大學入學考試中心 7 學年度指定科目考試試題 數學甲 作答注意事項 考試時間 :8 分鐘 作答方式 : 選擇 ( 填 ) 題用 B 鉛筆在 答案卡 上作答 ; 更正時, 應以橡皮擦擦拭, 切勿使用修正液 ( 帶 ) 非選擇題用筆尖較粗之黑色墨水的筆在 答案卷 上作答 ; 更正時, 可以使用修正液 ( 帶 ) 未依規定畫記答案卡, 致機器掃描無法辨識答案 ; 或未使用黑色墨水的筆書寫答案卷, 致評閱人員無法辨認機器掃描後之答案者, 其後果由考生自行承擔 答案卷每人一張, 不得要求增補 選填題作答說明 : 選填題的題號是,B,C,, 而答案的格式每題可能不同, 考生必須依各題的格式填答, 且每一個列號只能在一個格子畫記 請仔細閱讀下面的例子 例 : 若第 B 題的答案格式是 3, 而依題意計算出來的答案是, 則考生 8 必須分別在答案卡上的第 8 列的 3 8 與第 9 列的畫記, 如 : 8 9 8 9 3 4 5 6 7 8 9 ± 3 4 5 6 7 8 9 ± 7 例 : 若第 C 題的答案格式是 5, 而答案是時, 則考生必須分別在答案 5 7 卡的第 列的與第 列的畫記, 如 : 3 4 5 6 7 8 9 ± 3 4 5 6 7 8 9 ±
第 頁共 7 頁 7 年指考數學甲 第壹部分 : 選擇題 ( 單選題 多選題及選填題共占 76 分 ) 一 單選題 ( 占 8 分 ) 說明 : 第 題至第 3 題, 每題有 5 個選項, 其中只有一個是正確或最適當的選項, 請畫記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 各題答對者, 得 6 分 ; 答錯 未作答或畫記多於一個選項者, 該題以零分計算. 設 為 3 3矩陣, 且對任意實數 abc,,, () (4) () (5) a b b = c 均成立 試問矩陣 為何? c a (3). 坐標平面上, 考慮 (,3) 與 B(,3) 兩點, 並設 O 為原點 令 E 為滿足 OP = a O + b OB 的所有點 P 所形成的區域, 其中 a, b 4 考慮函數 f () 5 = +, 試問當限定 為區域 E 中的點 P( y, ) 的橫坐標時, f ( ) 的最大值為 何? () 5 () 9 (3) 3 (4) 4 (5) 54 - -
7 年指考第 頁數學甲共 7 頁 3. 某零售商店販賣 熊大 與 皮卡丘 兩種玩偶, 其進貨來源有, BC, 三家廠 商 已知此零售商店從每家廠商進貨的玩偶總數相同, 且三家廠商製作的每一種玩偶外觀也一樣, 而從, BC, 這三家廠商進貨的玩偶中, 皮卡丘 所占 的比例分別為 4 5 阿德從這家零售商店隨機挑選一隻 皮卡丘 送給小安作為生日禮物, 試問此 皮卡丘 出自 C 廠商的機率為何? () 3 () (3) (4) (5) 5 3 9 5 9 二 多選題 ( 占 4 分 ) 說明 : 第 4 題至第 8 題, 每題有 5 個選項, 其中至少有一個是正確的選項, 請將正確選項畫記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 各題之選項獨立判定, 所有選項均答對者, 得 8 分 ; 答錯 個選項者, 得 4.8 分 ; 答錯 個選項者, 得.6 分 ; 答錯多於 個選項或所有選項均未作答者, 該題以零分計算 4. 設 f ( ) 499 = +, 且 = f ( ) d 試選出正確的選項 9 B = f( n) C = f( n) n= n= 9 D = n= f( n) + f ( n+ ) () 表示在坐標平面上函數 y = + 499 的圖形與直線 y = = = 所 圍成的有界區域的面積 () B < C (3) B< (4) C < D (5) < D - -
第 3 頁共 7 頁 7 年指考數學甲 5. 坐標平面上, 已知直線 L 與函數 y = log 的圖形有兩個交點 P( ab, ), Qcd (, ), 且 PQ 的中點在 軸上 試選出正確的選項 () L 的斜率大於 () bd = (3) ac = (4) L 的 y 截距大於 (5) L 的 截距大於 6. 坐標空間中, 有 a b c d 四個向量, 滿足外積 a b = c, a c = d, 且 a b c 的向量長度均為 4 設向量 a 與 b 的夾角為 θ ( 其中 θ π ), 試選出正確的選項 () cosθ = 4 () a b c 所張出的平行六面體的體積為 6 (3) a c d 兩兩互相垂直 (4) d 的長度等於 4 (5) b 與 d 的夾角等於 θ - 3 -
7 年指考第 4 頁數學甲共 7 頁 7. 設 O 為複數平面上的原點, 並令點, B 分別代表複數 z, z, 且滿足 z =, z = 3, z z z = 5 若 a bi z = +, 其中 ab, 為實數, i = 試選出正確的選項 () cos OB = 3 () z + z = 3 (3) a > (4) b > (5) 設點 C 代表 z z, 則 BOC π 可能等於 8. 設 f ( ) 為一定義在非零實數上的實數值函數 已知極限 正確的選項 lim f ( ) 存在, 試選出 () lim 存在 () lim f ( ) 存在 (3) lim ( f ( ) ) + 存在 (4) (5) lim f ( ) 存在 lim f ( ) 存在 - 4 -
第 5 頁共 7 頁 7 年指考數學甲 三 選填題 ( 占 8 分 ) 說明 :. 第 至 C 題, 將答案畫記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 所標示的列號 (9 5). 每題完全答對給 6 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分. 坐標平面上, 已知圓 C 通過點 P(, 5), 其圓心在 = 上 若圓 C 截 軸所成之弦長為 6, 則其半徑為 9 ( 化成最簡根式 ) B. 假設某棒球隊在任一局發生失誤的機率都等於 p( 其中 < p < ), 且各局之 間發生失誤與否互相獨立 令隨機變數 X 代表一場比賽 9 局中出現失誤的局數, 且令 p k 代表 9 局中恰有 k 局出現失誤的機率 P( X = k) 已知 p4 + p 45 5 = p6, 8 則該球隊在一場 9 局的比賽中出現失誤局數的期望值為 3 ( 化成最 簡分數 ) - 5 -
7 年指考第 6 頁數學甲共 7 頁 C. 設 BCD,,, 為圓上的相異四點 已知圓的半徑為 7, B = 5, 兩線段 C 與 BD 互 相垂直, 如圖所示 ( 此為示意圖, 非依實際比例 ) 則 CD 的長度為 4 5 ( 化成最簡根式 ) D C B 以下第貳部分的非選擇題, 必須作答於答案卷 - 6 -
第 7 頁共 7 頁 7 年指考數學甲 第貳部分 : 非選擇題 ( 占 4 分 ) 說明 : 本部分共有二大題, 答案必須寫在 答案卷 上, 並於題號欄標明大題號 ( 一 二 ) 與子題號 (() () ), 同時必須寫出演算過程或理由, 否則將予扣分甚至零分 作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫, 且不得使用鉛筆 若因字跡潦草 未標示題號 標錯題號等原因, 致評閱人員無法清楚辨識, 其後果由考生自行承擔 每一子題配分標於題末 一. 坐標空間中有一個正立方體 BCDEFGH, 如圖所示 ( 此為示意圖 ), 試回答下 列問題 () 試證明 點到平面 BDE 的距離是對角線 G 長度的三分之一 (4 分 ) () 試證明向量 G 與平面 BDE 垂直 ( 分 ) (3) 如果知道平面 BDE 的方程式為 + y z = 7, 且 點坐標為 (,,6), 試 求出 點到平面 BDE 的距離 ( 分 ) (4) 承 (3), 試求出 G 點的坐標 (4 分 ) E H F G D C B 二. 考慮三次多項式 3 f( ) = 3 + 3 試回答下列問題 () 在坐標平面上, 試描繪 y = f ( ) 的函數圖形, 並標示極值所在點之坐標 ( 4 分 ) () 令 f ( ) = 的實根為 a, a, a 3, 其中 a< a < a3 試求 a, a, a 3分別在哪兩個相鄰整數之間 ( 分 ) (3) 承 (), 試說明 f( ) = a f() = a f() = a3 各有幾個相異實根 (4 分 ) 3 (4) 試求 f ( f ( )) = 有幾個相異實根 ( 註 : f( f( )) = ( f( )) 3( f( )) + 3) ( 分 ) - 7 -