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畴詹
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1 第 5 章機率論 1

2 日常生活的機率問題 1. 王建民下一場的出賽會贏嗎? 2. 美國股票漲, 台灣股票會上漲的機率有多高? 3. 買大樂透中頭獎的機率有多高? 面對不確定事件時, 事前的機率估計, 有助於進行決策. 統計觀點機率是統計推論 Ch10 以後的橋樑 2

3 學習目的 1. 定義機率 2. 了解機率的基本觀念如隨機實驗, 實驗結果, 事件, 樣本空間等 3. 描述古典的機率理論客觀的機率理論及主觀的機率理論 4. 熟習聯合機率邊際機率及條件機率的定義及其應用 5. 學習獨立不獨立與互斥事件間的相互關係 6. 認識貝氏定理及應用貝氏定理 3

4 本章結構機率論隨機實驗機率理論事件機率隨機實驗的意義隨機實驗的基本觀念機率理論的種類三個機率理論的比較機率的公理體系事件機率的定義聯合機率邊際機率條件機率事件的性質與事件機率的運算事件的性質與關係事件機率的運算法則貝氏定理 Excel 的使用 4

5 5.1 隨機實驗 random experiment 隨機實驗的意義隨機實驗是一種過程 process, 是一種不能確定預知會發生何種結果的實驗方式在實驗前已知所有可能出現的結果, 而實驗後的結果為所有可能的結果之一, 但實驗前並未能正確的肯定的預知它是何種結果隨機實驗可重複進行, 而經過長期重複實驗, 出現的結果會遵循某一些統計規則 5

6 表 5.1 隨機實驗出象與樣本空間隨機實驗 random experiment 出象 outcome 樣本空間 sample space 產品品質檢驗良品, 不良品 S { 良品, 不良品 } 一場足球賽贏, 輸, 和 S { 贏, 輸, 和 } 丟一個骰子 1 次 1, 2, 3, 4, 5, 6 S { 1, 2, 3, 4, 5, 6} 新生小孩的性別男性, 女性 S { 男性, 女性 } 6

7 5.1.2 隨機實驗的基本觀念隨機 random 隨機是指一個現象事先無法預知是否發生, 但在長期多次重複實驗之後, 該現象的發生會出現有規則的型態基本出象 basic outcome 隨機實驗的每個可能的結果稱為基本出象, 又稱為樣本點樣本空間 sample space 一個隨機實驗中, 所有可能出象的集合稱為樣本空間通常以英文大寫字母 S 表示之 7

8 圖 5.1 擲一個銅板兩次的樣本空間 H HH HH TH HT TT H T T H HT TH T Venn 圖樹枝圖 TT 8

9 例 5.3 淡水河邊打香腸淡水河邊香腸伯的香腸攤, 可以直接買, 也可以玩碗公的十八啦擲三個骰子比大小 Solution: Outcome: 1,1,1, 1,1,2,,,,,6,6,6 6*6*6=216 個可能結果, 任何一個都是樣本點 Sample space S= {3,4, 5,,18} 9

10 隨機實驗的基本觀念事件 event 樣本空間的部份集合稱為事件簡單事件 simple event 事件只包含一個基本出象者稱為簡單事件複合事件 composite event 事件包含二個或二個以上基本出象者稱為複合事件 10

11 : 出現偶數點數 : 骰子點數為 3 C: 二個骰子點數和為 13 圖 5.2 簡單事件與複合事件 S

12 n C r 計算樣本點的法則 1. 乘數定理設一隨機實驗包含 k 個實驗, E 1,E 2, E k, 若每一實驗 Ei 有 n i 種結果, i=1,2, k, 則該實驗有 n 1 n 2 n k 種結果 2. 排列 permutation 自一個包含 n 個元素的集合中, 一次抽出 r 個元素, 則有個不同排列的樣本組 3. 組合 combination n r n n! r! n n n r 1 n r 1 自一個包含 n 個元素的集合中, 一次抽出 r 個元素, 若不考慮 r 個被抽 n 中元素的順序, 則共有個不同組合 C n r C r n! n n 1 n r! n r! r! r 1 12

13 Ex 5.4 手機密碼的設定 4 個數字的開機密碼, 有幾種設定方式? 若要求 4 個數字皆不相同, 則有幾種不同的設定方式? Solution 1. 10*10*10*10= 10, n r 10! ! 13

14 Ex 5.5 張小姐擁有 8 張不同銀行發行的信用卡 1. 若隨機從中抽取兩張來用, 則共有多少樣本點? 2. 若 8 張中有 5 張是 VIS 卡, 3 張是 Master 卡, 則抽中 1 張 VIS 卡和 1 張 Master 卡的樣本點有幾個? Solution: 1. 樣本空間的樣本點個數 C 8! 87 2!6! 2! 抽中 1 張 VIS 卡和 1 張 Master 卡的樣本點個數 C 5! 3! 1!4! 1!2! C

15 5.2 機率理論機率理論的種類 1. 古典的機率理論 classical probability 又稱先驗的機率理論 priori probability, 指若在某一隨機實驗中, 有 N 種互相排斥且同等可能出現的出象, 則任一出象 E 的機率, 以 E 表示為 1 E N Ex 5.6 擲一粒骰子, 出現偶數點的機率? 設為骰子出現偶數點的事件 2, 4, 6 點

16 2. 客觀的機率理論 objective probability 又稱為相對次數的機率理論 relative frequency probability 指在長期重複的隨機實驗中, 事件 E 發生的機率為出現該事件之次數與隨機實驗的總次數之比 E lim n ne 表示事件 E 出現的次數, n 表隨機實驗的總次數 Ex: 擲一枚銅板 1000 次 n n 大數法則 law of large number 若偶事件有既定的機率, 而我們不斷的進行相同的實驗, 則該事件發生的次數比例會越來越接近這個既定的機率 E 16

17 面的比現正面0. 6 機率 =0.5 圖 5.3 投擲銅板出現正面的機率例擲銅板的次數 17

18 3. 主觀的機率理論指事件發生的機率, 決定於人們對發生此事件的相信程度 E=[ 對事件 E 發生的信心 ] EX5.8 憂國憂民的使命感 2008 年的總統大選即將開打, 除了藍綠兩組候選人之外, 電視報導傳聞王文洋即將參選, 他的競選總幹事相信王先生當選的機率為 40% 18

19 5.2.3 機率的公理 19 公理一 0 E i 1, 表示任一事件 E i 若可能發生, 則其機率大於 0 小於 1 若事件不發生, 則其機率等於 0 若事件一定發生, 則機率等於 1 公理二 E1 E2 2 n, E2, E n E, En E1 E E, E 1, E2,, E, 1 互斥, 表示若有 n 個互斥事件 n 則 E 1發生或 E 2 發生或 E n 發生的機率為其個別機率的和公理三 S 1, 表示樣本空間中所有事件均發生的機率總合等於 1

20 Ex: 5.10 無偏銅板的機率擲銅板的隨機實驗, 其樣本空間為 { 正面, 反面 }, 因此, 依照機率的三個公理, 對應樣本空間的任一事件正面或反面均有一實數值與之對應, 如 E1= 正面 =1/2, E2= 反面 =1/2, 且滿足下列三條件 1. 0 E 1 i, 因 0< ½ < E E 2 E1 E S=1, 因 S=1/2 +1/2 =1 1 由此可知, 他們符合機率的公理體系 1 20

21 5.3 事件機率事件機率的定義設事件定義於隨機實驗的樣本空間, 其發生之機率為事件之基本出象的機率總和, 即 E, i E i 聯合機率 joint probability 二個或二個以上事件同時發生的機率稱為聯合機率 E, i E i 21

22 表 5.2 事件的聯合聯合次數分配 \ 1 2 c c r r 1 r 2 r c 22

23 表 5.3 聯合機率分配表 \ 1 2 c c r r r r 1 2 c 23

24 Ex 5.12 問模具狀況佳或不佳與產品為良品或瑕疵品的機率為何? 表 5.4 汽車墊片的品質與模具狀況分析表產品良品 1 瑕疵品 2 合計模具狀況佳狀況差合計

25 表 5.5 汽車墊片的品質與模具狀況的機率表產品良品 1 瑕疵品 2 i 模狀況佳具狀況差 i

26 圖 5.4 汽車墊片的品質與模具狀況的樹枝圖模具狀況 1 良品狀況佳 2 瑕疵品良品狀況差 2 瑕疵品

27 5.3.3 邊際機率 marginal probability 在有二個或二個以上類別的樣本空間中, 若僅考慮某一類別個別發生的機率者稱為邊際機率下頁表 5.6 垂直加總 i i j i 1 i 2... i 平行加總 c j1 i=1,2,,r j=1,2,,c r i1 j i j 1 j 2 j c... r j 27

28 表 5.6 一般化的聯合機率分配表 \ 1 c i c c, r r 1 r c j r i1 r i, 1 1 i, c c 1 i1 j1 c j1 1 j 1 r, j r 28

29 Ex 5.13 在例 5.12 中, 良品與瑕疵品的機率為何? Solution: 良品的比例為良品 = = 狀況佳, 良品 + 狀況差, 良品 = =0.74 瑕疵品的比例為瑕疵品 = = = 狀況佳, 瑕疵品 + 狀況差, 瑕疵品 = =

30 5.3.4 條件機率 conditional probability 令為定義於樣本空間的事件, 已知發生事件之後再發生事件的機率, 稱為事件的條件機率若已知發生事件之後再發生事件的機率 0, 30 若已知發生事件之後再發生事件的機率 0,

31 圖 5.5 事件的條件機率圖 5.6 事件的條件機率 31

32 個案研究紐約股市與台北股市的關連表 5.7 台北與紐約股市關聯表台北股市漲跌小計紐約漲股市跌小計時間 :2003 年 6 月 1 日 ~8 月 31 日資料來源 : 大師資訊 32

33 表 5.8 台北與紐約股市漲跌機率表聯合機率台北股市漲跌小計紐約漲股市跌小計 TU NYU TU NYU NYU TU NYD TU NYD NYD

34 EX: 5.14 問已知模具狀況佳的情況下, 良品與瑕疵品的機率各為何? Solution: 良品狀況佳 = 1 1 = 良品狀況差 = 1 2 =

35 5.4 事件的性質與關係事件的性質與關係一個事件依其與其他事件的關係可區分為獨立事件 independent event, 相依事件 dependent event, 和互斥事件 mutually exclusive event 獨立事件 independent event 獨立事件係指一事件的發生不影響其他事件發生的機率若兩事件合乎於下列任一條件, 則互為獨立 1. = 2. = 3. 35

36 Ex 5.15 體重控制方法之間是否有關係調查 315 位体重過重的國中生, 結果發現沒有任何體重控制行為的佔 23.9%, 有控制行為的佔 76.1%. 有控制行為者採用飲食控制的佔 98.5%, 採運動控制的佔 74.9%, 両種控制方法都採用的佔 73.8%. 請問這兩種控制方法之間是否有關? Solution: 設 : 採飲食控制, : 採運動控制, 已知且知 *=0.985*0.761=0.738 因此可得故兩種體重控制方法獨立無關 36

37 三事件獨立若,,C 三事件合乎下列四條件, 則,, C 互為獨立 C C 3. C C 4. C C Ex: 自撲克牌以抽出放回的方式抽取 3 張牌, 設事件為第 1 張為 K, 事件為第 2 張為 K, C 事件為第 3 張為 K, 試問,,C 三事件是否為獨立? YES 請自行運算 37

38 相依事件 dependent event 相依事件係指一事件的發生影響其他事件發生的機率 Ex: 自 52 張撲克牌中抽取 2 張牌. 設事件為抽取第 1 張為老 K, 事件為抽取第 2 張為老 K. 問, 倆事件的相互關係為何? 又若自撲克牌中以抽出放回的方式抽取 2 張, 則, 事件的關係又為何? Solution: 概念 : 先求事件與事件的機率, 然後再求事件發生後再發生事件的機率. 若條件機率等於邊際機率時, 則兩事件為獨立. 若不相等, 則不獨立. 38

39 1. 抽取 2 張抽出不放回 =4/52=1/ 故 =1/17 是因當抽出不放回時, 第 2 張出現老 K 的機率受到第 1 張老 K 影響. 故事件, 不獨立 2. 抽取 2 張抽出放回 =4/52=1/13, =4/52=1/13 =4/52=1/13 因此, =, 事件, 獨立 39

40 700 衛高中畢業生參加電機學院以及文學院的甄試入學, 結果如下表. 有家長質疑女生的錄取率偏低, 有性別歧視之嫌. 請問真有性別歧視嗎? 表 5.9 高中應屆畢業生申請參加甄試的結果性別甄試結果錄取 1 不錄取 2 合計男生女生合計

41 Solution: 男女生的錄取率分別為 1 1 =175/400 = 44% 1 2 =100/300 = 33% 由此可知, 男生錄取率比女生錄取率高 11%. 同時由上表得知條件機率不等於邊際機率. 因此, 男女性別與路不錄取有關. Q: 是否性別歧視? 進一步考慮學院別如下表 5.10,

42 表 5.10 電機學院甄試結果表 5.11 文學院甄試結果男女男女錄取錄取不錄取不錄取合計合計錄取男生電機學院 =150/300=1/2 錄取女生電機學院 =50/100=1/2 錄取男生文學院 = 25/100=1/4 錄取女生文學院 =50/200=1/4 女生參加文學院的真是較多 42

43 互斥事件 mutually exclusive event 如果事件沒有共同的元素樣本點, 則稱為互斥事件 Ex 5.18 自 52 張撲克牌中抽取 1 張, 設事件為出現老 K, 事件為出現人頭 J,Q,K, 事件 C 為出現. 問,,C 是否為互斥事件? Solution: 因 = 4/52 0, 故, 不互斥因 C=0, 故, C 互斥因 C=0, 故, C 互斥 43

44 互斥事件與獨立事件的關係互斥事件和獨立事件的相互關係可分為三種 1. 若, 獨立, 則, 不互斥若, 獨立, 則 =*, 但因 0, 0, 則 0, 所以, 不互斥. 但若, 不互斥,, 不一定獨立 2. 若, 互斥, 則, 不獨立若, 互斥, 則 =0, 只要 0, 0, 則 *. 因此不獨立. 反之, 則不成立. 3. 若, 獨立, 則與, 與, 與均獨立 44

45 5.4.2 事件機率的運算法則餘集合的機率設為某一事件, 則其餘集合 complement of an event 發生的機率為加法定理 1 1. 二事件的聯集 union =+- 若事件與事件互斥 =+ 2. 三事件聯集 C=++C- - C - C+ C 若事件,, C 互斥 C=++C 45

46 Ex5.19 經濟系規定, 輔系同學必須先修過經濟學原理與統計學. 現知府系同學中, 有 60% 修過經濟學原理,70% 修過統計學. 問輔系同學可以修個體經濟學的比例為何? Solution: 令事件 : 輔系同學修讀經濟學原理事件 : 輔系同學修讀統計學據加法定理 =+- 可以修個體經濟學的比例為 = +- = =0.3 輔系同學生有 30% 可修個體經濟學 46

47 Ex 5.20 中大公司欲聘經理人員, 應徵人員須具備三要件 ; 大專學歷, 領導能力, 溝通能力 C. 根據應徵人員資料, 具,,C 三種特質的比例各為 0.38, 0.2, 0.3; 有兩項特質的比例為 0.15; 一項特質的比例為 0.7. 試求同時具備三項特質的機率 Solution: 由題意知 =0.38, =0.2, C=0.3 C C=0.15, C=0.7 根據加法定理 C C= + C+ C - C- C - C + C 移項可得 + C+ C = C C-2 C 47

48 又根據加法定理 C=++C - - C- C+ C C= C---C + + C+ C = C 故 C=0.03 經理人才不多 48

49 乘法定理 1. 二事件的交集 = 如果, 獨立. = 則 = 2. 三事件的交集 C= C 如果,,C 獨立, 則 C= C 49

50 Ex5.21 請利用乘法定理及直接求算男性, 大專以上, 且為經理人員之機率表 5.12 台灣地區就業者之職業及教育程度職業別高中職以下教育程度大專以上合計男性 : 3,891 1,709 5,600 經理人員非經理人員 3,729 1,520 5,249 女性 : 2,654 1,358 4,012 經理人員非經理人員 2,620 1,316 3,936 資料來源 : 台灣地區人力資源統計月報,360 期, 行政院主計處, 92 年 11 月單位 : 千人 50

51 Solution: 根據乘法定理計算如下男性大專以上經理人員 = 男性大專以上男性經理人員男性大專以上 = 5600/ / /1709 =

52 分割定理條件機率的情況若 1, 2, r 為分割集合, 為一事件, 則, 且由 r i i 1 i i i 52 故 r i i i r i i 1 1

53 Ex 5.23 用表 5.12data 回答下列問題 1. 抽取任一就業者其為婦女且受過大專以上教育之機率? 2. 抽取任一就業者其為經理或大專畢業的機率? 3. 女性擔任經理人員的機率是否與男性擔任經理人員的機率相同? 4. 教育程度大專理上的女性與男性擔任經理人的機率有多少? 教育程度職業別高中職以下大專以上合計男性 : 3,891 1,709 5,600 經理人員非經理人員 3,729 1,520 5,249 女性 : 2,654 1,358 4,012 經理人員非經理人員 2,620 1,316 3,936 資料來源 : 台灣地區人力資源統計月報,360 期, 行政院主計處, 92 年 11 月單位 : 千人 53

54 Solution: 令事件 C: 教於程度為大專以上事件 F: 女性事件 M: 職業為經理人員 1. 總就業者共有 9612 千人, 女性且為大專以上者為 F C 集合, 有 1358 千人故 F C= 1358/9612 = 任一就業者其為經理或大專以上畢業者的集合為 M C M C=M+C-M C = = 其中, M=351+76/9612 = C= /9612 = M C =189+42/9612 =

55 3. 女性擔任經理人的機會應求在女性條件下為經理人的條件機率 : M F M F F 其中, F=4012/9612= M F=76/9612 = 男性擔任經理人的機率 : 其中 M F M F F F , M F 男性擔任經理人的機率高於女性

56 4. 是否受大專教育可能影響擔任經理人員的機會. 為排除男女性別及教育程度的影響, 進一歩檢驗大專以上擔任經理人員的機率, 該機率表為 MF C M FC FC 同理可求大專以上男性擔任經理人員的機率 M F C M FC FC 男性機率高於女性, 好像有性別歧視, 但不能妄下斷論, 尚有其他因素未考慮 56

57 若已知 r,, 1 為樣本空間的分割集合, 為某事件, 且已知 i 及 i, 則條件下發生事件 i 之機率表為 i : i i i 5.5 貝氏定理 r i r r i i 式中 : i : 事前機率, i : 概似機率, i : 事後機率

58 海山唱片想推出新唱片, 根據過去經驗, 推出新唱片有 60% 是成功的, 40% 是失敗的事件 1 : 上市成功事件 2 : 上市失敗表 5.13 新唱片上市成功的機率上市情況機率成功 0.6 失敗 0.4 合計

59 市調並非百分之百準確, 根據經驗, 若推出成功, 調查結果客戶喜歡的機率為 90%, 不喜歡的機率為 10%; 相反的, 若推出不成功, 客戶不喜歡的機率為 70%, 喜歡的機率為 30%. 事件 : 調查報告為客戶喜歡事件 : 調查報告為客戶不喜歡表 5.14 新唱片上市成功與調查報告上市成功 1 上市失敗 2 客戶喜歡客戶不喜歡合計

60 調查報告為客戶喜歡而上市成功的機率為調查報告為客戶喜歡而上市失敗的機率為表 5.15 上市成功與失敗的聯合機率分配表上市成功 1 上市失敗 2 客戶喜歡客戶不喜歡

61 圖 5.7 貝氏定理的樹枝圖事前機率新的訊息聯合機率事後機率

62 例 5.24 某電子公司的網路卡有一特殊設計的 IC, 該 IC 購自三個供應商 1, 2, 3., 購買比例分別為 0.5, 0.3, 0.2. 根據過去的資料, 1, 2, 3. 產品的不良率分別為 0.04, 0.03, 該電子公司在買入零件時並未檢驗, 而直接安裝在網路卡上, 因此若網路卡發生問題, 最可能的原因是來自外購的這個 IC. 現問有瑕疵的網路卡是 2, 供應商生產的機率為何? Solution: 三家供應商的供應比例為 1 =0.5, 2 =0.3, 3 =0.2 設 1 : IC 瑕疵品 2 : IC 為良品已知三家供應商產品的不良率為 1 1 =0.04, 1 2 =0.05, 1 3 =

63 網路卡為瑕疵品而其零件來自 2 供應商的機率表為 2 1 其中故若網路卡為瑕疵品, 則來自 2 的機率為

64 圖 5.8 貝氏定理的應用事前機率取得新資訊應用貝氏定理事後機率 64

65 The system is designed to detect intruders with a probability of 0.90 Various weather conditions: clear 75%, cloudy 20%, and raining 5% Q: Using this information to find the probability of detecting an intruder, given rainy weather condition. Solution: Define D to be the event that the intruder is detected by the system D=0.90 D c =0.10 Clear D=0.75 Clear D c =0.60 Cloudy D=0.20 Cloudy D c =0.30 Rainy D=0.05 Rainy D c =0.95 Rainy D=D Rainy D= =0.045 Rainy D c =D c Rainy D c = =

66 Rainy D Rainy D D Rainy C Rainy Rainy D Rainy D In applying ayes s rule, the observed event ={Rainy} and the k=2 mutually exclusive and exhaustive events are the complementary events D={intruder detected} and D C = {intruder not detected}. Hence D Rainy D D Rainy C D Rainy D D Rainy D C 66

Microsoft Word - Probability.doc

Microsoft Word - Probability.doc 十一機率 (Probability).... 分立變值 (discrete variate) 及連續變值 (continuous variate)..... 連續變質 (Continuous variate)/ 連續變數 (Continuous variable)..... 分立變值 (Discrete variate)/ 間斷變數 (Discrete variable)....

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