014 高考二轮专题训练 ( 综合 ): 数列 一 选择题 ( 本大题共 1 小题, 每小题 5 分, 共 60 分 ; 在每小题给出四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 ) 1.( 文 )(013 天津十二区县联考 ) lgx,lgy,lgz 成等差数列 是 y =xz 成立的 ( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [ 答案 ] A [ 解析 ] lgx,lgy,lgz 成等差数列 lgy=lgx+lgz y =xz, 但 y =xz / lgy=lgx+lgz, 选 A. ( 理 ) 等差数列 {a n} 的首项为 a 1, 公差为 d, 前 n 项和为 S n, 则 d> a 1 是 S n 的最小值为 S 1, 且 S n 无最大值 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [ 答案 ] A [ 解析 ] 依题意, 当 d> a 1 时, 数列 {a n} 是递增的数列, 无论 a 1 的取值如何,S n 的最小值为 S 1, 且 S n 无最大值 ; 反过来, 当 S n 的最小值为 S 1, 且 S n 无最大值时, 如当 a 1 1=1,d= 时, 此时 S n 的最小值为 S 1, 且 S n 无最大值, 但不满足 d> a 1. 3 综上所述, d> a 1 是 S n 的最小值为 S 1, 且 S n 无最大值 的充分不必要条件..(013 眉山市二诊 ) 等比数列 {a n} 的公比 q>1, 1 + 1 =3,a 1 1a 4= a a 3, 则 a 3+a 4 +a 5+a 6+a 7+a 8=( ) A.64 B.31 C.3 D.63 [ 答案 ] D [ 解析 ] a 1 a 3=a 1a 4=,1 + 1 =3, a a 3
a +a 3= 3, q>1, a=1,a3=1, q=, a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8= 1 6-1 =63. -1 3.( 文 )(013 榆林一中模拟 ) 等差数列 {a n} 前 n 项和为 S n,a 3=7,S 6=51, 则 公差 d 的值为 ( ) A. B.3 C.-3 D.4 [ 答案 ] B [ 解析 ] a 3=7,S 6=51, a 1+d=7,6a 1+15d=51, a 1=1,d=3, 故选 B. ( 理 )(013 绍兴市模拟 ) 设等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n, 若 a +S 3=-4,a 4 =3, 则公差为 ( ) A.-1 B.1 C. D.3 [ 答案 ] C [ 解析 ] a +S 3=-4, 4a =-4, a =-1, a 4=3, d=, 故选 C. 4.( 文 )(013 德阳市二诊 ) 设等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n, 若 S 4=8,S 8=0, 则 a 11+a 1+a 13+a 14=( ) A.19 B.18 C.16 D.15 [ 答案 ] B [ 解析 ] S 4=8, S 8=S 4+(S 4+16d)=16+16d=0, d= 1 4, a 11+a 1+a 13+a 14=S 4+10d 4=8+10 1 4 4=18. ( 理 ) 已知等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n, 且 S 3 10= (1+x)dx,S 0=17, 则 S 30 0
为 ( ) A.15 B.0 C.5 D.30 [ 答案 ] A [ 解析 ] S 3 10= (1+x)dx=(x+x ) 0=1. 3 0 又 S 10,S 0-S 10,S 30-S 0 成等差数列. 即 (S 0-S 10)=S 10+(S 30-S 0), S 30=15. 5.(013 保定市一模 ) 已知等比数列 {a n} 的公比 q 为正数, 且 a 3 a 9=(a 5), 则 q=( ) A.1 B. C. D. 3 [ 答案 ] C [ 解析 ] a 3 a 9=a 6=a 5, q =, q>0, q=. 6.(013 北京西城区模拟 ) 设等比数列 {a n} 的公比为 q, 前 n 项和为 S n, 且 a 1>0, 若 S >a 3, 则 q 的取值范围是 ( ) A.(-1,0) (0, 1 ) B.(- 1,0) (0,1) C.(-,-1) ( 1,+ ) D.(-,- 1 ) (1,+ ) [ 答案 ] B [ 解析 ] S >a 3, a 1+a 1q>a 1q, a 1>0, q -q-1<0, - 1 <q<1 且 q 0, 故选 B. 7.(013 唐徕回民中学模拟 ) 已知数列 {a n}, 若点 (n,a n)(n N * ) 在经过点 (5,3)
的定直线 l 上, 则数列 {a n} 的前 9 项和 S 9=( ) A.9 B.10 C.18 D.7 [ 答案 ] D [ 解析 ] 由条件知 a 5=3, S 9=9a 5=7. 5 8.( 文 ) 两个正数 a b 的等差中项是, 一个等比中项是 6, 且 a>b, 则双曲线 - y b =1 的离心率 e 等于 ( ) x a A. 3 B. 15 C. 13 D. 13 3 [ 答案 ] D [ 解析 ] 由已知可得 a+b=5,ab=6, a=3, 解得 b= a=, 或 b=3 ( 舍去 ). 则 c= a +b = 13, 故 e= c a = 13 3. ( 理 ) ABC 的三边分别为 a,b,c, 若 b 既是 a,c 的等差中项, 又是 a,c 的等 比中项, 则 ABC 是 ( ) A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 [ 答案 ] C [ 解析 ] b 是 a,c 的等差中项, b= a+c. 又 b 是 a,c 的等比中项, b = ac, ( a+c ) =ac, (a-c) =0, a=c, b= a+c =a, 故 ABC 是等 边三角形. 9. 已知正数组成的等差数列 {a n}, 前 0 项和为 100, 则 a 7 a 14 的最大值是 ( ) A.5 B.50
C.100 D. 不存在 [ 答案 ] A [ 解析 ] S 0= a1+a0 0=100, a 1+a 0=10. a 1+a 0=a 7+a 14, a 7+a 14=10. a n>0, a 7 a 14 ( a7+a14 ) =5. 当且仅当 a 7=a 14 时取等号. 10.( 文 ) 数列 {a n} 是公差不为 0 的等差数列, 且 a 6 a 9 a 15 依次为等比数列 {b n} 的连续三项, 若数列 {b n} 的首项 b 1= 1, 则数列 {b n} 的前 5 项和 S 5 等于 ( ) A. 31 B. 31 3 C.31 D.3 [ 答案 ] A [ 解析 ] q= a9 a 6 = a15 a 9 = a15-a 9 a 9-a 6 = 6d 3d =, 1 S 5= b11-q5 = 1-q 1-5 1- = 31, 故选 A. ( 理 ) 在直角坐标系中,O 是坐标原点,P 1(x 1,y 1),P (x,y ) 是第一象限内的两 个点, 若 1,x 1,x,4 依次成等差数列, 而 1,y 1,y,8 依次成等比数列, 则 OP 1P 的面积是 ( ) A.1 B. C.3 D.4 [ 答案 ] A [ 解析 ] 由等差 等比数列的性质, 可求得 x 1=,x =3,y 1=,y =4, P 1(,), P (3,4), S OP 1P =1. 11.( 文 ) 数列 {a n} 的首项为 3,{b n} 为等差数列且 b n=a n+1-a n(n N * ), 若 b 3=-,b 10=1, 则 a 8=( ) A.0 B.3 C.8 D.11 [ 答案 ] B
[ 解析 ] b 3=-,b 10=1, d=, b n=n-8, 由关系式 :b n=a n+1-a n, 得 b 1=a -a 1, b =a 3-a, b 3=a 4-a 3, b 7=a 8-a 7, a 8 = (a 8 - a 7) + (a 7 - a 6) + (a 6 - a 5) + + (a 3 - a ) + (a - a 1) + a 1 = 7-6+6 +3=3. ( 理 )(013 吉大附中模拟 ) 已知数列 {a n} 中,a 1=b(b>0),a n+1=- 1 a n+1 (n N* ), 能使 a n=b 的 n 可以等于 ( ) A.14 B.15 C.16 D.17 [ 答案 ] C [ 解析 ] a 1=b,a n+1=- 1 a n+1, a =- 1 b+1,a3=-b+1 b,a4=b, a16=b, 故选 C. 1.(013 贵阳市检测 ) 已知曲线 C:y= 1 x (x>0) 上两点 A 1(x 1,y 1) 和 A (x,y ), 其中 x >x 1. 过 A 1,A 的直线 l 与 x 轴交于点 A 3(x 3,0), 那么 ( ) A.x 1, x3,x 成等差数列 B.x 1, x3,x 成等比数列 C.x 1,x 3,x 成等差数列 D.x 1,x 3,x 成等比数列 [ 答案 ] A
1-1 x [ 解析 ] 直线 A 1A 的斜率 k= y-y1 x 1 = =- 1, 所以直线 A 1A 的方程为 y- x -x 1 x -x 1 x 1x 1 =- 1 (x-x 1), 令 y=0 解得 x=x 1+x, x 3=x 1+x, 故 x 1, x3 x 1 x 1x,x 成等差 数列, 故选 A. 二 填空题 ( 本大题共 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分, 将答案填写在题中横线上.) 13.( 文 )(013 黄浦区模拟 ) 等差数列 {a n} 的前 10 项和为 30, 则 a 1+a 4+a 7+a 10 =. [ 答案 ] 1 [ 解析 ] S 10 a1+a10 10= =5(a 1+a 10)=30, a 1+a 10=6, a 1+a 4+a 7+a 10=(a 1+a 10)=1. a ( 理 )(013 天津六校联考 ) 定义运算 c b = ad - bc, 函数 f(x) = d x-1 图象的顶点坐标是 (m,n), 且 k,m,n,r 成等差数列, 则 k+r -x x+3 的值为. [ 答案 ] -9 [ 解析 ] f(x)=(x-1)(x+3)+x=x +4x-3=(x+) -7 的顶点坐标为 (-,-7), m=-,n=-7, k+r=m+n=-9. 14.( 文 )(013 霍邱二中模拟 ) 已知数列 {a n} 的前 n 项和 S n= n +5(n N * ), 那 么数列 {a n} 的通项 a n=. 7 n=1 [ 答案 ] n-1 n 且 n N * [ 解析 ] S n= n +5, a 1=S 1=7,n 时,a n=s n-s n-1= n - n-1 = n-1, a n= 7 n=1, n-1 n 且 n N *. ( 理 )(013 重庆一中模拟 ) 已知等比数列 {a n} 中,a 1=3,a 4=81, 若数列 {b n} 满
足 b n=log 3a n, 则数列 { 1 b nb n+1 } 的前 n 项和 S n=. [ 答案 ] n n+1 [ 解析 ] a 4=a 1q 3, 81=3q 3, q=3, a n=3 n, b n=log 3a n=n, 令 c 1 1 n=, 则 c n= b nb n+1 nn+1 =1 n - 1 n+1, {c n} 的前 n 项和 S n=c 1+c + +c n=(1-1 )+(1-1 3 )+ +(1 n - 1 n+1 )= n n+1. 15.(013 南京市二模 ) 已知数列 {a n} 的通项为 a n=7n+, 数列 {b n} 的通项为 b n=n. 若将数列 {a n},{b n} 中相同的项按从小到大顺序排列后记作数列 {c n}, 则 c 9 的值是. [ 答案 ] 961 [ 解析 ] 设数列 {a n} 中的第 n 项是数列 {b n} 中的第 m 项, 则 m =7n+,m,n N *. 令 m=7k+i,i=0,1,,,6,k Z, 则 i 除以 7 的余数是, 则 i=3 或 4, 所以数列 {c n} 中的项依次是 {b n} 中的第 3,4,10,11,17,18,4,5,31,3,, 故 c 9=b 31=31 =961. 16.( 文 ) 如图是一个有 n 层 (n ) 的六边形点阵. 它的中心是一个点, 算作第一层, 第 层每边有 个点, 第 3 层每边有 3 个点,, 第 n 层每边有 n 个点, 则这个点 阵的点数共有 个.
[ 答案 ] 3n -3n+1 [ 解析 ] 设第 n 层共 a n 个点, 结合图形可知 a 1=1,a =6,,a n+1=a n+6(n, n N * ), 则 a n=6+(n-) 6=6n-6(n,n N * ), 前 n 层所有点数之和为 S n-1[6+6n-6] n=1+ =3n -3n+1, 故这个 点阵的点数共有 3n -3n+1 个. ( 理 ) 已知函数 f(x)=a b x 的图象过点 A(, 1 ),B(3,1), 若记 a n=log f(n)(n N * ),S n 是数列 {a n} 的前 n 项和, 则 S n 的最小值是. [ 答案 ] -3 [ 解析 ] 将 A B 两点坐标代入 f(x) 得 1, =ab 1=ab 3, a= 1 解得 8, b=, f(x)= 1 8 x. f(n)= 1 8 n = n-3. a n=log f(n)=n-3. 令 a n 0, 即 n-3 0, n 3. 数列前 3 项小于或等于零, 故 S 3 或 S 最小. S 3=a 1+a +a 3=-+(-1)+0=-3. 三 解答题 ( 本大题共 6 小题, 共 74 分, 解答应写出文字说明 证明过程或演算 步骤 ) 17.( 本小题满分 1 分 )(013 哈尔滨市模拟 ) 已知正项数列 {a n} 满足 4S n=(a n +1). (1) 求数列 {a n} 的通项公式 ; () 设 b n= 1 a na n+1, 求数列 {b n} 的前 n 项和 T n. [ 解析 ] (1) 4S n=(a n+1), 4S n-1=(a n-1+1) (n ), 相减得 a n-a n-1=, 又 4a 1=(a 1+1), a 1=1, a n=n-1.
1 () 由 (1) 知,b n= n-1n+1 = 1 ( 1 n-1-1 n+1 ). 所以 T 1 n=b 1+b + +b n= [(1-1 3 )+(1 3-1 5 )+ +( 1 n-1-1 n+1 )]= n n+1. 18.( 本小题满分 1 分 )( 文 )(013 天津和平区模拟 ) 已知数列 {a n} 的前 n 项和 S n 满足 S n=p(s n-a n)+ 1 (p 为大于 0 的常数 ), 且 a 1 是 6a 3 与 a 的等差中项. (1) 求数列 {a n} 的通项公式 ; () 若 a n b n=n+1, 求数列 {b n} 的前 n 项和 T n. [ 解析 ] (1) 当 n=1 时,S 1=p(S 1-a 1)+ 1, 故 a 1= 1. 当 n 时,S n=p(s n-a n)+ 1,1 S n-1=p(s n-1-a n-1)+ 1 由 1- 得,a n=pa n-1, 即 =p(p>0). a n-1 1 故 {a n} 是首项为, 公比为 p 的等比数列, 即 a n= 1 pn-1. a n 由题意得,6a 3+a =a 1, 即 3p + 1 p=1. 解得 p= 1 或 p=- 3 ( 舍去 ). a n=( 1 ) (1 )n-1 = 1 n. () 由 (1), 得 b n= n+1 a n =(n+1) n, 则有 T n=3 +5 +7 3 + +(n-1) n-1 +(n+1) n,
T n=3 +5 3 +7 4 + +(n-1) n +(n+1) n+1, 两式相减, 得 -T n=3 + ( + 3 + + n )-(n+1) n+1 =6+ - n+1 1- -(n+1) n+1 =--(n-1) n+1. T n=+(n-1) n+1. ( 理 )(013 吉大附中模拟 ) 已知等比数列 {a n} 的公比 q>1,4 是 a 1 和 a 4 的一个等 比中项,a 和 a 3 的等差中项为 6, 若数列 {b n} 满足 b n=log a n(n N * ). (1) 求数列 {a n} 的通项公式 ; () 求数列 {a nb n} 的前 n 项和 S n. [ 解析 ] (1) 因为 4 是 a 1 和 a 4 的一个等比中项, 所以 a 1 a 4=(4 ) =3. a a 3=3, 由题意可得 a +a 3=1. 因为 q>1, 所以 a 3>a. a =4, 解得 a 3=8. 所以 q= a3 a =. 故数列 {a n} 的通项公式 a n= n. () 由于 b n=log a n(n N * ), 所以 a nb n=n n, S n=1 + +3 3 + +(n-1) n-1 +n n,1 S n=1 + 3 + +(n-1) n +n n+1. 1- 得,-S n=1 + + 3 + + n -n n+1 = 1-n -n n+1. 1- 所以 S n=- n+1 +n n+1. 19.( 本小题满分 1 分 )(013 黄浦区模拟 ) 已知数列 {a n} 具有性质 :1a 1 为整 数 ; 对于任意的正整数 n, 当 a n 为偶数时,a n+1= an ; 当 a n 为奇数时,a n+1= an-1 ; (1) 若 a 1 为偶数, 且 a 1,a,a 3 成等差数列, 求 a 1 的值 ; () 设 a 1= m +3(m>3 且 m N), 数列 {a n} 的前 n 项和为 S n, 求证 :S n m+1 +3;
(3) 若 a n 为正整数, 求证 : 当 n>1+log a 1(n N) 时, 都有 a n=0. [ 解析 ] (1) 设 a 1=k, 则 a =k, 由条件知 k+a 3=k, a 3=0. 分两种情况讨论 : 若 k 是奇数, 则 a 3= a-1 =k-1 =0, k=1,a1=,a=1,a3=0, 若 k 是偶数, 则 a 3= a =k =0, k=0,a1=0,a=0,a3=0, a 1 的值为 或 0. () 当 m>3 时,a 1= m +3,a = m-1 +1,a 3= m-,a 4= m-3,a 5= m-4,,a m=, a m+1=1,a m+= =a n=0, S n S m+1=1++ + m +4= m+1 +3. (3) n>1+log a 1, n-1>log a 1, n-1 >a 1, 由定义可知 :a n+1= an,an 是偶数 a n-1,an 是奇数, a n+1 an, an+1 a n 1. a n= an a n-1 an-1 a n- a a 1 a 1 1 n-1 a 1, a 1 n-1 n< n-1 =1, a n N, a n=0, 综上可知 : 当 n>1+log a 1(n N) 时, 都有 a n=0. 0.( 本小题满分 1 分 )( 文 )(013 苍南求知中学模拟 ) 已知三个正整数 a,1, a +3 按某种顺序排列成等差数列. (1) 求 a 的值 ; () 若等差数列 {a n} 的首项 公差都为 a, 等比数列 {b n} 的首项 公比也都为 a, T n+ 前 n 项和分别为 S n,t n, 且 >S n-130, 求满足条件的正整数 n 的最大值. n [ 解析 ] (1) a,a +3 是正整数, a 是正整数,
a +3>a>1, 4a=a +3+1, a=. ()S nn-1 n=n+ =n +n, T n= 1-n = n+1 -, Tn+ =, 1- n S n<13, 即 n +n-13<0, -1<n<11. n 是正整数, n 的最大值是 10. ( 理 )(013 天津十二区县联考 ) 已知数列 {a n} 的首项为 1, 对任意的 n N *, 定义 b n=a n+1-a n. (1) 若 b n=n+1, 1 求 a 3 的值和数列 {a n} 的通项公式 ; 求数列 { 1 a n } 的前 n 项和 S n; () 若 b n+1=b n+b n(n N * ), 且 b 1=,b =3, 求数列 {b n} 的前 3n 项的和. [ 解析 ] (1)1a 1=1,a =a 1+b 1=1+=3,a 3=a +b =3+3=6 当 n 时, 由 a n+1-a n=n+1 得 a n=a 1+(a -a 1)+(a 3-a )+ +(a n-a n-1) =a 1+b 1+b + +b n-1= nn+1 而 a 1=1 适合上式, 所以 a nn+1 n= (n N * ). 由 1 得 : 1 = a n nn+1 =(1 n - 1 n+1 ), S n= 1 a 1 + 1 a + 1 a 3 + + 1 a n =(1-1 )+(1-1 3 )+(1-1 3 )+ +(1 n - 1 n+1 )=(1-1 n )= n+1 n+1. () 因为对任意的 n N * 有 b n+6= bn+5 b n+4 = bn+4 b n+3b n+4 = 1 b n+3 =b n, 所以数列 {b n} 为周期数列, 周期为 6.
又数列 {b n} 的前 6 项分别为,3, 3,1,1 3, 3, 且这六个数的和为 8. 设数列 {b n} 的前 n 项和为 S n, 则 当 n=k(k N * ) 时, S 3n=S 6k=k(b 1+b +b 3+b 4+b 5+b 6)=8k, 当 n=k+1(k N * ) 时, S 3n=S 6k+3=k(b 1+b +b 3+b 4+b 5+b 6)+b 6k+1+b 6k++b 6k+3 =8k+b 1+b +b 3=8k+ 13, 当 n=1 时,S 3= 13 所以, 当 n 为偶数时,S 3n=4n; 当 n 为奇数时,S 3n=4n+ 5. 1.( 本小题满分 1 分 )( 文 )(013 江西师大附中 鹰潭一中模拟 ) 在数列 {a n} 中,a 1=1,a 1+ a +a3 3 + +an n =n -1(n N * ). (1) 求数列 {a n} 的前 n 项和 S n; () 若存在 n N *, 使得 a n n(n+1)λ 成立, 求实数 λ 的最小值. [ 解析 ] (1)a 1+ a +a3 3 + +an n =n -11 a 1+ a an-1 +a3 + + 3 n-1 =n-1-1 由 1- 得 : an n =n-1 (n ), a n=n n-1, 当 n=1 时, 也符合, 即 a n=n n-1. S n=1 0 + 1 +3 + +n n-1.3 S n=1 1 + + +(n-1) n-1 +n n 4 3-4 得,-S n=1++ + + n-1 -n n =(1-n) n -1, S n=(n-1) n +1. () 由 a n n(n+1)λ 得 λ an nn+1 = n-1 n+1,
令 f(n)= n-1 n+1, fn+1 fn = n+ n+1 n = n+ n-1 n+ >1, f(n) 单调递增, 从而 f(n) min=f(1)= 1, λ 1, 1 因此实数 λ 的最小值为. ( 理 )(013 江西八校联考 ) 已知数列 {a n} 的首项 a 1=4, 前 n 项和为 S n, 且 S n+1-3s n-n-4=0(n N * ). (1) 求数列 {a n} 的通项公式 ; () 设函数 f(x)=a nx+a n-1x +a n-x 3 + +a 1x n,f (x) 是函数 f(x) 的导函数, 令 b n=f (1), 求数列 {b n} 的通项公式, 并研究其单调性. [ 解析 ] (1) 由 S n+1-3s n-n-4=0(n N + ) 得 S n-3s n-1-n+-4=0(n ), 两式相减得 a n+1-3a n-=0, 可得 a n+1+1=3(a n+1)(n ), 又由已知 a =14, 所以 a +1=3(a 1+1), 即 {a n+1} 是一个首项为 5, 公比 q=3 的等比数列, 所以 a n=5 3 n-1-1(n N * ). () 因为 f (x)=a n+a n-1x+ +na 1x n-1, 所以 f (1)=a n+a n-1+ +na 1 =(5 3 n-1-1)+(5 3 n- -1)+ +n(5 3 0-1) =5[3 n-1 + 3 n- +3 3 n-3 + +n 3 0 ]- nn+1 令 S=3 n-1 + 3 n- +3 3 n-3 + +n 3 0, 则 3S=3 n + 3 n-1 +3 3 n- + +n 3 1, 作差得 S=- n -3-3n+1, 4-15 所以 f (1)= 5 3n+1 - nn+6, 4 即 b n= 5 3n+1-15 - nn+6, 4 而 b n+1= 5 3n+ -15 - n+1n+7, 4
作差得 b n+1-b n= 15 3n -n- 7 >0, 所以 {b n} 是单调递增数列..( 本小题满分 14 分 )( 文 )(013 内江市二模 ) 已知数列 {a n} 的首项 a 1=5, 且 a n+1=a n+1(n N * ). (1) 证明 : 数列 {a n+1} 是等比数列, 并求数列 {a n} 的通项公式 ; () 令 f(x)=a 1x+a x + +a nx n, 求数列 f(x) 在点 x=1 处的导数 f (1). [ 解析 ] (1) 证明 : a n+1=a n+1, a n+1+1=(a n+1), an+1+1 a n+1 =, 数列 {a n+1} 是以 a 1+1 为首项, 为公比的等比数列, a n+1=(a 1+1) n-1 =6 n-1 =3 n, a n=3 n -1. () f(x)=a 1x+a x + +a nx n, f (x)=a 1+a x+ +na nx n-1, f (1)=a 1+a +3a 3+ +na n =(3 1-1)+(3-1)+3(3 3-1)+ +n(3 n -1) =3(+ +3 3 + +n n )-(1++3+ +n), 令 T n=+ +3 3 + +n n, T n=1 + 3 +3 4 + +(n-1) n +n n+1, -T n=+ + 3 + + n -n n+1 = 1-n -n n+1 =-(n-1) n+1 -, 1- T n=(n-1) n+1 +, f (1)=3(n-1) n+1 - nn+1 +6. ( 理 )(013 德阳市二诊 ) 已知数列 {a n} 满足 a n+1=- 1 a n+,a1=-1. (1) 求证 { 1 a n+1 } 是等差数列 ; () 求数列 {a n} 的通项公式 ;
(3) 设 T n=a n+a n+1+ +a n-1. 若 T n p-n 对任意的 n N * 恒成立, 求 p 的最大值. [ 解析 ] (1) 证明 : a n+1=- 1 a n+, a n+1+1=- 1 a n+ +1=an+-1 a n+ =an+1 a n+, 由于 a n+1 0, 1 a n+1+1 =an+ a n+1 =1+ 1 a n+1, { 1 a n+1 } 是以 为首项,1 为公差的等差数列. () 由 (1) 题结论知 : 1 a n+1 =+(n-1)=n+1, a n= 1 n+1-1=- n n+1 (n N* ). (3) T n=a n+a n+1+ +a n-1 P-n, n+a n+a n+1+ +a n-1 P, 即 (1+a n)+(1+a n+1)+(1+a n+)+ +(1+a n-1) p, 对任意 n N * 恒成立, 而 1+a n= 1 n+1, 设 H(n)=(1+a n)+(1+a n+1)+ +(1+a n-1), H(n)= 1 n+1 + 1 n+ + + 1 n, H(n+1)= 1 n+ + 1 n+3 + + 1 n + 1 n+1 + 1 n+, H(n+1)-H(n)= 1 n+1 + 1 n+ - 1 n+1 = 1 n+1-1 n+ >0, 数列 {H(n)} 单调递增, n N * 时,H(n) H(1)= 1, 故 P 1. P 的最大值为 1.