大學入學考試中心 0 學年度指定科目考試試題 數學甲 作答注意事項 考試時間 :80 分鐘 作答方式 : 選擇 ( 填 ) 題用 B 鉛筆在 答案卡 上作答 ; 更正時, 應以橡皮擦擦拭, 切勿使用修正液 ( 帶 ) 非選擇題用筆尖較粗之黑色墨水的筆在 答案卷 上作答 ; 更正時, 可以使用修正液 ( 帶 ) 未依規定畫記答案卡, 致機器掃描無法辨識答案 ; 或未使用黑色墨水的筆書寫答案卷, 致評閱人員無法辨認機器掃描後之答案者, 其後果由考生自行承擔 答案卷每人一張, 不得要求增補 選填題作答說明 : 選填題的題號是 A,B,C,, 而答案的格式每題可能不同, 考生必須依各題的格式填答, 且每一個列號只能在一個格子畫記 請仔細閱讀下面的例子 例 : 若第 B 題的答案格式是 8 9 3, 而依題意計算出來的答案是, 則考生 8 必須分別在答案卡上的第 8 列的與第 9 列的畫記, 如 : 3 8 8 9 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 例 : 若第 C 題的答案格式是 0 50 7, 而答案是時, 則考生必須分別在答案 50 卡的第 0 列的與第 列的畫記, 如 : 7 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0
第 頁 0 年指考共 7 頁數學甲 第壹部分 : 選擇題 ( 單選題 多選題及選填題共占 76 分 ) 一 單選題 ( 占 4 分 ) 說明 : 第 題至第 4 題, 每題有 5 個選項, 其中只有一個是正確或最適當的選項, 請畫記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 各題答對者, 得 6 分 ; 答錯 未作答或畫記多於一個選項者, 該題以零分計算. 設 z 為一複數, 且 z i z ( 其中 i 為虛數單位 ) 試問 z 的絕對值 z 為下 列哪一個選項? () () (3) (4) (5). 坐標平面上, 直線 x 分別交函數 y log0 x y log x 的圖形於 P Q 兩點 ; 直 線 x 0 分別交函數 y log0 x y log x 的圖形於 R S 兩點 試問四邊形 PQSR 的面積最接近下列哪一個選項?( log 0 0.300 ) () 0 () (3) (4) 3 (5) 4 - -
0 年指考第 頁數學甲共 7 頁 3. 袋中有大小相同編號 到 8 號的球各一顆 小明自袋中隨機一次取出兩球, 設 隨機變數 X 的值為取出兩球中的較小號碼 若 ( k,,,8 ), 試問有幾個 p k 的值大於 5? p k 表 X 取值為 k 的機率 () 個 () 個 (3) 3 個 (4) 4 個 (5) 5 個 0 4. 考慮所有由 3 4 5 6 各一個與三個 0 所排成形如 c e 為 0 的三階方陣 今隨機選取這樣一個方陣, 試問其行列式值的機率為下列哪一個選項? a 0 f 0 c e b d 對角線均 0 a b 0 d 為奇數 f 0 () 0 () 0 (3) (4) 9 0 (5) 9 0 - -
第 3 頁 0 年指考共 7 頁數學甲 二 多選題 ( 占 40 分 ) 說明 : 第 5 題至第 9 題, 每題有 5 個選項, 其中至少有一個是正確的選項, 請將正確選項畫記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 各題之選項獨立判定, 所有選項均答對者, 得 8 分 ; 答錯 個選項者, 得 4.8 分 ; 答錯 個選項者, 得.6 分 ; 答錯多於 個選項或所有選項均未作答者, 該題以零分計算 5. 令 A(, 0) B (0, ) C (, ) D (4, 3) 為坐標平面上四點 請選出正確的選項 () 恰有一直線通過 A B C 三點 () 恰有一圓通過 A B D 三點 (3) 恰有一個二次多項式函數的圖形通過 B C D 三點 (4) 恰有一個三次多項式函數的圖形通過 A B C D 四點 (5) 可找到兩平行直線, 其聯集包含 A B C D 四點 6. 設 c 為實數, E E 皆為坐標空間中的平面, 其方程式如下 : E : cx y c E : cy z 0 E : x cz 3 已知 E E 有一個交點的 z 坐標為, 請選出正確的選項 () (,0,0 ) 是 E E 的一個交點 () E E 有無窮多個交點 (3) E E 中一定有兩個平面重合 (4) c (5) E E 有一個交點的 z 坐標為 - 3 -
0 年指考第 4 頁數學甲共 7 頁 7. 令 3 f ( x) x x x 設 a b c 為方程式 f( x) 0的三個實根, 且 ab c, 請 選出正確的選項 () 極限 f () x lim 存在 x x () a b c 至少有一個在 0 與 之間 (3) a, a, a 3,, a n, 為收斂數列 (4) b, b, b 3,, b n, 為收斂數列 (5) c, c, c 3,, c n, 為收斂數列 8. 考慮函數 f () x sin x cos x, 其中 x 為任意實數 請選出正確的選項 () f ( x) f( x) 對所有實數 x 均成立 () f 的最大值為 (3) f 的最小值為 0 (4) f ( ) f ( ) 0 9 (5) 函數 f 的 ( 最小正 ) 週期為 - 4 -
第 5 頁 0 年指考共 7 頁數學甲 9. 考慮向量 u ( ab,,0) v (, cd,), 其中 a b c d 請選出正確的選項 () 向量 v 與 z 軸正向的夾角恆為定值 ( 與 c d 之值無關 ) () u v 的最大值為 (3) u 與 v 夾角的最大值為 35 (4) ad bc 的值可能為 5 4 (5) u v 的最大值為 - 5 -
0 年指考第 6 頁數學甲共 7 頁 三 選填題 ( 占 分 ) 說明 :. 第 A 與 B 題, 請將答案畫記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 所標示的列號 (0 5). 每題完全答對給 6 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 設 A B C D 為空間中四個相異點, 且直線 CD 垂直平面 ABC 已知 AB BC CD 0, 4 sin ABC, 且 ABC 為銳角, 則 AD 0 5 ( 化成最簡根式 ) B. 設 m 為實數 若圓 4 7 0 0與直線 y m( x 3) 在坐標平面上的 x y x y 兩個交點位於不同的象限, 而滿足此條件的 m 之最大範圍為 am b, 則 4 a b ( 化成最簡分數 ) 3 5 以下第貳部分的非選擇題, 必須作答於答案卷 - 6 -
第 7 頁 0 年指考共 7 頁數學甲 第貳部分 : 非選擇題 ( 占 4 分 ) 說明 : 本部分共有二大題, 答案必須寫在 答案卷 上, 並於題號欄標明大題號 ( 一 二 ) 與子題號 (() () ), 同時必須寫出演算過程或理由, 否則將予扣分甚至給零分 作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫, 且不得使用鉛筆 每一子題配分標於題末 一. 設 p (x) 為一實係數多項式, 其各項係數均大於或等於 0 在坐標平面上, 已 知對所有的 t, 函數 y p(x) y x 的圖形與直線 x x t 所圍成有 界區域的面積為 t 4 t 3 t t C ( 其中 C 為常數 ) () 試說明 x 對所有的 p() x x 均成立 ( 分 ) () 設 t, 試求 (3) 試求 C ( 分 ) t x dx (3 分 ) ( ) (4) 試求 p (x) (5 分 ) 二. 設 A (, 0) B (0,) 為坐標平面上兩點,C 為直線 AB 外一點 經平面線性變換 M 作 用後, A 被映射至 A (, ) B 被映射至 B (, ), 而 C 被映射至 C () 試問變換 M 的矩陣為何?(4 分 ) () 試證明變換 M 將 ABC 的重心映射至 ABC 的重心 (4 分 ) (3) 若 ΔABC 的面積為 3, 試求點 C 與直線 AB 的距離 (4 分 ) - 7 -