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赠兆柳
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1 數學傳播 0 卷期, pp - 分數數列與勾股數賴昱維緒論摘要 : 史帝費爾曾將一個帶分數數列轉換成假分數數列, 使假分數中分母與分子各等於勾與股, 由此產生畢達哥拉斯勾股數家族 ; 奧撒南也以類似的方法, 由另一個帶分數數列產生柏拉圖勾股數家族本研究則以分子與分母成等差的最簡真分數數列產生歐幾里得勾股數家族關鍵詞 : 勾股數分數數列等差勾股數又名商高數或畢氏三元數, 也就是符合畢氏定理 (a +b c ) 的整數解 [a,b,c] 許多學者曾經研究勾股數的生成公式, 其中以畢達哥拉斯 (Pythagoras) 柏拉圖 (Plato) 和歐幾里得 (Euclid) 等為最重要 ( 蔡聰明, 00) 在年, 史帝費爾 (Michael Stifel) 首先將一個帶分數數列轉換成假分數數列, 再使假分數中分母與分子各等於勾與股, 由此產生了畢達哥拉斯勾股數家族 (the Pythagoras family) (Wikipedia, the free ecyclopedia, 0); 在年, 奧撒南 (Jacques Ozaam) 也以類似的方法, 由另一個帶分數數列產生柏拉圖勾股數家族 (the Plato family) (Ozaam, Jacques, ) 因此, 我猜想由分數數列可以產生歐幾里得勾股數家族 (the Euclid family) 本研究嘗試以分子與分母成等差的最簡真分數數列來證明我的猜想預備知識以整數數列產生勾股數家族不同的整數數列可產生不同的勾股數家族 [a,,c ] ( 蔡聰明, 00) ( 表 ) : () 畢達哥拉斯以整數數列, N, 由 [, +, +] 產生 [a,,c ] () 柏拉圖以整數數列, N, >, 由 [,, +] 產生 [a,,c ] () 歐幾里得以整數數列 u 與, u, N, u >, (u,), u, 一為奇數, 一為偶數, 由 [u,u,u + ] 產生 [a,,c ]

2 數學傳播 0 卷期民 0 年月表 : 以不同的數列產生不同的勾股數家族 ( N) 勾股數家族數列勾股數家族例子畢達哥拉斯 [a,,c ] [,,], [,,], [,,], 柏拉圖 [a,,c ] [,,], [,,0], [,,], 歐幾里得 { u [a,,c ] 史帝費爾 a [a,,c ] 奧撒南 a [a,,c ] { u [,,], b { u { u [,,], [,,], a b [,,], a [,,] b a [,,] a b a [,,], b [,,] a b [,,] 以分數數列產生勾股數家族不同的分數數列也可以產生不同的勾股數家族 [a,,c ] (Ozaam, Jacques, )( 表 ): a () 史帝費爾以畢達哥拉斯勾股數家族 [a,,c ] 中的構成分數數列 b a, + 再由 b a + + 產生畢達哥拉斯勾股數家族 () 奧撒南先將柏拉圖公式的轉換成 +: a a (+) + (+), c + c (+) + a (+) 再以 [a,,c ] 中的構成分數數列 a, 再由 a (+) (+) (+) 產生柏拉圖勾股數家族主要結果與證明分數 () 由於歐幾里得勾股數家族中 u 與具有 u, N, u >, (u,), u,, 一為奇數, 一為偶數的性質, 所以分數既是最簡分數, 也是真分數 ( 表 ) u () 當 u +, 時, 歐幾里得勾股數家族轉換成 (a) 畢達哥拉斯勾股數家族和 (b) 史帝費爾勾股數家族 (the Stifel family)

3 分數數列與勾股數表 : 歐幾里得勾股數家族中 u 與所構成分數 /u 0 u (a) (b) a u u c u + a u u c u + u+ a (+) a (+) + c (+) + c + u+ a (+) b (+) c (+) + a (+) (+) + +

4 數學傳播 0 卷期民 0 年月所以, 由 u + 得到畢達哥拉斯勾股數家族和史帝費爾勾股數家族 ( 表 ) 表 : 畢達哥拉斯勾股數家族和史帝費爾勾股數家族 ( N) + + u u [a,,c ] [,,] [,,] [,,] 0 [,0,] [, +, +] () 當 u +, 時, 歐幾里得勾股數家族轉換成奧撒南勾股數家族 (the Ozaam family) a u u c u + 所以, 由 u+ a (+) a (+) c (+) + u + 得到奧撒南勾股數家族 ( 表 ) ( + ) (+) 表 : 奧撒南勾股數家族 ( N) u u [a,,c ] [,,] [,, ] [,, ] [, 0, 0] [ ++,, ++] () 當 u, 時, 歐幾里得勾股數家族轉換成柏拉圖勾股數家族

5 a u u c u + 所以, 由 u 得到柏拉圖勾股數家族 ( 表 ) u a () a () c () + c + 分數數列與勾股數表 : 柏拉圖勾股數家族 ( N) u u [a,,c ] [,,] [,,] [,, ] [,, ] [,, +] 分數數列以勾股數中的勾與股構成分數中的分母與分子, 或是以歐幾里得勾股數家族中 u 與構成分數中的分母與分子, 都可以形成不同的分數數列, 再由此產生不同的勾股數家族 ( 表 ) 表 : 由不同的分數數列產生不同的勾股數家族 ( N) 勾股數家族分數數列勾股數史帝費爾 b a + + [, +, +] 奧撒南本研究本研究本研究 a [ ++,, ++] u + [, +, +] u + [ ++,, ++] u [,, +] 調和數列我由數列 u 與構成調和數列 u, 再由此產生柏拉圖勾股數家族因為數列 u 是等差數列, 公差為, 且為常數, 所以由此延伸成不同的調和數

6 0 數學傳播 0 卷期民 0 年月列 ( 表 ), 並得到不同的勾股數家族, 但是所得到的 ) u 卻無法涵蓋所有歐幾里得的分數 u ( 表表 : 由不同的調和數列產生不同的勾股數家族 (k, N) u u [a,b,c ] [a,,c ] [,,] [,, +] [,,] [ +,+, ++] + [,0,] [ +,+, ++] + [,,] [ +,, +] k k + k + k [a,b,c ]( 註一 ) [a,,c ]( 註二 ) 註一 :[a,b,c ] [ k +, k + k, k + k +] 註二 :[a,,c ] [ + k+ k +, k+ + k k, + k+ + k k +] 等差數列 () 數列 u + 與數列構成了的分數數列 u +, 再由此分數數列產生了畢達哥拉斯勾股數家族因為數列 u 與都是等差數列, 公差皆為, 且 u, 所以延伸公差為不同的奇數, 如,,,,d, 得到不同的分子與分母成等差之最簡真分數數列 : + 家族 ( 表 ) 但是, 所得到的 u, +,,, +( )d + +d, 並由此得到不同的勾股數卻無法涵蓋所有歐幾里得的分數 u ( 表 ) () 因為數列 u + d 與數列 + ( )d 的常數為, 所以延伸常數為不同的正整數, 如,,,,k, 得到不同的分子與分母成等差之最簡真分數分數數列 : +( )d, +( )d, +( )d,, k+( )d, 並由此得到不同的勾股數家族 +d +d +d k+d ( 表 ) 分數數列 u k+( )d 涵蓋了所有歐幾里得的分數 ( 表 ) k+d u 遞迴關係式 () 分子與分母成等差 d 的最簡真分數數列 u, 如 u k+d 與 k+( )d, 皆具有 u +d, u 的特性 () d,k,,u, N, >, (u, ), k, u +d, u, d 為奇數, 存在遞迴關係式 : u u

7 分數數列與勾股數表 : 由分子與分母成等差的最簡真分數數列產生不同的勾股數家族 (d,k, N, d 為奇數 ) u +d +d +d +d u [a,b,c ] [a,,c ] + [,,] [, +, +] + [,,] [,, +] + [,,] [0,0 0,0 0+] + [,,] [, 0, 0+] +( )d +d [d +d,d+,d +d+] [a,,c ]( 註三 ) +( )d +d [d +d,d+,d +d+] [a,,c ]( 註四 ) +( )d +d [d +d,d+,d +d+] [a,,c ]( 註五 ) +( )d +d [d +d,d+,d +d+] [a,,c ]( 註六 ) k k+d k+( )d k+d [d +kd,kd+k,d +kd+k ] [a,,c ]( 註七 ) 註三 :[a,,c ][d d +d, d d +d d+, d d +d+d d+] 註四 :[a,,c ][d d +d, d d +d d+, d d +d+d d+] 註五 :[a,,c ][d d +d, d d +d d+, d d +d+d d+] 註六 :[a,,c ][d d +d, d d +d d+, d d +d+d d+] 註七 :[a,,c ][d d +kd, d d +kd kd+k, d d +kd+d kd+k ] 證明 : u +d u u +d + d u + d u u +( u ( u +d) ( u ) u ) ( d u )

8 數學傳播 0 卷期民 0 年月表 : 由最簡真分數數列產生歐幾里得勾股數家族 (d,k,,u, N, d 為奇數 ) u +d u + + +( )d +d u [a,,c ],,,,, + [,,],[,,],[,,],[,0,],,, 0, 0,, + [,,],[,,],[,0,],[,0,], +d, +d +( )d +d,, +d [a,b,c ],[a,b,c ],[a,b,c ],[a,b,c ],( 註八 ),,, +,, + [,,],[,,],[,0,],[,0,],,,,,, + [,0,],[,0,],[,,],[,0,], +d k k+d +( )d +d k+( )d k+d +d, +d +( )d +d,, +d [a,b,c ],[a,b,c ],[a,b,c ],[a,b,c ],( 註九 ),,, +,, + [,,],[,0,],[,0,],[,,],,,,,, + [,,],[0,0,],[,,],[0,,], k k+d, k+d k+( )d k+d,, k+d [a,b,c ],[a,b,c ],[a,b,c ],[a,b,c ],( 註十 ) 註八 : 即 [d +d,d+,d +d+],[d +d,d +d+,d +d+],[d +d,d +0d+,d +0d+],[d +d,d +d+,d +d+], 註九 : 即 [d +d,d+,d +d+],[d +d,d +d+,d +d+],[d +d,d +0d+,d +0d+],[d +d,d +d+,d +d+], 註十 : 即 [d +kd,kd+k,d +kd+k ],[d +kd,d +kd+k,d +kd+k ],[d + kd,d +0kd+k,d +0kd+k ],[d +kd,d +kd+k,d +kd+k ], () 利用遞迴關係式 u, 分數數列 u u u 中一般項 u u 皆可由首項 () u, N, u >, (u, ), u, 一為奇數, 一為偶數, 可由首項 u u 求得利用遞迴

9 結論關係式 u u 分數數列與勾股數產生分數數列 u 的一般項 u, 再生成歐幾里得勾股數家族 : u u u [a,,c ] [u,u,u + ] ( 表 ) 本研究的靈感來自於近代數學家史帝費爾由分數數列產生畢達哥拉斯勾股數家族, 以及奧撒南也由分數數列產生柏拉圖勾股數家族, 本文透過最簡真分數數列的探討, 觀察與比較各種分子與分母成等差的最簡真分數數列的特性, 最後由遞迴關係式產生最簡真分數數列, 接著生成了歐幾里得勾股數家族整個研究探索數列的規律性, 推演出不同以往的結果誌謝由衷感謝彰化師範大學數學系施皓耀教授, 因為在施教授的鼓勵與指導下, 這一篇文章才能完成此外, 更感謝編審老師對文章的指正參考資料蔡聰明 (00) 數學拾貝台北市 : 三民 From Wikipedia, the free ecyclopedia : Formulas for geeratig Pythagorea triples ( May 0) Retrieed May 0, from for geeratig Pythagorea triples Ozaam, Jacques, () Sciece ad Natural Philosophy: Dr Hutto s Traslatio of Motucla s editio of Ozaam, reised by Edward Riddle, Thomas Tegg, Lodo (0) Retrieed 0, from iewimage;seq;pageroot;size0 本文作者就讀台中市立居仁國中

目次 CONTENTS 1 數列與級數幾何圖形三角形的基本性質平行與四邊形

目次 CONTENTS 1 數列與級數幾何圖形三角形的基本性質平行與四邊形給同學的話 1 3 4 目次 CONTENTS 1 數列與級數 1-1 3 1-8 1 13 幾何圖形 -1 18 - -3 6 30 3 三角形的基本性質 3-1 35 3-39 3-3 44 3 48 4 平行與四邊形 4-1 54 4-59 4-3 63 4 68 3 1-1 數列本節性質與公式摘要 1 數列 : 1 1 a 3 a 3 n n a n 3 n n1 a n1 4 n n1