為 xy,三角形面積為 8 x y 設 L:, a b 直線 L 過 P,6, 故 又 a+b=0 b=0-a, 代入 () 6a+(0-a)=a(0-a) a -7a+60=0 (a-5)(a-)=0 75 6 6a+b=ab (), a b x y () a=5 b=5 L: x+y=5, 5 5 而面積為 75 55= x y () a= b=8 L: x+y=, 8 而面積為 8=8 http://087

5 設直線 L 與直線 x y5 0 垂直,且與兩坐標軸所圍的 三角形周長為,求直線 L 的方程式 Ans: x y 0 設 L:x-y=k, x 截距 k k,y 截距, k k 周長為 + + k k = 6 9 () k>0 k k 5k = k+k+5k= k=, L:x-y= () k<0 k k 5k = k+k+5k= k=, L:x-y= Show Plotted Points 6 x A = -0 y B = 0 x A +y B = 50 x A + y B + x A +y B = 0 B A -0-5 5 - http://087

6 小明玩戰爭網路遊戲,在螢幕上有一坐標平面,飛機 P 以等速直線前進,在坐標, 的位置被發現,經過 秒後到達坐標 0,,再經 秒後,小明從原點選一方向發射一飛彈 R, 假設 R 也以直線前進且速率跟 P 相同,而且 R 剛好擊中 P 求 R 擊中 P 時的坐標 Ans:, Show Objects Show OQ 6 A B C P Q R -0-5 O Present Actions Show Action PQ Show Action RQ - - 如上圖, A(,),B(0,),C(8,),O(0,0) OC 的中點為 (,), 斜率為, 8 OC 的中垂線斜率為, 故方程式為 x-y=8-, 即 x-y+0=0 y= 代入得 x=, 故 Q(,) 在 ABC 中, M 為 BC 邊之中點,若 AB, AC 5, 且 BAC 0,求 tan BAM ( 化成最簡根式 ) 96 學測 Ans: 5 由餘弦定理知 BC = +5-5 cos0 http://087

7 =9+5-0 ( )=9, 7 BC =7 得 BM 由中線定理知 AB AC ( AM BM ) 9+5=( AM = AM +( 7 ) 68 9 9, 在 ABM 中, 由餘弦定理知 9 9 9 cos( BAM)= 9 9 9 tan( BAM)=5 如右圖,平面坐標上二點 A 5,, B,6 各找 P, Q,滿足 AP PQ QB 有最小值 k 求 () P 點坐標 () Q 點坐標 () k 值,若在 x 軸 y 軸上 Ans:() P 7,0,() 0, Q,() 如下圖, 作 A 對 x 軸的對稱點 A(5,), 作 B 對 y 軸的對稱點 B(,6), 連 AB 交 x 軸於 P, 交 y 軸於 Q, AB 的斜率為 6, 5 由點斜式知 y+= (x-5), http://087

8 即 x+y-=0, x=0 代入得 y=, 得 Q(0, ), y=0 代入得 x= 7, 得 P( 7,0) A: (50, 0) A': (50, -0) B' 6 B B: (0, 60) P: (5, 00) B': (-0, 60) Q: (00, 7) Q A -5 5 P - A' ax 8y c 5 若實數 a,b,c,d 使得聯立方程組 有解, x y x by d 且聯立方程組 無解, 則下列哪些選項一定正確? x y () a,() c=6,() b=,() d 9, ax 8y c (5) 聯立方程組 無解 [ 學測 0] x by d Ans:()() ax 8y c x y 唯一解 : 有解 a 8 a a 8 c 無限多解 : a, c 6 x by d x y b d 無解 b, d 9 http://087

9 ax 8y c 又 x by d 若 a, 則 a 8 b 唯有一解 若 a, c 6, b, d 9 8 6 d 故選 ()() 無解 6 設 A(,),B(,5),C(5,),D(0,7),E(,) 及 F(8,6) 為坐標平面上的六個點 若直線 L 分別與三角形 ABC 及三角形 DEF 各恰有一個交點, 則 L 的斜率之最小可能值為 [ 學測 0] Ans:(7),(8) 直線 L 分別與 ABC DEF 各恰有一交點 由圖形可看出直線 L 只能是二個三角形頂點的連線, 9 不可能切割三角形, 所以斜率最小為 m CF http://087