** 白偉民 * 黃御軒 * 鄭竣瑋 ** 天主教徐匯高中數學科專任教師兼教學組長 * 天主教徐匯高中三年級學生 摘要 本研究報告主要探討圓錐曲線一般式在平面上變換的情況 資訊科技的日新月異, 透過電腦的精確性 方便性, 以及電腦特殊的動態功能, 讓我們更能體會在原座標系統 旋轉坐標軸 平移坐標軸 ( 以下簡稱 轉軸 移軸 ) 過程中動態的變換情況, 而且有助於學生對數學做一般化的思考與分析 我們成功地延續去年學長的研究成果, 能在一般式的圓錐曲線中, 利用 旋轉座標軸 平移座標軸 的方法, 利用動態幾何軟體 Geometer s Skethpd ( 以下簡稱 GSP) 所設計出來的 轉軸 移軸 程式, 來求得各項圓錐曲線的標準式, 並進而求得圓錐曲線的諸元素 ( 例如長軸長 短軸長 焦點座標 準線方程式 貫軸 共軛軸長等等 ) 圓錐曲線概分成三大類型 : 橢圓型 拋物線型 雙曲線型, 依照分類方法, 包括其退化的情況, 共可延伸至十種類, 敘述如下 : (1) 橢圓型 : 橢圓 圓 一點 沒有軌跡, 共四種圖形 () 拋物線型 : 拋物線 兩平行線 兩重合直線 沒有軌跡, 共四種圖形 (3) 雙曲線型 : 雙曲線 兩相交直線, 共二種圖形 以上所有的十種類型, 我們都成功地完成電腦模擬計算的工作, 並設計原座標軸 轉軸 移軸 的動態模擬展示, 都有相當完整的成果 第 1 頁
目錄 摘要...01 目錄...0 GSP 圖片目錄...03 壹 緒論...04 貳 研究方法與步驟...06 第一節研究環境...06 第二節研究實施步驟...06 參 研究與討論...08 第一節坐標的意義...08 第二節推導移軸公式...09 第三節推導轉軸公式...1 第四節 GSP 系統中二次曲線方程式的化簡...15 肆 結論與建議...37 伍 參考文獻...38 第 頁
GSP 圖片目錄 圖一 一般雙曲線...19 圖二 雙曲線退化成兩相交直線...1 圖三 一般拋物線...4 圖四 拋物線退化成兩平行直線...6 圖五 拋物線退化成兩重合直線...8 圖六 拋物線退化成無軌跡...9 圖七 一般橢圓形...33 圖八 圓形...34 圖九 橢圓形退化成無軌跡...35 圖十 橢圓形退化成一點...36 圖十一北縣數位網路學校研習證明...38 第 3 頁
壹 緒 論 一 研究動機 : 動態幾何 軟體是一套研究幾何學的利器, 學生們在電腦上, 透過動態幾何的實際模擬與驗證, 可以確實瞭解許多幾何圖形與幾何性質間的關係, 有助於學生在學習過程中對於幾何定義 定理及性質的瞭解 若我們能將高中數學的內容, 用 動態幾何 軟體加以分析 應用, 相信對同學的學習 或是教師的教學都有事半功倍之效 在網際網路上, 許多熱心的研究者都已發展國中部數學的動態幾何案例, 但是高中數學則付諸闕如, 我們希望透過一系列的研究, 將這一部分未開發的處女地加以發掘, 讓學生能透過做中學, 以獲得最大的收穫研究成果 圓錐曲線分為 有心錐線 及 無心錐線, 在處理的過程可能遇到非標準式的情況, 亦即需透過 旋轉坐標軸 平移坐標軸 的方法, 將該圓錐曲線化為標準式之後, 再處理其他相關的問題 因此, 我們希望延續去年學長們的研究成果, 探討如何在 GSP 的系統中利用轉軸與移軸的方法, 將圓錐曲線的標準式求出來 圓錐曲線是一個相當有趣的數學單元, 其主要是說明二元二次曲線方程式的圖形, 把一個看似複雜的二元二次方程式經過座標軸平移 旋轉, 而達到標準化的方程式, 然後依其方程式, 描繪其圖形, 並判斷該方程式屬於何類二次曲線 經過分析, 二元二次方程式概分成三大類 : 橢圓型 拋物線型 雙曲線型, 依照 第 4 頁
分類方法, 包括其退化的情況, 共可延伸至十種類, 敘述如下 : (1) 橢圓型 : 橢圓 圓 一點 沒有軌跡 () 拋物線型 : 拋物線 兩平行線 兩重合直線 沒有軌跡 (3) 雙曲線型 : 雙曲線 兩相交直線 我們希望透過動態幾何軟體來完成上述的圓錐曲線一般式計算模擬程式, 以下是我們的研究成果報告 二 研究目的 : 因為在二元二次方程式還是一般式的時候 yy deyf0, 不易了解其圖形是何種曲線, 因此藉著這次的研究去了解一般式與各個係數之間的關係, 並且使用電腦動態幾何軟體 (GSP 系統 ) 去深入探討而達到事半功倍的效果 我們利用 GSP 系統模擬圓錐曲線在一般情形下的轉軸 移軸變換, 也獲得相當多的收穫 第 5 頁
貳 研究方法與步驟 第一節研究環境 一 個人電腦二部二 動態幾何系統版本 :4.03 三 研究地點 : 徐匯高中電腦教室四 研究時間 : 晚自習或週六 第二節研究實施步驟 對於圓錐曲線在平面上變換的先備知識, 雖然當初尚未學習, 但透過指導老師的教導, 也讓我們略知一二 高二下學期開始時, 我們的指導老師白偉民老師即要求研究學生登錄 台北縣 K1 網路學校 (http:tp.k1.edu.tw) 註冊帳號, 並修習動態幾何課程 < 註四 >, 循序漸進, 將基本功夫練好, 再結合數學的定義及觀念, 方能突破 GSP 技術上的瓶頸 因為這個系統是我們這篇研究的主要工具, 一定要好好地熟悉它 九十三年暑假開始, 也就是即將升高中部三年級時, 我們著手進行研究的分配工作, 由於 圓錐曲線在平面上的變換 此部分章節尚未於課堂中學習過 ( 這是屬於高三數學甲的學習進度 ) 因此, 老師首先教導我們研讀高中三年級的數學 ( 甲 ) 教科書中有關於圓錐曲線在座標平面上平移 轉換的文獻內容, 以充實有關此方面的先備知識 ; 並研讀去年學長們的 GSP 範例, 好讓我們進入研究狀況 第 6 頁
老師與我們也一起擬定了工作計畫, 希望按部就班達成工作的目標, 計畫的 內容如下 : 預計起迄日期 93.03.01 93.05.30 93.06.01 93.06.30 93.07.01 93.07.15 93.07.16 93.07.30 93.08.01 93.09.30 93.10.01 93.11.30 93.1.01 93.1.5 研究步驟研究方法備註老師上課, 並實機演加強學生對動態幾何軟體的操作及瞭練操作 (K1 網路學解 ( 基礎班 ) 校上課加強 ) 加強學生對動態幾何軟體的操作及瞭老師上課, 並實機演解 ( 進階班 ) 練操作 如何在動態幾何軟體使用矩陣 ; 旋轉 老師上課, 並實機演鏡射 伸縮 推移的應用練操作 動態幾何進階班, 較深入的動畫技巧分組進行研究分組執行研究計畫 橢圓 拋物線 雙曲線 幾何軌跡問題 物理問題的應用整理資料 開始撰寫報告成果發表 報告呈報中部辦公室 第 7 頁
參 研究與討論 第一節坐標的意義 < 註二 > 一 一維的情形給定一直線 L, 取其上一點 O, 再取不同於 O 點的 E, 設 e OE, 則對於 L 上任意點 P, OP 均與 OE 平行, 即存在一個實數, 使得 OP e 我們稱 Γ (O; e) 為 L 上的一個坐標系, 而 稱為 P 點相關於 Γ 的坐標 簡記為 Γ 坐標, 其中 O 點稱為這個座標的基準點 ( 原點 ), 而 e 稱為 Γ 的基底 二 二維的情形給定平面上一個定點 O 與兩個不平行的向量 e1 e, 平面上任意點 P, 可以找到實數,y 滿足 OP e1 y e, 我們稱 Γ (O; e1, e ) 為平面上的一個坐標系, 而 (,y) 稱為 P 點相關於 Γ 的坐標 簡記為 Γ 坐標, 其中 O 點稱為這個座標的原點, 而 e1, e 稱為 Γ 的基底 三 直角坐標系在平面上選定一個基準點 O 及一組互相垂直且長度相等的向量 i j, 當作基底, 這樣構成的坐標系稱為直角坐標系 通過 O 點且包含 i 的直線定為 軸, 通過 O 點且包含 j 的直線定為 y 軸 第 8 頁
第二節推導移軸公式 < 註一 二 三 > 我們將這種僅改變原點的位置而基底不變 ( 即座標軸的方向和長度單位不變 ) 的坐標變換, 稱為座標軸的平移, 簡稱移軸 一 推導移軸公式若設點 P 在 Γ (O, i, j ) 與 Γ (O, i, j ) 下的坐標為分別為 (,y) (,y ), 其中 O 在 Γ 坐標系下坐標為 (h,k), 則點 P 的原坐標 (,y) 與新坐標 (,y ) h 的關係式為 過程如下: y y k 根據已知條件 OP i y j, O P i y j 因為 OP OO O P i y j h i k j i y j h,yy k 二 移軸後方程式的變化今考慮一範例 : 圓 C 方程式 y 4y0, 我們現在移軸到適當的原點 h (h,k), 根據移軸公式 y y k 可得 ( h) (y k) 4( h)(y k)0 經整理可得 y (h4) (k)y (h k 4h k)0 第 9 頁
這是移軸後所得的方程式, 現在取新原點 O (,1), 則新的方程式中 y 項的係數為 0, 新的方程式變為 y 5, 所以圓 C 是一個以 O (,1) 為圓心, 半徑 5 的圓 在這裡我們得到一個啟示 : 當我們移軸到適當的原點時, 可使方程式消去某些項, 幫助我們辨識方程式所繪製的圖形, 使得新的方程式比原方程式更加簡單清楚 三 推導一般情形把移軸公式 : h 代入 Γ: yy deyf0 的原方程式得 y y k ( h) ( h)(y k)(y k) d( h)e(y k)f 0 乘開後, 仿 式的形式整理得 y y d e y f 0 其中 f h d h k d e h k e hk k dh ek f 比較 可以發現 移軸後, 二元二次方程式對新坐標系的方程式仍是二元二次方程式, 並且二次項 的對應係數不改變 d 另一方面, 考慮 e h k d 中 h,k 的係數行列式 h k e 當 h k d 0 ( d 0) 4 0 時, 方程組 可以解出唯一的新原點 h k e 0 ( e 0) O (h0,k0) 第 10 頁
若選擇新原點 O (h0,k0) 來平移坐標軸, 可使曲線 Γ 的新方程式化簡成 Γ: y y f 0 式中的二次項的係數不改變, 並且兩個一次項同時消去, 而常數項 f 的值是將新原點 (h0,k0) 代入下列的二次式 g(,y) yy deyf, 即 f g(h0,k0) 四 坐標軸移軸結論由上述的討論, 我們獲得下述的結論, 有利於後續電腦的模擬操作 設 g(,y) yy deyf, 二次曲線 Γ:g(,y)0, 若 4 0 時, 移軸到新原點 O (h0,k0), 可使 Γ 的方程式消去一次項而化簡成 Γ: y y f 0, h k d 0 其中 (h0,k0) 是方程組 的解, 常數項 f g(h0,k0) h k e 0 第 11 頁
第三節推導轉軸公式 < 註一 二 三 > 今考慮一範例 : 一個以點 F(,) 為焦點, 以直線 L:y0 為準線的 拋物線 Γ 方程式是 Γ : () (y) y (*), (*) 式平方後可化成 Γ: yy 88y160 (**), 但是從 (**) 很難辨識它是一條拋物線, 是否可以利用 適當的坐標變換, 來辨識 (**) 式為一條拋物線 我們如果將坐標軸看成此拋物線的軸與過頂點與軸垂直的直線, 則此拋物線就成為一條開口向上的拋物線, 方程式也會化成 y 的形式, 因此接下來要考慮坐標軸的旋轉, 以化簡 Γ 的方程式 一 推導轉軸公式 將直角坐標系 Γ (O, i, j ) 繞原點旋轉一個有向角 θ, 得到一個新坐標 系 Γ (O, e1, e ), 像這種 坐標原點及長度單位都不變, 只改變坐標的方向 的坐標變換稱為坐標軸的旋轉, 簡稱轉軸 即基底 e1 (osθ,sinθ) osθ i sinθ j e (os ( θ π ),sin( θπ ))(sinθ,osθ) ( sinθ) i osθ j 設 P 點在坐標系 Γ (O, i, j ) 與 Γ (O, e1, e ) 下的坐標為 (,y) (,y ) 第 1 頁
OP i y j e1 y e ( osθ i sinθ j )y ((sinθ) i osθ j ) ( osθ y sinθ) i ( sinθ y osθ ) j y osθ y sinθ y sinθ osθ 這個式子稱為轉軸公式 二 轉軸後方程式的變化我們發現適當選擇旋轉的角度 θ, 可以使二次曲線的新方程式中消去 y 項, 但是對於一般的二次曲線 Γ: yy deyf0 ( 0) (A) 如何選擇轉軸的角度 θ, 才可以使 Γ 的新方程式中缺少 y 項呢? 將 y osθ y sinθ y sinθ 代入二次曲線 Γ 的方程式中 : osθ ( osθy sinθ) ( osθy sinθ)( sinθy osθ)( sinθy osθ) d( osθy sinθ)e( sinθy osθ)f0 上面的方程式展開後, 整理成 y y d e y f 0 (B) 其中 os θ sinθ osθ sin θ, sin osθ (os θ sin θ)sinθosθ osθ()sinθ sin θsinθ osθ os θ d d osθ e sinθ e d sinθ e osθ f f 第 13 頁
如果選取轉軸的角度 θ 使得 0, 即 osθ() sinθ 0, 則 y 項的係 數 0, 將此式整理, 得 當 otθ ( 0) 時, y 項的係數 0 三 坐標軸轉軸結論 由上述的討論, 我們獲得下述的結論, 有利於後續電腦的模擬操作 二次曲線一般式 Γ : yy deyf 0 可以取得銳角 θ 滿足 otθ, 選擇這樣的銳角 θ 作為轉軸旋轉的角度, 變換 後的二次曲線 Γ: y d e y f 0 (f f ), 可消去 y 項的 係數 第 14 頁
第四節 GSP 系統中二次曲線方程式的化簡前面已經介紹了有關坐標軸的平移與旋轉, 而利用坐標軸的平移與旋轉可以達到簡化二次曲線方程式的結果 接下來, 我們主要是要討論 : 問題一 : 如何利用 移軸 轉軸 把二次曲線的方程式 Γ: yy deyf0 化成標準式, 並可以繪出 Γ 的圖形? 問題二 : 如何利用 Γ 方程式之係數關係, 去判別 Γ 所屬的二次曲線類型? 圓錐曲線一般式為 Γ : yy deyf 0, 以下我們分成三大類型, 即橢圓型 拋物線型 雙曲線型來進行分析討論, 包括各類形之退化情形, 共可延伸至十種類型, 我們將一一討論分析, 內容包括如下 : (1) 橢圓型 : 橢圓 圓 一點 沒有軌跡 () 拋物線型 : 拋物線 兩平行線 兩重合直線 沒有軌跡 (3) 雙曲線型 : 雙曲線 兩相交直線 在動態幾何 G S P 系統下的介面操作, 我們也遇到了一些問題, 但經過與白老師的研究討論下, 也都一一的克服, 這些電腦介面程式設計的問題與當初的數學層面的問題是不相同的, 問題的突破, 對我們也都是相當大的成就感與鼓勵 以下就各二次曲線函數類型來分析討論, 並報告我們的成果, 希望讀者在嘗試與我們相同的 GSP 程式規劃時, 能少一些摸索的時間, 期望對大家都所幫助 第 15 頁
一 雙曲線型 01.δ 4 > 0 雙曲線型 0 雙曲線, 其中 1 d e d e f [ 移軸 ] 首先求出平移後的中心 ( h, k ) 對 微分 :y -d 對 y 微分 :y -e...(1-1) 由克拉瑪公式, 得 h (d-e)( -4) k (e-d)( -4)...(1-) y y h k 代入原方程式可消去一次項, 得新常數 f (hekf) 代入之後的方程式可知二次項係數不變 Γ : y y f 0...(1-3) [ 轉軸 ] 接下來, 要求轉軸的角度 θ otθ ( 0) 吾人可推得 osθ ±, 正負號要由 otθ 決定, 在 GSP 系統中, ( ) 可以利用 sgn() 函數來處理正 負號的問題 所以, θ os 1 1 os θ 第 16 頁
求得 θ 之後, 利用 osθ y sinθ y sinθ y osθ... (1-4) 將兩式代入平移後的式子, 得轉軸 移軸後的最簡式, 而其中 y 項的係數會消 去, 和 y 的係數也會改變 : 1 1 ( ) ( ), 這二各式子的推導可以讓我們在 GSP 系統中得到 轉軸後的式子, 並模擬出它的圖形來, f y f Γ : y f 可得標準式如下 : 1 因此, 我們便能讀出或繪出 Γ 的形狀 並求得相對於原座標系的諸元素 在 GSP 系統的模擬中, 我們也發現圓錐曲線的長軸長度 短軸長度及二焦點距離在轉 軸 移軸過程中, 並不會改變 第 17 頁
問題 : 求原座標系統之長軸頂點座標? 短軸頂點, 焦點? 解答 : Γ 中長軸頂點 A( ±, 0 ) (, y ) 轉回平移時的長軸頂點 osθ y sinθ Γ: (1-5) y sinθ y osθ 移回平移前的長軸頂點 Γ: y y h k y h y k (1-6) 將 (1-6) 代入 (1-5) 中, 即可求得原座標系統長軸頂點座標 其餘短軸頂點, 焦點, 皆可用同樣方式求得 問題 : 求原座標系統之長軸, 短軸的方程式? 解答 : Γ 貫軸 : y 0 Γ 轉軸 : 0 先轉軸回平移後的方程式 osθ y sinθ Γ: (1-7) y sinθ y osθ 再移回原座標系統 h 利用 Γ: y y k y h y k (1-8) 將 (1-8) 代入 (1-7), 整理後可得 y otθ ( h) k 即為原座標系統長軸和短軸的方程式 y tnθ ( h) k 第 18 頁
有了這些方程式的推演, 使我們可以在 GSP 系統中容易地繪出雙曲線的圖形, 及其相關諸元, 如下圖所示 : 我們可以利用 GSP 線上模擬的功能, 將滑鼠點選欲控制的參數, 例如各項係數 d e f, 然後操作鍵盤上右方數字鍵上的 - 鍵, 即可立即更改各係數的大小, 由此觀察各係數變化時圖形的變化情形, 相當的便利與快速 對於原座標系統的平移與旋轉, 在下列圖一的左側, 也設計了動態按鈕, 方便模擬操作 圖一一般雙曲線 第 19 頁
0.δ 4 > 0 雙曲線型 ( 退化 ) 0 兩相交直線 [ 移軸 ] 首先求出平移後的中心 ( h, k ) 對 微分 :y -d 對 y 微分 :y -e (-1) 由克拉瑪公式得 h (d-e)( -4) k (e-d)( -4) (-) y y h k 代入原方程式可消去一次項, 得新常數 f (hekf) 代入之後的方程式可知二次項係數不變 Γ y y f 0 (-3) [ 轉軸 ] 接下來, 要求轉軸的度數 θ otθ ( 0) osθ ±, 正負號要由 otθ 決定, 在 GSP 系統中, 可以利用 ( ) sgn() 函數來處理正 負號的問題 所以, θ os 1 1 os θ 第 0 頁
第 1 頁 求得 θ 之後, 利用 θ osθ sin y sinθ osθ y y (-4) 將兩式代入平移後的式子, 得轉軸 移軸後最簡式, 而其中 y 項的係數會消去, 和 y 的係數也會改變 : ) ( 1 ) ( 1, 最後, 轉軸後的方程式需再以十字交乘法化簡, 得標準式 模擬的圖形, 如圖二所示 : 為退化的雙曲線型, 圖形為兩相交直線 圖二雙曲線退化成兩相交直線
二 拋物線型 03.δ 4 0 拋物線型 [ 轉軸 ] 先轉軸, 求出轉軸的角度 θ, 為了消去 y 項 otθ ( 0) osθ ± ( 正負號要由 otθ 決定 ) ( ) θ os 1 1 os θ 求得 θ 之後, 利用 osθ y sinθ y sinθ y osθ 代入 Γ 中 os θ sinθ osθ sin θ, 0( 因為 y 項已經消失了 ) sin θsinθ osθ os θ d d osθ e sinθ e d sinθ e osθ f 不變 第 頁
第 3 頁 [ 移軸 ] 再作移軸, 移軸有二部分的情況 (1) 0, 0 () 0, 0 (1) 先就第一部分討論 : 0, 0 則 0 Γ f y e d y : 配方之後 : 4 ) ( 4 ) ( ) ( d e d f d e y e d d e y f d y e y 以 ), 4 ( ), ( e d f d e k h O 以此為轉軸的新原點, 作移軸 θ θ θ θ os sin sin os k h k k h h 得標準式 d :y Γ () 第二部分討論 : 0, 0 則 0 Γ f y e d : 配方 : 4 ) ( 4 ) ( ) ( e d e f y e d d d y e d f y e d
d d f 以 O ( h, k ) (, ) 4 e e 以此為轉軸的新原點, 作移軸 h h k h osθ k sinθ k sinθ osθ 即可得標準式 Γ : e y, 這些式子的討論都將應用於 GSP 系統 的模擬中, 一般拋物線的圖形如下圖三所示 : 圖三一般拋物線 第 4 頁
04.δ 4 0 拋物線型 ( 退化 ) 0 兩平行直線 [ 轉軸 ] 先轉軸求出轉軸的角度 θ, 為了消去 y 項, 取 otθ ( 0) osθ ±, 正負號要由 otθ 決定, 即得 θ ( ) 求得 θ 之後, 利用 os 1 1 os θ osθ y sinθ y sinθ y osθ, 代入 Γ 中, 得 os θ sinθ osθ sin θ, 0( 因為 y 項已經消失了 ) sin θsinθ osθ os θ d d osθ e sinθ e d sinθ e osθ f 不變 經整理後化簡, 即得兩平行直線的標準式, 模擬的圖形如下所示 : 第 5 頁
圖四拋物線退化成兩平行直線 第 6 頁
05.δ 4 0 拋物線型 ( 退化 ) 0 兩重合直線 [ 轉軸 ] 先轉軸求出轉軸的角度 θ, 為了消去 y 項, 取 otθ ( 0) osθ ± ( 正負號要由 otθ 決定 ), 即得 ( ) θ os 1 1 os θ 求得 θ 之後, 利用 osθ y sinθ y sinθ y osθ, 代入 Γ 中得 os θ sinθ osθ sin θ, 0( 因為 y 項已經消失了 ) sin θsinθ osθ os θ d d osθ e sinθ e d sinθ e osθ f 不變經整理後化簡, 即得兩重合直線的標準式 第 7 頁
模擬的圖形如下 : 圖五拋物線退化成兩重合直線 第 8 頁
06.δ 4 0 拋物線型 ( 退化 ) 0 無軌跡經整理後得 ( y ) f (f 為負值 ) 故無解 圖六拋物線退化成無軌跡 第 9 頁
三 橢圓型 07.δ 4 < 0 橢圓型 0 橢圓 < 0, 0 橢圓 [ 移軸 ] 首先求出平移後的中心 ( h, k ) 對 微分 :y -d 對 y 微分 :y -e (7-1) 由克拉瑪公式得 h (d-e)( -4) k (e-d)( -4) (7-) y y h k 代入原方程式可消去一次項, 得新常數 f (hekf) 代入之後的方程式可知 次向係數不變 Γ y y f 0 (7-3) [ 轉軸 ] 接下要求轉軸幾度 θ otθ ( 0) osθ ± ( 正負號要由 otθ 決定 ) ( ) θ os 1 1 os θ 第 30 頁
求得 θ 之後, 利用 osθ y sinθ y sinθ y osθ (7-4) 將兩式代入平移後的式子, 得轉軸移軸最簡式, 而其中 y 項的係數會消去, 平方和 y 平方的係數也會改變 : 1 1 ( ) ( ) 得轉軸後的式子 Γ : y f f y f 1 從此我們便能讀出或繪出 Γ 的形狀 接下來, 我們探討原座標系的諸元的求法, 以利在 GSP 系統中的模擬應用 由於 Γ 的長軸長 短軸長 兩焦點距離在轉軸移軸中不會改變其大小, 所以 Γ 中長軸點頂 A( ±, 0 ) (, y ) 轉回平移時的長軸頂點 第 31 頁
: Γ y osθ y sinθ y sinθ osθ (7-5) 再移回平移前的長軸頂點 Γ: y y h k y h y k (7-6) 將 (7-6) 代入 (7-5) 中, 即可求得原座標係長軸頂點 其餘短軸頂點, 焦點, 皆可用同樣方式求得 另外, 再求原座標軸之長軸, 短軸的方程式 Γ 貫軸 : y 0 Γ 轉軸 : 0 先轉軸回平移後的方程式 再移回原座標係 y osθ y sinθ y sinθ osθ (7-7) 利用 Γ: y y h k y h y k (7-8) y 將 (7-8) 代入 (7-7), 整理後可得 y otθ ( h) k, 即為長軸和短軸的方 tnθ ( h) k 程式, 下圖為 GSP 系統模擬的情況 第 3 頁
如同之前, 在雙曲線的情況一樣, 我們可以利用 GSP 線上模擬的功能, 將滑鼠點選欲控制的參數, 例如各項係數 d e f, 然後操作鍵盤上右方數字鍵上的 - 鍵, 即可立即更改各係數的大小, 由此觀察各係數變化時圖形的變化情形, 相當的便利與快速 對於原座標系統的平移與旋轉, 在下列圖七的左側, 也設計了動態按鈕, 方便模擬操作, 對於二次曲線在座標平面上變換的瞭解有相當大的幫助 圖七一般橢圓形 第 33 頁
08.δ 4 < 0 橢圓型 [ 移軸 ] 0 圓 < 0, 0 圓 首先求出平移後的中心 ( h, k ) 對 微分 :y -d 對 y 微分 :y -e (8-1) 由克拉瑪公式得 h (d-e)( -4) k (e-d)( -4) (8-) y y h k 代入原方程式可消去一次項, 得新常數 f (hekf) 代入之後的方程式可知二次項係數不變 Γ : y f 0 此圖形即為 圓 模擬圖形如圖八所示 圖八圓形 第 34 頁
09.δ 4 < 0 橢圓型 ( 退化 ) 0, > 0 沒有軌跡 經整理後得 y f 0 故無解 圖九橢圓形退化成無軌跡 第 35 頁
10.δ 4 < 0 橢圓型 ( 退化 ) 0 一點 首先求出平移後的中心 ( h, k ) 對 微分 :y -d 對 y 微分 :y -e (10-1) 由克拉瑪公式得 h (d-e)( -4) k (e-d)( -4) (10-) y y h k 代入原方程式可消去一次項, 得新常數 f (hekf) 代入之後的方程式可知二次項係數不變 Γ y y f 0 求出得一點 圖十橢圓形退化成一點 第 36 頁
肆 結論與建議一 透過動態幾何系統 (GSP 系統 ) 的操作, 我們成功完成了二次曲線在平面座標轉軸 移軸的模擬, 並就以下各種情況加以分析討論 : (1) 橢圓型 : 橢圓 圓 一點 沒有軌跡 () 拋物線型 : 拋物線 兩平行線 兩重合直線 沒有軌跡 (3) 雙曲線型 : 雙曲線 兩相交直線 共計十種類型二 在動態幾何系統 (GSP 系統 ) 中, 吾人可以利用鍵盤上的 - 鍵, 任意調整二次曲線一般式中任一項的係數, 快速模擬出各類曲線 ( 橢圓 拋物線或雙曲線的圖形 ), 並計算出其諸元特性 ( 例如 : 長短軸座標 焦點 準線和漸近線等 ) 三 透過這次的高中研發人才培育學生研究計畫, 使我們對於 GSP 系統, 以及二次曲線的移軸 轉軸的性質都更加了解, 在電腦的模擬上, 要克服當初許多未曾思考的問題, 都增長不少經驗, 也相當有成就感 四 二次曲線方程式經過轉軸 移軸之後, 有一些不變量的討論與分析, 在此我們並未多加闡述, 這也是將來可再研究的範疇 第 37 頁
伍 參考文獻 註一 第 單元平面上的座標變換 < 最高水準 > 升大學指定考科全多錄 [ 數學 ( 甲 )] 註二 第二十七單元座標的平移與旋轉林信安老師編寫 (http:mth1.k.tp.edu.tw 林信安 學術研究 一般課程 第二十七單元坐標的平移與旋轉.do) 註三 數學甲第 單元平面上的座標變換康熙圖書網路股份有限公司註四 台北縣 K1 網路學校 (http:tp.k1.edu.tw), 第四期研習 Gsp 動態幾何教材設計與網頁製作, 研習證明如下 : 圖十一北縣數位網路學校研習證明 第 38 頁