面積與二階行列式 陳清海 老師

面積與二階行列式 陳清海 老師

1 主題一 二階行列式 1. 二階行列式: 符號 即 d 稱為二階行列式,它所代表的數為 d d d.. 二階行列式具有下列性質: (1) 行列互換其值不變,如. d d () 兩行 ( 兩列 ) 對調,其值變號,如 ; d. d d d (3) 任一行 ( 列 ) 可以提出同一個數,如 k k k d d ; k. k kd d (4) 兩行 ( 兩列 ) 成比例,其值為 0,如 k 0 k ; k k 0., (5) 將一行 ( 列 ) 的 k 倍加到另一行 ( 列 ),其值不變,如 k k kd ;. d d k d d (6) 若某一行 ( 列 ) 的每個元素可分成兩行 ( 列 ) 元素的和, 則此行列式可拆分為兩個行列式的和,如 e e ; e f e f. f d d f d d d d

3. 兩向量平行的判定: 設, y 與, y 為坐標平面上任意兩個向量. 若 // 1 y1,則 0 y ;反之亦成立

3 例題 1 求二階行列式 5 的值. 3 7 Ans:9 所求 7 3 5 9. 備註 -5 9 3 7 類題 1 求二階行列式 3 1 的值. 4 Ans:10 所求 34 1 10. 備註 3-0 - 4 例題 求行列式 6 39 的值. 35 53 Ans:13 利用行列式的性質,得 6 39 3 13 35 53 35 53 備註 3 13 13 4 3 13. 1

4 6 39 13 35 53 類題 求行列式 456 455 的值. 789 788 Ans:333 利用行列式的性質,得 456 455 1 455 788 455 333. 789 788 1 788 備註 456 455 333 789 788 例題 3 已知 d,求 5 3 4 5d 3 4d 的值. Ans:46 利用二階行列式的性質,得 5 3 4 5d 3 4d 3 4 5 3 4 3 4d 5d 3 4d 4 5 3 4d 5d 3 4 5 3 d d 8 15 =46.

5 類題 3 已知 5 d,求 Ans:50 利用二階行列式的性質,得 4 3 d 4 3d 4 3 的值. d 4 3d 4 3 4 3 4 3d d 4 3d 3 4 3d d 4 3 1 4 d d 65 4 5 =50. 例題 4 已知 4,3 與 6, t 平行,求實數 t 的值. Ans: 9 因為 //,所以 4 3 0 4t 18 0. 6 t 解得 9 t.

6 類題 4 設, 3,,5 與 1, t 求實數 t 的值.,且 //, Ans: 1,且 // 因為 3,5 t 3 0 5 t 9 0. 3 5t,所以 解得 1 t.

7 主題二 克拉瑪公式 1. 克拉瑪公式: 設,, y 當 0時,二元一次聯立方程式. y y 1 y 恰有一組解,且其解為, y.

8 例題 5 5y 1 使用克拉瑪公式解聯立方程式. 3y 8 Ans:=,y=1 因為 5 3 19, 1 5 8 1 38, y 19, 3 8 所以 38, 19 y 19 y 1. 19 備註 y 5-1 = 1 3-8 y= -1 類題 5 3y 5 使用克拉瑪公式解聯立方程式. 65y 1 Ans:=1,y=1 因為 3 5 3 5 8, 8, y 8, 6 5 1 5 6 1 所以 8 1, 8 y 8 y 1. 8 備註 y 3 5 = 1 6-5 1 y= 1

9 例題 6 y 已知聯立方程式 y 1 的解為 4, y, 1 1 1 y 31 0 求聯立方程式 的解. y 3 0 Ans:=6,y=6 1 1 y 1 因為聯立方程式 恰有一組解, y 由克拉瑪公式,得 0,, y y 且滿足 4,. 1 1 1 y 31 將所求聯立方程式改寫為 y 3,,則其 4 0 4 0, 1 3 3 3 3 3 3 1 6 3 6 3 6 y 3, 3 y 6 6 6 3 故所求聯立方程式的解為. 6 y 3 6 3 4 6, 4 4 y 6 64 y 6. 4 4

10 類題 6 y 已知聯立方程式 y 1 的解為, y 5, 41 51 y 61 0 求聯立方程式 的解. 4 5 y 6 0 Ans:=3,y=6 1 1 y 1 因為聯立方程式 恰有一組解, y 由克拉瑪公式,得 0,, y y 且滿足, 5. 4 5 y 6 將所求聯立方程式改寫為 4 5 y 6, 1 4 5 4 5 0 0 4 5 6 5 6 5 30 6 5 4 6 y 4 6 4 y 4 6 故所求聯立方程式的解為 30 30 3, 0 0 y 4 y 4 y 5 6. 0 0.,,則其

11 主題三 二元一次方程組的幾何意義 y,,, y 1 y (1) 0, 即 兩直線交於一點 ( y, ) () 1 兩直線平行 ( 無解 ) 兩直線重合 ( 無線多解解 ) (3) 1 例題 7 1 k y 0 設聯立方程式 k y 0 除了 0, y 0 之外還有其他的解,求實數 k 的值. Ans: 或 3 聯立方程式除了 0, y 0 之外還有其他的解, 表示聯立方程式有無限多組解,因此 0, 1 即 k k k 6 0,解得 k k 或,3. 類題 7 3y k 設聯立方程式 5 3y ky 之外還有其他的解,求實數 k 的值. Ans: 或 6 除了 0, y 0 1 k 3y 0 將原聯立方程式改寫為. 5 3 k y 0

1 因為聯立方程式除了 =0, y=0 之外還有其他的解,表示聯立方程式有無限多組解,所以 =0, 1 k 3 即 k 4k1 0, 5 3 k 解得 k= 或 6. 例題 8 試就實數 k 的值,討論聯立方程式 k 3 4y 5 3k 的解. k 5 y 8 Ans: 見詳解 計算二階行列式, 與 y,得 k 3 4 k k k k k 5 8 7 1 7 5 3k 4 8 k 5, 3k 10k 7 3k 7 k 1 k3 53k y 14k14 14k 1. 8 (1) 當 k 7 且 k 1時,即 0, 聯立方程式恰有一組解 3k 7 y 14, y k 7 k 7. () 當 k 7 時,即 0,代入原聯立方程式,得 4 4y 6. y 8 在坐標平面上這代表兩直線平行, 故聯立方程式無解. (3) 當 k 1時,即 0,代入原聯立方程式,得 4y 8. 4y 8 在坐標平面上這代表兩直線重合,,

13 故聯立方程式有無限多組解.而聯立方程式的解就是 y 4的解,其解可寫為 4t,其中 t 是實數. y t 類題 8 試就實數 k 的值,討論聯立方程式 k 3y k 3 的解. k y 5 k Ans: 見詳解 計算二階行列式, k 3 與 y,得 k k k k 1 k 3 3 1 k 3 3 5k k, k 3k 35 k k 3k 7 k k 3 y k k k k k 1 5 k 5 3 3 1 (1) 當 k 1且 k 3 時,即 0, 聯立方程式恰有一組解 k 7 k 1, y k 1 y. k 1 () 當 k 1時,即 0,代入原聯立方程式, 3y 得. 3y 6 在坐標平面上這代表兩直線平行, 故聯立方程式無解. (3) 當 k 3 時,即 0,代入原聯立方程式, 33y 6 得. y 在坐標平面上這代表兩直線重合, 故聯立方程式有無限多組解..,

14 而聯立方程式的解就是 y 的解, t 其解可寫為,其中 t 是實數. y t

15 主題四 二階行列式的應用 1. 若 與 不平行, 則由, 所夾的平行四邊形面積為 ( ).. 由兩不平行向量 u, 與 v, d 平行四邊形面積為二階行列式 d 的絕對值.即 d. 所張出的

16 例題 9 求由向量 u 5,1 與 v,3 所張出的平行四邊形面積. Ans:17 計算二階行列式的絕對值,得 5 1 15 17 17, 3 故由向量 u 和 v 所張出的平行四邊形面積為 17. 另解 u v = u v ( u v) = 613 ( 10 3) 89 17. 又解 D 4 V U -5 如圖, O os= uv 10 3 7, uv 13 6 13 得 sin= 17 13, u v = u v sin = 17 6 13 17. 13

17 再解 D 4 V U 1-5 B 5 O 3 A 如圖, 面積 =( 梯形 ABVU- 三角形 OBV- 三角形 OAU) =[(1+3)7-15-3] =17. 類題 9 已知由向量 u 4,3 與 v, k 面積為 18,求實數 k 的值. Ans:3 或 6 依題意,可列得 4 3 18 4k 6 18 k, 即 4k 6 18.解得 k 3 或 6. 所張出的平行四邊形 例題 10 已知 ABC 三頂點坐標為 A,1, B 3, 與 C 1, 求 ABC 的面積. Ans:8 因為 AB 5,1, 1, 3 AC, 且 ABC 的面積等於由,

18 AB 與 AC 所張出之平行四邊形面積的一半,所以 ABC 的面積為 1 5 16 8 1 3. 類題 10 已知 ABC 三頂點坐標為 A,0, B,1 與 C 4,3 求 ABC 的面積. Ans:7 因為 AB 4,1, AC,3 1 4 14 7. 3,所以 ABC 的面積為,

19 ok334e 1. 求下列各二階行列式的值: (1) 5 990 991. () 3 4 99 993. (3) 5 3 4 5 3 5 3 4 4. Ans:(1) 6,(),(3) 89 (1) () 5 =54-()3=0+6=6. 3 4 990 991 99 993 = 990 991 =990-991=. (3) 5 3 4 5 3 5 3 4 4 =( +5 3 +4)( -4)-5 3 ( +5 3-4) =+5 6 +4-4 -0 3-16-5 6-53+0 3 =89 5. 已知, 為整數且行列式 4, 7 則絕對值 為何? 99 學測 Ans:3 5 4 35-=4 =31 7 =31,=1 或 =31,=1 +=3

0 3. 設 d, e f 5,求 Ans:16 3 e 3d f 4 4 = 3 3 d e f 4 4 4 4 =43 d +4 e f =1+85 =16 3 e 3d f 4 4 的值. 4. 已知 5 d,求 3 5 3 d 5d 的值. Ans:80 3 5 = 3 16 =16 3 3 d 5d 3 d 16 3 d =16 =16 d d =16 d =165=80 5. 設 0,且兩聯立方程式 有相同的解,求實數, 的值. Ans: 1, 3 3+y=1 (1),-y=3 (), (1)+() 4=4 =1 代入 (1) 3+y=1 y=1, y 4 3 y 3 與 3y 1 y3

1 代入另兩式得 -=4 (3),3+=3 (4) (3)+(4) 5=5 =1 代入 (3) 1-=4 =3, 即 =1,=3 6. 已知聯立方程式 其中 k 為實數. 6 k y 7k 17, k 5 y 8k 4 (1) 若此聯立方程式無解,則 k 的值為何? () 若此聯立方程式有無限多組解,則 k 的值為何? Ans:(1),() 1 (1) 若此聯立方程式無解,則 6 k 7k17 k 5 8k 4 (k-)(k+5)=1 k +3k+=0 k= 或 k=1 ( 不合 ) () 由 (1) 知, 若此聯立方程式有無限多組解, 則 k 的值為 1 7. 已知 1,, t, 4 求實數 t 的值. Ans: // (1+t,-8) (-t,4+4),且 //,

1 t 6 t 8 4(1+t)=3(-t) t= 8. 坐標平面上給定兩點 A 1,0 與 B 0,1 P,1, Q 3,6與 R,log 4 3,又考慮另外三點.令 PAB 的面積為 p QAB 的面積為 q RAB 的面積為 r. 99 學測 請問下列哪一個選項是正確的? (1) pq r. () p r q. (3) q p r. (4) q r p. (5) r q p. Ans:(1) log43= log3 5log 5, 故 R(, 5 log 4 log ) 直線 AB 的斜率為 1, 故 AB:+y-1=0 p=d(p, AB )= 1 1, Q 6 4 P: (3.14, 1.00) Q: (-1.73, 6.00) R: (.00,.50) R q=d(q, AB )= 3 6 1 5 3, B P 5 7 1 r=d(r, AB )=, A 5 =3.14,5- 得 p<q<r 3 =3.68, 9. 坐標平面上三點 A 1,, B 4,3, C k 1, k (1) 若 ABC 的面積為 3,求實數 k 的值. () 若 A, B, C 三點共線,求實數 k 的值. Ans:(1) 6 或,() 4.

3 AB =(5,1), AC =(k+,k-), 1 (1) ABC 的面積為 5 1 k k =3 5(k-)-(k+) =6 3k-1 =6 k-4 = k=6 或 k=. () 若 A, B, C 三點共線 k-4 =0 k=4. y 10. 已知聯立方程式 y 1 31 1 y 61 求聯立方程式 的解. 3 y 6 Ans: 4, y 3 的解為 1, y, y y 1 = =1,y= =. 31 1 y 61 的解為 3 y 6 = 6 6 3 3 1 = 6 = =()=4. y= 3 6 3 6 3 3 18 = 6 3 = =31=3.

4 11. 設實數 0.若 y 的聯立方程式 則. Ans:14-3=-, - 3y=1-, 代入 3-3y=366 --(1-)=366 --18=0 (-14)(+13)=0 =14 或 =13( 不合 ) 99 學測 y 1 y 有解, y 1 1. 坐標平面上有一個平行四邊形 ABCD,其中點 A 的坐標為,1,點 B 的坐標為 8,,點 C 在第一象限且知其 坐標 為 1.若平行四邊形 ABCD 的面積等於 38 平方單位,則點 D 的坐標為. 99 學測 Ans: 6,8 如下圖, 設 C(1,y), 因 ABCD 為平行四邊形, 故 D(6,y-1) 直線 AB :-6y+4=0, 6 6( y1) 4 16 6y d(d, AB )=, 37 37 AB = 37 平行四邊形 ABCD 的面積為 16 6y 37 =38 37 16-6y =38 16-6y=38 或 16-6y=38 6 4 A(,1) C(1,y) D(6,y-1) B(8,) 5 10 15

5 y=9 或 y= 11 ( 不合 ) 3 D(6,8) 另解 AB =(6,1), AD =(4,y-), 則 平行四形 ABCD 的面積 = 6 1 4 y =6(y-)-4=6y-16=38 3y-8=±19 y=9 或 y= 11 ( 不合 ) D(6,8) 3 13. 已知由向量 與 所張出的平行四邊形面積為 4, 求由向量 與 3 所張出的平行四邊形面積. Ans:0 設 =(1,), =(1,), 則 = 1 =4 1 + =(1+1,+), 3 - =(31-1,3-), 由向量 與 3 3 3 = 5 5 1 所張出的平行四邊形面積為

6 = 5 1 =5 1 1 =54=0. 14. 工廠有甲與乙共二條生產線,現欲生產三百個產品. 如果甲 乙二條線同時開動,則需 1 小時;如果先讓 甲生產線開動 4 小時,而餘下的工作由乙生產線單獨完成, 需再開動 4 小時才能完成所有產品.問如果只開動乙 生產線,則需多少小時才能生產三百個產品. Ans:30 小時 設甲生產線需 小時, 乙生產線需 y 小時, 則, 1 y 1 (1), 4 4 1 (), y ()-(1)4 0 4 8 1 y 8y=01 y=56=30. 只開動乙生產線,則需 30 小時才能生產三百個產品.

7 15. 在邊長為 13 的正三角形 ABC 上各邊分別取一點 P,Q,R, 使得 APQR 形成一平行四邊形, 如下圖所示 若平行四邊形 APQR 的面積為 0 3, 則線段 PR 的長度為 [ 學測 101] Ans:(7) 7 APQR 為平行四邊形, PAR BPQ QRC 60 PBQ RQC 為正三角形 令 AP, BP AR 13 1 APR 平行四邊形 APQR 面積 13 sin 60 0 3 13 40 0 85 0 8或 5 PR 8 5 85os60 49 7