87 97 Journal of Taiwan Land Research Vol. 5, pp. 87~ 97 * ** , , , 3 2 ( ) 2 1/ 2,2 2 2 * 90 ** Tel: ~4322 Fax

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1 87 97 Journal of Taiwan Land Research Vol. 5, pp. 87~ 97 * ** 1.. 0,, , 3 ( 1/, * 90 ** Tel: ~43 Fax: rylin66@huafan.hfu.edu.tw 87

2 Quantity Competition in a Spatial Model with Unequal Firms Ruey-Yih Lin Abstract This article analyzes a circular market in which two colluded firms compete with a single firm at each point in space. In the location-quantity game, each firm first selects the location for its facility and then selects the quantities to supply to the market, so as to maximize its profit. In equilibrium, there is a unique subgame perfect Nash equilibrium, where the two colluded firms locate equidistant from the rival on the circle. Moreover, when the transportation costs is approaching to zero (or 1 /, the optimal location of the two colluded firms will situate at, 3 (or, ; i.e., an increase (decrease in the transportation costs will make the colluded firms move away from (close to the rival. Keywords: unequal firms competition, price discrimination, location-quantity games Hotelling (199 ( Bertrand ( Cournot (delivered price schedule (locationspecific quantity schedule Cournot Bertrand (production capacity (inflexible ( 88

3 ( catalogue sales Bertrand (location-price game (never agglomerate (Osborne and Pitchik, 1987; D'Aspremont et al.,1979 (all-or-nothing ( (spatial dispersion Hamilton (1989 Anderson Neven(1991 Bertrand Cournot Gupta (1997 Mayer( 000 ( Pal(1998 Chamorro-Rivas(000 (circular city (equidistant ( ( Bertrand (endpoint 89

4 ( ( 1 - ( 0 3 i x i (i = 1,, x 1 = ( 1 x =,x 3 = + + ( ( (

5 ( + + / + (X 0( X ( X 3 (3 + + / 3 [( + + /,(3 + + /] p(x =1 q(x =1 [q 1 (x+ q (x +q 3 (x]...(1 p(x x q(x x q i (x i x i x x x i ( 1 T i ( x = t x x i...( t 0 t 1/ 4 3. Pal (1998[9] Chamorro- Rivas(000[] 1 ( [ ] 91

6 i x [ 0, ] max (x =[ p(x T (x]q (x = 1 [ q (x + q (x +q (x] tx x i i i 1 3 i q i { }q i (x...(3 (two-stages subgame perfect equilibrium (backward induction ( Nash (3 q i 5 (i =1,,3 q 1 (x = [1+ T i (x T 1 (x]/3,i = {iifx i x <x j x,i j,i,j =,3}...(4 q i (x = [1+ T 1 (x T i (x ]/3, i =,3 i ={iifx i x <x j x,i j,i,j =,3} ( 3 x 3 x x x 3 ( 1 q (x = 0, q 3 (x > 0 [ ] 3 (4 (1 x p( x = 1+ T 1 ( x + T i ( x 3 ( x= 1+T 1 ( x T i ( x i [ ] 9 i, 3...(5 (5 x ( 3 Π = 1 [ 1+tx t( x ] + + dx + [ 1+ tx t( x ] dx [ 1+ t( x t( x + ] dx (6 4. (1 (primary demand ( 1/ 1 t 5. 3 x i( x x ( 9

7 Π 3 = [ 1 +tx t ( + + x ] + + dx + 1 +t( x t ( + + x + 1 +t( x t x + + [ ] dx [ ( ] dx...(7 3 (6 (7 (, ( Π + Π 3 ( Π =0 + Π 3 = 0...(8 (8 3 ( 1 3 x 3 x (equidistant 0 ( 1 1 Nash [0, ] (6 Π = 1 { 1 +tx t x 9 [ ( ] dx + [ 1+ tx t( x ] 0 dx}...(6' (6' ( = ( 1 t + ( 1 t + t...(9 (9 (0 t 1 lim t 0 = lim t 1 = (10, 3 (, 3 93

8 0 ( -,, 3 0, 3 ( 1, [ 3] Nash 1 [ 1] [ ] 1 (5 [ 1] [ ] 1 / / 0( X 1 / 3 / 94

9 95 ( 1 ( t 0 ( 1/4 1 ( (5 ( ( ( : ( ( ( 1/3 (1/4 (5 ( ( 0 1/4 1/3

10 1 1 x 1 x x x 1 0 ( ( 1 3 ( x x 3 x 3 Π = 1 [ 1+tx t( x ] + + dx + [ 1+ tx t( x ] dx [ 1+ t( x t( x + ] dx Π 3 = 1 [ 1 +tx t ( + + x ] + + dx + [ 1 +t( x t ( + + x ] dx [ 1 +t( x t( x ] dx + + ( (Π Π 3 ( (Π + Π 3 = ( 4 9t ( = = (Π + Π 3 = 0 (x x 3 ( (x 1 0 (locate symmetrically (Π +Π 3 = 8 9 ( t <0 (if < 0 > (Π + Π 3 = ( 9t ( t +t + 4t t t = 0 f f (Π +Π 3 = ( 9t( 4t +4t t <0 (Π +Π 3 = ( 4 9t ( + <0 f f = t ( t + t > 0 ( < 0 Π = 1 { 1 +tx t x 9 [ ( ] dx + [ 1+ tx t( x ] 0 dx} 96

11 Π = 0 t Π 41 t ( + ( t =0 = 4 t + ( 1 t [ ] < 0 = ( 1 t ± ( 1 t + t = ( 1 t + ( 1 t + t 0 t 1 (t ( t 0 (L'Hopital's Rule (indeterminate form t 1 (9 + ( 1 t ( 1 t + ( 1 t + ( 1 t + lim = lim = lim = t 0 t 0 t t 0 lim t 1 = lim t 1, ( 1 t + ( 1 t + t = 17.3 (, 3 Anderson, S.P. and D.J. Neven, (1991, "Cournot competition yields spatial agglomeration", International Economic Review 3, Chamorro-Rivas, J.-M., (000, "Plant proliferation in a spatial model of Cournot competition", Regional Science and Urban Economics 30, D'Aspremont, C., J. Jaskold-Gabszewicz and J.-F. Thisse, (1979, "On Hotelling's stability in competition", Econometrica 47, Gupta, B., D. Pal, J. Sarkar, (1997, "Spatial Cournot competition and agglomeration in a model of location choice", Regional Science and Urban Economics 7, Hamilton, J.H., J.F. Klein, E. Sheshinski and S.M. Slutsky, (1994, "Quantity competition in a spatial model", Canadian Journal of Economics 7, Hamilton, J.H., J.-F. Thisse and A. Weskamp, (1989, "Spatial discrimination: Bertrand versus Cournot in a model of location choice", Regional Science and Urban Economics 19, Mayer, T., (000, "Spatial Cournot competition and heterogeneous production costs across locations", Regional Science and Urban Economics 30, Osborne, M and C. Pitchik, (1987, "Equilibrium in Hotelling's model of spatial competition", Econometrica 55, Pal, D., (1998, "Does Cournot competition yield spatial agglomeration?",economics Letters 60,

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